---
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#  {.plain}

\center
```{r, echo = FALSE, out.width = "20%", fig.align = "center"}
knitr::include_graphics("4_Abbildungen/mv_4_otto.png")
```
\vspace{2mm}

\huge
Multivariate Verfahren
\vspace{4mm}

\large
MSc Psychologie | MSc Klinische Psychologie und Psychotherapie   

WiSe 2023/24

\vspace{4mm}
\normalsize
Prof. Dr. Dirk Ostwald

#  {.plain}
\vfill
\center
\huge
\textcolor{black}{(4) Deskription und Inferenz}
\vfill

#
\large
\setstretch{3.5}
\vfill
Datenanalyseszenarien

Multivariate Deskriptivstatistiken

Grundlagen Frequentistischer Inferenz

Selbstkontrollfragen
\vfill

#
\large
\setstretch{3.5}
\vfill
**Datenanalyseszenarien**

Multivariate Deskriptivstatistiken

Grundlagen Frequentistischer Inferenz

Selbstkontrollfragen
\vfill

# Datenanalyseszenarien
\small
\renewcommand{\arraystretch}{2}
\begin{tabular}{lll}
UV
& AV
& Datenanalysemethoden
\\\hline
Univariat
& Univariat
& Korrelation, Einfache Regression,T-Tests
\\
Multivariat
& Univariat
& Multiple Korrelation, Multiple Regression, Allgemeines Lineares Modell
\\
Univariat
& Multivariat
& Einstichproben-T$^2$-Tests, Einfaktorielle multivariate Varianzanalyse
\\
Multivariat
& Multivariat
& Kanonische Korrelation, Multivariates Allgemeines Lineares Modell
\end{tabular}

# Datenanalyseszenarien
\center
Korrelation, Einfache Regression, T-Tests

\vspace{3mm} 
\begin{tabular}{c|c}
UV         & AV          \\
$x_1$      & $y_1$       \\\hline
$x_{11}$   & $y_{11}$    \\
$x_{12}$   & $y_{12}$    \\
$x_{13}$   & $y_{13}$    \\
$\vdots$   & $\vdots$    \\
$\vdots$   & $\vdots$    \\
$\vdots$   & $\vdots$    \\
$x_{1n}$   & $y_{1n}$    \\
\end{tabular}

# Datenanalyseszenarien
\center
Multiple Korrelation, Multiple Regression, Allgemeines Lineares Modell

\vspace{5mm} 
\center
\begin{tabular}{ccc|c}
          & UV        &          & AV          \\
$x_1$     & $\cdots$  & $x_m$    & $y_1$       \\\hline
$x_{11}$  & $\cdots$  & $x_{m1}$ & $y_{11}$    \\
$x_{12}$  & $\cdots$  & $x_{m2}$ & $y_{12}$    \\
$x_{13}$  & $\cdots$  & $x_{m3}$ & $y_{13}$    \\
$\vdots$  & $\vdots$  & $\vdots$ & $\vdots$    \\
$\vdots$  & $\vdots$  & $\vdots$ & $\vdots$    \\
$\vdots$  & $\vdots$  & $\vdots$ & $\vdots$    \\
$x_{1n}$  & $\cdots$  & $x_{mn}$ & $y_{1n}$    \\
\end{tabular}

# Datenanalyseszenarien
\center
Einstichproben-T$^2$-Tests, Einfaktorielle multivariate Varianzanalyse

\vspace{5mm} 
\center
\begin{tabular}{c|ccc}
UV        &          & AV        &             \\
$x_1$     & $y_1$    & $\cdots$  & $y_m$       \\\hline
$x_{11}$  & $y_{12}$ & $\cdots$  & $y_{m1}$    \\
$x_{12}$  & $y_{13}$ & $\cdots$  & $y_{m2}$    \\
$x_{13}$  & $y_{14}$ & $\cdots$  & $y_{m3}$    \\
$\vdots$  & $\vdots$ & $\vdots$  & $\vdots$    \\
$\vdots$  & $\vdots$ & $\vdots$  & $\vdots$    \\
$\vdots$  & $\vdots$ & $\vdots$  & $\vdots$    \\
$x_{1n}$  & $y_{1n}$ & $\cdots$  & $y_{mn}$    \\
\end{tabular}

# Datenanalyseszenarien 
\center
Kanonische Korrelationsanalyse

Multivariates Allgemeines Lineares Modell

\vspace{5mm} 
\begin{tabular}{ccc|ccc}
          & UV        &             &            & AV        &             \\
$x_1$     & $\cdots$  & $x_{m_x}$   & $y_1$      & $\cdots$  & $y_{m_y}$   \\\hline
$x_{11}$  & $\cdots$  & $x_{m_x1}$  & $y_{11}$   & $\cdots$  & $y_{m_y1}$  \\
$x_{12}$  & $\cdots$  & $x_{m_x2}$  & $y_{12}$   & $\cdots$  & $y_{m_y2}$  \\
$x_{13}$  & $\cdots$  & $x_{m_x3}$  & $y_{13}$   & $\cdots$  & $y_{m_y3}$  \\
$\vdots$  & $\vdots$  & $\vdots$    & $\vdots$   & $\vdots$  & $\vdots$    \\
$\vdots$  & $\vdots$  & $\vdots$    & $\vdots$   & $\vdots$  & $\vdots$    \\
$\vdots$  & $\vdots$  & $\vdots$    & $\vdots$   & $\vdots$  & $\vdots$    \\
$x_{1n}$  & $\cdots$  & $x_{m_xn}$  & $y_{1n}$   & $\cdots$  & $y_{m_yn}$  \\
\end{tabular}

# Datenanalyseszenarien

\textcolor{darkblue}{Multivariate Generalisierungen bekannter Frequentistischer Verfahren WiSe 23/24}

Einstichproben-T$^2$-Tests als Generalisierung von Einstichproben-T-Tests

*  Inferenz für ein bis zwei Gruppen multivariater Daten

Einfaktorielle multivariate Varianzanalyse als Generalisierung der einfaktoriellen Varianzanalyse

*  Inferenz für drei oder mehr Gruppen multivariater Daten

Kanonische Korrelationsanalyse als Generalisierung der Korrelation

* Zusammenhangsmaß für multivariate unabhängige und abhängige Variablen

Zur Revision univariater Frequentistischer Verfahren

* [\textcolor{darkblue}{Wahrscheinlichkeitstheorie und Frequentistische Inferenz 2022/23}](https://bit.ly/3yT42Sj)
* [\textcolor{darkblue}{Allgemeines Lineares Modell 2023}](https://bit.ly/3nZTFJK)

#
\large
\setstretch{3.5}
\vfill
Datenanalyseszenarien

**Multivariate Deskriptivstatistiken**

Grundlagen Frequentistischer Inferenz

Selbstkontrollfragen
\vfill

# Multivariate Deskriptivstatistiken
\setstretch{1.1}
\footnotesize
\begin{definition}[Multivariate Deskriptivstatistiken]
\justifying
$\ups_1,...,\ups_n$ seien $m$-dimensionale Zufallsvektoren.
\begin{itemize}
\item Das \textit{Stichprobenmittel} der $\ups_1,...,\ups_n$ ist definiert als der $m$-dimensionale Vektor
\begin{equation}
\bar{\ups} := \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\ups_i.
\end{equation}
\item Die \textit{Stichprobenkovarianzmatrix} der $\ups_1,...,\ups_n$ ist definiert als die $m \times m$-dimensionale Matrix
\begin{equation}
C  := \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (\ups_i - \bar{\ups})(\ups_i - \bar{\ups})^T .
\end{equation}
\item Die \textit{Stichprobenkorrelationsmatrix} der $\ups_1,...,\ups_n$ definiert als die $m \times m$-dimensionale Matrix
\begin{equation}
R := \left(\frac{(C )_{ij}}{\sqrt{ (C )_{ii}}\sqrt{ (C )_{jj}}}\right)_{1 \le i,j \le m}.
\end{equation}
\end{itemize}
\end{definition}
\vspace{-3mm}
Bemerkungen

* Bei unabhängig und identisch verteilten $\ups_1,...,\ups_n$ ist $\bar{\ups}$ ein unverzerrter Schätzer von $\mathbb{E}\left(\ups_i\right), i = 1,...,n$.
* Bei unabhängig und identisch verteilten $\ups_1,...,\ups_n$ ist $C$ ein unverzerrter Schätzer von $\mathbb{C}\left(\ups_i\right), i = 1,...,n$.


# Multivariate Deskriptivstatistiken
\footnotesize
\begin{theorem}[Datenmatrix und multivariate Deskriptivstatistiken]
\justifying
\normalfont
\begin{equation}
\Upsilon :=
\begin{pmatrix}
\ups_1 & \cdots & \ups_n
\end{pmatrix}
\end{equation}
sei eine $m \times n$ \textit{Datenmatrix}, die durch die spaltenweise Konkatenation
von $m$-dimensionaler Zufallvektoren $\ups_1, ...,\ups_n$ gegeben sei. 
Dann ergeben sich
\begin{itemize}
\item für das Stichprobenmittel 
\begin{equation}
\bar{\ups} =  \frac{1}{n}\Upsilon 1_{n},
\end{equation}
\item für die Stichprobenkovarianzmatrix 
\begin{equation}
C = \frac{1}{n-1}\left(\Upsilon\left(I_n - \frac{1}{n}1_{nn}\right)\Upsilon^T\right),
\end{equation}
\item und mit  
\begin{equation}
D := \mbox{diag}\left(\sqrt{(C)_{ii}}^{-1}, i = 1,...,m\right)
\end{equation}
für die Stichprobenkorrelationsmatrix
\begin{equation}
R = DCD
\end{equation}
\end{itemize}
\end{theorem}
Bemerkungen

* Das Theorem erlaubt eine mathematisch konzise Darstellung von $\bar{\ups}, C$ und $R$.
* Das Theorem erlaubt eine programmatisch effiziente Berechung von $\bar{\ups}, C$ und $R$.

# Multivariate Deskriptivstatistiken
\footnotesize
\underline{Beweis}
\vspace{1mm}

Die Darstellung des Stichprobenmittels ergibt sich nach durch
\begin{align}
\begin{split}
\bar{\ups} 
:= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \ups_i 
= \frac{1}{n}\begin{pmatrix} \sum_{i=1}^n \ups_{i1} \\ \vdots \\ \sum_{i=1}^n \ups_{im} \end{pmatrix} 
= \frac{1}{n}\left(\begin{pmatrix} \ups_{11} & \cdots  & \ups_{n1} \\
                                   \vdots    & \ddots  & \vdots     \\
                                   \ups_{1m} & \cdots  & \ups_{nm} \\
                  \end{pmatrix}
              \begin{pmatrix} 1 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix}
              \right) 
= \frac{1}{n}\Upsilon 1_{n}. 
\end{split}
\end{align}
Hinsichtlich der Darstellung der Stichprobenkovarianzmatrix halten wir zunächst fest, dass 
gilt, dass
\begin{align}
\begin{split}
C  
& := \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (\ups_i - \bar{\ups})(\ups_i - \bar{\ups})^T \\
&  = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n \left(\ups_i\ups_i^T - \ups_i\bar{\ups}^T - \bar{\ups}\ups_i^T + \bar{\ups}\bar{\ups}^T\right) \\
&  = \frac{1}{n-1}\left(\sum_{i=1}^n \ups_i\ups_i^T - \sum_{i=1}^n \ups_i\bar{\ups}^T - \sum_{i=1}^n \bar{\ups}\ups_i^T + \sum_{i=1}^n \bar{\ups}\bar{\ups}^T\right) \\
&  = \frac{1}{n-1}\left(\sum_{i=1}^n \ups_i\ups_i^T - n\bar{\ups}\bar{\ups}^T - n\bar{\ups}\bar{\ups}^T + n\bar{\ups}\bar{\ups}^T\right) \\
&  = \frac{1}{n-1}\left(\sum_{i=1}^n \ups_i\ups_i^T - n\bar{\ups}\bar{\ups}^T\right) \\
\end{split}
\end{align}

# Multivariate Deskriptivstatistiken
\footnotesize
\underline{Beweis (fortgeführt)}
\vspace{1mm}

Mit $1_{n}1_{n}^T = 1_{nn}$ ergibt sich dann weiterhin
\begin{align}
\begin{split}
\Upsilon\left(I_n - \frac{1}{n}1_{nn}\right)\Upsilon^T
& = \left(\Upsilon I_n - \frac{1}{n}\Upsilon 1_{nn}\right)\Upsilon^T                                         \\
& = \Upsilon\Upsilon^T - \frac{1}{n}\Upsilon 1_{nn}\Upsilon^T                                                      \\
& = \begin{pmatrix} \ups_1 & \cdots & \ups_n\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \ups_1^T \\ \vdots \\ \ups_n^T\end{pmatrix} - \frac{1}{n}\Upsilon 1_n 1_n^T\Upsilon^T    \\
& = \sum_{i=1}^n \ups_i\ups_i^T - n\left(\frac{1}{n}\Upsilon 1_n\right)\left(\frac{1}{n}1_n^T\Upsilon^T\right)              \\
& = \sum_{i=1}^n \ups_i\ups_i^T - n\bar{\ups}\bar{\ups}^T                                                          \\
& = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (\ups_i - \bar{\ups})(\ups_i - \bar{\ups})^T \\
& = C.
\end{split}
\end{align}

Schließlich ergibt sich für die Korrelationsmatrix für ein beliebiges 
Indexpaar $i,j$ mit $1 \le i,j \le m$, dass
\begin{align}
\begin{split}
R_{{y}_{ij}} 
= \frac{(C)_{ij}}{\sqrt{ (C)_{ii}}\sqrt{ (C)_{jj}}}             
= \frac{1}{\sqrt{(C)_{ii}}}(C)_{ij}\frac{1}{\sqrt{(C)_{jj}}}    
= (DCD)_{ij}.                                                    
\end{split}
\end{align}

# Multivariate Deskriptivstatistiken
\small
\begin{definition}[Mahalanobis Distanz]
\justifying
$\xi_1$ sei ein Zufallsvektor, eine Realisation eines Zufallsvektors,
ein multivariater Erwartungswert oder ein multivariates Stichprobenmittel,
$\xi_2$ sei ein Zufallsvektor, eine Realisation eines Zufallsvektors,
ein multivariater Erwartungswert oder ein multivariates Stichprobenmittel
und $\Xi$ sei eine Kovarianzmatrix oder eine Stichprobenkovarianzmatrix. Dann heißt
\begin{equation}
D = \left(\xi_1 - \xi_2 \right)^T\Xi^{-1}\left(\xi_1 - \xi_2\right)
\end{equation}
\textit{Mahalanobis Distanz} von $\xi_1$ und $\xi_2$ hinsichtlich $\Xi$.
\end{definition}

\footnotesize
Bemerkungen

* Eine Mahalanobis Distanz ist eine Kovarianzmatrix-normalisierte quadrierte Euklidische Distanz.
* Ähnliche Maße in der univariaten Statistik sind die $z$-Transformation $z = \frac{y - \mu}{\sigma}$ und Cohen's $d = \frac{\bar{\ups}_1 - \bar{\ups}_2}{s_{12}}$.
* Ähnlich wie bei $z$-Werten wird bei der Mahalanobis Distanz in "Einheiten von Kovarianzen" gemessen.
* Stark variante Komponenten von $\xi_1$ und $\xi_2$ tragen weniger zur Distanz bei.
* Stark kovariante Komponenten von $\xi_1$ und $\xi_2$ tragen weniger zur Distanz bei.

# Multivariate Deskriptivstatistiken

Mahalanobis Distanzen als Funktion von Komponentenvarianzen
\vspace{2mm}

\footnotesize
\begin{equation*}
\quad
\Sigma := \begin{pmatrix} 1.0 & 0.0 \\ 0.0 & 1.0\end{pmatrix}
\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad
\Sigma := \begin{pmatrix} 0.5 & 0.0 \\ 0.0 & 0.5\end{pmatrix}
\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad
\Sigma := \begin{pmatrix} 1.5 & 0.0 \\ 0.0 & 1.5\end{pmatrix}
\end{equation*}
\vspace{2mm}

```{r, echo = F, eval = F}
library(ellipse)
library(latex2exp)
pdf(
file   = "./4_Abbildungen/mv_4_mahalanobis_distanzen_1.pdf",
width  = 9,
height = 3)
par(
family      = "sans",
mfcol       = c(1,3),
pty         = "s",
bty         = "l",
lwd         = 1,
las         = 1,
mgp         = c(2,1,0),
xaxs        = "i",
yaxs        = "i",
font.main   = 1,
cex         = 1,
cex.main    = 1)

# Mahalanobis Distanzszenarien
xi          = matrix(c(-1,-1,1,1), nrow = 2)
Xi          = array(dim = c(2,2,3))
Xi[,,1]     = matrix(c(1.0, 0.0, 0.0,1.0), nrow = 2)
Xi[,,2]     = matrix(c(0.5, 0.0, 0.0,0.5), nrow = 2)
Xi[,,3]     = matrix(c(1.5, 0.0, 0.0,1.5), nrow = 2)
for(i in 1:3){
    plot(
    ellipse(as.matrix(Xi[,,i]), level = 0.40, centre = c(0,0)),
    type = "l",
    col = "Black",
    xlim = c(-2,2),
    ylim = c(-2,2),
    xlab = TeX("$\\xi_{i_1}$"),
    ylab = TeX("$\\xi_{i_2}$"),
    main = sprintf("D = %0.2f ", t(xi[,1] - xi[,2]) %*% solve(Xi[,,i]) %*% (xi[,1] - xi[,2])))
    points(
    xi[1,],
    xi[2,],
    col  = "Black",
    bg   = "Black",
    pch  = 21,
    cex  = 1.2)
}
dev.off()
```

```{r, echo = FALSE, out.width = "100%"}
knitr::include_graphics("4_Abbildungen/mv_4_mahalanobis_distanzen_1.pdf")
```
# Multivariate Deskriptivstatistiken

Mahalanobis Distanzen als Funktion von Komponentenkovarianzen
\vspace{2mm}

\footnotesize
\begin{equation*}
\quad\quad\quad
\Sigma := \begin{pmatrix} 1.0 & 0.0 \\ 0.0 & 1.0\end{pmatrix}
\quad\quad\quad\quad\quad\quad
\Sigma := \begin{pmatrix} 1.0 & 0.9 \\ 0.9 & 1.0\end{pmatrix}
\quad\quad\quad\quad\quad\quad
\Sigma := \begin{pmatrix*}[r] 1.0 & -0.9 \\ -0.9 & 1.0\end{pmatrix*}
\end{equation*}
\vspace{2mm}

```{r, echo = F, eval = F}
library(ellipse)
library(latex2exp)
pdf(
file        = "./4_Abbildungen/mv_4_mahalanobis_distanzen_2.pdf",
width       = 9,
height      = 3)
par(
family      = "sans",
mfcol       = c(1,3),
pty         = "s",
bty         = "l",
lwd         = 1,
las         = 1,
mgp         = c(2,1,0),
xaxs        = "i",
yaxs        = "i",
font.main   = 1,
cex         = 1,
cex.main    = 1)

# Mahalanobis Distanzszenarien
xi          = matrix(c(-1,-1,1,1), nrow = 2)
Xi          = array(dim = c(2,2,3))
Xi[,,1]     = matrix(c(1.0, 0.0, 0.0,1.0), nrow = 2)
Xi[,,2]     = matrix(c(1.0, 0.9, 0.9,1.0), nrow = 2)
Xi[,,3]     = matrix(c(1.0,-0.9,-0.9,1.0), nrow = 2)
for(i in 1:3){
    plot(
    ellipse(as.matrix(Xi[,,i]), level = 0.40, centre = c(0,0)),
    type = "l",
    col = "Black",
    xlim = c(-2,2),
    ylim = c(-2,2),
    xlab = TeX("$\\xi_{i_1}$"),
    ylab = TeX("$\\xi_{i_2}$"),
    main = sprintf("D = %0.2f ", t(xi[,1] - xi[,2]) %*% solve(Xi[,,i]) %*% (xi[,1] - xi[,2])))
    points(
    xi[1,],
    xi[2,],
    col  = "Black",
    bg   = "Black",
    pch  = 21,
    cex  = 1.2)
}
dev.off()
```

```{r, echo = FALSE, out.width = "100%"}
knitr::include_graphics("4_Abbildungen/mv_4_mahalanobis_distanzen_2.pdf")
```

#
\large
\setstretch{3.5}
\vfill
Datenanalyseszenarien

Multivariate Deskriptivstatistiken

**Grundlagen Frequentistischer Inferenz**

Selbstkontrollfragen
\vfill


# Grundlagen Frequentistischer Inferenz
```{r, echo = FALSE, out.width = "100%"}
knitr::include_graphics("4_Abbildungen/mv_4_frequentistische_inferenz.pdf")
```



# Grundlagen Frequentistischer Inferenz
Standardannahmen Frequentistischer Inferenz

\footnotesize
* $\mathcal{M}$ sei ein Frequentistisches Inferenzmodell mit $\ups_1,...,\ups_n \sim p_\theta$. 
Es wird angenommen, dass eine konkrete Datenmatrix $Y \in \mathbb{R}^{mn}$ eine 
der möglichen Realisierungen von $\Upsilon = \begin{pmatrix} \ups_1 & \cdots & \ups_n \end{pmatrix}$ ist.

* Aus Frequentistischer Sicht kann man eine Studie unendlich oft wiederholen und
zu jedem Datensatz Schätzer oder Statistiken auswerten, z.B. das Stichprobenmittel:
\vspace{2mm}
\begin{itemize}
\begin{footnotesize}
\item[] Datensatz (1) : $Y^{(1)} = \begin{pmatrix} y_1^{(1)} & \cdots &  y_n^{(1)} \end{pmatrix}$ mit $\bar{y}^{(1)} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n y_i^{(1)}$
\item[] Datensatz (2) : $Y^{(2)} = \begin{pmatrix} y_1^{(2)} & \cdots &  y_n^{(2)} \end{pmatrix}$ mit $\bar{y}^{(2)} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n y_i^{(2)}$
\item[] Datensatz (3) : $Y^{(3)} = \begin{pmatrix} y_1^{(3)} & \cdots &  y_n^{(3)} \end{pmatrix}$ mit $\bar{y}^{(3)} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n y_i^{(3)}$
\item[] Datensatz (4) : $Y^{(4)} = \begin{pmatrix} y_1^{(4)} & \cdots &  y_n^{(4)} \end{pmatrix}$ mit $\bar{y}^{(4)} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n y_i^{(4)}$
\item[] Datensatz (5) : $Y^{(5)} = ...$
\end{footnotesize}
\end{itemize}

* Um die Qualität statistischer Methoden zu beurteilen betrachtet die Frequentistische
Statistik deshalb die Wahrscheinlichkeitsverteilungen von Schätzern und Statistiken
unter Annahme von $\ups_1,...,\ups_n \sim p_\theta$. Was zum Beispiel ist die 
Verteilung der $\bar{y}^{(1)}$, $\bar{y}^{(2)}$, $\bar{y}^{(3)}$, $\bar{y}_n^{(4)}$, 
... also die Verteilung der Zufallsvariable $\bar{\ups}$?

* Wenn eine statistische Methode im Sinne der Frequentistischen Standardannahmen
"gut" ist, dann heißt das also, dass sie bei häufiger Anwendung "im Mittel gut" ist.
Im Einzelfall, also im Normalfall nur eines vorliegenden Datensatzes, kann sie auch 
"schlecht" sein.


# Grundlagen Frequentistischer Inferenz
Standardproblemstellungen Frequentistischer Inferenz

\small
\vspace{2mm}
\noindent (1) Parameterschätzung

Ziel der Parameterschätzung ist es, einen möglichst guten Tipp für wahre, aber unbekannte, 
Parameterwerte oder Funktionen dieser abzugeben, typischerweise mithilfe der Daten.

\vspace{2mm}
\noindent (2) Konfidenzintervalle

Ziel der Bestimmung von Konfidenzintervallen ist es, basierend auf der angenommenen
Verteilung der Daten eine quantitative Aussage über die mit Schätzwerten assoziierte 
Unsicherheit zu treffen.

\vspace{2mm}
\noindent (3) Hypothesentests

Ziel des Hypothesentestens ist es, basierend auf der angenommenen Verteilung der 
Daten in einer möglichst zuverlässigen Form zu entscheiden, ob ein wahrer, aber 
unbekannter Parameterwert in einer von zwei sich gegenseitig ausschließenden 
Untermengen des Parameterraumes liegt.

#
\large
\setstretch{3.5}
\vfill
Datenanalyseszenarien

Multivariate Deskriptivstatistiken

Grundlagen Frequentistischer Inferenz

**Selbstkontrollfragen**
\vfill

# Selbstkontrollfragen