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\vspace{2mm}
\huge
Mathematische Grundlagen
\vspace{4mm}

\large
BSc Psychologie | MSc Psychologie

MSc Klinische Psychologie und Psychotherapie   
\vspace{4mm}

\Large
WiSe 2023/24

\vspace{4mm}
\normalsize
Prof. Dr. Dirk Ostwald

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\vfill
\center
\huge
\textcolor{black}{(2) Mengen}
\vfill


# Mengen
\small
\begin{definition}[Mengen und Mengendefinition]
\justifying
Nach Cantor (1895) ist eine \textit{Menge} definiert als
``eine Zusammenfassung $M$ von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten $m$
unsere Anschauung oder unseres Denken (welche die Elemente der Menge genannt werden)
zu einem Ganzen''. Wir schreiben
\begin{equation}
m \in M \mbox{ bzw. } m \notin M
\end{equation}
um auszudrücken, dass $m$ ein Element bzw. kein Element von $M$ ist. Zur 
Definition von Mengen gibt es mindestens folgende Möglichkeiten:
\begin{itemize}
\item[(1)] Auflisten der Elemente in geschweiften Klammern, z.B. $M := \{1,2,3\}$ 
\item[(2)] Angabe der Eigenschaften der Elemente, z.B. $M := \{x \in \mathbb{N}|x < 4\}$ 
\item[(3)] Gleichsetzen mit einer anderen eindeutig definierten Menge, z.B. $M := \mathbb{N}_3$ 
\end{itemize}
\end{definition}

Bemerkungen

* $\{x \in \mathbb{N}|x < 4\}$ wird als "$x \in \mathbb{N}$, für die gilt, dass $x < 4$ ist" gelesen.
* Die Bedeutung von $\mathbb{N}$ und $\mathbb{N}_3$ wird im Folgenden erläutert.
* Mengen sind \textit{ungeordnet}, d.h. es gilt zum Beispiel $\{1,2,3\} = \{1,3,2\} = \{2,3,1\}$.

# Mengen
\small
\begin{definition}[Teilmengen und Mengengleichheit]
\begin{itemize}
\item Eine Menge $A$ heißt \textit{Teilmenge} einer Menge $B$, wenn für jedes
Element $a \in A$ gilt, dass auch $a\in B$. Ist $A$ eine Teilmenge von $B$, so 
schreibt man
\begin{equation}
A \subseteq B
\end{equation}
und nennt $A$ \textit{Untermenge} von $B$ und $B$ \textit{Obermenge} von $A$.
\item Eine Menge $A$ heißt \textit{echte Teilmenge} einer Menge $B$, wenn für 
jedes Element $a \in A$ gilt, dass auch $a\in B$, es aber zumindest ein Element
$b \in B$ gibt, für das gilt $b \notin A$. Ist $A$ eine echte Teilmenge von $B$, 
so schreibt man
\begin{equation}
A \subset B.
\end{equation}
\item Zwei Mengen $A$ und $B$ heißen \textit{gleich}, wenn für jedes Element 
$a \in A$ gilt, dass auch $a \in B$, und wenn für jedes Element $b \in B$ gilt, 
dass auch $b \in A$. Sind die Mengen $A$ und $B$ gleich, so schreibt man
\begin{equation}
A = B.
\end{equation}
\end{itemize}
\end{definition}

\footnotesize
Bemerkung

* Es seien $A := \{1\}$, $B := \{1,2\}$, $C := \{1,2\}$. Dann gilt $A \subset B, B \subseteq C, C \subseteq B$ und $B = C$.

# Mengen
\small
\begin{definition}[Kardinalität]
\justifying
Die Anzahl der Elemente einer Menge $M$ heißt \textit{Kardinalität} und wird 
mit $|M|$ bezeichnet.
\end{definition}

\footnotesize
Beispiele

* Für $M := \{1,2,3\}$ gilt $|M| = 3$.
* Für $M := \{a,b\}$ gilt $|M| = 2$.
* Für $M := \{x,y,z,\pi\}$ gilt $|M| = 4$.

# Mengen
\small
\begin{definition}[Leere Menge]
\justifying
Eine Menge mit Kardinalität Null heißt \textit{leere Menge} und wird mit $\emptyset$
bezeichnet.
\end{definition}

* Für $M := \emptyset$ gilt $|M| = 0$.

# Mengen
\small
\begin{definition}[Potenzmenge]
\justifying
Die Menge aller Teilmengen einer Menge $M$ heißt \textit{Potenzmenge von $M$}. Die
Potenzmenge einer Menge $M$ wird mit $\mathcal{P}(M)$ bezeichnet. 
\end{definition}

\footnotesize
Bemerkungen

* Man beachte, dass die leere Untermenge von $M$ und $M$ selbst immer Elemente von $\mathcal{P}(M)$ sind.
* Ohne Beweis halten wir fest, dass gilt $|M| = n \Rightarrow |\mathcal{P}(M)| = 2^n$.

# Mengen
\small

Wir betrachten vier Beispiele zum Begriff der Potenzmenge.

* $M_0 := \emptyset$ sei die leere Menge. Dann gilt
\begin{equation}
\mathcal{P}(M_0) = \emptyset.
\end{equation}

* $M_1$ sei die einelementige Menge $M_1 := \{a\}$. Dann gilt
\begin{equation}
\mathcal{P}(M_1) = \{\emptyset,\{a\}\}.
\end{equation}

* Es sei $M_2 := \{a,b\}$. Dann hat $M_2$ sowohl ein- als auch zweielementige Teilmengen
und es gilt
\begin{equation}
\mathcal{P}(M_2) = \{\emptyset,\{a\}\, \{b\}, \{a,b\}\}.
\end{equation}

* Es sei $M_3 := \{a,b,c\}$. Dann hat  $M$ ein-, zwei-, als auch
dreielementige Teilmengen und es gilt
\begin{equation}
\mathcal{P}(M_3) = \{\emptyset, \{a\},\{b\},\{c\},\{a,b\},\{a,c\},\{b,c\},\{a,b,c\}\}.
\end{equation}

# Mengen
\small
\begin{definition}[Mengenoperationen]
$M$ und $N$ seien zwei Mengen.
\justifying
\begin{itemize}
\item Die \textit{Vereinigung von $M$ und $N$} ist definiert als die Menge
\begin{equation}
M \cup N := \{x | x \in M \lor x \in N\},
\end{equation}
\item Der \textit{Durchschnitt von $M$ und $N$} ist definiert als die Menge
\begin{equation}
M \cap N := \{x | x \in M \land x \in N\}.
\end{equation}
Gilt für zwei Mengen, dass $M \cap N = \emptyset$, dann heißen $M$ und $N$ \textit{disjunkt}.
\item Die \textit{Differenz von $M$ und $N$} ist definiert als die Menge
\begin{equation}
M\setminus N := \{x | x \in M \land x \notin N\}.
\end{equation}
\item Die \textit{symmetrische Differenz von $M$ und $N$} ist definiert als die Menge
\begin{equation}
M \Delta N := \{x|\left(x \in M \lor x \in N\right) \land x \notin M \cap N\}.
\end{equation}
\end{itemize}
\end{definition}

# Mengen
Beispiel
\setstretch{2.5}

Für $M := \{1,2,3\}$ und $N := \{2,3,4,5\}$ gelten

* $M \cup N = \{1,2,3,4,5\}$
* $M \cap N = \{2,3\}$
* $M \setminus N = \{1\}$
* $N \setminus M = \{4,5\}$
* $M \Delta N = \{1,4,5\}$ 

# Mengen
\small
\begin{definition}[Partition]
$M$ sei eine Menge und $P := \{N_i\}$ sei eine Menge von Mengen $N_i$ mit $i = 1,...,n$,
so dass gilt
\begin{equation}
\left(M = \cup_{i=1}^n N_i\right) 
\land 
\left(N_i \cap N_j = \emptyset \mbox{ für } i = 1,...,n, j = 1,..., n, i \neq j\right).
\end{equation}
Dann heißt $P$ eine \textit{Partition} (oder \textit{Zerlegung}) von $M$.
\end{definition}
\footnotesize

Bemerkungen

* Partitionen von $M := \{1,2,3,4\}$ sind zum Beispiel
\begin{equation}
P_1 := \{\{1\}, \{2,3,4\}\}, P_2 := \{\{1,2\}, \{3,4\}\}, P_3 := \{\{1\}, \{2\}, \{3,4\}\}. 
\end{equation}

# Mengen
\small
\begin{definition}[Zahlenmengen]
Es bezeichnen
\begin{itemize}
\item $\mathbb{N}\,\,\, := \{1,2,3,...\}$ die \textit{natürlichen Zahlen},
\item $\mathbb{N}_n     := \{1,2,3,...,n\}$ die \textit{natürlichen Zahlen der Ordnung $n$},
\item $\mathbb{N}^0     := \mathbb{N} \cup \{0\}$ die \textit{natürlichen Zahlen} und Null,
\item $\mathbb{Z}\,\,\, := \{...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...\}$ die \textit{ganzen Zahlen},
\item $\mathbb{Q}\,\,\, := \{\frac{p}{q}|p,q \in \mathbb{Z}, q \neq 0\}$ die \textit{rationalen Zahlen},
\item $\mathbb{R}\,\,\,$ die \textit{reellen Zahlen}, und
\item $\mathbb{C}\,\,\, := \{a +ib|a,b\in \mathbb{R}, i := \sqrt{-1} \}$ die \textit{komplexen Zahlen}.
\end{itemize}
\end{definition}

\footnotesize
Bemerkungen

* $\mathbb{R}$ umfasst die rationalen Zahlen und die irrationalen Zahlen $\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$ wie z.B.$e,\pi$ und $\sqrt{2}$.
* Es gilt $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}$.

# Mengen
\small
\begin{definition}[Intervalle]
\justifying
Zusammenhängende Teilmengen der reellen Zahlen heißen \textit{Intervalle}. Für $a,b\in \mathbb{R}$ unterscheidet man
\begin{itemize}
\item das \textit{abgeschlossene Intervall}
\begin{equation}
[a,b] := \{x \in \mathbb{R}|a \le x \le b\},
\end{equation}
\item das \textit{offene Interval}
\begin{equation}
]a,b[ := \{x \in \mathbb{R}|a < x < b\},
\end{equation}
\item die \textit{halboffenen Intervalle}
\begin{equation}
]a,b] := \{x \in \mathbb{R}| a < x \le b\} \mbox{ und } [a,b[ := \{x \in \mathbb{R}| a \le x < b\}.
\end{equation}
\end{itemize}
\end{definition}

\footnotesize
Bemerkungen

* Positiv Unendlich ($\infty$) und negativ Unendlich ($-\infty$) sind keine Elemente von $\mathbb{R}$.
* Es gilt also immer $]-\infty,b]$ oder $]-\infty,b[$   bzw. $]a,\infty[$  oder $[a,\infty[$, sowie $\mathbb{R} = ]-\infty, \infty[$.

# Mengen
\footnotesize
\begin{definition}[Kartesische Produkte]
\justifying
$M$ und $N$ seien zwei Mengen. Dann ist das \textit{Kartesische Produkt der
Mengen $M$ und $N$} die Menge aller geordneten Tupel $(m,n)$ mit $m \in M$ und
$n \in N$, formal
\begin{equation}
M \times N := \{(m,n)|m\in M, n \in N \}.
\end{equation}

Das Kartesische Produkt einer Menge $M$ mit sich selbst wird bezeichnet mit
\begin{equation}
M^2 := M \times M.
\end{equation}

Seien weiterhin $M_1, ..., M_n$ Mengen. Dann ist das \textit{Kartesische
Produkt der Mengen $M_1,...,M_n$} die Menge aller geordneten $n$-Tupel
$(m_1,...,m_n)$ mit $m_i \in M_i$ für $i = 1,...,n$, formal
\begin{equation}
\prod_{i=1}^n M_i := M_1 \times \cdots \times M_n := \{(m_1,...,m_n)|m_i \in M_i \mbox{ für } i = 1,...,n\}.
\end{equation}

Das $n$-fache Kartesische Produkt einer Menge $M$ mit sich selbst wird bezeichnet mit
\begin{equation}
M^n := \prod_{i=1}^n M := \{(m_1,,...,m_n)|m_i \in M\}.
\end{equation}
\end{definition}

\footnotesize
Bemerkungen

* Mengen sind ungeordnet, Zahlentupel sind geordnet.
* Es gilt also zum Beispiel $\{1,2\} = \{2,1\}$, aber $(1,2)\neq (2,1)$.

# Mengen
\small
\begin{definition}[Die Menge $\mathbb{R}^n$]
\justifying
Das $n$-fache Kartesische Produkt der reellen Zahlen mit sich selbst wird bezeichnet mit
\begin{equation}
\mathbb{R}^n := \prod_{i=1}^n \mathbb{R} := \{x := (x_1,,...,x_n)|x_i \in \mathbb{R}\}
\end{equation}
und \textit{``$\mathbb{R}$ hoch $n$''} gesprochen. Wir schreiben die Elemente von $\mathbb{R}^n$ typischerweise als Spalten
\begin{equation}
x :=
\begin{pmatrix}
x_1
\\
\vdots
\\
x_n
\end{pmatrix}
\end{equation}
und nennen sie \textit{$n$-dimensionale Vektoren}. Die Elemente von 
$\mathbb{R}^1 = \mathbb{R}$ heißen nennt man \textit{Skalare}.
\end{definition}


\footnotesize
Bemerkungen

* Ein Beispiel für $x \in \mathbb{R}^4$ ist $x = \begin{pmatrix} 0.16 \\ 1.76 \\ 0.23 \\ 7.10 \end{pmatrix}$.

# Selbstkontrollfragen 
\small
\setstretch{2}

1. Geben Sie die Definition einer Menge nach Cantor (1895) wieder.
1. Nennen Sie drei Möglichkeiten zur Definition einer Menge.
1. Erläutern Sie die Ausdrücke $m \in M, m \notin N, M \subseteq N, M \subset N$ für zwei Mengen $M$ und $N$. 
1. Geben Sie die Definition der Kardinalität einer Menge wieder.
1. Geben Sie die Definition der Potenzmenge einer Menge wieder.
1. Es sei $M := \{1,2\}$. Bestimmen Sie $\mathcal{P}(M)$.
1. Es seien $M := \{1,2\}, N := \{1,4,5\}$. Bestimmen Sie $M \cup N, M \cap N, M\setminus N, M \Delta N$.
1. Erläutern Sie die Symbole $\mathbb{N}$, $\mathbb{N}_n$, und $\mathbb{N}^0$.
1. Erläutern Sie die Unterschiede zwischen $\mathbb{N}$ und $\mathbb{Z}$ und zwischen $\mathbb{R}$ und $\mathbb{Q}$.
1. Geben Sie die Definition abgeschlossener, offener, und halboffener Intervalle wieder.
1. Es seien $M$ und $N$ Mengen. Erläutern Sie die Notation $M \times N$.
1. Geben Sie die Definition von $\mathbb{R}^n$ wieder.

