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\vskip5pt
\vskip2pt
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\hfill Mathematische Grundlagen $\vert$ 
\copyright $ $ 2024 Dirk Ostwald CC BY 4.0 $\vert$ 
Folie \insertframenumber}
\vskip4pt
}

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\author{}
\date{}

\begin{document}
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\begin{frame}[plain]{}
\protect\hypertarget{section}{}
\center

\begin{figure}

{\centering \includegraphics[width=0.2\textwidth,height=\textheight]{6_Abbildungen/magl_6_otto.png}

}

\end{figure}

\vspace{2mm}
\huge

Mathematische Grundlagen \vspace{4mm}

\large

BSc Psychologie \textbar{} MSc Psychologie

MSc Klinische Psychologie und Psychotherapie\\
\vspace{4mm}

\Large

WiSe 2023/24

\vspace{4mm}
\normalsize

Prof.~Dr.~Dirk Ostwald
\end{frame}

\begin{frame}[plain]{}
\protect\hypertarget{section-1}{}
\vfill
\center
\huge

\textcolor{black}{(6) Folgen, Grenzwerte, Stetigkeit} \vfill
\end{frame}

\begin{frame}{Motivation}
\protect\hypertarget{motivation}{}
\setstretch{2}
\large

Die hier behandelten Themen sind nicht zentral.

Sie dienen jedoch dem tieferen Verständnis von zum Beispiel

\begin{itemize}
\item
  der Grenzwertdefinition der Ableitung,
\item
  dem Zentralen Grenzwertsatz und Normalverteilungsannahmen,
\item
  der Begriffe der Stetigkeit und der Glattheit von Funktionen.
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{}
\protect\hypertarget{section-2}{}
\vfill
\Large
\setstretch{3}

Folgen

Grenzwerte

Stetigkeit

Selbstkontrollfragen \vfill
\end{frame}

\begin{frame}{}
\protect\hypertarget{section-3}{}
\vfill
\Large
\setstretch{3}

\textbf{Folgen}

Grenzwerte

Stetigkeit

Selbstkontrollfragen \vfill
\end{frame}

\begin{frame}{Folgen}
\protect\hypertarget{folgen}{}
\small
\begin{definition}[Reelle Folge]
\justifying
Eine \textit{reelle Folge} ist eine Funktion der Form
\begin{equation}
f : \mathbb{N} \to \mathbb{R}, n \mapsto f(n)
\end{equation}
Die Funktionswerte $f(n)$ einer reellen Folge werden üblicherweise mit $x_n$
bezeichnet und \textit{Folgenglieder} genannt. Übliche Schreibweisen für Folgen sind
\begin{equation}
(x_1,x_2,...) 
\mbox{ oder } 
(x_n)_{n=1}^\infty 
\mbox{ oder } 
(x_n)_{n\in \mathbb{N}}
\mbox{ oder } 
(x_n).
\end{equation}
\end{definition}

\footnotesize

Bemerkungen

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Da es unendlich viele natürliche Zahlen gibt, hat eine reelle Folge
  immer unendlich viele Folgenglieder.
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Folgen}
\protect\hypertarget{folgen-1}{}
Beispiele für reelle Folgen

\small

\noindent (1) Harmonische Folgen

Reelle Folgen der Form \begin{equation}
f : \mathbb{N} \to \mathbb{R}, n \mapsto f(n) := \left(\frac{1}{n}\right)^{\frac{p}{q}} \mbox{ mit } p,q\in \mathbb{N}
\end{equation} nennen wir \emph{harmonische Folgen}. Für \(p := q := 1\)
hat eine harmonische Folge die Folgengliederform \begin{equation}
\left(\frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, ...\right).
\end{equation}

\noindent (2) Geometrische Folgen

Reelle Folgen der Form \begin{equation}
f : \mathbb{N} \to \mathbb{R}, n \mapsto f(n) := q^n \mbox{ mit } q \in ]-1,1[
\end{equation} werden \emph{geometrische Folgen} genannt. Für
\(q := \frac{1}{2}\) hat eine geometrische Folge die Folgengliederform

\footnotesize

\begin{equation}
\left(\left(\frac{1}{2}\right)^1,\left(\frac{1}{2}\right)^2,\left(\frac{1}{2}\right)^3, ...\right)
= \left(\left(\frac{1}{2}\right)^1,\left(\frac{1}{2}\right)^2,\left(\frac{1}{2}\right)^3, ...\right)
= \left(\frac{1^1}{2^1},\frac{1^2}{2^2},\frac{1^3}{2^3} ...\right)
= \left(\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8} ...\right)
\end{equation}
\end{frame}

\begin{frame}{Folgen}
\protect\hypertarget{folgen-2}{}
\small
\begin{definition}[Funktionenfolge]
Es sei $\phi$ eine Menge univariater reellwertiger Funktionen mit Definitionsmenge
$D \subseteq \mathbb{R}$. Dann ist eine Funktionenfolge eine Funktion der Form
\begin{equation}
F: \mathbb{N} \to \phi, n \mapsto F(n).
\end{equation}
Die Funktionswerte $F(n)$ einer Funktionenfolgen werden üblicherweise mit $f_n$
bezeichnet und \textit{Folgenglieder} genannt. Übliche Schreibweisen für Funktionenfolgen
sind 
\begin{equation}
(f_1,f_2,...) 
\mbox{ oder } 
(f_n)_{n=1}^\infty 
\mbox{ oder } 
(f_n)_{n\in \mathbb{N}}
\mbox{ oder } 
(f_n).
\end{equation}
\end{definition}
\footnotesize

Bemerkungen

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Die Definition einer Funktionenfolge ist offenbar analog zur
  Definition einer reellen Folge.
\item
  Der Unterschied zwischen einer reellen Folge und einer Funktionenfolge
  ist, dass die Folgenglieder einer reellen Folge reelle Zahlen, die
  Folgenglieder einer Funktionenfolgen dagegen univariate reellwertige
  Funktionen sind.
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Folgen}
\protect\hypertarget{folgen-3}{}
Beispiele für Funktionenfolgen

\footnotesize

\begin{enumerate}
[(1)]
\item
  Wir betrachten die Menge \(\phi\) der univariaten reellwertigen
  Funktionen der Form \begin{equation}
  \phi := \{f_n|f_n : [0,1] \to \mathbb{R}, x \mapsto f_n(x) := x^n \mbox{ für } n \in \mathbb{N}\}
  \end{equation} Dann definiert \begin{equation}
  F : \mathbb{N} \to \phi, n\mapsto F(n)
  \end{equation} eine Funktionenfolge. Für die Funktionswerte der
  Folgenglieder von \(F\) gilt \begin{equation}
  f_1(x) := x^1, f_2(x) := x^2,  f_3(x) := x^3, ...
  \end{equation}
\item
  Wir betrachten die Menge \(\phi\) der univariaten reellwertigen
  Funktionen der Form \begin{equation}
  \phi := \{f_n|f_n : [-a,a] \to \mathbb{R}, x \mapsto f_n(x) := \sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!} \mbox{ für } n \in \mathbb{N}\}
  \end{equation} Dann definiert \begin{equation}
  F : \mathbb{N} \to \phi, n\mapsto F(n)
  \end{equation} eine Funktionenfolge. Für die Funktionswerte der
  Folgenglieder von \(F\) gilt \begin{equation}
  f_1(x) := \sum_{k=0}^1 \frac{x^k}{k!}, f_2(x) := \sum_{k=0}^2 \frac{x^k}{k!},  f_3(x) := \sum_{k=0}^3 \frac{x^k}{k!}, ...
  \end{equation}
\end{enumerate}
\end{frame}

\begin{frame}{}
\protect\hypertarget{section-4}{}
\vfill
\Large
\setstretch{3}

Folgen

\textbf{Grenzwerte}

Stetigkeit

Selbstkontrollfragen \vfill
\end{frame}

\begin{frame}{Grenzwerte}
\protect\hypertarget{grenzwerte}{}
\begin{definition}[Grenzwert einer Folge]
\justifying
$x \in \mathbb{R}$ heißt Grenzwert einer reellen Folge $(x_n)_{n=1}^\infty$, wenn
es zu jedem $\epsilon>0$ ein $m \in \mathbb{N}$ gibt, so dass
\begin{equation}
|x_n - x| < \epsilon \mbox{ für alle } n \ge m.
\end{equation}
Eine Folge, die einen Grenzwert besitzt, wird \textit{konvergente Folge} genannt,
eine Folge die keinen Grenzwert besitzt, wird \textit{divergente Folge} genannt.
Dafür, dass $x \in \mathbb{R}$ Grenzwert der Folge  $(x_n)_{n=1}^\infty$ ist, schreibt 
man auch
\begin{equation}
\lim_{n \to \infty} x_n = x 
\mbox{ oder } 
x_n \to x \mbox{ für } n \to \infty 
\mbox{ oder }
x_n\xrightarrow[]{n \to \infty} x.
\end{equation}
\end{definition}

\footnotesize

Bemerkungen

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Eine Folge mit \(\lim_{n \to \infty} x_n = 0\) nennt man
  \emph{Nullfolge}.
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Grenzwerte}
\protect\hypertarget{grenzwerte-1}{}
Beispiele

\begin{enumerate}
[(1)]
\tightlist
\item
  Grenzwert von harmonischen Folgen
\end{enumerate}

Für die verallgemeinerten harmonischen Folgen gilt mit
\(p,q \in \mathbb{N}\) \begin{equation}
\lim_{n\to \infty} \left(\frac{1}{n}\right)^{\frac{p}{q}} = 0.
\end{equation}

\begin{enumerate}
[(1)]
\tightlist
\item
  Grenzwert von geometrischen Folgen
\end{enumerate}

Für die geometrischen Folgen gilt mit \(q \in ]-1,1[\) \begin{equation}
\lim_{n\to \infty} q^n = 0.
\end{equation}

\footnotesize

Bemerkungen

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Harmonische und geometrische Folgen sind also Nullfolgen.
\item
  Für Beweise dieser Theoreme verweisen wir auf die weiterführende
  Literatur.
\item
  Die Beweise der Theoreme beruhen direkt auf dem Archimedischen Axiom
  und der Bernoulli Ungleichung.
\item
  Beweise dieser Tatsachend wiederrum liegen mathematisch sehr tief.
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Grenzwerte}
\protect\hypertarget{grenzwerte-2}{}
Beispiele für Grenzwerte von Folgen

\vfill

\includegraphics[width=1\textwidth,height=\textheight]{./6_Abbildungen/magl_6_reelle_folgen_grenzwerte.pdf}

\vfill
\end{frame}

\begin{frame}{Grenzwerte}
\protect\hypertarget{grenzwerte-3}{}
\small
\begin{definition}[Grenzfunktion einer Funktionenfolge]
\justifying
$F = (f_n)_{n\in \mathbb{N}}$ sei eine Funktionenfolge von univariaten reellwertigen
Funktionen mit Definitionsbereich $D$. $F$ heißt \textit{punktweise konvergent}, 
wenn die reelle Folge $\left(f_n(x)\right)_{n\in \mathbb{N}}$ für jedes $x \in D$
eine konvergente Folge ist, also einen Grenzwert besitzt. Die Funktion, die jedem 
$x \in D$ diesen Grenzwert von $\left(f_n(x)\right)_{n\in \mathbb{N}}$ zuordnet, 
heißt dann die \textit{Grenzfunktion  der Funktionenfolge $F$} und hat die Form
\begin{equation}
f : D \to \mathbb{R}, x \mapsto f(x) := \lim_{n\to \infty}f_n(x).
\end{equation}
\end{definition}
\footnotesize

Bemerkungen

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Die Grenzwerte von konvergenten reellen Folgen sind reelle Zahlen, die
  Grenzfunktionen von punktweise konvergenten Funktionenfolgen sind
  Funktionen.
\item
  Neben der punktweisen Konvergenz gibt es noch den stärkeren Begriff
  der \emph{gleichmäßigen Konvergenz} von Funktionenfolgen, den wir hier
  aber nicht diskutieren.
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Grenzwerte}
\protect\hypertarget{grenzwerte-4}{}
\small

Beispiel (1)

Wir betrachten die Funktionenfolge \begin{equation}
F : \mathbb{N} \to \phi, n\mapsto F(n)
\end{equation} mit \begin{equation}
\phi := \{f_n|f_n : [0,1] \to \mathbb{R}, x \mapsto f_n(x) := x^n \mbox{ für } n \in \mathbb{N}\}
\end{equation} Dann ist \(F\) punktweise konvergent mit Grenzfunktion
\begin{equation}
f : [0,1] \to \mathbb{R}, x \mapsto f(x)
:= 
\begin{cases}
0, & \mbox{ für } x \in [0,1[ \\
1, & \mbox{ für } x = 1       \\
\end{cases}
\end{equation} da \(f_n(x) := x^n\) für \(x \in [0,1[\) eine
geometrische Folge und damit eine Nullfolge ist und \(f_n(x) := x^n\)
für \(x = 1\) eine konstante Folge ist, für die alle Folgenglieder den
Abstand \(0\) von \(1\) haben. Die Funktionenfolge \(F\) konvergiert
also gegen eine Funktion, die auf dem gesamten Intervall \([0,1]\)
gleich Null ist, außer im Punkt \(1\). Diese Funktion hat offenbar einen
Sprung.
\end{frame}

\begin{frame}{Grenzwerte}
\protect\hypertarget{grenzwerte-5}{}
\small

Beispiel (2)

Wir betrachten die Funktionenfolge \begin{equation}
F : \mathbb{N} \to \phi, n\mapsto F(n)
\end{equation} mit \begin{equation}
\phi := \{f_n|f_n : [-a,a] \to \mathbb{R}, x \mapsto f_n(x) := \sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!} \mbox{ für } n \in \mathbb{N}\}
\end{equation} Dann ist \(F\) punktweise konvergent mit Grenzfunktion
\begin{equation}
f : [-a,a] \to \mathbb{R}, x \mapsto f(x)
:= \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!} := \exp(x)
\end{equation} Die Funktionenfolge \(F\) konvergiert also gegen die
Exponentialfunktion auf \([-a,a]\).
\end{frame}

\begin{frame}{Grenzwerte}
\protect\hypertarget{grenzwerte-6}{}
Beispiele für Grenzwerte von Funktionenfolgen

\vfill

\includegraphics[width=1\textwidth,height=\textheight]{./6_Abbildungen/magl_6_funktionenfolgen_grenzwerte.pdf}

\vfill
\end{frame}

\begin{frame}{}
\protect\hypertarget{section-5}{}
\vfill
\Large
\setstretch{3}

Folgen

Grenzwerte

\textbf{Stetigkeit}

Selbstkontrollfragen \vfill
\end{frame}

\begin{frame}{Stetigkeit}
\protect\hypertarget{stetigkeit}{}
\small
\begin{definition}[Grenzwert einer Funktion]
\justifying
Für $D\subseteq\mathbb{R}$ und $Z\subseteq\mathbb{R}$ sei $f : D \to Z, x \mapsto f(x)$
eine Funktion und es seien $a,b \in \mathbb{R}$. $b$ heißt \textit{Grenzwert
der Funktion $f$ für $x$ gegen $a$}, wenn 
\begin{itemize}
\item[(1)] es eine reelle Folge $(x_n)_{n=1}^\infty$ mit Folgengliedern in $D$ 
mit Grenzwert $a$ gibt, also $\lim_{n \to \infty} x_n = a$ gilt, und
\item[(2)] für jede solche Folge gilt, dass $b$ der Grenzwert der Folge der 
Funktionswerte $f(x_n)$ der Folgenglieder von $(x_n)_{n=1}^\infty$ ist, also
$\lim_{n \to \infty} f(x_n) = b$ gilt. 
\end{itemize}
Wenn $b$ Grenzwert der Funktion $f$ für $x$ gegen $a$ ist, so schreibt man auch 
$\lim_{x \to a} f(x) = b$.
\end{definition}
\end{frame}

\begin{frame}{Stetigkeit}
\protect\hypertarget{stetigkeit-1}{}
\vspace{3mm}

Grenzwert der Exponentialfunktion in \(a = 1\)

\vfill

\begin{figure}

{\centering \includegraphics[width=0.6\textwidth,height=\textheight]{./6_Abbildungen/magl_6_grenzwert_einer_funktion.pdf}

}

\end{figure}

\vfill
\end{frame}

\begin{frame}{Stetigkeit}
\protect\hypertarget{stetigkeit-2}{}
\small
\begin{definition}[Stetigkeit einer Funktion]
\justifying
Eine Funktion $f : D \to Z$ mit $D \subseteq \mathbb{R}, Z \subseteq \mathbb{R}$
heißt \textit{stetig in $a \in D$}, wenn
\begin{equation}
\lim_{x\to a} f(x) = f(a).
\end{equation}
Ist $f$ in jedem $x \in D$ stetig, so heißt \textit{$f$ stetig auf $D$}.
\end{definition}
\footnotesize

Bemerkungen

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Für eine in \(a\) stetige Funktion gilt mit der Definition
  \begin{equation}
  \lim_{x \to a} f(x) = f\left(\lim_{x\to a} x\right)
  \end{equation}
\item
  Bei stetigen Funktion können also Grenzwertbildung und Auswertung der
  Funktion vertauscht werden.
\item
  Beispiele für stetige Funktionen sind die elementaren Funktionen aus
  (4) Funktionen.
\item
  Beispiele für nicht-stetige Funktionen sind
  Wahrscheinlichkeitsmassefunktionen und die Heaviside Funktion.
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{}
\protect\hypertarget{section-6}{}
\vfill
\Large
\setstretch{3}

Folgen

Grenzwerte

Stetigkeit

\textbf{Selbstkontrollfragen} \vfill
\end{frame}



\end{document}
