---
fontsize: 8pt
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        include-in-header: "6_Header.tex"
bibliography: 6_Referenzen.bib
---

#  {.plain}

\center
```{r, echo = FALSE, out.width = "20%", fig.align = "center"}
knitr::include_graphics("6_Abbildungen/magl_6_otto.png")
```
\vspace{2mm}
\huge
Mathematische Grundlagen
\vspace{4mm}

\large
BSc Psychologie | MSc Psychologie

MSc Klinische Psychologie und Psychotherapie   
\vspace{4mm}

\Large
WiSe 2023/24

\vspace{4mm}
\normalsize
Prof. Dr. Dirk Ostwald

#  {.plain}
\vfill
\center
\huge
\textcolor{black}{(6) Folgen, Grenzwerte, Stetigkeit}
\vfill

# Motivation
\setstretch{2}
\large

Die hier behandelten Themen sind nicht zentral. 

Sie dienen jedoch dem tieferen Verständnis von zum Beispiel

* der Grenzwertdefinition der Ableitung, 

* dem Zentralen Grenzwertsatz und Normalverteilungsannahmen, 

* der Begriffe der Stetigkeit und der Glattheit von Funktionen. 


# 
\vfill
\Large
\setstretch{3}
Folgen

Grenzwerte

Stetigkeit

Selbstkontrollfragen
\vfill

# 
\vfill
\Large
\setstretch{3}
**Folgen**

Grenzwerte

Stetigkeit

Selbstkontrollfragen
\vfill

# Folgen
\small
\begin{definition}[Reelle Folge]
\justifying
Eine \textit{reelle Folge} ist eine Funktion der Form
\begin{equation}
f : \mathbb{N} \to \mathbb{R}, n \mapsto f(n)
\end{equation}
Die Funktionswerte $f(n)$ einer reellen Folge werden üblicherweise mit $x_n$
bezeichnet und \textit{Folgenglieder} genannt. Übliche Schreibweisen für Folgen sind
\begin{equation}
(x_1,x_2,...) 
\mbox{ oder } 
(x_n)_{n=1}^\infty 
\mbox{ oder } 
(x_n)_{n\in \mathbb{N}}
\mbox{ oder } 
(x_n).
\end{equation}
\end{definition}

\footnotesize
Bemerkungen

* Da es unendlich viele natürliche Zahlen gibt, hat eine reelle Folge immer unendlich viele Folgenglieder.

# Folgen
Beispiele für reelle Folgen

\small
\noindent (1) Harmonische Folgen

Reelle Folgen der Form
\begin{equation}
f : \mathbb{N} \to \mathbb{R}, n \mapsto f(n) := \left(\frac{1}{n}\right)^{\frac{p}{q}} \mbox{ mit } p,q\in \mathbb{N}
\end{equation}
nennen wir *harmonische Folgen*. Für $p := q := 1$ hat eine harmonische Folge die Folgengliederform
\begin{equation}
\left(\frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, ...\right).
\end{equation}

\noindent (2) Geometrische Folgen

Reelle Folgen der Form
\begin{equation}
f : \mathbb{N} \to \mathbb{R}, n \mapsto f(n) := q^n \mbox{ mit } q \in ]-1,1[
\end{equation}
werden *geometrische Folgen* genannt. Für $q := \frac{1}{2}$ hat eine geometrische
Folge die Folgengliederform

\footnotesize
\begin{equation}
\left(\left(\frac{1}{2}\right)^1,\left(\frac{1}{2}\right)^2,\left(\frac{1}{2}\right)^3, ...\right)
= \left(\left(\frac{1}{2}\right)^1,\left(\frac{1}{2}\right)^2,\left(\frac{1}{2}\right)^3, ...\right)
= \left(\frac{1^1}{2^1},\frac{1^2}{2^2},\frac{1^3}{2^3} ...\right)
= \left(\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8} ...\right)
\end{equation}


# Folgen
\small
\begin{definition}[Funktionenfolge]
Es sei $\phi$ eine Menge univariater reellwertiger Funktionen mit Definitionsmenge
$D \subseteq \mathbb{R}$. Dann ist eine Funktionenfolge eine Funktion der Form
\begin{equation}
F: \mathbb{N} \to \phi, n \mapsto F(n).
\end{equation}
Die Funktionswerte $F(n)$ einer Funktionenfolgen werden üblicherweise mit $f_n$
bezeichnet und \textit{Folgenglieder} genannt. Übliche Schreibweisen für Funktionenfolgen
sind 
\begin{equation}
(f_1,f_2,...) 
\mbox{ oder } 
(f_n)_{n=1}^\infty 
\mbox{ oder } 
(f_n)_{n\in \mathbb{N}}
\mbox{ oder } 
(f_n).
\end{equation}
\end{definition}
\footnotesize

Bemerkungen

* Die Definition einer Funktionenfolge ist offenbar analog zur Definition einer reellen Folge.
* Der Unterschied zwischen einer reellen Folge und einer Funktionenfolge ist, dass die Folgenglieder
einer reellen Folge reelle Zahlen, die Folgenglieder einer Funktionenfolgen dagegen univariate reellwertige Funktionen sind.

# Folgen
Beispiele für Funktionenfolgen

\footnotesize
(1) Wir betrachten die Menge $\phi$ der univariaten reellwertigen Funktionen der Form
\begin{equation}
\phi := \{f_n|f_n : [0,1] \to \mathbb{R}, x \mapsto f_n(x) := x^n \mbox{ für } n \in \mathbb{N}\}
\end{equation}
Dann definiert 
\begin{equation}
F : \mathbb{N} \to \phi, n\mapsto F(n)
\end{equation}
eine Funktionenfolge. Für die Funktionswerte der Folgenglieder von $F$ gilt
\begin{equation}
f_1(x) := x^1, f_2(x) := x^2,  f_3(x) := x^3, ...
\end{equation}

(2) Wir betrachten die Menge $\phi$ der univariaten reellwertigen Funktionen der Form
\begin{equation}
\phi := \{f_n|f_n : [-a,a] \to \mathbb{R}, x \mapsto f_n(x) := \sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!} \mbox{ für } n \in \mathbb{N}\}
\end{equation}
Dann definiert 
\begin{equation}
F : \mathbb{N} \to \phi, n\mapsto F(n)
\end{equation}
eine Funktionenfolge. Für die Funktionswerte der Folgenglieder von $F$ gilt
\begin{equation}
f_1(x) := \sum_{k=0}^1 \frac{x^k}{k!}, f_2(x) := \sum_{k=0}^2 \frac{x^k}{k!},  f_3(x) := \sum_{k=0}^3 \frac{x^k}{k!}, ...
\end{equation}

# 
\vfill
\Large
\setstretch{3}
Folgen

**Grenzwerte**

Stetigkeit

Selbstkontrollfragen
\vfill

# Grenzwerte
\begin{definition}[Grenzwert einer Folge]
\justifying
$x \in \mathbb{R}$ heißt Grenzwert einer reellen Folge $(x_n)_{n=1}^\infty$, wenn
es zu jedem $\epsilon>0$ ein $m \in \mathbb{N}$ gibt, so dass
\begin{equation}
|x_n - x| < \epsilon \mbox{ für alle } n \ge m.
\end{equation}
Eine Folge, die einen Grenzwert besitzt, wird \textit{konvergente Folge} genannt,
eine Folge die keinen Grenzwert besitzt, wird \textit{divergente Folge} genannt.
Dafür, dass $x \in \mathbb{R}$ Grenzwert der Folge  $(x_n)_{n=1}^\infty$ ist, schreibt 
man auch
\begin{equation}
\lim_{n \to \infty} x_n = x 
\mbox{ oder } 
x_n \to x \mbox{ für } n \to \infty 
\mbox{ oder }
x_n\xrightarrow[]{n \to \infty} x.
\end{equation}
\end{definition}

\footnotesize
Bemerkungen

* Eine Folge mit $\lim_{n \to \infty} x_n = 0$ nennt man *Nullfolge*.


# Grenzwerte
Beispiele

(1) Grenzwert von harmonischen Folgen

Für die verallgemeinerten harmonischen Folgen gilt mit $p,q \in \mathbb{N}$
\begin{equation}
\lim_{n\to \infty} \left(\frac{1}{n}\right)^{\frac{p}{q}} = 0.
\end{equation}


(1) Grenzwert von geometrischen Folgen 

Für die geometrischen Folgen gilt mit $q \in ]-1,1[$
\begin{equation}
\lim_{n\to \infty} q^n = 0.
\end{equation}

\footnotesize
Bemerkungen

* Harmonische und geometrische Folgen sind also Nullfolgen.
* Für Beweise dieser Theoreme verweisen wir auf die weiterführende Literatur.
* Die Beweise der Theoreme beruhen direkt auf dem Archimedischen Axiom und der Bernoulli Ungleichung.
* Beweise dieser Tatsachend wiederrum liegen mathematisch sehr tief.


# Grenzwerte
Beispiele für Grenzwerte von Folgen

```{r, echo = F, eval = F}
pdf(
file        = "./6_Abbildungen/magl_6_reelle_folgen_grenzwerte.pdf",
width       = 10,
height      = 5)

library(latex2exp)
par(
mfcol     = c(1,2),
family    = "sans",
pty       = "s",
bty       = "l",
lwd       = 1,
las       = 1,
mgp       = c(2,1,0),
font.main = 1,
cex.main  = 1.2)

# Folgendefinition
n         = 1:10                                                                 # Definitionsmenge
f_h       = 1/n                                                                 # Harmonische Folge für p := q := 1
f_g       = (1/2) ** n                                                          # Geometrische Folge für q := 1/2

# Harmonische folge für p := q := 1
plot(
n,
f_h,
type      = "p",
xlim      = c(0,11),
ylim      = c(-.1,1),
ylab      = " ",
xlab      = "n",
main      = "" )
abline(
0,
0,
col       = "gray")
legend(
6,
1,
c(TeX("$\\frac{1}{n}$"), TeX("$\\lim_{n \\to \\infty} \\frac{1}{n}$")),
cex       = 1,
lty       = c(0,1),
pch       = c(1,NA),
col       = c("gray30", "gray70"),
lwd       = c(1,1),
y.intersp = 1.5,
bty       = "n")

# Geometrische Folge für q := 1/2
plot(
n,
f_g,
type      = "p",
xlim      = c(0,11),
ylim      = c(-.1,1),
ylab      = " ",
xlab      = "n",
main      = "")
abline(
0,
0,
col       = "gray")
legend(
6,
1,
c(TeX("$\\left(\\frac{1}{2}\\right)^n$"), TeX("$\\lim_{n \\to \\infty} \\left(\\frac{1}{2}\\right)^n$")),
cex       = 1,
lty       = c(0,1),
pch       = c(1,NA),
col       = c("gray30", "gray70"),
lwd       = c(1,1),
y.intersp = 1.5,
bty       = "n")
dev.off()
```

\vfill
```{r, echo = FALSE, out.width = "100%"}
knitr::include_graphics("./6_Abbildungen/magl_6_reelle_folgen_grenzwerte.pdf")
```
\vfill


# Grenzwerte
\small
\begin{definition}[Grenzfunktion einer Funktionenfolge]
\justifying
$F = (f_n)_{n\in \mathbb{N}}$ sei eine Funktionenfolge von univariaten reellwertigen
Funktionen mit Definitionsbereich $D$. $F$ heißt \textit{punktweise konvergent}, 
wenn die reelle Folge $\left(f_n(x)\right)_{n\in \mathbb{N}}$ für jedes $x \in D$
eine konvergente Folge ist, also einen Grenzwert besitzt. Die Funktion, die jedem 
$x \in D$ diesen Grenzwert von $\left(f_n(x)\right)_{n\in \mathbb{N}}$ zuordnet, 
heißt dann die \textit{Grenzfunktion  der Funktionenfolge $F$} und hat die Form
\begin{equation}
f : D \to \mathbb{R}, x \mapsto f(x) := \lim_{n\to \infty}f_n(x).
\end{equation}
\end{definition}
\footnotesize
Bemerkungen

* Die Grenzwerte von konvergenten reellen Folgen sind reelle Zahlen, die Grenzfunktionen
  von punktweise konvergenten Funktionenfolgen sind Funktionen.
* Neben der punktweisen Konvergenz gibt es noch den stärkeren Begriff der 
 *gleichmäßigen Konvergenz* von Funktionenfolgen, den wir hier aber nicht diskutieren.

# Grenzwerte
\small
Beispiel (1)

Wir betrachten die Funktionenfolge
\begin{equation}
F : \mathbb{N} \to \phi, n\mapsto F(n)
\end{equation}
mit 
\begin{equation}
\phi := \{f_n|f_n : [0,1] \to \mathbb{R}, x \mapsto f_n(x) := x^n \mbox{ für } n \in \mathbb{N}\}
\end{equation}
Dann ist $F$ punktweise konvergent mit Grenzfunktion
\begin{equation}
f : [0,1] \to \mathbb{R}, x \mapsto f(x)
:= 
\begin{cases}
0, & \mbox{ für } x \in [0,1[ \\
1, & \mbox{ für } x = 1       \\
\end{cases}
\end{equation}
da $f_n(x) := x^n$ für $x \in [0,1[$ eine geometrische Folge und damit eine 
Nullfolge ist und $f_n(x) := x^n$ für $x = 1$ eine konstante Folge ist, für die 
alle Folgenglieder den Abstand $0$ von $1$ haben. Die Funktionenfolge $F$ 
konvergiert also gegen eine Funktion, die auf dem gesamten Intervall $[0,1]$
gleich Null ist, außer im Punkt $1$. Diese Funktion hat offenbar einen Sprung.

# Grenzwerte
\small
Beispiel (2)

Wir betrachten die Funktionenfolge
\begin{equation}
F : \mathbb{N} \to \phi, n\mapsto F(n)
\end{equation}
mit 
\begin{equation}
\phi := \{f_n|f_n : [-a,a] \to \mathbb{R}, x \mapsto f_n(x) := \sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!} \mbox{ für } n \in \mathbb{N}\}
\end{equation}
Dann ist $F$ punktweise konvergent mit Grenzfunktion
\begin{equation}
f : [-a,a] \to \mathbb{R}, x \mapsto f(x)
:= \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!} := \exp(x)
\end{equation}
Die Funktionenfolge $F$ konvergiert also gegen die Exponentialfunktion auf $[-a,a]$.

# Grenzwerte

Beispiele für Grenzwerte von Funktionenfolgen

```{r, echo = F, eval = F}
# PDF Speicherung
pdf(
file        = "./6_Abbildungen/magl_6_funktionenfolgen_grenzwerte.pdf",
width       = 10,
height      = 5)
library(latex2exp)
par(
mfcol     = c(1,2),
family    = "sans",
pty       = "s",
bty       = "l",
lwd       = 1,
las       = 1,
mgp       = c(2,1,0),
font.main = 1,
cex.main  = 1.5)

# f_n(x) := x^n
x_min     = 0                                                                   # minimum x-value
x_max     = 1                                                                   # maximum x-value
x_res     = 1e3                                                                 # x-space resolution
x         = seq(x_min,x_max,len = x_res)                                        # x-space
f_nx      = cbind(matrix(x**1), matrix(x**2), matrix(x**3), matrix(x**4))       # f_n(x) := x^n für n = 1,2,3,4
matplot(
x,
f_nx,
type      = "l",
lty       = 1,
lwd       = 2,
col       = c("gray10", "gray30", "gray50", "gray70", "red"),
xlim      = c(x_min,x_max),
ylim      = c(x_min,x_max),
ylab      = " ",
xlab      = "x",
main      = TeX("$f_n(x) := x^n$"))
lines(
x,
rep(0,length(x)),
lwd       = 2,
col       = "red")
points(
1,
1,
lwd       = 2,
col       = "red")

legend(
0,
1,
c(TeX("$f_1$"),TeX("$f_2$"),TeX("$f_3$"), TeX("$f_4$"), TeX("f")), 
cex       = 1.2,
lty       = 1,
col       = c("gray10", "gray30", "gray50", "gray70", "red"),
lwd       = 2,
y.intersp = 1,
bty       = "n")

# f_n(x) := \sum_{k=0}^n x^k/k!
x_min     = -2                                                                  # minimum x-value
x_max     = 2                                                                   # maximum x-value
x_res     = 1e2                                                                 # x-space resolution
x         = seq(x_min,x_max,len = x_res)                                        # x-space
n_max     = 4                                                                   # maximal n value
xt        = matrix(rep(NaN,x_res*(n_max+1)), nrow = x_res)                      # x-terms of the summation defintion
for(i in 1:x_res){                                                              # x value iterations
  for(k in 0:n_max){                                                        # k value iterations
    xt[i,k+1] = (x[i]**k)/factorial(k)
  }
}
f_nx      = cbind(matrix(rowSums(xt[,1:2])),                                    # f_n(x) :=\sum_{k=0}^n x^k/k! für n = 1,2,3,4
                  matrix(rowSums(xt[,1:3])),
                  matrix(rowSums(xt[,1:4])),
                  matrix(rowSums(xt[,1:5])))           
matplot(
x,
f_nx,
type      = "l",
lty       = 1,
lwd       = 2,
col       = c("gray10", "gray30", "gray50", "gray70"),
xlim      = c(x_min,x_max),
ylab      = " ",
xlab      = "x",
main      = TeX("$f_n(x) := \\sum_{k=0}^n \\frac{x^k}{x!}$"))
lines(
x, 
exp(x),
type      = "l",
lwd       = 2,
col       = "red")
legend(
-2,
7,
c(TeX("$f_1$"),TeX("$f_2$"),TeX("$f_3$"), TeX("$f_4$"), TeX("$\\exp$")), 
cex       = 1.2,
lty       = 1,
col       = c("gray10", "gray30", "gray50", "gray70", "red"),
lwd       = 2,
y.intersp = 1,
bty       = "n")
dev.off()
```

\vfill
```{r, echo = FALSE, out.width = "100%"}
knitr::include_graphics("./6_Abbildungen/magl_6_funktionenfolgen_grenzwerte.pdf")
```
\vfill


# 
\vfill
\Large
\setstretch{3}
Folgen

Grenzwerte

**Stetigkeit**

Selbstkontrollfragen
\vfill

# Stetigkeit
\small
\begin{definition}[Grenzwert einer Funktion]
\justifying
Für $D\subseteq\mathbb{R}$ und $Z\subseteq\mathbb{R}$ sei $f : D \to Z, x \mapsto f(x)$
eine Funktion und es seien $a,b \in \mathbb{R}$. $b$ heißt \textit{Grenzwert
der Funktion $f$ für $x$ gegen $a$}, wenn 
\begin{itemize}
\item[(1)] es eine reelle Folge $(x_n)_{n=1}^\infty$ mit Folgengliedern in $D$ 
mit Grenzwert $a$ gibt, also $\lim_{n \to \infty} x_n = a$ gilt, und
\item[(2)] für jede solche Folge gilt, dass $b$ der Grenzwert der Folge der 
Funktionswerte $f(x_n)$ der Folgenglieder von $(x_n)_{n=1}^\infty$ ist, also
$\lim_{n \to \infty} f(x_n) = b$ gilt. 
\end{itemize}
Wenn $b$ Grenzwert der Funktion $f$ für $x$ gegen $a$ ist, so schreibt man auch 
$\lim_{x \to a} f(x) = b$.
\end{definition}

# Stetigkeit
\vspace{3mm}
Grenzwert der Exponentialfunktion in $a = 1$

```{r, echo = F, eval = F}
# PDF Speicherung
pdf(
file        = "./6_Abbildungen/magl_6_grenzwert_einer_funktion.pdf",
width       = 5,
height      = 5)
library(latex2exp)
par(
mfcol     = c(1,1),
family    = "sans",
pty       = "m",
bty       = "l",
lwd       = 1,
las       = 1,
mgp       = c(2,1,0),
font.main = 1,
cex.main  = 1)

# f(x) := exp(x)
x_min     = 0.5                                                                 # minimum x-value
x_max     = 1.2                                                                 # maximum x-value
x_res     = 1e3                                                                 # x-space resolution
x         = seq(x_min,x_max,len = x_res)                                        # x-space
a         = 1                                                                   # Häufungspunkt von Interesse
n_max     = 10                                                                  # Maximum n für geometrische Folge
f_g       = (1/2)**(1:n_max)                                                    # geometrische Folge  
xtoa      = 1 - f_g                                                             # x \to a
fxtoa     = exp(xtoa)                                                           # f(x \to a) =    
fx        = exp(x)                                                              # Exponentialfunktion
plot(
x,
fx,
type      = "l",
lty       = 1,
lwd       = 2,
xlim      = c(x_min,x_max),
ylim      = c(1.5,exp(x_max)),
xlab      = "x",
ylab      = " ")
points(
xtoa,
rep(1.5,length(xtoa)),
pch       = 21,
col       = "black",
bg        = "white")
points(
xtoa,
fxtoa,
pch       = 21,
col       = "gray",
bg        = "white")
dev.off()
```

\vfill
```{r, echo = FALSE, out.width = "60%", fig.align = "center"}
knitr::include_graphics("./6_Abbildungen/magl_6_grenzwert_einer_funktion.pdf")
```
\vfill

# Stetigkeit
\small
\begin{definition}[Stetigkeit einer Funktion]
\justifying
Eine Funktion $f : D \to Z$ mit $D \subseteq \mathbb{R}, Z \subseteq \mathbb{R}$
heißt \textit{stetig in $a \in D$}, wenn
\begin{equation}
\lim_{x\to a} f(x) = f(a).
\end{equation}
Ist $f$ in jedem $x \in D$ stetig, so heißt \textit{$f$ stetig auf $D$}.
\end{definition}
\footnotesize
Bemerkungen

* Für eine in $a$ stetige Funktion gilt mit der Definition
\begin{equation}
\lim_{x \to a} f(x) = f\left(\lim_{x\to a} x\right)
\end{equation}
* Bei stetigen Funktion können also Grenzwertbildung und Auswertung der Funktion vertauscht werden.
* Beispiele für stetige Funktionen sind die elementaren Funktionen aus (4) Funktionen.
* Beispiele für nicht-stetige Funktionen sind Wahrscheinlichkeitsmassefunktionen und die Heaviside Funktion.


# 
\vfill
\Large
\setstretch{3}
Folgen

Grenzwerte

Stetigkeit

**Selbstkontrollfragen**
\vfill