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#  {.plain}

\center
```{r, echo = FALSE, out.width = "20%", fig.align = "center"}
knitr::include_graphics("4_Abbildungen/magl_4_otto.png")
```
\vspace{2mm}
\huge
Mathematische Grundlagen
\vspace{4mm}

\large
BSc Psychologie | MSc Psychologie

MSc Klinische Psychologie und Psychotherapie   
\vspace{4mm}

\Large
WiSe 2023/24

\vspace{4mm}
\normalsize
Prof. Dr. Dirk Ostwald

#  {.plain}
\vfill
\center
\huge
\textcolor{black}{(4) Funktionen}
\vfill

# 
\vfill
\Large
\setstretch{3}
Definition und Eigenschaften

Funktionentypen

Elementare Funktionen

Selbstkontrollfragen
\vfill


# 
\vfill
\Large
\setstretch{3}
**Definition und Eigenschaften**

Funktionentypen

Elementare Funktionen

Selbstkontrollfragen
\vfill

# Definition und Eigenschaften
\setstretch{1.2}
\small
\begin{definition}[Funktion]
\justifying
Eine \textit{Funktion} (oder \textit{Abbildung}) $f$ ist eine Zuordnungsvorschrift, 
die jedem Element einer Menge $D$ genau ein Element einer Zielmenge $Z$ zuordnet. 
$D$ wird dabei \textit{Definitionsmenge von $f$} und $Z$ wird \textit{Zielmenge von $f$}
genannt. Wir schreiben
\begin{equation}
f : D \to Z, x \mapsto f(x),
\end{equation}
wobei $f : D \to Z$ gelesen wird als ``die Funktion $f$ bildet alle Elemente der
Menge $D$ eindeutig auf Elemente in $Z$ ab'' und $x \mapsto f(x)$ gelesen wird 
als ``$x$, welches ein Element von $D$ ist, wird durch die Funktion $f$ auf 
$f(x)$ abgebildet, wobei $f(x)$ ein Element von $Z$ ist''. Der Pfeil $\to$ steht 
für die Abbildung zwischen den Mengen $D$ und $Z$, der Pfeil $\mapsto$ steht für 
die Abbildung zwischen einem Element von $D$ und einem Element von $Z$.
\end{definition}
\footnotesize
Bemerkungen

* Es ist zentral, zwischen der \textit{Funktion} $f$ als Zuordnungsvorschrift und einem \textit{Wert} der Funktion $f(x)$ als Element von $Z$ zu unterscheiden. $x$ ist das Argument der Funktion (der "Funktionsinput"), $f(x)$ ist der Wert den $f$ für $x$ annimmt (der "Funktionsoutput").
* Üblicherweise folgt $f(x)$ die Definition der \textit{funktionalen Form} von $f$, die besagt,
wie $f(x)$ aus $x$ zu berechnen ist, zum Beispiel 
\begin{equation}
f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}_{\ge 0}, x \mapsto f(x) := x^2.
\end{equation}


# Definition und Eigenschaften
\small
\begin{definition}[Bildmenge, Urbildmenge]
Es sei $f : D \to Z, x \mapsto f(x)$ eine Funktion und es seien $D' \subseteq D$ und $Z' \subseteq Z$.
\begin{itemize}
\item Die Menge
\begin{equation}
f(D') := \{z \in Z| \mbox{Es gibt ein } x \in D' \mbox{ mit } z = f(x)\}
\end{equation}
heißt die \textit{Bildmenge von $D'$} und $f(D) \subseteq Z$ heißt der \textit{Wertebereich} von $f$.
\item Die Menge
\begin{equation}
f^{-1}(Z') := \{x \in D | f(x) \in Z'\}
\end{equation}
heißt die \textit{Urbildmenge von $Z'$}. $x \in D$ mit $z = f(x) \in Z$ heißt auch \textit{Urbild von $z$}.
\end{itemize}
\end{definition}

\footnotesize
Bemerkung

* Wertebereich $f(D)$ und Zielmenge $Z$ einer Funktion sind nicht notwendigerweise identisch.

# Definition und Eigenschaften
\small
\begin{definition}[Injektivität, Surjektivität, Bijektivität]
\justifying
Es sei $f : D \to Z, x \mapsto f(x)$ eine Funktion.
\begin{itemize}
\justifying
\item Die Funktion $f$ heißt \textit{injektiv}, wenn es zu jedem Bild $z \in f(D)$ 
genau ein Urbild $x \in D$ gibt. Äquivalent gilt, dass $f$ injektiv ist, wenn aus
$x_1,x_2 \in D$ mit $x_1 \neq x_2$ folgt, dass $f(x_1) \neq f(x_2)$ ist.
\item Die Funktion $f$ heißt \textit{surjektiv}, wenn $f(D) = Z$ gilt, wenn also 
jedes Element der Zielmenge $Z$ ein Urbild in der Definitionsmenge $D$ hat.
\item Die Funktion $f$ heißt \textit{bijektiv}, wenn $f$ injektiv und surjektiv ist.
\end{itemize}
\end{definition}

\footnotesize
Bemerkungen

* $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto f(x) := x^2$ ist nicht injektiv, 
weil z.B. für $x_1 = 2 \neq -2 = x_2$ gilt, dass $f(x_1) = 2^2 = 4 = (-2)^2 = f(x_2)$. 
Weiterhin ist $f$ auch nicht surjektiv, weil z.B. $-1 \in \mathbb{R}$ kein Urbild unter $f$ hat.
* $f : [0,\infty[ \to [0,\infty[, x \mapsto f(x) := x^2$ ist injektiv und surjektiv, also bijektiv.
* Bijektive Abbildungen heißen auch \textit{eineindeutige Funktionen} (engl. \textit{one-to-one mappings}).

# Definition und Eigenschaften
\vspace{2mm}
\vfill
\center
```{r, echo = FALSE, out.width = "100%"}
knitr::include_graphics("4_Abbildungen/magl_4_inj_sur_bij.pdf")
```
\vfill

# 
\vfill
\Large
\setstretch{3}
Definition und Eigenschaften

**Funktionentypen**

Elementare Funktionen

Selbstkontrollfragen
\vfill


# Funktiontypen
\small
\begin{definition}[Verkettung von Funktionen]
\justifying
Es seien $f : D \to Z$ und $g : Z \to S$ zwei Funktionen, wobei der Wertebereich
von $f$ mit der Definitionsmenge von $g$ übereinstimmen soll. Dann ist durch
\begin{equation}
g \circ f : D \to S, x \mapsto (g \circ f)(x) := g(f(x))
\end{equation}
eine Funktion definiert, die die \textit{Verkettung von $f$ und $g$} genannt wird.
\end{definition}
Bemerkungen
\footnotesize

* $g \circ f$ bezeichnet die Funktion.
* $(g \circ f)(x)$ bezeichnet ein Element in $S$.
* Erst wird $f$ auf $x$ angewendet, dann wird $g$ auf $f(x)$ angewendet.
* Für $f(x) := -x^2$ und $g(x) := \exp(x)$ ist $(g \circ f)(x) = \exp(-x^2)$.


# Funktionentypen
\small
\begin{definition}[Inverse Funktion]
Es sei $f : D \to Z, x \mapsto f(x)$ eine bijektive Funktion. Dann heißt die Funktion $f^{-1}$ mit
\begin{equation}
f^{-1} \circ f : D \to D, x \mapsto (f^{-1} \circ f)(x) := f^{-1}(f(x)) = x
\end{equation}
\textit{inverse Funktion}, \textit{Umkehrfunktion} oder \textit{Inverse} von $f$.
\end{definition}
\footnotesize
Bemerkungen

* Weil $f$ bijektiv ist, wird jedem $x \in D$ genau ein $z = f(x) \in Z$ zugeordnet.
* Jedem $z \in Z$ wird also auch genau ein $x \in D$ zugeordnet.
* Die inverse Funktion einer bijektiven Funktion ist also auch bijektiv.
* Die inverse Funktion von $f(x) := 2x =: y$ ist $f^{-1}(y) = y/2$.



# Funktionentypen
\small
\begin{definition}[Lineare Abbildung]
\justifying
Eine Abbildung $f : D \to Z, x \mapsto f(x)$ heißt \textit{lineare Abbildung}, 
wenn für $x,y \in D$ und einen Skalar $c$ gelten, dass
\begin{equation}
f(x + y) = f(x) + f(y) \mbox{ und } f(cx) = cf(x).
\end{equation}
Eine Abbildung, für die obige Eigenschaften nicht gelten, heißt \textit{nicht-lineare Abbildung}.
\end{definition}

\footnotesize
Bemerkungen

* Für $a \in \mathbb{R}$ ist die Abbildung $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto f(x) := ax$ linear, weil
\begin{equation}
f(x + y) = a(x + y) = ax + ay = f(x) + f(y) \mbox{ und } f(cx) = acx = cax = cf(x).
\end{equation}
* Für $a,b \in \mathbb{R}$ dagegen ist die Abbildung $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto f(x) := ax + b$ nicht-linear, weil z.B. für $a := b := 1$ gilt, dass
\begin{equation}
f(x+y) = 1(x+y)+1 = x + y + 1 \neq x + 1 + y + 1 = f(x) + f(y).
\end{equation}
* Wir nennen eine Funktion der Form $f(x) := ax + b$ eine \textit{linear-affine Funktion}.


# Funktionentypen
\small
\begin{theorem}[Lineare Abbildung der Null]
\normalfont
$f: D \to Z$ sei eine lineare Abbildung. Dann gilt 
\begin{equation}
f(0) = 0.
\end{equation}
\end{theorem}

\footnotesize
\underline{Beweis}

Mit der Additivität von $f$ gilt
\begin{equation}
f(0) = f(0 + 0) = f(0) + f(0).
\end{equation}
Addition von $-f(0)$ auf beiden Seiten obiger Gleichung ergibt dann
\begin{equation}
f(0) - f(0) =  f(0) + f(0) - f(0) \Leftrightarrow 0 =  f(0).  
\end{equation}
$\hfill\Box$

# Funktionentypen
\setstretch{1.1}
\small
\begin{definition}[Funktionenarten]
Wir unterscheiden
\begin{itemize}
\item \textit{univariate reellwertige Funktionen} der Form
\begin{equation}
f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto f(x),
\end{equation}
\item \textit{multivariate reellwertige Funktionen} der Form
\begin{equation}
f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, x \mapsto f(x) = f(x_1,...,x_n),
\end{equation}
\item \textit{multivariate vektorwertige Funktionen} der Form
\begin{equation}
f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m, x \mapsto
f(x) =
\begin{pmatrix}
f_1(x_1,...,x_n) 	\\
\vdots				\\
f_m(x_1,...,x_n)
\end{pmatrix}.
\end{equation}
\end{itemize}
\end{definition}
\footnotesize
Bemerkung
\begin{itemize}
\item In der Physik werden multivariate reellwertige Funktionen auch \textit{Skalarfelder} genannt.
\item In der Physik werden multivariate vektorwertige Funktionen auch \textit{Vektorfelder} genannt.
\item Es gibt auch \textit{matrixvariate matrixwertige Funktionen} oder \textit{funktionsvariate funktionswertige Funktionen}.
\end{itemize}

# Funktionentypen
Beispiele

\small
Univariate, reellwertige Funktion
\begin{equation}
f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto f(x) := x^2
\end{equation}
Multivariate (bivariate), reellwertige Funktion
\begin{equation}
f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}, x \mapsto f(x) := x_1^2 + x_2^2
\end{equation}
\vspace{1mm}

```{r, echo = F, eval = F}

# Funktionsdefinitionen
# ------------------------------------------------------------------------------
# Zielfunktion
f = function(x) {
  return(x[1]^2 + x[2]^2)                 # f(x) := x_1^2 + x_2^2
}
# Gradient der Zielfunktion
nabla_f = function(x) {
  return(matrix(c(2*x[1],2*x[2]),         # \nabla f(x) := (2x_1, 2x_2)^T
                nrow = 2))
}

graphics.off()
library(latex2exp)
fdir        =  file.path(getwd(), "4_Abbildungen")
dev.new()
par(
family      = "sans",
mfcol       = c(1,3),
pty         = "s",
bty         = "l",
lwd         = 1,
las         = 1,
xaxs        = "i",
yaxs        = "i",
font.main   = 1,
cex         = 1,
cex.main    = 1.2)

# Univariate reellwertige Funktion
x_min  = -2                                          # x_i Minimum
x_max  =  2                                          # x_i Maximum
x_res  = 1e2                                         # x_i Auflösung
x_1    = seq(x_min, x_max, length.out = x_res)       # x_1 Raum
x_2    = seq(x_min, x_max, length.out = x_res)       # x_2 Raum
plot(
x_1,
x_1^2,
lwd  = 2,
type = "l",
ylim = c(-.1,2),
xlab = TeX("$x$"),
ylab = "",
main = TeX("$f(x) := x^2$"))
g   = grid()

# Bivariate reellwertige Funktion 1
X      = expand.grid(x_1,x_2)                      # X = (x_1,x_2)^T Raum
fX     = matrix(as.matrix(f(X)),nrow = x_res )     # f(x)
persp(
x_1,
x_2,
fX,
col    = "gray60",
border = NA,
theta  = 30,
phi    = 30,
ltheta = -120,
shade  = 0.75,
zlab   = "",
main   = TeX("$f(x) := x_1^2 + x_2^2$"))

# Bivariate reellwertige Funktion 2
contour(
x_1,
x_2,
fX,
xlim      = c(x_min,x_max),
ylim      = c(x_min,x_max),
xlab      = TeX("$x_1$"),
ylab      = TeX("$x_2$"),
levels    = c(.1,.5, 1:8),
main      = TeX("$f(x) := x_1^2 + x_2^2$"))
g   = grid()

dev.copy2pdf(
file        = file.path(fdir, "magl_4_funktionenarten.pdf"),
width       = 12,
height      = 4)
```

```{r, echo = FALSE, out.width = "100%"}
knitr::include_graphics("4_Abbildungen/magl_4_funktionenarten.pdf")
```

# 
\vfill
\Large
\setstretch{3}
Definition und Eigenschaften

Funktionentypen

**Elementare Funktionen**

Selbstkontrollfragen
\vfill

# Elementare Funktionen
\setstretch{2}
Elementare univariate reellwertige Funktion sind
\begin{itemize}
\item die Polynomfunktionen,
\item die Exponentialfunktion,
\item der Logarithmusfunktion,
\item die Gammafunktion.
\end{itemize}
\vspace{3mm}
Wir skizzieren diese Funktionen im Folgenden.


# Elementare Funktionen
\small
\begin{definition}[Polynomfunktionen]
\justifying
Eine Funktion der Form
\begin{equation}
f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto f(x) := \sum_{i=0}^{k} a_i x^i = a_0 + a_1 x^1 + a_2 x^2 + \cdots + a_k x^k
\end{equation}
heißt \textit{Polynomfunktion} $k$-ten Grades mit Koeffizienten $a_0, a_1,...,a_k \in \mathbb{R}$. 
Typische Polynomfunktionen sind in nachfolgender Tabelle aufgelistet
\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\begin{table}
\centering
\begin{tabular}{lll}
Name 				            & Funktionale Form 	& Koeffizienten 											                  \\\hline
Konstante Funktion 	    & $f(x) = a$		  & $a_0 := a$, 			      $a_i := 0, i > 0$					      \\
Identitätsfunktion      & $f(x) = x$ 		  & $a_0 := 0$, $a_1 := 1$, $a_i := 0, i > 1$					      \\
Linear-affine Funktion 	& $f(x) = ax + b$	& $a_0 := b$, $a_1 := a$, $a_i := 0, i > 1$					      \\
Quadratfunktion	 	      & $f(x) = x^2$ 		& $a_0 := 0$, $a_1 := 0$, $a_2 := 1$, $a_i := 0, i > 2$		\\
\end{tabular}
\end{table}
\end{definition}


# Elementare Funktionen
\vspace{5mm}
Graphen typischer Polynomfunktionen
\vspace{-2mm}
```{r, echo = F, eval = F}
library(latex2exp)
graphics.off()
fdir        =  file.path(getwd(), "4_Abbildungen")

# Definitionen
res       = 1e3                                                                  # domain resolution
a         = 2                                                                    # constant
b         = 1                                                                    # constant
xmax      = 5
x         = cbind(matrix(seq(  -xmax,xmax, len = res), nrow = res))              # polynomial functions domain
fx        = cbind(matrix(rep(a,res)),                                            # f(x) := a
                matrix(x),                                                       # f(x) := x
                matrix(a * x + b),                                               # f(x) := ax + b
                matrix(x^2))                                                     # f(x) := x^2

# Visualisierung
dev.new()
par(
family     = "sans",
pty        = "s",
bty        = "l",
lwd        = 1,
las        = 1,
mgp        = c(2,1,0),
cex        = 1.2
)
matplot(
x,
fx,
type       = "l",
lty        = 1,
lwd        = 2,
col        = c("black", "gray50", "gray75", "gray90"),
xlim       = c(-xmax,xmax),
ylim       = c(-xmax,xmax),
ylab       = " ",
xlab       = "x",
)
grid()
legend(0.5,
-1,
c(   
TeX("$f(x) = 2$"),
TeX("$f(x) = x$"),
TeX("$f(x) = 2x+1$"),
TeX("$f(x) = x^2$")),
cex       = 1,
col       = c("black", "gray50", "gray75", "gray90"),
lty       = 1,
lwd       = 2,
y.intersp = 2.7,
bty       = "n")

dev.copy2pdf(                                                                     
file   = file.path(fdir, "magl_4_polynom_funktionen.pdf"),                    
width  = 6,                                                                   
height = 6)
```

\center
```{r, echo = FALSE, out.width = "65%"}
knitr::include_graphics("4_Abbildungen/magl_4_polynom_funktionen.pdf")
```
\vfill


# Elementare Funktionen
\setstretch{1.2}
\small
\begin{theorem}[Exponentialfunktion und ihre Eigenschaften]
\justifying
\normalfont
Die \textit{Exponentialfunktion} ist definiert als
\begin{equation}
\exp : \mathbb{R} \to \mathbb{R},
x \mapsto \exp(x)
:= e^x
:= \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}
= 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots
\end{equation}
Die Exponentialfunktion hat folgende Eigenschaften:
\vspace{1mm}

\begin{table}
\centering
\begin{tabular}{ll}
Wertebereich
& $x \in ]-\infty,0[ \Rightarrow \exp(x) \in ]0,1[$
\\
& $x \in ]0,\infty[\quad\,\,  \Rightarrow \exp(x) \in ]1,\infty[$
\\
Monotonie
& $x < y \Rightarrow \exp(x) < \exp(y)$
\\
Spezielle Werte
& $\exp(0) = 1$ und $\exp(1) = e$
\\
Summationseigenschaft
& $\exp(x + y) = \exp(x)\exp(y)$
\\
Subtraktionseigenschaft
& $\exp(x - y) = \frac{\exp(x)}{\exp(y)}$
\end{tabular}
\end{table}
\end{theorem}
\footnotesize
Bemerkungen

* Für Beweise der Eigenschaften wird auf die weiterführende Literatur verwiesen.
* $e \approx 2.71$ heißt \textit{Eulersche Zahl}.
* Mit der Additionsseigenschaft und den speziellen Werten gilt $\exp(x)\exp(-x) = \exp(x-x) = \exp(0) = 1$.

# Elementare Funktionen
\setstretch{1.2}
\small
\begin{theorem}[Logarithmusfunktion und ihre Eigenschaften]
\justifying
\normalfont
Die \textit{Logarithmusfunktion} ist definiert als inverse Funktion der Exponentialfunktion,
\begin{equation}
\ln : ]0,\infty[ \to \mathbb{R}, x \mapsto \ln(x) \mbox{ mit } \ln(\exp(x)) = x \mbox{ für alle } x \in \mathbb{R}.
\end{equation}
Die Logarithmusfunktion hat folgende Eigenschaften:
\vspace{1mm}

\begin{table}
\centering
\begin{tabular}{ll}
Wertebereich
& $x \in \, ]0,1[\,\,\, \Rightarrow \ln(x) \in\,]-\infty,0[$
\\
& $x \in \, ]1,\infty[ \Rightarrow \ln(x) \in\, ]0,\infty[$
\\
Monotonie
& $x < y \Rightarrow \ln(x) < \ln(y)$
\\
Spezielle Werte
& $\ln(1) = 0$ und $\ln(e) = 1$.
\\
Produkteigenschaft
& $\ln(xy) = \ln(x) + \ln(y)$
\\
Potenzeigenschaft
& $\ln(x^c) = c\ln(x)$
\\
Divisionseigenschaft
& $\ln\left(\frac{1}{x}\right) = - \ln (x)$
\end{tabular}
\end{table}
\end{theorem}
\footnotesize
Bemerkungen

* Für Beweise der Eigenschaften wird auf die weiterführende Literatur verwiesen.
* "Die Logarithmusfunktion wandelt Produkte in Summen und Potenzen in Produkte um."


# Elementare Funktionen
\vspace{5mm}
Graphen der Exponential- und Logarithmusfunktion
\vspace{-2mm}

```{r, echo = F, eval = F}
graphics.off()
fdir        =  file.path(getwd(), "4_Abbildungen")

# Definitionen
res     = 1e3
xmax    = 5
x       = cbind(matrix(seq(  -xmax,xmax, len = res), nrow = res),                # exp domain
                matrix(seq(1e-5   ,xmax, len = res), nrow = res))                # ln domain
fx      = cbind(matrix(exp(x[,1])),                                              # exp(x)
                matrix(log(x[,2])))                                              # ln(x)

# Visualisierung
dev.new()
par(
family     = "sans",
pty        = "s",
bty        = "l",
lwd        = 1,
las        = 1,
mgp        = c(2,1,0),
cex        = 1.2)
matplot(
x,
fx,
type      = "l",
lty       = 1,
lwd       = 2,
col       = c("gray30", "gray70"),
xlim      = c(-xmax,xmax),
ylim      = c(-xmax,xmax),
ylab      = " ",
xlab      = "x")
grid()
legend(
-5,
5,
c("exp(x)", "ln(x)"),
cex       = 1,
lty       = 1,
col       = c("gray30", "gray70"),
lwd       = 2,
y.intersp = 1.8,
bty       = "n")
dev.copy2pdf(                                                                     
    file   = file.path(fdir, "magl_4_explog_funktionen.pdf"),                    
    width  = 6,                                                                  
    height = 6)                                                                    
```

\center
```{r, echo = FALSE, out.width = "65%"}
knitr::include_graphics("4_Abbildungen/magl_4_explog_funktionen.pdf")
```


# Elementare Funktionen
\setstretch{1.2}
\small
\begin{theorem}[Gammafunktion und ihre Eigenschaften]
\justifying
\normalfont
Die \textit{Gammafunktion} ist definiert durch
\begin{equation}
\Gamma : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto \Gamma(x) := \int_0^\infty \xi^{x-1}\exp(-\xi)\,d\xi
\end{equation}
Die Gammafunktion hat folgende Eigenschaften:
\vspace{1mm}

\begin{table}
\centering
\begin{tabular}{ll}
Spezielle Werte
& $\Gamma(1) = 1$
\\
& $\Gamma\left(\frac{1}{2} \right) = \sqrt{\pi}$
\\
& $\Gamma(n) = (n-1)!$ für $n \in \mathbb{N}$.
\\
Rekursionseigenschaft
& Für $x>0$ gilt $\Gamma(x+1) = x\Gamma(x)$
\end{tabular}
\end{table}
\end{theorem}
\footnotesize

Bemerkungen

* Für Beweise der Eigenschaften wird auf die weiterführende Literatur verwiesen.

# Elementare Funktionen
\vspace{5mm}
Graph der Gammafunktion auf $]0,5[$
\vspace{-2mm}

```{r, echo = F, eval = F}
library(latex2exp)
graphics.off()
fdir        =  file.path(getwd(), "4_Abbildungen")

# Definitionen
res         = 1e3                                                                # domain resolution
xmax        = 5                                                                  # |x_max|
x           = seq(1e-3,xmax, len = res)                                          # Gamma domain
fx          = gamma(x)                                                           # Gamma(x)

# Visualisierung plot specifications
par(
family      = "sans",
pty         = "s",
bty         = "l",
lwd         = 1,
las         = 1,
mgp         = c(2,1,0),
cex         = 1.2
)
matplot(
x,
fx,
type        = "l",
lty         = 1,
lwd         = 2,
col         = "gray30",
xlim        = c(0,xmax),
ylim        = c(0,xmax),
ylab        = " ",
xlab        = "x")
grid()
legend(
3.5,
.5,
TeX("$\\Gamma(x)$"),
cex         = 1.2,
lty         = 1,
col         = "gray30",
lwd         = 2,
bty       = "n")

dev.copy2pdf(                                                                    
file   = file.path(fdir, "magl_4_gamma_funktion.pdf"),                    
width  = 6,                                                                  
height = 6)                                                                    
```

\center
```{r, echo = FALSE, out.width = "65%"}
knitr::include_graphics("4_Abbildungen/magl_4_gamma_funktion.pdf")
```


# 
\vfill
\Large
\setstretch{3}
Definition und Eigenschaften

Funktionentypen

Elementare Funktionen

**Selbstkontrollfragen**
\vfill

# Selbstkontrollfragen
\vfill
\setstretch{1.5}
\small
1. Geben Sie die Definition einer Funktion wieder.
1. Geben Sie die Definition der Begriffe Bildmenge, Wertebereich, und Urbildmenge wieder.
1. Geben Sie die Definitionen der Begriffe Surjektivität, Injektivität, und Bijektivität wieder.
1. Erläutern Sie, warum $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto f(x) := x^2$ weder injektiv noch surjektiv ist.
1. Erläutern Sie, warum $f: [0,\infty[ \to [0,\infty[ , x \mapsto f(x) := x^2$ bijektiv ist.
1. Geben Sie die Definition der Verkettung von Funktionen wieder.
1. Geben Sie die Definition des Begriffs der inversen Funktion wieder.
1. Geben Sie die inverse Funktion von $x^2$ auf $[0,\infty[$ an.
1. Geben Sie die Definition des Begriffs der linearen Abbildung wieder.
1. Geben Sie die Definitionen der Begriffe der univariat-reellwertigen, multivariat-reellwertigen und multivariat-vektorwertigen Funktion wieder.
1. Skizzieren Sie die Identitätsfunktion und die konstante Funktion für $a := 1$.
1. Skizzieren Sie die lineare Funktion $f(x) = ax + b$ für $a = 2$ und $b = 3$. 
1. Skizzieren Sie die Funktionen $f(x) := (x-1)^2$ und $g(x) := (x + 3)^2$.
1. Skizzieren Sie die Exponential- und Logarithmusfunktionen.
1. Geben Sie die Summations- und Subtraktionseigenschaften der Exponentialfunktion an.
1. Geben Sie die Produkt-, Potenz- und Divisionseigenschaften der Logarithmusfunktion an.