# Sprache und Logik {#sec-sprache-und-logik}
\normalsize

## Mathematik ist eine Sprache {#sec-mathematik-ist-eine-sprache}

Mathematik ist die Sprache der naturwissenschaftlichen Modellbildung. So entspricht
zum Beispiel der Ausdruck
\begin{equation}
F = ma
\end{equation}
im Sinne des zweiten Newtonschen Axioms einer Theorie zur Bewegung von Objekten
unter der Einwirkung von Kräften (@newton1687). Gleichermaßen entspricht der Ausdruck
\begin{equation}
\max_{q(z)} \int q(z) \ln \left(\frac{p(y,z)}{q(z)}\right)\,dz
\end{equation}
im Sinne der Variational Inference der zeitgenössischen Theorie zur 
Funktionsweise des Gehirns (@friston2005, @friston2023, @ostwald2014, @blei2017).
Mathematische Symbolik dient dabei insbesondere der genauen Kommunikation wissenschaftlicher
Erkenntnisse und zielt darauf ab, komplexe Sachverhalte exakt und effizient
zu beschreiben. Wie beim reflektierten Umgang mit jeder Form von Sprache steht also
die Frage "Was soll das heißen?" als Leitfrage im Umgang mit mathematischen Inhalten 
und Symbolismen immer im Vordergrund.   

Als Sprachgebäude weist die Mathematik einige Besonderheiten auf. Zum einen 
sind ihre Inhalte oft abstrakt. Dies rührt daher, dass sich die Mathematik
um eine möglichst breite Allgemeinverständlichkeit und Anwendbarkeit bemüht.
Mathematische Zugänge zu den Phänomenen der Welt sind dabei an einer
möglichst einfache Transferierbarkeit von Erkenntnissen in andere Kontexte interessiert. 
Um dies zu ermöglichen, versucht die Mathematik möglichst genau und verständlich,
also im Sinne präziser Begriffsbildungen zu arbeiten. Sie geht dabei insbesondere
streng hierarchisch vor, so dass an späterer Stelle eingeführte Begrifflichkeiten
oft ein gutes Verständnis der ihnen zugrundeliegenden und an früherer Stelle
eingeführten Begrifflichkeiten voraussetzen.

Die Genauigkeit der mathematischen Sprache impliziert dabei eine hohe Informationsdichte.
Sie ist daher eher nüchtern und lässt überflüssiges weg, so dass in mathematischen
Texten im besten Fall *alles* für die Kommunikation einer Idee relevant ist. Als
Rezipient:in mathematischer Texte nimmt man die Informationsdichte mathematischer
Texte anhand des hohen Verbrauchs an kognitiver Energie beim Lesen eines Textes wahr. 
Dieser hohe Energieverbrauch gebietet insbesondere Ruhe und Langsamkeit bei einem
auf ein gutes Verständnis abzielenden Lesen. Als Leitsatz im Umgang mit mathematischen 
Texten mag dabei folgendes Zitat dienen: "Einen mathematischen Text kann man nicht 
lesen wie einen Roman, man muss ihn sich erarbeiten" (@unger2000). Nach dem Lesen
eines kurzen mathematischen Textes sollte man sich immer kritisch fragen, ob man 
das Gelesene  wirklich verstanden hat oder ob man zur Klärung des Sachverhaltes 
weitere Quellen heranziehen sollte. Auch ist es hilfreich, sich im Sinne des 
berühmten Zitats "What I cannot create, I do not understand" von Richard Feynman 
eigene Aufzeichnungen anzufertigen und mathematische Sprachgebäude selbst nachzubauen. 

Möchte man sich also die Welt der naturwissenschaftliche Modellbildung erschließen,
so ist es hilfreich, beim Umgang mit ihrer mathematischen Ausdrucksweise und Symbolik
die gleichen Strategien wie beim Erlernen einer Fremdsprache anzuwenden. Hierzu gehört 
neben dem Eintauchen in den entsprechenden Sprachraum, also der ständige Exposition
mit mathematischen Ausdrucksweisen, sicherlich auch zunächst einmal das Auswendiglernen
von Begriffen und das aktive Lesen und das Übersetzen von Texten in die Alltagssprache. 
Ein tiefes und sicheres Verständnis mathematischer Modellbildung ergibt sich dann 
insbesondere durch die Anwendung mathematischer Herangehensweisen in schriftlicher 
und mündlicher Form.  

## Grundbausteine mathematischer Kommunikation {#sec-grundbausteine-mathematischer-kommunikation}

In diesem Abschnitt stellen wir mit den Begriffen der *Definition*, des *Theorems*
und des *Beweises* drei Grundbausteine mathematischer Kommunikation vor, die 
uns durchgängig begleiten.

**Definition** 

Eine *Definition* ist eine Grundannahme eines mathematischen Systems, die innerhalb 
dieses Systems weder begründet noch deduktiv abgeleitet wird. Definitionen 
können nur nach ihrer Nützlichkeit innerhalb eines mathematischen Systems bewertet 
werden. Eine Definition lernt man am besten erst einmal auswendig und hinterfragt 
sie erst dann, wenn man ihren Nutzen in der Anwendung verstanden hat oder von 
diesem nicht überzeugt ist. Etwas Entspannung und Ruhe beim Umgang mit auf den 
ersten Blick komplexen Definitionen ist generell hilfreich. Um zu kennzeichnen,
dass wir ein Symbol als etwas definieren, nutzen wir die Schreibweise "$:=$". Zum Beispiel
definiert der Ausdruck "$a := 2$" das Symbol $a$ als die Zahl Zwei. Definitionen
enden in diesem Text immer mit dem Symbol $\bullet$.


**Theorem**

Ein *Theorem* ist eine mathematische Aussage, die mittels eines Beweises als 
wahr (richtig) erkannt werden kann. Dass heißt, ein Theorem wird immer aus 
Definitionen und/oder anderen Theoremen hergeleitet. Theoreme sind in diesem 
Sinne die empirischen Ergebnisse der Mathematik. Im Deutschen werden Theoreme
auch oft als *Sätze* bezeichnet. In der angewandten, datenanalytischen 
Mathematik sind Theoreme oft für Berechnungen hilfreich. Es lohnt sich also, 
sie auswendig zu lernen, da sie meist die Grundlage für Datenauswertung und 
Dateninterpretation bilden. Oft tauchen in Theoremen Gleichungen auf. Diese 
ergeben sich dabei aus den Voraussetzungen des Theorems. Um Gleichungen zu 
kennzeichnen nutzen wir das Gleichheitszeichen "$=$". So besagt also zum Beispiel
der Ausdruck "$a = 2$" in einem gegebenen Kontext, dass aufgrund bestimmter 
Voraussetzungen das Symbol oder die Variable $a$ den Wert zwei hat. Theoreme
enden in diesem Text immer mit dem Symbol $\circ$.

**Beweis**

Ein *Beweis* ist eine logische Argumentationskette, die auf bekannte
Definitionen und Theoreme zurückgreift, um die Wahrheit (Richtigkeit) eines 
Theorems zu belegen. Kurze Beweise tragen dabei oft zum Verständnis eines 
Theorems bei, lange Beweise eher nicht. Beweise sind also insbesondere die Antwort
auf die Frage, warum eine mathematische Aussage gilt ("Warum ist das so?"). 
Beweise lernt man nicht auswendig. Wenn Beweise kurz sind, ist es sinnvoll, sie 
durchzuarbeiten, da sie meist als bekannt vorausgesetzte Inhalte wiederholen. 
Wenn sie lang sind, ist es sinnvoller sie zunächst zu übergehen, um sich nicht 
in Details  zu verlieren und vom eigentlichen Weg durch das entsprechende 
mathematische Gebäude abzukommen. Beweise enden in diesem Text immer mit dem 
Symbol $\Box$.

Neben den oben vorgestellten Begriffen gibt es mit *Axiomen*, *Lemmata*, *Korollaren*
und *Vermutungen* noch weitere typische Grundbausteine mathematischer Texte. Wir
werden diese Begriff nicht verwenden und geben deshalb für sie nur einen kurzen Überblick.

*Axiome* sind unbeweisbare Theoreme, in dem Sinne, als dass sie als Grundannahmen
zum Aufbau mathematischer Systeme dienen. Der Übergang zwischen Definitionen und 
Axiomen ist dabei oft fließend. Da wir mathematisch nicht besonders tief arbeiten, 
bevorzugen wir in den allermeisten Fällen den Begriff der Definition.

Ein *Lemma* ist ein "Hilfstheorem", also eine mathematische Aussage, die zwar bewiesen
wird, aber nicht so bedeutend ist wie ein Theorem. Da wir einerseits auf bedeutende
Inhalte fokussieren und andererseits mathematische Aussagen nicht diskriminieren
wollen, verzichten wir auf diesen Begriff und nutzen stattdessen den Begriff des
Theorems.

Ein *Korollar* ist eine mathematische Aussage, die sich durch einen einfachen
Beweis aus einem Theorem ergibt. Da die "Einfachheit" mathematischer Beweise
eine relative Eigenschaft ist, verzichten wir auf diesen Begriff und nutzen
stattdessen auch hier den Begriff des Theorems.

*Vermutungen* sind mathematische Aussagen von denen unbekannt ist, ob sie beweisbar
oder widerlegbar sind. Da wir im Bereich der angewandten Mathematik arbeiten, 
treffen wir nicht auf Vermutungen.

## Aussagenlogik {#sec-aussagenlogik}

Nachdem wir nun einige Grundbausteine mathematischer Modellbildung kennengelernt 
haben, wollen wir uns mit der *Aussagenlogik* einem einfachem System nähern, das
es erlaubt, Beziehungen zwischen mathematischen Aussagen herzustellen und zu 
formalisieren. Im Folgenden spielt die Aussagenlogik zum Beispiel in der Definition
von Mengenoperationen, bei Optimierungsbedingungen von Funktionen und in vielen
Beweisen einen tragende Rolle. In der mathematischen Anwendung ist Aussagenlogik 
die Grundlage der Booleschen Logik der Programmierung. In der mathematischen 
Psychologie ist die Aussagenlogik zum Beispiel die Grundlage der Repräsentationstheorie 
des Messens.

Wir beginnen mit der Definition des Begriffs der mathematischen *Aussage*.

:::{#def-aussage}
## Aussage
Eine \textit{Aussage} ist ein Satz, dem eindeutig die Eigenschaft \textit{wahr} oder 
\textit{falsch} zugeordnet werden kann.
:::

Das Adjektiv *wahr* kann auch als *richtig* verstanden werden. Wir kürzen wahr 
mit "w" und falsch mit "f" ab. Im Körper der reellen Zahlen ist zum Beispiel 
die Aussage $1 + 1 = 2$ wahr und die Aussage $1 + 1 = 3$ falsch. Man beachte,
dass die Binärität des Wahrheitsgehalts von Aussagen eine Grundannahme der 
Aussagenlogik und damit formal wissenschaftlich und nicht empirisch zu verstehen ist. 
Wahrheitsgehalte beziehen sich nicht auf Definitionen, Definitionen sind immer wahr. 
Eine erste Möglichkeit, mit Aussagen zu arbeiten, ist, sie zu negieren. Dies führt 
auf folgende Definition.

:::{#def-negation}
## Negation
$A$ sei eine Aussage. Dann ist die \textit{Negation von $A$} die Aussage,
die falsch ist, wenn $A$ wahr ist und die wahr ist, wenn $A$ falsch ist.
Die Negation von $A$ wird mit $\neg A$, gesprochen als "nicht $A$", bezeichnet.
:::

Beispielsweise ist die Negation der Aussage "Die Sonne scheint" die Aussage 
"Die Sonne scheint nicht". Die Negation der Aussage $1 + 1 = 2$ ist die 
Aussage $1 + 1 \neq 2$ und die Negation der Aussage $x>1$ ist die Aussage $x \le 1$.
Tabellarisch stellt man die Definition der Negation einer Aussage $A$ wie folgt dar.

\begin{center}
\begin{tabular}{c|c}
 $A$ &  $\neg A$ \\\hline 
  w  &  f   \\
  f  &  w   \\
\end{tabular}
\end{center}

Tabellen dieser Form nennt man *Wahrheitstafeln*. Sie sind ein beliebtes Hilfsmittel
in der Aussagenlogik. Möchte man zwei Aussagen logisch verbinden, so bieten sich 
zunächst die Begriffe der *Konjunktion* und *Disjunktion* an.

:::{#def-konjunktion}
## Konjunktion
$A$ und $B$ seien Aussagen. Dann ist die \textit{Konjunktion von $A$ und $B$} die Aussage, 
die dann und nur dann wahr ist, wenn $A$ und $B$ beide wahr sind. Die Konjunktion 
von $A$ und $B$ wird mit $A \land B$, gesprochen als "$A$ und $B$", bezeichnet.
:::

Die Definition der Konjunktion impliziert folgende Wahrheitstafel.

\begin{center}
\begin{tabular}{c|c|c}
$A$ &  $B$ & $A \land B$ \\\hline 
w   &  w   & w           \\
w   &  f   & f           \\
f   &  w   & f           \\
f   &  f   & f           \\
\end{tabular}
\end{center}

Als Beispiel sei $A$ die Aussage $2\ge1$ und $B$ die Aussage $2>1$. Da sowohl
$A$ und $B$ wahr sind, ist auch die Aussage $2 \ge 1 \land 2 > 1$ wahr. Als weiteres
Beispiel sei $A$ die  Aussage $1\ge 1$ und $B$ die Aussage $1>1$. Hier ist nun 
$A$ wahr und $B$ falsch. Also ist die Aussage $1 \ge 1 \land 1 > 1$ falsch.


:::{#def-disjunktion}
## Disjunktion
$A$ und $B$ seien Aussagen. Dann ist die \textit{Disjunktion von $A$ und $B$} die 
Aussage, die dann und nur dann wahr ist, wenn mindestens eine der beiden Aussagen 
$A$ und $B$ wahr ist. Die Disjunktion von $A$ und $B$ wird mit $A \lor B$, 
gesprochen als "$A$ oder $B$", bezeichnet.
:::

Die Definition der Disjunktion impliziert folgende Wahrheitstafel

\begin{center}
\begin{tabular}{c|c|c}
$A$ &  $B$ & $A \lor B$ \\\hline 
w   &  w   & w           \\
w   &  f   & w           \\
f   &  w   & w           \\
f   &  f   & f           \\
\end{tabular}
\end{center}

$A \lor B$ ist also insbesondere auch dann wahr, wenn $A$ und $B$ beide wahr sind.
Damit ist das hier betrachtete "oder" genauer ein "und/oder".  Man nennt die 
Disjunktion daher auch ein "nicht-exklusives oder". Als Beispiel sei $A$ die
Aussage $2\ge1$ und $B$ die Aussage $2>1$. $A$ ist wahr und $B$ ist wahr. 
Also ist die Aussage $2 \ge 1 \lor 2 > 1$ wahr. Sei nun wiederrum $A$ die 
Aussage $1\ge 1$ wahr und $B$ die Aussage $1>1$. Dann ist $A$ wahr und $B$ falsch.
Also ist die Aussage $1 \ge 1 \lor 1 > 1$ wahr.

Eine Möglichkeit, Aussagen in einen mechanischen logischen Zusammenhang zu stellen,
ist die *Implikation*. Diese ist wie folgt definiert.

:::{#def-implikation}
## Implikation
$A$ und $B$ seien Aussagen. Dann ist die \textit{Implikation}, bezeichnet mit 
$A \Rightarrow B$, die Aussage, die dann und nur dann falsch ist, wenn $A$ wahr
und $B$ falsch ist. $A$ heißt dabei die \textit{Voraussetzung (Prämisse)} und 
$B$ der \textit{Schluss (Konklusion)} der Implikation. $A \Rightarrow B$ spricht
man als "aus $A$ folgt $B$", "$A$ impliziert $B$", oder "wenn $A$, dann $B$". 
:::

Man mag $\Rightarrow$ auch als "daraus folgt" lesen. Die Definition der 
Implikation impliziert folgende Wahrheitstafel.

\begin{center}
\begin{tabular}{c|c|c}
$A$ &  $B$ & $A \Rightarrow B$ \\\hline 
w   &  w   & w           \\
w   &  f   & f           \\
f   &  w   & w           \\
f   &  f   & w           \\
\end{tabular}
\end{center}

Ein Verständnis der Definition der Implikation im Sinne obiger Wahrheitstafel 
ergibt sich am ehesten, indem man sie als Versuch liest, die intuitive Vorstellung
einer Folgerung im Kontext der Aussagenlogik abzubilden und zu formalisieren. 
Betrachtet man obige Wahrheitstafel unter diesem Gesichtspunkt, so sieht man, dass 
wenn $A$ wahr ist und $A \Rightarrow B$ wahr ist, $B$ wahr ist. Konstruiert man 
basierend auf einer wahren Aussage also (zum Beispiel durch das Umformen von 
Gleichungen) eine wahre Implikation so folgt, dass auch $B$ wahr ist. Ist dies 
nicht möglich (dass also gilt, wenn $A$ wahr ist, dass $A \Rightarrow B$ immer 
falsch ist), dann ist auch $B$ falsch. So mag man Aussagen widerlegen. 
Schließlich sieht man, dass wenn $A$ falsch ist und $A \Rightarrow B$ wahr ist, 
$B$ wahr oder falsch sein kann. Aus einer wahren Voraussetzung folgt also nur 
bei wahrer Implikation eine wahre Konklusion. Insbesondere genügt die Definition 
der Implikation damit der Forderung "Aus Falschem folgt beliebiges (ex falso 
sequitur quodlibet)". Aus falschen Aussagen kann man also mithilfe der Implikation
nichts richtiges folgern.

Im Kontext der Implikation ergeben sich die Begriffe der *hinreichenden* und der
*notwendigen Aussagen (Bedingungen)*. Diese sind definiert wie folgt: wenn 
$A \Rightarrow B$ wahr ist, sagt man "$A$ ist *hinreichend* für $B$" und 
"$B$ ist *notwendig* für $A$". Diese Sprachregelung erklärt sich folgendermaßen. 
Wenn $A \Rightarrow B$ wahr ist, gilt dass, wenn $A$ wahr ist auch $B$ wahr ist. 
Die Wahrheit von $A$ reicht also für die Wahrheit von $B$ aus. $A$ ist also 
hinreichend (ausreichend) für $B$. Weiterhin gilt, dass wenn $A \Rightarrow B$ 
wahr ist, dass wenn $B$ falsch ist, dann auch $A$ falsch ist. Die Wahrheit von 
$B$ ist also für die Wahrheit von $A$ notwendig.


Eine sehr häufig autretender Zusammenhang zwischen zwei Aussagen ist ihre *Äquivalenz*.

:::{#def-äquivalenz}
## Äquivalenz
$A$ und $B$ seien Aussagen. Die \textit{Äquivalenz von $A$ und $B$} ist die Aussage,
die dann und nur dann wahr ist,wenn $A$ und $B$ beide wahr sind oder wenn $A$ und $B$
beide falsch sind. Die Äquivalenz von $A$ und $B$ wird mit $A \Leftrightarrow B$
 bezeichnet und gesprochen als "$A$ genau dann wenn $B$" oder "$A$ ist äquivalent zu $B$".
:::

Die Definition der Äquivalenz impliziert folgende Wahrheitstafel

\begin{center}
\begin{tabular}{c|c|c}
$A$ &  $B$ & $A \Leftrightarrow B$ \\\hline 
w   &  w   & w           \\
w   &  f   & f           \\
f   &  w   & f           \\
f   &  f   & w           \\
\end{tabular}
\end{center}

Die Definition des Begriffes der *logischen Äquivalenz* erlaubt es unter anderem,
die Äquivalenz zweier Aussagen mithilfe von Implikationen nachzuweisen.

:::{#def-logische-äquivalenz}
## Logische Äquivalenz
Zwei Aussagen heißen \textit{logisch äquivalent}, wenn ihre Wahrheitstafeln gleich sind.
:::

Als Beispiele für logische Äquivalenzen, die häufig in Beweisargumentationen
genutzt werden, zeigen wir folgendes Theorem. 

:::{#thm-logische-äquivalenzen}
## Logische Äquivalenzen
$A$ und $B$ seien zwei Aussagen. Dann sind folgende Aussagen logisch äquivalent
\begin{itemize}
\item[(1)] $A \Leftrightarrow B$ und $(A \Rightarrow B) \land (B \Rightarrow A)$
\item[(2)]  $A \Rightarrow B$ und $(\neg B) \Rightarrow (\neg A)$
\end{itemize}
:::

:::{.proof}
Nach Definition des Begriffs der logischen Äquivalenz müssen wir zeigen, dass
die Wahrheitstafeln der betrachteten Aussagen gleich sind. Wir zeigen erst (1), dann (2).

\noindent (1) Wir erinnern an die Wahrheitstafel von $A \Leftrightarrow B$:

\begin{center}
\begin{tabular}{c|c|c}
$A$ &  $B$ & $A \Leftrightarrow B$ \\\hline 
w   &  w   & w           \\
w   &  f   & f           \\
f   &  w   & f           \\
f   &  f   & w           \\
\end{tabular}
\end{center}

Wir betrachten weiterhin die Wahrheitstafel von $(A \Rightarrow B) \land (B \Rightarrow A)$:

\begin{center}
\begin{tabular}{c|c|c|c|c}
$A$ &  $B$ & $A \Rightarrow B$ & $B \Rightarrow A$ & $(A \Rightarrow B) \land (B \Rightarrow A)$  \\\hline 
w   &  w   & w                 &  w                & w                                            \\
w   &  f   & f                 &  w                & f                                            \\
f   &  w   & w                 &  f                & f                                            \\
f   &  f   & w                 &  w                & w                                            \\
\end{tabular}
\end{center}

Der Vergleich der Wahrheitstafel von $A \Leftrightarrow$ mit den ersten beiden 
und der letzten Spalte der Wahrheitstafel von $(A \Rightarrow B) \land (B \Rightarrow A)$
zeigt ihre Gleichheit. 

\noindent (2) Wir erinnern an die Wahrheitstafel von $A \Rightarrow B$:

\begin{center}
\begin{tabular}{c|c|c}
$A$ &  $B$ & $A \Rightarrow B$ \\\hline 
w   &  w   & w           \\
w   &  f   & f           \\
f   &  w   & w           \\
f   &  f   & w           \\
\end{tabular}
\end{center}

Wir betrachten weiterhin die Wahrheitstafel von $(\neg B) \Rightarrow (\neg A)$:

\begin{center}
\begin{tabular}{c|c|c|c|c}
$A$ &  $B$ & $\neg B$ & $\neg A$  & $(\neg B) \Rightarrow (\neg A)$  \\\hline 
w   &  w   & f        &  f        & w                                            \\
w   &  f   & w        &  f        & f                                            \\
f   &  w   & f        &  w        & w                                            \\
f   &  f   & w        &  w        & w                                            \\
\end{tabular}
\end{center}

Der Vergleich der Wahrheitstafel von $A \Rightarrow B$ mit den ersten beiden 
und der letzten Spalte der Wahrheitstafel von $(\neg B) \Rightarrow (\neg A)$
zeigt ihre Gleichheit. 
:::


Die erste Aussage von @thm-logische-äquivalenzen besagt, dass die Aussage 
"$A$ und "$B$ sind äquivalent" logisch äquivalent zur Aussage "Aus $A$ folgt $B$" 
und aus "$B$ folgt $A$" ist. Dies ist  die Grundlage für viele sogenannte 
*direkte Beweise*  mithilfe von Äquivalenzumformungen. Die zweite Aussage 
von @thm-logische-äquivalenzen besagt, dass die Aussage "Aus $A$ folgt "$B$" 
logisch äquivalent zur Aussage "Aus nicht $B$ folgt nicht $A$" ist. Dies ist 
die Grundlage für die Technik des *indirekten Beweises*.

## Beweistechniken {#sec-beweistechniken}

Im letzten Abschnitt wollen wir mit den Begriffen der *direkten* und *indirekten Beweise*
sowie des *Beweises durch Widerspruch* kurz drei Beweistechniken skizzieren, von 
denen vor allem die erste in diesem Text immer wieder zur Begründung von Theoremen 
herangezogen wird. Dabei haben typische Theoreme die Form $A \Rightarrow B$ 
für Aussagen $A$ und $B$.

Es gilt dabei

* *Direkte Beweise* nutzen Äquivalenzumformungen, um $A \Rightarrow B$ zu zeigen.
* *Indirekte Beweise* nutzen die logische Äquivalenz von $A \Rightarrow B$ und $(\neg B) \Rightarrow (\neg A)$.
* *Beweise durch Widerspruch* zeigen, dass $(\neg B) \land A$ falsch ist.

Um diese Techniken an einem Beispiel zu erläutern, erinnern wir kurz an folgende 
*Äquivalenzumformungen von Gleichungen*:

* Addition oder Subtraktion einer Zahl auf beiden Seiten der Gleichung, zum Beispiel
\begin{equation}
2x + 4 = 10 \Leftrightarrow 2x = 6,
\end{equation}
* Multiplikation mit einer oder Division durch eine von Null verschiedene Zahl 
auf beiden Seiten der Gleichung, zum Beispiel 
\begin{equation}
2x = 6 \Leftrightarrow x = 3,
\end{equation}
* Anwendung einer injektiven Funktion auf beiden Seiten der Gleichung, zum Beispiel
\begin{equation}
\exp(x) = 2 \Leftrightarrow x = \ln(2),
\end{equation}

sowie an folgende elementaren *Äquivalenzumformungen von Ungleichungen*:

* Addition oder Subtraktion einer Zahl auf beiden Seiten der Ungleichung, zum Beispiel 
\begin{equation}
-2x + 4 \ge 10 \Leftrightarrow -2x \ge 6,
\end{equation}
* Multiplikation mit einer Zahl oder Division durch eine von Null verschiedene 
Zahl auf beiden Seiten der Ungleichung, wobei die Multiplikation oder Division 
mit einer negativen Zahl die Umkehrung der Ungleichung impliziert, zum Beispiel
\begin{equation}
-2x \ge 6 \Leftrightarrow x \le -3,
\end{equation}
* Anwendung monotoner Funktionen auf beiden Seiten der Ungleichung  
\begin{equation}
\exp(x) \ge 2 \Leftrightarrow x \ge \ln(2).
\end{equation}

Damit ausgestattet wollen wir nun folgendes Theorem mithilfe eines direkten 
Beweises, eines indirekten Beweises und eines Beweises durch Widerspruch beweisen
(vgl. @arens2018).

:::{#thm-quadrate-positiver-zahlen}
## Quadrate positiver Zahlen
Es seien $a$ und $b$ zwei positive Zahlen. Dann gilt $a^2 < b^2 \Rightarrow a < b$.
:::

:::{.proof} 
Wir geben zunächst einen *direkten Beweis*. Dazu sei $a^2 < b^2$ die Aussage 
$A$ und $a < b$ die Aussage $B$. Dann gilt
\begin{equation}
a^2 < b^2 
\Leftrightarrow 0 < b^2 - a^2 
\Leftrightarrow 0 < (b+a)(b-a)
\Leftrightarrow 0 < (b-a)
\Leftrightarrow a < b.
\end{equation} 
Wir geben nun einen *indirekten Beweis*. Es sei $a^2 \ge b^2$ die Aussage 
$\neg A$. Weiterhin sei $a \ge b$ die Aussage $\neg B$. Dann gilt
\begin{equation}
a \ge b 
\Leftrightarrow a^2 \ge ab \land ab \ge b^2 
\Leftrightarrow a^2 \ge b^2. 
\end{equation} 
Schließlich geben wir einen *Beweis durch Widerspruch*. Wir zeigen, dazu, 
dass die Annahme $(\neg B) \land A$ auf eine falsche Aussage führt. Es gilt
\begin{equation}
a \ge b \land a^2 < b^2 \Leftrightarrow  a^2  \ge ab \land a^2 < b^2   \Leftrightarrow ab \le a^2 < b^2.
\end{equation}
Weiterhin gilt
\begin{equation}
a \ge b \land a^2 < b^2 \Leftrightarrow  ab  \ge b^2 \land a^2 < b^2   \Leftrightarrow a^2 < b^2 \le ab.
\end{equation}
Insgesamt gilt dann also die falsche Aussage
\begin{equation}
ab \le a^2 < b^2 \le ab \Leftrightarrow ab < ab.
\end{equation}
:::

## Selbstkontrollfragen {#sec-selbstkontrollfragen-sprache-und-logik} 

\small
1. Erläutern Sie die Besonderheiten der mathematischen Sprache.
1. Was sind wesentliche Tätigkeiten zum Erlernen einer Sprache?
1. Erläutern Sie den Begriff der Definition.
1. Erläutern Sie den Begriff des Theorems.
1. Erläutern Sie den Begriff des Beweises.
1. Geben Sie die Definition einer mathematischen Aussage wieder.
1. Geben Sie die Definition der Negation einer mathematischen Aussage wieder.
1. Geben Sie die Definition der Konjunktion zweier mathematischer Aussagen wieder.
1. Geben Sie die Definition der Disjunktion zweier mathematischer Aussagen wieder.
1. Geben Sie die Definition der Implikation wieder.
1. Geben Sie die Definition der Äquivalenz wieder.
1. Geben Sie die Definition der logischen Äquivalenz wieder.
1. Erläutern Sie den Begriff des direkten Beweises.
1. Erläutern Sie den Begriff des indirekten Beweises.
1. Erläutern Sie den Begriff des Beweises durch Widerspruch.
1. Beweisen Sie mit einem direkten Beweis, dass gilt
\begin{equation}
x^2 + px + q 
= 0 
\Leftrightarrow 
x = -\frac{p}{2} - \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q} 
\lor 
x = -\frac{p}{2} + \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}.
\end{equation}
