# Funktionen {#sec-funktionen}
\normalsize

Funktionen bilden zusammen mit den Mengen die Grundpfeiler mathematischer 
Modellierung. In dieser Einheit definieren wir den Begriff der Funktion, führen
erste Eigenschaften von Funktionen ein und geben eine Übersicht über einige 
elementare Funktionen. Funktionen werden äquivalent auch als Abbildungen 
bezeichnet.

## Definition und Eigenschaften
:::{#def-funktion}
## Funktion
Eine *Funktion* oder *Abbildung* $f$ ist eine Zuordnungsvorschrift, die jedem 
Element einer Menge $D$ genau ein Element einer Zielmenge $Z$ zuordnet. $D$ wird
dabei *Definitionsmenge von $f$* und $Z$ wird *Zielmenge von $f$* genannt. Wir 
schreiben
\begin{equation}
f : D \to Z, x \mapsto f(x),
\end{equation}
wobei $f : D \to Z$ gelesen wird als "die Funktion $f$ bildet alle Elemente der
Menge $D$ eindeutig auf Elemente in $Z$ ab" und $x \mapsto f(x)$ gelesen wird 
als "$x$, welches ein Element von $D$ ist, wird durch die Funktion $f$ auf 
$f(x)$ abgebildet, wobei $f(x)$ ein Element von $Z$ ist". Der Pfeil $\to$ steht
für die Abbildung zwischen den Mengen $D$ und $Z$, der Pfeil $\mapsto$ steht für 
die Abbildung zwischen einem Element von $D$ und einem Element von $Z$.

:::

Es ist zentral, zwischen der *Funktion* $f$ als Zuordnungsvorschrift und 
einem *Wert der Funktion* $f(x)$ als Element von $Z$ zu unterscheiden. $x$ ist 
das *Argument* der Funktion (der *Input* der Funktion), $f(x)$ der Wert, den
die Funktion $f$ für das Argument $x$ annimmt (der *Output* der Funktion).
Üblicherweise folgt in der Definition einer Funktion $f(x)$ die Definition 
der *funktionalen Form von $f$*, also einer Regel, wie aus $x$ der Wert $f(x)$
zu bilden ist. Zum Beispiel wird in folgender Definition einer Funktion 
\begin{equation}
f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}_{\ge 0}, x \mapsto f(x) := x^2 
\end{equation} 
die Definition der Potenz genutzt. 

Funktionen sind immer *eindeutig*, in dem Sinne dass sie jedem $x \in D$ bei 
jeder Anwendung der Funktion immer dasselbe $f(x) \in Z$ zuordnen. Funktionen 
setzen dabei Elemente von Mengen miteinander in Beziehung. Die Mengen dieser
Elemente erhalten spezielle Bezeichnungen.

:::{#def-bildmenge-und-urbildmenge}
## Bildmenge und Urbildmenge
Es sei $f : D \to Z, x \mapsto f(x)$ eine Funktion und es seien
$D' \subseteq D$ und $Z' \subseteq Z$. Die Menge
\begin{equation}
f(D') := \{z \in Z| \mbox{Es gibt ein } x \in D' \mbox{ mit } z = f(x)\}
\end{equation}
heißt die *Bildmenge von $D'$ * und $f(D) \subseteq Z$ heißt der *Wertebereich*
von $f$. Weiterhin heißt die Menge
\begin{equation}
f^{-1}(Z') := \{x \in D | f(x) \in Z'\}
\end{equation}
die *Urbildmenge von $Z'$*. $x \in D$ mit $z = f(x) \in Z$ heißt auch *Urbild
von $z$*.
:::

Man beachte, dass der Wertebereich $f(D)$ von $f$ und die Zielmenge $Z$ von 
$f$ sind nicht notwendigerweise identisch sein müssen. Grundlegende Eigenschaften
von Funktionen werden in folgender Definition festgelegt.


:::{#def-injektivität-surjektivität-bijektivität}
## Injektivität, Surjektivität, Bijektivität
$f : D \to Z, x \mapsto f(x)$ sei eine Funktion.  $f$ heißt *injektiv*, wenn es
zu jedem Bild $z \in f(D)$ genau ein Urbild $x \in D$ gibt. Äquivalent gilt,
dass $f$ injektiv ist, wenn aus $x_1,x_2 \in D$ mit $x_1 \neq x_2$ folgt,
dass $f(x_1) \neq f(x_2)$ ist. $f$ heißt *surjektiv*, wenn $f(D) = Z$ gilt, wenn
also jedes Element der Zielmenge $Z$ ein Urbild in der Definitionsmenge $D$ hat.
Schließlich heißt $f$  *bijektiv*, wenn $f$ injektiv und surjektiv ist. Bijektive
Funktionen werden auch *eineindeutige Funktionen* (engl. *one-to-one mappings*)
genannt.
:::

@fig-inj-sur-bij verdeutlicht diese Definitionen anhand dreier (Gegen)beispiele.

![Injektivität, Surjektivität, Bijektivität.](./_figures/104-inj-sur-bij.pdf){#fig-inj-sur-bij fig-align="center"}

@fig-inj-sur-bij A visualisiert die 
*nicht-injektive* Funktion
\begin{equation}
f : \{1,2,3\} \to \{A,B\}, x \mapsto f(x) := \begin{cases} f(1) & := A \\ f(2) & := A \\ f(3) & := B \end{cases}.
\end{equation}
Die Funktion ist nicht-injektiv, weil es zum Element $A$ in der Bildmenge von $f$
mehr als ein Urbild in der Definitionsmenge von $f$ gibt, nämlich $1$ und $2$.

@fig-inj-sur-bij B visualisiert die nicht-surjektive Funktion
\begin{equation}
g : \{1,2,3\} \to \{A,B,C,D\}, x \mapsto g(x) := \begin{cases} g(1) & := A \\ g(2) & := B \\ g(3) & := D \end{cases}.
\end{equation}
Die Funktion ist nicht surjektiv, weil das Element $D$ in der Zielmenge von $f$
kein Urbild in der Definitionsmenge von $f$ hat. @fig-inj-sur-bij C 
schließlich visualisiert die bijektive Funktion
\begin{equation}
h : \{1,2,3\} \to \{A,B,C\}, x \mapsto g(x) := \begin{cases} h(1) & := A \\ h(2) & := B \\ h(3) & := C \end{cases}.
\end{equation}
Zu *jedem* Element in der Zielmenge von $h$ gibt es *genau ein* Urbild, die Funktion 
ist also injektiv und surjektiv und damit bijektiv.


Als weiteres Beispiel betrachten wir die Funktion
\begin{equation}
f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto f(x) := x^2
\end{equation}
Diese Funktion ist nicht injektiv, weil z.B. für $x_1 = 2 \neq -2 = x_2$ gilt,
dass $f(x_1) = 2^2 = 4 = (-2)^2 = f(x_2)$. Weiterhin ist $f$ auch nicht
surjektiv, weil z.B. $-1 \in \mathbb{R}$ kein Urbild unter $f$ hat. Schränkt man
die Definitionsmenge von $f$ allerdings auf die nicht-negativen reellen Zahlen
ein, definiert man also die Funktion
\begin{equation}
\tilde{f} : [0,\infty[ \to [0,\infty[, x \mapsto \tilde{f}(x) := x^2,
\end{equation}
so ist $\tilde{f}$ im Gegensatz zu $f$ injektiv und surjektiv, also bijektiv.

## Funktionentypen

Durch Verkettung lassen sich aus Funktionen weitere Funktionen bilden.

:::{#def-verkettung-von-funktionen}
## Verkettung von Funktionen

Es seien $f : D \to Z$ und $g : Z \to S$ zwei Funktionen, wobei die Wertemenge
von $f$ mit der Definitionsmenge von $g$ übereinstimmen sollen. Dann ist durch
\begin{equation}
g \circ f : D \to S, x \mapsto (g \circ f)(x) := g(f(x))
\end{equation}
eine Funktion definiert, die die *Verkettung von $f$ und $g$* genannt wird.
:::

Die Schreibweise für verkettete Funktionen ist etwas gewöhnungsbedürftig.
Wichtig ist es zu erkennen, dass $g \circ f$ die verkette Funktion und 
$(g \circ f)(x)$ ein Element in der Zielmenge der verketten Funktion
bezeichnen. Intuitiv wird bei der Auswertung von $(g \circ f)(x)$ zunächst die
Funktion $f$ auf $x$ angewendet und dann die Funktion $g$ das Element auf $f(x)$ 
von $R$ angewendet. Dies ist in der funktionalen Form $g(f(x))$ festgehalten. 
Der Einfachheit halber benennt man die Verkettung zweier Funktionen auch oft mit einem einzelnen Buchstaben und schreibt beispielsweise,
$h := g \circ f$ mit $h(x) = g(f(x))$. 

Leicht zur Verwirrung kann es führen, wenn Elemente in der Zielmenge von $f$ 
mit $y$ bezeichnet werden, also die Schreibweise $y = f(x)$ und $h(x) = g(y)$ 
genutzt wird. Allerdings ist diese Schreibweise manchmal zur notationellen 
Vereinfachung nötig.

Als Beispiel für die Verkettung zweier Funktionen betrachten wir 
\begin{equation}
f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto f(x) := -x^2
\end{equation}
und
\begin{equation}
g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto g(x) := \exp(x).
\end{equation}
Die Verkettung von $f$ und $g$ ergibt sich in diesem Fall zu
\begin{equation}
g \circ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto (g \circ f)(x) := g(f(x)) = \exp\left(-x^2\right).
\end{equation}

Eine erste Anwendung der Verkettung von Funktionen findet sich in folgender Definition.

:::{#def-inverse-funktion}
## Inverse Funktion
Es sei $f : D \to Z, x \mapsto f(x)$ eine bijektive Funktion. Dann heißt die
Funktion $f^{-1}$ mit
\begin{equation}
f^{-1} \circ f : D \to D, x \mapsto (f^{-1} \circ f)(x) := f^{-1}(f(x)) = x
\end{equation}
*inverse Funktion*, *Umkehrfunktion* oder einfach *Inverse von* $f$.
:::

Inverse Funktionen sind immer bijektiv. Dies folgt, weil $f$ bijektiv ist und damit
jedem $x \in D$ genau ein $f(x) = z \in Z$ zugeordnet wird. Damit wird aber auch
jedem $z \in Z$ genau ein $x \in D$, nämlich $f^{-1}(f(x)) = x$ zugeordnet. 

Intuitiv macht die inverse Funktion von $f$ den Effekt von $f$ auf ein Element
$x$ rückgängig. Betrachtet man den Graphen einer Funktion in einem Kartesischen
Koordinatensystem, so führt die Anwendung von einem Wert auf der $x$-Achse zu 
einem Wert auf der $y$-Achse. Die Anwendung der inversen Funktion führt 
dementsprechend von einem Wert auf der $y$-Achse zu einem Wert auf der $x$-Achse.
Betrachten wir zum Beispiel die Funktion 
\begin{equation}
f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto f(x) := 2x =:y. 
\end{equation}
Dann ist die inverse Funktion von $f$ gegeben durch
\begin{equation}
f^{-1} : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, y \mapsto f^{-1}(y) := \frac{1}{2}y,
\end{equation}
weil für jedes $x \in \mathbb{R}$ gilt, dass
\begin{equation}
(f^{-1} \circ f)(x) := f^{-1}(f(x)) = f^{-1}(2x) = \frac{1}{2}\cdot 2x = x.
\end{equation}

Eine wichtige Klasse von Funktionen sind *lineare Abbildungen*. 

:::{#def-lineare-abbildungen}
## Lineare Abbildung

Eine Abbildung $f : D \to Z, x \mapsto f(x)$ heißt *lineare Abbildung*, wenn
für $x,y \in D$ und einen Skalar $c$ gelten, dass
\begin{equation}
f(x + y) = f(x) + f(y)  f(cx) = cf(x) \tag*{(Additivität)}
\end{equation}
und
\begin{equation}
f(cx) = cf(x) \tag*{(Homogenität)}
\end{equation}
Eine Abbildung, für die obige Eigenschaften nicht gelten, heißt *nicht-lineare Abbildung*.
:::

Lineare Abbildungen sind oft als "gerade Linien" bekannt. Die allgemeine Definition 
linearer Abbildungen ist mit dieser Intuition nicht komplett kongruent. Insbesondere 
sind lineare Abbildungen nur solche Funktionen, die den Nullpunkt auf den Nullpunkt 
abbilden. Wir zeigen dazu folgendes Theorem.

:::{#thm-lineare-abbildung-des-nullvektors}
## Lineare Abbildung der Null
$f : D \to Z$ sei eine lineare Abbildung. Dann gilt
\begin{equation}
f(0) = 0.
\end{equation}
::: 

:::{.proof}
Wir halten zunächst fest, dass mit der Additivität von $f$ gilt, dass
\begin{equation}
f(0) = f(0 + 0) = f(0) + f(0).
\end{equation}
Addition von $-f(0)$ auf beiden Seiten obiger Gleichung ergibt dann
\begin{align}
\begin{split}
f(0) - f(0) & = f(0) + f(0) - f(0) \\
0           & = f(0) \\
\end{split}
\end{align}
und damit ist alles gezeigt.
:::

Wir wollen den Begriff der linearen Abbildung noch an zwei Beispielen verdeutlichen.

* Für $a \in \mathbb{R}$ ist die Abbildung
\begin{equation}
f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto f(x) := ax
\end{equation}
eine lineare Abbildung, weil gilt, dass
\begin{equation}
f(x + y) = a(x + y) = ax + ay = f(x) + f(y) \mbox{ und } f(cx) = acx = cax = cf(x).
\end{equation}
* Für $a,b \in \mathbb{R}$ ist dagegen die Abbildung
\begin{equation}
f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto f(x) := ax + b
\end{equation}
nicht-linear, weil z.B. für $a := b := 1$ gilt, dass
\begin{equation}
f(x+y) = 1(x+y)+1 = x + y + 1 \neq x + 1 + y + 1 = f(x) + f(y).
\end{equation}

Eine Abbildung der Form $f(x) := ax + b$ heißt *linear-affine Abbildung* oder
*linear-affine Funktion*. Etwas unsauber werden Funktionen der Form
$f(x) := ax + b$ auch manchmal als *lineare Funktionen* bezeichnet.

Neben den bisher diskutierten Funktionentypen gibt es noch viele weitere Klassen
von Funktionen. In folgender Definition klassifizieren wir Funktionen anhand der
Dimensionalität ihrer Definitions- und Zielmengen. Diese Art der Funktionsklassifikation
ist oft hilfreich, um sich einen ersten Überblick über ein mathematisches Modell zu 
verschaffen. 

:::{#def-funktionenarten}
## Funktionenarten

Wir unterscheiden 

* *univariate reellwertige Funktionen* der Form
\begin{equation}
f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto f(x),
\end{equation}
* *multivariate reellwertige Funktionen* der Form
\begin{equation}
f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, x \mapsto f(x) = f(x_1,...,x_n),
\end{equation}
* und *multivariate vektorwertige Funktionen* der Form
\begin{equation}
f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m, x \mapsto
f(x) =
\begin{pmatrix}
f_1(x_1,...,x_n) 	\\
\vdots				\\
f_m(x_1,...,x_n)
\end{pmatrix},
\end{equation}
wobei $f_i, i = 1,...,m$ die *Komponenten(funktionen)* von $f$ genannt werden.
:::

In der Physik werden multivariate reellwertige Funktionen *Skalarfelder* und 
multivariate vektorwertige Funktionen *Vektorfelder* genannt. In manchen 
Anwendungen treten zum Beispiel auch  *matrixvariate matrixwertige Funktionen* auf.

## Elementare Funktionen {#sec-elementare-funktionen}

Als *elementare Funktionen* bezeichnen wir eine kleine Schar von 
univariaten reellwertigen Funktionen, die häufig als Bausteine komplexerer Funktionen auftreten. 
Dies sind die *Polynomfunktionen*, die *Exponentialfunktion*, die *Logarithmusfunktion* 
und die *Gammafunktion*. Im Folgenden geben wir wesentliche Eigenschaften dieser 
Funktionen und ihre Graphen an. Für Beweise der Eigenschaften der hier vorgestellten F
unktionen verweisen wir auf die weiterführende Literatur.

:::{#def-polynomfunktionen}
## Polynomfunktionen
Eine Funktion der Form
\begin{equation}
f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto f(x)
:= \sum_{i=0}^{k} a_i x^i = a_0 + a_1 x^1 + a_2 x^2 + \cdots + a_k x^k
\end{equation}
heißt *Polynomfunktion* $k$-ten Grades mit *Koeffizienten* $a_0, a_1,...,a_k \in \mathbb{R}$.
:::

Einige ausgewählte Polynomfunktionen sind in Tabelle \textcolor{blue}{4.1} aufgelistet,
@fig-polynomfunktionen zeigt die enstprechende Graphen.

\footnotesize
```{r, echo = F}
D = 
data.frame(
c("Konstante Funktion",
"Identitätsfunktion", 
"Linear-affine Funktion", 
"Quadratfunktion"),
c("$f(x) = a$",
"$f(x) = x$", 
"$f(x) = ax + b$", 
"$f(x) = x^2$"),
c("$a_0 := a, a_i := 0, i > 0$",
  "$a_0 := 0, a_1 := 1, a_i := 0, i > 1$",
  "$a_0 := b, a_1 := a, a_i := 0, i > 1$",
  "$a_0 := 0, a_1 := 0, a_2 := 1, a_i := 0, i > 2$"))
knitr::kable(
D,
caption = "Ausgewählte Polynomfunktionen",
row.names = FALSE,
col.names = c("Name", "Funktionale Form", "Koeffizienten"),
align = "lll",
label = "tbl-polynome",
"pipe")
```

```{r, echo = F, eval = F}
# Speichern
pdf(
file        = file.path("./_figures/104-polynomfunktionen.pdf"),
width       = 4.5,
height      = 4.5)

# Definitionen
library(latex2exp)
res       = 1e3                                                                  # domain resolution
a         = 2                                                                    # constant
b         = 1                                                                    # constant
xmax      = 5
x         = cbind(matrix(seq(  -xmax,xmax, len = res), nrow = res))              # polynomial functions domain
fx        = cbind(matrix(rep(a,res)),                                            # f(x) := a
                matrix(x),                                                       # f(x) := x
                matrix(a * x + b),                                               # f(x) := ax + b
                matrix(x^2))                                                     # f(x) := x^2

# Visualisierung
par(
family     = "sans",
pty        = "s",
bty        = "l",
lwd        = 1,
las        = 1,
mgp        = c(2,1,0),
font.main  = 1,
cex.main   = 1.4)
matplot(
x,
fx,
type       = "l",
lty        = 1,
lwd        = 2,
col        = c("black", "gray50", "gray75", "gray90"),
xlim       = c(-xmax,xmax),
ylim       = c(-xmax,xmax),
ylab       = " ",
xlab       = "x")
grid()
legend(
-1,
-1,
c(
TeX("$f(x) = 2$"),
TeX("$f(x) = x$"),
TeX("$f(x) = 2x + 1$"),
TeX("$f(x) = x^2$")),
cex       = 1,
col       = c("black", "gray50", "gray75", "gray90"),
lty       = 1,
lwd       = 2,
bty       = "n")
dev.off()
```

![Ausgewählte Polynomfunktionen](./_figures/104-polynomfunktionen.pdf){#fig-polynomfunktionen fig-align="center" width=60%}

\normalsize

Ein wichtiges Funktionenpaar sind die Exponentialfunktion und die Logarithmusfunktion. 
Die Graphen der Exponential- und Logarithmusfunktion sind in @fig-exp-log-funktionen abgebildet.

```{r, echo = F, eval = F}
# Speichern
pdf(
file        = file.path("./_figures/104-exp-log-funktionen.pdf"),
width       = 4.5,
height      = 4.5)

# Definitionen
library(latex2exp)
res     = 1e3
xmax    = 5
x       = cbind(matrix(seq(  -xmax,xmax, len = res), nrow = res),                # exp domain
                matrix(seq(1e-5   ,xmax, len = res), nrow = res))                # ln domain
fx      = cbind(matrix(exp(x[,1])),                                              # exp(x)
                matrix(log(x[,2])))                                              # ln(x)

# Visualisierung
par(
family     = "sans",
pty        = "s",
bty        = "l",
lwd        = 1,
las        = 1,
mgp        = c(2,1,0),
font.main  = 1,
cex.main   = 1.4)
matplot(
x,
fx,
type      = "l",
lty       = 1,
lwd       = 2,
col       = c("gray30", "gray70"),
xlim      = c(-xmax,xmax),
ylim      = c(-xmax,xmax),
ylab      = " ",
xlab      = "x")
grid()
legend(
-5,
5,
c("exp(x)", "ln(x)"),
cex       = 1,
lty       = 1,
col       = c("gray30", "gray70"),
lwd       = 2,
y.intersp = 2,
bty       = "n")
dev.off()
```

![Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion](./_figures/104-exp-log-funktionen.pdf){#fig-exp-log-funktionen fig-align="center" width=60%}

:::{#def-exponentialfunktion}
## Exponentialfunktion

Die *Exponentialfunktion* ist definiert als
\begin{equation}
\exp : \mathbb{R} \to \mathbb{R},
x \mapsto \exp(x)
:= e^x
:= \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}
= 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots.
\end{equation}
:::

Die Exponentialfunktion hat unter anderem folgende Eigenschaften.

*Wertebereich der Exponentialfunktion*

* $x \in ]-\infty,0[\, \Rightarrow \exp(x) \in ]0,1[$
* $x \in ]0,\infty[\quad\,\,  \Rightarrow \exp(x) \in ]1,\infty[$

Insbesondere nimmt die Exponentialfunktion also nur positive Werte an.

*Monotonieeigenschaft der Exponentialfunktion*

* $x < y \Rightarrow \exp(x) < \exp(y)$

*Spezielle Werte der Exponentialfunktion*

* $\exp(0) = 1$ 
* $\exp(1) = e \approx 2.71$

Die Logarithmusfunktion schneidet die $y$-Achse also bei 0. Die Zahl $e$ heißt
*Eulersche Zahl*.

*Summationseigenschaft und Subtraktionseigenschaft der Exponentialfunktion*

* $\exp(x + y) = \exp(x)\exp(y)$
* $\exp(x - y) = \frac{\exp(x)}{\exp(y)}$

Mit den speziellen Werten der Exponentialfunktion gilt dann insbesondere auch
\begin{equation}
\exp(x)\exp(-x) = \exp(x - x) = \exp(0) = 1.
\end{equation}


:::{#def-logarithmusfunktion}
## Logarithmusfunktion

Die *Logarithmusfunktion* ist definiert als inverse Funktion der Exponentialfunktion,
\begin{equation}
\ln : ]0,\infty[ \to \mathbb{R}, x \mapsto \ln(x)
\mbox{ mit } \ln(\exp(x)) = x \mbox{ für alle } x \in \mathbb{R}.
\end{equation}
:::

Die Logarithmusfunktion hat unter anderem folgende Eigenschaften.

*Wertebereich der Logarithmusfunktion*

* $x \in \, ]0,1[\,\,\, \Rightarrow \ln(x) \in\,]-\infty,0[$
* $x \in \, ]1,\infty[ \Rightarrow \ln(x) \in\, ]0,\infty[$

Die Logarithmusfunktion nimmt also sowohl negative als auch positive Werte an.

*Monotonie der Logarithmusfunktion*

* $x < y \Rightarrow \ln(x) < \ln(y)$

*Spezielle Werte der Logarithmusfunktion*

* $\ln(1) = 0$ und $\ln(e) = 1$.

Die Logarithmusfunktion schneidet die $x$-Achse also bei 1.

*Produkteigenschaft, Potenzeigenschaft und Divisionseigenschaft der Logarithmusfunktion*
 
 * $\ln(xy) = \ln(x) + \ln(y)$
 * $\ln(x^c) = c\ln(x)$
 * $\ln\left(\frac{1}{x}\right) = -\ln(x)$

Letztere Eigenschaft sind beim Rechnen Logarithmusfunktionen zentral. 
Man merkt sie sich intuitiv als "Die Logarithmusfunktion wandelt Produkte in 
Summen und Potenzen in Produkte um."  


Ein häufiger Begleiter in der Wahrscheinlichkeitstheorie ist die *Gammafunktion*.
Ein Auschnitt des Graphen der Gammafunktion ist in @fig-gamma-funktion  dargestellt.
```{r, echo = F, eval = F}
pdf(
file        = file.path("./_figures/104-gamma-funktion.pdf"),
width       = 4.5,
height      = 4.5)

# Definitionen
library(latex2exp())
res         = 1e3                                                                # domain resolution
xmax        = 5                                                                  # |x_max|
x           = seq(1e-3,xmax, len = res)                                          # Gamma domain
fx          = gamma(x)                                                           # Gamma(x)

# Visualisierung plot specifications
par(
family      = "sans",
pty         = "s",
bty         = "l",
lwd         = 1,
las         = 1,
mgp         = c(2,1,0),
font.main   = 1,
cex.main    = 1.4
)
matplot(
x,
fx,
type        = "l",
lty         = 1,
lwd         = 2,
col         = "gray30",
xlim        = c(0,xmax),
ylim        = c(0,xmax),
ylab        = " ",
xlab        = "x")
grid()
legend(
2,
1,
TeX("$\\Gamma(x)$"),
cex         = 1.5,
lty         = 1,
col         = "gray30",
lwd         = 2,
bty       = "n")
dev.off()
```

![Gammafunktion](./_figures/104-gamma-funktion.pdf){#fig-gamma-funktion fig-align="center" width=60%}


:::{#def-gammafunktion}
## Gammafunktion
Die *Gammafunktion* ist definiert durch
\begin{equation}
\Gamma : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto
\Gamma(x) := \int_0^\infty \xi^{x-1}\exp(-\xi)\,d\xi
\end{equation}
:::

Die Gammafunktion hat folgende Eigenschaften:

*Spezielle Werte der Gammafunktion*

* $\Gamma(1) = 1$
* $\Gamma\left(\frac{1}{2} \right) = \sqrt{\pi}$
* $\Gamma(n) = (n-1)!$ für $n \in \mathbb{N}$.

*Rekursionseigenschaft der Gammafunktion*

* Für $x>0$ gilt $\Gamma(x+1) = x\Gamma(x)$


## Selbstkontrollfragen {#sec-selbstkontrollfragen-funktionen}
\small
1. Geben Sie die Definition einer Funktion wieder.
1. Geben Sie die Definition der Begriffe Bildmenge, Wertebereich, und Urbildmenge wieder.
1. Geben Sie die Definitionen der Begriffe Surjektivität, Injektivität, und Bijektivität wieder.
1. Erläutern Sie, warum $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto f(x) := x^2$ weder injektiv noch surjektiv ist.
1. Erläutern Sie, warum $f: [0,\infty[ \to [0,\infty[ , x \mapsto f(x) := x^2$ bijektiv ist.
1. Geben Sie die Definition der Verkettung von Funktionen wieder.
1. Geben Sie die Definition des Begriffs der inversen Funktion wieder.
1. Geben Sie die inverse Funktion von $x^2$ auf $[0,\infty[$ an.
1. Geben Sie die Definition des Begriffs der linearen Abbildung wieder.
1. Geben Sie die Definitionen der Begriffe der univariat-reellwertigen, multivariat-reellwertigen und multivariat-vektorwertigen Funktion wieder.
1. Skizzieren Sie die Identitätsfunktion und die konstante Funktion für $a := 1$.
1. Skizzieren Sie die linear-affine Funktion $f(x) = ax + b$ für $a = 2$ und $b = 3$. 
1. Skizzieren Sie die Funktionen $f(x) := (x-1)^2$ und $g(x) := (x + 3)^2$.
1. Skizzieren Sie die Exponential- und Logarithmusfunktionen.
1. Geben Sie die Summations- und Subtraktionseigenschaften der Exponentialfunktion an.
1. Geben Sie die Produkt-, Potenz- und Divisionseigenschaften der Logarithmusfunktion an.