# Integralrechnung {#sec-integralrechnung}
\normalsize

Dieses Kapitel gibt einen Überblick über zentrale Begriffe der Integralrechnung. 
Das Hauptaugenmerk liegt dabei durchgängig auf der Klärung von Begrifflichkeiten, 
ihrer mathematischen Symbolik und der durch sie vermittelten Intuition und weniger 
auf der konkreten Berechnung von Integralen. 

## Unbestimmte Integrale {#sec-unbestimmte-integrale}

Wir beginnen mit der Definition des unbestimmen Integrals und dem
Begriff der Stammfunktion.

:::{#def-unbestimmtes-integral-und-stammfunktion}
## Unbestimmtes Integral und Stammfunktion
Für ein Intervall $I \subseteq \mathbb{R}$ sei $f : I \to \mathbb{R}$ eine
univariate reellwertige Funktion. Dann heißt eine differenzierbare Funktion
$F : I \to \mathbb{R}$ mit der Eigenschaft
\begin{equation}
F' = f
\end{equation}
*Stammfunktion von $f$*. Ist $F$ eine Stammfunktion von $f$, dann heißt
\begin{equation}
\int f(x) \,dx := F + c \mbox{ mit } c \in \mathbb{R}
\end{equation}
*unbestimmtes Integral der Funktion* $f$. Das unbestimmte Integral einer
Funktion bezeichnet damit die Menge aller Stammfunktionen einer Funktion.
:::

Obige Definition besagt, dass die Ableitung der Stammfunktion einer Funktion $f$
eben $f$ ist. Das unbestimmte Integral einer Funktion $f$ ist darüber hinaus die
Menge  *aller* durch Addition verschiedener Konstanten $c \in \mathbb{R}$ gegebenen 
Stammfunktionen von $f$. Eine solche Konstante $c \in \mathbb{R}$ heißt auch 
*Integrationskonstante*; es gilt natürlich $\frac{d}{dx}c = 0$. Das Symbol $\int f(x) \,dx$ 
ist als $F + c$ definiert. $f(x)$ wird in diesem Ausdruck *Integrand* genannt.  
$\int$ und $\,dx$ haben keine eigentliche Bedeutung, sondern sind reine Symbole.

Für die in vorherigen Abschnitten eingeführten elementaren Funktionen ergeben sich
die in Tabelle \textcolor{blue}{7.1} aufgelisteten Stammfunktionen. Man überzeugt
sich davon durch Ableiten der jeweiligen Stammfunktion mithilfe der Rechenregeln der 
Differentialrechnung. Die uneigentlichen Integrale dieser elementaren Funktionen 
ergeben sich dann direkt aus diesen Stammfunktionen durch Addition einer 
Integrationskonstanten.

\footnotesize
```{r echo = F}
D = data.frame(c("Polynomfunktion",
                 "Konstante Funktion",
                 "Identitätsfunktion", 
                 "Linear-affine Funktion", 
                 "Quadratfunktion",
                 "Exponentialfunktion",
                 "Logarithmusfunktion"),
               c("$f(x) := \\sum_{i=0}^n a_ix^i$",
                 "$f(x) := a$",
                 "$f(x) := x$",
                 "$f(x) := ax + b$",
                 "$f(x) := x^2$",
                 "$f(x) := \\exp(x)$",
                 "$f(x) := \\ln(x)$"),
               c("$F(x) = \\sum_{i=0}^n \\frac{a_i}{i+1}x^{i+1}$",
                 "$F(x) = ax$",
                 "$F(x) = \\frac{1}{2}x^2$",
                 "$F(x) = \\frac{1}{2}ax^2 + bx$",
                 "$F(x) = \\frac{1}{3}x^3$",
                 "$F(x) = \\exp(x)$",
                 "$F(x) = x \\ln x - x$"))
knitr::kable(D,
             caption = "Stammfunktionen elementarer Funktionen",
             row.names = FALSE,
             col.names = c("Name", "Definition", "Stammfunktion"),
             align = "lll",
             "pipe")
```

\normalsize

Die in nachfolgendem Theorem zusammengestellten Rechenregeln sind oft hilfreich, um
Stammfunktionen von Funktionen zu bestimmen, die sich aus Funktionen mit bekannten 
Stammfunktionen zusammensetzen. 

:::{#thm-rechenregeln-für-stammfunktionen}
## Rechenregeln für Stammfunktionen
$f$ und $g$ seien univariate reellwertige Funktion, die Stammfunktionen besitzen,
und $g$ sei invertierbar. Dann gelten folgende Rechenregeln für die Bestimmung
von Stammfunktionen

(1) Summenregel
\begin{equation}
\int a f(x) + bg(x)\,dx  = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx \mbox{ für } a,b \in \mathbb{R}
\end{equation}

(2) Partielle Integration
\begin{equation}
\int f'(x)g(x)\,dx = f(x)g(x) - \int f(x)g'(x)\,dx
\end{equation}

(3) Substitionsregel 
\begin{equation}
\int f(g(x))g'(x)\,dx = \int f(t)\,dt \mbox{ mit } t  = g(x)
\end{equation}
:::

:::{.proof}
Für einen Beweis der Summenregel verweisen wir auf die weiterführende Literatur.
Die Rechenregel der partiellen Integration ergibt sich durch Integration der
Produktregel der Differentiation. Wir erinnern uns, dass gilt
\begin{equation}
(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x).
\end{equation}
Integration beider Seiten der Gleichung und Berücksichtigung der Summenregel
für Stammfunktionen ergibt dann
\begin{align}
\begin{split}
\smallint (f(x)g(x))' \,dx & = \smallint f'(x)g(x) + f(x)g'(x) \,dx 	\\
\Leftrightarrow
f(x)g(x) & = \smallint f'(x)g(x)\,dx + \smallint f(x)g'(x) \,dx 		\\
\Leftrightarrow
\smallint f'(x)g(x)\,dx & = f(x)g(x) - \smallint f(x)g'(x) \,dx.
\end{split}
\end{align}
Die Substitutionsregel ergibt sich für $F' = f$ durch Anwendung der Kettenregel
der Differentiation auf die verkettete Funktion $F(g)$. Speziell gilt zunächst
\begin{align}
\begin{split}
(F(g(x)))' = F'(g(x))g'(x) = f(g(x))g'(x).
\end{split}
\end{align}
Integration beider Seiten der Gleichung
\begin{equation}
(F(g(x))) ' = f(g(x))g'(x)
\end{equation}
ergibt dann
\begin{align}
\begin{split}
\smallint (F(g(x)))' \,dx  & = \smallint f(g(x))g'(x) \,dx				\\
\Leftrightarrow
F(g(x)) + c & = \smallint f(g(x))g'(x) \,dx							 \\
\Leftrightarrow
\smallint f(g(x))g'(x) \,dx & = \smallint f(t)\,dt  \mbox{ mit } t := g(x).
\end{split}
\end{align}
Dabei ist die rechte Seite der letzten obigen Gleichung zu verstehen als
$F(g(x)) + c$, also als Stammfunktion von $f$ evaluiert an der Stelle
$t := g(x)$. Das $dt$ ist nicht durch $dg(x)$ zu ersetzen, sondern
rein notationeller Natur.
:::

Unbestimmte Integrale nehmen in der Lösung von Differentialgleichungen einen
zentralen Platz ein. Naheliegender ist aber zunächst die Anwendung unbestimmter
Integrale im Kontext der Auswertung *bestimmter Integrale*, wie im nächsten Abschnitt
eingeführt.


## Bestimmte Integrale {#sec-bestimmte-integrale}

Anschaulich entspricht ein bestimmtes Integral der vorzeichenbehafteten und
auf ein Intervall $[a,b]$ beschränkten Fläche zwischen dem Graphen einer Funktion
$f$ und der $x$-Achse (vgl. @fig-bestimmte-integrale). 
*Vorzeichenbehaftet* heißt dabei, dass Flächen zwischen der $x$-Achse und 
positiven Werten von $f$ positiv zur Fläche beitragen, Flächen zwischen der $x$ 
und negativen Werten von $f$ dagegen negativ. So ergeben sich zum Beispiel 
der Wert des in @fig-bestimmte-integrale A 
gezeigten bestimmten Integral zu 0.68, der Wert des in Abbildung 
@fig-bestimmte-integrale B gezeigten bestimmten Integrals zu 0.95 
(die eingezeichnete Fläche ist offensichtlich größer als in @fig-bestimmte-integrale A) 
und der Wert des in @fig-bestimmte-integrale C gezeigten bestimmten
Integrals zu 0 (die eingezeichneten positiven und negativen Flächen gleichen sich genau aus). 
Letzteres Beispiel legt auch die Interpretation des Integrals als Durchschnittswert
einer Funktion $f$ über einem Intervall $[a,b]$ nahe.

```{r echo = F, eval = F}
dev.new()
pdf(
file        = file.path("./_figures/107-bestimmte-integrale.pdf"),
width       = 7.5,
height      = 2.5)
library(latex2exp)
par(
family      = "sans",
mfcol       = c(1,3),
pty         = "m",
bty         = "l",
lwd         = 1,
las         = 1,
mgp         = c(2,1,0),
xaxs        = "i",
yaxs        = "i",
font.main   = 1,
cex         = 0.6,
cex.main    = 0.8)

# f(x) und \int_a^b f(x)\,dx 
x           = seq(-4,4,length=1e4)                                                
fx          = dnorm(x)                                                            
a           = -1                                                                  
b           = 1                                                                   
ai          = min(which(x >= a))                                                  
bi          = max(which(x  < b))                                                  
plot(x, fx, type = "l", ylab = " ", ylim = c(0,.4))
polygon(c(x[c(ai, ai:bi, bi)]), c(0, fx[ai:bi], 0), col = "gray90")
text(a+.5  , .03, TeX("$a$") , xpd = TRUE, cex = 1.2)
text(b-.5  , .03, TeX("$b$") , xpd = TRUE, cex = 1.2)
mtext(LETTERS[1], adj=0, line=2, cex = 1.4, at = -6)

# f(x) und \int_a^b f(x)\,dx 
x           = seq(-4,4,length=1e4)                                                
fx          = dnorm(x)                                                           
a           = -2                                                                 
b           = 2                                                                   
ai          = min(which(x >= a))                                                  
bi          = max(which(x  < b))                                                  
plot(x, fx, type = "l", ylab = " ", ylim = c(0,.4))
polygon(c(x[c(ai, ai:bi, bi)]), c(0, fx[ai:bi], 0), col = "gray90")
text(a+.5   , .03, TeX("$a$") , xpd = TRUE, cex = 1.2)
text(b-.5   , .03, TeX("$b$") , xpd = TRUE, cex = 1.2)
mtext(LETTERS[2], adj=0, line=2, cex = 1.4, at = -6)

# f(x) und \int_a^b f(x)\,dx 
x           = seq(0,2*pi,length=1e4)                                                
fx          = sin(x)                                                             
a           = 0                                                                  
b           = 2*pi                                                                   
ai          = min(which(x >= a))                                                   
bi          = max(which(x  < b))                                                  
plot(x, fx, type = "l", ylab = " ", ylim = c(-1,1))
polygon(c(x[c(ai, ai:bi, bi)]), c(0, fx[ai:bi], 0), col = "gray90")
text(.4     , -.1, TeX("$a$") , xpd = TRUE, cex = 1.2)
text(2*pi-.4, -.1, TeX("$b$") , xpd = TRUE, cex = 1.2)
mtext(LETTERS[3], adj=0, line=2, cex = 1.4, at = -2)
dev.off()
```

![Beispiele bestimmter Integrale](./_figures/107-bestimmte-integrale.pdf){#fig-bestimmte-integrale fig-align="center" width=100%}

Um den Begriff des *bestimmten Integrals* im Sinne des *Riemannschen Integrals*
einführen zu können, müssen wir zunächst etwas Vorarbeit leisten. Wir beginnen
damit, einen Begriff für die Aufteilung eines Intervalls in kleinere Abschnitte 
einzuführen.

:::{#def-zerlegung-eines-intervalls-und-feinheit}
## Zerlegung eines Intervalls und Feinheit
Es sei $[a,b] \subset \mathbb{R}$ ein Intervall und $x_0,x_1,x_2,...,x_n
\in [a,b]$ eine Menge von Punkten mit
\begin{equation}
a =: x_0 < x_1 <  x_2 \cdots < x_n := b
\end{equation}
und
\begin{equation}
\Delta x_i := x_i - x_{i-1} \mbox{ für } i = 1,...,n.
\end{equation}
Dann heißt die Menge
\begin{equation}
Z := \{[x_0,x_1], [x_1,x_2], ..., [x_{n-1},x_n]\}
\end{equation}
der durch $x_0,x_1,x_2,...,x_n$ definierten Teilintervalle von $[a,b]$
eine *Zerlegung von $[a,b]$*. Weiterhin heißt
\begin{equation}
Z_{\mbox{max}} := \max_{i \in n} \Delta x_i,
\end{equation}
also die größte der Teilintervalllängen $\Delta x_i$, die *Feinheit von $Z$*.
:::

Anschaulich ist $\Delta x_i$ die Breite der Rechtecke in @fig-riemannsche-summen, 
wie wir in der Folge sehen werden. Mithilfe der Begriffe der Zerlegung eines 
Intervalls können wir nun den Begriff der *Riemannschen Summen* einführen.

:::{#def-riemannsche-summen}
## Riemannsche Summen
$f : [a,b] \to \mathbb{R}$ sei eine beschränkte Funktion auf $[a,b]$, d.h.
$|f(x)| < c$ für $0 < c < \infty$ und alle $x \in [a,b]$, $Z$ sei eine Zerlegung
von $[a,b]$ mit Teilintervalllängen $\Delta x_i$ für $i = 1,...,n$. Weiterhin
sei $\xi_{i}$ für $i = 1,...,n$ ein beliebiger Punkt im Teilintervall
$[x_{i-1}, x_{i}]$ der Zerlegung $Z$. Dann heißt
\begin{equation}
R(Z) := \sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i
\end{equation}
*Riemannsche Summe von $f$ auf $[a,b]$ bezüglich der Zerlegung $Z$.* 
:::

Wählt man zum Beispiel in der Riemannschen Summe in jedem Teilintervall das 
Maximum von $f$, so ergibt sich die sogenannte *Riemannsche Obersumme*, 
\begin{equation}
R_o(Z) := \sum_{i=1}^n \left(\max_{[x_{i-1}, x_{i}]} f(\xi_i) \right)\Delta x_i.
\end{equation}
Wählt man dagegen in jedem Teilintervall dagegen das Minimum von $f$, so ergibt 
sich dies sogenannte *Riemannsche Untersumme*.
\begin{equation}
R_u(Z) := \sum_{i=1}^n \left(\min_{[x_{i-1}, x_{i}]} f(\xi_i) \right)\Delta x_i.
\end{equation}
@fig-riemannsche-summen verdeutlicht die Definition dieser 
Riemannschen Summen: die dunkelgrauen Rechtecke haben jeweils die Fläche 
$[x_{i-1}, x_{i}] \cdot \min_{[x_{i-1}, x_{i}]} f(\xi)$ 
und bilden damit die Summenterme in der Riemannschen Untersumme
\begin{equation}
R_u(Z) := \sum_{i=1}^4 \left(\min_{[x_{i-1}, x_{i}]} f(\xi_i) \right) \cdot \Delta x_i.
\end{equation}
Die vertikale Kombination aus dunkelgrauen und hellgrauen Rechtecken hat jeweils
die Fläche $[x_{i-1}, x_{i}] \cdot \max_{[x_{i-1}, x_{i}]} f(\xi)$ 
und bilden damit die Summenterme in der Riemannschen Obersumme
\begin{equation}
R_o(Z) := \sum_{i=1}^4 \left(\max_{[x_{i-1}, x_{i}]} f(\xi_i) \right) \cdot \Delta x_i.
\end{equation}
Stellt man sich nun vor, dass man $\Delta x_i$ für alle $i = 1,...,n$ gegen Null
gehen lässt, verkleinert man die Feinheit der Zerlegung $Z$ also immer weiter, so 
werden sich die Werte von $\min_{[x_{i-1}, x_{i}]} f(\xi_i)$ und 
$\max_{[x_{i-1}, x_{i}]} f(\xi_i)$ und damit auch die Werte von $R_u(Z)$ und 
$R_o(Z)$ immer weiter annähern. Diesen Grenzprozess macht man sich in der 
Definition des Riemannschen Integrals zunutze.

```{r echo = F, eval = F}
dev.new()
pdf(
file        = file.path("./_figures/107-riemannsche-summen.pdf"),
width       = 8,
height      = 5)
library(latex2exp())
x           = seq(0,4,length=1e4)                                                 
fx          = 5*dnorm(x,0.5) + 1                                                  

# Ober- und Untersummenrechtecke
mp          = barplot(matrix(
                      c(5*dnorm(0  ,.5) + 1,
                       (5*dnorm(0.5,.5) + 1) - (5*dnorm(0,.5) + 1),
                        5*dnorm(2  ,.5) + 1, 
                       (5*dnorm(1  ,.5) + 1) - (5*dnorm(2,.5) + 1),
                        5*dnorm(3  ,.5) + 1, 
                       (5*dnorm(2  ,.5) + 1) - (5*dnorm(3,.5) + 1),
                        5*dnorm(4  ,.5) + 1,
                       (5*dnorm(3  ,.5) + 1) - (5*dnorm(4,.5) + 1)), 
                      nrow =2), 
                      space = 0,
                      width = 1, 
                      col = c("gray85", "gray95"),
                      ylim = c(0,3.2),
                      ylab = "", 
                      yaxt='n')
lines(x, fx, type = "l", ylab = " ")                 
abline(0,0)                                          
abline(v = -.1)                                       
text(0,-.3, TeX("$a = x_0$") , xpd= T, cex = 1.3)
text(1,-.3, TeX("$x_1$")     , xpd= T, cex = 1.3)
text(2,-.3, TeX("$x_2$")     , xpd= T, cex = 1.3)
text(3,-.3, TeX("$x_3$")     , xpd= T, cex = 1.3)
text(4,-.3, TeX("$x_4 = b$") , xpd= T, cex = 1.3)
text(2.3,2, TeX("$f(x)$")    , xpd= T, cex = 1.7)
dev.off()
```

![Riemannsche Summen](./_figures/107-riemannsche-summen.pdf){#fig-riemannsche-summen fig-align="center" width=70%}

:::{#def-bestimmtes-riemannsches-integral}
## Bestimmtes Riemannsches Integral
$f : [a,b] \to \mathbb{R}$ sei eine beschränkte reellwertige Funktion auf $[a,b]$.
Weiterhin sei für $Z_k$ mit $k = 1,2,3...$ eine Folge von Zerlegungen von $[a,b]$ mit
zugehörigen Feinheit $Z_{\mbox{max},k}$. Wenn für jede Folge von Zerlegungen
$Z_1, Z_2,...$  mit $|Z_{\mbox{max},k}| \to 0$ für $k \to \infty$ und für 
beliebig gewählte Punkte $\xi_{ki}$ mit $i = 1,...,n$ im Teilintervall $[x_{k,i-1}, x_{k,i}]$ 
der Zerlegung $Z_k$ gilt, dass die Folge der zugehörigen Riemannschen Summen 
$R(Z_1), R(Z_2), ...$ gegen den gleichen Grenzwert strebt, dann heißt $f$ auf 
$[a,b]$ *integrierbar*. Der entsprechende Grenzwert der Folge von Riemannschen 
Summen wird *bestimmtes Riemannsches Integral* genannt und mit
\begin{equation}
\int_a^b f(x)\,dx := \lim_{k \to \infty} R(Z_k)
\mbox{ für } |Z_{\mbox{max},k}| \to 0
\end{equation}
bezeichnet. Die Werte $a$ und $b$ bezeichnet man in diesem Kontext als *untere*
und *obere* Integrationsgrenzen, respektive, $f(x)$ als *Integrand* und $x$ als
*Integrationsvariable*.
:::

Die Riemannsche Integrierbarkeit einer Funktion und der Wert eines bestimmten Riemannschen 
Integrals sind also im Sinne einer Grenzwertbildung definiert. Die Theorie der 
Riemannschen Integrale lässt sich allerding um die Hauptsätze der Differential-
und Integralrechnung erweitern, so dass zur konkreten Berechnung eines bestimmten Integrals
die Bildung von Zerlegungen und die Bestimmung eines Grenzwertes nur selten nötig 
ist. Der Einfachheit halber verzichten wir in der Folge auf die Bezeichungen 
*Riemannsche* und sprechen einfach von *bestimmten Integralen*.

Ein erster Schritt zur Vereinfachung der Berechnung von bestimmten Integralen
ist das Feststellen folgender Rechenregeln, für deren Beweis wir auf die 
weiterführende Literatur verweisen.


:::{#thm-rechenregeln-für-bestimmte-integrale}
## Rechenregeln für bestimmte Integrale

Es seien $f$ und $g$ integrierbare Funktionen auf $[a,b]$. Dann gelten folgende
Rechenregeln.

(1) Linearität. Für $c_1,c_2\in \mathbb{R}$ gilt
\begin{equation}
\int_a^b (c_1 f(x) + c_2g(x))\,dx = c_1 \int_a^b f(x)\,dx + c_2 \int_a^b f(x)\,dx.
\end{equation}


(2) Additivität. Für $a < c < b$ gilt
\begin{equation}
\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx.
\end{equation}

(3) Vorzeichenwechsel bei Umkehrung der Integralgrenzen
\begin{equation}
\int_a^b f(x)\,dx = - \int_b^a f(x)\,dx.
\end{equation}

(4) Unabhängigkeit von der Wahl der Integrationsvariable
\begin{equation}
\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^b f(y)\,dy.
\end{equation}

(5) Unabhängigkeit des Integrals von Art des Intervalls. Es gilt
\begin{equation}
\int_{a}^{b} f(x)\,dx 
= \int_{]a,b[}f(x)\,dx 
= \int_{[a,b[}f(x)\,dx 
= \int_{]a,b]}f(x)\,dx 
= \int_{[a,b]}f(x)\,dx.
\end{equation}
wobei $\int_I$ das bestimmte Integral von $f$ auf dem Intervall $I \subseteq \mathbb{R}$ bezeichnet.
:::

Eine graphische Darstellung der Rechenregel der Additivität findet sich  in @fig-additivität-bestimmter-integrale. Die Summe der durch die bestimmten 
Integrale gegebenen Flächen $\int_a^c f(x)\,dx$ und $\int_c^b f(x)\,dx$
mit $a < c < b$ ergibt sich dabei zur Fläche von $\int_a^b f(x)\,dx$.

```{r echo = F, eval = F}
dev.new()
pdf(
file        = file.path("./_figures/107-additivität-bestimmter-integrale.pdf"),
width       = 6,
height      = 4)
library(latex2exp)
par(
family      = "sans",
pty         = "m",
bty         = "l",
lwd         = 1,
las         = 1,
mgp         = c(2,1,0),
xaxs        = "i",
yaxs        = "i",
font.main   = 1,
cex         = 1,
cex.main    = 1)

# f(x) = x und \int_0^1 f(x)\,dx
x           = seq(0,2.5,length=1e4)
fx          = 5*dnorm(x,0.5) + 1
a           = 0
c           = 1
b           = 2.5
ai          = min(which(x >= a))
ci          = max(which(x  < c))
bi          = max(which(x  < b))
plot(x,
     fx,
     type = "l",
     ylab = " ",
     main = TeX("$\\int_{a}^{b} f(x)\\, dx = \\int_{a}^{c} f(x)\\, dx + \\int_{c}^{b} f(x)\\, dx $"),
     xlim = c(-.5,3),
     xaxt = 'n',
     yaxt = 'n',
     xlab = '')

polygon(c(x[c(ai, ai:ci, ci)]),
        c(0, fx[ai:ci], 0),
        col = "gray80")

polygon(c(x[c(ci, ci:bi, bi)]),
        c(0, fx[ci:bi], 0),
        col = "gray90")

text(0  ,1.1, TeX("$a$") , xpd= T, cex = 1.2)
text(1  ,1.1, TeX("$c$") , xpd= T, cex = 1.2)
text(2.5,1.1, TeX("$b$") , xpd= T, cex = 1.2)

text(0.5  , 1.6, TeX("$\\int_{a}^{c} f(x)\\, dx$") , xpd= T, cex = 1)
text(1.5  , 1.6, TeX("$\\int_{c}^{b} f(x)\\, dx$") , xpd= T, cex = 1)
dev.off()
```

![Additivität bestimmter Integrale](./_figures/107-additivität-bestimmter-integrale.pdf){#fig-additivität-bestimmter-integrale fig-align="center" width=70%}

Die in der Nachfolge vermerkten Hauptsätze der Differential- und Integralrechnung
schließlich, ermöglichen es, bestimmte Integrale einer Funktion $f$ direkt 
mithilfe der Stammfunktion $F$ von $f$ zu berechnen. 

:::{#thm-erster-hauptsatz-der-differential-und-integralrechnung}
## Erster Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Ist $f :  I  \to \mathbb{R}$ eine auf dem Intervall $I
\subset \mathbb{R}$ stetige Funktion, dann ist die Funktion
\begin{equation}
F :  I  \to \mathbb{R}, x \mapsto F(x) := \int_a^x f(t)\,dt \mbox{ mit } x,
a \in I
\end{equation}
eine Stammfunktion von $f$.
:::

:::{.proof}
Wir betrachten den Differenzquotienten
\begin{equation}
\frac{1}{h}(F(x+h) - F(x))
\end{equation}
Mit der Definition $F(x) := \smallint_a^x f(t)\,dt$ und der Additivität des
bestimmten Integrals gilt dann
\begin{equation}
\frac{1}{h}(F(x+h) - F(x))
= \frac{1}{h}\left(\int_a^{x + h} f(t)\,dt - \int_a^{x} f(t)\,dt\right)
= \frac{1}{h} \int_x^{x + h}f(t)\,dt
\end{equation}
Mit dem Mittelwertsatz der Integralrechnung gibt es also ein $\xi \in ]x,x+h[$,
so dass
\begin{equation}
\frac{1}{h}(F(x+h) - F(x)) = f(\xi)
\end{equation}
Grenzwertbildung ergibt dann
\begin{equation}
\lim_{h \to 0}\frac{1}{h}(F(x+h) - F(x)) = \lim_{h \to 0} f(\xi) \mbox{ für }
\xi \in ]x, x + h[
\Leftrightarrow
F'(x) = f(x).
\end{equation}
:::

Für den Beweis des Ersten Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung
benötigen wir offenbar den Mittelwertsatz der Integralrechnung, welchen wir hier ohne
Beweis wiedergeben und in @fig-mittelwertsatz veranschaulichen.

:::{#thm-mittelwertsatz-der-integralrechnung}
## Mittelwertsatz der Integralrechnung
Für eine stetige Funktion $f : [a,b] \to \mathbb{R}$ existiert ein
$\xi \in ]a,b[$ mit
\begin{equation}
\int_a^b f(x)\,dx = f(\xi)(b-a)
\end{equation}
:::

Der Mittelwertsatz der Integralrechnung garantiert die Existenz eines $\xi \in [a,b]$,
so dass das bestimmte Integral $\int_a^b f(x)\,dx$ gleich dem Produkt aus der 
"Rechteckhöhe" $f(\xi)$ und und der "Rechteckbreite" $(b-a)$ ist. In @fig-mittelwertsatz 
liegt dieses $\xi$ genau mittig zwischen $a$ und $b$. Dass
die sich so ergebene grau eingefärbte Rechteckfläche gleich $\int_a^b f(x)\,dx$ ist,
ergibt sich aus der visuell zumindest nachvollziebaren Tatsache, dass die Flächen
zwischen $f(x)$ und $f(\xi)$ im Intervall $[a,\xi]$ und zwischen $f(\xi)$ und 
$f(x)$ im Intervall $[\xi,b]$ den gleichen Betrag haben, erstere aber mit einem
negativen Vorzeichen behaftet ist. Der Mittelwertsatz der Integralrechnung 
garantiert im Allgemeinen aber nur die Existenz eines $\xi \in [a,b]$ mit der
diskutierten Eigenschaft, gibt aber keine Formel zu Bestimmung von $\xi$ an. 

```{r eval = F, echo = F}
dev.new()
pdf(
file        = file.path("./_figures/107-mittelwertsatz.pdf"),
width       = 6,
height      = 4)
library(latex2exp)
par(
family      = "sans",
pty         = "m",
bty         = "l",
lwd         = 1,
las         = 1,
mgp         = c(2,1,0),
xaxs        = "i",
yaxs        = "i",
font.main   = 1,
cex         = 1,
cex.main    = 1)

# f(x) und \int_a^b f(x)\,dx 
x           = seq(0,2*pi,length=1e4)                                              
fx          = 0.5*sin(x) + 2                                                              
a           = 0                                                                   
b           = 2*pi                                                                
ai          = min(which(x >= a))                                                  
bi          = max(which(x  < b))                                                  
plot(x,
     fx, 
     type = "l", 
     ylab = " ", 
     ylim = c(0,3),
     xlim = c(-1, 2*pi + 1),
     xaxt = 'n',
     yaxt = 'n',
     xlab = ''
)
polygon(c(x[c(ai, ai:bi, bi)]), 
        c(0, fx[ai:bi], 0), 
        col = "gray90")


arrows(
x0          = 0,
y0          = 0,
x1          = 0,
y1          = 2,
col         = "black",
angle       = 0,
length      = 0,
lty         = 2)

arrows(
x0          = 2*pi,
y0          = 0,
x1          = 2*pi,
y1          = 2,
col         = "black",
angle       = 0,
length      = 0,
lty         = 2)

arrows(
x0          = -2,
y0          = 2,
x1          = 2*pi,
y1          = 2,
col         = "black",
angle       = 0,
length      = 0,
lty         = 2)

text(0     , -.3, TeX("$a$")        , xpd= T, cex = 1.3)
text(pi    , -.3, TeX("$\\xi$")     , xpd= T, cex = 1.3)
text(2*pi  , -.3, TeX("$b$")        , xpd= T, cex = 1.3)
text(-1.5 , 2  , TeX("$f(\\xi)$")   , xpd= T, cex = 1.3)
dev.off()
```

![Zum Mittelwertsatz der Integralrechnung](./_figures/107-mittelwertsatz.pdf){#fig-mittelwertsatz fig-align="center" width=70%}

Der Zweite Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung schließlich besagt,
wie man mithilfe der Stammfunktion ein bestimmtes Integral berechnet.

:::{#thm-zweiter-hauptsatz-der-differential-und-integralrechnung}
## Zweiter Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Ist $F$ eine Stammfunktion einer stetigen Funktion $f : I \to \mathbb{R}$ auf
einem Intervall $I$, so gilt für $a,b \in I$ mit $a \le b$
\begin{equation}
\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) =: F(x)\vert_a^b
\end{equation}
:::

:::{.proof}
Mit den Rechenregeln für bestimmte Integrale und dem ersten Hauptsatz der
Differential- und Integralrechnung ergibt sich
\begin{equation}
F(b) - F(a) = \int_\alpha^b f(t)\,dt - \int_\alpha^a f(t)\,dt = \int_a^b f(x)\,dx
\end{equation}
:::

Wir wollen den Zweiten Haupsatz der Differential- und Integralrechnung in drei
Beispielen anwenden (vgl. @fig-bestimmte-integrale-beispiele).

```{r, echo = F, eval = F}
dev.new()
pdf(
file        = file.path("./_figures/107-bestimmte-integrale-beispiele.pdf"),
width       = 11,
height      = 3.5)
library(latex2exp)
par(
family      = "sans",
mfcol       = c(1,3),
pty         = "m",
bty         = "l",
lwd         = 1,
las         = 1,
mgp         = c(2,1,0),
xaxs        = "i",
yaxs        = "i",
font.main   = 1,
cex         = 0.8,
cex.main    = 0.9)

# f(x) = x und \int_0^1 f(x)\,dx 
x           = seq(0,1,length=1e4)                                                
fx          = x                                                                    
a           = 0                                                                 
b           = 1                                                                  
ai          = min(which(x >= a))                                                
bi          = max(which(x  < b))                                                
plot(x,
     fx, 
     type = "l", 
     ylab = " ", 
     ylim = c(-0.1, 1.1), 
     xlim = c(-.1,1.1), 
     main = TeX("$\\int_{0}^{1} x\\, dx = 1/2$"))
polygon(c(x[c(ai, ai:bi, bi)]), c(0, fx[ai:bi], 0), col = "gray90")
mtext(LETTERS[1], adj=0, line=2, cex = 1.5, at = -0.3)

# f(x) = x^2 und \int_0^1 f(x)\,dx 
x           = seq(0,1,length=1e4)                                                
fx          = x^2                                                                
a           = 0                                                                  
b           = 1                                                                   
ai          = min(which(x >= a))                                                 
bi          = max(which(x  < b))                                                  
plot(x,
     fx, 
     type = "l", 
     ylab = " ", 
     ylim = c(-0.1, 1.1), 
     xlim = c(-.1,1.1), 
     main = TeX("$\\int_{0}^{1} x^2 \\, dx = 1/3$"))
polygon(c(x[c(ai, ai:bi, bi)]), c(0, fx[ai:bi], 0), col = "gray90")
mtext(LETTERS[2], adj=0, line=2, cex = 1.5, at = -0.3)

# f(x) = -x + 1 und \int_0^2 f(x)\,dx 
x           = seq(0,2,length=1e4)                                               
fx          = -x+1                                                              
a           = 0                                                                  
b           = 2                                                                   
ai          = min(which(x >= a))                                                  
bi          = max(which(x <  b))                                                  
plot(x,
     fx, 
     type = "l", 
     ylab = " ", 
     ylim = c(-1.1, 1.1), 
     xlim = c(-.1,2.1), 
     main = TeX("$\\int_{0}^{2} -x + 1 \\, dx = 0$"))
polygon(c(x[c(ai, ai:bi, bi)]), c(0, fx[ai:bi], 0), col = "gray90")
mtext(LETTERS[3], adj=0, line=2, cex = 1.5, at = -0.4)
dev.off()
```
![Beispiele zum Zweiten Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung](./_figures/107-bestimmte-integrale-beispiele.pdf){#fig-bestimmte-integrale-beispiele fig-align="center" width=100%}

**Beispiel (1)**

Wir betrachten die Identitätsfunktion
\begin{equation}
f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto f(x) := x
\end{equation}
und wollen das bestimmte Integral dieser Funktion auf dem Intervall $[0,1]$,
also
\begin{equation}
\int_0^1 f(x)\,dx = \int_0^1 x \,dx
\end{equation}
berechnen. Dazu erinnern wir uns, dass eine Stammfunktion von $f$ durch 
\begin{equation}
F : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto F(x) := \frac{1}{2}x^2
\end{equation}
gegeben ist, weil 
\begin{equation}
F'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}x^2 \right) = 2 \cdot \frac{1}{2} x^{2-1} = x.
\end{equation}
Einsetzen in den Zweiten Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ergibt
dann sofort
\begin{equation}
\int_0^1 x \,dx =\frac{1}{2}1^2  - \frac{1}{2}0^2 = \frac{1}{2}. 
\end{equation}
Dieses Ergebnis ist mit der Intuition, die sich anhand der grauen Fläche in 
@fig-bestimmte-integrale-beispiele A, ergibt kongruent.

**Beispiel (2)**

Als nächstes betrachten wird die Quadratfunktion
\begin{equation}
f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto f(x) := x^2
\end{equation}
und wollen das bestimmte Integral auch dieser Funktion auf dem Intervall $[0,1]$,
also
\begin{equation}
\int_0^1 f(x)\,dx = \int_0^1 x^2 \,dx
\end{equation}
berechnen. Dazu erinnern wir uns, dass eine Stammfunktion von $f$ durch 
\begin{equation}
F : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto F(x) := \frac{1}{3}x^3
\end{equation}
gegeben ist, weil 
\begin{equation}
F'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{3}x^3 \right) = 3 \cdot \frac{1}{3} x^{3-1} = x^2.
\end{equation}
Einsetzen in den Zweiten Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ergibt
dann sofort
\begin{equation}
\int_0^1 x^2 \,dx =\frac{1}{3}1^3  - \frac{1}{3}0^3 = \frac{1}{3}. 
\end{equation}
Dieses Ergebnis ist mit der Intuition, die sich aus dem Vergleich der grauen 
Flächen in @fig-bestimmte-integrale-beispiele A und @fig-bestimmte-integrale-beispiele B 
ergibt, kongruent.

**Beispiel (3)**

Schließlich betrachten wir die lineare Funktion
\begin{equation}
f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto f(x) := -x + 1
\end{equation}
und wollen das bestimmte Integral auch dieser Funktion auf dem Intervall $[0,2]$,
also
\begin{equation}
\int_0^2 f(x)\,dx = \int_0^2 -x + 1 \,dx
\end{equation}
berechnen. Dazu erinnern wir uns, dass eine Stammfunktion der linearen Funktion 
mit $a = -1$ und $b = 1$ (vgl. Tablle \textcolor{blue}{7.1}) durch 
\begin{equation}
F : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto F(x) := -\frac{1}{2}x^2 + x
\end{equation}
gegeben ist, weil 
\begin{equation}
F'(x) = \frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{2}x^2 + x \right) = - 2 \cdot \frac{1}{2} x^{2-1} + 1 \cdot x^{1-1} = -x + 1.
\end{equation}
Einsetzen in den Zweiten Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ergibt
dann sofort
\begin{equation}
\int_0^2 -x + 1 \,dx
= \left(-\frac{1}{2}2^2 + 2 \right) - \left(-\frac{1}{2}0^2 + 0 \right). 
= -2 + 2 - 0 
= 0.
\end{equation}
Dieses Ergebnis ist mit der Intuition kongruent, dass sich die "positive" und die
"negative" graue Fläche in @fig-bestimmte-integrale-beispiele C ausgleichen, kongruent.

## Uneigentliche Integrale  {#sec-uneigentliche-integrale}

Uneigentliche Integrale sind bestimmte Integrale bei denen mindestens eine 
Integrationsgrenze keine reelle Zahl ist, sondern $-\infty$ oder $\infty$. Wir 
beleuchten die Natur uneigentlicher Integrale mit folgender Definition und einem
Beispiel.

:::{#def-uneigentliche-integrale}
## Uneigentliche Integrale

$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ sei eine univariate reellwertige Funktion. Mit
den Definitionen
\begin{equation}
\int_{-\infty}^b f(x)\,dx := \lim_{a \to -\infty} \int_a^b f(x)\,dx
\mbox{ und }
\int_a^\infty f(x)\,dx := \lim_{b \to \infty} \int_a^b f(x)\,dx
\end{equation}
und der Additivität von Integralen
\begin{equation}
\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx = \int_{-\infty}^b f(x)\,dx + \int_b^{\infty}f(x)\,dx
\end{equation}
wird der Begriff des bestimmten Integrals auf die unbeschränkten
Integrationsintervalle $]-\infty,b]$,
$[a,\infty[$ und $]-\infty,\infty[$ erweitert.
Integrale mit unbeschränkten Integrationsintervallen heißen *uneigentliche
Integrale*. Wenn die entsprechenden Grenzwerte existieren, sagt man, dass die
uneigentlichen Integrale *konvergieren*.
:::

Als Beispiel betrachten wir das uneigentliche Integral der Funktion
\begin{equation}
f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto f(x) \frac{1}{x^2}
\end{equation}
auf dem Intervall $[1, \infty[$, also
\begin{equation}
\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2}\,dx.
\end{equation}
Nach den Festlegungen in der Definition uneigentlicher Integrale gilt
\begin{equation}
\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2}\,dx = \lim_{b \to \infty} \int_1^b \frac{1}{x^2}\,dx.
\end{equation}
Mit der Stammfunktion $F(x) = -x^{-1}$ von $f(x) = x^{-2}$ ergibt sich für das
bestimmte Integral in obiger Gleichung
\begin{equation}
\int_1^b \frac{1}{x^2}\,dx
= F(b) - F(1)
= -\frac{1}{b} - \left(-\frac{1}{1}\right)
= -\frac{1}{b} + 1.
\end{equation}
Es ergibt sich also
\begin{equation}
\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2}\,dx
= \lim_{b \to \infty} \int_1^b \frac{1}{x^2}\,dx
= \lim_{b \to \infty}\left(-\frac{1}{b} + 1\right)
= - \lim_{b \to \infty}\frac{1}{b} + \lim_{b \to \infty} 1
= 0 + 1
= 1.
\end{equation}

## Mehrdimensionale Integrale {#sec-mehrdimensionale-integrale}

Bisher haben wir nur Integrale univariater reellwertiger Funktionen betrachtet.
Der Integralbegriff lässt sich auch auf multivariate reellwertige Funktionen 
erweitern. Allerdings ist dann der Integrationsbereich der Funktion nicht 
notwendigerweise so einfach zu beschreiben wie ein Intervall; insbesondere sind
zum Beispiel schon im zweidimensionalen arbiträr geformte zweidimensionale 
Integrationsbereiche möglich. Wir wollen hier nun den einfachsten Fall eines
Hyperrechtecks betrachten. In diesem Fall können wir mehrdimensionale bestimmte
Integrale wie folgt definieren.

:::{#def-mehrdimensionale-integrale}
## Mehrdimensionale Integrale
$f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ sei eine multivariate reellwertige Funktion.
Dann heißen Integrale der Form
\begin{equation}
\int\limits_{[a_1,b_1]\times \cdots \times [a_n,b_n]} f(x)\,dx
= \int_{a_1}^{b_1} \cdots \int_{a_n}^ {b_n} f(x_1,...,x_n)\,dx_1...\,dx_n
\end{equation}
*mehrdimensionale bestimmte Integrale auf Hyperrechtecken*. Weiterhin heißen
Integrale der Form
\begin{equation}
\int_{\mathbb{R}^n} f(x)\,dx
= \int_{-\infty}^{\infty}  \cdots \int_{-\infty}^{\infty}
f(x_1,...,x_n)\,dx_1...\,dx_n
\end{equation}
*mehrdimensionale uneigentliche Integrale.*
:::

Wie schon erwähnt kann man multivariate reellwertige Funktion nicht nur auf Hyperrechtecken,
sondern im Prinzip auf beliebigen Hyperflächen integrieren. Dies kann sich jedoch
oft schwierig gestalten. 

Als Beispiel betrachten wir das zweidimensionale bestimmte Integral der Funktion
\begin{equation}
f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}, (x_1,x_2) \mapsto f(x_1,x_2) := x_1^2 + 4x_2
\end{equation}
auf dem Rechteck $[0,1] \times [0,1]$. Der *Satz von Fubini* der Theorie 
mehrdimensionaler Integrale besagt, dass man mehrdimensionale Integrale in 
beliebiger Koordinatenfolge auswerten kann. Es gilt also zum Beispiel, dass
\begin{equation}
\int_{a_1}^{b_1} \left(\int_{a_2}^{b_2} f(x_1,x_2)\,dx_2\right) \,dx_1
= \int_{a_2}^{b_2} \left(\int_{a_1}^{b_1} f(x_1,x_2)\,dx_1 \right) \,dx_2.
\end{equation}
In diesem Sinne betrachten wir für das Beispiel
\begin{equation}
\int_0^1 \int_0^1 x_1^2 + 4x_2 \,dx_1\,dx_2
= \int_0^1 \left(\int_0^1 x_1^2 + 4x_2 \,dx_1\right)\,dx_2
\end{equation}
also zunächst das innere Integral. $x_2$ nimmt dabei die Rolle einer
Konstanten ein. Eine Stammfunktion von $g(x_1) := x_1^2  +4 x_2$ ist $G(x_1)
= \frac{1}{3}x_1^3 + 4x_2x_1$, wie man sich durch Ableiten von $G$ überzeugt.
Es ergibt sich also für das innere Integral
\begin{align}
\begin{split}
\int_0^1 x_1^2 + 4x_2 \,dx_1
& = G(1) - G(0) \\
& = \frac{1}{3}\cdot1^3 + 4x_2\cdot 1 - \frac{1}{3}\cdot 0^3 - 4x_2\cdot 0 \\
& = \frac{1}{3} + 4x_2. 
\end{split}
\end{align}
Betrachten des äußeren Integrals ergibt dann mit der Stammfunktion 
\begin{equation}
H(x_2) = \frac{1}{3}x_2 + 2x_2^2 
\end{equation}
von
\begin{equation}
h(x_2) := \frac{1}{3} + 4x_2,
\end{equation}
dass
\begin{align}
\begin{split}
\int_0^1 \int_0^1 x_1^2 + 4x_2 \,dx_1\,dx_2
& = \int_0^1 \frac{1}{3} + 4x_2 \,dx_2                                          \\
& = H(1) - H(0)                                                                 \\
& = \frac{1}{3}\cdot 1 + 4\cdot 1^2 - \frac{1}{3}\cdot 0 + 4\cdot 0^2           \\
& = \frac{13}{3}.
\end{split}
\end{align}

## Selbstkontrollfragen {#sec-selbstkontrollfragen-integralrechnung}
\small
1. Geben Sie die Definition des Begriffs der Stammfunktion wieder.
1. Geben Sie die Definition des Begriffs des unbestimmten Integrals wieder.
1. Erläutern Sie die intuitive Bedeutung des Begriff des Riemannschen Integrals.
1. Geben Sie den ersten Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung wieder.
1. Geben Sie den zweiten Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung wieder.
1. Erläutern Sie den Begriff des uneigentlichen Integrals.
1. Erläutern Sie den Begriff des mehrdimensionalen Integrals.

