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#  {.plain}

\center
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```
\vspace{2mm}

\huge
Multivariate Verfahren
\vspace{4mm}

\large
MSc Psychologie | MSc Klinische Psychologie und Psychotherapie   

WiSe 2023/24

\vspace{4mm}
\normalsize
Prof. Dr. Dirk Ostwald


#  {.plain}
\vfill
\center
\huge
\textcolor{black}{(1) Matrizen}
\vfill


#  {.plain}
\large
\textcolor{darkblue}{Motivation}
\setstretch{2.2}

\normalsize
Matrizen sind die Worte der Sprache der multivariaten Datenanalyse.

Vektoren sind spezielle Matrizen.

Matrizen können als Tabellen der Datenrepräsentation dienen.

Matrizen können lineare Abbildungen repräsentieren.

Matrizen können Vektorräume repräsentieren.
\vspace{4mm}

\center
\large
\setstretch{1.2}
\textcolor{darkblue}{Ein sicherer Umgang mit Matrizen ist für}

\textcolor{darkblue}{das Verständnis multivariater Verfahren unverzichtbar.}

#
\large
\setstretch{2.5}
\vfill
Definition

Operationen

Determinanten

Spur

Spezielle Matrizen

Selbstkontrollfragen
\vfill

#
\large
\setstretch{2.5}
\vfill
**Definition**

Operationen

Determinanten

Spur

Spezielle Matrizen

Selbstkontrollfragen
\vfill

# Definition
\small
\begin{definition}[Matrix]
Eine Matrix ist eine rechteckige Anordnung von Zahlen, die wie folgt bezeichnet
wird
\begin{equation}
A := \begin{pmatrix*}[r]
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1m} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2m} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nm}
\end{pmatrix*}
:= {(a_{ij})}_{1\le i\le n,\, 1\le j\le m}.
\end{equation}
\end{definition}

\footnotesize
Bemerkungen

* Matrizen bestehen aus *Zeilen (rows)* und *Spalten (columns)*.
* Die Matrixeinträge $a_{ij}$ werden mit einem *Zeilenindex* $i$ und einem *Spaltenindex* $j$ indiziert.
\vspace{2mm}

* Zum Beispiel gilt für
$A:=\begin{pmatrix*}[r]
2 & 7 & 5 & 2 \\
8 & 2 & 5 & 6 \\
6 & 4 & 0 & 9 \\
9 & 2 & 1 & 2
\end{pmatrix*}$,
dass
$a_{32} = 4$.

# Definition
\setstretch{2.3}
\small
Bemerkungen (fortgeführt)

\footnotesize
* Die *Größe* oder *Dimension* einer Matrix ergibt sich aus der Anzahl ihrer Zeilen $n \in \mathbb{N}$ und Spalten $m \in \mathbb{N}$.
* Matrizen mit $n = m$ heißen *quadratische Matrizen*.
* In der Folge benötigen wir nur Matrizen mit reellen Einträgen, also $a_{ij} \in \mathbb{R}$  $\forall i = 1,...,n, j = 1,...,m$.
* Wir nennen die Matrizen mit reellen Einträge *reelle Matrizen*.
* Die Menge der reellen Matrizen mit $n$ Zeilen und $m$ Spalten bezeichnen wir mit $\mathbb{R}^{n \times m}$
* Aus dem Ausdruck $A \in \mathbb{R}^{2\times3}$ lesen wir ab, dass $A$ eine reelle Matrix mit zwei Zeilen und drei Spalten ist.
* Wir identifizieren die Menge $\mathbb{R}^{1 \times 1}$ mit der Menge $\mathbb{R}$.
* Wir identifizieren die Menge $\mathbb{R}^{n \times 1}$ mit der Menge $\mathbb{R}^n$.
* Reelle Matrizen mit einer Spalte und $n$ Zeilen sind also dasselbe wie $n$-dimensionale reelle Vektoren.


#
\large
\setstretch{2.5}
\vfill
Definition

**Operationen**

Determinanten

Spur

Spezielle Matrizen

Selbstkontrollfragen
\vfill


# Operationen
\textcolor{darkblue}{Matrixoperationen}
\setstretch{2.5}

\small
Man kann mit Matrizen rechnen.

In der Folge betrachten wir folgende grundlegende Matrixoperationen

* Addition und Subtraktion von Matrizen gleicher Größe (Matrixaddition und Matrixsubtraktion)
* Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar (Skalarmultiplikation)
* Vertauschen der Zeilen- und Spaltenanordnung (Matrixtransposition)
* Multiplikation einer Matrix mit einer passenden zweiten Matrix (Matrixmultiplikation)
* "Teilen" durch eine Matrix (Matrixinversion)

# Operationen
\footnotesize
\begin{definition}[Matrixaddition]
Es seien $A,B\in \mathbb{R}^{n\times m}$. Dann ist  die \textit{Addition} von $A$
und $B$ definiert als die Abbildung
\begin{equation}
+ : \mathbb{R}^{n\times m} \times \mathbb{R}^{n\times m} \to \mathbb{R}^{n \times m}, \,
(A,B) \mapsto +(A,B) := A + B
\end{equation}
mit
\begin{align}
\begin{split}
A + B
& =
\begin{pmatrix*}[c]
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1m} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2m} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nm}
\end{pmatrix*}
+
\begin{pmatrix*}[c]
b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1m} \\
b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2m} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{nm}
\end{pmatrix*}
\\
&
:=
\begin{pmatrix*}[c]
a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} & \cdots & a_{1m} + b_{1m} \\
a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} & \cdots & a_{2m} + b_{2m} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} + b_{n1} & a_{n2} + b_{n2} & \cdots & a_{nm} + b_{nm}
\end{pmatrix*}.
\end{split}
\end{align}
\end{definition}

Bemerkungen

* Nur Matrizen identischer Größe können miteinander addiert werden.
* Die Addition zweier gleich großer Matrizen ist elementweise definiert.

# Operationen
\footnotesize
\begin{definition}[Matrixsubtraktion]
Es seien $A,B\in \mathbb{R}^{n\times m}$. Dann ist  die \textit{Subtraktion} von $A$
und $B$ definiert als die Abbildung
\begin{equation}
- : \mathbb{R}^{n\times m} \times \mathbb{R}^{n\times m} \to \mathbb{R}^{n\times m}, \,
(A,B) \mapsto -(A,B) := A - B
\end{equation}
mit
\begin{align}
\begin{split}
A - B
& =
\begin{pmatrix*}[c]
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1m} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2m} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nm}
\end{pmatrix*}
-
\begin{pmatrix*}[c]
b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1m} \\
b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2m} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{nm}
\end{pmatrix*}
\\
&
:=
\begin{pmatrix*}[c]
a_{11} - b_{11} & a_{12} - b_{12} & \cdots & a_{1m} - b_{1m} \\
a_{21} - b_{21} & a_{22} - b_{22} & \cdots & a_{2m} - b_{2m} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} - b_{n1} & a_{n2} - b_{n2} & \cdots & a_{nm} - b_{nm}
\end{pmatrix*}.
\end{split}
\end{align}
\end{definition}

Bemerkungen

* Nur Matrizen identischer Größe können voneinander subtrahiert werden.
* Die Subktration zweier gleich großer Matrizen ist elementweise definiert.

# Operationen
\small
Beispiel

\footnotesize
Es seien $A,B\in \mathbb{R}^{2\times 3}$ definiert als
\begin{equation}
A:=\begin{pmatrix*}[r]
2 & -3 & 0\\
1 &  6 & 5\\
\end{pmatrix*}
\mbox{ und }
B := \begin{pmatrix*}[r]
 4 & 1 & 0\\
-4 & 2 & 0\\
\end{pmatrix*}.
\end{equation}
Da $A$ und $B$ gleich groß sind, können wir sie addieren
\begin{align}
\begin{split}
C
= A+B
& =
\begin{pmatrix*}[r]
2 & -3 & 0\\
1 &  6 & 5\\
\end{pmatrix*}
+
\begin{pmatrix*}[r]
 4 & 1 & 0\\
-4 & 2 & 0\\
\end{pmatrix*}\\
& =
\begin{pmatrix*}[r]
2 + 4 & -3 + 1 & 0 + 0\\
1 - 4 &  6 + 2 & 5 + 0\\
\end{pmatrix*}\\
& =
\begin{pmatrix*}[r]
6 & -2 & 0\\
-3 &  8 & 5 \\
\end{pmatrix*}
\end{split}
\end{align}
und voneinander subtrahieren
\begin{align}
\begin{split}
D
= A-B
& =
\begin{pmatrix*}[r]
2 & -3 & 0\\
1 &  6 & 5\\
\end{pmatrix*}
-
\begin{pmatrix*}[r]
 4 & 1 & 0\\
-4 & 2 & 0\\
\end{pmatrix*}\\
& =
\begin{pmatrix*}[r]
2 - 4 & -3 - 1 & 0 - 0\\
1 + 4 &  6 - 2 & 5 - 0\\
\end{pmatrix*}\\
& =
\begin{pmatrix*}[r]
-2 & -4 & 0\\
5 &  4 & 5 \\
\end{pmatrix*}.
\end{split}
\end{align}


# Operationen
\footnotesize
\begin{definition}[Skalarmultiplikation]
Es sei $c \in \mathbb{R}$ ein Skalar und $A \in \mathbb{R}^{n\times m}$. Dann
ist die \textit{Skalarmultiplikation} von $c$ und $A$ definiert als die Abbildung
\begin{equation}
\cdot : \mathbb{R} \times \mathbb{R}^{n\times m} \to \mathbb{R}^{n\times m}, \,
(c,A) \mapsto \cdot (c,A) := cA
\end{equation}
mit
\begin{align}
\begin{split}
cA
=
c
\begin{pmatrix*}[c]
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1m} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2m} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nm}
\end{pmatrix*}
:=
\begin{pmatrix*}[c]
ca_{11} & ca_{12} & \cdots & ca_{1m}  \\
ca_{21} & ca_{22} & \cdots & ca_{2m}  \\
\vdots  & \vdots  & \ddots & \vdots    \\
ca_{n1} & ca_{n2} & \cdots & ca_{nm}
\end{pmatrix*}.
\end{split}
\end{align}
\end{definition}

Bemerkungen

* Die Skalarmultiplikation ist elementweise definiert.


# Operationen
\small
Beispiel

\footnotesize
Es seiein $c:=-3$ und $A\in \mathbb{R}^{4\times 3}$ definiert als
\begin{equation}
A := \begin{pmatrix*}[r]
3 & 1 & 1\\
5 & 2 & 5\\
2 & 7 & 1\\
3 & 4 & 2
\end{pmatrix*}.
\end{equation}
Dann ergibt  sich
\begin{align}
\begin{split}
B :=
cA
= -3\begin{pmatrix*}[r]
3 & 1 & 1\\
5 & 2 & 5\\
2 & 7 & 1\\
3 & 4 & 2
\end{pmatrix*}
= \begin{pmatrix*}[r]
-3\cdot3 & -3\cdot1 & -3\cdot1\\
-3\cdot5 & -3\cdot2 & -3\cdot5\\
-3\cdot2 & -3\cdot7 & -3\cdot1\\
-3\cdot3 & -3\cdot4 & -3\cdot2
\end{pmatrix*}
= \begin{pmatrix*}[r]
-9  &  -3 & -3  \\
-15 &  -6 & -15 \\
-6  & -21 & -3  \\
-9  & -12 & -6
\end{pmatrix*}.
\end{split}
\end{align}


# Operationen
\footnotesize

\begin{theorem}[Vektorraum $\mathbb{R}^{n \times m}$]
\justifying
\normalfont
Das Tripel $(\mathbb{R}^{n \times m}, +, \cdot)$ mit der oben definierten
Matrixaddition und Skalarmultiplikation ist ein Vektorraum. Insbesondere gelten
also für $A,B,C\in \mathbb{R}^{n \times m}$ und $r,s,t\in \mathbb{R}$ folgende
Rechenregeln:
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\begin{tabular}{ll}
(1) Kommutativität der Addition
& $A + B = B + A$
\\
(2) Assoziativität der Addition
& $(A + B) + C = A + (B + C)$
\\
(3) Existenz eines neutralen Elements der Addition
& $\exists\, 0 \in \mathbb{R}^{n \times m}$ mit $A + 0 = 0 + A = A$.
\\
(4) Existenz inverser Elemente der Addition
& $\forall A \, \exists\, -A $ mit  $A + (-A) = 0$.
\\
(5) Existenz eines neutralen Elements der Skalarmultiplikation
& $\exists\, 1 \in \mathbb{R}$ mit $1 \cdot A = A$.
\\
(6) Assoziativität der Skalarmultiplikation
& $r \cdot (s \cdot t) = (r \cdot s)\cdot t$.
\\
(7) Distributivität hinsichtlich der Matrixaddition
& $r\cdot (A + B) = r\cdot A + r\cdot B$.
\\
(8) Distributivität hinsichtlich der Skalaraddition
& $(r + s)\cdot A = r\cdot A + s\cdot A$.
\end{tabular}
\end{center}
\end{theorem}

Bemerkungen

* Wir verzichten auf einen Beweis.
* Der Beweis ergibt sich mit dem  elementweisen Charakter von $+,-,\cdot$ und den Rechenregeln in $(\mathbb{R},+,\cdot)$.
* Das neutrale Element der Addition heißt *Nullmatrix*; wir schreiben $0_{nm} := (0)_{1\le i \le n, 1 \le j \le m}$ mit $0\in \mathbb{R}$.
* Die inversen Elemente der Addition sind durch $-A := (-a_{ij})_{1\le i \le n, 1 \le j \le m}$ gegeben.
* Das neutrale Element der Skalarmultiplikation ist $1 \in \mathbb{R}$.


# Operationen
\footnotesize
\begin{definition}[Matrixtransposition]
Es sei $A \in \mathbb{R}^{n\times m}$. Dann ist  die \textit{Transposition}
von $A$ definiert als die Abbildung
\begin{equation}
\cdot^{T} : \mathbb{R}^{n\times m} \to \mathbb{R}^{m \times n}, \,
A \mapsto \cdot^{T}(A) := A^T
\end{equation}
mit
\begin{align}
\begin{split}
A^T
=
\begin{pmatrix*}[c]
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1m} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2m} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nm}
\end{pmatrix*}^T
:=
\begin{pmatrix*}[c]
a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1} \\
a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n2} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{1m} & a_{2m} & \cdots & a_{mn}
\end{pmatrix*}
\end{split}
\end{align}
\end{definition}

Bemerkungen

* \justifying Die Matrixtransposition "vertauscht" Zeilen und Spalten.
* Für $A \in \mathbb{R}^{n \times m}$ gilt immer $A^T \in \mathbb{R}^{m \times n}$.
* Für $A \in \mathbb{R}^{1 \times 1}$ gilt immer $A^T = A$.
* Es gilt $\left(A^T\right)^T = A$.
* Es gilt $\left(a_{ii}\right)_{1 \le i \le \mbox{min}(n,m)} = \left(a_{ii}\right)^T_{1 \le i \le \mbox{min}(n,m)}$
* Matrixelemente auf der Hauptdiagonalen einer Matrix bleiben bei Transposition also unberührt.


# Operationen
\small
Beispiel

Es sei $A \in \mathbb{R}^{2 \times 3}$ definiert durch
\begin{equation}
A:=\begin{pmatrix*}[r]
2 & 3 & 0 \\
1 & 6 & 5 \\
\end{pmatrix*},
\end{equation}
Dann gilt $A^T \in \mathbb{R}^{3 \times 2}$ und speziell
\begin{equation}
A^{T} :=
\begin{pmatrix*}[r]
2  & 1 \\
3  & 6 \\
0  & 5 \\
\end{pmatrix*}.
\end{equation}
Weiterhin gilt offenbar $\min(m,n) = 2$ und folglich
\begin{equation}
(a_{11}) = \left(a_{11}\right)^T
\mbox{ und }
(a_{22}) = \left(a_{22}\right)^T.
\end{equation}


# Operationen
\footnotesize
\setstretch{1.5}
\begin{definition}[Matrixmultiplikation]
Es seien $A\in \mathbb{R}^{n \times m}$ und $B \in \mathbb{R}^{m \times k}$. Dann
ist  die \textit{Matrixmultiplikation} von $A$ und $B$ definiert als die Abbildung
\begin{equation}
\cdot : \mathbb{R}^{n\times m} \times \mathbb{R}^{m\times k} \to \mathbb{R}^{n \times k}, \,
(A,B) \mapsto \cdot(A,B) := AB
\end{equation}
mit
\begin{align}
\begin{split}
AB
& =
\begin{pmatrix*}[c]
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1m} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2m} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nm}
\end{pmatrix*}
\begin{pmatrix*}[c]
b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1k} \\
b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2k} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
b_{m1} & b_{m2} & \cdots & b_{mk}
\end{pmatrix*}
\\
&
:=
\begin{pmatrix*}[c]
\sum_{i=1}^m a_{1i}b_{i1} & \sum_{i=1}^m a_{1i}b_{i2} & \cdots & \sum_{i=1}^m a_{1i}b_{ik}  \\
\sum_{i=1}^m a_{2i}b_{i1} & \sum_{i=1}^m a_{2i}b_{i2} & \cdots & \sum_{i=1}^m a_{2i}b_{ik}  \\
\vdots                    & \vdots                    & \ddots & \vdots                     \\
\sum_{i=1}^m a_{ni}b_{i1} & \sum_{i=1}^m a_{ni}b_{i2} & \cdots & \sum_{i=1}^m a_{ni}b_{ik}
\end{pmatrix*}
\\
&
= \left(\sum_{i=1}^m a_{ji}b_{il} \right)_{1 \le j \le n, 1 \le l \le k}
\end{split}
\end{align}
\end{definition}

# Operationen
\small
Bemerkungen
\setstretch{1.7}
\small
\begin{itemize}
\justifying
\item Das Matrixprodukt $AB$ ist nur dann definiert, wenn $A$ genau so viele Spalten hat wie $B$ Zeilen.
\item Informell gilt für die beteiligten Matrixgrößen immer $(n \times m)(m \times k) = (n \times k)$.
\item In $AB$ ist $(AB)_{ij}$ die Summe der multiplizierten $i$ten Zeilen von $A$ und $j$ten Spalten von $B$.
\item Zum Berechnen von $(AB)_{ij}$ für $1 \le i \le n, 1 \le j \le k$ geht man also wie folgt vor:
\begin{enumerate}
\begin{small}
\justifying
\item Man legt in Gedanken die Tranposition der $i$ten Zeile von $A$ über die $j$te Spalte von $B$.
\item Weil $A$ genau $m$ Spalten hat und $B$ genau $m$ Zeilen hat, gibt es zu jedem Element der Zeile aus $A$
ein korrespondierendes Element in der Spalte von $B$.
\item Man multipliziert die korrespondierenden Elemente miteinander.
\item Die Summe dieser Produkte ist dann der Eintrag mit Index $ij$ in $AB$.
\end{small}
\end{enumerate}
\item Die Multiplikation von Matrizen ist im Allgemeinen nicht kommutativ (also meist $AB \neq BA$).
\end{itemize}


# Operationen
Beispiel

\small
\justifying
$A\in \mathbb{R}^{2\times 3}$ und $B\in \mathbb{R}^{3\times 2}$ seien definiert als
\begin{equation}
A := \begin{pmatrix*}[r]
2 & -3 &  0   \\
1 &  6 &  5
\end{pmatrix*}
\mbox{ und }
B := \begin{pmatrix*}[r]
 4 & 2  \\
-1 & 0  \\
 1 & 3
\end{pmatrix*}.
\end{equation}
Wir wollen $C := AB$ und $D := BA$ berechnen.

Mit $n = 2, m = 3$ und $k = 2$ wissen wir schon, dass $C \in \mathbb{R}^{2 \times 2}$ und $D \in \mathbb{R}^{3 \times 3}$, weil
\begin{equation}
(2 \times 3)(3 \times 2) = (2 \times 2)
\end{equation}
und
\begin{equation}
(3 \times 2)(2 \times 3) = (3 \times 3)
\end{equation}
Es gilt hier also sicher $AB \neq BA$.

# Operationen
Beispiel (fortgeführt)

\small
\justifying
Es ergibt sich zum einen
\begin{align}
\begin{split}
C
& = AB
\\
& = \begin{pmatrix*}[r]
2 & -3 & 0 \\
1 &  6 & 5 \\
\end{pmatrix*}
\begin{pmatrix*}[r]
4  & 2 \\
-1 & 0 \\
1  & 3
\end{pmatrix*}
\\
& =
\begin{pmatrix*}[r]
2\cdot 4 + (-3)\cdot (-1) + 0\cdot 1 & 2\cdot 2 + (-3)\cdot 0 + 0\cdot 3 \\
1\cdot 4 +    6\cdot (-1) + 5\cdot 1 & 1\cdot 2 +  6\cdot 0 + 5\cdot 3 \\
\end{pmatrix*}
\\
& =
\begin{pmatrix*}[r]
8 + 3 + 0 & 4 + 0 + 0 \\
4 - 6 + 5 & 2 + 0 + 15 \\
\end{pmatrix*}
\\
& =
\begin{pmatrix*}[r]
11 & 4 \\
3 & 17 \\
\end{pmatrix*}.
\end{split}
\end{align}


# Operationen
Beispiel (fortgeführt)

\small
\justifying
Es ergibt sich zum anderen
\begin{align}
\begin{split}
D
& = BA
\\
& =
\begin{pmatrix*}[r]
4  & 2 \\
-1 & 0 \\
1  & 3
\end{pmatrix*}
\begin{pmatrix*}[r]
2 & -3 & 0 \\
1 &  6 & 5 \\
\end{pmatrix*}
\\
& =
\begin{pmatrix*}[r]
  4    \cdot   2  + 2 \cdot 1
& 4    \cdot (-3) + 2 \cdot 6
& 4    \cdot   0  + 2 \cdot 5
\\
  (-1) \cdot  2  + 0 \cdot 1
& (-1) \cdot(-3) + 0 \cdot 6
& (-1) \cdot  0  + 0 \cdot 5
\\
  1    \cdot  2  + 3 \cdot 1
& 1    \cdot(-3) + 3 \cdot 6
& 1    \cdot  0  + 3 \cdot 5
\end{pmatrix*}
\\
& =
\begin{pmatrix*}[r]
    8 + 2
& -12 + 12
&   0 + 5
\\
   -2 + 0
&   3 + 0
&   0 + 0
\\
    2 + 3
&  -3 + 18
&   0 + 15
\end{pmatrix*}
\\
& =
\begin{pmatrix*}[r]
  10
&  0
& 10
\\
  -2
&  3
&  0
\\
   5
& 15
& 15
\\
\end{pmatrix*}
\end{split}
\end{align}


# Operationen
\setstretch{1.2}
\footnotesize
\begin{theorem}[Matrixmultiplikation und Skalarprodukt]
\normalfont
\justifying
Es seien $x,y \in \mathbb{R}^n$. Dann gilt
\begin{equation}
\langle x,y \rangle = x^Ty.
\end{equation}
Weiterhin seien für $A \in \mathbb{R}^{n\times m}$ für $i = 1,...,n$
\begin{equation}
\bar{a}_i := (a_{ji})_{1 \le j \le m} \in \mathbb{R}^m
\end{equation}
die Spalten von $A^T$ und für $B \in \mathbb{R}^{m \times k}$ für $i = 1,...,k$
\begin{equation}
\bar{b}_j := (b_{ij})_{1 \le j \le m} \in \mathbb{R}^m
\end{equation}
die Spalten von $B$, also
\begin{equation}
A^T =
\begin{pmatrix*}[r]
\bar{a}_1 & \bar{a}_2 & \cdots & \bar{a}_n
\end{pmatrix*}
\in \mathbb{R}^{m \times n}
\mbox{ und }
B =
\begin{pmatrix*}[r]
\bar{b}_1 & \bar{b}_2 & \cdots & \bar{b}_k
\end{pmatrix*}
\in \mathbb{R}^{m \times k}.
\end{equation}
Dann gilt
\begin{equation}
AB = \left(\langle \bar{a}_i,\bar{b}_j \rangle \right)_{1 \le i \le n, 1 \le j \le k}
\end{equation}
\end{theorem}

\footnotesize
Bemerkungen

* Der Eintrag $(AB)_{ij}$ enstpricht dem Skalarprodukt von $i$ter Spalte von $A^T$ und $j$ter Spalte von $B$.
* Die erste Aussage folgt mit der Identifikation von $\mathbb{R}^{n} = \mathbb{R}^{n \times 1}$
* Wir verzichten auf einen ausführlichen Beweis.

# Operationen
\footnotesize
\begin{theorem}[Matrixmultiplikation und Transposition]
\justifying
\normalfont
Es seien $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ und $B \in \mathbb{R}^{n \times k}$. Dann gilt
\begin{equation}
(AB)^T = B^TA^T.
\end{equation}
\end{theorem}

\underline{Beweis}
\begin{align}
\begin{split}
(AB)^T
& = \left(\left(\sum_{i=1}^m a_{ji}b_{il} \right)_{1 \le j \le n, 1 \le l \le k}\right)^T \\
& = \left(\sum_{i=1}^m a_{ij}b_{li} \right)_{1 \le i \le k, 1 \le j \le n}  \\
& = \left(\sum_{i=1}^m b_{li}a_{ij} \right)_{1 \le j \le k, 1 \le l \le n}  \\
& = B^TA^T
\end{split}
\end{align}
$\hfill\Box$

# Operationen
\small
\textcolor{darkblue}{Motivation für Begriff der Inversen einer quadratischen Matrix}
\setstretch{2}
\footnotesize

* Es seien $A\in \mathbb{R}^{n \times n}, x \in \mathbb{R}^n$ und $b \in \mathbb{R}^n$, $A$ und $b$ seien als bekannt vorausgesetzt, $x$ sei unbekannt.
\setstretch{1.5}
* Zum Beispiel sei $A := \begin{pmatrix*}[r] 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix*}$ und $b := \begin{pmatrix*}[r]  5 \\ 11 \end{pmatrix*}$
* In diesem Fall gilt
$Ax = b
\Leftrightarrow
\begin{pmatrix*}[r] 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix*} \begin{pmatrix*}[r] x_1 \\ x_2 \end{pmatrix*} = \begin{pmatrix*}[r]  5 \\ 11 \end{pmatrix*}
\Leftrightarrow
\begin{matrix}
1x_1 + 2x_2 & = 5 \\
3x_1 + 4x_2 & = 11
\end{matrix}$
\setstretch{2}
* Wir haben also ein *lineares Gleichungssystem (LGS)* mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten.
* Wir stellen uns vor, dass wissen möchten, für welche(s) $x$ das LGS erfüllt ist.
* Wären $A = a \in \mathbb{R}$, $x \in \mathbb{R}$ und $b \in \mathbb{R}$, also $ax = b$
gegeben so würden mit dem *multiplikativem Inversen* von $a$ multiplizieren, also dem
Wert, der mit $a$ multipliziert $1$ ergibt und durch $a^{-1} = \frac{1}{a}$ gegeben ist.
* Dann würde nämlich gelten
$ax = b \Leftrightarrow a^{-1}ax = a^{-1}b \Leftrightarrow 1 \cdot x = a^{-1}b \Leftrightarrow x = \frac{b}{a}$
* Konkret etwa
$2x = 6 \Leftrightarrow 2^{-1} 2x = 2^{-1}6 \Leftrightarrow \frac{1}{2}2x = \frac{1}{2}6 \Leftrightarrow x = 3$.
* Analog möchte mit dem *multiplikativen Inversen* $A^{-1}$ von $A$ multiplizieren können, sodass "$A^{-1}A = 1$".
* Dann hätte man nämlich $Ax = b \Leftrightarrow A^{-1}Ax = A^{-1}b \Leftrightarrow x = A^{-1}b$
* Die Idee des multiplikativen Inversen wird im folgenden als *Inverse eine quadratischen Matrix* formalisiert.

# Operationen
\footnotesize
\setstretch{1.2}
\begin{definition}[Einheitsmatrix]
Die Matrix
\begin{equation}
I_n
:= (a_{ij})_{1\le i \le n, 1 \le j \le n}  \in \mathbb{R}^{n \times n}
:=
\begin{pmatrix*}[r]
1      & 0      & \cdots & 0       \\
0      & 1      & \cdots & 0       \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots  \\
0      & 0      & \cdots & 1       \\
\end{pmatrix*}
\end{equation}
mit $a_{ij} = 1$ für $i = j$  und  $a_{ij} = 0$ für  $i \neq j$ heißt
\textit{$n$-dimensionale Einheitsmatrix}.
\end{definition}
* $I_n$ wird in R mit dem Befehl `diag(n)` erzeugt.
\begin{theorem}[Neutrales Element der Matrixmultiplikation]
\justifying
\normalfont
$I_n$ ist das neutrale Element der Matrixmultiplikation, d.h. es gilt für $A \in \mathbb{R}^{n \times m}$,
dass
\begin{equation}
I_nA = A \mbox{ und } AI_m = A.
\end{equation}
\end{theorem}

\underline{Beweis}

Es sei $B = (b_{ij}) = I_nA \in \mathbb{R}^{n\times m}$. Dann gilt für alle $1 \le i \le n$
und alle $1 \le j \le n$
\begin{equation}
d_{ij}
= 0 \cdot a_{1j}
+ 0 \cdot a_{2j}
+ \cdots
+ 0 \cdot a_{i-1,j}
+ 1 \cdot a_{ij} +
+ \cdots
+ 0 \cdot a_{i+1,j}
+ 0 \cdot a_{nj}
= a_{ij}
\end{equation}
und analog für $AI_m$.
$\hfill \Box$

# Operationen
\small
\begin{definition}[Invertierbare Matrix und inverse Matrix]
\justifying
Eine quadratische Matrix $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ heißt \textit{invertierbar}, wenn es eine
quadratische Matrix $A^{-1} \in \mathbb{R}^{n \times n}$ gibt, so dass
\begin{equation}
A^{-1}A = AA^{-1} = I_n
\end{equation}
ist. Die Matrix $A^{-1}$ heißt die \textit{inverse Matrix von $A$}.
\end{definition}

\footnotesize
Bemerkungen

* Invertierbarkeit und inverse Matrizen beziehen sich nur auf quadratische Matrizen.
* Inverse Matrizen heißen auch einfach *Inverse*.
* Quadratische Matrizen können, müssen aber nicht invertierbar sein.
* Nicht invertierbare Matrizen nennt man *singuläre* Matrizen
* Für $A = a \in \mathbb{R}^{1 \times 1}$ gilt $A^{-1} = \frac{1}{a}$.
* Die Definition sagt nur aus, was eine inverse Matrix ist, nicht wie man sie berechnet.


# Operationen
\small
Beispiel für eine invertierbare Matrix
\footnotesize

Die Matrix
$A = \begin{pmatrix*}[r] 2.0 & 1.0 \\ 3.0 & 4.0 \end{pmatrix*}$
ist invertierbar mit inverser Matrix
$A^{-1} = \begin{pmatrix*}[r] 0.8 & -0.2 \\  -0.6 & 0.4 \end{pmatrix*}$,
denn
\begin{equation}
\begin{pmatrix*}[r] 2.0 &  1.0 \\   3.0 & 4.0 \end{pmatrix*}
\begin{pmatrix*}[r] 0.8 & -0.2 \\  -0.6 & 0.4 \end{pmatrix*}
=
\begin{pmatrix*}[r] 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix*}
=
\begin{pmatrix*}[r] 0.8 & -0.2  \\  -0.6 & 0.4 \end{pmatrix*}
\begin{pmatrix*}[r] 2.0 &  1.0  \\   3.0 & 4.0 \end{pmatrix*},
\end{equation}
wovon man sich durch Nachrechnen überzeugt.
\vspace{3mm}

\small
Beispiel für eine nicht-invertierbare Matrix
\footnotesize

Die Matrix $B = \begin{pmatrix*}[r] 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix*}$ ist nicht invertierbar,
denn wäre $B$ invertierbar, dann gäbe es $\begin{pmatrix*}[r] a & b \\ c & d \end{pmatrix*}$
mit
\begin{equation}
\begin{pmatrix*}[r] 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix*}
\begin{pmatrix*}[r] a & b \\ c & d \end{pmatrix*}
=
\begin{pmatrix*}[r] a & b \\ 0 & 0 \end{pmatrix*}
=
\begin{pmatrix*}[r] 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix*}
\end{equation}
Das würde aber bedeuten, dass $0 = 1$ in $\mathbb{R}$ und das ist ein Widerspruch.
Also kann $B$ nicht invertierbar sein.

# Operationen
\setstretch{2.3}
\textcolor{darkblue}{Berechnen inverser Matrizen}

\small
* $2 \times 2$ bis etwa $5 \times 5$ Matrizen kann man prinzipiell per Hand invertieren.
* Dazu lernt man im BSc Mathematik verschiedene Verfahren.
* Wir verzichten auf eine Einführung in die Matrizeninvertierung per Hand.
* Ein kurzes (30 min) Erklärvideo [findet sich hier](https://www.youtube.com/watch?v=9TD6gXfQDkw&t=7s).
* In der Anwendung werden Matrizen standardmäßig numerisch invertiert.
* Matrixinversion ist ein weites Feld in der numerischen Mathematik.
* Es gibt sehr viele Algorithmen zur Invertierung invertierbarer Matrizen.
* In **R** berechnet man inverse Matrizen für gewöhnlich mit `solve`.


#
\large
\setstretch{2.5}
\vfill
Definition

Operationen

**Determinanten**

Spur

Spezielle Matrizen

Selbstkontrollfragen
\vfill

# Determinanten
\setstretch{1.2}
\footnotesize
\begin{definition}[Determinante]
\justifying
Für $A = (a_{ij})_{1 \le i,j \le n} \in \mathbb{R}^{n \times n}$ mit $n>1$ sei
$A_{ij} \in \mathbb{R}^{n-1 \times n-1}$ die Matrix, die aus $A$ durch
Entfernen der $i$ten Zeile und der $j$ten Spalte entsteht.
Dann heißt die Zahl
\begin{align}
|A| & := a_{11} \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad   \mbox{ für } n = 1\\
|A| & := \sum_{j = 1}^n a_{1j}(-1)^{1+j} |A_{1j}|               \mbox{ für } n > 1
\end{align}
die \textit{Determinante von $A$}.
\end{definition}

\footnotesize
Bemerkungen

* Für
\begin{equation}
A :=
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9 \\
\end{pmatrix}
\end{equation}
ergeben sich zum Beispiel
\begin{equation}
A_{11}
=
\begin{pmatrix}
5 & 6 \\
8 & 9 \\
\end{pmatrix},
A_{12}
=
\begin{pmatrix}
4 & 6 \\
7 & 9 \\
\end{pmatrix},
A_{21}
=
\begin{pmatrix}
2 & 3 \\
8 & 9 \\
\end{pmatrix},
A_{22}
=
\begin{pmatrix}
1 & 3 \\
7 & 9 \\
\end{pmatrix}
\end{equation}
* Determinanten sind  nichtlineare  Abbildungen der Form $|\cdot|: \mathbb{R}^{n \times n} \to \mathbb{R}, A \mapsto |A|$

# Determinanten
\footnotesize
\setstretch{1.2}
\begin{theorem}[Determinanten von  $2 \times 2$ und $3 \times 3$ Matrizen]
\normalfont
(1) Es sei $A = (a_{ij})_{1 \le i,j \le 2} \in \mathbb{R}^{2 \times 2}$. Dann gilt
\begin{equation}
|A|
= a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}.
\end{equation}
(2) Es sei $A = (a_{ij})_{1 \le i,j \le 3} \in \mathbb{R}^{3 \times 3}$. Dann gilt
\begin{align}
\begin{split}
|A|
= a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32}
- a_{12}a_{21}a_{33} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31}.
\end{split}
\end{align}
\end{theorem}

Bemerkungen

* Für $2 \times 2$ und $3 \times 3$ Matrizen (und nur für diese) gilt die *Sarrusche Merkregel*
\begin{center}
``Summe der Produkte auf den Diagonalen minus Summe der Produkte auf den Gegendiagonalen''
\end{center}
* Bei $3 \times 3$ Matrizen bezieht sich die Merkregel auf das Schema
\begin{equation}
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & \vert & a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & \vert & a_{21} & a_{22} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & \vert & a_{31} & a_{32}
\end{pmatrix}
\end{equation}

# Determinanten
\scriptsize
\setstretch{1}
\underline{Beweis}

Für $A \in \mathbb{R}^{2 \times 2}$ gilt nach Definition
\begin{align}
\begin{split}
|A|
& = \sum_{j = 1}^n a_{1j}(-1)^{1+j} |A_{1j}| \\
& = a_{11}(-1)^{1 + 1}|A_{11}| + a_{12}(-1)^{1 + 2}|A_{12}| \\
& = a_{11}|(a_{22})| - a_{12}|(a_{21})| \\
& = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} \\
\end{split}
\end{align}
Für $A \in \mathbb{R}^{3 \times 3}$ gilt nach Definition und mit der Formel für Determinanten von $2 \times 2$ Matrizen
\begin{align}
\begin{split}
|A|
& = \sum_{j = 1}^n a_{1j}(-1)^{1+j} |A_{1j}| \\
& =   a_{11}(-1)^{1+1} |A_{1j}| + a_{12}(-1)^{1+2} |A_{12}| +  a_{13}(-1)^{1+3} |A_{13}| \\
& =   a_{11}|A_{11}| - a_{12}|A_{12}| + a_{13}|A_{13}| \\
& =   a_{11}\left\vert\begin{pmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33}\end{pmatrix} \right\vert
    - a_{12}\left\vert\begin{pmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33}\end{pmatrix} \right\vert
    + a_{13}\left\vert\begin{pmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32}\end{pmatrix} \right\vert \\
& =   a_{11}\left(a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32} \right)
    - a_{12}\left(a_{21}a_{33} - a_{23}a_{31} \right)
    + a_{13}\left(a_{21}a_{32} - a_{22}a_{31} \right) \\
& =   a_{11}a_{22}a_{33} - a_{11}a_{23}a_{32}
    - a_{12}a_{21}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31}
    + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} \\
& =   a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32}
    - a_{12}a_{21}a_{33} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31}.
\end{split}
\end{align}


# Determinanten

\small
Beispiel 1
\footnotesize

Es seien
\begin{equation}
A :=
\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
3 & 4
\end{pmatrix}
\mbox{ und }
B :=
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 0
\end{pmatrix}
\end{equation}
Dann ergeben sich
\begin{equation}
|A|
= 2 \cdot 4 - 1 \cdot 3 = 8 - 3 = 5.
\end{equation}
und
\begin{equation}
|B|
= 1 \cdot 0 - 0 \cdot 0 = 0 - 0 = 0.
\end{equation}
\vspace{2mm}

\small
Beispiel 2
\footnotesize

Es sei
\begin{equation}
C :=
\begin{pmatrix}
2 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 3
\end{pmatrix}
\end{equation}
Dann ergibt sich
\begin{equation}
|C|
= 2 \cdot 1 \cdot 3
+ 0 \cdot 0 \cdot 0
+ 0 \cdot 0 \cdot 0
- 0 \cdot 0 \cdot 3
- 0 \cdot 0 \cdot 0
- 0 \cdot 1 \cdot 0
= 2 \cdot 1 \cdot 3
= 6
\end{equation}



# Determinanten
\footnotesize
\begin{theorem}[Rechenregeln für Determinanten]
\normalfont
(Determinantenmultiplikationssatz.) Für $A,B \in \mathbb{R}^{n \times n}$ gilt
\begin{equation}
|AB| = |A||B|.
\end{equation}

(Transposition.) Für $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ gilt
\begin{equation}
|A| = \left\vert A^T\right\vert.
\end{equation}

(Inversion.) Für eine invertierbare Matrix $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ gilt
\begin{equation}
\left\vert A^{-1}\right\vert = \frac{1}{|A|}
\end{equation}

(Dreiecksmatrizen.) Für Matrizen
$A = (a_{ij})_{1 \le i,j\le n} \in \mathbb{R}^{n \times n}$
mit $a_{ij} = 0$ für $i > j$ oder $a_{ij} = 0$ \mbox{ für } $j > i$ gilt
\begin{equation}
|A| = \prod_{i=1}^n a_{ii}
\end{equation}
\end{theorem}
\footnotesize
Bemerkungen

* Wir verzichten auf einen Beweis.
* Bei Dreiecksmatrizen sind alle Elemente unterhalb ($i > j$) oder oberhalb ($j > i$) der Diagonalen 0
* Bei $I_n$ sind alle nicht-diagonalen Elemente 0 und alle diagonalen Elemente 1, also folgt $|I_n| = 1$.


# Determinanten
\small
\begin{theorem}[Invertierbarkeit und Determinante]
\normalfont
$A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ ist dann und nur dann invertierbar, wenn gilt,
dass $|A| \neq 0$. Es gilt also
\begin{align}
\begin{split}
A \mbox{ ist invertierbar} \Leftrightarrow |A| \neq 0
\mbox{ und }
A \mbox{ ist nicht invertierbar} \Leftrightarrow |A| = 0.
\end{split}
\end{align}
\end{theorem}

\footnotesize
\underline{Beweisandeutung}
\vspace{1mm}

Wir zeigen lediglich, dass aus der Invertierbarkeit von $A$ folgt, dass $|A|$
nicht null sein kann. Nehmen wir also an, dass $A$ invertierbar ist. Dann gibt
es eine Matrix $B$ mit $AB = I_n$ und mit dem Determinantenmultiplikationssatz
folgt
\begin{equation}
|AB| = |A||B| = |I_n| = 1.
\end{equation}
Also kann $|A| = 0$ nicht gelten, denn sonst wäre $0 = 1$.

$\hfill\Box$


# Determinanten

\textcolor{darkblue}{Visuelle Intuition}

\small

$a_1,...,a_n \in \mathbb{R}^n$  seien die Spalten von $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$.

$\Rightarrow |A|$ enstpricht dem signierten Volumen des von $a_1,...,a_n\in \mathbb{R}^n$ aufgespannten Parallelotops.

```{r, eval = F, echo = F}
library(latex2exp)
pdf(
file        = "./1_Abbildungen/mv_1_determinante.pdf",           
width       = 12,                                                   
height      = 4)      

par(
family      = "sans",
mfcol       = c(1,3),
pty         = "s",
bty         = "l",
lwd         = 1,
las         = 1,
mgp         = c(2,1,0),
xaxs        = "i",
yaxs        = "i",
font.main   = 1,
cex         = 1.2,
cex.main    = 1.2)

# Vektordefinitionen
x           = c(1,2)
y           = c(3,1)
z           = c(4,3)

# Visualisierung
plot(
NULL,
xlab        = TeX("$x_1$"),
ylab        = TeX("$x_2$"),
xlim        = c(0,4),
ylim        = c(0,4))
grid()
points(
c(x[1],y[1]),
c(x[2],y[2]),
pch = 19)
arrows(
x0          = c(0,0,x[1],y[1]),
y0          = c(0,0,x[2],y[2]),
x1          = c(x[1],y[1],z[1],z[1]),
y1          = c(x[2],y[2],z[2],z[2]),
angle       = 20,
length      = .1,
col         = c("black", "black","gray60", "gray60"))

# Vektordefinitionen
x           = c(2,0)
y           = c(0,2)
z           = x + y

# Visualisierung
plot(
NULL,
xlab        = TeX("$x_1$"),
ylab        = TeX("$x_2$"),
xlim        = c(0,4),
ylim        = c(0,4))
grid()
points(
c(x[1],y[1]),
c(x[2],y[2]),
pch = 19)
arrows(
x0          = c(0,0,x[1],y[1]),
y0          = c(0,0,x[2],y[2]),
x1          = c(x[1],y[1],z[1],z[1]),
y1          = c(x[2],y[2],z[2],z[2]),
angle       = 20,
length      = .1,
col         = c("black", "black","gray60", "gray60"),
xpd         = TRUE)


# Vektordefinitionen
x           = c(2,2)
y           = c(2,2)
z           = x + y

# Visualisierung
plot(
NULL,
xlab        = TeX("$x_1$"),
ylab        = TeX("$x_2$"),
xlim        = c(0,4),
ylim        = c(0,4))
grid()
points(
c(x[1],y[1]),
c(x[2],y[2]),
pch = 19)
arrows(
x0          = c(0,0,x[1],y[1]),
y0          = c(0,0,x[2],y[2]),
x1          = c(x[1],y[1],z[1],z[1]),
y1          = c(x[2],y[2],z[2],z[2]),
angle       = 20,
length      = .1,
col         = c("black", "black","gray60", "gray60"),
xpd         = TRUE)
dev.off()
```
\footnotesize
\begin{equation*}
A_1 =
\begin{pmatrix}
3 & 1 \\
1 & 2
\end{pmatrix}
\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad
A_2 =
\begin{pmatrix}
2 & 0 \\
0 & 2
\end{pmatrix}
\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad
A_3 =
\begin{pmatrix}
2 & 2 \\
2 & 2
\end{pmatrix}
\end{equation*}

```{r, echo = FALSE, out.width = "100%"}
knitr::include_graphics("1_Abbildungen/mv_1_determinante.pdf")
```
\vspace{-5mm}
\begin{equation*}
|A_1| =
3\cdot 2 - 1 \cdot 1 = 5
\quad\quad\quad\quad
|A_2| =
2\cdot 2 - 0 \cdot 0 = 4
\quad\quad\quad\quad
|A_3| =
2\cdot 2 - 2 \cdot 2 = 0
\end{equation*}

#
\large
\setstretch{2.5}
\vfill
Definition

Operationen

Determinanten

**Spur**

Spezielle Matrizen

Selbstkontrollfragen
\vfill

# Spur
\footnotesize
\begin{definition}[Spur]
csei eine quadratische 
Matrix. Dann ist die \textit{Spur von A} definiert als die Zahl
\begin{equation}
\tr(A) = \sum_{i=1}^n a_{ii}.
\end{equation}
\end{definition}

Bemerkungen

* Die Spur einer quadratischen Matrix ist die Summe ihrer Diagonalelemente.
* $\tr$ ist die Abkürzung für *trace*.

Beispiel

Es sei
\begin{equation}
A :=
\begin{pmatrix}
3 & 2 & 1 \\
8 & 1 & 7 \\
4 & 5 & 2 \\
\end{pmatrix}
\end{equation}
Dann gilt
\begin{equation}
\tr(A) = 3 + 1 + 2 = 6.
\end{equation}

# Spur
\footnotesize
\begin{theorem}[Eigenschaften der Spur]
\justifying
\normalfont
\begin{enumerate}
\item[(1)] (Invarianz bei Transposition) Es sei $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$. Dann gilt
\begin{equation}
\tr\left(A^T\right) = \tr(A)
\end{equation}
\item[(2)] (Linearität) Es seien $A,B \in \mathbb{R}^{n \times n}$ $c,d \in \mathbb{R}$. Dann gilt
\begin{equation}
\tr(cA+dB) = c\tr(A) + d\tr(B)
\end{equation}
\item[(3)] (Reihenfolgeninvarianz)
Es sei $A \in \mathbb{R}^{n \times m}$ und $B \in \mathbb{R}^{m \times n}$. Dann gilt
\begin{equation}
\tr(AB) = \tr(BA).
\end{equation}
\item[(4)] (Zyklische Permutationsinvarianz)
Es seien $A,B,C \in \mathbb{R}^{n \times n}$. Dann gilt
\begin{equation}
\tr(ABC) = \tr(CAB) = \tr(BCA).
\end{equation}
\end{enumerate}
\end{theorem}
Bemerkung

* Eigenschaft (4) kann auf beliebig viele und multiplikationskonforme Matrizen erweitert werden.

# Spur
\footnotesize
\underline{Beweis}

\noindent (1) Da die Diagonalelemente von $A^T$ und $A$ identisch sind, sind auch ihre Summen identisch.

\noindent (2) Es gilt
\begin{equation}
\tr(cA+dB)
= \sum_{i=1}^n ca_{ii} + db_{ii}
= c\sum_{i=1}^n a_{ii} + d\sum_{i=1}^n b_{ii}
= c\tr(A) + d\tr(B).
\end{equation}

\noindent (3) Wir halten zunächst fest, dass nach Definition der Matrixmultiplikation,
die Diagonalelemente von $AB \in \mathbb{R}^{n\times n}$ gegeben sind durch
\begin{equation}
(AB)_{ii} = \sum_{j=1}^m a_{ij}b_{ji} \mbox{ für } i = 1,...,n. 
\end{equation}
und die Diagonalelemente von  $BA \in \mathbb{R}^{m\times m}$ gegeben sind durch
\begin{equation}
(BA)_{jj} = \sum_{i=1}^m b_{ji}a_{ij} \mbox{ für } j = 1,...,m. 
\end{equation}
Dann aber gilt mit den Eigenschaften von Summen und der Kommutativität der Skalarmultiplikation
\begin{equation}
\tr(AB) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m a_{ij}b_{ji} = \sum_{j=1}^m \sum_{i=1}^n b_{ji} a_{ij} = \tr(BA).
\end{equation}

\noindent (4) Mit der Assoziativität der Matrixmultiplikation und Eigenschaft (4) gelten
\begin{equation}
\tr(ABC) = \tr((AB)C) = \tr(C(AB)) = \tr(CAB) = \tr((CA)B) = \tr(B(CA)) = \tr(BCA).
\end{equation}

#
\large
\setstretch{2.5}
\vfill
Definition

Operationen

Spur

Determinanten

**Spezielle Matrizen**

Selbstkontrollfragen
\vfill


# Spezielle Matrizen
\footnotesize
\begin{definition}[Einheitsmatrizen und Einheitsvektoren]
\begin{itemize}
\item Wir bezeichnen die \textit{Einheitsmatrix} mit
\begin{equation}
I_{n} := (i_{jk})_{1 \le i \le n, 1 \le j \le n} \in \mathbb{R}^{n \times n} \mbox{ mit } i_{jk} = 1 \mbox{ für } j = k \mbox{ und } i_{jk} = 0 \mbox{ für } j \neq k
\end{equation}
\item Wir bezeichnen die \textit{Einheitsvektoren} $e_i, i = 1,...,n$ mit
\begin{equation}
e_{i} := (e_{{i}_j})_{1 \le j \le n} \in \mathbb{R}^{n} \mbox{ mit } e_{{i}_j} = 1 \mbox{ für } i = j \mbox{ und } e_{{i}_j} = 0 \mbox{ für } i \neq j
\end{equation}
\end{itemize}
\end{definition}

Bemerkungen

* $I_n$ besteht nur aus Nullen und Diagonalelementen gleich Eins.
* $e_i, i = 1,....,n$ besteht nur aus Nullen und einer Eins in der $i$ten Komponente.
* Es gilt
\begin{equation}
I_n = \begin{pmatrix} e_1 & \cdots & e_n \end{pmatrix}
\end{equation}
* Es gelten weiterhin zum Beispiel für $1 \le i,j \le n$
\begin{equation}
e^T_ie_j = 0 \mbox{ für } i \neq j,  e^T_ie_i = 1 \mbox{ und } e^T_iv = v^Te_i = v_i \mbox{ für } v \in \mathbb{R}^n.
\end{equation}

# Spezielle Matrizen
\footnotesize
\begin{definition}[Nullmatrizen, Einsmatrizen]
\begin{itemize}
\item Wir bezeichnen \textit{Nullmatrizen} mit
\begin{equation}
0_{nm} := (0)_{1 \le i \le n, 1 \le j \le m} \in \mathbb{R}^{n \times m}
\mbox{ und }
0_{n} := (0)_{1 \le i \le n} \in \mathbb{R}^{n}
\end{equation}
\item Wir bezeichnen den \textit{Einsmatrizen} mit
\begin{equation}
1_{nm} := (1)_{1 \le i \le n, 1 \le j \le m} \in \mathbb{R}^{n \times m}
\mbox{ und }
1_n := (1)_{1 \le i \le n} \in \mathbb{R}^n
\end{equation}
\end{itemize}
\end{definition}

Bemerkungen

* $0_{nm}$ und $0_{n}$ bestehen nur aus Nullen.
* $1_{nm}$ und $1_{n}$ bestehen nur aus Nullen.
* Es gelten zum Beispiel
\begin{equation}
0_n0_n^T = 0_{nn} \mbox{ und } 1_n1_n^T = 1_{nn}.
\end{equation}


# Spezielle Matrizen
\footnotesize
\begin{definition}[Diagonalmatrix]
Eine Matrix $D \in \mathbb{R}^{n \times m}$ heißt \textit{Diagonalmatrix}, wenn $d_{ij} = 0$ für $1 \le i \le n, 1 \le j \le m$ mit $i \neq j$.
\end{definition}
Bemerkungen

* \justifying Eine Diagonalmatrix $D\in \mathbb{R}^{n \times n}$ mit Diagonalelementen $d_1,...,d_n$ schreibt man auch als 
\begin{equation}
D = \mbox{diag}(d_1,...,d_n).
\end{equation}
* Diagonalmatrizen haben viele "gute" Eigenschaften.
* Zum Beispiel überzeugt man sich leicht davon, dass Multiplikation einer Matrix $A$
von links mit einer Diagonalmatrix $D$ der Multiplikation der Zeilen der Matrix $A$
mit den entsprechenden Diagonaleinträgen von $D$ entspricht. Die entsprechende
Multiplikation von rechts entspricht der Multiplikation der Spalten von $A$ mit
entsprechenden Diagonaleinträgen von $D$.
* Eine weitere wichtige Eigenschaft ist
\begin{equation}
D := \mbox{diag}(d_1,...,d_n) \Rightarrow |D| = \prod_{i=1}^n d_i
\end{equation}
* Für Beweise dieser Eigenschaften wird auf die weiterführende Literatur, z.B. @searle1982 verwiesen.


# Spezielle Matrizen
\footnotesize
\begin{definition}[Symmetrische Matrix]
Eine Matrix $S \in \mathbb{R}^{n \times n}$ heißt \textit{symmetrisch}, wenn gilt dass $S^T = S$.
\end{definition}

Bemerkungen

* Symmetrische Matrizen sind spezielle quadratische Matrizen.
* Symmetrische  Matrizen haben viele "gute" Eigenschaften.
* Beispielweise gilt für die Summe zweier symmetrischer Matrizen, dass auch diese wieder symmetrisch ist
\begin{equation}
A = A^T \mbox{ und } B = B^T \Rightarrow A + B = (A + B)^T
\end{equation}
und das die Inverse einer symmetrischen Matrix, sofern sie existiert, auch symmetrisch ist,
\begin{equation}
S^T = S \Rightarrow \left(S^{-1}\right)^T = S^{-1}.
\end{equation}
* Für Beweise dieser Eigenschaften wird auf die weiterführende Literatur, z.B. @searle1982, verwiesen.


# Spezielle Matrizen
\footnotesize
\begin{definition}[Positiv-definite Matrizen und positiv-semidefinite Matrizen]
\justifying
Eine quadratische Matrix $C \in \mathbb{R}^{n \times n}$ heißt \textit{positiv-definit}, 
wenn $C$ symmetrisch ist und gilt, dass
\begin{equation}
x^TCx > 0 \mbox{ für alle } x \in \mathbb{R}^n \mbox{ mit } x \neq 0_n.
\end{equation}
Wenn $C \in \mathbb{R}^{n \times n}$ positiv-definit ist, so schreiben wir $C \in \mathbb{R}^{n \times n} \mbox{ pd}$.
\vspace{1mm}

Eine quadratische Matrix $C \in \mathbb{R}^{n \times n}$ heißt \textit{positiv-semidefinit}, 
wenn $C$ symmetrisch ist und gilt, dass 
\begin{equation}
x^TCx \ge 0 \mbox{ für alle } x \in \mathbb{R}^n \mbox{ mit } x \neq 0_n.
\end{equation}
Wenn $C \in \mathbb{R}^{n \times n}$ positiv-definit ist, so schreiben wir $C \in \mathbb{R}^{n \times n} \mbox{ psd}$.
\end{definition}

Bemerkungen

* Positive-definite und positiv-semidefinite Matrizen sind spezielle symmetrische Matrizen.
* Kovarianzmatrixparameter von multivariaten Normalverteilungen sind positiv definite Matrizen grundlegend.
* Kovarianzmatrizen von Zufallsvektoren sind positiv-semidefinite Matrizen. 
* Positiv-definite Matrizen haben viele "gute" Eigenschaften.
* Beispielsweise existiert die Inverse $C^{-1}$ einer positiv-definiten Matrix und ist selbst positiv-definit,  
  für einen Beweis dieser Eigenschaft verweisen wir auf die weiterführende Literatur, z.B. @searle1982.


# Spezielle Matrizen
\footnotesize
\begin{definition}[Orthogonale Matrix]
Eine Matrix $Q \in \mathbb{R}^{n \times n}$ heißt \textit{orthogonal}, wenn 
\begin{equation}
Q^TQ = I_n.
\end{equation}
\end{definition}
Bemerkung 

* Die Spalten einer orthogonalen Matrix sind also paarweise orthogonal, es gilt für
\begin{equation}
Q = \begin{pmatrix} q_1 & \cdots & q_n \end{pmatrix} \mbox{ mit } q_i \in \mathbb{R}^n \mbox{ für } 1 \le i \le n, 
\end{equation}
dass
\begin{equation}
q_i^Tq_j = 0 \mbox{ für } i \neq j \mbox{ und }  q_i^Tq_j = 1 \mbox{ für } i = j \mbox{ mit } 1 \le i,j \le n.
\end{equation}

# Spezielle Matrizen
\setstretch{1.1}
\footnotesize
\begin{theorem}[Eigenschaften orthogonaler Matrizen]
\justifying
\normalfont
$Q \in \mathbb{R}^{n \times n}$ sei eine orthogonale Matrix. Dann gelten:
\begin{itemize}
\item[(1)] (Inverse) Die Inverse von $Q$ ist $Q^T$, es gilt  
\begin{equation}
Q^{-1} = Q^T.
\end{equation}
\item[(2)](Transposition) Die Zeilen von $Q$ sind orthonormal, es gilt
\begin{equation}
QQ^T = I_n.
\end{equation}
\item[(3)](Determinante) Es gilt
\begin{equation}
|Q| = 1 \mbox{ oder } |Q| = -1.
\end{equation}
\end{itemize}
\end{theorem}
\vspace{-2mm}

\footnotesize
\underline{Beweis}

\noindent(1) Unter der Annahme, dass $Q^{-1}$ existiert, gilt 
\begin{equation}
Q^TQ = I_n \Leftrightarrow Q^TQQ^{-1} = I_nQ^{-1} \Leftrightarrow  Q^{-1} = Q^T.
\end{equation}

\noindent(2) Es gilt
\begin{equation}
Q^TQ = I_n \Leftrightarrow QQ^TQ = QI_n \Leftrightarrow  QQ^TQQ^T = QQ^T \Leftrightarrow  QQ^T = I_n. 
\end{equation}

\noindent(3) Mit dem Multiplikationssatz und Transpositionseigenschaft von Determinanten gilt
\begin{equation}
|Q|^2 = |Q||Q| = |Q||Q^T| = |QQ^T| = |I_n| =  1.
\end{equation}
Aus $|Q|^2 = 1$ folgt dann aber, dass $|Q|=1$ oder $|Q|=-1$ sein muss.


$\hfill\Box$

#
\large
\setstretch{2.5}
\vfill
Definition

Operationen

Determinanten

Spezielle Matrizen

**Selbstkontrollfragen**
\vfill

# Selbstkontrollfragen
\footnotesize
\begin{enumerate}
\item Geben Sie die Definition einer Matrix wieder.
\item Nennen Sie sechs Matrixoperationen.
\item Geben Sie die Definitionen der Matrixaddition und -subtraktion wieder.
\item Geben Sie die Definition der Skalarmultiplikation für Matrizen wieder.
\item Geben Sie die Definition der Matrixtransposition wieder.
\item Es seien
\begin{equation}
A :=
\begin{pmatrix*}[r]
1 & 2 \\
2 & 1
\end{pmatrix*},
B :=
\begin{pmatrix*}[r]
3 & 0 \\
1 & 2
\end{pmatrix*} 
\mbox{ und }
c := 2
\end{equation}
Berechnen Sie
\begin{equation}
D := c\left(A - B^T\right)
\mbox{ und }
E := \left(cA\right)^T + B.
\end{equation}
\item Geben Sie die Definition der Matrixmultiplikation wieder.
\item Es seien $A \in \mathbb{R}^{3 \times 2}, B \in \mathbb{R}^{2\times 4}$
und $C \in \mathbb{R}^{3 \times 4}$. Prüfen Sie, ob folgende Matrixprodukte
definiert sind, und wenn ja, geben Sie die Größe der resultierenden Matrix an:
\begin{equation}
ABC, \quad ABC^T, \quad, A^TCB^T \quad, BAC.
\end{equation}
\end{enumerate}

# Selbstkontrollfragen
\footnotesize
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{8}
\item Es seien
\begin{equation}
A :=
\begin{pmatrix*}[r]
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
3 & 2 & 0
\end{pmatrix*}
B :=
\begin{pmatrix*}[r]
1 & 2 & 2 \\
1 & 3 & 1 \\
2 & 0 & 0
\end{pmatrix*}
\mbox{ und }
C :=
\begin{pmatrix*}[r]
1 \\ 3 \\ 2
\end{pmatrix*}.
\end{equation}
Berechnen Sie die Matrixprodukte
\begin{equation}
AB , \quad\quad
B^TA^T, \quad\quad
\left(B^TA^T\right)^T, \quad\quad
AC.
\end{equation}
\item Geben Sie die Formel für die Determinante von $A := (A_{ij})_{1 \le i,j \le 2} \in \mathbb{R}^2$ wieder.
\item Geben Sie die Formel für die Determinante von $A := (A_{ij})_{1 \le i,j \le 3} \in \mathbb{R}^3$ wieder.
\item Berechnen Sie die Determinanten von
\begin{equation}
A := \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}
B := \begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \mbox{ und }
C := \mbox{diag}(1,2,3).
\end{equation}
\end{enumerate}

# Selbstkontrollfragen
\footnotesize
\setstretch{2.5}
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{13}
\item Geben Sie den Determinantenmultiplikationssatz wieder.
\item Geben Sie das Theorem zur Invertierbarkeit und Determinante von Matrizen wieder.
\item Geben Sie die Definition einer Diagonalmatrix wieder.
\item Geben Sie die Definition einer symmetrischen Matrix wieder.
\item Geben Sie die Definition einer positiv-definiten und einer positiv-semidefiniten Matrix wieder.
\item Geben Sie die Definition einer orthogonalen Matrix wieder.
\end{enumerate}

# Referenzen 
\footnotesize