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\vspace{2mm}
\huge
Mathematische Grundlagen
\vspace{4mm}

\large
BSc Psychologie | MSc Psychologie

MSc Klinische Psychologie und Psychotherapie   
\vspace{4mm}

\Large
WiSe 2023/24

\vspace{4mm}
\normalsize
Prof. Dr. Dirk Ostwald

#  {.plain}
\vfill
\center
\huge
\textcolor{black}{(3) Summen, Produkte, Potenzen}
\vfill

# Summen, Produkte, Potenzen
\small
\begin{definition}[Summenzeichen]
Es bezeichnet
\begin{equation}
\sum_{i=1}^{n} x_i = x_1 + x_{2} + \cdots + x_{n}.
\end{equation}
Dabei stehen
\begin{itemize}
\item $\Sigma$ für das griechische \textit{S}igma, mnemonisch für \textit{S}umme,
\item das Subskript $i = 1$ für den Laufindex der Summanden und den Startindex,
\item das Superskript $n$ für den Endindex und
\item $x_1, x_2, ..., x_n$ für die Summanden. 
\end{itemize}
\end{definition}

\footnotesize
Bemerkungen

* Nur mit Subskript und Superskripten macht das Summenzeichen Sinn.
* Die Bezeichnung des Laufindexes ist irrelevant, es gilt $\sum_{i=1}^n x_i = \sum_{j=1}^n x_j$.
* Manchmal wird der Laufindex auch als Element einer Indexmenge $I$ angegeben. 
* Ist z.B. die Indexmenge $I := \{1,5,7\}$ definiert, so ist $\sum_{i \in I}x_i := x_1 + x_5 + x_7$.		

# Summen, Produkte, Potenzen
\vfill
\footnotesize
\setstretch{.5}
\begin{theorem}[Rechenregeln für Summen]
\normalfont
\justifying
\vspace{1mm}
(1) Summen gleicher Summanden
\begin{equation}
\sum_{i=1}^n x = nx
\end{equation}

(2) Assoziativität bei Summen gleicher Länge
\begin{equation}
\sum_{i=1}^n x_i + \sum_{i=1}^n y_i = \sum_{i=1}^n (x_i + y_i)
\end{equation}

(3) Distributivität bei Multiplikation mit einer Konstante 
\begin{equation}
\sum_{i=1}^n ax_i = a\sum_{i=1}^n x_i
\end{equation}

(4) Aufspalten von Summen mit $1 < m < n$
\begin{equation}
\sum_{i = 1}^n x_i = \sum_{i=1}^m x_i + \sum_{i=m+1}^n x_i
\end{equation}

(5) Umindizierung
\begin{equation}
\sum_{i=0}^n x_i = \sum_{j = m}^{n+m} x_{j - m}
\end{equation}
\end{theorem}
Bemerkungen

* Man beweist diese Rechenregeln durch Anwendung der Rechenregeln für die Grundrechenarten.
* Zum Beispiel gilt $\sum_{i=1}^n ax_i = ax_1 + ax_2 + \cdots + ax_n = a(x_1 + x_2 + \cdots + x_n) = a\sum_{i=1}^n x_i$.

# Summen, Produkte, Potenzen
\small
\begin{definition}[Produktzeichen]
Es bezeichnet
\begin{equation}
\prod_{i=1}^{n} x_i = x_1 \cdot x_{2} \cdot \cdots \cdot x_{n}.
\end{equation}
Dabei stehen
\begin{itemize}
\item $\prod$ für das griechische \textit{P}i, mnemonisch für \textit{P}rodukt,
\item das Subskript $i = 1$ für den Laufindex der Produkterme und den Startindex,
\item das Superskript $n$ für den Endindex und
\item $x_1, x_2, ..., x_n$ für die Produktterme.
\end{itemize}
\end{definition}

\footnotesize
Bemerkungen

* Nur mit Subskript und Superskripten macht das Produktzeichen Sinn.
* Die Bezeichnung des Laufindexes ist irrelevant, es gilt $\prod_{i=1}^n x_i = \prod_{j=1}^n x_j$.
* Manchmal wird der Laufindex auch als Element einer Indexmenge $I$ angegeben.
* Ist z.B. die Indexmenge $J := \mathbb{N}_2^0$ definiert, so ist $\sum_{j \in J}x_j := x_0 + x_1 + x_2$.

# Summen, Produkte, Potenzen
\small
\begin{definition}[Potenz]
Für $a \in \mathbb{R}$ und $n \in \mathbb{N}^0$ ist die \textit{$n$-te Potenz von $a$} definiert durch
\begin{equation}
a^0 := 1 \mbox{ und } a^{n+1} := a^n \cdot a.
\end{equation}
Weiterhin ist für $a\in \mathbb{R} \setminus 0$ und  $n \in \mathbb{N}^0$ die \textit{negative $n$-te Potenz von $a$} definiert durch
\begin{equation}
a^{-n} := (a^n)^{-1} := \frac{1}{a^n}.
\end{equation}
$a$ wird dabei \textit{Basis} und $n$ wird \textit{Exponent} genannt.
\end{definition}

\footnotesize
Bemerkung

* Die Potenzdefinition ist *rekursiv* mit *Rekursionsanfang* $a^0 := 1$ und *Rekursionsschritt* $a^{n+1} := a^n \cdot a$.

\small
\begin{theorem}[Rechenregel für Potenzen]
\justifying
\normalfont
Für $a,b\in \mathbb{R}$  und $n,m \in \mathbb{Z}$ mit $a,b\neq 0$ bei negativen Exponenten gelten
\begin{align}
a^n a^m                     = a^{n+m},\quad             
(ab)^n 	                    = a^nb^n,\quad                 
\left(\frac{a}{b}\right)^n  = \frac{a^n}{b^n} \mbox{ und }       
(a^n)^m                     = a^{nm}.
\end{align}
\end{theorem}


# Summen, Produkte, Potenzen
\small
\begin{definition}[$n$-te Wurzel]
Für $a \in \mathbb{R}$ und $n \in \mathbb{N}$ ist die \textit{$n$-te Wurzel von $a$} definiert als die Zahl $r$, so dass
\begin{equation}
r^n = a.
\end{equation}
\end{definition}

\begin{theorem}[Potenzschreibweise der $n$-ten Wurzel]
\normalfont
\justifying
Es sei $a \in \mathbb{R}$, $n \in \mathbb{N}$, und $r$ die $n$-te Wurzel von $a$. Dann gilt
\begin{equation}
r = a^{\frac{1}{n}}
\end{equation}
\end{theorem}

\footnotesize
\underline{Beweis}
\vspace{1mm}

Es gilt
\begin{equation}
\left(a^{\frac{1}{n}}\right)^n
= a^{\frac{1}{n}}\cdot a^{\frac{1}{n}}\cdot \cdots \cdot a^{\frac{1}{n}}
= a^{\sum_{i=1}^n \frac{1}{n}}
= a^1
= a.
\end{equation}
Also gilt mit der Definition der $n$-ten Wurzel, dass $r = a^\frac{1}{n}$.

$\hfill \Box$


# Selbstkontrollfragen
\small
\setstretch{2.5}
1. Geben Sie die Definition des Summenzeichens wieder.
1. Berechnen Sie die Summen $\sum_{i=1}^3 2$, $\sum_{i=1}^3 i^2$, und $\sum_{i=1}^3 \frac{2}{3}i$.
1. Schreiben Sie die Summe $1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11$ mithilfe des Summenzeichens.
1. Schreiben Sie die Summe $0 + 2 + 4 + 6 + 8 + 10$ mithilfe des Summenzeichens.
1. Geben Sie die Definition des Produktzeichens wieder.
1. Geben Sie die Definition der $n$-ten Potenz von $a \in \mathbb{R}$ wieder.
1. Berechnen Sie $2^2\cdot 2^3$ und $2^5$ und geben Sie die zugehörige Potenzregel wieder.
1. Berechnen Sie $6^2$ und $2^2\cdot 3^2$ und geben Sie die zugehörige Potenzregel wieder.
1. Begründen Sie, warum die $n$-te Wurzel von $a$ als $a^{\frac{1}{n}}$ geschrieben werden kann.
1. Berechnen Sie $(\sqrt{2})^{\frac{2}{3}}, 9^{\frac{1}{2}}$, und $4^{-\frac{1}{2}}$.