# Folgen, Grenzwerte, Stetigkeit {#sec-folgen-grenzwerte-stetigkeit}
\normalsize

Die in diesem Kapitel behandelten Themen sind in der probabilistischen Datenanayse 
nicht zentral, sondern bilden Grundpfeiler der reellen Analysis. Durch die enge 
Verschränkung der modernen Wahrscheinlichkeitstheorie mit analytischen Ansätzen
dienen sie jedoch dem Verständnis von zum Beispiel dem Zentralen Grenzwertsatz,
der eine Hauptgrundlage für die weit verbreitete Normalverteilungsannahme 
in der probabilistischen Datenanalyse darstellt. In aller Kürze ist der Zentrale
Grenzwertsatz eine Aussage über die Grenzfunktion einer Funktionenfolge, nämlich
einer Folge von Zufallsvariablen. Das Wissen um das Wesen von Folgen, 
Funktionenfolgen und ihren Grenzwerten erlaubt also ein tieferes Verständnis wichtiger
Grundannahmen der probabilistischen Datenanalyse. Weiterhin ermöglichen die in
diesem Kapitel behandelten Themen zumindest einen ersten Einstieg in das Verständnis
der Stetigkeit und Glattheit von Funktionen, die insbesondere in der nichtlinearen
Optimierung zu Bestimmung von Parameterschätzern in probabilistischen Modellen wichtige
Grundkonzepte bilden.  

## Folgen {#sec-folgen}
Wir beginnen mit der Definition des Begriffs der *reellen Folge*.

:::{#def-reelle-folge}
## Reelle Folge
Eine \textit{reelle Folge} ist eine Funktion der Form
\begin{equation}
f : \mathbb{N} \to \mathbb{R}, n \mapsto f(n)
\end{equation}
Die Funktionswerte $f(n)$ einer reellen Folge werden üblicherweise mit $x_n$
bezeichnet und \textit{Folgenglieder} genannt. Übliche Schreibweisen für Folgen sind
\begin{equation}
(x_1,x_2,...) 
\mbox{ oder } 
(x_n)_{n=1}^\infty 
\mbox{ oder } 
(x_n)_{n\in \mathbb{N}}
\mbox{ oder } 
(x_n).
\end{equation}
:::

Man beachte, dass weil es unendlich viele natürliche Zahlen gibt, eine reelle Folge
immer unendlich viele Folgenglieder hat. Dies sollte man sich insbesondere bei
der Schreibweise $(x_1,x_2,...)$ bewusst machen. Wir wollen zwei Standardbeispiele
für reelle Folgen betrachten.

**Beispiele für reelle Folgen**

(1) Reelle Folgen der Form
\begin{equation}
f : \mathbb{N} \to \mathbb{R}, n \mapsto f(n) := \left(\frac{1}{n}\right)^{\frac{p}{q}} \mbox{ mit } p,q\in \mathbb{N}
\end{equation}
nennen wir *harmonische Folgen*. Für $p := q := 1$ hat eine harmonische Folge die Folgengliederform
\begin{equation}
\left(\frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, ...\right).
\end{equation}

(2) Reelle Folgen der Form
\begin{equation}
f : \mathbb{N} \to \mathbb{R}, n \mapsto f(n) := q^n \mbox{ mit } q \in ]-1,1[
\end{equation}
werden *geometrische Folgen* genannt. Für $q := \frac{1}{2}$ hat eine geometrische
Folge die Folgengliederform
\begin{align}
\begin{split}
\left(\left(\frac{1}{2}\right)^1,\left(\frac{1}{2}\right)^2,\left(\frac{1}{2}\right)^3, ...\right)    
& = \left(\left(\frac{1}{2}\right)^1,\left(\frac{1}{2}\right)^2,\left(\frac{1}{2}\right)^3, ...\right)\\
& = \left(\frac{1^1}{2^1},\frac{1^2}{2^2},\frac{1^3}{2^3} ...\right)                                  \\
& = \left(\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8} ...\right)
\end{split}
\end{align}


Neben den reellen Folgen, die Folgen reeller Zahlen sind, kann man auch Folgen
anderer mathematischer Objekte betrachten. Eine wichtige Folgenart sind die 
*Funktionenfolgen*.

:::{#def-funktionenfolge}
## Funktionenfolge
Es sei $\phi$ eine Menge univariater reellwertiger Funktionen mit Definitionsmenge
$D \subseteq \mathbb{R}$. Dann ist eine Funktionenfolge eine Funktion der Form
\begin{equation}
F: \mathbb{N} \to \phi, n \mapsto F(n).
\end{equation}
Die Funktionswerte $F(n)$ einer Funktionenfolgen werden üblicherweise mit $f_n$
bezeichnet und \textit{Folgenglieder} genannt. Übliche Schreibweisen für Funktionenfolgen
sind 
\begin{equation}
(f_1,f_2,...) 
\mbox{ oder } 
(f_n)_{n=1}^\infty 
\mbox{ oder } 
(f_n)_{n\in \mathbb{N}}
\mbox{ oder } 
(f_n).
\end{equation}
:::

Die Definition einer Funktionenfolge ist offenbar analog zur Definition einer reellen Folge.
Der Unterschied zwischen einer reellen Folge und einer Funktionenfolge ist, dass die Folgenglieder
einer reellen Folge reelle Zahlen, die Folgenglieder einer Funktionenfolgen dagegen univariate reellwertige Funktionen sind. Auch hier wollen wir zwei Standardbeispiel diskutieren.

**Beispiele für Funktionenfolgen**

(1) Wir betrachten die Menge $\phi$ der univariaten reellwertigen Funktionen der Form
\begin{equation}
\phi := \{f_n|f_n : [0,1] \to \mathbb{R}, x \mapsto f_n(x) := x^n \mbox{ für } n \in \mathbb{N}\}
\end{equation}
Dann definiert 
\begin{equation}
F : \mathbb{N} \to \phi, n\mapsto F(n)
\end{equation}
eine Funktionenfolge. Für die Funktionswerte der Folgenglieder von $F$ gilt
\begin{equation}
f_1(x) := x^1, f_2(x) := x^2,  f_3(x) := x^3, ...
\end{equation}
(2) Wir betrachten die Menge $\phi$ der univariaten reellwertigen Funktionen der Form
\begin{equation}
\phi := \{f_n|f_n : [-a,a] \to \mathbb{R}, x \mapsto f_n(x) := \sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!} \mbox{ für } n \in \mathbb{N}\}
\end{equation}
Dann definiert 
\begin{equation}
F : \mathbb{N} \to \phi, n\mapsto F(n)
\end{equation}
eine Funktionenfolge. Für die Funktionswerte der Folgenglieder von $F$ gilt
\begin{equation}
f_1(x) := \sum_{k=0}^1 \frac{x^k}{k!}, f_2(x) := \sum_{k=0}^2 \frac{x^k}{k!},  f_3(x) := \sum_{k=0}^3 \frac{x^k}{k!}, ...
\end{equation}

## Grenzwerte {#sec-grenzwerte}

Wenn man die Folgenglieder einer Folge betrachtet, kann man sich fragen, welche
Werte eine Folge wohl annimmt, wenn der Folgenindex $n$ sehr groß wird, also
gegen unendlich strebt. Wenn in diesem Fall die Folgenglieder sehr ähnliche Werte
annehmen (und nicht etwa auch unendlich groß werden), so ist man auf den Begriff
des *Grenzwerts* für reelle Folgen bzw. der *Grenzfunktion* für Funktionenfolgen 
geführt.

:::{#def-grenzwert-einer-folge}
## Grenzwert einer Folge
$x \in \mathbb{R}$ heißt Grenzwert einer reellen Folge $(x_n)_{n=1}^\infty$, wenn
es zu jedem $\epsilon>0$ ein $m \in \mathbb{N}$ gibt, so dass
\begin{equation}
|x_n - x| < \epsilon \mbox{ für alle } n \ge m.
\end{equation}
Eine Folge, die einen Grenzwert besitzt, wird \textit{konvergente Folge} genannt,
eine Folge die keinen Grenzwert besitzt, wird \textit{divergente Folge} genannt.
Dafür, dass $x \in \mathbb{R}$ Grenzwert der Folge  $(x_n)_{n=1}^\infty$ ist, schreibt 
man auch
\begin{equation}
\lim_{n \to \infty} x_n = x 
\mbox{ oder } 
x_n \to x \mbox{ für } n \to \infty 
\mbox{ oder }
x_n\xrightarrow[]{n \to \infty} x.
\end{equation}
:::

Der Grenzwert einer Folge kann also, aber muss nicht existieren. So hat zum Beispiel
die Folge 
\begin{equation}
f : \mathbb{N} \to \mathbb{R}, n \mapsto f(n) := n
\end{equation}
keinen Grenzwert, da hier sowohl $n$ als auch $f(n)$ unendlich groß werden. Die
oben betrachteten Beispiele für reelle Folgen dagegen haben Grenzwert. Dies ist
Inhalt folgender Beispiele

**Beispiele**

(1) Für die verallgemeinerten harmonischen Folgen gilt mit $p,q \in \mathbb{N}$
$$
\lim_{n\to \infty} \left(\frac{1}{n}\right)^{\frac{p}{q}} = 0.
$$ {#eq-lim-ham}

(2) Für die geometrischen Folgen gilt mit $q \in ]-1,1[$
$$
\lim_{n\to \infty} q^n = 0.
$$ {#eq-lim-geo}

Man nennt die harmonischen und geometrischen Folgen entsprechend auch *Nullfolgen*.
Für Beweise von @eq-lim-ham und @eq-lim-geo verweisen wir auf die weiterführende 
Literatur. Tatsächlich sind diese Beweise nicht trivial und rühren an die 
Grundannahmen über das Wesen der reellen Zahlen.  Wir visualisieren die ersten 
zehn Folgenglieder sowie die Grenzwerte der harmonischen Folge fr $p := q := 1$ 
und der geometrischen Folge für $q := 1/2$ in @fig-reelle-folgen-grenzwerte.

```{r, echo = F, eval = F}
pdf(
file        = "./_figures/106-reelle-folgen-grenzwerte.pdf",
width       = 10,
height      = 5)

library(latex2exp)
par(
mfcol     = c(1,2),
family    = "sans",
pty       = "s",
bty       = "l",
lwd       = 1,
las       = 1,
mgp       = c(2,1,0),
font.main = 1,
cex.main  = 1.2)

# Folgendefinition
n         = 1:10                                                                 # Definitionsmenge
f_h       = 1/n                                                                 # Harmonische Folge für p := q := 1
f_g       = (1/2) ** n                                                          # Geometrische Folge für q := 1/2

# Harmonische folge für p := q := 1
plot(
n,
f_h,
type      = "p",
xlim      = c(0,11),
ylim      = c(-.1,1),
ylab      = " ",
xlab      = "n",
main      = "" )
abline(
0,
0,
col       = "gray")
legend(
6,
1,
c(TeX("$\\frac{1}{n}$"), TeX("$\\lim_{n \\to \\infty} \\frac{1}{n}$")),
cex       = 1,
lty       = c(0,1),
pch       = c(1,NA),
col       = c("gray30", "gray70"),
lwd       = c(1,1),
y.intersp = 1.5,
bty       = "n")

# Geometrische Folge für q := 1/2
plot(
n,
f_g,
type      = "p",
xlim      = c(0,11),
ylim      = c(-.1,1),
ylab      = " ",
xlab      = "n",
main      = "")
abline(
0,
0,
col       = "gray")
legend(
6,
1,
c(TeX("$\\left(\\frac{1}{2}\\right)^n$"), TeX("$\\lim_{n \\to \\infty} \\left(\\frac{1}{2}\\right)^n$")),
cex       = 1,
lty       = c(0,1),
pch       = c(1,NA),
col       = c("gray30", "gray70"),
lwd       = c(1,1),
y.intersp = 1.5,
bty       = "n")
dev.off()
```

![Beispiele für Grenzwerte reeller Folgen.](./_figures/106-reelle-folgen-grenzwerte.pdf){#fig-reelle-folgen-grenzwerte fig-align="center"}

Für Funktionenfolgen ist eine Möglichkeit der Erweiterung der Begriffe der Konvergenz
und des Grenzwertes folgende.

:::{#def-grenzfunktion-einer-funktionenfolge}
## Punktweise Konvergenz und Grenzfunktion einer Funktionenfolge
$F = (f_n)_{n\in \mathbb{N}}$ sei eine Funktionenfolge von univariaten reellwertigen
Funktionen mit Definitionsbereich $D$. $F$ heißt \textit{punktweise konvergent}, 
wenn die reelle Folge $\left(f_n(x)\right)_{n\in \mathbb{N}}$ für jedes $x \in D$
eine konvergente Folge ist, also einen Grenzwert besitzt. Die Funktion, die jedem 
$x \in D$ diesen Grenzwert von $\left(f_n(x)\right)_{n\in \mathbb{N}}$ zuordnet, 
heißt dann die \textit{Grenzfunktion  der Funktionenfolge $F$} und hat die Form
\begin{equation}
f : D \to \mathbb{R}, x \mapsto f(x) := \lim_{n\to \infty}f_n(x).
\end{equation}
:::

Man beachte, dass die Grenzwerte von konvergenten reellen Folgen reelle Zahlen sind, 
die Grenzfunktionen von punktweise konvergenten Funktionenfolgen dagegen sind Funktionen.
Neben der punktweisen Konvergenz von Funktionenfolgen gibt es noch den mächtigeren 
Begriff der *gleichmäßigen Konvergenz* von Funktionenfolgen, für den wir aber auf
die weiterführende Literatur verweisen. Als Beispiel betrachten wir die Grenzfunktionen
der oben diskutierten Funktionenfolgen, wobei wir für Beweise ebenfalls auf
die weiterführende Literatur verweisen.

**Beispiele**

(1) Wir betrachten die Funktionenfolge
\begin{equation}
F : \mathbb{N} \to \phi, n\mapsto F(n)
\end{equation}
mit 
\begin{equation}
\phi := \{f_n|f_n : [0,1] \to \mathbb{R}, x \mapsto f_n(x) := x^n \mbox{ für } n \in \mathbb{N}\}
\end{equation}
Dann ist $F$ punktweise konvergent mit Grenzfunktion
\begin{equation}
f : [0,1] \to \mathbb{R}, x \mapsto f(x)
:= 
\begin{cases}
0, & \mbox{ für } x \in [0,1[ \\
1, & \mbox{ für } x = 1       \\
\end{cases}
\end{equation}
da $f_n(x) := x^n$ für $x \in [0,1[$ eine geometrische Folge und damit eine 
Nullfolge ist und $f_n(x) := x^n$ für $x = 1$ eine konstante Folge ist, für die 
alle Folgenglieder den Abstand $0$ von $1$ haben. Die Funktionenfolge $F$ 
konvergiert also gegen eine Funktion, die auf dem gesamten Intervall $[0,1]$
gleich Null ist, außer im Punkt $1$. Diese Funktion hat offenbar einen Sprung.

(2) Wir betrachten die Funktionenfolge
\begin{equation}
F : \mathbb{N} \to \phi, n\mapsto F(n)
\end{equation}
mit 
\begin{equation}
\phi := \{f_n|f_n : [-a,a] \to \mathbb{R}, x \mapsto f_n(x) := \sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!} \mbox{ für } n \in \mathbb{N}\}
\end{equation}
Dann ist $F$ punktweise konvergent mit Grenzfunktion
\begin{equation}
f : [-a,a] \to \mathbb{R}, x \mapsto f(x)
:= \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!} 
=: \exp(x)
\end{equation}
Die Funktionenfolge $F$ konvergiert also gegen die Exponentialfunktion auf $[-a,a]$.
Umgekehrt betrachtet ist die Exponentialfunktion gerade durch
\begin{equation}
\exp(x) :=  \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}
\end{equation}
definiert.


```{r, echo = F, eval = F}
# PDF Speicherung
pdf(
file        = "./_figures/106-funktionenfolgen-grenzwerte.pdf",
width       = 10,
height      = 5)
library(latex2exp)
par(
mfcol     = c(1,2),
family    = "sans",
pty       = "s",
bty       = "l",
lwd       = 1,
las       = 1,
mgp       = c(2,1,0),
font.main = 1,
cex.main  = 1.5)

# f_n(x) := x^n
x_min     = 0                                                                   # minimum x-value
x_max     = 1                                                                   # maximum x-value
x_res     = 1e3                                                                 # x-space resolution
x         = seq(x_min,x_max,len = x_res)                                        # x-space
f_nx      = cbind(matrix(x**1), matrix(x**2), matrix(x**3), matrix(x**4))       # f_n(x) := x^n für n = 1,2,3,4
matplot(
x,
f_nx,
type      = "l",
lty       = 1,
lwd       = 2,
col       = c("gray10", "gray30", "gray50", "gray70", "red"),
xlim      = c(x_min,x_max),
ylim      = c(x_min,x_max),
ylab      = " ",
xlab      = "x",
main      = TeX("$f_n(x) := x^n$"))
lines(
x,
rep(0,length(x)),
lwd       = 2,
col       = "red")
points(
1,
1,
lwd       = 2,
col       = "red")

legend(
0,
1,
c(TeX("$f_1$"),TeX("$f_2$"),TeX("$f_3$"), TeX("$f_4$"), TeX("f")), 
cex       = 1.2,
lty       = 1,
col       = c("gray10", "gray30", "gray50", "gray70", "red"),
lwd       = 2,
y.intersp = 1,
bty       = "n")

# f_n(x) := \sum_{k=0}^n x^k/k!
x_min     = -2                                                                  # minimum x-value
x_max     = 2                                                                   # maximum x-value
x_res     = 1e2                                                                 # x-space resolution
x         = seq(x_min,x_max,len = x_res)                                        # x-space
n_max     = 4                                                                   # maximal n value
xt        = matrix(rep(NaN,x_res*(n_max+1)), nrow = x_res)                      # x-terms of the summation defintion
for(i in 1:x_res){                                                              # x value iterations
  for(k in 0:n_max){                                                        # k value iterations
    xt[i,k+1] = (x[i]**k)/factorial(k)
  }
}
f_nx      = cbind(matrix(rowSums(xt[,1:2])),                                    # f_n(x) :=\sum_{k=0}^n x^k/k! für n = 1,2,3,4
                  matrix(rowSums(xt[,1:3])),
                  matrix(rowSums(xt[,1:4])),
                  matrix(rowSums(xt[,1:5])))           
matplot(
x,
f_nx,
type      = "l",
lty       = 1,
lwd       = 2,
col       = c("gray10", "gray30", "gray50", "gray70"),
xlim      = c(x_min,x_max),
ylab      = " ",
xlab      = "x",
main      = TeX("$f_n(x) := \\sum_{k=0}^n \\frac{x^k}{x!}$"))
lines(
x, 
exp(x),
type      = "l",
lwd       = 2,
col       = "red")
legend(
-2,
7,
c(TeX("$f_1$"),TeX("$f_2$"),TeX("$f_3$"), TeX("$f_4$"), TeX("$\\exp$")), 
cex       = 1.2,
lty       = 1,
col       = c("gray10", "gray30", "gray50", "gray70", "red"),
lwd       = 2,
y.intersp = 1,
bty       = "n")
dev.off()
```

![Beispiele für Grenzwerte von Funktionenfolgen]("./_figures/106-funktionenfolgen-grenzwerte.pdf"){#fig-funktionenfolgen-grenzwerte fig-align="center"}

## Stetigkeit {#stetigkeit}

In diesem Abschnitt versuchen wir uns dem Begriff der *Stetigkeit* einer Funktion
zu nähern. Intuitiv ist eine Funktion stetig, wenn sie keine Sprünge hat oder äquivalent,
wenn kleine Änderungen in ihren Argumenten stets nur zu kleinen Änderungen in ihren
Funktionswerten (und damit eben keinen Sprüngen) führen. Zur Definition der Stetigkeit
benötigen wir zunächst den Begriff des *Grenzwertes einer Funktion*.

:::{#def-grenzwert-einer-funktion}
## Grenzwert einer Funktion
Für $D\subseteq\mathbb{R}$ und $Z\subseteq\mathbb{R}$ sei $f : D \to Z, x \mapsto f(x)$
eine Funktion und es seien $a,b \in \mathbb{R}$. $b$ heißt \textit{Grenzwert
der Funktion $f$ für $x$ gegen $a$}, wenn 
\begin{itemize}
\item[(1)] es eine reelle Folge $(x_n)_{n=1}^\infty$ mit Folgengliedern in $D$ 
mit Grenzwert $a$ gibt, also $\lim_{n \to \infty} x_n = a$ gilt, und
\item[(2)] für jede solche Folge gilt, dass $b$ der Grenzwert der Folge der 
Funktionswerte $f(x_n)$ der Folgenglieder von $(x_n)_{n=1}^\infty$ ist, also
$\lim_{n \to \infty} f(x_n) = b$ gilt. 
\end{itemize}
Wenn $b$ Grenzwert der Funktion $f$ für $x$ gegen $a$ ist, so schreibt man auch 
$\lim_{x \to a} f(x) = b$.
:::
In @fig-grenzwert-einer-funktion visualisieren wir den Grenzwert der Exponential
funktion in $a = 1$ durch Darstellung von Folgenglieder $x_n \to 1$ und den
entsprechenden Folgengliedern $f(x_n)$. Offenbar gilt $\lim_{x\to 1}\exp(x) = e$.

```{r, echo = F, eval = F}
# PDF Speicherung
pdf(
file        = "./_figures/106-grenzwert-einer-funktion.pdf",
width       = 5,
height      = 5)
library(latex2exp)
par(
mfcol     = c(1,1),
family    = "sans",
pty       = "m",
bty       = "l",
lwd       = 1,
las       = 1,
mgp       = c(2,1,0),
font.main = 1,
cex.main  = 1)

# f(x) := exp(x)
x_min     = 0.5                                                                 # minimum x-value
x_max     = 1.2                                                                 # maximum x-value
x_res     = 1e3                                                                 # x-space resolution
x         = seq(x_min,x_max,len = x_res)                                        # x-space
a         = 1                                                                   # Häufungspunkt von Interesse
n_max     = 10                                                                  # Maximum n für geometrische Folge
f_g       = (1/2)**(1:n_max)                                                    # geometrische Folge  
xtoa      = 1 - f_g                                                             # x \to a
fxtoa     = exp(xtoa)                                                           # f(x \to a) =    
fx        = exp(x)                                                              # Exponentialfunktion
plot(
x,
fx,
type      = "l",
lty       = 1,
lwd       = 2,
xlim      = c(x_min,x_max),
ylim      = c(1.5,exp(x_max)),
xlab      = "x",
ylab      = " ")
points(
xtoa,
rep(1.5,length(xtoa)),
pch       = 21,
col       = "black",
bg        = "white")
points(
xtoa,
fxtoa,
pch       = 21,
col       = "gray",
bg        = "white")
dev.off()
```

![Beispiele für einen Grenzwert einer Funktion]("./_figures/106-grenzwert-einer-funktion.pdf"){#fig-grenzwert-einer-funktion fig-align="center" width=50%}

Wir können nun den Begriff der Stetigkeit einer Funktion definieren.

:::{#def-stetigkeit-einer-funktion}
## Stetigkeit einer Funktion
Eine Funktion $f : D \to Z$ mit $D \subseteq \mathbb{R}, Z \subseteq \mathbb{R}$
heißt \textit{stetig in $a \in D$}, wenn
\begin{equation}
\lim_{x\to a} f(x) = f(a).
\end{equation}
Ist $f$ in jedem $x \in D$ stetig, so heißt \textit{$f$ stetig auf $D$}.
:::

Man beachte, dass für eine in $a$ stetige Funktion folgt, dass
\begin{equation}
\lim_{x \to a} f(x) = f\left(\lim_{x\to a} x\right)
\end{equation}
Bei stetigen Funktion können also Grenzwertbildung und Auswertung der Funktion 
vertauscht werden.

## Selbstkontrollfragen {#sec-selbstkontrollfragen-folgen-grenzwerte-stetigkeit}
