---
fontsize: 8pt
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    beamer:
        include-in-header: "5_Header.tex"
bibliography: 5_Referenzen.bib
---

#  {.plain}

\center
```{r, echo = FALSE, out.width = "20%", fig.align = "center"}
knitr::include_graphics("5_Abbildungen/mv_5_otto.png")
```
\vspace{2mm}

\huge
Multivariate Verfahren
\vspace{4mm}

\large
MSc Psychologie | MSc Klinische Psychologie und Psychotherapie   

WiSe 2023/24

\vspace{4mm}
\normalsize
Prof. Dr. Dirk Ostwald

#  {.plain}

\vfill
\center
\huge
\textcolor{black}{(5) Einstichproben-T$^2$-Tests}
\vfill

# 
\vfill
\setstretch{2.7}
Wie im univariaten Fall unterscheidet man im multivariaten Fall

* Z-Tests
* Einstichproben-T$^2$-Tests
* Zweistichproben-T$^2$-Tests bei unabhängigen Stichproben
* Zweistichproben-T$^2$-Tests bei abhängigen Stichproben

Wir betrachten hier exemplarisch Einstichproben-T$^2$-Tests.
\vfill

# Anwendungsszenario  
\vfill
Hypothesenszenarien
\footnotesize
\setstretch{1.2}

Einfache Nullhypothese $H_0:\mu = \mu_0$, Einfache Alternativhypothese $H_1: \mu = \mu_1$

* Theoretisch wichtiges Szenario (Neymann-Pearson Lemma)
* Praktische Relevanz eher gering

Einfache Nullhypothese $H_0:\mu = \mu_0$, Zusammengesetzte Alternativhypothese $H_1: \mu \neq \mu_0$

* Zweiseitiger Einstichproben-T$^2$-Test mit ungerichteter Hypothese
* Ungerichtete Fragestellung nach einem Unterschied

Zusammengesetzte Nullhypothese $H_0:\mu \le \mu_0$, Zusammengesetzte Alternativhypothese $H_1: \mu > \mu_0$

* Einseitiger Einstichproben-T$^2$-Test mit gerichteter Hypothese
* Gerichtete Fragestellung nach einem positiven Unterschied

Zusammengesetzte Nullhypothese $H_0:\mu \ge \mu_0$, Zusammengesetzte Alternativhypothese $H_1: \mu < \mu_0$

* Gerichtete Fragestellung nach einem negativen Unterschied
* Qualitativ äquivalente Theorie zum umgekehrten Fall

\normalsize
Wir betrachten hier exemplarisch Einstichproben-T$^2$-Tests 

mit einfacher Nullhypothese und zusammengesetzter Alternativhypothese.

#
\vfill
\setstretch{2.7}
\large
Anwendungsszenario 

Modellformulierung und Modellschätzung

Modellevaluation

Anwendungsbeispiel

Selbstkontrollfragen
\vfill

# Anwendungsszenario  
\normalsize
\setstretch{1.6}

Anwendungsszenario

* Eine Stichprobe/Gruppe $n$ experimenteller Einheiten mit Datendimension $m>1$.
* Annahme unabhängiger und identisch multivariat normalverteilter Daten.
* Erwartungswertparameter $\mu$ und Kovarianzmatrixparameter $\Sigma$ unbekannt.
* Quantifizieren der Unsicherheit beim Inferenzvergleich von $\mu$ mit $\mu_0$ beabsichtigt.

\normalsize
Anwendungsbeispiel

* Gruppenanalyse von BDI und Glukokortikoid Daten

$\quad\quad\quad$ $\circ$ $\mu \neq \mu_0$ als Evidenz für eine multivariate Abweichung von einem Normwert $\mu_0$.


# Anwendungsszenario  
\vspace{2mm}
\small
\center
Abweichung des wahren, aber unbekannten, Erwartungswertparameters 

vom Therapieerfolgsnormwert $\mu_0 := (30,3.5)^T$?

\vspace{-2mm}
\footnotesize
\setstretch{1}
```{r, echo = F, message = F}
# Datepräprozessierung
D           = read.csv("./5_Daten/5_Einstichproben_T2_Tests.csv")   # Einlesen des Datensatzes
m           = 2                                                     # Datendimension von Interesse
n           = 20                                                    # Anzahl Datenpunkte pro Gruppe
Y           = cbind(round(D$y_1i), D$y_2i)                          # Datenmatrix 
colnames(Y) = c("dBDI", "dGLU")                                     # Variablennamen
knitr::kable(Y, "pipe", align = "c", digits = 1)                    # Tabelle
```

# Anwendungsszenario
\vspace{2mm}
\small
\center
Abweichung des wahren, aber unbekannten, Erwartungswertparameters 

vom Therapieerfolgsnormwert $\mu_0 := (30,3.5)^T$?

\vspace{-2mm}
```{r, echo = F, eval = F}
# Deskriptivstatistik
D           = read.csv("./5_Daten/5_Einstichproben_T2_Tests.csv")   # Einlesen des Datensatzes
Y           = rbind(D$y_1i, D$y_2i)                                 # Datenmatrix               
mu_0        = matrix(c(30,3.5), nrow = 2)                           # Normwert
n           = ncol(Y)                                               # Anzahl Datenpunkte
j_n         = matrix(rep(1,n), nrow = n)                            # 1_n
I_n         = diag(n)                                               # I_n
J_n         = matrix(rep(1,n^2), nrow = n)                          # 1_{nn}
Y_bar       = (1/n)*(Y %*% j_n)                                     # Stichprobenmittel (cf.(5) Wahrscheinlichkeitstheorie)
C           = (1/(n-1))*(Y %*% (I_n-(1/n)*J_n) %*% t(Y))            # Stichprobenkovarianzmatrix (cf. ibid.)
D           = t(Y_bar - mu_0) %*% solve(C) %*% (Y_bar - mu_0)       # Mahalanobis Distanz

# Visualisierung
library(ellipse)                                              
library(latex2exp)
pdf(
file        = "./5_Abbildungen/mv_5_deskription.pdf",
width       = 4.5,
height      = 4.5)
par(
family      = "sans",
mfcol       = c(1,1),
pty         = "s",
bty         = "l",
lwd         = 1,
las         = 1,
mgp         = c(2,1,0),
xaxs        = "i",
yaxs        = "i",
font.main   = 1,
cex         = 1,
cex.main    = 1)

# Gruppe 1
plot(
Y[1,],
Y[2,],
col  = "Gray70",
bg   = "Gray70",
pch  = 21,
xlab = TeX("dBDI"),
ylab = TeX("dGLU"),
xlim = c(10,40),
ylim = c(0,7))
points(
Y_bar[1],
Y_bar[2],
col  = "White",
bg   = "gray70",
pch  = 24)
lines(
ellipse(C, level = 0.40, centre = Y_bar),
type = "l",
col = "Gray70")

# Normwert
points(
mu_0[1],
mu_0[2],
col  = "White",
bg   = "Gray30",
pch  = 24)

# Legende
legend(
"topleft",
c("Datenpunkte", "Stichprobenmittel", "Stichprobenkovarianz", "Normwert"),
lty = c(NA,NA,1,NA),
pch = c(19,17,NA,17),
col = c("gray70","gray70","gray70","gray30"),
bty = "n",
cex = .8)
dev.off()
```

```{r, echo = FALSE, out.width="60%"}
knitr::include_graphics("5_Abbildungen/mv_5_deskription.pdf")
```

\vfill


#
\vfill
\setstretch{2.7}
\large
Anwendungsszenario  

**Modellformulierung und Modellschätzung**

Modellevaluation

Anwendungsbeispiel

Selbstkontrollfragen
\vfill

# Modellformulierung und Modellschätzung
\small
\begin{definition}[Einstichproben-T$^2$-Test-Modell]
\justifying
Für $i = 1,...,n$ seien $\ups_i$ $m$-dimensionale Zufallsvektoren, die die
$n$ Datenpunkte eines Einstichproben-T$^2$-Test Szenarios modellieren. Dann
hat das \textit{Einstichproben-T$^2$-Test-Modell} die strukturelle Form
\begin{equation}
\ups_i = \mu + \varepsilon_i 
\mbox{ mit } \varepsilon_i \sim N(0_m, \Sigma) \mbox{ u.i.v. für } i = 1,...,n 
\mbox{ mit } \mu \in \mathbb{R}^m,  \Sigma \in \mathbb{R}^{m \times m} \mbox{ pd} 
\end{equation}
und die Datenverteilungsform
\begin{equation}
\upsilon_i \sim N(\mu, \Sigma) \mbox{ u.i.v. für } i = 1,...,n 
\mbox{ mit } \mu \in \mathbb{R}^m, \Sigma \in \mathbb{R}^{m \times m} \mbox{ pd}.
\end{equation}
\end{definition}

\footnotesize
Bemerkungen

* Die Äquivalenz von struktureller Form und Datenverteilungsform des 
Einstichproben-T$^2$-Test-Modells folgt direkt aus dem Theorem zu linear-affiner
Transformation multivariat normalverteilter Zufallsvektoren. 


# Modellformulierung und Modellschätzung

MODELLSCHÄTZUNG THEOREM OHNE BEWEIS

#
\vfill
\setstretch{2.7}
\large
Anwendungsszenario  

Modellformulierung und Modellschätzung

**Modellevaluation**

Anwendungsbeispiel

Selbstkontrollfragen
\vfill

# Modellevaluation
\setstretch{2}
Zu Gliederung und Wiederholung des univariaten Falls, siehe [\textcolor{darkblue}{(12) Hypothesentests}](https://youtu.be/032XhT7qsxI?si=DEWGgr_ZuvVaEEB_)

(1) Teststatistik und Test
(2) Analyse der Testgütefunktion
(3) Testumfangkontrolle
(4) p-Werte
(5) Analyse der Powerfunktion
(6) Bestimmung einer optimalen Stichprobengröße

# Modellevaluation | (1) Teststatistik und Test
\small
\begin{definition}[Einstichproben-T$^2$-Teststatistik]
\justifying
Gegeben seien das Einstichproben-T$^2$-Test-Modell und ein Nullhypothesenparameter 
$\mu_0 \in \mathbb{R}^m$. Dann ist die Einstichproben-T$^2$-Teststatistik 
definiert als
\begin{equation}
T^2 := n(\bar{\ups} - \mu_0)^T C^{-1}(\bar{\ups} - \mu_0),
\end{equation}
wobei $\bar{\ups}$ und $C$ das Stichprobenmittel und die Stichprobenkovarianzmatrix
der $\ups_1,...,\ups_n$ bezeichnen.
\end{definition}

\footnotesize
Bemerkungen

* $T^2$ ist die Stichprobenumfang-skalierte Mahalanobis Distanz von $\bar{\ups}$ und $\mu_0$ hinsichtlich $C$.
* $T^2 \uparrow$ für  $||\bar{\ups}- \mu_0|| \uparrow$, $C \downarrow$ und $n\uparrow$.

# Modellevaluation | (1) Teststatistik und Test
\vspace{2mm}
\footnotesize
\begin{theorem}[Verteilung der skalierten Einstichproben-T$^2$-Teststatistik]
\justifying
\normalfont
Es seien $\ups_1,...,\ups_n \sim N(\mu,\Sigma)$ mit $\mu \in \mathbb{R}^m$ und $\Sigma \in \mathbb{R}^{m\times m} \mbox{pd}$,
\begin{equation}
\nu:= \frac{n-m}{(n-1)m}
\end{equation}
und für $\mu \in \mathbb{R}^m$ sei die Einstichproben-T$^2$-Teststatistik wie oben definiert. Dann gilt
\begin{equation}\label{eq:nuT2}
\nu T^2 \sim f(\delta, m, n-m)
\end{equation}
wobei $f(\delta,m,n-m)$ die nichtzentrale $f$-Verteilung mit Nichtzentralitätsparameter
\begin{equation}
\delta := n(\mu - \mu_0)^T\Sigma^{-1}(\mu - \mu_0)
\end{equation}
sowie mit Freiheitsgradparametern $m$ und $n-m$ bezeichnet.
\end{theorem}
Bemerkungen

* Für einen Beweis von \eqref{eq:nuT2} verweisen wir auf @hotelling1931 und @anderson2003. 
* Für $\mu = \mu_0$ und damit $\delta = 0$ entspricht $f(m,n-m,\delta)$ der $f$-Verteilung $f(m,n-m)$
* Für $m := 1$ ist $\nu = (n-1)/(n-1)\cdot 1 = 1$ und mit der Stichprobenvarianz $S^2$ gilt
\begin{equation}
T^2 = n\frac{(\bar{\ups}- \mu_0)^2}{S^2} = \left(\sqrt{n}\frac{\bar{\ups}- \mu_0}{S} \right)^2
\end{equation}
* Das Quadrat der univariaten Einstichproben-T-Teststatistik $T := \sqrt{n}\frac{\bar{\ups}-\mu_0}{S}$ ist also $f(\delta,1,n-1)$ verteilt.
* Wir erinnern nachfolgend an die Begriffe der $f$-Verteilung und der nichtzentralen $f$-Verteilung.

# Modellevaluation | (1) Teststatistik und Test

\footnotesize
\begin{definition}[$f$-Zufallsvariable]
\justifying
$\xi$ sei eine Zufallsvariable mit Ergebnisraum $\mathbb{R}_{>0}$ und Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
\begin{equation}
p_\xi : \mathbb{R} \to \mathbb{R}_{>0}, x \mapsto p_\xi(x)
:= \nu_1^{\frac{\nu_1}{2}}\nu_2^{\frac{\nu_2}{2}}
   \frac{\Gamma\left(\frac{\nu_1+\nu_2}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{\nu_1}{2}\right)\Gamma\left(\frac{\nu_2}{2}\right)}
   \frac{x^{\frac{\nu_1}{2}-1}}{\left(\nu_1 x  + \nu_2 \right)^{\frac{\nu_1+\nu_2}{2}}},
\end{equation}
wobei $\Gamma$ die Gammafunktion bezeichne. Dann sagen wir, dass $\xi$ einer
$f$-Verteilung mit Freiheitsgradparametern $\nu_1$ und $\nu_2$ unterliegt und nennen $\xi$ eine
$f$-Zufallsvariable mit Freiheitsgradparametern $\nu_1$ und $\nu_2$. Wir kürzen dies
mit $\xi \sim f(\nu_1,\nu_2)$ ab. Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF) einer
$f$-Zufallsvariable bezeichnen wir mit $f(x;\nu_1,\nu_2)$, die kumulative Verteilungsfunktion (KVF)
einer $f$-Zufallsvariable bezeichnen wir mit $F(x;\nu_1,\nu_2)$, und die inverse
kumulative Verteilungsfunktion einer $f$-Zufallsvariable bezeichnen wir mit $F^{-1}(x;\nu_1,\nu_2)$.
\end{definition}
Bemerkungen

* Im univariaten Fall ist die $F$-Statistik der Varianzanalyse bei Zutreffen der Nullhypothese $f$-verteilt
* Im multivariaten Fall ist z.B. die T$^2$-Statistik bei Zutreffen der Nullhypothese $f$-verteilt.

# Modellevaluation | (1) Teststatistik und Test
\vfill
```{r, echo = F, eval = F}
library(latex2exp)
pdf(
file        = "./5_Abbildungen/mv_5_f_zentral_wdf.pdf",
width       = 6,
height      = 4)
par(
family      = "sans",
pty         = "m",
bty         = "l",
lwd         = 1,
las         = 1,
mgp         = c(2,1,0),
xaxs        = "i",
yaxs        = "i",
font.main   = 1,
cex.main    = 1.2)

# x space
x_min       = 0
x_max       = 6
x_res       = 1e3
x           = seq(x_min, x_max, len = x_res)

# parameters of interest
nu_1        = c( 2,  2,  3,  3,  4,  4)
nu_2        = c(13, 26, 13, 26, 13, 26)

# plotting
matplot(x,
matrix(
c(
df(x,nu_1[1],nu_2[1]),
df(x,nu_1[2],nu_2[2]),
df(x,nu_1[3],nu_2[3]),
df(x,nu_1[4],nu_2[4]),
df(x,nu_1[5],nu_2[5]),
df(x,nu_1[6],nu_2[6])),
ncol = 6),
type         = "l",
lty          = c(1,2,1,2,1,2),
lwd          = c(2,1,2,1,2,1),
col          = c("gray20", "gray20", "gray50", "gray50", "gray80", "gray80"),
ylim         = c(0,1),
xlim         = c(x_min,x_max),
ylab         = " ",
xlab         = "x",
main         = TeX("$f(x;\\nu_1,\\nu_2)$"))
legend(
4.00,
1.00,
c(
TeX("$\\nu_1 = 2,  \\nu_2 = 13 "),
TeX("$\\nu_1 = 2,  \\nu_2 = 26"),
TeX("$\\nu_1 = 3,  \\nu_2 = 13 "),
TeX("$\\nu_1 = 3,  \\nu_2 = 26"),
TeX("$\\nu_1 = 4,  \\nu_2 = 13 "),
TeX("$\\nu_1 = 4,  \\nu_2 = 26")),
lty         = c(1,2,1,2,1,2),
lwd         = c(2,1,2,1,2,1),
col         = c("gray20", "gray20", "gray50", "gray50", "gray80",  "gray80"),
bty         = "n",
cex         = .8,
y.intersp   = 1.4)
dev.off()
```
\center
Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen von $f$-Verteilungen
\vspace{1mm}
```{r, echo = FALSE, out.width="80%", fig.align = "center"}
knitr::include_graphics("./5_Abbildungen/mv_5_f_zentral_wdf.pdf")
```

# Modellevaluation | (1) Teststatistik und Test
\footnotesize
\begin{definition}[Nichtzentrale $f$-Zufallsvariable]
\justifying
$\xi$ sei eine Zufallsvariable mit Ergebnisraum $\mathbb{R}_{>0}$ und Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
\begin{equation}
p_\xi : \mathbb{R} \to \mathbb{R}_{>0}, x \mapsto  
p_\xi(x)
:= \sum_{k=0}^\infty \frac{e^{-\delta/2}(\delta/2)^k}{\frac{\Gamma(\nu_2/2)\Gamma(\nu_1/2 + k)}{\Gamma(\nu_2/2 + \nu_1/2 + k)}k!}
    \left(\frac{\nu_1}{\nu_2}\right)^{\nu_1/2 + k}
    \left(\frac{\nu_2}{\nu_2+\nu_1x}\right)^{(\nu_1+\nu_2)/2 + k}
    x^{\nu_1/2 - 1 + k}
\end{equation}
wobei $\Gamma$ die Gammafunktion bezeichne. Dann sagen wir, dass $\xi$ einer
nichtzentralen $f$-Verteilung mit Nichtzentralitätsparameter $\delta$ und
Freiheitsgradparametern $\nu_1$ und $\nu_2$ unterliegt und nennen $\xi$ eine nichtzentrale
$f$-Zufallsvariable mit Nichtzentralitätsparameter $\delta$ und Freiheitsgradparametern
$\nu_1$ und $\nu_2$. Wir kürzen dies mit $\xi \sim f(\delta,\nu_1,\nu_2)$ ab.
Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF) einer $f$-Zufallsvariable
bezeichnen wir mit $f(x;\delta,\nu_1,\nu_2)$, die kumulative Verteilungsfunktion (KVF)
einer nichtzentralen $f$-Zufallsvariable bezeichnen
wir mit $F(x;\delta,\nu_1,\nu_2)$, und die inverse kumulative Verteilungsfunktion
einer nichtzentralen $f$-Zufallsvariable
bezeichnen wir mit $F^{-1}(x;\delta,\nu_1,\nu_2)$.
\end{definition}
Bemerkungen

* Es gilt $f(0,\nu_1,\nu_2) = f(\nu_1,\nu_2)$.
* Im univariaten Fall ist die $F$-Statistik bei Nichtzutreffen der Nullhypothese nichtzentral $f$-verteilt
* Im multivariaten Fall ist z.B. die T$^2$-Statistik bei Nichtzutreffen der Nullhypothese nichtzentral $f$-verteilt.

# Modellevaluation | (1) Teststatistik und Test
\vfill
```{r, echo = F, eval = F}
library(latex2exp)
pdf(
file        = "./5_Abbildungen/mv_5_f_nichtzentral_wdf.pdf",
width       = 6,
height      = 4)
par(
family      = "sans",
pty         = "m",
bty         = "l",
lwd         = 1,
las         = 1,
mgp         = c(2,1,0),
xaxs        = "i",
yaxs        = "i",
font.main   = 1,
cex.main    = 1.2)

# x space
x_min       = 0
x_max       = 6
x_res       = 1e3
x           = seq(x_min, x_max, len = x_res)

# parameters of interest
delta       = c(  0,  0,  4,  4,  8,  8)
nu_1        = c(  2,  2,  2,  2,  2,  2)
nu_2        = c(13, 26, 13, 26, 13, 26)

# plotting
matplot(x,
matrix(
c(
df(x,nu_1[1],nu_2[1],delta[1]),
df(x,nu_1[2],nu_2[2],delta[2]),
df(x,nu_1[3],nu_2[3],delta[3]),
df(x,nu_1[4],nu_2[4],delta[4]),
df(x,nu_1[5],nu_2[5],delta[5]),
df(x,nu_1[6],nu_2[6],delta[6])),
ncol = 6),
type         = "l",
lty          = c(1,2,1,2,1,2),
lwd          = c(2,1,2,1,2,1),
col          = c("gray20", "gray20", "gray50", "gray50", "gray80",  "gray80"),
ylim         = c(0,1),
xlim         = c(x_min,x_max),
ylab         = " ",
xlab         = "x",
main         = TeX("$f(x; \\delta, \\nu_1, \\nu_2)$"))
legend(
4.00,
1.00,
c(
TeX("$\\delta = 0, \\nu_1 = 2,  \\nu_2 = 13"),
TeX("$\\delta = 0, \\nu_1 = 2,  \\nu_2 = 26"),
TeX("$\\delta = 4, \\nu_1 = 2,  \\nu_2 = 13"),
TeX("$\\delta = 4, \\nu_1 = 2,  \\nu_2 = 26"),
TeX("$\\delta = 8, \\nu_1 = 2,  \\nu_2 = 13 "),
TeX("$\\delta = 8, \\nu_1 = 2,  \\nu_2 = 26")),
lty         = c(1,2,1,2,1,2),
lwd         = c(2,1,2,1,2,1),
col         = c("gray20", "gray20", "gray50", "gray50", "gray80",  "gray80"),
bty         = "n",
cex         = .8,
y.intersp   = 1.4)
dev.off()
```
\center
Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen von nichtzentralen $f$-Verteilungen
\vspace{1mm}
```{r, echo = FALSE, out.width="80%"}
knitr::include_graphics("./5_Abbildungen/mv_5_f_nichtzentral_wdf.pdf")
```

# Modellevaluation | (1) Teststatistik und Test
\footnotesize
\begin{theorem}[WDF und KDF der Einstichproben-T$^2$-Teststatistik]
\normalfont
\justifying
Im  Einstichproben-T$^2$-Testszenario sei
\begin{equation}
\nu:= \frac{n-m}{(n-1)m}
\end{equation}
Dann ist eine WDF der Einstichproben-T$^2$-Teststatistik gegeben durch
\begin{equation}\label{eq:pT1}
p_{T^2} : \mathbb{R}_{\ge 0} \to \mathbb{R},
t^2 \mapsto p_{T^2}(t^2) := \nu f(\nu t^2;\delta, m,n-m)
\end{equation}
und eine KDF der Einstichproben-T$^2$-Teststatistik ist gegeben durch
\begin{equation}\label{eq:PT2}
P_{T^2} : \mathbb{R}_{\ge 0} \to [0,1],
t^2 \mapsto P_{T^2}(t^2) := F(\nu t^2;\delta, m,n-m)
\end{equation}
\end{theorem}

Bemerkungen

* $\nu T^2$ hat die WDF $f(\delta,m,n-m)$, $T^2$ dagegen hat die WDF $\nu f(\nu t^2;\delta, m,n-m)$.


# Modellevaluation | (1) Teststatistik und Test
\footnotesize
\underline{Beweis}

Wir halten zunächst fest, dass das Theorem zur univariate WDF Transformation bei
linear-affinen Abbildungen besagt, dass für eine Zufallsvariable $\xi$ mit WDF $p_\xi$ und der Definition
$\upsilon = f(\xi)$ mit  $f(\xi) := a\xi + b$  für  $a\neq 0$ eine WDF von $\upsilon$ definiert ist durch
$p_\upsilon(y) := (1/|a|)p_\xi((y-b)/a)$. Im vorliegenden Fall ist $\xi = \nu T^2$ mit WDF
$f(\delta,m,n-m)$ und $\upsilon := T^2 = \frac{1}{\nu}\nu T^2$, also $a = 1/\nu$ und $b = 0$.
Mit $\nu > 0$ ergibt sich \eqref{eq:pT1} also aus
\begin{equation}
p_{T^2}(t^2) = \frac{1}{a}p_{\nu T^2}\left(\frac{t^2}{a}\right) = \nu f(\nu t^2; m, n-m)
\end{equation}
\eqref{eq:PT2} folgt dann mit der Tatsache, dass WDFen bei kontinuierlichen
Zufallsvariablen die Ableitungen der entsprechenden KVF sind, sowie der Kettenregel
der Differentiation
\begin{align}
\begin{split}
\frac{d}{dt^2}P_{T^2}\left(t^2\right)
& = \frac{d}{dt^2}\left(F(\nu t^2;m,n-m,\delta)\right) \\
& = \frac{d}{dt^2}F(\nu t^2;m,n-m,\delta)\frac{d}{dt^2}\left(\nu t^2 \right) \\
& = \nu f(\nu t^2;m,n-m,\delta) \\
& = p_{T^2}(t^2).
\end{split}
\end{align}
$\hfill\Box$

# Modellevaluation | (1) Teststatistik und Test

```{r, echo = F}
# Modellparameter
m     = 2                                                     # Dimensionalität der Zufallsvektoren/Daten
n     = 15                                                    # Anzahl der Datenpunkte
mu_0  = matrix(c(1,1) , nrow = 2)                             # H0 Hypothesenparameter
mu    = matrix(c(2,2) , nrow = 2)                             # wahrer, aber unbekannter, Erwartungswertparameter
Sigma = matrix(c(0.5,0.3, 0.3,0.5), nrow = 2, byrow = TRUE)   # wahrer, aber unbekannter, Kovarianzmatrixparameter

# Simulation
library(MASS)                                                 # R Paket für multivariate Normalverteilungen
                                              # R Paket für Matrizenrechnung
nsim  = 1e4                                                   # Anzahl Simulationen/Datensatzrealisierungen
Yb    = matrix(rep(NaN,m*nsim), nrow = 2)                     # Stichprobenmittelarray
T2    = rep(NaN,nsim)                                         # T2 Statistik Array
j_n   = matrix(rep(1,n), nrow = n)                            # 1_n
I_n   = diag(n)                                               # I_n
J_n   = matrix(rep(1,n^2), nrow = n)                          # 1_{nn}
for(s in 1:nsim){                                             # Simulationsiterationen
    Y      = t(mvrnorm(n,mu,Sigma))                           # Y_i \sim N(\mu,\Sigma), i = 1,...,n
    Y_bar  = (1/n)*(Y %*% j_n)                                # Stichprobenmittel
    C      = (1/(n-1))*(Y %*% (I_n-(1/n)*J_n) %*% t(Y))       # Stichprobenkovarianzmatrix
    T2[s]  = n*t(Y_bar - mu_0) %*% solve(C) %*% (Y_bar - mu_0)  # T2 Statistik
    Yb[,s] = Y_bar                                            # Stichprobenmittel für Visualisierung
}
```

```{r, echo = F, eval = F}
# figure parameters
library(latex2exp)
pdf(
file        = "./5_Abbildungen/mv_5_t2_teststatistik.pdf",
width       = 6,
height      = 6)
par(
family      = "sans",
mfcol       = c(2,2),
pty         = "s",
bty         = "l",
lwd         = 1,
las         = 1,
mgp         = c(2,1,0),
xaxs        = "i",
yaxs        = "i",
font.main   = 1,
cex.main    = 1)

# Stichprobenmittel per Simulation
plot(
Yb[1,],
Yb[2,],
xlim     = c(1,3),
ylim     = c(1,3),
xlab     = TeX("$\\bar{\\upsilon}_1$"),
ylab     = TeX("$\\bar{\\upsilon}_2$"),
pch      = 21,
col      = "white",
bg       = "gray60",
main     = TeX("$\\bar{\\upsilon}$ Simulationen"))

# Unnormalisierte T2-Teststatistik WDF
t2_min      = 0
t2_max      = 200
t2_res      = 1e3
t2          = seq(t2_min,t2_max,len = t2_res)
nu          = (n-m)/(m*(n-1))
delta       = n*t(mu - mu_0) %*% solve(Sigma) %*% (mu - mu_0)
p_T2        = nu*df(nu*t2,m,n-m,delta)
hist(
T2,
breaks      = 100,
col         = "gray90",
prob        = TRUE,
xlim        = c(t2_min, t2_max),
ylim        = c(0,0.03),
xlab        = TeX("$t^2$"),
ylab        = "",
main        = TeX("$p(t^2) := \\nu f(\\nu t^2;\\delta, m, n-m)$"))
fdir        =  file.path(getwd(), "8_Abbildungen")
lines(
t2,
p_T2,
lwd         = 2,
col         = "darkorange")

# Normalisierte T2-Teststatistik Sample
t2_min      = 0
t2_max      = 50
t2_res      = 1e3
t2          = seq(t2_min,t2_max,len = t2_res)
delta       = n*t(mu-mu_0) %*% solve(Sigma) %*%(mu-mu_0)
p_nm_T2     = df(t2,m,n-m,delta)
hist(
((n-m)/m)/(n-1)*T2,
breaks      = 100,
col         = "gray90",
prob        = TRUE,
xlim        = c(t2_min, t2_max),
ylim        = c(0,0.06),
xlab        = TeX("$\\nu t^{2}$"),
ylab        = "",
main        = TeX("$\\nu T^2 \\sim f(\\delta, m,n-m)$") )
lines(
t2,
p_nm_T2,
lwd         = 2,
col         = "darkorange")

# Unnormalisierte T2-Teststatistik CDF
t2_min      = 0
t2_max      = 200
t2_res      = 1e3
t2          = seq(t2_min,t2_max,len = t2_res)
nu          = (n-m)/(m*(n-1))
P_T2        = pf(nu*t2,m,n-m,delta)
ECDF_T2     = ecdf(T2)
plot(
ECDF_T2,
verticals   = TRUE,
lwd         = 6,
xlim        = c(t2_min, t2_max),
col         = "gray90",
xlab        = TeX("$t^2$"),
ylab        = "",
main        = TeX("$P(t^2) := F(\\nu t^2; \\delta, m, n-m)$"))
lines(
t2,
P_T2,
lwd         = 2,
col         = "darkorange")
dev.off()
```

```{r, echo = FALSE, out.width = "70%", fig.align = "center"}
knitr::include_graphics("./5_Abbildungen/mv_5_t2_teststatistik.pdf")
```

# Modellevaluation | (1) Teststatistik und Test
\small
\begin{definition}[Einstichproben-T$^2$-Test]
\justifying
Gegeben seien das Einstichproben-T$^2$-Test-Modell und die Einstichproben-T$^2$-Teststatistik. 
Dann ist für $\Upsilon = \begin{pmatrix} \ups_1 & \cdots & \ups_n \end{pmatrix}$ 
und einen kritischen Wert $k\ge 0$ der Einstichproben-T$^2$-Test definiert als der 
kritische Wert-basierte Test
\begin{equation}
\phi(\Upsilon) := 1_{\{T^2 > k\}} := \begin{cases} 1 & T^2  > k \\ 0 & T^2 \le k \end{cases}.
\end{equation}
\end{definition}

Bemerkung 

* Wie üblich repräsentiert $\phi(\Upsilon) = 1$ das Ablehnen von $H_0$.
* Wie üblich repräsentiert $\phi(\Upsilon) = 0$ das Nichtablehnen von $H_0$. 

# Modellevaluation | (2) Analyse der Testgütefunktion

\small
\begin{definition}[Testgütefunktion]
\justifying
Für einen Test $\phi$ ist die \textit{Testgütefunktion} definiert als
\begin{equation}
q_{\phi} : \Theta \to [0,1], \theta \mapsto q_{\phi}(\theta) := \mathbb{P}_\theta(\phi = 1).
\end{equation}
Für $\theta \in \Theta_1$ heißt $q_\phi$ auch \textit{Powerfunktion} oder \textit{Trennschärfefunktion}.
\end{definition}

\footnotesize
Bemerkung

* Der Wert der Testgütefunktion ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Test die Nullhypothese ablehnt.

# Modellevaluation | (2) Analyse der Testgütefunktion
\footnotesize
\begin{theorem}[Testgütefunktion]
\justifying
\normalfont
$\phi$ sei der im obigen Testszenario definiert Test. Dann ist die Testgütefunktion
von $\phi$ gegeben durch
\begin{equation}
q_\phi : \mathbb{R}^m \to [0,1], \mu \mapsto q_\phi(\mu) := 1 - F(\nu k;\delta_\mu,m,n-m)
\end{equation}
wobei $F(\cdot;\delta_\mu, m,n-m)$ die KVF der nichtzentralen $f$-Verteilung mit
Freiheitsgradparametern$m$ und $n-m$ sowie mit Nichtzentralitätsparameter
\begin{equation}
\delta_\mu := n(\mu - \mu_0)^T\Sigma^{-1}(\mu - \mu_0)
\end{equation}
bezeichnet.
\end{theorem}

Bemerkungen

* $q_\phi$ kann zur Bestimmung kritischer Werte für einen erwünschten Testumfang genutzt werden.
* $q_\phi$ kann zur Bestimmung der Testpower genutzt werden.

# Modellevaluation | (2) Analyse der Testgütefunktion
\footnotesize
\underline{Beweis}

Die Testgütefunktion des betrachteten Tests im vorliegenden Testszenario ist definiert als
\begin{equation}
q_\phi : \mathbb{R}^m \to [0,1], \mu \mapsto q_\phi(\mu) := \mathbb{P}_{\mu}(\phi = 1)
\end{equation}
Da die Wahrscheinlichkeiten für $\phi = 1$ und dafür, dass die zugehörige Teststatistik
im Ablehnungsbereich des Tests liegt, gleich sind, benötigen wir also zunächst die Verteilung
der Teststatistik. Wir haben oben aber bereits gesehen, dass
\begin{equation}
\frac{n-m}{m(n-1)}T^2 \sim f(\delta_\mu,m,n-m) \mbox{ mit } \delta_\mu := n(\mu -\mu_0)^T\Sigma^{-1}(\mu-\mu_0)
\end{equation}
gilt. Der Ablehnungsbereich des betrachteten Tests ist $A := ]k,\infty[$. Also ergibt sich
\begin{align}
\begin{split}
q_\phi(\mu)
&  = \mathbb{P}_\mu(\phi = 1) \\
&  = \mathbb{P}_\mu\left(T^2 \in \,\,]k,\infty[\right) \\
&  = \mathbb{P}_\mu\left(T^2 > k \right) \\
&  = 1 - \mathbb{P}_\mu\left(T^2 \le k \right) \\
&  = 1 - F(\nu k; \delta_\mu,m, m-n).
\end{split}
\end{align}

# Modellevaluation | (2) Analyse der Testgütefunktion
\vfill
\small
Beispiele
\begin{equation*}
m := 2,
n := 15,
\Sigma := \begin{pmatrix} 1.0 & 0.0  \\ 0.0 & 1.0 \end{pmatrix},
\mu_0  := \begin{pmatrix} 1.0 \\ 1.0 \end{pmatrix}
\end{equation*}
\vspace{2mm}

```{r, eval = F}
# Modellparameter
                                                      # R Paket
m           = 2                                                       # m
n           = 15                                                      # n
nu          = (n-m)/((n-1)*m)                                         # \nu
Sigma       = diag(m)                                                 # \Sigma = I_2
iSigma      = solve(Sigma)                                              # \Sigma^{-1}

# Testparameter
mu_0        = matrix(c(1,1), nrow = 2)                                # \mu_0
k_all       = c(2,4,6)                                                # k <-> \phi
n_k         = length(k_all)                                           # Anzahl k Werte/Tests

# q_\phi(\mu) Evaluation
mu_min      = 0                                                       # \mu_i Minimum
mu_max      = 2                                                       # \mu_i Maximum
mu_res      = 1e3                                                     # \mu_i Auflösung
mu_i        = seq(mu_min,mu_max,len = mu_res)                         # mu_i
q_phi       = array(dim = c(mu_res, mu_res, length(k_all)))           # q_\phi Array
for(k in 1:n_k){
    for(i in 1:mu_res){
        for(j in 1:mu_res){
            mu           = matrix(c(mu_i[i],mu_i[j]), nrow = 2)       # \mu
            delta_mu     = n*t(mu - mu_0) %*% iSigma %*% (mu -mu_0)   # \delta_\mu
            q_phi[i,j,k] = 1 - pf(nu*k_all[k], m, n-m, delta_mu)}}}   # q_\phi(\mu)
```

```{r, echo = F, eval = F}
library(latex2exp)
pdf(
file        = "./5_Abbildungen/mv_5_t2_gütefunktion_1.pdf",
width       = 12,
height      = 4)
par(
family      = "sans",
mfcol       = c(1,3),
mgp         = c(2,1,0),
pty         = "s",
bty         = "l",
lwd         = 1,
las         = 1,
xaxs        = "i",
yaxs        = "i",
font.main   = 1,
cex         = 1.2,
cex.main    = 1)
cols        = hcl.colors(11, "YlOrRd", rev = T)
labs        = list(TeX("$q_{\\phi}(\\mu), k = 2$"),
                   TeX("$q_{\\phi}(\\mu), k = 4$"),
                   TeX("$q_{\\phi}(\\mu), k = 6$"))
for(k in 1:n_k){
    contour(
    mu_i,
    mu_i,
    q_phi[,,k],
    levels = seq(0,1,len = 11),
    col    = cols,
    xlab   = TeX("$\\mu_1$"),
    ylab   = TeX("$\\mu_2$"),
    main   = labs[k])
}
dev.off()
```

```{r, echo = FALSE, out.width = "100%"}
knitr::include_graphics("./5_Abbildungen/mv_5_t2_gütefunktion_1.pdf")
```
\vfill

# Modellevaluation | (2) Analyse der Testgütefunktion
\vfill
\small
Beispiele

\begin{equation*}
m := 2,
n := 15,
\Sigma := \begin{pmatrix} 1.0 & 0.9  \\ 0.9 & 1.0 \end{pmatrix},
\mu_0  := \begin{pmatrix} 1.0 \\ 1.0 \end{pmatrix}
\end{equation*}
\vspace{1mm}

```{r, echo = F, eval = F}
# Modellparameter
                                                      # R Paket
m           = 2                                                       # m
n           = 15                                                      # n
nu          = (n-m)/((n-1)*m)                                         # \nu
Sigma       = matrix(c(1,.9,.9,1), nrow = 2)                          # \Sigma
iSigma      = solve(Sigma)                                              # \Sigma^{-1}

# Testparameter
mu_0        = matrix(c(1,1), nrow = 2)                                # \mu_0
k_all       = c(2,4,6)                                                # k <-> \phi
n_k         = length(k_all)                                           # Anzahl k Werte/Tests

# q_\phi(\mu) Evaluation
mu_min      = 0                                                       # \mu_i Minimum
mu_max      = 2                                                       # \mu_i Maximum
mu_res      = 1e3                                                     # \mu_i Auflösung
mu_i        = seq(mu_min,mu_max,len = mu_res)                         # mu_i
q_phi       = array(dim = c(mu_res, mu_res, length(k_all)))           # q_\phi Array
for(k in 1:n_k){
    for(i in 1:mu_res){
        for(j in 1:mu_res){
            mu           = matrix(c(mu_i[i],mu_i[j]), nrow = 2)       # \mu
            delta_mu     = n*t(mu - mu_0) %*% iSigma %*% (mu -mu_0)   # \delta_\mu
            q_phi[i,j,k] = 1 - pf(nu*k_all[k], m, n-m, delta_mu)}}}   # q_\phi(\mu)

# Visualisierung
library(latex2exp)
pdf(
file        = "./5_Abbildungen/mv_5_t2_gütefunktion_2.pdf",
width       = 12,
height      = 4)
par(
family      = "sans",
mfcol       = c(1,3),
mgp         = c(2,1,0),
pty         = "s",
bty         = "l",
lwd         = 1,
las         = 1,
xaxs        = "i",
yaxs        = "i",
font.main   = 1,
cex         = 1.2,
cex.main    = 1)
cols        = hcl.colors(11, "YlOrRd", rev = T)
labs        = list(TeX("$q_{\\phi}(\\mu), k = 2$"),
                   TeX("$q_{\\phi}(\\mu), k = 4$"),
                   TeX("$q_{\\phi}(\\mu), k = 6$"))
for(k in 1:n_k){
    contour(
    mu_i,
    mu_i,
    q_phi[,,k],
    levels = seq(0,1,len = 11),
    col    = cols,
    xlab   = TeX("$\\mu_1$"),
    ylab   = TeX("$\\mu_2$"),
    main   = labs[k])
}
dev.off()
```

```{r, echo = FALSE, out.width = "100%"}
knitr::include_graphics("./5_Abbildungen/mv_5_t2_gütefunktion_2.pdf")
```
\vfill


# Modellevaluation | (3) Testumfangkontrolle
\footnotesize
\begin{definition}[Level-$\alpha_0$-Test, Signifikanzlevel $\alpha_0$,
Testumfang $\alpha$]
$q_\phi$ sei die Testgütefunktion eines Tests $\phi$ und es sei
$\alpha_0 \in [0,1]$. Dann heißt ein Test $\phi$, für den gilt, dass
\begin{equation}
q_\phi(\theta) \le \alpha_0 \mbox{ für alle } \theta \in \Theta_0
\end{equation}
ein \textit{Level-$\alpha_0$-Test} und man sagt, dass der Test das
\textit{Signifikanzlevel $\alpha_0$} hat. Die Zahl
\begin{equation}
\alpha := \max_{\theta \in \Theta_0} q_\phi(\theta) \in [0,1]
\end{equation}
heißt der \textit{Testumfang} von $\phi$.
\end{definition}

Bemerkungen

* $\alpha$ ist die größtmögliche Wahrscheinlichkeit für einen Typ I Fehler.
* Ein Test ist dann, und nur dann, ein Level-$\alpha_0$-Test, wenn $\alpha \le \alpha_0$ gilt.
* Bei einer einfachen Nullhypothese gilt für den Testumfang, dass $\alpha = q_{\phi}(\theta_0) = \mathbb{P}_{\theta_0}(\phi = 1)$.


# Modellevaluation | (3) Testumfangkontrolle

\vfill
\small
\begin{theorem}[Testumfangkontrolle]
\justifying
\normalfont
$\phi$ sei der im obigen Testszenario definierte Test. Dann ist $\phi$ ein
Level-$\alpha_0$-Test mit Testumfang $\alpha_0$, wenn der kritische Wert definiert
ist durch
\begin{equation}
k_{\alpha_0} := \nu^{-1}F^{-1}\left(1-\alpha_0; m, n-m \right)
\end{equation}
wobei $\nu := (n-m)/((n-1)m)$ und $F^{-1}(\cdot;m,n-m)$ die inverse KVF der
$f$-Verteilung mit Freiheitsgradparametern $m$ und $n-m$ ist.
\end{theorem}
\vfill

# Modellevaluation | (3) Testumfangkontrolle

\footnotesize
\underline{Beweis}

Damit der betrachtete Test ein Level-$\alpha_0$-Test ist, muss bekanntlich
$q_\phi(\mu)\le \alpha_0$ für alle $\mu \in \{\mu_0\}$, also hier $q_\phi(\mu_0)\le \alpha_0$
gelten. Weiterhin ist der Testumfang des betrachteten Tests durch
$\alpha = \max_{\mu \in \{\mu_0\}} q_\phi(\mu)$, also hier durch $\alpha = q_\phi(\mu_0)$
gegeben. Wir müssen also zeigen, dass die Wahl von $k_{\alpha_0}$ garantiert,
dass $\phi$ ein Level-$\alpha_0$-Test mit Testumfang $\alpha_0$ ist. Dazu merken
wird zunächst an, dass für $\mu = \mu_0$ gilt, dass
\begin{equation}
q_\phi(\mu_0) = 1 - F(\nu k;\delta_{\mu_0}, m, n-m ) = 1 - F(\nu k;0,m,n-m)  = 1 - F(\nu k;m,n-m)
\end{equation}
wobei$F(\nu k; \delta, m, n-m)$ und $F(\nu k;m,n-m)$ die KVF der nichtzentralen
$f$-Verteilung mit Nichtzentralitätsparameter $\delta$ und Freiheitsgradparametern
$m$ und $n-m$ sowie der $f$-Verteilung mit Freiheitsgradparametern
$m$ und $n-m$, respektive, bezeichnen. Sei nun also $k := k_{\alpha_0}$. Dann gilt
\begin{align}
\begin{split}
q_\phi(\mu_0)
& = 1 - F(\nu k_{\alpha_0};m,n-m) \\
& = 1 - F\left(\nu \nu^{-1}F^{-1}\left(1-\alpha_0; m, n-m \right);m,n-m\right) \\
& = 1 - F\left(F^{-1}\left(1-\alpha_0; m, n-m \right);m,n-m\right) \\
& = 1 - (1 - \alpha_0)  = \alpha_0.
\end{split}
\end{align}
Es folgt also direkt, dass bei der Wahl von $k = k_{\alpha_0}, q_\phi(\mu_0) \le \alpha_0$
ist der betrachtete Test somit ein Level-$\alpha_0$-Test ist. Weiterhin folgt direkt,
dass der Testumfang des betrachteten Tests bei der Wahl von $k = k_{\alpha_0}$ gleich
$\alpha_0$ ist.

# Modellevaluation | (3) Testumfangkontrolle
\vfill
\center
\small
Wahl von $k_{\alpha_0} := \nu^{-1}F^{-1}\left(1-\alpha_0; m, n-m \right)$ mit $m = 2, n = 15$ und $\alpha_0 := 0.05$
\vspace{5mm}

```{r,echo = F, eval = F}
library(latex2exp)
pdf(
file        = "./5_Abbildungen/mv_5_t2_testumfangkontrolle.pdf",
width       = 8,
height      = 4)
par(
family      = "sans",
mfcol       = c(1,2),
pty         = "m",
bty         = "l",
lwd         = 1,
las         = 1,
mgp         = c(2,1,0),
xaxs        = "i",
yaxs        = "i",
font.main   = 1,
cex         = 1,
cex.main    = 1.2)

# Parameter
m           = 2                                                                 # Datendimensionalität
n           = 15                                                                # Anzahl Datenpunkte
nu          = (n-m)/(m*(n-1))                                                   # Parameter
alpha_0     = 0.05                                                              # Signifikanzlevel
k_alpha_0   = (1/nu)*qf(1 - alpha_0, m,n-m)                                     # kritischer Wert
t2          = seq(0,16,length=1e4)                                              # T^2-Statistikwerte
Pt2         = pf(nu*t2,m,n-m)                                                   # T^2-Statistik KVF für H_0
pt2         = nu*df(nu*t2,m,n-m)                                                # T^2-Statistik WDF für H_0

# KVF Perspektive
plot(                                                                          
t2,
Pt2,
type        = "l",
ylab        = " ",
xlab        = TeX("$t^2$"),
ylim        = c(0,1),
main        = TeX("$P(t^2) = F(\\nu t^2; m,n-m)$"))

lines(
k_alpha_0,
0,
type        = "p",
pch         = 16,
xpd         = TRUE)

lines(
min(t2),
1 - alpha_0,
type        = "p",
pch         = 16,
xpd         = TRUE)

arrows(
x0          = min(t2),
y0          = 1 - alpha_0,
x1          = k_alpha_0,
y1          = 1 - alpha_0,
col         = "darkorange",
angle       = 45,
length      = .1)

arrows(
x0          = k_alpha_0,
y0          = 1-alpha_0,
x1          = k_alpha_0,
y1          = 0,
col         = "darkorange",
angle       = 45,
length      = .1)

text(k_alpha_0 ,-0.08, TeX("$\\k_{\\alpha_0}$"), xpd = TRUE)
text(1.5       , 1.00, TeX("$1 - \\alpha_0$"), xpd = TRUE)


# WDF Perspektive
plot(
t2,
pt2,
type        = "l",
ylab        = " ",
xlab        = TeX("$t^2$"),
ylim        = c(0,.4),
main        = TeX("$p(t^2) = \\nu f(\\nu t^2; m,n-m)$"))

polygon(
c(t2[t2  >= k_alpha_0] , max(t2), k_alpha_0),
c(pt2[t2 >= k_alpha_0],       0, 0),
col = "gray90",
border = NA)


lines(
seq(k_alpha_0, max(t2), len = 1e2),
rep(0,1e2),
type        = "l",
lwd         = 5,
col         = "darkorange")

lines(
k_alpha_0,
0,
type        = "p",
pch         = 16,
xpd         = TRUE)

text(k_alpha_0,-0.03, TeX("$\\k_{\\alpha_0}$") , xpd = TRUE)
text(10, .05, TeX("$P(T^2 >= k_{\\alpha_0}) = \\alpha_0$"), xpd = TRUE, cex = .8, col = "gray50")
dev.off()
```

```{r, echo = FALSE, out.width = "90%"}
knitr::include_graphics("./5_Abbildungen/mv_5_t2_testumfangkontrolle.pdf")
```
\vfill

# Modellevaluation | (3) Testumfangkontrolle

\small
Praktisches Vorgehen

* \justifying Man nimmt an, dass ein vorliegender Datensatz $\Upsilon = \begin{pmatrix} \ups_1 & \cdots &\ups_n \end{pmatrix}$ eine Realisation von $\ups_1,...,\ups_n \sim N(\mu,\Sigma)$ 
mit unbekannten Parametern $\mu \in \mathbb{R}^m$ und $\Sigma \in \mathbb{R}^{m \times m} \mbox{ pd }$ ist.

* Man möchte entscheiden ob für ein $\mu_0 \in \mathbb{R}^m$ eher $H_0 : \mu = \mu_0$ oder $H_1: \mu \neq \mu_0$ zutrifft.

* Man wählt ein Signifikanzlevel $\alpha_0$ und bestimmt den
zugehörigen Freiheitsgradparameter-abhängigen kritischen Wert $k_{\alpha_0}$.
Zum Beispiel gilt bei Wahl von $\alpha_0  := 0.05, m = 2$ und $n=15$, also
Freiheitsgradparametern $2$ und $13$, dass $k_{0.05}=\nu^{-1}F^{-1}(1 - 0.05;2,13) \approx 8.2$.

* Anhand von $m,n, \mu_0, \bar{\ups}$ und $C$ berechnet man die Realisierung der
Einstichproben-T$^2$-Teststatistik
\begin{equation}
T^2 := n(\bar{\ups}- \mu_0)^T C^{-1}(\bar{\ups}- \mu_0)
\end{equation}

* Wenn $T^2$ größer als $k_{\alpha_0}$ ist, lehnt man die Nullhypothese ab, andernfalls nicht.

* Die oben entwickelte Theorie  garantiert dann, dass man in höchstens $\alpha_0
\cdot 100$ von $100$ Fällen die Nullhypothese fälschlicherweise ablehnt.


# Modellevaluation | (4) p-Wert

\small
\begin{theorem}[p-Wert]
\normalfont
\justifying
Für den p-Wert den Einstichproben-T$^2$-Test gilt
\begin{equation}
\mbox{ p-Wert } = \mathbb{P}\left(T^2 \ge t^2\right) = 1 - F(\nu t^2;m,n-m).
\end{equation}
\end{theorem}

```{r, echo = F, eval = F}
# Beispiel p-Werte
m  = c(2,2,2,4)
n  = c(15,15,99,15)
t2 = c(7,9,7,7)
p  = rep(NaN, length(n))
for(i in 1:length(n)){
  nu   = (n[i]-m[i])/(m[i]*(n[i]-1))
  p[i] = 1 - pf(nu*t2[i], m[i], n[i]-m[i])
}
print(p)
```

\footnotesize
Bemerkungen

Wir erinnern daran, dass per Definition der p-Wert das kleinste Signifikanzlevel 
$\alpha_0$ ist, bei welchem man die Nullhypothese basierend auf einem vorliegenden 
Wert der Teststatistik ablehnen würde. Zum Beispiel ergeben sich
    
* Bei $m = 2$ und $n=15$ der p-Wert für $t^2 = 7.00$ zu 0.071
* Bei $m = 2$ und $n=15$ der p-Wert für $t^2 = 9.00$ zu 0.040
* Bei $m = 2$ und $n=99$ der p-Wert für $t^2 = 7.00$ zu 0.035
* Bei $m = 4$ und $n=15$ der p-Wert für $t^2 = 7.00$ zu 0.304

# Modellevaluation | (4) p-Wert
\footnotesize
\underline{Beweis}

Bei einem beobachteten Wert $t^2$ der Einstichproben-$T^2$-Teststatistik $T^2$ würde $H_0$ für 
jedes $\alpha_0$ mit $t^2 \ge \nu^{-1}F^{-1}(1-\alpha_0;m,n-m)$ abgelehnt werden. 
Für diese $\alpha_0$ gilt, wie unten gezeigt
\begin{equation}
\alpha_0 \ge \mathbb{P}\left(T^2 \ge t^2\right)
\end{equation}
Das kleinste $\alpha_0 \in [0,1]$ mit $\alpha_0 \ge \mathbb{P}\left(T^2 \ge t^2\right)$
ist dann $\alpha_0 = \mathbb{P}(T^2 \ge t^2)$, also folgt
\begin{equation}
\mbox{ p-Wert } = \mathbb{P}\left(T^2 \ge t^2\right) = 1 - F(\nu t^2;m,n-m).
\end{equation}
Es bleibt zu zeigen, dass gilt
\begin{align}
\begin{split}
t^2 \ & \ge \nu^{-1}F^{-1}(1-\alpha_0;m,n-m) \\
\Leftrightarrow
\nu t^2 & \ge F^{-1}(1-\alpha_0;m,n-m) \\
\Leftrightarrow
\alpha_0 & \ge \mathbb{P}\left(T^2 \ge t^2\right).
\end{split}
\end{align}
Dies aber folgt aus
\begin{align}
\begin{split}
t^2
& \ge \nu^{-1}F^{-1}(1-\alpha_0;m,n-m) \\
\nu t^2
& \ge F^{-1}(1-\alpha_0;m,n-m) \\
F(\nu t^2; m,n-m)
& \ge F\left(F^{-1}(1-\alpha_0;m,n-m); m,n - m\right) \\
F(\nu t^2; m,n-m)
& \ge 1 -\alpha_0\\
\mathbb{P}\left(T^2 \le t^2\right)
& \ge 1-\alpha_0 \\
\alpha_0
& \ge 1-\mathbb{P}\left(T^2 \le t^2\right).
\end{split}
\end{align}


# Modellevaluation | (5) Analyse der Powerfunktion

\vfill
\justifying

\small
Wir betrachten die Testgütefunktion
\begin{equation}
q_\phi : \mathbb{R}^m \to [0,1], \mu \mapsto q_\phi(\mu) := 1 - F(\nu k;\delta_\mu,m,n-m)
\end{equation}
bei kontrolliertem Testumfang, also für
\begin{equation}
k_{\alpha_0} := \nu^{-1}F^{-1}\left(1-\alpha_0; m, n-m \right)
\end{equation}
mit festem $\alpha_0$ als Funktion des Nichtzentralitätsparameters und des Stichprobenumfangs.
Namentlich hängt hier $k_{\alpha_0}$ auch von $n$ ab.

Es ergibt sich die bivariate reellwertige Funktion
\begin{equation}
\pi : \mathbb{R} \times \mathbb{N} \to [0,1],
(\delta_\mu,n) \mapsto
\pi(\delta_\mu,n) :=  1 - F(\nu k_{\alpha_0};\delta_\mu,m,n-m)
\end{equation}
Bei festgelegtem $\alpha_0$ hängt die Powerfunktion des Einstichproben-T$^2$-Tests
also vom unbekannten Wert $\delta_\mu$, von der Datendimensionalität $m$ und
von der Stichprobengröße $n$ ab. Wir evaluieren und visualisieren diese Abhängigkeiten
untenstehend.
\vfill

# Modellevaluation | (5) Analyse der Powerfunktion
\vfill
```{r}
# Szenariospezifikationen
a_0_all   = c(0.05,0.01)                                              # \alpha_0 raum
d_mu_min  = 0                                                         # \delta_\mu Minimum
d_mu_max  = 20                                                        # \delta_\mu Maximum
d_mu_res  = 30                                                        # \delta_\mu Auflösung
d_mu_all  = seq(d_mu_min, d_mu_max, len = d_mu_res)                   # \delta_\mu d Raum
n_min     = 5                                                         # n Minimum
n_max     = 20                                                        # n Maximum
n_res     = 30                                                        # n Auflösung
n_all     = seq(n_min,n_max, len = n_res)                             # n Raum
m_all     = c(2,4)                                                    # m Raum

# Evaluation der Powerfunktion
pi        = array(dim = c(d_mu_res, n_res, 2,2))                      # Powerfunktionsarray
for (a in 1:length(a_0_all)){
    for (l in 1:length(m_all)){                                       # m Iterationen
        for(i in 1:length(d_mu_all)){                                 # \delta_\mu Iterationen
            for(j in 1:length(n_all)){                                # n Iterationen
                m           = m_all[l]                                # Datendimensionalität
                n           = n_all[j]                                # Stichprobenumfang
                d_mu        = d_mu_all[i]                             # wahrer, aber unbekannter, Parameter
                nu          = (n-m)/(m*(n-1))                         # Parameter
                alpha_0     = a_0_all[a]                              # Signifikanzlevel
                k_alpha_0   = (1/nu)*qf(1-alpha_0,m,n-m)              # kritischer Wert
                pi[i,j,l,a] = 1 - pf(nu*k_alpha_0, m, n-m, d_mu)}}}}  # Powerfunktionswert
```

```{r, echo = F, eval = F}
# Visualisierung
library(latex2exp)
pdf(
file        = "./5_Abbildungen/mv_5_t2_pi.pdf",
width       = 9,
height      = 9)
par(
family      = "sans",
mfcol       = c(2,2),
pty         = "m",
bty         = "l",
lwd         = 1,
las         = 1,
xaxs        = "i",
yaxs        = "i",
font.main   = 1,
cex         = 1,
cex.main    = 1)
for(i in 1:length(m_all)){
    for(j in 1:length(a_0_all)){
        persp(
        d_mu_all,
        n_all,
        pi[,,i,j],
        d           = 1,
        col         = "gray90",
        theta       = -45,
        phi         = 30,
        lwd         = .5,
        scale       = T,
        ticktype    = "detailed",
        xlab        = "delta_mu",
        ylab        = "n",
        zlab        = "",
        main        = sprintf("alpha_0 = %0.2f, m = %0.0f ", a_0_all[j], m_all[i]),
        zlim        = c(0,1),
        r           = 1.5)
    }
}
dev.off()
```

```{r, echo = FALSE, out.width = "65%", fig.align = "center"}
knitr::include_graphics("./5_Abbildungen/mv_5_t2_pi.pdf")
```
\vfill

# Modellevaluation | (5) Analyse der Powerfunktion

\small
Praktisches Vorgehen

\footnotesize
Mit größerem $n$ steigt die Powerfunktion des Tests an

* Ein großer Stichprobenumfang ist besser als ein kleiner Stichprobenumfang.

* Kosten für die Erhöhung des Stichprobenumfangs werden aber nicht berücksichtigt.

$\Rightarrow$ Die Theorie statistischer Hypothesentests ist nicht besonders lebensnah.

\vspace{1mm}

Die Powerfunktion hängt vom wahren, aber unbekannten, Parameterwert $\delta_\mu = n(\mu-\mu_0)^T\Sigma^{-1}(\mu-\mu_0)$ ab.

$\Rightarrow$ Wenn man $\delta_\mu$ schon kennen würde, würde man den Test nicht durchführen.

\vspace{1mm}

Generell wird folgendes Vorgehen favorisiert

* Man legt das Signifikanzlevel $\alpha_0$ fest und evaluiert die Powerfunktion.

* Man wählt einen Mindestparameterwert $\delta_\mu^*$, den man mit $\pi(\delta_\mu,n) = \beta$ detektieren möchte.

* Ein konventioneller Wert ist $\beta = 0.8$.

* Man liest die für $\pi(\delta_\mu = \delta_\mu^*,n) = \beta$ nötige Stichprobengröße $n$ ab.


# Modellevaluation | (5) Analyse der Powerfunktion

Praktisches Vorgehen

\vspace{1mm}
```{r, echo = F, eval = F}
# Szenariospezifikation
n_min      = 5                                               # n Minimum
n_max      = 20                                              # n Maximum
n_res      = 1e2                                             # n Auflösung
n          = seq(n_min,n_max, len = n_res)                   # n Raum
alpha_0    = 0.05                                            # Signifikanzlevel

# Poweranalyse
m          = 2                                               # Datendimensionalität
d_mu_fix   = 12                                              # fester Nichtzentralitätsparameter
nu         = (n-m)/(m*(n-1))                                 # Parameter
k_alpha_0  = (1/nu)*qf(1-alpha_0,m,n-m)                      # kritischer Wert
pi_n       = 1 - pf(nu*k_alpha_0, m, n-m, d_mu_fix)          # Powerfunktionswert
beta       = 0.8                                             # gewünschter Powerfunktionswert
i          = 1                                               # Indexinitialisierung
n_min      = NaN                                             # minimales n Initialisierung
while(pi_n[i] < beta){                                       # Solange \pi(\delta_\mu*,n) < \beta
    n_min = n[i]                                             # Aufnahme des minimal nötigen ns
    i     = i + 1                                            # und Erhöhung des Indexes
}
cat("Minimal nötiges n =", ceiling(n_min))                   # Ausgabe
```

```{r, echo = F, eval = F}
library(latex2exp)
pdf(
file        =  "./5_Abbildungen/mv_5_t2_stichprobenumfang.pdf",
width       = 6,
height      = 5)
par(
family      = "sans",
mfcol       = c(1,1),
pty         = "m",
bty         = "l",
lwd         = 1,
las         = 1,
xaxs        = "i",
yaxs        = "i",
font.main   = 1,
cex         = 1.1,
cex.main    = 1.2)

plot(
n,
pi_n,
type        = "l",
lwd         = 1,
ylab        = " ",
ylim        = c(0,1),
xlab        = TeX("$n$"),
main        = TeX("$\\pi(\\delta_{\\mu} = 12,n)\\, für \\,\\alpha_0 = 0.05,\\, \\mu_0 = 0"))

lines(
5,
beta,
type        = "p",
pch         = 16,
xpd         = TRUE)

lines(
n_min,
0,
type        = "p",
pch         = 16,
xpd         = TRUE)

arrows(
x0          = min(n),
y0          = beta,
x1          = n_min,
y1          = beta,
col         = "darkorange",
angle       = 20,
length      = .1)

arrows(
x0          = n_min,
y0          = beta,
x1          = n_min,
y1          = 0,
col         = "darkorange",
angle       = 20,
length      = .1)
text(3 , 0.85 , TeX("$\\beta$") ,xpd = TRUE, cex = 1.2)
text(17 ,.05  , TeX("$n_{opt}") ,xpd = TRUE, cex = 1.2)
dev.off()
```

```{r, echo = FALSE, out.width = "60%", fig.align = "center"}
knitr::include_graphics("./5_Abbildungen/mv_5_t2_stichprobenumfang.pdf")
```

#
\vfill
\setstretch{2.7}
\large
Anwendungsszenario

Modellformulierung und Modellschätzung

Modellevaluation

**Anwendungsbeispiel**

Selbstkontrollfragen
\vfill


# Anwendungsbeispiel
Praktisches Vorgehen
\vspace{2mm}
\tiny
\setstretch{1}

```{r, echo = T}
D         = read.csv("./5_Daten/5_Einstichproben_T2_Tests.csv") # Datensatzeinlesen 
Y         = rbind(D$y_1i, D$y_2i)                               # Datenmatrix
m         = nrow(Y)                                             # Dimensionalität der Zufallsvektoren/Daten
n         = ncol(Y)                                             # Anzahl der Datenpunkte
nu        = (n-m)/(m*(n-1))                                     # Parameter
mu_0      = matrix(c(30,3.5) , nrow = 2)                        # H0 Hypothesenparameter ("Normwert")
alpha_0   = 0.05                                                # Signifikanzlevel
k_alpha_0 = (1/nu)*qf(1-alpha_0,m,n-m)                          # kritischer Wert
j_n       = matrix(rep(1,n), nrow = n)                          # 1_n
I_n       = diag(n)                                             # I_n
J_n       = matrix(rep(1,n^2), nrow = n)                        # 1_{nn}
y_bar     = (1/n)*(Y %*% j_n)                                   # Stichprobenmittel
C         = (1/(n-1))*(Y %*% (I_n-(1/n)*J_n) %*% t(Y))          # Stichprobenkovarianzmatrix
T2        = n*t(y_bar - mu_0) %*% solve(C) %*% (y_bar - mu_0)   # Einstichproben-T^2-Statistik
if(T2 > k_alpha_0){phi = 1} else {phi = 0}                      # Test 1_{T^2 >= k_alpha_0}
p         = 1 - pf(nu*T2,m,n-m)                                 # p-Wert
cat("Y_bar   = ", y_bar,                                        # Ausgabe    
    "\nC       = ", C,
    "\nT^2     = ", T2,
    "\nalpha_0 = ", alpha_0,
    "\nk       = ", k_alpha_0,
    "\nphi     = ", phi,
    "\np       = ", p)
```

# Anwendungsbeispiel
Black-Box-Verfahren
\tiny
\vspace{2mm}
\setstretch{1.2}
```{r, warning = F, message = F, echo = T}
library(MVTests)                                                    # R Paket 
D         = read.csv("./5_Daten/5_Einstichproben_T2_Tests.csv")     # Datensatzeinlesen 
Y         = rbind(D$y_1i, D$y_2i)                                   # Datenmatrix
mu_0      = matrix(c(30,3.5) , nrow = 2)                            # H0 Hypothesenparameter ("Normwert")
alpha_0   = 0.05                                                    # Signifikanzlevel
phi       = OneSampleHT2(t(Y), mu_0, alpha_0)                       # Einstichproben-T^2-Test
cat("Y_bar   = "  , phi$Descriptive[2,],                            # Ausgabe
    "\nT^2     = ", phi$HT2,
    "\nalpha_0 = ", phi$alpha,
    "\np       = ", phi$p.value)
```


#
\vfill
\setstretch{2.7}
\large
Anwendungsszenario

Modellformulierung und Modellschätzung

Modellevaluation

Anwendungsbeispiel

**Selbstkontrollfragen**
\vfill

# Selbstkontrollfragen
\footnotesize
\setstretch{1.8}

1. Beschreiben Sie das Anwendungsszenario für einen Einstichproben-T$^2$-Test.
1. Geben Sie die Definition des Einstichproben-T$^2$-Test Modells wieder
1. Geben Sie die Definition der Einstichproben-T$^2$-Teststatistik wieder.
1. Erläutern Sie, wann die Einstichproben-T$^2$-Teststatistik hohe Werte annimmt.
1. Geben Sie das Theorem zu WDF und KDF der Einstichproben-T$^2$-Teststatistik wieder.
1. Geben Sie das Theorem zur Testumfangkontrolle eins Einstichproben-T$^2$-Tests wieder.
1. Erläutern Sie das praktische Vorgehen bei der Durchführung eines Einstichproben-T$^2$-Tests.
1. Geben Sie das Theorem zum p-Wert eines Einstichproben-T$^2$-Test an und erläutern Sie 
die Komponenten des entsprechenden Ausdrucks.
\normalsize


# Referenzen
\footnotesize    