---
fontsize: 8pt
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    beamer:
        include-in-header: "8_Header.tex"
bibliography: 8_Referenzen.bib
---

#  {.plain}

\center
```{r, echo = FALSE, out.width = "20%", fig.align = "center"}
knitr::include_graphics("8_Abbildungen/magl_8_otto.png")
```
\vspace{2mm}
\huge
Mathematische Grundlagen
\vspace{4mm}

\large
BSc Psychologie | MSc Psychologie

MSc Klinische Psychologie und Psychotherapie   
\vspace{4mm}

\Large
WiSe 2023/24

\vspace{4mm}
\normalsize
Prof. Dr. Dirk Ostwald

#  {.plain}
\vfill
\center
\huge
\textcolor{black}{(8) Vektoren}
\vfill

#
\setstretch{4}
\large
\vfill
Reeller Vektorraum

Euklidischer Vektorraum

Selbstkontrollfragen
\vfill

#
\setstretch{4}
\large
\vfill
**Reeller Vektorraum**

Euklidischer Vektorraum

Selbstkontrollfragen
\vfill


# Reeller Vektorraum
\footnotesize

\begin{definition}[Vektorraum]
\justifying
Es seien $V$ eine nichtleere Menge und $S$ eine Menge von Skalaren. Weiterhin sei
eine Abbildung
\begin{equation}
+ : V \times V \to V, (v_1,v_2) \mapsto +(v_1, v_2) =: v_1 + v_2,
\end{equation}
genannt \textit{Vektoraddition}, definiert. Schließlich sei eine Abbildung
\begin{equation}
\cdot : S \times V \to V, (s,v) \mapsto \cdot(s,v) =: sv,
\end{equation}
genannt \textit{Skalarmultiplikation} definiert. Dann wird das Tupel $(V,S,+,\cdot)$
genau dann \textit{Vektorraum} genannt, wenn für beliebige Elemente
$v,w,u\in V$ und $a,b \in S$ folgende Bedingungen gelten:
\vspace{2mm}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\begin{tabular}{ll}
(1) Kommutativität der Vektoraddition
& $v + w = w + v$
\\
(2) Assoziativität der Vektoraddition
& $(v + w) + u = v + (w + u)$
\\
(3) Existenz eines neutralen Elements der Vektoraddition
& $\exists\, 0 \in V$ mit $v + 0 = 0 + v = v$.
\\
(4) Existenz inverser Elemente der Vektoraddition
& $\forall v \in V\, \exists\, -v \in V$ mit  $v + (-v) = 0$.
\\
(5) Existenz eines neutralen Elements der Skalarmultiplikation
& $\exists\, 1 \in S$ mit $1 \cdot v = v$.
\\
(6) Assoziativität der Skalarmultiplikation
& $a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b)\cdot c$.
\\
(7) Distributivität hinsichtlich der Vektoraddition
& $a\cdot (v + w) = a\cdot v + a \cdot w$.
\\
(8) Distributivität hinsichtlich der Skalaraddition
& $(a + b)\cdot v = a\cdot v + b\cdot v$.
\end{tabular}
\end{center}
\end{definition}

# Reeller Vektorraum

\setstretch{1.7}

\footnotesize
Bemerkungen

* Es gibt viele sehr verschiedene Vektorräume
* Beispiele für Mengen, auf denen eine Vektorraumstruktur definiert werden kann, sind
    * \footnotesize Die Menge der Matrizen
    * Die Menge der Polynome
    * Die Menge der Lösungen eines linearen Gleichungssystems
    * Die Menge der reellen Folgen
    * Die Menge der stetigen Funktionen
* Wir sind hier nur an der Vektorraumstruktur auf den reellen $m$-Tupeln interessiert
* Zur Erinnerung: die reellen $m$-Tupel bezeichnen wir mit
\begin{equation}
\mathbb{R}^m := \left\lbrace \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_m \end{pmatrix} | x_i \in \mathbb{R} \mbox{ für alle } 1 \le i \le m \right\rbrace
\end{equation}
* Wir sprechen $\mathbb{R}^m$ als "R hoch m" aus.
* Die Elemente $x \in \mathbb{R}^m$ nennen wir *reelle Vektoren* oder einfach *Vektoren*


# Reeller Vektorraum
\footnotesize
\begin{theorem}[Reeller Vektorraum]
\justifying
\normalfont
Für alle $x,y \in \mathbb{R}^m$ und $a \in \mathbb{R}$ definieren wir die \textit{Vektoraddition} durch
\begin{equation}
+ : \mathbb{R}^m \times \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m, (x,y) \mapsto x + y =
\begin{pmatrix}
x_1 \\ \vdots \\ x_m
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
y_1 \\ \vdots \\ y_m
\end{pmatrix}
:=
\begin{pmatrix}
x_1 + y_1 \\ \vdots \\ x_m + y_m
\end{pmatrix}
\end{equation}
und die \textit{Skalarmultiplikation} durch
\begin{equation}
\cdot : \mathbb{R} \times \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m, (a,x) \mapsto
ax =
a
\begin{pmatrix}
x_1  \\ \vdots \\ x_m
\end{pmatrix}
:=
\begin{pmatrix}
ax_1  \\ \vdots \\a x_m
\end{pmatrix}
\end{equation}
Dann bildet $(\mathbb{R}^m,+,\cdot)$ mit den Rechenregeln der Addition und Multiplikation
in $\mathbb{R}$ einen Vektorraum, den wir den \textit{reellen Vektorraum} nennen.
\end{theorem}

Bemerkungen

* Wir verzichten auf einen Beweis.
* Man sagt, dass Vektoraddition und Skalarmultiplikation *komponentenweise* durchgeführt werden.

# Reeller Vektorraum
Beispiele
\vspace{2mm}

\footnotesize
$\circ$ Für
$x:=
\begin{pmatrix}
1 \\ 2 \\ 3 \\ 4
\end{pmatrix}$
und
$y:=
\begin{pmatrix}
2 \\ 1 \\ 0 \\ 1
\end{pmatrix}$
gilt
$x + y
=
\begin{pmatrix}
1 \\ 2 \\ 3 \\ 4
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
2 \\ 1 \\ 0 \\ 1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 + 2 \\ 2 + 1 \\ 3 + 0\\ 4 + 1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
3 \\ 3\\ 3 \\ 5
\end{pmatrix}$.
\vspace{10mm}

$\circ$ Für
$x:=
\begin{pmatrix}
2 \\ 3
\end{pmatrix}$
und
$y:=
\begin{pmatrix}
1 \\ 3 \
\end{pmatrix}$
gilt
$x - y
=
\begin{pmatrix}
2 \\ 3
\end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix}
1 \\ 3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
2 - 1 \\ 3 - 3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 \\ 0
\end{pmatrix}$.
\vspace{10mm}

$\circ$ Für
$x:=
\begin{pmatrix}
2 \\ 1 \\ 3
\end{pmatrix}$
und
$a := 3$
gilt
$ax
=
3
\begin{pmatrix}
2 \\ 1 \\ 3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
3 \cdot 2 \\ 3 \cdot 1 \\ 3 \cdot 3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
6 \\ 3 \\ 9
\end{pmatrix}$.


# Reeller Vektorraum

\textcolor{darkblue}{Visualisierung von Vektoren in $\mathbb{R}^2$}

```{r, eval = F, echo = F}
library(latex2exp)
graphics.off()
fdir        =  file.path(getwd(), "8_Abbildungen")
dev.new()
par(
family      = "sans",
mfcol       = c(1,2),
pty         = "s",
bty         = "l",
lwd         = 1,
las         = 1,
mgp         = c(2,1,0),
xaxs        = "i",
yaxs        = "i",
font.main   = 1,
cex         = .95,
cex.main    = 1.2)

# Vektordefinition
x           = c(2,4)

# Punktperspektive
plot(
x[1],
x[2],
type        = "p",
pch         = 19,
xlab        = TeX("$x_1$"),
ylab        = TeX("$x_2$"),
xlim        = c(0,5),
ylim        = c(0,5))
grid()
text(2.5,4,expression(bgroup("(", atop("2", "4"), ")")), cex = .9)

# Pfeilperspektive
plot(
NULL,
xlab        = TeX("$x_1$"),
ylab        = TeX("$x_2$"),
xlim        = c(0,5),
ylim        = c(0,5))
grid()
text(2.5,4,expression(bgroup("(", atop("2", "4"), ")")), cex = .9)
arrows(
x0          = 0,
y0          = 0,
x1          = x[1],
y1          = x[2],
angle       = 30,
length      = .1)

# export to pdf
dev.copy2pdf(                                                                    # export to PDF
             file   = file.path(fdir, "magl_8_vektoren_R2.pdf"),                 # filename
             width  = 8,                                                         # PDF width
             height = 4                                                          # PDF height
             )
```

\center
```{r, echo = FALSE, out.width = "100%"}
knitr::include_graphics("8_Abbildungen/magl_8_vektoren_R2.pdf")
```


# Reeller Vektorraum

\textcolor{darkblue}{Vektoraddition in $\mathbb{R}^2$}
\vspace{2mm}
\small
\begin{equation}
\begin{pmatrix}
1 \\ 2
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
3 \\ 1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
4 \\ 3
\end{pmatrix}
\end{equation}
\vspace{-2mm}
```{r, eval = F, echo = F}
graphics.off()
fdir        =  file.path(getwd(), "8_Abbildungen")
dev.new()
par(
family      = "sans",
mfcol       = c(1,1),
pty         = "s",
bty         = "l",
lwd         = 1,
las         = 1,
mgp         = c(2,1,0),
xaxs        = "i",
yaxs        = "i",
font.main   = 1,
cex         = .95,
cex.main    = 1.2)

# Vektordefinitionen
x           = c(1,2)
y           = c(3,1)
z           = c(4,3)

# Visualisierung
plot(
NULL,
xlab        = TeX("$x_1$"),
ylab        = TeX("$x_2$"),
xlim        = c(0,5),
ylim        = c(0,5))
grid()
points(
c(x[1],y[1],z[1]),
c(x[2],y[2],z[2]),
pch = 19)
text(1.5,2,expression(bgroup("(", atop("1", "2"), ")")), cex = .9)
text(3.5,1,expression(bgroup("(", atop("3", "1"), ")")), cex = .9)
text(4.5,3,expression(bgroup("(", atop("4", "3"), ")")), cex = .9)
arrows(
x0          = c(0,0,0,x[1],y[1]),
y0          = c(0,0,0,x[2],y[2]),
x1          = c(x[1],y[1],z[1],z[1],z[1]),
y1          = c(x[2],y[2],z[2],z[2],z[2]),
angle       = 20,
length      = .1,
col         = c("black", "black", "black", "gray60", "gray80"))


# export to pdf
dev.copy2pdf(                                                                    # export to PDF
             file   = file.path(fdir, "magl_8_vektoraddition_R2.pdf"),           # filename
             width  = 4,                                                         # PDF width
             height = 4                                                          # PDF height
             )
```

\center
```{r, echo = FALSE, out.width = "50%"}
knitr::include_graphics("8_Abbildungen/magl_8_vektoraddition_R2.pdf")
```

# Reeller Vektorraum
\textcolor{darkblue}{Vektorsubtraktion in $\mathbb{R}^2$}
\vspace{2mm}
\small
\begin{equation}
\begin{pmatrix}
1 \\ 2
\end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix}
3 \\ 1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 \\ 2
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
-3 \\ -1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-2 \\ \,\, 1
\end{pmatrix}
\end{equation}
\vspace{-2mm}

```{r, eval = F, echo = F}
graphics.off()
fdir        =  file.path(getwd(), "8_Abbildungen")
dev.new()
par(
family      = "sans",
mfcol       = c(1,1),
pty         = "s",
bty         = "l",
lwd         = 1,
las         = 1,
mgp         = c(2,1,0),
xaxs        = "i",
yaxs        = "i",
font.main   = 1,
cex         = .95,
cex.main    = 1.2)

# Vektordefinitionen
x           = c(1,2)
y           = c(3,1)
z           = c(-2,1)

# Punktperspektive
plot(
NULL,
xlab        = TeX("$x_1$"),
ylab        = TeX("$x_2$"),
xlim        = c(-4,4),
ylim        = c(-4,4))
grid()
points(
c(x[1],y[1],z[1]),
c(x[2],y[2],z[2]),
pch = 19)
text(1.5,2,expression(bgroup("(", atop("1", "2"), ")")), cex = .9)
text(3.5,1,expression(bgroup("(", atop("3", "1"), ")")), cex = .9)
text(-2.5,1,expression(bgroup("(", atop("-2", "1"), ")")), cex = .9)
arrows(
x0          = c(0,0,0,0, -y[1],x[1], y[1]),
y0          = c(0,0,0,0, -y[2],x[2], y[2]),
x1          = c(x[1],y[1],z[1],-y[1], z[1], z[1],x[1]),
y1          = c(x[2],y[2],z[2],-y[2], z[2], z[2],x[2]),
angle       = 20,
length      = .1,
col         = c("black", "black", "black", "gray80", "gray80", "gray80", "gray80"))

# export to pdf
dev.copy2pdf(                                                                    # export to PDF
             file   = file.path(fdir, "magl_8_vektorsubtraktion_R2.pdf"),        # filename
             width  = 4,                                                         # PDF width
             height = 4                                                          # PDF height
             )
```

\center
```{r, echo = FALSE, out.width = "50%"}
knitr::include_graphics("8_Abbildungen/magl_8_vektorsubtraktion_R2.pdf")
```

# Reeller Vektorraum
\textcolor{darkblue}{Skalarmultiplikation in $\mathbb{R}^2$}
\vspace{2mm}
\small
\begin{equation}
3
\begin{pmatrix}
1 \\ 1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
3 \\ 3
\end{pmatrix}
\end{equation}
\vspace{-2mm}

```{r, eval = F, echo = F}
graphics.off()
fdir        =  file.path(getwd(), "8_Abbildungen")
dev.new()
par(
family      = "sans",
mfcol       = c(1,1),
pty         = "s",
bty         = "l",
lwd         = 1,
las         = 1,
mgp         = c(2,1,0),
xaxs        = "i",
yaxs        = "i",
font.main   = 1,
cex         = .95,
cex.main    = 1.2)

# Vektor- und Skalardefinitionen
x           = c(1,1)
a           = 3

# Punktperspektive
plot(
NULL,
xlab        = TeX("$x_1$"),
ylab        = TeX("$x_2$"),
xlim        = c(0,4),
ylim        = c(0,4))
grid()
points(
c(a*x[1],x[1]),
c(a*x[2],x[2]),
pch = 19)
text(1,1.5,expression(bgroup("(", atop("1", "1"), ")")), cex = .9)
text(3,2.5,expression(bgroup("(", atop("3", "3"), ")")), cex = .9)
arrows(
x0          = c(0,0),
y0          = c(0,0),
x1          = c(x[1],a*x[1]),
y1          = c(x[2],a*x[2]),
angle       = 20,
length      = .1,
lwd         = c(4,1),
col         = c("gray70", "black"))

# export to pdf
dev.copy2pdf(                                                                    # export to PDF
             file   = file.path(fdir, "magl_8_skalarmultiplikation_R2.pdf"),     # filename
             width  = 4,                                                         # PDF width
             height = 4                                                          # PDF height
             )
```

\center
```{r, echo = FALSE, out.width = "50%"}
knitr::include_graphics("8_Abbildungen/magl_8_skalarmultiplikation_R2.pdf")
```

#
\setstretch{4}
\large
\vfill
Reeller Vektorraum

**Euklidischer Vektorraum**

Selbstkontrollfragen
\vfill

# Euklidischer Vektorraum

\small
\begin{definition}[Skalarprodukt auf $\mathbb{R}^m$]
Das \textit{Skalarprodukt auf $\mathbb{R}^m$} ist definiert als die Abbildung
\begin{equation}
\langle \rangle : \mathbb{R}^m \times \mathbb{R}^m \to \mathbb{R},
(x,y) \mapsto \langle (x,y) \rangle := \langle x,y \rangle := \sum_{i=1}^m x_i y_i.
\end{equation}
\end{definition}

\footnotesize
Bemerkungen

* \justifying Das Skalarprodukt heißt Skalarprodukt, weil es einen Skalar ergibt, nicht weil Skalare multipliziert werden.
* Wir sehen später, dass mit der Identifikation $\mathbb{R}^m = \mathbb{R}^{m \times 1}$
und der Matrixtransposition gilt, dass
\begin{equation}
\langle x,y \rangle = x^Ty.
\end{equation}


# Euklidischer Vektorraum
Beispiel

Es seien
\begin{equation}
x :=
\begin{pmatrix}
1 \\ 2 \\ 3
\end{pmatrix}
\mbox{ und }
y :=
\begin{pmatrix}
2 \\ 0 \\ 1
\end{pmatrix}
\end{equation}
Dann ergibt sich
\begin{equation}
\langle x,y \rangle
= x_1y_1 + x_2y_2 + x_3y_3
= 1 \cdot 2 + 2 \cdot 0 + 3 \cdot 1
= 2 + 0 + 3
= 5.
\end{equation}


# Euklidischer Vektorraum

\small
\begin{definition}[Euklidischer Vektorraum]
\justifying
Das Tupel $\left((\mathbb{R}^m, +, \cdot), \langle \rangle \right)$ aus dem reellen Vektorraum $(\mathbb{R}^m, +, \cdot)$ und dem Skalarprodukt $\langle \rangle$ auf
$\mathbb{R}^m$ heißt \textit{reeller kanonischer Euklidischer Vektorraum}.
\end{definition}
Bemerkungen

\footnotesize
* \justifying Generell heißt jedes Tupel aus einem Vektorraum und einem Skalarprodukt "Euklidischer Vektorraum".
* Informell sprechen wir aber oft auch einfach von $\mathbb{R}^m$ als
"Euklidischer Vektorraum" und insbesondere bei $\left((\mathbb{R}^m, +, \cdot), \langle \rangle \right)$ von "Euklidischen Vektorraum".
* Ein Euklidischer Vektorraum ist ein Vektorraum mit geometrischer Struktur, die durch
das Skalarprodukt induziert wird.
* Insbesondere bekommen im Euklidischen Vektorraum Begriffe wie die *Länge* eines Vektors, der *Abstand* zweier Vektoren und der *Winkel* zwischen zwei Vektoren mithilfe des Skalarproduktes eine Bedeutung.

# Euklidischer Vektorraum
\setstretch{1.2}
\small
\begin{definition}[Länge, Abstand, Winkel]
$\left((\mathbb{R}^m, +, \cdot), \langle \rangle \right)$ sei der Euklidische Vektorraum.
\begin{itemize}
\item Die \textit{Länge} eines Vektors $x \in \mathbb{R}^m$ ist definiert als
\begin{equation}
\Vert x \Vert := \sqrt{\langle x, x \rangle}.
\end{equation}
\item Der \textit{Abstand} zweier Vektoren $x,y \in \mathbb{R}^m$ ist definiert als
\begin{equation}
d(x,y) := \Vert x - y \Vert.
\end{equation}
\item Der \textit{Winkel} $\alpha$ zwischen zwei Vektoren $x,y \in \mathbb{R}^m$ mit
$x,y \neq 0$ ist definiert durch
\begin{equation}
0 \le \alpha \le \pi \mbox{ und } \cos \alpha
:= \frac{\langle x, y \rangle}{\Vert x \Vert \Vert y \Vert}
\end{equation}
\end{itemize}
\end{definition}

\footnotesize
Bemerkungen

* $\Vert x \Vert$ heißt auch *Norm von $x$* oder *$\ell_2$-Norm von $x$*.
* Ohne Beweis halten wir fest, dass für den Abstand gilt, dass
\begin{equation}
d(x,y) \ge 0, d(x,x) = 0, d(x,y) = d(y,x) \mbox{ und } d(x,y) \le d(x,z) + d(z,y).
\end{equation}
* $\cos$ ist auf $[0,\pi]$ bijektiv, also invertierbar.

# Euklidischer Vektorraum

\textcolor{darkblue}{Vektorlängen in $\mathbb{R}^2$}

```{r, eval = F, echo = F}
graphics.off()
library(latex2exp)
fdir        =  file.path(getwd(), "8_Abbildungen")
dev.new()
par(
family      = "sans",
mfcol       = c(1,1),
pty         = "s",
bty         = "l",
lwd         = 1,
las         = 1,
mgp         = c(2,1,0),
xaxs        = "i",
yaxs        = "i",
font.main   = 1,
cex         = .95,
cex.main    = 1.2)

# Vektordefinitionen
x           = c(2,0)
y           = c(2,2)
z           = c(2,4)

# Visualisierung
plot(
NULL,
xlab        = TeX("$x_1$"),
ylab        = TeX("$x_2$"),
xlim        = c(0,5),
ylim        = c(0,5))
grid()
points(
c(x[1],y[1],z[1]),
c(x[2],y[2],z[2]),
pch = 19)
text(2.5,0.5,expression(bgroup("(", atop("2", "0"), ")")), cex = .9)
text(2.5,2  ,expression(bgroup("(", atop("2", "2"), ")")), cex = .9)
text(2.5,4  ,expression(bgroup("(", atop("2", "4"), ")")), cex = .9)
arrows(
x0          = c(0,0,0),
y0          = c(0,0,0),
x1          = c(x[1],y[1],z[1]),
y1          = c(x[2],y[2],z[2]),
angle       = 20,
length      = .1,
xpd         = TRUE,
lwd         = 2)


# export to pdf
dev.copy2pdf(                                                                    # export to PDF
             file   = file.path(fdir, "magl_8_länge_R2.pdf"),           # filename
             width  = 4,                                                         # PDF width
             height = 4                                                          # PDF height
             )
```

\center
```{r, echo = FALSE, out.width = "60%"}
knitr::include_graphics("8_Abbildungen/magl_8_länge_R2.pdf")
```


# Euklidischer Vektorraum

\textcolor{darkblue}{Vektorlängen in $\mathbb{R}^2$}
\footnotesize

\begin{equation}
\left\lVert \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} \right\rVert
= \sqrt{\left\langle \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} \right\rangle}
= \sqrt{2^2 + 0^2}
= \sqrt{4}
= 2.00
\end{equation}
\vspace{3mm}

\begin{equation}
\left\lVert \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} \right\rVert
= \sqrt{\left\langle \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} \right\rangle}
= \sqrt{2^2 + 2^2}
= \sqrt{8}
\approx 2.83
\end{equation}
\vspace{3mm}

\begin{equation}
\left\lVert \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix} \right\rVert
= \sqrt{\left\langle \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix} \right\rangle}
= \sqrt{2^2 + 4^2}
= \sqrt{20}
\approx 4.47
\end{equation}


# Euklidischer Vektorraum
\textcolor{darkblue}{Abstände in $\mathbb{R}^2$}

```{r, eval = F, echo = F}
graphics.off()
fdir        =  file.path(getwd(), "8_Abbildungen")
dev.new()
par(
family      = "sans",
mfcol       = c(1,1),
pty         = "s",
bty         = "l",
lwd         = 1,
las         = 1,
mgp         = c(2,1,0),
xaxs        = "i",
yaxs        = "i",
font.main   = 1,
cex         = .95,
cex.main    = 1.2)

# Vektordefinitionen
x           = c(1,1)
y           = c(2,2)
z           = c(4,1)

# Visualisierung
plot(
NULL,
xlab        = TeX("$x_1$"),
ylab        = TeX("$x_2$"),
xlim        = c(0,5),
ylim        = c(0,5))
grid()
points(
c(x[1],y[1],z[1]),
c(x[2],y[2],z[2]),
pch = 19)
text(.5,1,expression(bgroup("(", atop("1", "1"), ")")), cex = .9)
text(2,2.75  ,expression(bgroup("(", atop("2", "2"), ")")), cex = .9)
text(4,1.75  ,expression(bgroup("(", atop("4", "1"), ")")), cex = .9)
arrows(
x0          = c(x[1],x[1]),
y0          = c(x[2],x[2]),
x1          = c(y[1],z[1]),
y1          = c(y[2],z[2]),
angle       = 20,
length      = .1,
xpd         = TRUE,
lwd         = 1,
col         = "gray80")


# export to pdf
dev.copy2pdf(                                                                    # export to PDF
             file   = file.path(fdir, "magl_8_abstand_R2.pdf"),           # filename
             width  = 4,                                                         # PDF width
             height = 4                                                          # PDF height
             )
```

\center
```{r, echo = FALSE, out.width = "60%"}
knitr::include_graphics("8_Abbildungen/magl_8_abstand_R2.pdf")
```


# Euklidischer Vektorraum
\textcolor{darkblue}{Abstände in $\mathbb{R}^2$}
\footnotesize
\vspace{5mm}


\begin{equation}
d\left(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}\right)
= \left\lVert \begin{pmatrix}  1 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} \right\rVert
= \left\lVert \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \end{pmatrix}  \right\rVert
= \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2}
= \sqrt{2}
\approx 1.41
\end{equation}

\vspace{5mm}


\begin{equation}
d\left(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}\right)
= \left\lVert \begin{pmatrix}  1 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} \right\rVert
= \left\lVert \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \end{pmatrix} \right\rVert
= \sqrt{(-3)^2 + 0^2}
= \sqrt{9}
= 3
\end{equation}

# Euklidischer Vektorraum
\textcolor{darkblue}{Winkel in $\mathbb{R}^2$}

Kosinus und Arkuskosinus auf $[0,\pi]$

```{r, eval = F, echo = F}
graphics.off()
fdir        =  file.path(getwd(), "8_Abbildungen")
dev.new()
par(
family      = "sans",
mfcol       = c(1,2),
bty         = "l",
lwd         = 1,
las         = 1,
mgp         = c(2,1,0),
xaxs        = "i",
yaxs        = "i",
font.main   = 1,
cex         = .95,
cex.main    = 1.2)

x           =  seq( 0,pi,by = 0.01)
y           =  seq(-1,1 ,by = 0.01)

plot(
x,
cos(x),
type = "l",
xlim = c(0,3.14),
ylim = c(-1.1,1.1),
ylab = " ",
main = "cos(x)",
xlab = "x [rad]"
)
grid()

plot(
y,
acos(y),
type = "l",
xlim = c(-1,1),
ylim = c(0,3.14),
ylab = " ",
xlab = "y",
main = "acos(y)"
)
grid()

# export to pdf
dev.copy2pdf(                                                                    # export to PDF
             file   = file.path(fdir, "magl_8_kosinus.pdf"),           # filename
             width  = 10,                                                         # PDF width
             height = 4                                                          # PDF height
             )
```
\center
```{r, echo = FALSE, out.width = "100%"}
knitr::include_graphics("8_Abbildungen/magl_8_kosinus.pdf")
```

\vspace{-3mm}
\footnotesize
\begin{equation}
\mbox{deg} = \mbox{rad} \cdot \frac{180}{\pi}, \,
\mbox{rad} = \mbox{deg} \cdot \frac{\pi}{180}
\end{equation}
\begin{equation}
0\pi \mbox{ rad }                 = 0.00 \mbox{ rad } = 0  \mbox{ deg }, \,
\frac{\pi}{2} \mbox{ rad } \approx  1.57 \mbox{ rad } = 90 \mbox{ deg }, \,
\pi \mbox{ rad } \approx  3.14 \mbox{ rad } = 180 \mbox{ deg }
\end{equation}

# Euklidischer Vektorraum
\textcolor{darkblue}{Winkel in $\mathbb{R}^2$}

```{r, eval = F, echo = F}
graphics.off()
fdir        =  file.path(getwd(), "8_Abbildungen")
dev.new()
par(
family      = "sans",
mfcol       = c(1,1),
pty         = "s",
bty         = "l",
lwd         = 1,
las         = 1,
mgp         = c(2,1,0),
xaxs        = "i",
yaxs        = "i",
font.main   = 1,
cex         = .95,
cex.main    = 1.2)

# Vektordefinitionen
x           = c(3,0)
y           = c(3,3)
z           = c(0,3)

# Visualisierung
plot(
NULL,
xlab        = TeX("$x_1$"),
ylab        = TeX("$x_2$"),
xlim        = c(0,5),
ylim        = c(0,5))
grid()
points(
c(x[1],y[1],z[1]),
c(x[2],y[2],z[2]),
pch = 19,
xpd = TRUE)
text(3,.75,expression(bgroup("(", atop("3", "0"), ")")), cex = .9)
text(3.5,3.5  ,expression(bgroup("(", atop("3", "3"), ")")), cex = .9)
text(.5,3  ,expression(bgroup("(", atop("0", "3"), ")")), cex = .9)
arrows(
x0          = c(0,0,0),
y0          = c(0,0,0),
x1          = c(x[1],y[1],z[1]),
y1          = c(x[2],y[2],z[2]),
angle       = 20,
length      = .1,
xpd         = TRUE,
lwd         = 2)


# export to pdf
dev.copy2pdf(                                                                    # export to PDF
             file   = file.path(fdir, "magl_8_winkel_R2.pdf"),           # filename
             width  = 4,                                                         # PDF width
             height = 4                                                          # PDF height
             )
```

\center
```{r, echo = FALSE, out.width = "60%"}
knitr::include_graphics("8_Abbildungen/magl_8_winkel_R2.pdf")
```


# Euklidischer Vektorraum
\textcolor{darkblue}{Winkel in $\mathbb{R}^2$}

Winkel in Radians

\footnotesize
\begin{equation}
\mbox{acos}
\left(\frac{\left\langle \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix} \right\rangle}
           {\left\lVert  \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix} \right\rVert \left\lVert \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix} \right\rVert}
\right)
= \mbox{acos}
\left(\frac{3\cdot 3 + 3 \cdot 0}
           {\sqrt{3^2 + 0^2} \cdot \sqrt{3^2 + 3^2}}
\right)
= \mbox{acos}
\left(\frac{9}
           {3 \cdot \sqrt{18}}
\right)
= \frac{\pi}{4}
\approx 0.785
\end{equation}
\vspace{3mm}

\normalsize
Winkel in Grad

\begin{equation}
0.785 \cdot \frac{180°}{\pi} = 45°
\end{equation}


# Euklidischer Vektorraum
\textcolor{darkblue}{Winkel in $\mathbb{R}^2$}

Winkel in Radians

\footnotesize
\begin{equation}
\alpha
= \mbox{acos}
\left(\frac{\left\langle \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix} \right\rangle}
           {\left\lVert  \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix} \right\rVert \left\lVert \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix} \right\rVert}
\right)
= \mbox{acos}
\left(\frac{3\cdot 0 + 0 \cdot 3}
           {\sqrt{3^2 + 0^2} \cdot \sqrt{0^2 + 3^2}}
\right)
= \mbox{acos}
\left(\frac{0}
           {3 \cdot 3}
\right)
= \frac{\pi}{2}
\approx 1.57
\end{equation}
\vspace{3mm}

\normalsize
Winkel in Grad

\begin{equation}
\frac{\pi}{2} \cdot \frac{180°}{\pi} = 90°
\end{equation}


# Euklidischer Vektorraum
\setstretch{1.2}
\small
\begin{definition}[Orthogonalität und Orthonormalität von Vektoren]
\justifying
$\left((\mathbb{R}^m, +, \cdot), \langle \rangle \right)$ sei der Euklidische Vektorraum.
\begin{itemize}
\item Zwei Vektoren $x,y \in \mathbb{R}^m$ heißen \textit{orthogonal}, wenn gilt, dass
\begin{equation}
\langle x, y \rangle = 0
\end{equation}
\item Zwei Vektoren $x,y \in \mathbb{R}^m$ heißen \textit{orthonormal}, wenn gilt, dass
\begin{equation}
\langle x, y \rangle = 0 \mbox{ und } \Vert x \Vert = \Vert y \Vert = 1.
\end{equation}
\end{itemize}
\end{definition}

Bemerkung

* Für orthogonale und orthonormale Vektoren gilt insbesondere auch
\begin{equation}
\cos \alpha
= \frac{\langle x, y \rangle}{\Vert x \Vert \Vert y \Vert}
= \frac{0}{\Vert x \Vert \Vert y \Vert}
= 0
\end{equation}
also
\begin{equation}
\alpha = \frac{\pi}{2} = 90^{\circ}
\end{equation}


#
\setstretch{4}
\large
\vfill
Reeller Vektorraum

Euklidischer Vektorraum

**Selbstkontrollfragen**
\vfill


# Selbstkontrollfragen
\footnotesize
1. Geben Sie die Definition eines Vektorraums wieder.
1. Geben Sie die Definition des reellen Vektorraums wieder.
1. Es seien 
\begin{equation}
x := \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}, 
y := \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}
\mbox{ und } 
a := 2. 
\end{equation}
Berechnen Sie
\begin{equation}
v = a(x+y) \mbox{ und } w = \frac{1}{a}(y-x)
\end{equation}
1. Geben Sie die Definition des Skalarproduktes auf $\mathbb{R}^m$ wieder.
1. Für
$$
x := \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix},
y := \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix},
z := \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} 
$$ {#eq-xyz}
berechnen Sie
\begin{equation}
\langle x,y \rangle, \langle x, z \rangle, \langle y,z \rangle
\end{equation}
1. Geben Sie die Definition des Euklidischen Vektorraums wieder.
1. Geben Sie die Definition der Länge eines Vektors im Euklidischen Vektorraum wieder,
1. Berechnen Sie die Längen der Vektoren $x,y,z$ aus @eq-xyz.
1. Geben Sie Definition des Abstands zweier Vektoren im Euklidischen Vektorraum wieder.
1. Berechnen Sie $d(x,y), d(x,z)$ und $d(y,z)$ für $x,y,z$  aus @eq-xyz.
1. Geben Sie die Definition des Winkels zwischen zwei Vektoren im Euklidischen Vektorraum wieder.
1. Berechnen Sie die Winkel zwischen den Vektoren $x$ und $y$, $x$ und $z$, sowie $y$ und $z$ aus @eq-xyz.
1. Geben Sie die Definitionen der Orthogonalität und Orthonormalität von Vektoren wieder.

