---
fontsize: 8pt
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    beamer:
        include-in-header: "7_Header.tex"
bibliography: 7_Referenzen.bib
---

#  {.plain}

\center
```{r, echo = FALSE, out.width = "20%", fig.align = "center"}
knitr::include_graphics("7_Abbildungen/magl_7_otto.png")
```
\vspace{2mm}
\huge
Mathematische Grundlagen
\vspace{4mm}

\large
BSc Psychologie | MSc Psychologie

MSc Klinische Psychologie und Psychotherapie   
\vspace{4mm}

\Large
WiSe 2023/24

\vspace{4mm}
\normalsize
Prof. Dr. Dirk Ostwald

#  {.plain}
\vfill
\center
\huge
\textcolor{black}{(7) Integralrechnung}
\vfill

# Integralrechnung
\setstretch{1.6}
Übersicht

* \small \justifying Integrale kommen in der probabilistischen Datenanalyse an vielen Stellen vor:
    * \small WDF Definition und Berechnen von Wahrscheinlichkeiten aus WDF
    * Beziehung von WDF und KVF
    * Erwartungswerte inklusive Varianz und Kovarianz
    * u.v.a.m.

* Ziel hier ist es, zentrale Begriffe der Integralrechnung zu wiederholen.
* In der Schule wird üblicherweise das \textit{Riemannintegral} betrachtet.
* Zentrale Begriffe dabei sind \textit{Stammfunktion, unbestimmtes Integral, bestimmtes Integral, 
Hauptsätze der Differential- und Integralrechnung, uneigentliches Integral, und 
mehrdimensionales Integral}.
* Der Fokus liegt auf der Klärung von Begriffen und Symbolen, nicht dem Rechnen.

#  
\large
\setstretch{2.5}
Unbestimmte Integrale

Bestimmte Integrale

Uneigentliche Integrale

Mehrdimensionale Integrale

Selbstkontrollfragen

#  
\large
\setstretch{2.5}
**Unbestimmte Integrale**

Bestimmte Integrale

Uneigentliche Integrale

Mehrdimensionale Integrale

Selbstkontrollfragen

# Unbestimmte Integrale
\small
\begin{definition}[Stammfunktion, Unbestimmtes Integral]
\justifying
Für ein Intervall $I \subseteq \mathbb{R}$ sei $f : I \to \mathbb{R}$ eine
univariate reellwertige Funktion. Dann heißt eine differenzierbare Funktion 
$F : I \to \mathbb{R}$ mit der Eigenschaft
\begin{equation}
F' = f
\end{equation}
\textit{Stammfunktion von $f$}.
Ist $F$ eine Stammfunktion von $f$, dann heißt
\begin{equation}
\int f(x) \,dx := F + c \mbox{ mit } c \in \mathbb{R}
\end{equation}
\textit{unbestimmtes Integral} der Funktion $f$.
\end{definition}

\footnotesize
Bemerkungen

* Die Ableitung der Stammfunktion $F$ von $f$ ist $f$.
* Das unbestimmte Integral ist die Gesamtheit aller Stammfunktionen von $f$.
* Die Konstante $c \in \mathbb{R}$ heißt \textit{Integrationskonstante}, es gilt $\frac{d}{dx}c = 0$.
* Der Ausdruck $\int f(x) \,dx$ ist als $F(x) + c$ definiert
* In $\int f(x) \,dx$ haben $\int$ und $\,dx$ keine eigentliche Bedeutung, $f(x)$ heißt \textit{Integrand}.


# Unbestimmte Integrale
\small
\begin{theorem}[Stammfunktionen elementarer Funktionen]
\justifying
\normalfont
Für elementare Funktionen der Statistik ergeben sich folgende Stammfunktionen
\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\begin{table}
\centering
\begin{tabular}{lll}
Name 							& Definition	    			& Stammfunktion										\\\hline
Polynomfunktionen 				& $f(x) := \sum_{i=0}^n a_ix^i$ & $F(x) = \sum_{i=0}^n \frac{a_i}{i+1}x^{i+1}$ 		\\
$\quad$ Konstante Funktion 		& $f(x) := a$					& $F(x) = ax$ 							            \\
$\quad$ Identitätsfunktion  	& $f(x) := x$ 					& $F(x) = \frac{1}{2}x^2$				            \\
$\quad$ Lineare Funktion 		& $f(x) := ax + b$				& $F(x) = \frac{1}{2}ax^2 + bx$						\\
$\quad$ Quadratfunktion 		& $f(x) := x^2$ 				& $F(x) = \frac{1}{3}x^3$							\\
Exponentialfunktion				& $f(x) := \exp(x)$ 			& $F(x) = \exp(x)$						            \\
Logarithmusfunktion				& $f(x) := \ln(x)$ 				& $F(x) = x \ln x - x$								\\
\end{tabular}
\end{table}
\end{theorem}

\footnotesize
Bemerkung 

* Beweise ergeben sich direkt durch Ableiten der Stammfunktionen.

# Unbestimmte Integrale
\setstretch{1.1}
\small
\begin{theorem}[Rechenregeln für Stammfunktionen]
\justifying
\normalfont
$f$ und $g$ seien univariate reellwertige Funktion, die Stammfunktionen besitzen,
und $g$ sei invertierbar. Dann gelten folgende Rechenregeln für die Bestimmung von Integralen
\begin{itemize}
\item[(1)] Summenregel
\begin{equation}
\int a f(x) + bg(x)\,dx  = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx \mbox{ für } a,b \in \mathbb{R}
\end{equation}
\item[(2)] Partielle Integration
\begin{equation}
\int f'(x)g(x)\,dx = f(x)g(x) - \int f(x)g'(x)\,dx
\end{equation}
\item[(3)] Substitutionsregel
\begin{equation}
\int f(g(x))g'(x)\,dx = \int f(t)\,dt \mbox{ mit } t  = g(x)
\end{equation}
\end{itemize}
\end{theorem}

\footnotesize
Bemerkung 

* Für die Herleitung der Summenregel wird auf die weiterführende Literatur verwiesen.

# Unbestimmte Integrale
\setstretch{1}
\begin{scriptsize}
\underline{Beweis}

Die Rechenregel der partiellen Integration ergibt sich durch Integration der 
Produktregel der Differentiation. Wir erinnern uns, dass gilt
\begin{equation}
(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x).
\end{equation}
Integration beider Seiten der Gleichung und Berücksichtigung der Summenregel 
für Stammfunktionen ergibt dann
\begin{align}
\begin{split}
\smallint (f(x)g(x))' \,dx & = \smallint f'(x)g(x) + f(x)g'(x) \,dx 	\\
\Leftrightarrow
f(x)g(x) & = \smallint f'(x)g(x)\,dx + \smallint f(x)g'(x) \,dx 		\\
\Leftrightarrow
\smallint f'(x)g(x)\,dx & = f(x)g(x) - \smallint f(x)g'(x) \,dx
\end{split}
\end{align}
Die Substitutionsregel ergibt sich für $F' = f$ durch Anwendung der Kettenregel 
der Differentiation auf die verkettete Funktion $F(g)$. Speziell gilt zunächst
\begin{align}
\begin{split}
(F(g(x)))' = F'(g(x))g'(x) = f(g(x))g'(x)
\end{split}
\end{align}
Integration beider Seiten der Gleichung
\begin{equation}
(F(g(x))) ' = f(g(x))g'(x)
\end{equation}
ergibt dann
\begin{align}
\begin{split}
\smallint (F(g(x)))' \,dx  & = \smallint f(g(x))g'(x) \,dx				\\
\Leftrightarrow
F(g(x)) + c & = \smallint f(g(x))g'(x) \,dx								\\
\Leftrightarrow
\smallint f(g(x))g'(x) \,dx & = \smallint f(t)\,dt  \mbox{ mit } t := g(x).
\end{split}
\end{align}
Dabei ist die rechte Seite der letzten obigen Gleichung zu verstehen als 
$F(g(x)) + c$, also als Stammfunktion von $f$ evaluiert an der Stelle $t := g(x)$.
Das $dt$ ist \underline{nicht} durch $dg(x)$ zu ersetzen, sondern rein
notationstechnischer Natur.

$\hfill \Box$
\end{scriptsize}

#  
\large
\setstretch{2.5}
Unbestimmte Integrale

**Bestimmte Integrale**

Uneigentliche Integrale

Mehrdimensionale Integrale

Selbstkontrollfragen

# Bestimmte Integrale
\vspace{1mm}
\center
Bestimmtes Integral von $f: [a,b] \to \mathbb{R}$
\vspace{5mm}

```{r, echo = F, eval = F}
graphics.off()

library(latex2exp)
par(
family      = "sans",
mfcol       = c(1,3),
pty         = "m",
bty         = "l",
lwd         = 1,
las         = 1,
mgp         = c(2,1,0),
xaxs        = "i",
yaxs        = "i",
font.main   = 1,
cex         = 0.6,
cex.main    = 0.8)

# f(x) und \int_a^b f(x)\,dx
x           = seq(-4,4,length=1e4)                                               # x Werte
fx          = dnorm(x)                                                           # f(x) Werte
a           = -1                                                                 # untere Integralgrenze a
b           = 1                                                                  # obere Integralgrenze b
ai          = min(which(x >= a))                                                 # Vektorindex a
bi          = max(which(x  < b))                                                 # Vektorindex b
plot(x, fx, type = "l", ylab = " ", ylim = c(0,.4))
polygon(c(x[c(ai, ai:bi, bi)]), c(0, fx[ai:bi], 0), col = "gray90")
text(a+.4  , .03, TeX("$a$") , xpd = TRUE, cex = 1.2)
text(b-.4  , .034, TeX("$b$") , xpd = TRUE, cex = 1.2)

# f(x) und \int_a^b f(x)\,dx
x           = seq(-4,4,length=1e4)
fx          = dnorm(x)
a           = -2
b           = 2
ai          = min(which(x >= a))
bi          = max(which(x  < b))
plot(x, fx, type = "l", ylab = " ", ylim = c(0,.4))
polygon(c(x[c(ai, ai:bi, bi)]), c(0, fx[ai:bi], 0), col = "gray90")
text(a+.5   , .03, TeX("$a$") , xpd = TRUE, cex = 1.2)
text(b-.5   , .034, TeX("$b$") , xpd = TRUE, cex = 1.2)

# f(x) und \int_a^b f(x)\,dx
x           = seq(0,2*pi,length=1e4)
fx          = sin(x)
a           = 0
b           = 2*pi
ai          = min(which(x >= a))
bi          = max(which(x  < b))
plot(x, fx, type = "l", ylab = " ", ylim = c(-1,1))
polygon(c(x[c(ai, ai:bi, bi)]), c(0, fx[ai:bi], 0), col = "gray90")
text(.4     , -.1, TeX("$a$") , xpd = TRUE, cex = 1.2)
text(2*pi-.4, -.1, TeX("$b$") , xpd = TRUE, cex = 1.2)

dev.copy2pdf(                                                                     
file   = "./7_Abbildungen/magl_7_bestimmtes_integral.pdf",                   
width  = 6.5,                                                                   
height = 2.4)                                                                    
```

```{r, echo = FALSE, out.width = "100%"}
knitr::include_graphics("7_Abbildungen/magl_7_bestimmtes_integral.pdf")
```

#  Bestimmte Integrale
\small
\begin{definition}[Zerlegung eines Intervalls, Feinheit]
Es sei $[a,b] \subset \mathbb{R}$ ein Intervall und $x_0,x_1,x_2,...,x_n \in [a,b]$ 
eine Menge von Punkten mit
\begin{equation}
a =: x_0 < x_1 <  x_2 \cdots < x_n := b
\end{equation}
mit
\begin{equation}
\Delta x_i := x_i - x_{i-1} \mbox{ für } i = 1,...,n.
\end{equation}
Dann heißt die Menge
\begin{equation}
Z := \{[x_0,x_1], [x_1,x_2], ..., [x_{n-1},x_n]\}
\end{equation}
der durch $x_0,x_1,x_2,...,x_n$ definierten Teilintervalle von $[a,b]$ 
\textit{Zerlegung von $[a,b]$}.
Weiterhin heißt
\begin{equation}
Z_{\mbox{\tiny max}} := \max_{i \in n} \Delta x_i,
\end{equation}
also die größte der Teilintervalllängen $\Delta x_i$, die \textit{Feinheit} von $Z$.
\end{definition}

\footnotesize
Bemerkung

* $\Delta x_i$ ist die Breite der Streifen in untenstehender Abbildung.


#  Bestimmte Integrale
\small
\begin{definition}[Riemannsche Summe]
\justifying
$f : [a,b] \to \mathbb{R}$ sei eine beschränkte Funktion auf 
$[a,b]$, d.h. $|f(x)| < c$ für $0 < c < \infty$ und alle $x \in [a,b]$, $Z$ 
sei eine Zerlegung von $[a,b]$ mit Teilintervalllängen $\Delta x_i$ für
$i = 1,...,n$. Weiterhin sei für $i = 1,...,n$ $\xi_{i}$ ein beliebiger Punkt
im Teilintervall $[x_{i-1}, x_{i}]$ der Zerlegung $Z$.
Dann heißt
\begin{equation}
R(Z) := \sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i
\end{equation}
\textit{Riemannsche Summe von $f$ auf $[a,b]$ bezüglich der Zerlegung $Z$.}
\end{definition}

\footnotesize
Bemerkungen

* |x| bezeichnet den *Betrag* von $x \in \mathbb{R}$.
* Wählt man in jedem $[x_{i-1}, x_{i}]$ das Maximum von $f$, ergibt sich die \textit{Riemannsche Obersumme}.
* Wählt man in jedem $[x_{i-1}, x_{i}]$ das Minimum von $f$, ergibt sich die \textit{Riemannsche Untersumme}.
* Für  $\Delta x_i \to 0, i = 1,...,n$ geht der Unterschied zwischen Ober- und Untersumme gegen 0.


#  Bestimmte Integrale
\vspace{2mm}
\center
Zerlegung und Riemann Ober- und Untersummen für $f: [a,b] \to \mathbb{R}$
\vspace{2mm}

```{r, echo = F, eval = F}
graphics.off()
library(latex2exp)
x           = seq(0,4,length=1e4)
fx          = 5*dnorm(x,0.5) + 1

# Ober- und Untersummenrechtecke
barplot(
matrix(
c(5*dnorm(0  ,.5) + 1,
(5*dnorm(0.5,.5) + 1) - (5*dnorm(0,.5) + 1),
5*dnorm(2  ,.5) + 1,
(5*dnorm(1  ,.5) + 1) - (5*dnorm(2,.5) + 1),
5*dnorm(3  ,.5) + 1,
(5*dnorm(2  ,.5) + 1) - (5*dnorm(3,.5) + 1),
5*dnorm(4  ,.5) + 1,
(5*dnorm(3  ,.5) + 1) - (5*dnorm(4,.5) + 1)),
nrow =2),
space = 0,
width = 1,
col = c("gray85", "gray95"),
ylim = c(0,3.2),
ylab = "",
yaxt='n')
lines(x, fx, type = "l", ylab = " ")
abline(0,0)
abline(v = -.1)
text(0,-.3, TeX("$a = x_0$") , xpd= T, cex = 1.3)
text(1,-.3, TeX("$x_1$")     , xpd= T, cex = 1.3)
text(2,-.3, TeX("$x_2$")     , xpd= T, cex = 1.3)
text(3,-.3, TeX("$x_3$")     , xpd= T, cex = 1.3)
text(4,-.3, TeX("$x_4 = b$") , xpd= T, cex = 1.3)
text(2.3,2, TeX("$f(x)$")    , xpd= T, cex = 1.7)
dev.copy2pdf(                                                                     
file   = "./7_Abbildungen/magl_7_riemann_summen.pdf",                       
width  = 6.5,                                                                   
height = 4.5)                                                                    
```

```{r, echo = FALSE, out.width = "70%"}
knitr::include_graphics("7_Abbildungen/magl_7_riemann_summen.pdf")
```

# Bestimmte Integrale
\small
\begin{theorem}[Riemannsches Integral]
\justifying
\normalfont
$f : [a,b] \to \mathbb{R}$ sei eine beschränkte reellwertige Funktion auf $[a,b]$. 
Weiterhin sei für $Z_k, k = 1,2,3,...$ eine Folge von Zerlegungen von $[a,b]$ mit 
zugehörigen Feinheiten $Z_{k, \mbox{\tiny max}}$. Wenn für jede Folge von 
Zerlegungen $Z_1, Z_2,...$  mit $|Z_{k, \mbox{\tiny max}}| \to 0$ für $k \to \infty$ 
und für beliebig gewählte Punkte $\xi_{ki}, i = 1,...,n$ im Teilintervall 
$[x_{k,i-1}, x_{k,i}]$ der Zerlegung $Z_k$ gilt, dass die Folge der zugehörigen 
Riemannschen Summen $R(Z_1), R(Z_2), ...$ gegen den gleichen Grenzwert strebt, 
dann heißt $f$ auf $[a,b]$ \textit{integrierbar}. Der entsprechende Grenzwert 
der Folge von Riemannschen Summen wird \textit{bestimmtes Riemannsches Integral} 
genannt und mit
\begin{equation}
\int_a^b f(x)\,dx := \lim_{k \to \infty} R(Z_k) \mbox{ für } |Z_{k, \mbox{\tiny max}}| \to 0
\end{equation}
bezeichnet.
\end{theorem}

\footnotesize
Bemerkungen

* Für $f > 0$ ist $\int_a^b f(x)\,dx$ der Flächeninhalt zwischen den $f(x)$ und der $x$-Achse
* Generell ist $\int_a^b f(x)\,dx$ der vorzeichenbehaftete Flächeninhalt den $f(x)$ und der $x$-Achse.
* Positive und negative Flächeninhalt gleichen einander aus.
* $\int_a^b f(x)\,dx$ ist als Mittelwert von $f$ auf $[a,b]$ zu verstehen.


#  Bestimmte Integrale
\setstretch{1.1}
\small
\begin{theorem}[Rechenregeln für bestimmte Integrale]
\justifying
\normalfont
Es seien $f$ und $g$ integrierbare Funktionen auf $[a,b]$. 
Dann gelten folgende Rechenregeln:
\begin{itemize}
\item[(1)] Linearität. Für $c_1,c_2\in \mathbb{R}$ gilt
\begin{equation}
\int_a^b (c_1 f(x) + c_2g(x))\,dx = c_1 \int_a^b f(x)\,dx + c_2 \int_a^b f(x)\,dx.
\end{equation}
\item[(2)] Additivität. Für $a < c < b$ gilt
\begin{equation}
\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx.
\end{equation}
\item[(3)] Vorzeichenwechsel bei Umkehrung der Integralgrenzen
\begin{equation}
\int_a^b f(x)\,dx = - \int_b^a f(x)\,dx.
\end{equation}
\end{itemize}
\end{theorem}

\footnotesize
Bemerkung

* Für Beweise verweisen wir auf die weiterführende Literatur.
* Eine graphische Darstellung der Additivität findet sich untenstehend.


#  Bestimmte Integrale
\vspace{2mm}
Additivität von Integralen
\vspace{3mm}
\begin{equation*}
\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx.
\end{equation*}
\vspace{-5mm}
```{r, echo = F, eval = F}
graphics.off()
library(latex2exp)
par(
family      = "sans",
pty         = "m",
bty         = "l",
lwd         = 1,
las         = 1,
mgp         = c(2,1,0),
xaxs        = "i",
yaxs        = "i",
font.main   = 1,
cex         = 1,
cex.main    = 1)

# f(x) = x und \int_0^1 f(x)\,dx
x           = seq(0,2.5,length=1e4)
fx          = 5*dnorm(x,0.5) + 1
a           = 0
c           = 1
b           = 2.5
ai          = min(which(x >= a))
ci          = max(which(x  < c))
bi          = max(which(x  < b))
plot(
x,
fx,
type = "l",
ylab = " ",
xlim = c(-.5,3),
xaxt = 'n',
yaxt = 'n',
xlab = '')

polygon(
c(x[c(ai, ai:ci, ci)]),
c(0, fx[ai:ci], 0),
col = "gray80")

polygon(
c(x[c(ci, ci:bi, bi)]),
c(0, fx[ci:bi], 0),
col = "gray90")

text(0  ,1.1, TeX("$a$") , xpd= T, cex = 1.2)
text(1  ,1.1, TeX("$c$") , xpd= T, cex = 1.2)
text(2.5,1.1, TeX("$b$") , xpd= T, cex = 1.2)

text(0.5  , 1.6, TeX("$\\int_{a}^{c} f(x)dx$") , xpd= T, cex = 1)
text(1.5  , 1.6, TeX("$\\int_{c}^{b} f(x)dx$") , xpd= T, cex = 1)

dev.copy2pdf(                                                                    
file   = "./7_Abbildungen/magl_7_integral_additivität.pdf",                       
width  = 6,                                                                   
height = 3.5)
```
\center
```{r, echo = FALSE, out.width = "90%"}
knitr::include_graphics("7_Abbildungen/magl_7_integral_additivität.pdf")
```


#  Bestimmte Integrale
\small
\begin{theorem}[Mittelwertsatz der Integralrechnung]
\justifying
\normalfont
Für eine stetige Funktion $f : [a,b] \to \mathbb{R}$ existiert ein $\xi \in ]a,b[$ mit
\begin{equation}
\int_a^b f(x)\,dx = f(\xi)(b-a)
\end{equation}
\end{theorem}

\footnotesize
$\bullet$ Statt eines Beweises verweisen wir auf untenstehende graphische Darstellung
\vspace{1mm}

\center
```{r, echo = F, eval = F}
graphics.off()
library(latex2exp)
par(
family      = "sans",
pty         = "m",
bty         = "l",
lwd         = 1,
las         = 1,
mgp         = c(2,1,0),
xaxs        = "i",
yaxs        = "i",
font.main   = 1,
cex         = 1,
cex.main    = 1)

# f(x) und \int_a^b f(x)\,dx
x           = seq(0,2*pi,length=1e4)
fx          = 0.5*sin(x) + 2
a           = 0
b           = 2*pi
ai          = min(which(x >= a))
bi          = max(which(x  < b))
plot(
x,
fx,
type = "l",
ylab = " ",
ylim = c(0,3),
xlim = c(-1, 2*pi + 1),
xaxt = 'n',
yaxt = 'n',
xlab = '')
polygon(
c(x[c(ai, ai:bi, bi)]),
c(0, fx[ai:bi], 0),
col = "gray90")
arrows(
x0          = 0,
y0          = 0,
x1          = 0,
y1          = 2,
col         = "black",
angle       = 0,
length      = 0,
lty         = 2)

arrows(
x0          = 2*pi,
y0          = 0,
x1          = 2*pi,
y1          = 2,
col         = "black",
angle       = 0,
length      = 0,
lty         = 2)

arrows(
x0          = -2,
y0          = 2,
x1          = 2*pi,
y1          = 2,
col         = "black",
angle       = 0,
length      = 0,
lty         = 2)
text(0     , -.3, TeX("$a$")        , xpd= T, cex = 1.3)
text(pi    , -.3, TeX("$\\xi$")     , xpd= T, cex = 1.3)
text(2*pi  , -.3, TeX("$b$")        , xpd= T, cex = 1.3)
text(-1.5 , 2  , TeX("$f(\\xi)$")   , xpd= T, cex = 1.3)
dev.copy2pdf(                                                                     
file   = "./7_Abbildungen/magl_7_integral_mittelwertsatz.pdf",              
width  = 6,                                                                   
height = 4.5)                                                                
```

```{r, echo = FALSE, out.width = "50%"}
knitr::include_graphics("7_Abbildungen/magl_7_integral_mittelwertsatz.pdf")
```

# Bestimmte Integrale
\setstretch{1}
\small
\begin{theorem}[Erster Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung]
\justifying
\normalfont
Ist $f : I \to \mathbb{R}$ eine auf dem Intervall $I \subset \mathbb{R}$ 
stetige Funktion, dann ist die Funktion
\begin{equation}
F : I \to \mathbb{R}, x \mapsto F(x) := \int_a^x f(t)\,dt \mbox{ mit } x, a \in I
\end{equation}
eine Stammfunktion von $f$.
\end{theorem}

\begin{scriptsize}
\underline{Beweis}

Wir betrachten den Differenzquotienten
\begin{equation}
\frac{1}{h}(F(x+h) - F(x))
\end{equation}
Mit der Definition $F(x) := \smallint_a^x f(t)\,dt$ und der Additivität des bestimmten Integrals gilt dann
\begin{equation}
\frac{1}{h}(F(x+h) - F(x))
= \frac{1}{h}\left(\int_a^{x + h} f(t)\,dt - \int_a^{x} f(t)\,dt\right)
= \frac{1}{h} \int_x^{x + h}f(t)\,dt
\end{equation}
Mit dem Mittelwertsatz der Integralrechnung gibt es also ein $\xi \in ]x,x+h[$, so dass
\begin{equation}
\frac{1}{h}(F(x+h) - F(x)) = f(\xi)
\end{equation}
Grenzwertbildung ergibt dann
\begin{equation}
\lim_{h \to 0}\frac{1}{h}(F(x+h) - F(x)) = \lim_{h \to 0} f(\xi) \mbox{ für } \xi \in ]x, x + h[
\Leftrightarrow
F'(x) = f(x).
\end{equation}
$\hfill \Box$
\end{scriptsize}

# Bestimmte Integrale
\small
\begin{theorem}[Zweiter Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung]
\justifying
\normalfont
Ist $F$ eine Stammfunktion einer stetigen Funktion $f : I \to \mathbb{R}$ auf 
einem Intervall $I$, so gilt für $a,b \in I$ mit $a \le b$
\begin{equation}
\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) =: F(x)\vert_a^b
\end{equation}
\end{theorem}

\footnotesize
\underline{Beweis}

Mit den Rechenregeln für bestimmte Integrale und dem ersten Hauptsatz der 
Differential- und Integralrechnung ergibt sich
\begin{equation}
F(b) - F(a) = \int_\alpha^b f(t)\,dt - \int_\alpha^a f(t)\,dt = \int_a^b f(x)\,dx
\end{equation}

$\hfill \Box$


#  
\large
\setstretch{2.5}
Unbestimmte Integrale

Bestimmte Integrale

**Uneigentliche Integrale**

Mehrdimensionale Integrale

Selbstkontrollfragen

# Uneigentliche Integrale
\small
\begin{definition}[Uneigentliche Integrale]
\justifying
$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ sei eine univariate reellwertige Funktion. Mit den Definitionen
\begin{equation}
\int_{-\infty}^b f(x)\,dx := \lim_{a \to -\infty} \int_a^b f(x)\,dx
\mbox{ und }
\int_a^\infty f(x)\,dx := \lim_{b \to \infty} \int_a^b f(x)\,dx
\end{equation}
und der Additivität von Integralen
\begin{equation}
\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx = \int_{-\infty}^b f(x)\,dx + \int_b^{\infty}f(x)\,dx
\end{equation}
wird der Begriff des bestimmten Integrals auf die unbeschränkten Integrationsintervalle $]-\infty,b]$,
$[a,\infty[$ und $]-\infty,\infty[$ erweitert. Integrale mit unbeschränkten 
Integrationsintervallen heißen \textit{uneigentliche Integrale}. Wenn die 
entsprechenden Grenzwerte existieren, sagt man, dass die uneigentlichen Integrale 
\textit{konvergieren}.
\end{definition}

\footnotesize
Bemerkung

* Für die WDF $f$ einer Zufallsvariable ist die Forderung $\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx = 1$ zentral.


# Uneigentliche Integrale

Beispiel (Uneigentliches Integral)
\vspace{4mm}

\small
Wir betrachten das uneigentliche Integral $\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2}\,dx$.

Nach den Festlegungen in der Definition uneigentlicher Integrale gilt
\begin{equation}
\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2}\,dx = \lim_{b \to \infty} \int_1^b \frac{1}{x^2}\,dx.
\end{equation}

Mit der Stammfunktion $F(x) = -x^{-1}$ von $f(x) = x^{-2}$ ergibt sich für das bestimmte Integral in obiger Gleichung
\begin{equation}
\int_1^b \frac{1}{x^2}\,dx
= F(b) - F(1)
= -\frac{1}{b} - \left(-\frac{1}{1}\right)
= -\frac{1}{b} + 1.
\end{equation}

Es ergibt sich also
\begin{equation}
\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2}\,dx
= \lim_{b \to \infty} \int_1^b \frac{1}{x^2}\,dx
= \lim_{b \to \infty}\left(-\frac{1}{b} + 1\right)
= - \lim_{b \to \infty}\frac{1}{b} + \lim_{b \to \infty} 1
= 0 + 1
= 1.
\end{equation}


#  
\large
\setstretch{2.5}
Unbestimmte Integrale

Bestimmte Integrale

Uneigentliche Integrale

**Mehrdimensionale Integrale**

Selbstkontrollfragen

# Mehrdimensionale Integrale
\small
\begin{definition}[Mehrdimensionale Integrale]
$f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ sei eine multivariate reellwertige Funktion. 
Dann heißen Integrale der Form
\begin{equation}
\int\limits_{[a_1,b_1]\times \cdots \times [a_n,b_n]} f(x)\,dx
= \int_{a_1}^{b_1} \cdots \int_{a_n}^ {b_n} f(x_1,...,x_n)\,dx_1...\,dx_n
\end{equation}
\textit{mehrdimensionale bestimmte Integrale auf Hyperrechtecken}. Weiterhin 
heißen Integrale der Form
\begin{equation}
\int_{\mathbb{R}^n} f(x)\,dx
= \int_{-\infty}^{\infty}  \cdots \int_{-\infty}^{\infty}
f(x_1,...,x_n)\,dx_1...\,dx_n
\end{equation}
\textit{mehrdimensionale uneigentliche Integrale.}
\end{definition}

\footnotesize
Bemerkungen

* Man kann multivariate reellwertige Funktion nicht nur auf Hyperrechtecken, 
sondern im Prinzip auf beliebigen Hyperflächen integrieren. Dies kann sich 
jedoch oft schwierig gestalten. Der \textit{Satz von Fubini} besagt, dass man 
mehrdimensionale Integrale in  beliebiger Koordinatenfolge auswerten kann, 
also dass zum Beispiel
\begin{equation}
\int_{a_1}^{b_1} \left(\int_{a_2}^{b_2} f(x_1,x_2)\,dx_2\right) \,dx_1
= \int_{a_2}^{b_2} \left(\int_{a_1}^{b_1} f(x_1,x_2)\,dx_1 \right) \,dx_2.
\end{equation}
* Für die WDF eines Zufallsvektors ist die Forderung $\int_{\mathbb{R}^n} f(x)\,dx = 1$ zentral.

# Mehrdimensionale Integrale
Beispiel (Zweidimensionales Integral)

\footnotesize
Wir betrachten das zweidimensionale bestimmte Integral der Funktion
\begin{equation}
f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}, (x_1,x_2) \mapsto f(x_1,x_2) := x_1^2 + 4x_2
\end{equation}
auf dem Rechteck $[0,1] \times [0,1]$. In
\begin{equation}\label{eq:double_integral}
\int_0^1 \int_0^1 x_1^2 + 4x_2 \,dx_1\,dx_2 = \int_0^1 \left(\int_0^1 x_1^2 + 4x_2 \,dx_1\right)\,dx_2
\end{equation}
betrachten wir zunächst das innere Integral. $x_2$ nimmt hier die Rolle einer Konstanten ein.
Eine Stammfunktion von $g(x_1) := x_1^2  +4 x_2$ ist $G(x_1) = \frac{1}{3}x_1^3 + 4x_2x_1$, 
wie man sich durch Ableiten von $G$ überzeugt. Es ergibt sich also für das innere Integral
\begin{equation}
\int_0^1 x_1^2 + 4x_2 \,dx_1
= G(1) - G(0)
= \frac{1}{3}\cdot1^3 + 4x_2\cdot 1 - \frac{1}{3}\cdot 0^3 - 4x_2\cdot 0 = \frac{1}{3} + 4x_2
\end{equation}
Betrachten des äußeren Integrals in Gleichung \eqref{eq:double_integral} ergibt 
dann mit der Stammfunktion $H(x_2) = \frac{1}{3}x_2 + 2x_2^2$ von $h(x_2) := \frac{1}{3} + 4x_2$, dass
\begin{equation}
\int_0^1 \int_0^1 x_1^2 + 4x_2 \,dx_1\,dx_2
= \int_0^1 \frac{1}{3} + 4x_2 \,dx_2
= H(1) - H(0)
= \frac{1}{3}\cdot 1 + 4\cdot 1^2 - \frac{1}{3}\cdot 0 + 4\cdot 0^2
= \frac{13}{3}.
\end{equation}

#  
\large
\setstretch{2.5}
Unbestimmte Integrale

Bestimmte Integrale

Uneigentliche Integrale

Mehrdimensionale Integrale

**Selbstkontrollfragen**

# Selbstkontrollfragen
\small
\vfill
\setstretch{2}

1. Geben Sie die Definition des Begriffs der Stammfunktion wieder.
1. Geben Sie die Definition des Begriffs des unbestimmten Integrals wieder.
1. Erläutern Sie die intuitive Bedeutung des Begriff des Riemannschen Integrals.
1. Geben Sie den ersten Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung wieder.
1. Geben Sie den zweiten Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung wieder.
1. Erläutern Sie den Begriff des uneigentlichen Integrals.
1. Erläutern Sie den Begriff des mehrdimensionalen Integrals.
\vfill
