# Vektoren {#sec-vektoren}
\normalsize

In der naturwissenschaftlichen Modellbildung betrachtet man häufig Phänomene,
die sich durch das Vorliegen mehrerer quantitativer Merkmale auszeichnen. So 
ist zum Beispiel die Position eines Objektes im dreidimensionalen Raum durch
drei Koordinaten hinsichtlich der drei Achsen eines Kartesischen 
Koordinatensystems festgelegt. Analog mag der Gesundheitszustand einer Person
durch das Vorliegen dreier Messwerte, z.B. einen Selbstauskunftscore, einen
Biomarker und eine Expert:inneneinschätzung charakterisiert sein. Zum modellieren
und analysieren solcher mehrdimensionalen quantitativen Phänomene stellt die 
Mathematik mit dem reellen Vektorraum ein vielseitig einsetzbares Hilfsmittel
bereit. In diesem Kapitel wollen wir zunächst den Begriff des reellen Vektorraums
und das grundlegende Rechnen mit Vektoren einführen (@sec-reeller-vektorraum). 
Eine Vektorraumstruktur, die sich stark an der dreidimensionalen räumlichen 
Intuition orientiert bietet dann der Euklidische Vektorraum (@sec-euklidischer-vektorraum).
Mithilfe der Vektorrechnung können alle Vektoren eines Vektorraums aus einer 
kleinen Schar ausgezeichneter Vektoren gebildet werden. Die diesem Prinzip zugrundeliegenden
Konzepte diskutieren wir in (@sec-lineare-unabhängigkeit und @sec-vektorraumbasen).

## Reeller Vektorraum {#sec-reeller-vektorraum}

Wir beginnen mit der allgemeinen Definition eines Vektorraums, die grundlegende
Regeln zum Rechnen mit Vektoren festlegt.

:::{#def-vektorraum}
## Vektorraum
Es seien $V$ eine nichtleere Menge und $S$ eine Menge von Skalaren. Weiterhin sei
eine Abbildung
\begin{equation}
+ : V \times V \to V, (v_1,v_2) \mapsto +(v_1, v_2) =: v_1 + v_2,
\end{equation}
genannt *Vektoraddition*, definiert. Schließlich sei eine Abbildung
\begin{equation}
\cdot : S \times V \to V, (s,v) \mapsto \cdot(s,v) =: sv,
\end{equation}
genannt *Skalarmultiplikation* definiert. Dann wird das Tupel $(V,S,+,\cdot)$
genau dann *Vektorraum* genannt, wenn für beliebige Elemente
$v,w,u\in V$ und $a,b \in S$ folgende Bedingungen gelten:

\noindent (1) *Kommutativität der Vektoraddition.*
$$
v + w = w + v.
$$
(2) *Assoziativität der Vektoraddition.*
$$
(v + w) + u = v + (w + u) 
$$
(3) *Existenz eines neutralen Elements der Vektoraddition.*
$$
\mbox{Es gibt einen Vektor } 0 \in V \mbox{ mit } v + 0 = 0 + v = v. 
$$
(4) *Existenz inverser Elemente der Vektoraddition*
$$
\mbox{Für alle Vektoren } v \in V \mbox{ gibt es einen Vektor } -v \in V \mbox{ mit } v + (-v) = 0.
$$
(5) *Existenz eines neutralen Elements der Skalarmultiplikation.*
$$
\mbox{Es gibt einen Skalar } 1 \in S \mbox{ mit } 1 \cdot v = v.
$$
(6) *Assoziativität der Skalarmultiplikation.*
$$
a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b)\cdot c.
$$
(7) *Distributivität hinsichtlich der Vektoraddition.*
$$ 
a\cdot (v + w) = a\cdot v + a \cdot w. 
$$
(8) *Distributivität hinsichtlich der Skalaraddition.*
$$
(a + b)\cdot v = a\cdot v + b\cdot v.
$$
:::

Es fällt auf, dass @def-vektorraum zwar festlegt, wie mit Vektoren gerechnet werden
soll, jedoch keine Aussage darüber macht, was ein Vektor, über ein ein Element einer
Menge hinaus, eigentlich ist. Dies ist der Tatsache geschuldet, dass es verschiedenste
mathematische Objekte gibt, für die Vektorraumstrukturen definiert werden können.
Beispiele dafür sind die Menge der reellen $m$-Tupel, die Menge der Matrizen,
die Menge der Polynome, die Menge der Lösungen eines linearen Gleichungssystems,
die Menge der reellen Folgen, die Menge der stetigen Funktionen u.v.a.m. 

Wir sind hier zunächst nur am Vektorraum der Menge reellen $m$-Tupel interessiert. 
Wir erinnern dazu daran, dass wir die reellen $m$-Tupel mit
\begin{equation}
\mathbb{R}^m := \left\lbrace \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_m \end{pmatrix} | x_i \in \mathbb{R} \mbox{ für alle } 1 \le i \le m \right\rbrace
\end{equation}
bezeichnen und $\mathbb{R}^m$ als "$\mathbb{R}$ hoch m" aussprechen. Die Elemente $x \in \mathbb{R}^m$ 
nennen wir *reelle Vektoren* oder auch einfach *Vektoren*. Wir wollen nun der Definition
eines Vektorraums die Menge $\mathbb{R}^m$ zugrunde legen. Dazu definieren wir
zunächst die Vektoraddition für Elemente von $\mathbb{R}^m$ und die Skalarmultiplikation
für Elemente von $\mathbb{R}$ und $\mathbb{R}^m$ 

:::{#def-reelle-vektoraddition-skalarmultiplikation}
## Vektoraddition und Skalarmultiplikation in $\mathbb{R}^m$
Für alle $x,y \in \mathbb{R}^m$ und $a \in \mathbb{R}$ sei die *Vektoraddition* durch
\begin{equation}
+ : \mathbb{R}^m \times \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m, (x,y) \mapsto x + y =
\begin{pmatrix}
x_1 \\ \vdots \\ x_m
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
y_1 \\ \vdots \\ y_m
\end{pmatrix}
:=
\begin{pmatrix}
x_1 + y_1 \\ \vdots \\ x_m + y_m
\end{pmatrix}
\end{equation}
und die *Skalarmultiplikation* durch
\begin{equation}
\cdot : \mathbb{R} \times \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m, (a,x) \mapsto
ax =
a
\begin{pmatrix}
x_1  \\ \vdots \\ x_m
\end{pmatrix}
:=
\begin{pmatrix}
ax_1  \\ \vdots \\a x_m
\end{pmatrix}
\end{equation}
definiert.
:::

Es ergibt sich dann folgendes Resultat.

:::{#thm-reeller-vektorraum}
## Reeller Vektorraum
$(\mathbb{R}^m,+,\cdot)$ mit den Rechenregeln der Addition und Multiplikation
in $\mathbb{R}$ einen Vektorraum.
:::

Für einen Beweis, auf den wir hier verzichten wollen, muss man die Bedingungen (1) bis (8)
aus @def-vektorraum für die hier betrachtete Menge und die hier festgelegten
Formen der Vektoraddition und der Skalarmultiplikation nachweisen. Diese ergeben
sich aber leicht aus den Rechenregeln von Addition und Multiplikation in $\mathbb{R}$
und der Tatsache, dass Vektoraddition und Skalarmultiplikation für Elemente von $\mathbb{R}^m$
in @def-reelle-vektoraddition-skalarmultiplikation komponentenweise definiert wurden.
Wir definieren damit den Begriff des *reellen Vektorraums*.

:::{#def-reeller-vektorraum}
## Reeller Vektorraum
Für $\mathbb{R}^m$ seien $+$ und $\cdot$ die in @def-reelle-vektoraddition-skalarmultiplikation
definierte Vektoraddition und Skalarmultiplikation. Dann nennen wir auf Grundlage
von @thm-reeller-vektorraum den Vektorraum $(\mathbb{R}^m,+,\cdot)$ den *reellen Vektorraum*
:::

Auf Grundlage von @def-reeller-vektorraum wollen wir uns nun das Rechnen mit reellen
Vektoren anhand einiger Beispiele verdeutlichen. 

**Beispiele**

\noindent (1) Für

$$
x:=
\begin{pmatrix}
1 \\ 2 \\ 3 \\ 4
\end{pmatrix}
\in \mathbb{R}^4 
\mbox{ und }
y:=
\begin{pmatrix}
2 \\ 1 \\ 0 \\ 1
\end{pmatrix}
\in \mathbb{R}^4
$$
gilt
$$
x + y
=
\begin{pmatrix}
1 \\ 2 \\ 3 \\ 4
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
2 \\ 1 \\ 0 \\ 1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 + 2 \\ 2 + 1 \\ 3 + 0\\ 4 + 1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
3 \\ 3\\ 3 \\ 5
\end{pmatrix}
\in \mathbb{R}^4.
$$
In **R** implementiert dieses Beispiel wie folgt

\footnotesize
```{r}
x = matrix(c(1,2,3,4), nrow = 4)      # Vektordefinition
y = matrix(c(2,1,0,1), nrow = 4)      # Vektordefinition
x + y                                 # Vektoraddition
```
\normalsize

\noindent (2) Für
$$
x:=
\begin{pmatrix}
2 \\ 3
\end{pmatrix}
\in \mathbb{R}^2
\mbox{ und }
y:=
\begin{pmatrix}
1 \\ 3 \
\end{pmatrix}
\in \mathbb{R}^2
$$
gilt
$$
x - y
=
\begin{pmatrix}
2 \\ 3
\end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix}
1 \\ 3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
2 - 1 \\ 3 - 3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 \\ 0
\end{pmatrix}
\in \mathbb{R}^2.
$$
In **R** implementiert man dieses Beispiel wie folgt
\footnotesize
```{r}
x = matrix(c(2,3), nrow = 2)         # Vektordefinition
y = matrix(c(1,3), nrow = 2)         # Vektordefinition
x - y                                # Vektorsubtraktion
```
\normalsize

\noindent (3) Für
$$
x:=
\begin{pmatrix}
2 \\ 1 \\ 3
\end{pmatrix}
\in \mathbb{R}^3
\mbox{ und }
a := 3 \in \mathbb{R}
$$
gilt
$$
ax
=
3
\begin{pmatrix}
2 \\ 1 \\ 3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
3 \cdot 2 \\ 3 \cdot 1 \\ 3 \cdot 3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
6 \\ 3 \\ 9
\end{pmatrix}
\in \mathbb{R}^3.
$$
In **R** implementiert man dieses Beispiel wie folgt
\footnotesize
```{r}
x = matrix(c(2,1,3), nrow = 3)       # Vektordefinition
a = 3                                # Skalardefinition
a*x                                  # Skalarmultiplikation
```
\normalsize


Für $m \in \{1,2,3\}$ kann man sich reelle Vektoren und das Rechnen mit ihnen
visuell veranschaulichen. Für $m > 3$, wenn also zum Beispiel für eine Person
mehr als drei quantitative Merkmale zu ihrem Gesundheitszustand vorliegen, was
in der Anwendung regelmäßig der Fall ist, ist dies nicht möglich. Trotzdem mag
die visuelle Intuition für $m \le 3$ einen Einstieg in das Verständnis von 
Vektorräumen erleichtern. Wir fokussieren hier auf den Fall $m := 2$. In diesem
Fall liegen die betrachteten reellen Vektoren in der zweidimensionalen Ebene
und werden üblicherweise als Punkte oder Pfeile visualisiert (@fig-vektoren-R2).

```{r, eval = F, echo = F}
# Visualisierung
library(latex2exp)
pdf(
file        = file.path("./_figures/108-vektoren-R2.pdf"),
width       = 8,
height      = 4)
par(
family      = "sans",
mfcol       = c(1,2),
pty         = "s",
bty         = "l",
lwd         = 1,
las         = 1,
mgp         = c(2,1,0),
xaxs        = "i",
yaxs        = "i",
font.main   = 1,
cex         = .95,
cex.main    = 1.2)

# Vektordefinition
x           = c(2,4)

# Punktperspektive
plot(
x[1],
x[2],
type        = "p",
pch         = 19,
xlab        = TeX("$x_1$"),
ylab        = TeX("$x_2$"),
xlim        = c(0,5),
ylim        = c(0,5))
grid()
text(2.5,4,expression(bgroup("(", atop("2", "4"), ")")), cex = .9)

# Pfeilperspektive
plot(
NULL,
xlab        = TeX("$x_1$"),
ylab        = TeX("$x_2$"),
xlim        = c(0,5),
ylim        = c(0,5))
grid()
text(2.5,4,expression(bgroup("(", atop("2", "4"), ")")), cex = .9)
arrows(
x0          = 0,
y0          = 0,
x1          = x[1],
y1          = x[2],
angle       = 30,
length      = .1)
dev.off()
```

![Visualisierung von Vektoren in $\mathbb{R}^2$](./_figures/108-vektoren-R2.pdf){#fig-vektoren-R2 fig-align="center"}

@fig-vektoraddition-R2 visualisiert die Vektoraddition 
\begin{equation}
\begin{pmatrix}
1 \\ 2
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
3 \\ 1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
4 \\ 3
\end{pmatrix}.
\end{equation}
Der Summenvektor entspricht dabei der Diagonale des von den beiden Summanden
aufgespannten Parallelogramms.

```{r, eval = F, echo = F}
# Visualisierung
library(latex2exp)
pdf(
file        = file.path("./_figures/108-vektoraddition-R2.pdf"),
width       = 4,
height      = 4)
par(
family      = "sans",
mfcol       = c(1,1),
pty         = "s",
bty         = "l",
lwd         = 1,
las         = 1,
mgp         = c(2,1,0),
xaxs        = "i",
yaxs        = "i",
font.main   = 1,
cex         = 1,
cex.main    = 1)

# Vektordefinitionen
x           = c(1,2)
y           = c(3,1)
z           = c(4,3)

# Visualisierung
plot(
NULL,
xlab        = TeX("$x_1$"),
ylab        = TeX("$x_2$"),
xlim        = c(0,5),
ylim        = c(0,5))
grid()
points(
c(x[1],y[1],z[1]),
c(x[2],y[2],z[2]),
pch = 19)
text(1.5,2,expression(bgroup("(", atop("1", "2"), ")")), cex = .9)
text(3.5,1,expression(bgroup("(", atop("3", "1"), ")")), cex = .9)
text(4.5,3,expression(bgroup("(", atop("4", "3"), ")")), cex = .9)
arrows(
x0          = c(0,0,0,x[1],y[1]),
y0          = c(0,0,0,x[2],y[2]),
x1          = c(x[1],y[1],z[1],z[1],z[1]),
y1          = c(x[2],y[2],z[2],z[2],z[2]),
angle       = 20,
length      = .1,
col         = c("black", "black", "black", "gray60", "gray80"))
dev.off()
```

![Vektoraddition in $\mathbb{R}^2$](./_figures/108-vektoraddition-R2.pdf){#fig-vektoraddition-R2 fig-align="center"}

@fig-vektorsubtraktion-R2 visualisiert die Vektorsubtraktion
\begin{equation}
\begin{pmatrix}
1 \\ 2
\end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix}
3 \\ 1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 \\ 2
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
-3 \\ -1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-2 \\ \,\, 1
\end{pmatrix}
\end{equation}
Der resultierende Vektor entspricht dabei der Diagonale des von dem ersten Vektors 
und dem entgegensetzten Vektor des zweiten Vektors aufgespannten Parallelogramms.
```{r, eval = F, echo = F}
library(latex2exp)
pdf(
file        = file.path("./_figures/108-vektorsubtraktion-R2.pdf"),
width       = 4,
height      = 4)
par(
family      = "sans",
mfcol       = c(1,1),
pty         = "s",
bty         = "l",
lwd         = 1,
las         = 1,
mgp         = c(2,1,0),
xaxs        = "i",
yaxs        = "i",
font.main   = 1,
cex         = .95,
cex.main    = 1.2)

# Vektordefinitionen
x           = c(1,2)
y           = c(3,1)
z           = c(-2,1)

# Punktperspektive
plot(
NULL,
xlab        = TeX("$x_1$"),
ylab        = TeX("$x_2$"),
xlim        = c(-4,4),
ylim        = c(-4,4))
grid()
points(
c(x[1],y[1],z[1]),
c(x[2],y[2],z[2]),
pch = 19)
text(1.5,2,expression(bgroup("(", atop("1", "2"), ")")), cex = .9)
text(3.5,1,expression(bgroup("(", atop("3", "1"), ")")), cex = .9)
text(-2.5,1,expression(bgroup("(", atop("-2", "1"), ")")), cex = .9)
arrows(
x0          = c(0,0,0,0, -y[1],x[1], y[1]),
y0          = c(0,0,0,0, -y[2],x[2], y[2]),
x1          = c(x[1],y[1],z[1],-y[1], z[1], z[1],x[1]),
y1          = c(x[2],y[2],z[2],-y[2], z[2], z[2],x[2]),
angle       = 20,
length      = .1,
col         = c("black", "black", "black", "gray80", "gray80", "gray80", "gray80"))
dev.off()
```

![Vektorsubtraktion in $\mathbb{R}^2$](./_figures/108-vektorsubtraktion-R2.pdf){#fig-vektorsubtraktion-R2 fig-align="center"}

@fig-skalarmultiplikation-R2 schließlich visualisiert die Skalarmultiplikation
\begin{equation}
3
\begin{pmatrix}
1 \\ 1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
3 \\ 3
\end{pmatrix}
\end{equation}
Die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar ändert dabei immer nur seine
Länge, nicht jedoch seine Richtung.

```{r, eval = F, echo = F}
library(latex2exp)
pdf(
file        = file.path("./_figures/108-skalarmultiplikation-R2.pdf"),
width       = 4,
height      = 4)
par(
family      = "sans",
mfcol       = c(1,1),
pty         = "s",
bty         = "l",
lwd         = 1,
las         = 1,
mgp         = c(2,1,0),
xaxs        = "i",
yaxs        = "i",
font.main   = 1,
cex         = .95,
cex.main    = 1.2)

# Vektor- und Skalardefinitionen
x           = c(1,1)
a           = 3

# Punktperspektive
plot(
NULL,
xlab        = TeX("$x_1$"),
ylab        = TeX("$x_2$"),
xlim        = c(0,4),
ylim        = c(0,4))
grid()
points(
c(a*x[1],x[1]),
c(a*x[2],x[2]),
pch = 19)
text(1,1.5,expression(bgroup("(", atop("1", "1"), ")")), cex = .9)
text(3,2.5,expression(bgroup("(", atop("3", "3"), ")")), cex = .9)
arrows(
x0          = c(0,0),
y0          = c(0,0),
x1          = c(x[1],a*x[1]),
y1          = c(x[2],a*x[2]),
angle       = 20,
length      = .1,
lwd         = c(4,1),
col         = c("gray70", "black"))
dev.off()
```

![Skalarmultiplikation in $\mathbb{R}^2$](./_figures/108-skalarmultiplikation-R2.pdf){#fig-skalarmultiplikation-R2 fig-align="center"}    

## Euklidischer Vektorraum {#sec-euklidischer-vektorraum}

Der reelle Vektorraum kann durch Definition des *Skalarprodukts* im Sinne
eines *Euklidischen Vektorraums* mit räumlich-geometrischer Intuition versehen werden.
Diese ermöglicht es insbesondere, Begriffe wie die *Länge eines Vektors*, den 
*Abstand zwischen zwei Vektoren*, und nicht zuletzt den *Winkel zwischen zwei 
Vektoren* zu definieren und zu berechnen. Wir führen zunächst das *Skalarprodukt*
ein.

:::{#def-skalarprodukt}
## Skalarprodukt auf $\mathbb{R}^m$
Das *Skalarprodukt auf $\mathbb{R}^m$* ist definiert als die Abbildung
\begin{equation}
\langle \rangle : \mathbb{R}^m \times \mathbb{R}^m \to \mathbb{R},
(x,y) \mapsto \langle (x,y) \rangle := \langle x,y \rangle := \sum_{i=1}^m x_i y_i.
\end{equation}
:::
Das Skalarprodukt heißt Skalarprodukt, weil es einen Skalar ergibt, nicht etwa,
weil mit Skalaren multipliziert wird. Das Skalarprodukt steht in enger Beziehung
zum Matrixprodukt, wie wir an späterer Stelle sehen werden. Wir betrachten zunächst
ein Beispiel und seine Implementation in **R**.

**Beispiel**

Es seien
\begin{equation}
x :=
\begin{pmatrix}
1 \\ 2 \\ 3
\end{pmatrix}
\mbox{ und }
y :=
\begin{pmatrix}
2 \\ 0 \\ 1
\end{pmatrix}
\end{equation}
Dann ergibt sich
\begin{equation}
\langle x,y \rangle
= x_1y_1 + x_2y_2 + x_3y_3
= 1 \cdot 2 + 2 \cdot 0 + 3 \cdot 1
= 2 + 0 + 3
= 5.
\end{equation}

In **R** gibt es verschiedene Möglichkeiten, ein Skalarprodukt auszuwerten. Wir
führen zwei von ihnen für das gebebene Beispiel untenstehend auf.

\footnotesize
```{r}
# Vektordefinitionen
x = matrix(c(1,2,3), nrow = 3)
y = matrix(c(2,0,1), nrow = 3)

# Skalarprodukt mithilfe von R's komponentenweiser Multiplikation und sum() Funktion
sum(x*y)

# Skalarprodukt mithilfe von R's Matrixtransposition und -multiplikation
t(x) %*% y
```
\normalsize

Mithilfe des Skalarprodukts kann der Begriff des reellen Vektorraums zum Begriff
des *reellen kanonischen Euklidischen Vektorraums* erweiter werden.

:::{#def-euklidischer-vektorraum}
## Euklidischer Vektorraum
Das Tupel $\left((\mathbb{R}^m, +, \cdot), \langle \rangle \right)$ aus dem 
reellen Vektorraum $(\mathbb{R}^m, +, \cdot)$ und dem Skalarprodukt $\langle \rangle$ auf
$\mathbb{R}^m$ heißt *reeller kanonischer Euklidischer Vektorraum*.
:::

Generell heißt jedes Tupel aus einem Vektorraum und einem Skalarprodukt 
"Euklidischer Vektorraum". Informell sprechen wir aber oft auch einfach von 
$\mathbb{R}^m$ als "Euklidischer Vektorraum" und insbesondere bei 
$\left((\mathbb{R}^m, +, \cdot), \langle \rangle \right)$ vom "Euklidischen Vektorraum".
Ein Euklidischer Vektorraum ist ein Vektorraum mit geometrischer Struktur, die durch
das Skalarprodukt induziert wird. Insbesondere bekommen im Euklidischen Vektorraum 
nun die geometrischen Begriffe von *Länge*, *Abstand* und *Winkel* eine Bedeutung.
Wir definieren sie wie folgt.

:::{#def-länge-abstand-winkel}
$\left((\mathbb{R}^m, +, \cdot), \langle \rangle \right)$ sei der Euklidische Vektorraum.

\noindent (1) Die *Länge* eines Vektors $x \in \mathbb{R}^m$ ist definiert als
\begin{equation}
\Vert x \Vert := \sqrt{\langle x, x \rangle}.
\end{equation}
\noindent (2) Der *Abstand* zweier Vektoren $x,y \in \mathbb{R}^m$ ist definiert als
\begin{equation}
d(x,y) := \Vert x - y \Vert.
\end{equation}
\noindent (3) Der *Winkel* $\alpha$ zwischen zwei Vektoren $x,y \in \mathbb{R}^m$ mit
$x,y \neq 0$ ist definiert durch
\begin{equation}
0 \le \alpha \le \pi \mbox{ und } \cos \alpha
:= \frac{\langle x, y \rangle}{\Vert x \Vert \Vert y \Vert}
\end{equation}
:::

Die Länge $\Vert x \Vert$ eines Vektors $x \in \mathbb{R}^m$ heißt auch *Euklidische 
Norm von $x$* oder *$\ell_2$-Norm von $x$* oder einfach *Norm von $x$*. Sie wird
häufig auch mit $\Vert x \Vert_2$ bezeichnet. Wir betrachten drei Beispiele für
die Bestimmung der Länge eines Vektors und ihre entsprechende **R** Implementation.
Wir veranschaulichen diese Beispiele in @fig-länge-R2. 

**Beispiel (1)**

\begin{equation}
\left\lVert \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} \right\rVert
= \sqrt{\left\langle \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} \right\rangle}
= \sqrt{2^2 + 0^2}
= \sqrt{4}
= 2.00
\end{equation}

\footnotesize
```{r}
norm(matrix(c(2,0),nrow = 2), type = "2")             # Vektorlänge = l_2 Norm
```
\normalsize

**Beispiel (2)**

\begin{equation}
\left\lVert \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} \right\rVert
= \sqrt{\left\langle \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} \right\rangle}
= \sqrt{2^2 + 2^2}
= \sqrt{8}
\approx 2.83
\end{equation}

\footnotesize
```{r}
norm(matrix(c(2,2),nrow = 2), type = "2")             # Vektorlänge = l_2 Norm
```
\normalsize

**Beispiel (3)**

\begin{equation}
\left\lVert \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix} \right\rVert
= \sqrt{\left\langle \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix} \right\rangle}
= \sqrt{2^2 + 4^2}
= \sqrt{20}
\approx 4.47
\end{equation}

\footnotesize
```{r}
norm(matrix(c(2,4),nrow = 2), type = "2")             # Vektorlänge = l_2 Norm
```
\normalsize

```{r, eval = F, echo = F}
library(latex2exp)
pdf(
file        = file.path("./_figures/108-länge-R2.pdf"),
width       = 4,
height      = 4)
par(
family      = "sans",
mfcol       = c(1,1),
pty         = "s",
bty         = "l",
lwd         = 1,
las         = 1,
mgp         = c(2,1,0),
xaxs        = "i",
yaxs        = "i",
font.main   = 1,
cex         = .95,
cex.main    = 1.2)

# Vektordefinitionen
x           = c(2,0)
y           = c(2,2)
z           = c(2,4)

# Visualisierung
plot(
NULL,
xlab        = TeX("$x_1$"),
ylab        = TeX("$x_2$"),
xlim        = c(0,5),
ylim        = c(0,5))
grid()
points(
c(x[1],y[1],z[1]),
c(x[2],y[2],z[2]),
pch = 19)
text(2.5,0.5,expression(bgroup("(", atop("2", "0"), ")")), cex = .9)
text(2.5,2  ,expression(bgroup("(", atop("2", "2"), ")")), cex = .9)
text(2.5,4  ,expression(bgroup("(", atop("2", "4"), ")")), cex = .9)
arrows(
x0          = c(0,0,0),
y0          = c(0,0,0),
x1          = c(x[1],y[1],z[1]),
y1          = c(x[2],y[2],z[2]),
angle       = 20,
length      = .1,
xpd         = TRUE,
lwd         = 2)
dev.off()
```

![Vektorlänge in $\mathbb{R}^2$](./_figures/108-länge-R2.pdf){#fig-länge-R2 fig-align="center"}


Für den Abstand $d(x,y)$ zweier Vektoren $x,y\in\mathbb{R}^m$ halten wir ohne Beweis 
fest, dass er zum einen nicht-negativ und symmetrisch ist, also dass
\begin{equation}
d(x,y) \ge 0, d(x,x) = 0 \mbox{ und } d(x,y) = d(y,x)
\end{equation}
gelten. Zudem erfüllt $d(x,y)$ die sogenannte *Dreiecksungleichung*, die besagt,
dass die direkte Wegstrecke zwischen zwei Punkten im Raum immer kürzer ist als eine
indirekte Wegstrecke über einen dritten Punkt,
\begin{equation}
d(x,y) \le d(x,z) + d(z,y).
\end{equation}
Damit erfüllt $d(x,y)$ wichtige Aspekte der räumlichen Anschauung. Wir geben zwei
Beispiele für die Bestimmung von Abständen von Vektoren in $\mathbb{R}^2$, die wir
in @fig-abstand-R2 visualisieren.

**Beispiel (1)**

\begin{equation}
d\left(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}\right)
= \left\lVert \begin{pmatrix}  1 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} \right\rVert
= \left\lVert \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \end{pmatrix}  \right\rVert
= \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2}
= \sqrt{2}
\approx 1.41
\end{equation}

\footnotesize
```{r}
norm(matrix(c(1,1),nrow = 2) - matrix(c(2,2),nrow = 2), type = "2")
```
\normalsize

**Beispiel (2)**

\begin{equation}
d\left(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}\right)
= \left\lVert \begin{pmatrix}  1 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} \right\rVert
= \left\lVert \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \end{pmatrix} \right\rVert
= \sqrt{(-3)^2 + 0^2}
= \sqrt{9}
= 3
\end{equation}

\footnotesize
```{r}
norm(matrix(c(1,1),nrow = 2) - matrix(c(1,4),nrow = 2), type = "2")
```
\normalsize


```{r, eval = F, echo = F}
library(latex2exp)
pdf(
file        = file.path("./_figures/108-abstand-R2.pdf"),
width       = 4,
height      = 4)
par(
family      = "sans",
mfcol       = c(1,1),
pty         = "s",
bty         = "l",
lwd         = 1,
las         = 1,
mgp         = c(2,1,0),
xaxs        = "i",
yaxs        = "i",
font.main   = 1,
cex         = .95,
cex.main    = 1.2)

# Vektordefinitionen
x           = c(1,1)
y           = c(2,2)
z           = c(4,1)

# Visualisierung
plot(
NULL,
xlab        = TeX("$x_1$"),
ylab        = TeX("$x_2$"),
xlim        = c(0,5),
ylim        = c(0,5))
grid()
points(
c(x[1],y[1],z[1]),
c(x[2],y[2],z[2]),
pch = 19)
text(.5,1,expression(bgroup("(", atop("1", "1"), ")")), cex = .9)
text(2,2.75  ,expression(bgroup("(", atop("2", "2"), ")")), cex = .9)
text(4,1.75  ,expression(bgroup("(", atop("4", "1"), ")")), cex = .9)
arrows(
x0          = c(x[1],x[1]),
y0          = c(x[2],x[2]),
x1          = c(y[1],z[1]),
y1          = c(y[2],z[2]),
angle       = 20,
length      = .1,
xpd         = TRUE,
lwd         = 1,
col         = "gray80")
dev.off()
```

![Vektorabstände in $\mathbb{R}^2$](./_figures/108-abstand-R2.pdf){#fig-abstand-R2 fig-align="center"}

Schließlich halten wir fest, dass für die Berechnung des Winkels zwischen 
zwei Vektoren anhand obiger Definition gilt, dass die Kosinusfunktion $\cos$ 
auf $[0,\pi]$ bijektiv,  also invertierbar mit der Umkehrfunktion $acos$, 
der Arkuskosinusfunktion, ist. Auch für den Begriff des Winkels wollen wir 
zwei Beispiele betrachten. Man beachte dabei insbesondere, dass die @def-länge-abstand-winkel
den Winkel in Radians angibt. Für eine Angabe in Grad ist eine entsprechende
Umrechnung erforderlich.

**Beispiel (1)**

\small
\begin{equation}
\mbox{acos}
\left(\frac{\left\langle \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix} \right\rangle}
           {\left\lVert  \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix} \right\rVert \left\lVert \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix} \right\rVert}
\right)
= \mbox{acos}
\left(\frac{3\cdot 3 + 3 \cdot 0}
           {\sqrt{3^2 + 0^2} \cdot \sqrt{3^2 + 3^2}}
\right)
= \mbox{acos}
\left(\frac{9}
           {3 \cdot \sqrt{18}}
\right)
= \frac{\pi}{4}
\approx 0.785
\end{equation}
\normalsize

Die Umrechnung in Grad ergibt dann
\begin{equation}
0.785 \cdot \frac{180°}{\pi} = 45°
\end{equation}
In **R** implementiert man dies wie folgt.

\footnotesize
```{r}
x = matrix(c(3,0), nrow = 2)                                 # Vektor 1
y = matrix(c(3,3), nrow = 2)                                 # Vektor 2
w = acos(sum(x*y)/(sqrt(sum(x*x))*sqrt(sum(y*y)))) * 180/pi  # Winkel in Grad
print(w)
```
\normalsize

Beispiel (2)

\small
\begin{equation}
\alpha
= \mbox{acos}
\left(\frac{\left\langle \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix} \right\rangle}
           {\left\lVert  \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix} \right\rVert \left\lVert \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix} \right\rVert}
\right)
= \mbox{acos}
\left(\frac{3\cdot 0 + 0 \cdot 3}
           {\sqrt{3^2 + 0^2} \cdot \sqrt{0^2 + 3^2}}
\right)
= \mbox{acos}
\left(\frac{0}
           {3 \cdot 3}
\right)
= \frac{\pi}{2}
\approx 1.57
\end{equation}
\normalsize
Die Umrechnung in Grad ergibt dann
\begin{equation}
\frac{\pi}{2} \cdot \frac{180°}{\pi} = 90°
\end{equation}
Die entsprechende **R** Implementation lautet wie folgt.

\footnotesize
```{r}
x = matrix(c(3,0), nrow = 2)                                    # Vektor 1
y = matrix(c(0,3), nrow = 2)                                    # Vektor 2
w = acos(sum(x*y)/(sqrt(sum(x*x))*sqrt(sum(y*y)))) * 180/pi     # Winkel in Grad
print(w)
```
\normalsize

```{r, eval = F, echo = F}
library(latex2exp)
pdf(
file        = file.path("./_figures/108-winkel-R2.pdf"),
width       = 4,
height      = 4)
par(
family      = "sans",
mfcol       = c(1,1),
pty         = "s",
bty         = "l",
lwd         = 1,
las         = 1,
mgp         = c(2,1,0),
xaxs        = "i",
yaxs        = "i",
font.main   = 1,
cex         = .95,
cex.main    = 1.2)

# Vektordefinitionen
x           = c(3,0)
y           = c(3,3)
z           = c(0,3)

# Visualisierung
plot(
NULL,
xlab        = TeX("$x_1$"),
ylab        = TeX("$x_2$"),
xlim        = c(0,5),
ylim        = c(0,5))
grid()
points(
c(x[1],y[1],z[1]),
c(x[2],y[2],z[2]),
pch = 19,
xpd = TRUE)
text(3,.75,expression(bgroup("(", atop("3", "0"), ")")), cex = .9)
text(3.5,3.5  ,expression(bgroup("(", atop("3", "3"), ")")), cex = .9)
text(.5,3  ,expression(bgroup("(", atop("0", "3"), ")")), cex = .9)
arrows(
x0          = c(0,0,0),
y0          = c(0,0,0),
x1          = c(x[1],y[1],z[1]),
y1          = c(x[2],y[2],z[2]),
angle       = 20,
length      = .1,
xpd         = TRUE,
lwd         = 2)
dev.off()
```
![Winkel in $\mathbb{R}^2$](./_figures/108-winkel-R2.pdf){#fig-winkel-R2 fig-align="center"}



Die Tatsache, dass zwei Vektoren einen rechten Winkel bilden können, also 
gewissermaßen maximal nicht-parallel sein können, ist ein wichtiges geometrisches
Prinzip und wird deshalb mit folgender Definition speziell ausgezeichnet. 

:::{#def-orthogonalität-und-orthonormalität-von-vektoren}
## Orthogonalität und Orthonormalität von Vektoren
$\left((\mathbb{R}^m, +, \cdot), \langle \rangle \right)$ sei der Euklidische Vektorraum.

\noindent (1) Zwei Vektoren $x,y \in \mathbb{R}^m$ heißen *orthogonal*, wenn gilt, dass
\begin{equation}
\langle x, y \rangle = 0
\end{equation}
\noindent (2)  Zwei Vektoren $x,y \in \mathbb{R}^m$ heißen *orthonormal*, wenn gilt, dass
\begin{equation}
\langle x, y \rangle = 0 \mbox{ und } \Vert x \Vert = \Vert y \Vert = 1.
\end{equation}
:::

Für orthogonale und orthonormale Vektoren gilt also insbesondere auch
\begin{equation}
\cos \alpha
= \frac{\langle x, y \rangle}{\Vert x \Vert \Vert y \Vert}
= \frac{0}{\Vert x \Vert \Vert y \Vert}
= 0,
\end{equation}
also
\begin{equation}
\alpha = \frac{\pi}{2} = 90°.
\end{equation}

## Lineare Unabhängigkeit {#sec-lineare-unabhängigkeit}

In diesem Abschnitt führen wir den Begriff der *linearen Unabhängigkeit* von 
Vektoren ein. Wir definieren dazu zunächst den Begriff der *Linearkombination*
von Vektoren.

:::{#def-linearkombination}
## Linearkombination
$\{v_1, v_2, ..., v_k\}$ sei eine Menge von $k$ Vektoren eines Vektorraums $V$
und $a_1, a_2,...,a_k$ seien Skalare. Dann ist die *Linearkombination* der 
Vektoren in $\{v_1, v_2, ..., v_k\}$ mit den *Koeffizienten* $a_1, a_2,...,a_k$ 
definiert als der Vektor
\begin{equation}
w := \sum_{i=1}^k a_i v_i \in V.
\end{equation}
:::

**Beispiel**

Es seien
\begin{equation}
v_1 := \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix},
v_2 := \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix},
v_3 := \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}
\mbox{ und }
a_1 := 2, a_2 := 3, a_3 := 0.
\end{equation}
Dann ergibt sich die Linearkombination von $v_1,v_2,v_3$ mit den Koeffizienten
$a_1,a_2,a_3$ zu
\begin{align}
\begin{split}
w
& = a_1v_1 + a_2v_2 + a_3v_3                        \\
& =  2 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}
     + 3 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}
     + 0 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}   \\
& =   \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}
     + \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix}
     + \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}          \\
& =   \begin{pmatrix} 7 \\ 5 \end{pmatrix}.
\end{split}
\end{align}

Basierend auf dem Begriff der Linearkombination kann man nun den Begriff der
*Linearen Unabhängigkeit* von Vektoren definieren.

:::{#def-lineare-unabhängigkeit}
## Lineare Unabhängigkeit
$V$ sei ein Vektorraum. Eine Menge $W := \{w_1, w_2, ...,w_k\}$ von Vektoren in $V$ heißt
*linear unabhängig*, wenn die einzige Repräsentation des Nullelements
$0 \in V$ durch eine Linearkombination der $w \in W$ die sogenannte *triviale Repräsentation*
\begin{equation}
0 = a_1 w_1 + a_2 w_2 + \cdots + a_k w_k \mbox{ mit } a_1 = a_2 =  \cdots = a_k = 0
\end{equation}
ist. Wenn die Menge $W$ nicht linear unabhängig ist, dann heißt sie *linear abhängig*.
:::

Um zu prüfen, ob eine gegeben Menge von Vektoren linear abhängig oder unabhängig ist
muss man prinzipiell für jede mögliche Linearkombination der gegebenen Vektoren, 
ob sie Null ist. @thm-lineare-abhängigkeit-von-zwei-vektoren und @thm-lineare-abhängigkeit-einer-menge-von-vektoren 
zeigen, wie dies für zwei bzw. endliche viele Vektoren auch mit weniger Aufwand 
gelingen kann.

:::{#thm-lineare-abhängigkeit-von-zwei-vektoren}
## Lineare Abhängigkeit von zwei Vektoren
$V$ sei ein Vektorraum. Zwei Vektoren $v_1, v_2 \in V$ sind linear abhängig,
wenn einer der Vektoren ein skalares Vielfaches des anderen Vektors ist.
:::

:::{.proof}
$v_1$ sei ein skalares Vielfaches von $v_2$, also
\begin{equation}
v_1 = \lambda v_2 \mbox{ mit } \lambda \neq 0.
\end{equation}
Dann gilt
\begin{equation}
v_1 - \lambda v_2 = 0.
\end{equation}
Dies aber entspricht der Linearkombination
\begin{equation}
a_1v_1 + a_2v_2 = 0
\end{equation}
mit $a_1 = 1 \neq 0$ und  $a_2 = -\lambda \neq 0$. Es gibt also eine Linearkombination
des Nullelementes, die nicht die triviale Repräsentation ist, und damit sind
$v_1$ und $v_2$ nicht linear unabhängig.
::: 

:::{#thm-lineare-abhängigkeit-einer-menge-von-vektoren}
## Lineare Abhängigkeit einer Menge von Vektoren
$V$ sei ein Vektorraum und $w_1,...,w_k \in V$ sei eine Menge von Vektoren in $V$.
Wenn einer der Vektoren $w_i$ mit $i = 1,...,k$ eine Linearkombination der anderen
Vektoren ist, dann ist die Menge der Vektoren linear abhängig.
:::


:::{.proof}
Die Vektoren $w_1,...,w_k$ sind genau dann linear abhängig, wenn gilt, dass
$\sum_{i=1}^k a_i w_i = 0$ mit mindestens einem $a_i \neq 0$ . Es sei also zum
Beispiel $a_j \neq 0$. Dann gilt
\begin{equation}
0 = \sum_{i=1}^k a_i w_i = \sum_{i=1, i \neq j}^k a_i w_i + a_jw_j
\end{equation}
Also folgt
\begin{equation}
a_jw_j  = - \sum_{i=1, i \neq j}^k a_i w_i
\end{equation}
und damit
\begin{equation}
w_j  = - a_j^{-1}\sum_{i=1, i \neq j}^k a_i w_i = - \sum_{i=1, i \neq j}^k (a_j^{-1}a_i) w_i
\end{equation}
Also ist $w_j$ eine Linearkombination der $w_i$ für $i = 1,...,k$ mit $i \neq j$.
:::

## Vektorraumbasen {#sec-vektorraumbasen}

In diesem Abschnitt wollen wir den Begriff der *Vektorraumbasis* einführen. Eine
Basis eines Vektorraums ist eine Untermenge von Vektoren des Vektorraums, die 
zur Darstellung aller Vektoren des Vektorraums genutzt werden kann. Im Sinne 
der linearen Kombination von Vektoren enthält also eine Vektorraumbasis alle
nötige Information zur Konstruktion des entsprechenden Vektorraums. Allerdings
ist eine Vektorraumbasis in der Regel nicht eindeutig und die viele Vektorräume
haben in der Tat unendlich viele Basen. Die folgenden Definition sagt zunächst aus,
wie aus einer beschränkten Anzahl von Vektoren mithilfe von Linearkombinationen
unendlich viele Vektoren gebildet werden können.

:::{#def-lineare-hülle-und-aufspannen}
## Lineare Hülle und Aufspannen
$V$ sei ein Vektorraum und es sei $W := \{w_1,...,w_k\} \subset V$. Dann ist die
*lineare Hülle* von $W$ definiert als die Menge aller Linearkombinationen
der Elemente von $W$,
\begin{equation}
\mbox{Span}(W) := \left\lbrace \sum_{i=1}^k a_iw_i \vert a_1,...,a_k \mbox{ sind skalare Koeffizienten } \right\rbrace
\end{equation}
Man sagt, dass eine Menge von Vektoren $W \subseteq V$ *einen Vektorraum $V$ aufspannt*,
wenn jedes $v \in V$ als eine Linearkombination von Vektoren in $W$ geschrieben werden kann.
:::

Wir definieren nun den Begriff der *Basis* eines Vektorraums.

:::{#def-basis}
## Basis
$V$ sei ein Vektorraum und es sei $B \subseteq V$. $B$ heißt eine *Basis von $V$*, wenn 

(1) die Vektoren in $B$ linear unabhängig sind und 
(2) die Vektoren in $B$ den Vektorraum $V$ aufspannen.
:::

Basen von Vektorräumen haben folgende wichtige Eigenschaften.

:::{#thm-eigenschaften-von-basen}
## Eigenschaften von Basen 
(1) Alle Basen eines Vektorraums beinhalten die gleiche Anzahl von Vektoren.
(2) Jede Menge von $m$ linear unabhängigen Vektoren ist Basis eines $m$-dimensionalen Vektorraums.
:::

Für einen Beweis dieses sehr tiefen Theorems verweisen wir auf die weiterführende
Literatur. Die mit obigem Theorem benannte eindeutige Anzahl der Vektoren einer 
Basis eines Vektorraums heißt die *Dimension des Vektorraums*. Da es in der Regel
unendliche viele Mengen von *m* linear unabhängigen Vektoren in einem Vektorraum gibt
haben Vektorräume in der Regel unendlich viele Basen. 

Betrachtet man nun einen einzelnen Vektor in einem Vektorraum, so kann man sich
fragen, wie man diesen mithilfe einer Vektorraumbasis darstellen kann. Dies führt
auf folgende Begriffsbildungen.

:::{#def-basisdarstellung-und-koordinaten}
## Basisdarstellung und Koordinaten
$B := \{b_1,...,b_m\}$ sei eine Basis eines $m$-dimensionalen Vektorraumes $V$
und es sei $v \in V$. Dann heißt die Linearkombination
\begin{equation}
v = \sum_{i = 1}^m c_i b_i
\end{equation}
die *Darstellung von $v$ bezüglich der Basis $B$* und die Koeffizienten
$c_1,...,c_m$ heißen die *Koordinaten von $v$ bezüglich der Basis $B$*.
:::

Bei fester Basis sind auch die Koordinaten eines Vektors bezüglich dieser Basis
fest und eindeutig. Dies ist die Aussage folgenden Theorems.

:::{#thm-eindeutigkeit-der-basisdarstellung}
## Eindeutigkeit der Basisdarstellung
Die Basisdarstellung eines $v \in V$ bezüglich einer Basis $B$ ist eindeutig.
:::

:::{.proof}
Ohne Beschränkung der Allgemeinheit nehmen wir an, dass der Vektorraum von Dimension
$m$ ist. Nehmen wir an, dass zwei Darstellungen von $v$ bezüglich der Basis $B$
existieren, also dass
\begin{align}
\begin{split}
v & = a_1 b_1 + \cdots + a_m b_m \\
v & = c_1 b_1 + \cdots + c_m b_m
\end{split}
\end{align}
Subtraktion der unteren von dern oberen Gleichung ergibt
\begin{equation}
0 = (a_1 - c_1) b_1 + \cdots + (a_m - c_m) b_m
\end{equation}
Weil die $b_1,...,b_m$ linear unabhängig sind, gilt aber, dass $(a_i - c_i) = 0$
für alle $i = 1,...,m$ und somit sind die beiden Darstellungen von $v$ bezüglich
der Basis $B$ identisch.
:::

Zum Abschluss dieses Abschnitts wollen wir eine spezielle Basis des reellen
Vektorraums betrachten.

:::{#def-orthonormalbasis-von-Rm}
## Orthonormalbasis von $\mathbb{R}^m$
Eine Menge von $m$ Vektoren $v_1,...,v_m \in \mathbb{R}^m$ heißt
*Orthonormalbasis* von $\mathbb{R}^m$, wenn $v_1,...,v_m$ jeweils die
Länge 1 haben und wechselseitig orthogonal sind, also wenn
\begin{equation}
\langle v_i, v_j \rangle =
\begin{cases}
1 	& \mbox{ für } i = j 	\\
0 	& \mbox{ für } i \neq j
\end{cases}.
\end{equation}
:::

Wir wollen zunächst ein Beispiel für eine Orthonormalbasis betrachten.

**Beispiel (1)**

Es ist
\begin{equation}
B_1 :=
\left\lbrace
\begin{pmatrix}
1 \\ 0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
0 \\ 1
\end{pmatrix}
\right\rbrace
\end{equation}
eine Orthonormalbasis von $\mathbb{R}^2$, denn $B_1$ besteht aus zwei Vektoren und es gelten
\begin{equation}
\left\langle
\begin{pmatrix}
1 \\ 0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
1 \\ 0
\end{pmatrix}
\right\rangle
= 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0
= 1 + 0
= 1
\end{equation}
sowie
\begin{equation}
\left \langle
\begin{pmatrix}
0 \\ 1
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
0 \\1
\end{pmatrix}
\right \rangle
= 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1
= 0 + 1
= 1
\end{equation}
und
\begin{equation}
\left \langle
\begin{pmatrix}
1 \\ 0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
0 \\ 1
\end{pmatrix}
\right \rangle
=    1 \cdot 0 +  0  \cdot 1
= 0 + 0
= 0
\end{equation}

Für allgemeine reelle Vektorräume werden Basen der Form von $B_1$ mit dem 
Begriff der *kanonischen Basis* speziell ausgezeichnet.

:::{#def-kanonische-basis-und-kanonische-einheitsvektoren}
## Kanonische Basis und kanonische Einheitsvektoren
Die Orthonormalbasis
\begin{equation}
B :=
\left\lbrace
e_1,...,e_m
\vert
e_{i_j} = 1 \mbox{ für } i =  j \mbox{ und } e_{i_j} =  0 \mbox{ für } i \neq j
\right\rbrace
\subset \mathbb{R}^m
\end{equation}
heißt die *kanonische Basis* von $\mathbb{R}^m$ und die $e_{i_j}$ heißen
*kanonische Einheitsvektoren*.
:::
$B_1$ aus Beispiel (1) ist also die kanonische Basis von $\mathbb{R}^2$. 

Die kanonische Basis von $\mathbb{R}^3$ ist
\begin{equation}
B :=
\left\lbrace
\begin{pmatrix}
1 \\ 0 \\ 0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
0 \\ 1 \\ 0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
0 \\ 0 \\ 1
\end{pmatrix}
\right\rbrace.
\end{equation}

Allerdings gibt es auch nicht kanonische Orthonormalbasen. Dazu betrachten wir
ein weiteres Beispiel

**Beispiel (2)**

Es ist auch
\begin{equation}
B_2 :=
\left\lbrace
\begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix} - \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \quad \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{pmatrix}
\right\rbrace
\end{equation}
eine Orthonormalbasis von $\mathbb{R}^2$, denn $B_2$ besteht aus zwei Vektoren
und es gelten
\begin{equation}
\left \langle
\begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{pmatrix}
\right \rangle
= \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}
= \frac{1}{2} + \frac{1}{2}
= 1,
\end{equation}
sowie
\begin{equation}
\left \langle
\begin{pmatrix} - \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \quad \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix} - \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \quad \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{pmatrix}
\right \rangle
= \left(- \frac{1}{\sqrt{2}} \right)\cdot \left(- \frac{1}{\sqrt{2}} \right) + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}
= \frac{1}{2} + \frac{1}{2}
= 1
\end{equation}
und
\begin{equation}
\left \langle
\begin{pmatrix} - \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \quad \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} \\  \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{pmatrix}
\right \rangle
= - \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}   \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}
= - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}
= 0
\end{equation}

Wir visualisieren die beiden Orthonormalbasen $B_1$ und $B_2$ von $\mathbb{R}^2$
in @fig-basen-R2. 

```{r eval = F, echo = F}
library(latex2exp)
pdf(
file        = file.path("./_figures/108-basen-R2.pdf"),
width       = 6.5,
height      = 4)
par(
family      = "sans",
mfcol       = c(1,1),
bty         = "l",
lwd         = 1,
las         = 1,
mgp         = c(2,1,0),
xaxs        = "i",
yaxs        = "i",
font.main   = 1,
cex         = .95,
cex.main    = 1.2)

# Vektordefinitionen
x           = c(1,0)
y           = c(0,1)
v           = 1/sqrt(2)*c(1,1)
w           = 1/sqrt(2)*c(-1,1)
p           = c(1/3,2/3)

# Visualisierung
plot(
NULL,
xlab        = TeX("$x_1$"),
ylab        = TeX("$x_2$"),
xlim        = c(-1.2,1.2),
ylim        = c(0,1.2))
grid()
points(
c(x[1],y[1],v[1],w[1],p[1]),
c(x[2],y[2],v[2],w[2],p[2]),
pch = 19,
xpd = TRUE,
col = c("gray40", "gray40", "gray80", "gray80", "blue"))
text(0.75 ,0.15, TeX("$B_1$"), col = "gray40", cex = 1.5)
text(-0.45,0.65, TeX("$B_2$"), col = "gray80", cex = 1.5)
arrows(
x0          = c(0,0,0,0),
y0          = c(0,0,0,0),
x1          = c(x[1],y[1],v[1],w[1]),
y1          = c(x[2],y[2],v[2],w[2]),
angle       = 20,
length      = .1,
xpd         = TRUE,
lwd         = 2,
col         = c("gray40", "gray40", "gray80", "gray80"))
dev.off()
```

![Zwei Basen von $\mathbb{R}^2$](./_figures/108-basen-R2.pdf){#fig-basen-R2 fig-align="center"}


## Selbstkontrollfragen {#sec-selbstkontrollfragen-vektoren}

\small
1. Geben Sie die Definition eines Vektorraums wieder.
1. Geben Sie die Definition des reellen Vektorraums wieder.
1. Es seien 
\begin{equation}
x := \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}, 
y := \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}
\mbox{ und } 
a := 2. 
\end{equation}
Berechnen Sie
\begin{equation}
v = a(x+y) \mbox{ und } w = \frac{1}{a}(y-x)
\end{equation}
1. Geben Sie die Definition des Skalarproduktes auf $\mathbb{R}^m$ wieder.
1. Für
$$
x := \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix},
y := \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix},
z := \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} 
$$ {#eq-xyz}
berechnen Sie
\begin{equation}
\langle x,y \rangle, \langle x, z \rangle, \langle y,z \rangle
\end{equation}
1. Geben Sie die Definition des Euklidischen Vektorraums wieder.
1. Geben Sie die Definition der Länge eines Vektors im Euklidischen Vektorraum wieder,
1. Berechnen Sie die Längen der Vektoren $x,y,z$ aus @eq-xyz.
1. Geben Sie Definition des Abstands zweier Vektoren im Euklidischen Vektorraum wieder.
1. Berechnen Sie $d(x,y), d(x,z)$ und $d(y,z)$ für $x,y,z$  aus @eq-xyz.
1. Geben Sie die Definition des Winkels zwischen zwei Vektoren im Euklidischen Vektorraum wieder.
1. Berechnen Sie die Winkel zwischen den Vektoren $x$ und $y$, $x$ und $z$, sowie $y$ und $z$ aus @eq-xyz.
1. Geben Sie die Definitionen der Orthogonalität und Orthonormalität von Vektoren wieder.
1. Geben Sie die Definition der Linearkombination von Vektoren wieder.
1. Geben Sie die Definition der linearen Unabhängigkeit von Vektoren wieder.
1. Woran kann man erkennen, ob zwei reelle Vektoren linear abhängig sind oder nicht?
1. Geben Sie die Definition der linearen Hülle einer Menge von Vektoren wieder.
1. Geben Sie die Definition der Basis eines Vektorraums wieder.
1. Geben Sie das Theorem zu den Eigenschaften von Vektorraumbasen wieder.
1. Geben Sie die Definition der Basisdarstellung eines Vektors wieder.
1. Geben Sie die Definition eienr Orthonormalbasis von $\mathbb{R}^m$ wieder.
1. Geben Sie die Definition der kanonischen Basis von $\mathbb{R}^m$ wieder.  
\normalsize
