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```

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\center
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```

\vspace{2mm}

\Large
Wahrscheinlichkeitstheorie und Frequentistische Inferenz
\vspace{6mm}

\large
BSc Psychologie WiSe 2021/22

\vspace{6mm}
\normalsize
Prof. Dr. Dirk Ostwald

#  {.plain}
\vfill
\center
\huge
\textcolor{black}{(9) Grundbegriffe Frequentistischer Inferenz}
\vfill

# Wahrscheinlichkeitstheorie und Frequentistische Inferenz
\vspace{1mm}

\small
\center
\footnotesize
\renewcommand{\arraystretch}{1.1}
\begin{tabular}{lll}
Datum        & Einheit                       & Thema					                \\\hline
14.10.2021   & Einführung                    & (1)  Einführung 				            \\
21.10.2021   & Wahrscheinlichkeitstheorie    & (2)  Wahrscheinlichkeitsräume            \\
28.10.2021   & Wahrscheinlichkeitstheorie    & (3)  Elementare Wahrscheinlichkeiten     \\
04.11.2021   & Wahrscheinlichkeitstheorie    & (4)  Zufallsvariablen                           \\         
11.11.2021   & Wahrscheinlichkeitstheorie    & (5)  Multivariate Verteilungen                  \\ 
18.11.2021   & Wahrscheinlichkeitstheorie    & (6)  Erwartungswert, Varianz, Kovarianz         \\
25.11.2021   & Wahrscheinlichkeitstheorie    & (7)  Ungleichungen und Grenzwerte               \\
02.12.2021   & Wahrscheinlichkeitstheorie    & (8)  Transformationen der Normalverteilung      \\
  \textbf{09.12.2021}
& \textbf{Frequentistische Inferenz}     
& \textbf{(9) Grundbegriffe Frequentistischer Inferenz}                                     \\
16.12.2021   & Frequentistische Inferenz     & (10) Parameterschätzung                         \\
             & \textcolor{gray}{Weihnachtspause}                                               \\
             & Frequentistische Inferenz     & (11) Konfidenzintervalle                 \\
13.01.2022   & Frequentistische Inferenz     & (12) Hypothesentests                     \\
20.01.2022   & Frequentistische Inferenz     & (13) Einstichproben-T-Tests              \\
27.01.2022   & Frequentistische Inferenz     & (14) Zweistichproben-T-Tests             \\\hline
31.01.2022   & Klausur                       & 16 - 17 Uhr, G44 - H6                    \\
Jul 2022     & Klausurwiederholungstermin    &
\end{tabular}

# 
\textcolor{darkblue}{Evidenzbasierte Evaluation von Psychotherapieformen bei Depression}
\vspace{2mm}

```{r, echo = FALSE, out.width = "100%"}
knitr::include_graphics("9_Abbildungen/wtfi_9_klinische_forschung.pdf")
```

\small
Becks Depression Inventar (BDI) zur Depressionsdiagnostik


# 
\textcolor{darkblue}{Evidenzbasierte Evaluation von Psychotherapieformen bei Depression}
\vspace{2mm}

```{r, echo = FALSE, out.width = "90%"}
knitr::include_graphics("9_Abbildungen/wtfi_9_messplan.pdf")
```


# 
Einlesen des Datensatzes mit `read.table()`
\vspace{1mm}

\footnotesize
```{r}
fname       = file.path(getwd(), "9_Daten", "psychotherapie_datensatz.csv")
D           = read.table(fname, sep = ",")
```

\small
Daten der ersten acht Proband:innen jeder Gruppe

\footnotesize
\setstretch{1}
```{r, echo = F}
# table visualization
knitr::kable(D[c(1:8, 51:58),],
             align      = "ccc",
             "pipe")
```

# 
\vspace{2mm}
\textcolor{darkblue}{Deskriptive Statistik}

```{r, echo = FALSE, out.width = "100%"}
knitr::include_graphics("9_Abbildungen/wtfi_9_statistik_deskriptiv.pdf")
```

# 
\vspace{2mm}
\textcolor{darkblue}{Frequentistische Statistik}

```{r, echo = FALSE, out.width = "100%"}
knitr::include_graphics("9_Abbildungen/wtfi_9_statistik_frequentistisch.pdf")
```

# 
\vspace{2mm}
\textcolor{darkblue}{Bayesianische Statistik}

```{r, echo = FALSE, out.width = "100%"}
knitr::include_graphics("9_Abbildungen/wtfi_9_statistik_bayesianisch.pdf")
```


# 
\vspace{2mm}
\textcolor{darkblue}{Maschinelles Lernen}

```{r, echo = FALSE, out.width = "100%"}
knitr::include_graphics("9_Abbildungen/wtfi_9_statistik_maschinelles_lernen.pdf")
```

#
\vspace{2mm}
\textcolor{darkblue}{Künstliche Intelligenz}

```{r, echo = FALSE, out.width = "100%"}
knitr::include_graphics("9_Abbildungen/wtfi_9_statistik_künstliche_intelligenz.pdf")
```

#
\large
\setstretch{2.4}
\vfill
Statistische Modelle

Statistiken und Schätzer

Standardprobleme Frequentistischer Inferenz

Selbstkontrollfragen
\vfill

#
\large
\setstretch{2.4}
\vfill
**Statistische Modelle**

Statistiken und Schätzer

Standardprobleme Frequentistischer Inferenz

Selbstkontrollfragen
\vfill

# Statistische Modelle
\small
\begin{definition}[Statistisches Modell]
\justifying
Ein \textit{statistisches Modell} ist ein Tripel
\begin{equation}
\mathcal{M} := (\mathcal{X}, \mathcal{A}, \{\mathbb{P}_\theta |\theta \in \Theta\})
\end{equation}
bestehend  aus einem \textit{Stichprobenraum} $\mathcal{X}$, einer $\sigma$-Algebra
$\mathcal{A}$ auf $\mathcal{X}$ und einer mindestens zweielementigen Menge
$\{\mathbb{P}_\theta |\theta \in \Theta\}$ von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf
$(\mathcal{X}, \mathcal{A})$, die mit einer Menge $\Theta$ indiziert sind.
\end{definition}

Bemerkungen

* Im Gegensatz zum W-Raum betrachten wir zwei oder mehr W-Maße.
* Das jeweils zugrundeliegende Wahrscheinlichkeitsmaß ist mit $\theta \in \Theta$ indiziert.
* Für Erwartungswerte und (Ko)Varianzen bezüglich $\mathbb{P}_\theta$ schreiben wir $\mathbb{E}_\theta$, $\mathbb{V}_\theta$, $\mathbb{C}_\theta$.

# Statistische Modelle
\small
\begin{definition}[Parametrische, Standard- und Produktmodelle]
\begin{itemize}
\justifying
\itemsep3mm
\item Ein statistisches Modell $\mathcal{M}$ heißt ein \textit{parametrisches Modell},
wenn $\Theta \subset \mathbb{R}^d$ für ein $d \in \mathbb{N}$ ist. Für $d = 1$ heißt
$\mathcal{M}$ ein \textit{einparametriges Modell}.
\item Ein statistisches Modell $\mathcal{M}$ heißt ein \textit{diskretes Modell},
wenn $\mathcal{X}$ diskret ist. Jedes $\mathbb{P}_\theta$ besitzt dann eine WMF
$p_\theta$ definiert durch $p_\theta := \mathbb{P}_{\theta}({x})$. Ein statistisches
Modell $\mathcal{M}$ heißt ein \textit{stetiges Modell},
wenn $\mathcal{X} \subset \mathbb{R}^n$ ist und jedes $\mathbb{P}_\theta$ eine
WDF $p_\theta$ besitzt.
\item Für ein statistisches Modell $\mathcal{M}_0 := (\mathcal{X}_0, \mathcal{A}_0, \{\mathbb{P}_\theta^0 |\theta \in \Theta\})$
und $n > 1$ heißt das statistische Modell $\mathcal{M} := (\mathcal{X}, \mathcal{A}, \{\mathbb{P}_\theta |\theta \in \Theta\})$,
für welches $\mathcal{X} := \times_{i=1}^n \mathcal{X}_0$ das $n$-fache kartesische
Produkt von $\mathcal{X}_0$ mit sich selbst ist, $ \mathcal{A}$ die entsprechende
Produkt-$\sigma$-Algebra ist, und $\{\mathbb{P}_\theta |\theta \in \Theta\}$ die
entsprechende Menge an Produktmaßen $\prod_{i=1}^n\mathbb{P}_\theta^0$ ist, das
zu $\mathcal{M}_0$ gehörige \textit{Produktmodell}.
\end{itemize}
\end{definition}


# Statistische Modelle

\small
Bemerkungen

* \footnotesize \justifying Der Vorgang des Beobachtens, der ein zufälliges
Ergebnis liefert, wird mit Zufallsvektoren $X$, die Werte in $\mathcal{X}$ annehmen,
beschrieben. Im Kontext statistischer Modelle nennt man diese Zufallsvektoren
\textit{Beobachtung, Messung}, oder \textit{Stichprobe}. Ihre Realisierungen
$x \in \mathcal{X}$, also konkret vorliegende Datenwerte, werden
\textit{Beobachtungswert, Messwert, Stichprobenwert} oder \textit{Datensatz} genannt.
* Produktmodelle modellieren die unabhängige Wiederholung eines Einzelexperiments.
Der entsprechende Zufallsvektor $X := (X_1,....,X_n)$ entspricht dann einer Menge
von unabhängigen Zufallsvariablen/vektoren $X_1,...,X_n \sim \mathbb{P}_\theta^0$.
* Wenn für ein Produktmodell die Menge $\mathcal{X}_0$ eindimensional ist, also
z.B. $\mathcal{X}_0 = \mathbb{R}$ gilt, spricht man von einem
\textit{univariaten statistischen Modell}. Wenn für ein Produktmodell die Menge
$\mathcal{X}_0$ mehrdimensional ist, also
z.B. $\mathcal{X}_0 = \mathbb{R}^m, m > 1$ ist, spricht man auch von
\textit{multivariaten statistischen Modellen}. Wir betrachten in diesem Kurs nur
univariate statistische Modelle.
* Die am häufigsten angewendeten statistischen Modelle sind parametrische stetige Produktmodelle.
* In einem konkreten Datenanalyseproblem nimmt man an, dass die beobachteten
Stichprobenwerte $x = (x_1,...,x_n)$ der Stichprobe $X = (X_1,...,X_n)$ durch
$\mathbb{P}_{\tilde{\theta}}$ generiert wurde, wobei $\tilde{\theta}$ hier
den \textit{wahren, aber unbekannten, Parameterwert} bezeichnet. Der wahre,
aber unbekannten, Parameterwert $\tilde{\theta}$ bleibt auch nach der
statistischen Analyse unbekannt.
* In der mathematischen Analyse von Inferenzmethoden betrachtet man alle
möglichen wahren, aber unbekannten, Parameterwerte, schreibt also einfach
$\{\mathbb{P}_\theta |\theta \in \Theta\}$.


# Statistische Modelle
\setstretch{1.1}
\large
Beispiel (1)
\small
\begin{definition}[Bernoullimodell]
Das univariate parametrische Produktmodell
\begin{equation}
\mathcal{M} := \left(\mathcal{X}, \mathcal{A}, \{\mathbb{P}_\theta|\theta \in \Theta\}\right)
\end{equation}
mit
\begin{equation}
\mathcal{X} := \{0,1\}^n, \mathcal{A} := \mathcal{P}\left(\{0,1\}^n\right), \theta:= \mu, \Theta := ]0,1[,
\end{equation}
also
\begin{equation}
\{\mathbb{P}_\theta|\theta \in \Theta\} := \left\lbrace \prod_{i=1}^n \mbox{Bern}(\mu)|\mu \in ]0,1[ \right\rbrace,
\end{equation}
und damit
\begin{equation}
X_1,...,X_n \sim \mbox{Bern}(\mu) \mbox{ mit } \mu \in ]0,1[,
\end{equation}
heißt \textit{Bernoullimodell}.
\end{definition}

\footnotesize
Bemerkung

* Das Bernoullimodell spielt in der statistischen Anwendung eine eher untegeordnete Rolle.

# Statistische Modelle
\setstretch{1.1}
\large
Beispiel (2)
\small
\begin{definition}[Normalverteilungsmodell]
Das univariate parametrische Produktmodell
\begin{equation}
\mathcal{M} := \left(\mathcal{X}, \mathcal{A}, \{\mathbb{P}_\theta|\theta \in \Theta\}\right)
\end{equation}
mit
\begin{equation}
\mathcal{X} := \mathbb{R}^n, \mathcal{A} := \mathcal{B}(\mathbb{R}^n), \theta := (\mu, \sigma^2), \Theta := \mathbb{R} \times \mathbb{R}_{>0},
\end{equation}
also
\begin{equation}
\{\mathbb{P}_\theta|\theta \in \Theta\}
:= \left\lbrace \prod_{i=1}^n N(\mu,\sigma^2)|(\mu,\sigma^2)\in \mathbb{R} \times \mathbb{R}_{>0} \right\rbrace,
\end{equation}
und damit
\begin{equation}
X_1,...,X_n \sim N(\mu,\sigma^2) \mbox{ mit } (\mu,\sigma^2)\in \mathbb{R} \times \mathbb{R}_{>0}
\end{equation}
heißt Normalverteilungsmodell
\end{definition}
\footnotesize

Bemerkungen

* \justifying Das Normalverteilungsmodell ist Grundlage der allermeisten populären statistischen Verfahren.
* Diese Verfahren werden im Allgemeinen Linearen Modell integrativ betrachtet.
* Das Modell ist grundlegend durch normalverteiltes Rauschen, nicht "normalverteilte Populationen", motiviert.

#
\large
\setstretch{2.4}
\vfill
Statistische Modelle

**Statistiken und Schätzer**

Standardprobleme Frequentistischer Inferenz

Selbstkontrollfragen
\vfill

# Statistiken und Schätzer
\small
\begin{definition}[Statistik]
\justifying
$\mathcal{M} := (\mathcal{X}, \mathcal{A}, \{\mathbb{P}_\theta|\theta \in \Theta\})$
sei ein statistisches Modell und $(\Sigma,\mathcal{S})$ sei ein Messraum.
Dann wird eine Zufallsvariable
\begin{equation}
S : \mathcal{X} \to \Sigma
\end{equation}
\textit{Statistik} genannt.
\end{definition}

\footnotesize
Bemerkungen

* \justifying Beobachtungen und Statistiken werden durch Zufallsvariablen modelliert.
* Beobachtungen modellieren die stochastische Generation von Daten
* Statistiken modellieren von Datenanalyst:innen konstruierte Funktionen, die aufgrund von
Beobachtungen essentielle Größen extrahieren, aus denen sich sinnvolle Schlüsse ziehen lassen.


# Statistiken und Schätzer
\small
Beispiele (Statistiken)

\footnotesize
$\mathcal{M}$ sei das Normalverteilungsmodell. Dann sind zum Beispiel folgende Zufallsvariablen Statistiken:

* Das \textit{Stichprobenmittel}
\begin{equation}
\bar{X}_n : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R},
X \mapsto \bar{X}_n(X) := \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i,
\end{equation}
* Die \textit{Stichprobenvarianz}
\begin{equation}
S^2_n  : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}_{\ge 0},
X \mapsto S^2_n(X) := \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X}_n)^2,
\end{equation}
* Die \textit{Stichprobenstandardabweichung}
\begin{equation}
S_n  : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}_{\ge 0},
X \mapsto S_n(X) := \sqrt{S_n^2},
\end{equation}
* Die \textit{$T$-Statistik}
\begin{equation}
T  : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R},
X \to T(X) := \sqrt{n}\left(\frac{\bar{X}_n}{S_n}\right).
\end{equation}


# Statistiken und Schätzer
\small
\begin{definition}[Schätzer]
\justifying
$\mathcal{M} := (\mathcal{X}, \mathcal{A}, \{\mathbb{P}_\theta|\theta \in \Theta\})$,
$(\Sigma,\mathcal{S})$ sei ein Messraum, und $\tau : \Theta \to \Sigma$ sei eine
Abbildung, die jedem $\theta \in \Theta$ eine Kenngröße $\tau(\theta) \in \Sigma$
zuordnet. Eine Statistik
\begin{equation}
\hat{\tau} : \mathcal{X} \to \Sigma
\end{equation}
heißt dann ein
\textit{Schätzer} für $\tau$.
\end{definition}

\footnotesize
Bemerkungen
\setstretch{1.5}

* Typische Beispiele für $\tau$ sind
\begin{itemize}
\begin{footnotesize}
\item[$\circ$] $\tau(\theta) := \theta$ für die Schätzung von $\theta$,
\item[$\circ$] $\tau(\theta) := \theta_i$ mit $\theta \in \mathbb{R}^d, d > 1$ für die Schätzung einer Komponente von $\theta$,
\item[$\circ$] $\tau(\theta) := \mathbb{E}_\theta(X_0)$ für die Schätzung des Erwartungswerts einer Beobachtung,
\item[$\circ$] $\tau(\theta) := \mathbb{V}_\theta(X_0)$ für die Schätzung der Varianz einer Beobachtung.
\end{footnotesize}
\end{itemize}
* Schätzer nehmen Zahlwerte in $\Sigma$ an und heißen deshalb auch \textit{Punktschätzer}.
* Nicht jeder Schätzer ist ein guter Schätzer, man definiert deshalb \textit{Schätzgütekriterien}.
* Für $\hat{\tau}$ bei $\tau(\theta) := \theta$ schreibt man auch $\hat{\theta}$

# Statistiken und Schätzer

\small
Beispiele (Schätzer)

\footnotesize
$\mathcal{M}$ sei das Normalverteilungsmodell.

* Dann ist zum Beispiel das Stichprobenmittel  $\bar{X}_n : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ ein Schätzer für
\begin{equation}
\tau : \mathbb{R} \times \mathbb{R}_{>0} \to \mathbb{R},
(\mu, \sigma_2) \mapsto \tau(\mu,\sigma^2) := \mu.
\end{equation}
Ebenso ist $\bar{X}_n$ ein Schätzer für
\begin{equation}
\tau: \mathbb{R} \times \mathbb{R}_{>0} \to \mathbb{R},
(\mu, \sigma_2) \mapsto \tau(\mu,\sigma^2) := \mathbb{E}_{\mu,\sigma^2}(X_0) = \mu.
\end{equation}
* Weiterhin ist die konstante Funktion
\begin{equation}
\hat{\tau} : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, x \mapsto \hat{\tau}(X) := 42
\end{equation}
ein Schätzer für
\begin{equation}
\tau : \mathbb{R} \times \mathbb{R}_{>0} \to \mathbb{R}_{>0},
(\mu, \sigma_2) \mapsto \tau(\mu,\sigma^2) := \sigma^2.
\end{equation}

\vspace{2mm}
\small
\center
\textcolor{darkblue}{Dass eine Funktion $\hat{\tau} : \mathcal{X} \to \Sigma$ ein Schätzer ist, heißt nicht, dass sie ein guter Schätzer ist!}

\textcolor{darkblue}{Gütekriterien für Schätzer sind der Inhalt von Vorlesungseinheit (10) Schätzereigenschaften.}

#
\large
\setstretch{2.4}
\vfill
Statistische Modelle

Statistiken und Schätzer

**Standardprobleme Frequentistischer Inferenz**

Selbstkontrollfragen
\vfill


# Standardprobleme Frequentistischer Inferenz
\small
\noindent (1) **Parameterschätzung**

Ziel der Parameterschätzung ist es, einen möglichst guten Tipp für den wahren,
aber unbekannten, Parameterwert (oder eine Funktion dessen) abzugeben,
typischerweise basierend auf der Beobachtung einer Realisierung von
$X_1,...,X_n \sim p_\theta$.
\vspace{2mm}


\noindent (2) **Konfidenzintervalle**

Das Ziel der Bestimmung von Konfidenzintervallen ist es, basierend auf der
Verteilung möglicher Parameterschätzwerte eine quantitative Aussage über die
mit dem Schätzwert assoziierte Unsicherheit zu treffen.
\vspace{2mm}

\noindent (3) **Hypothesentests**

Das Ziel der Auswertung von Hypothesentests ist es, basierend auf der angenommenen
Verteilung der Beobachtungen $X_1,...,X_n$ in einer möglichst sinnvollen Form
zu entscheiden, ob der wahre, aber unbekannte Parameterwert, in einer von zwei s
ich gegenseitig ausschließenden Untermengen des Parameterraumes, welche man als
Hypothesen bezeichnet, liegt.


# Standardprobleme Frequentistischer Inferenz
```{r, echo = FALSE, out.width = "100%"}
knitr::include_graphics("9_Abbildungen/wtfi_9_frequentistische_inferenz.pdf")
```


# Standardprobleme Frequentistischer Inferenz
\small
**Standardannahmen frequentistischer Inferenz**

\footnotesize
\setstretch{1.2}
$\mathcal{M}$ sei ein statistisches Modell mit $X_1,...,X_n \sim p_\theta$. Es
wird angenommen, dass ein vorliegender Datensatz eine der möglichen Realisierungen
von $X_1,...,X_n \sim p_\theta$ ist.


Aus frequentistischer Sicht kann man das Experiment unendlich oft wiederholen und
zu jedem Datensatz Schätzer oder Statistiken auswerten, z.B. das Stichprobenmittel:

\footnotesize
\begin{itemize}
\item[] Datensatz (1) : $x^{(1)} = \left(x_1^{(1)}, x_2^{(1)}, ...,x_n^{(1)}\right)$
						mit $\bar{x}_n^{(1)} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i^{(1)}$
\item[] Datensatz (2) : $x^{(2)} = \left(x_1^{(2)}, x_2^{(2)}, ...,x_n^{(2)}\right)$
                        mit $\bar{x}_n^{(2)} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i^{(2)}$
\item[] Datensatz (3) : $x^{(3)} = \left(x_1^{(3)}, x_2^{(3)}, ...,x_n^{(3)}\right)$
                        mit $\bar{x}_n^{(3)} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i^{(3)}$
\item[] Datensatz (4) : $x^{(4)} = \left(x_1^{(4)}, x_2^{(4)}, ...,x_n^{(4)}\right)$
                        mit $\bar{x}_n^{(4)} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i^{(4)}$
\item[] Datensatz (5) : $x^{(5)} = ...$
\end{itemize}

Um die Qualität statistischer Methoden zu beurteilen betrachtet die frequentistische
Statistik deshalb die Wahrscheinlichkeitsverteilungen von Schätzern und Statistiken
unter Annahme von $X_1,...,X_n \sim p_\theta$. Was zum Beispiel ist die Verteilung von
$\bar{x}_n^{(1)}$, $\bar{x}_n^{(2)}$, $\bar{x}_n^{(3)}$, $\bar{x}_n^{(4)}$, ... also die
Verteilung der Zufallsvariable $\bar{X}_n := \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$?

Wenn eine statistische Methode im Sinne der frequentitischen Standardannahmen
"gut" ist, dann heißt das also, dass sie bei häufiger Anwendung "im Mittel gut" ist.

Im Einzelfall, also im Normalfall nur eines vorliegenden Datensatzes, kann sie auch "schlecht" sein.



# Standardprobleme Frequentistischer Inferenz
\textcolor{darkblue}{Evidenzbasierte Evaluation von Psychotherapieformen bei Depression}
\vspace{2mm}

```{r, echo = FALSE, out.width = "100%"}
knitr::include_graphics("9_Abbildungen/wtfi_9_klinische_forschung.pdf")
```

\small
Becks Depression Inventar (BDI) zur Depressionsdiagnostik


# Standardprobleme Frequentistischer Inferenz
\textcolor{darkblue}{Evidenzbasierte Evaluation von Psychotherapieformen bei Depression}
\vspace{2mm}

```{r, echo = FALSE, out.width = "90%"}
knitr::include_graphics("9_Abbildungen/wtfi_9_messplan.pdf")
```


# Standardprobleme Frequentistischer Inferenz
Einlesen des Datensatzes mit `read.table()`
\vspace{1mm}

\footnotesize
```{r}
fname       = file.path(getwd(), "9_Daten", "psychotherapie_datensatz.csv")
D           = read.table(fname, sep = ",")
```

\small
Daten der ersten acht Proband:innen jeder Gruppe

\footnotesize
\setstretch{1}
```{r, echo = F}
# table visualization
knitr::kable(D[c(1:8, 51:58),],
             align      = "ccc",
             "pipe")
```

# Standardprobleme Frequentistischer Inferenz
\small
Standardanahmen der Frequentistischen Inferenz

\footnotesize
Wir legen das Normalverteilungsmodell zugrunde, d.h. wir nehmen an, dass die
BDI Werte Realisierungen von u.i.v. Zufallsvariablen 
\begin{equation}
X_{ijk} \sim N\left(\mu_{ij},\sigma^2\right), i = 1,2, j = 1,2, k = 1,...,n_{i}
\end{equation}
wobei $i \in \{1,2\}$ die experimentelle Bedingung (1 = Klassisch, 2 = Online), 
$j \in \{1,2\}$ den Zeitpunkt der Messung (1 = Pre, 1 = Post) und $k \in \mathbb{N}_{i}$
den Proband:innen Index in der $i$ten experimentellen Bedingung bezeichnen sollend
Dies entspricht der Annahme, dass sich der BDI Wert einer Proband:in 
durch Addition einer normalverteilten Fehlervariable mit Erwartungswertparameter $0$ und 
Varianzparameter $\sigma^2$ zu den innerhalb einer Versuchsbedingung und einer
Messung identischen Wert $\mu_{ij}$ ergibt.

\vspace{4mm}
\small
Standardprobleme der Frequentistischen Inferenz 

\footnotesize
\noindent (1) Was sind sinnvolle Tipps für die wahren, aber unbekannten, Parameterwerte $\mu_{ij}$ und $\sigma^2$?

\noindent (2) Wie hoch ist im frequentistischen Sinn die mit diesen Tipps assoziierte Unsicherheit?

\noindent (3) Entscheiden wir uns sinnvollerweise für die Hypothese, dass gilt
\begin{equation}
(\mu_{12} - \mu_{11}) - (\mu_{21} - \mu_{22}) \neq 0 \mbox{?}
\end{equation}

# 
\large
\setstretch{2.4}
\vfill
Statistische Modelle

Statistiken und Schätzer

Standardprobleme Frequentistischer Inferenz

**Selbstkontrollfragen**
\vfill


# Selbstkontrollfragen
\footnotesize
\setstretch{1.8}
\begin{enumerate}
\item Definieren und erläutern Sie den Begriff des statistischen Modells.
\item Definieren und erläutern Sie den Begriff eine parametrischen statistischen Produktmodells.
\item Erläutern Sie den Unterschied zwischen univariaten und multivariaten statistischen Modellen.
\item Formulieren Sie das Bernoullimodel.
\item Formulieren Sie das Normalverteilungsmodell.
\item Definieren und erläutern Sie den Begriff der Statistik.
\item Definieren und erläutern Sie den Begriff des Schätzers.
\item Nennen und erläutern Sie die Standardprobleme der frequentistischen Inferenz.
\item Erläutern Sie die Standardannahmen der frequentistischen Inferenz.
\end{enumerate}


