---
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```{r, include = F}
source("14_R_common.R")
```

#  {.plain}
\center
```{r, echo = FALSE, out.width = "20%"}
knitr::include_graphics("14_Abbildungen/wtfi_14_otto.png")
```

\vspace{2mm}

\Huge
Inferenzstatistik
\vspace{6mm}

\Large
BSc Psychologie WiSe 2021/22

\vspace{6mm}
\large
Prof. Dr. Dirk Ostwald

#  {.plain}

\vfill
\center
\huge
\textcolor{black}{(14) Zweistichproben-T-Tests}
\vfill


#  
\setstretch{2.5}
\large
\vfill
Zweistichproben-T-Tests bei unabhängigen Stichproben

Zweistichproben-T-Tests bei abhängigen Stichproben 

Anwendungsbeispiele

Selbstkontrollfragen
\vfill

#  
\setstretch{2.5}
\large
\vfill
**Zweistichproben-T-Tests bei unabhängigen Stichproben**

Zweistichproben-T-Tests bei abhängigen Stichproben 

Anwendungsbeispiele

Selbstkontrollfragen
\vfill

# Zweistichproben-T-Test bei unabhängigen Stichproben
\normalsize
Anwendungsszenario
\small
\begin{itemize}
\item \textbf{Zwei Stichproben} experimenteller Einheiten
\item Annahme unabhängiger identischer Normalverteilungen $N(\mu_1,\sigma_1^2)$ und $N(\mu_2,\sigma_2^2)$
\item $\mu_1,\mu_2,\sigma_1^2,\sigma_2^2$ unbekannt.
\item Quantifizieren der Unsicherheit beim inferentiellen Vergleich von $\mu_1$ mit $\mu_2$ beabsichtigt.
\end{itemize}



\normalsize
Anwendungsbeispielee
\small

\begin{itemize}
\item BDI Score Datenanalyse bei zwei Gruppen psychiatrischer Patient:innen
\begin{itemize}
\item[$\circ$] \small Gruppe 1 Psychoanalyse, Gruppe 2 Kognitive Verhaltenstherapie
\item[$\circ$] \small $\mu_1 \neq \mu_2\,? \Leftrightarrow$ Welche Therapie ist besser?
\end{itemize}
\item \href{https://www.schwimmen-bis-zur-verzweiflung.de/versuche.html}{Forcierte Schwimmtestdatenanalyse bei zwei Gruppen genmanipulierter Mäuse}
\begin{itemize}
\item[$\circ$] \small Gruppe 1 Wildtyp, Gruppe 2 Serotoninrezeptormutation
\item[$\circ$] \small $\mu_1 \neq \mu_2\,? \Leftrightarrow$ Trägt Serotoninrezeptor zum Schwimmtestverhalten bei?
\end{itemize}
\end{itemize}


# Zweistichproben-T-Test bei unabhängigen Stichproben
\setstretch{2}

Modellszenarien

* Annahme identischer Varianzen
* Annahme eines bekannten Varianzverhältnisses
* Keine Annahmen zu Varianzen

Hypothesenszenarien

* $H_0:\mu_1   = \mu_2$ und $H_1:\mu_1 \neq \mu_2$
* $H_0:\mu_1 \le \mu_2$ und $H_1:\mu_1    > \mu_2$
* $H_0:\mu_1 \ge \mu_2$ und $H_1:\mu_1    < \mu_2$

Wir betrachten hier exemplarisch $H_0:\mu_1 = \mu_2$ und $H_1:\mu_1 \neq \mu_2$

# Zweistichproben-T-Test bei unabhängigen Stichproben
\setstretch{2}

Modellszenarien

* **Annahme identischer Varianzen**
* Annahme eines bekannten Varianzverhältnisses
* Keine Annahmen zu Varianzen

Hypothesenszenarien

* $\bm{H_0:\mu_1   = \mu_2}$ **und** $\bm{H_1:\mu_1 \neq \mu_2}$
* $H_0:\mu_1 \le \mu_2$ und $H_1:\mu_1    > \mu_2$
* $H_0:\mu_1 \ge \mu_2$ und $H_1:\mu_1    < \mu_2$


# \small Zweistichproben-T-Test bei unabhängigen Stichproben unter Annahme identischer Varianzen {.t}

\justifying
\noindent (1) Statistisches Modell in klassischer Form

\small
$X_{11},...,X_{1n_1} \sim N(\mu_1,\sigma^2)$ sei eine Stichprobe eines
Normalverteilungsmodells mit unbekanntem Erwartungswertparameter $\mu_1$ und
unbekanntem  Varianzparameter $\sigma^2>0$. $X_{21},..., X_{2n_2}
\sim N(\mu_2,\sigma^2)$  sei eine weitere Stichprobe eines Normalverteilungsmodells
mit unbekanntem Erwartungswertparameter $\mu_2$ und unbekanntem Varianzparameter
$\sigma^2>0$. Die Varianzparameter beider Stichproben werden also als identisch
vorausgesetzt. Der Parameter von Interesse ist $(\mu_1,\mu_2)$, der Parameterraum
des Modells ist $\Theta := \mathbb{R}^2$.



\vspace{1mm}
\normalsize
\noindent (2) Statistisches Modell in generativer Form

\small
Es sei
\begin{equation}
X_{ij} = \mu_i + \varepsilon_{ij}
\mbox{ mit } \varepsilon_{ij} \sim N(0,\sigma^2)
\mbox{ für } i = 1,2
\mbox{ und } j = 1,...,n_i
\end{equation}
wobei

* $i$ die Stichproben indiziert,
* $j$ die experimentellen Einheiten indiziert,
* $n_i$ die Stichprobengrößen sind,
* $X_{ij}$ beobachtbare Zufallsvariablen sind,
* $\mu_i$ feste Erwartungswertparameter der Stichprobenvariablen sind, und
* $\varepsilon_{ij}$ unabhängige normalverteilte nicht-beobachtbare Zufallsvariablen sind.


# \small Zweistichproben-T-Test bei unabhängigen Stichproben unter Annahme identischer Varianzen {.t}
\noindent (3) Testhypothesen, Teststatistik, Test

\small
Wir betrachten die einfache Nullhypothese
\begin{equation}
H_0 : \mu_1 = \mu_2
\Leftrightarrow
\Theta_0 := \{(\mu_1,\mu_2) \in \mathbb{R}^2|\mu_1 = \mu_2\}
\end{equation}
und die zusammengesetzte Alternativhypothese
\begin{equation}
H_1 : \mu_1 \neq \mu_2
\Leftrightarrow
\Theta_1 := \{(\mu_1,\mu_2) \in \mathbb{R}^2|\mu_1 \neq \mu_2\}.
\end{equation}
Weiterhin betrachten wir die \textit{Zweistichproben-T-Teststatistik}
\begin{equation}
T := \sqrt{\frac{n_1n_2}{n_1+n_2}}\left(\frac{\bar{X}_1-\bar{X}_2}{S_{12}}\right)
\end{equation}
wobei für $i = 1,2$
\begin{equation}
\bar{X}_i := \frac{1}{n_i}\sum_{j=1}^{n_i}X_{ij} \mbox{ und }
S_{12} := \sqrt{\frac{\sum_{j=1}^{n_1}(X_{1j}-\bar{X}_1)^2
                     +\sum_{j=1}^{n_2}(X_{2j}-\bar{X}_2)^2}
                     {(n_1-1)+(n_2-1)}}
\end{equation}
die Stichprobenmittelwerte und die \textit{gepoolte Stichprobenstandardabweichung},
respektive, bezeichnen. Schließlich definieren wir den zweiseitigen kritischen
Wert-basierten Test
\begin{equation}
\phi(X) := 1_{\{|T| \ge k\}}.
\end{equation}


# \small Zweistichproben-T-Test bei unabhängigen Stichproben unter Annahme identischer Varianzen {.t}
\setstretch{1.1}
\noindent (4) Analyse der Testgütefunktion

\footnotesize
\begin{theorem}[Testgütefunktion]
\justifying
\normalfont
Es sei $\phi$ der im obigen Modell formulierte Zweistichproben-T-Test. Dann ist
die Testgütefunktion von $\phi$ gegeben durch
\begin{multline}
q_{\phi} : \mathbb{R}^2 \to [0,1],
(\mu_1, \mu_2) \mapsto q_{\phi}(\mu_1, \mu_2)
\\ := 1 - \psi(k;d_{\mu_1,\mu_2},n_1+n_2-2) + \psi(-k;d_{\mu_1,\mu_2},n_1+n_2-2)
\end{multline}
wobei $\psi(\cdot; d_{\mu_1,\mu_2}, n_1+n_2-2)$  die KVF der nichtzentralen
$t$-Verteilung mit Nichtzentralitätsparameter
\begin{equation}
d_{\mu_1,\mu_2} := \sqrt{\frac{n_1n_2}{n_1+n_2}}\frac{\mu_1-\mu_2}{\sigma}
\end{equation}
und Freiheitsgradparameter $n_1+n_2-2$ bezeichnet.
\end{theorem}

Bemerkungen

* $q_{\phi}$ ist eine bivariate reellwertige Funktion.
* $q_{\phi}$ kann alternativ als univariate reellwertige Funktion von $\Delta := \mu_1 - \mu_2$ konzipiert werden.
* Im Vergleich zum Einstichprobenszenario gelten
\begin{equation}
n \hookrightarrow n_1+n_2-2,\quad\quad
\sqrt{n} \hookrightarrow \sqrt{\frac{n_1n_2}{n_1 + n_2}},\quad\quad
\mu - \mu_0  \hookrightarrow \mu_1 - \mu_2
\end{equation}
* Für einen Beweisansatz, siehe @degroot_2012 Seite 591.

# \small Zweistichproben-T-Test bei unabhängigen Stichproben unter Annahme identischer Varianzen {.t}
\setstretch{1.1}
\noindent (4) Analyse der Testgütefunktion
\vfill

\center Testgütefunktion $q_\phi$ für $\sigma^2 = 9, n_1 = 12, n_2 = 12$.
\vspace{2mm}
\begin{equation*}
q_{\phi}(\mu) = \mathbb{P}_\mu(\phi = 1)
\end{equation*}
\vspace{1mm}

```{r, eval = F, echo = F}

# Abbildungsparameter
graphics.off()
fdir        =  file.path(getwd(), "14_Abbildungen")
dev.new()

par(
family      = "sans",
mfcol       = c(1,3),
pty         = "m",
bty         = "l",
lwd         = 1,
las         = 1,
xaxs        = "i",
yaxs        = "i",
font.main   = 1,
cex         = .4,
cex.main    = 2)

# Visualisierung
k_all        = c(1,2,3)                                                          # kritische Werte
n_1         = 12                                                                 # Stichprobengröße n_1
n_2         = 12                                                                 # Stichprobengröße n_2
sigsqr      = 9                                                                  # Varianzparameter
mu_min      = -5                                                                 # Minimum   \mu_1,\mu_2
mu_max      = 5                                                                  # Minimum   \mu_1,\mu_2
mu_res      = 2e1                                                                # Auflösung \mu_1,\mu_2
mu_1        = seq(mu_min, mu_max, len = mu_res)                                  # \mu_1
mu_2        = seq(mu_min, mu_max, len = mu_res)                                  # \mu_2


# kritischer Wert Iterationen
for(k in k_all){
  q_phi       = matrix(rep(NaN, mu_res*mu_res), nrow = mu_res)                   # q_\phi Array
  for(i in seq_along(mu_1)){                                                     # \mu_1 Iterationen
    for(j in seq_along(mu_2)){                                                   # \mu_2 Iterationen
      d           = (mu_1[i] - mu_2[j])/sqrt(sigsqr)                             # Nichtzentralitätsparameter d_{\mu_1,\mu_2}
      df          = n_1 + n_2 - 2                                                # Freiheitsgradparameter
      q_phi[i,j]  = 1-pt(k,df,d)+pt(-k,df,d)                                     # q_\phi
    }
  }
  persp(
  mu_1,
  mu_2,
  q_phi,
  d           = 1,
  col         = "gray90",
  theta       = 20,
  phi         = 30,
  lwd         = .5,
  scale       = T,
  ticktype    = "detailed",
  r           = 1.5,
  zlim        = c(0,1),
  main        = paste("k =", k))
}
dev.copy2pdf(
file        = file.path(fdir, "wtfi_14_t_test_q_phi_twosample_varequal.pdf"),
width       = 6,
height      = 2)

```

```{r, echo = FALSE, out.width = "100%"}
knitr::include_graphics("14_Abbildungen/wtfi_14_t_test_q_phi_twosample_varequal.pdf")
```
\vfill

# \small Zweistichproben-T-Test bei unabhängigen Stichproben unter Annahme identischer Varianzen {.t}
\noindent (5) Testumfangkontrolle
\vfill
\small
\begin{theorem}[Testumfangkontrolle]
\justifying
\normalfont
$\phi$ sei der im obigen Testszenario definierte Test. Dann ist $\phi$ ein
Level-$\alpha_0$-Test mit Testumfang $\alpha_0$, wenn der kritische Wert
definiert ist durch
\begin{equation}
k_{\alpha_0} := \psi^{-1}\left(1 - \frac{\alpha_0}{2}; n_1 + n_2 - 2 \right),
\end{equation}
wobei $\psi^{-1}(\cdot; n_1+n_2-2)$ die inverse KVF der $t$-Verteilung mit
$n_1+n_2-2$ Freiheitsgraden ist.
\end{theorem}

Bemerkungen

* Das Resultat folgt in Analogie zum Einstichproben-T-Test.
* Im Vergleich zum Einstichproben-T-Testfall gilt lediglich
\begin{equation}
n - 1 \hookrightarrow n_1 + n_2 - 2.
\end{equation}
\vfill

# \small Zweistichproben-T-Test bei unabhängigen Stichproben unter Annahme identischer Varianzen {.t}
\noindent (5) Testumfangkontrolle

\small
Praktisches Vorgehen
\footnotesize

\begin{itemize}
\itemsep1mm
\justifying

\item Man nimmt an, dass zwei vorliegende Datensätze
$x_{11},...,x_{1n_1}$ und $x_{21},...,x_{2n_2}$ Realisationen von $X_{11},...
,X_{1n_1} \sim N(\mu_1,\sigma^2)$ und $X_{21},...,X_{2n_2} \sim N(\mu_2,\sigma^2)$
mit unbekannten Parametern $\mu_1,\mu_2,\sigma^2$ sind.

\item Man möchte entscheiden, ob eher $H_0 : \mu_1 = \mu_2$ oder
$H_1: \mu_1 \neq \mu_2$ zutrifft.

\item Man wählt ein Signifikanzniveau $\alpha_0$ und bestimmt den zugehörigen
Freiheitsgradparameter-abhängigen kritischen Wert $k_{\alpha_0}$. Zum Beispiel
gilt bei Wahl von $\alpha_0  := 0.05$ und $n_1=12, n_2 = 12$, also
Freiheitsgradparameter 12+12-2 = 22, dass $k_{0.05}=\psi^{-1}(1-0.05/2; 22)
\approx 2.07$ ist.

\item Anhand von $n_1,n_2,\bar{x}_1,\bar{x}_2$ und der gepoolten
Stichprobenstandardabweichung $s_{12}$ berechnet man die Realisierung der
Zweistichproben-T-Teststatistik
\begin{equation}
t := \sqrt{\frac{n_1n_2}{n_1+n_2}}\left(\frac{\bar{x}_1-\bar{x}_2}{s_{12}}\right)
\end{equation}

\item Wenn $t$ größer-gleich $k_{\alpha_0}$ ist oder wenn $t$ kleiner-
gleich $-k_{\alpha_0}$ ist, lehnt man die Nullhypothese ab, andernfalls lehnt
man sie nicht ab.

\item Die oben entwickelte Theorie des Zweistichproben-T-Tests garantiert dann,
dass man in höchstens $\alpha_0 \cdot 100$ von $100$ Fällen die Nullhypothese
fälschlicherweise ablehnt.
\end{itemize}



# \small Zweistichproben-T-Test bei unabhängigen Stichproben unter Annahme identischer Varianzen {.t}
(6) p-Werte

\small
Bestimmung des p-Wertes
\vspace{2mm}

* \itemsep2mm \justifying \small Per Definition ist der p-Wert das kleinste
Signifikanzlevel $\alpha_0$, bei welchem man die Nullhypothese basierend auf
einem vorliegendem Wert der Teststatistik ablehnen würde.

* Bei $T = t$ würde $H_0$ für jedes $\alpha_0$ mit $|t|\ge\psi^{-1}(1-\alpha_0/2; n_1 + n_2-2)$
abgelehnt werden. Für diese $\alpha_0$ gilt, wie bereits mehrfach gezeigt,
\begin{equation}
\alpha_0 \ge 2 \mathbb{P}(T \ge |t|).
\end{equation}

* Das kleinste $\alpha_0 \in [0,1]$ mit $\alpha_0 \ge 2 \mathbb{P}(T \ge |t|)$ ist
dann $\alpha_0 = 2 \mathbb{P}(T \ge |t|)$, also folgt
\begin{equation}
\mbox{p-Wert} =  2 \mathbb{P}(T \ge |t|) = 2(1 - \psi(|t|;n_1 + n_2 - 2)).
\end{equation}

* Im Vergleich zum Einstichprobenfall gilt lediglich $n \hookrightarrow n_1 + n_2 -2$.


# \small Zweistichproben-T-Test bei unabhängigen Stichproben unter Annahme identischer Varianzen {.t}
(7) Analyse der Powerfunktion

\small
Wir betrachten die Testgütefunktion
\begin{multline}
q_{\phi} : \mathbb{R}^2 \to [0,1],
(\mu_1, \mu_2) \mapsto q_{\phi}(\mu_1, \mu_2)
\\ := 1 - \psi(k;d_{\mu_1,\mu_2},n_1+n_2-2) + \psi(-k;d_{\mu_1,\mu_2},n_1+n_2-2)
\end{multline}
als Funktion des Nichtzentralitätsparameters und der Summe der Stichprobenumfänge
$n := n_1 + n_2$ bei kontrolliertem Testumfang, also für $k_{\alpha_0} :=
\psi^{-1}(1-\alpha_0/2;n-2)$ mit festem $\alpha_0$.

Es ergibt sich die multivariate reellwertige Funktion
\begin{multline}
\pi : \mathbb{R} \times \mathbb{N}^2 \to [0,1],
(d,n) \mapsto
\\ \pi(d,n) := 1-\psi(k_{\alpha_0};d,n-2)+\psi(-k_{\alpha_0}; d,n-2)
\end{multline}
Bei festgelegten $\alpha_0$ hängt die Powerfunktion des zweiseitigen T-Tests
mit einfacher Nullhypothese also vom unbekannten Wert $d$ und von der Summe der
Stichprobengrößen $n$ ab. De-facto handelt es sich also um die gleiche
Powerfunktion wie beim zweiseitigen Einstichproben-T-Test mit dem einzigen
Unterschied, dass für den Freiheitsgradparameter $n-2$ anstelle von $n-1$ gilt.
Wir verzichten auf eine erneute Visualisierung.
\vfill

# \small Zweistichproben-T-Test bei unabhängigen Stichproben unter Annahme identischer Varianzen {.t}

(7) Analyse der Powerfunktion

\setstretch{1.3}
\small
Praktisches Vorgehen

Mit größerem $n = n_1 + n_2$ steigt die Powerfunktion des Tests an

* Ein großer Stichprobenumfang ist besser als ein kleiner Stichprobenumfang.

* Kosten für die Erhöhung des Stichprobenumfangs werden aber nicht berücksichtigt.

* \justifying Ungleichgewichte zwischen $n_1$ und $n_2$ werden durch die Tatsache ausglichen,
dass Datenpunkte einer Stichproben auch zur Varianzschätzung in der anderen
Stichprobe beitragen, da eine identische Varianz vorausgesetzt wurde.

\vspace{1mm}

Die Powerfunktion hängt vom wahren, aber unbekannten, Parameterwert $d = \sqrt{n}(\mu_1 - \mu_0)/\sigma$ ab.

$\Rightarrow$ Wenn man $d$ schon kennen würde, würde man den Test nicht durchführen.

\vspace{1mm}

Generell wird folgendes Vorgehen favorisiert

* Man legt das Signifikanzniveau $\alpha_0$ fest und evaluiert die Powerfunktion.

* Man wählt einen Mindestparameterwert $d^*$, den man mit $\pi(d,n) = \beta$ detektieren möchte.

* Ein konventioneller Wert ist $\beta = 0.8$.

* Man liest die für $\pi(d = d^*,n) = \beta$ nötige Stichprobengröße $n$ ab.


# \small Zweistichproben-T-Test bei unabhängigen Stichproben unter Annahme identischer Varianzen {.t}

(7) Analyse der Powerfunktion

\small
Praktisches Vorgehen
\vspace{5mm}

```{r, echo = F}

# Szenariospezifikation
sigma     = 1                                                       # bekanntes \sigma
mu_0      = 0                                                       # einfache Nullhypothese
n_min     = 3                                                       # n = n_1 + n_2 Minimum
n_max     = 20                                                      # n = n_1 + n_2 Maximum
n_res     = 1e2                                                     # n Auflösung
n         = seq(n_min,n_max, len = n_res)                           # n Raum
alpha_0   = 0.05                                                    # Signifikanzniveau

# Poweranalyse
d_fix     = 3                                                       # fester Nichtzentralitätsparameter
k_alpha_0 = qt(1-alpha_0/2, n-2)                                    # kritische Werte
pi_n      = 1-pt(k_alpha_0, n-2, d_fix)+pt(-k_alpha_0, n-2, d_fix)  # Powerfunktion
beta      = 0.8                                                     # gewünschter Powerfunktionswert
i         = 1                                                       # Indexinitialisierung
n_min     = NaN                                                     # minimales n Initialisierung
while(pi_n[i] < beta){                                              # Solange \pi(d*,n) < \beta
    n_min = n[i]                                                    # Aufnahme des minimal nötigen ns
    i     = i + 1                                                   # und Erhöhung des Indexes
}
# cat("Minimal nötiges n =", ceiling(n_min))                        # Ausgabe

```

```{r, echo = F, eval = F}
par(
family      = "sans",
mfcol       = c(1,1),
pty         = "m",
bty         = "l",
lwd         = 1,
las         = 1,
xaxs        = "i",
yaxs        = "i",
font.main   = 1,
cex         = 1.2,
cex.main    = 1.2)

plot(
n,
pi_n,
type        = "l",
lwd         = 2,
ylab        = " ",
ylim        = c(0,1),
xlab        = TeX("$n$"),
main        = TeX("$\\pi(d = 3,n)\\, für \\,\\alpha_0 = 0.05"))

lines(
3,
beta,
type        = "p",
pch         = 16,
xpd         = TRUE)

lines(
n_min,
0,
type        = "p",
pch         = 16,
xpd         = TRUE)

arrows(
x0          = min(n),
y0          = beta,
x1          = n_min,
y1          = beta,
col         = "darkorange",
angle       = 20,
length      = .1)

arrows(
x0          = n_min,
y0          = beta,
x1          = n_min,
y1          = 0,
col         = "darkorange",
angle       = 20,
length      = .1)

text(3.5 , 0.85 , TeX("$\\beta$") ,xpd = TRUE, cex = 1.2)
text(18  ,.05   , TeX("$n_{opt}") ,xpd = TRUE, cex = 1.2)

dev.copy2pdf(
file        = file.path(fdir, "wtfi_14_t_test_stichprobengrößen.pdf"),
width       = 8,
height      = 5)

```

```{r, echo = FALSE, out.width = "80%"}
knitr::include_graphics("14_Abbildungen/wtfi_14_t_test_stichprobengrößen.pdf")
```


# Zweistichproben-T-Test bei unabhängigen Stichproben
\setstretch{2}

Modellszenarien

* Annahme identischer Varianzen
* **Annahme eines bekannten Varianzverhältnisses**
* Keine Annahmen zu Varianzen

Hypothesenszenarien

* $H_0:\mu_1   = \mu_2$ und $H_1:\mu_1 \neq \mu_2$
* $H_0:\mu_1 \le \mu_2$ und $H_1:\mu_1    > \mu_2$
* $H_0:\mu_1 \ge \mu_2$ und $H_1:\mu_1    < \mu_2$


# \small Zweistichproben-T-Test bei unabhängigen Stichproben bei bekanntem Varianzverhältnis {.t}
Überblick

\small
* \justifying Die obige Theorie kann für eine bekannte Konstante $k>0$ auf den Fall des
statistischen Modells
\begin{equation}
X_{11},...,X_{1n_1} \sim N(\mu_1,\sigma^2_1) \mbox{ und }
X_{21},...,X_{2n_2} \sim N(\mu_2,k\sigma^2_1)
\end{equation}
erweitert werden.
\vspace{4mm}


* In diesem Fall hat die Zweistichproben-T-Teststatistik definiert durch
(cf. @degroot_2012, S. 593)
\begin{equation}
T := \frac{(n_1+n_2-2)^{\frac{1}{2}}\left(\bar{X}_1 - \bar{X}_2\right)}
          {\left(\frac{1}{n_1} + \frac{k}{n_2}\right)^{\frac{1}{2}}\left(S_1^2 + \frac{S_2^2}{k}\right)^{\frac{1}{2}}}
\end{equation}
mit den jeweiligen Stichprobenmittelwerten $\bar{X}_1$ und $\bar{X}_2$, sowie
den Stichprobenvarianzen $S_1^2$ und $S_2^2$ eine nichtzentrale $t$-Verteilung
mit Freiheitsgradparameter $n_1+n_2-2$.
\vspace{4mm}


* Wir wollen diesen Fall hier nicht weiter vertiefen.

# Zweistichproben-T-Test bei unabhängigen Stichproben
\setstretch{2}

Modellszenarien

* Annahme identischer Varianzen
* Annahme eines bekannten Varianzverhältnisses
* **Keine Annahmen zu Varianzen**

Hypothesenszenarien

* $H_0:\mu_1   = \mu_2$ und $H_1:\mu_1 \neq \mu_2$
* $H_0:\mu_1 \le \mu_2$ und $H_1:\mu_1    > \mu_2$
* $H_0:\mu_1 \ge \mu_2$ und $H_1:\mu_1    < \mu_2$

# \small Zweistichproben-T-Test bei unabhängigen Stichproben ohne Varianzannahmen {.t}

Überblick

\footnotesize

* \justifying Wenn im Rahmen des statistischen Modells
\begin{equation}
X_{11},...,X_{1n_1} \sim N(\mu_1,\sigma^2_1) \mbox{ und }
X_{21},...,X_{2n_2} \sim N(\mu_2,\sigma^2_2)
\end{equation}
alle vier Parameter $\mu_1,\mu_2, \sigma^2_1, \sigma_2^2$ sowie das Varianzverhältnis
$k = \sigma_2^2/\sigma_1^2$ als unbekannt vorausgesetzt werden, **kann obige Theorie
\underline{nicht} auf diesen Fall angewendet werden**. Das Problem der statistischen
Inferenz wird in diesem Fall als \textbf{Behrens-Fisher Problem} bezeichnet.

* Eine populäre Methode zur statistischen Inferenz im Behrens-Fisher Problem
geht auf @welch_1938 zurück. Diese Methode bedient sich der Teststatistik
\begin{equation}
\tiny
\tilde{T} := \left(\bar{X}_1-\bar{X}_2\right)\bigg/ \left(\left(\frac{S_1^2}{n_1(n_1 - 1)}+\frac{S_2^2}{n_2(n_2 - 1)}  \right)^{1/2}\right),
\end{equation}
wobei $S_1^2$ und $S_2^2$ die Stichprobenvarianzen bezeichnen. Die Verteilung
von $\tilde{T}$ ist unbekannt, kann aber mit einer (nichtzentralen)
$t$-Verteilung approximiert werden.

* Der Freiheitsgradparameter dieser approximierenden (nichtzentralen) $t$-Verteilung
ergibt sich dabei mithilfe der beobachteten Werte $s_1^2$ und $s_2^2$ von $S_1^2$ und $S_2^2$,
respektive, zu
\begin{equation}
\tiny
\nu = \left(\frac{s_1^2}{n_1(n_1-1)}+\frac{s_2^2}{n_2(n_2 - 1)}\right) \bigg/
      \left(\frac{1}{(n_1 - 1)^3}\left(\frac{s_1^2}{n_1}\right)^2 + \frac{1}{(n_2 - 1)^3}\left(\frac{s_2^2}{n_2}\right)^2 \right).
\end{equation}

* Wir wollen die theoretische Begründung dieses Vorgehens hier nicht weiter vertiefen.


#  
\setstretch{2.5}
\large
\vfill
Zweistichproben-T-Tests bei unabhängigen Stichproben

**Zweistichproben-T-Tests bei abhängigen Stichproben** 

Anwendungsbeispiele

Selbstkontrollfragen
\vfill

# Zweistichproben-T-Test bei abhängigen Stichproben

\normalsize
Anwendungsszenario
\small
\begin{itemize}
\item \textbf{Zwei Messungen an einer Gruppe experimenteller Einheiten}.
\item Annahme ``abhängiger'' Normalverteilungen $N(\mu_1,\sigma_1^2)$ und $N(\mu_2,\sigma_2^2)$
\item $\mu_1,\mu_2,\sigma_1^2,\sigma_2^2$ unbekannt.
\item Quantifizieren der Unsicherheit beim inferentiellen Vergleich von $\mu_1$ mit $\mu_2$ beabsichtigt.
\end{itemize}

\normalsize
Anwendungsbeispielee
\small

\begin{itemize}
\item BDI Datenanalyse bei Psychotherapie
\begin{itemize}
\item[$\circ$] \small Erste Messung vor Psychotherapie, zweite Messung nach  Psychotherapie
\item[$\circ$] \small $\mu_1 \neq \mu_2 ? \Leftrightarrow$ Hat Psychotherapie einen Einfluss auf BDI?
\end{itemize}
\item Reaktionszeitdatenanalyse zur visuellen Wahrnehmung
\begin{itemize}
\item[$\circ$] \small Bedingung 1: Hoher Kontrast, Bedingung 2: Niedriger Kontrast
\item[$\circ$] \small $\mu_1 \neq \mu_2 ? \Leftrightarrow$ Hat Stimuluskontrast Einfluss auf perzeptuelle Entscheidungen?
\end{itemize}
\end{itemize}


# Zweistichproben-T-Test bei abhängigen Stichproben {.t}
\justifying
(1) Statistisches Modell in generativer Form

\small
\setstretch{1.2}
Es sei
\begin{equation}
X_{ij} = \mu_i + \beta_j + \varepsilon_{ij}
\mbox{ mit } \beta_j \sim N(0,\sigma_\beta^2)
\mbox{ und } \varepsilon_{ij} \sim N(0,\sigma^2_\varepsilon)
\mbox{ für } i = 1,2, j = 1,...,n,
\end{equation}
wobei

* $i$ die Messungen (abhängige Stichproben) und $j$ die experimentellen Einheiten indizieren,
* $X_{ij}$ beobachtbare Zufallsvariablen sind,
* $\mu_i$ feste Erwartungswertparameter der Messungen sind,
* $\beta_j$ unabhängige normalverteilte nicht-beobachtbare Zufallsvariablen sind, und
* $\varepsilon_{ij}$ unabhängige normalverteilte nicht-beobachtbare Zufallsvariablen sind.

Alle $\beta_i$ und $\varepsilon_{ij}$ werden als voneinander unabhängig
vorausgesetzt.


* Die $X_{ij}$ modellieren Datenpunkte,
* die $\mu_i$ modellieren feste Messungs-abhängige Effekte,
* die $\beta_j$ modellieren zufällige experimentelle Einheits-abhängige Effekte,
* die $\varepsilon_{ij}$ modellieren (wie immer) zufällige Störeffekte.

Lineare Modelle mit festen Effekten (fixed effects) und zufälligen Effekten
(random effects) heißen gemischte Modelle (linear mixed models).

# Zweistichproben-T-Test bei abhängigen Stichproben {.t}
\justifying

(1) Statistisches Modell in generativer Form

\small
Datengeneration
\vspace{1mm}
\setstretch{1}
\tiny

```{r, echo = T}

# Modellspezifikation
n           = 12                                    # Stichprobengröße
mu          = c(10,12)                              # feste Effektparameter      \mu_1, mu_2
sigsqr_beta = 5                                     # zufälliger Effektparameter \sigsgqr_\beta
sigsqr_veps = 1                                     # Störvariablenparameter     \sigsqr_\varepsilon

# Datengeneration
X           = data.frame(                           # Datensatzinitialisierung
                mu_1        = rep(NaN,n),           # \mu_1
                mu_2        = rep(NaN,n),           # \mu_2
                beta_j      = rep(NaN,n),           # \beta_j,
                veps_1_j    = rep(NaN,n),           # \varepsilon_{1j},
                veps_2_j    = rep(NaN,n),           # \varepsilon_{2j},
                X_1j        = rep(NaN,n),           # X_{1j}, j = 1,...,n
                X_2j        = rep(NaN,n))           # X_{2j}, j = 1,...,n

# Iterationen über experimentelle Einheiten
for(j in 1:n){
    beta_j          = rnorm(1,0,sqrt(sigsqr_beta))  # zufälliger experimenteller Einheits-abhängiger Effekt
    X[[j,3]]        = beta_j                        # \beta_j

     # Iterationen über Messungen
    for(i in 1:2){
        eps_ij      = rnorm(1,0,sqrt(sigsqr_veps))  # zufälliger Störvariablenwert
        X[[j,i]]    = mu[i]                         # \mu_i
        X[[j,3+i]]  = eps_ij                        # \varepsilon_{ij}
        X[[j,5+i]]  = mu[i] + beta_j + eps_ij       # X_{ij} = \mu_i + \beta_j + \varepsilon_{ij}
    }
}

```


# Zweistichproben-T-Test bei abhängigen Stichproben

\justifying

(1) Statistisches Modell in generativer Form

\small
Datenbeispiel
\vspace{2mm}

\footnotesize
```{r, echo = F}
knitr::kable(X)
```

# Zweistichproben-T-Test bei abhängigen Stichproben

\justifying

(1) Statistisches Modell in generativer Form

\small
Datenbeispiel
\vspace{2mm}

```{r, echo = F, eval = F}
# circumvent RMarkdown Beamer Interaction
graphics.off()
fdir        =  file.path(getwd(), "14_Abbildungen")

# figure parameters
par(
family      = "sans",
mfcol       = c(1,1),
mgp         = c(2,1,0),
pty         = "m",
bty         = "l",
lwd         = 1,
las         = 1,
xaxs        = "i",
yaxs        = "i",
font.main   = 1,
cex         = 1.2,
cex.main    = 1)

# X_{1j}, X_{2j}
M = rbind(matrix(X$X_1j, ncol = n), matrix(X$X_2j, ncol = n))
matplot(
M,
type    = "b",
pch     = 21,
bg      = "gray80",
col     = "black",
bty     = "L",
xlim    = c(0.5,2.5),
ylim    = c(4, 18),
ylab    = "",
lty     = 1,
xaxt    = "n",
cex     = 1.1)
text(
c(1,2),
c(2,2),
c(TeX("$X_{1j}$"), TeX("X_{2j}")),
xpd     = TRUE,
cex     = 1.3)

dev.copy2pdf(
file        = file.path(fdir, "wtfi_14_t_test_abhängige_stichproben.pdf"),
width       = 5,
height      = 5)

```

```{r, echo = FALSE, out.width = "55%"}
knitr::include_graphics("14_Abbildungen/wtfi_14_t_test_abhängige_stichproben.pdf")
```

# Zweistichproben-T-Test bei abhängigen Stichproben {.t}
\justifying
(1) Statistisches Modell in generativer Form

\small

\begin{theorem}[Verteilung der Differenzvariablen]
\normalfont
\justifying
Das oben formulierte statistische Modell eines Zweistichproben-T-Test bei
abhängigen Stichproben sei gegeben und für $j = 1,...,n$ sei $X_j := X_{j2} - X_{j1}$
die Differenzvariable der Zufallsvariablen $X_{j1}$ und $X_{j2}$. Dann gilt
\begin{equation}
X_1,...,X_n \sim N(\mu, \sigma^2) \mbox{ mit } \mu := \mu_2 - \mu_1 \mbox{ und } \sigma^2 := 2\sigma^2_\varepsilon.
\end{equation}
\end{theorem}

\footnotesize
Bemerkungen
\begin{itemize}
\justifying
\item Hinsichtlich der Differenzvariablen $X_j$ handelt es sich um das
Einstichproben-T-Testszenario.

\item Die Hypothesen des Zweistichproben-T-Test bei abhängigen Stichproben hinsichtlich
der Erwartungswertparameter $\mu_1$ und $\mu_2$ übertragen sich wie folgt auf
die Einstichproben-T-Test Hypothesen in bezug auf den Erwartungswertparameter $\mu$:
\end{itemize}
\vspace{1mm}
\begin{center}
\begin{tabular}{ccccc}
\multicolumn{2}{c}{Zweistichproben-T-Test}
&&
\multicolumn{2}{c}{Einstichproben-T-Test}
\\
  $H_0:\mu_1  =   \mu_2$
& $H_1:\mu_1 \neq \mu_2$
& $\Rightarrow$
& $H_0:\mu    =   0$
& $H_1:\mu   \neq 0$
\\
  $H_0:\mu_1 \le  \mu_2$
& $H_1:\mu_1  >   \mu_2$
& $\Rightarrow$
& $H_0:\mu    \ge 0$
& $H_1:\mu     <  0$
\\
  $H_0:\mu_1 \ge \mu_2$
& $H_1:\mu_1  <  \mu_2$
& $\Rightarrow$
& $H_0:\mu   \le  0$
& $H_1:\mu    >   0$
\end{tabular}
\end{center}

# Zweistichproben-T-Test bei abhängigen Stichproben {.t}
\justifying
(1) Statistisches Modell in generativer Form

\setstretch{1.2}
\footnotesize
\underline{Beweis}

Wir halten zunächst fest, dass
\begin{align}
\begin{split}
X_j
& = X_{2j} - X_{1j}                                                           \\
& = \mu_2 + \beta_j + \varepsilon_{2j} - \mu_1 - \beta_j - \varepsilon_{1j}   \\
& = \mu_2 - \mu_1   + \varepsilon_{2j} - \varepsilon_{1j}                     \\
& =  \mu +  \varepsilon_{j},
\end{split}
\end{align}
wobei wir $\mu := \mu_2 - \mu_1$ und $\varepsilon_j := \varepsilon_{2j} - \varepsilon_{1j}$
definiert haben.

In Generalisierung des Summentransformationtheorems für
normalverteilte Zufallsvariablen (cf. (6) Transformationen der Normalverteilung)
halten wir weiterhin fest, dass für unabhängige Zufallsvariablen $X_i
\sim N(\mu_i,\sigma^2_i), i = 1,...,n$ und Koeffizienten $a_i, i = 1,...,n$ gilt,
dass
\begin{equation}
\sum_{i=1}^n X_i \sim N\left(\sum_{i=1}^n \mu_i, \sum_{i=1}^n a_i^2 \sigma_i^2\right)
\end{equation}

Mit $a_1 := 1$ und $a_2 := -1$ folgt dann aus $\varepsilon_{ij} \sim N(0,\sigma_\varepsilon),
i = 1,2$ direkt, dass
\begin{equation}
\varepsilon_{j} \sim N\left(0,2\sigma_{\varepsilon}^2\right)
\end{equation}

Mit der Definition $\sigma^2 := 2\sigma_{\varepsilon}^2$ und dem Transformationstheorem
für normalverteilte Zufallsvariablen bei linear-affiner Transformation folgt das
Resultat dann direkt.

$\hfill\Box$

# Zweistichproben-T-Test bei abhängigen Stichproben {.t}
\justifying
(1) Statistisches Modell in generativer Form

\small Visualisierung des Zweistichproben-T-Test Theorems

\vspace{1cm}

\center
$n = 12, \mu_1 = 10, \mu_2 = 12, \sigma_{\beta}^2 = 5, \sigma^2_{\varepsilon} = 1$

```{r, echo = F, eval = F}

# figure parameters
fdir        =  file.path(getwd(), "14_Abbildungen")
par(
family      = "sans",
mfcol       = c(1,3),
pty         = "m",
bty         = "l",
lwd         = 1,
las         = 1,
mgp         = c(2,1,0),
xaxs        = "i",
yaxs        = "i",
font.main   = 1,
cex.main    = 1.2)

# Simulation parameters
n           = 12                                                                 # Stichprobengröße
mu          = c(10,12)                                                           # feste Effektparameter      \mu_1, mu_2
sigsqr_beta = 5                                                                  # zufälliger Effektparameter \sigsgqr_\beta
sigsqr_veps = 1                                                                  # Störvariablenparameter     \sigsqr_\varepsilon
nsim        = 5e1                                                                # Anzahl Simulationen
X_1         = matrix(rep(NaN,n*nsim),nrow = n)                                   # X_1j Array
X_2         = matrix(rep(NaN,n*nsim),nrow = n)                                   # X_2j Array
X           = matrix(rep(NaN,n*nsim),nrow = n)                                   # X_j = X_2j - X_1j Array

# Iterationen über Simulationen
for(s in 1:nsim){

    # Iterationen über experimentelle Einheiten
  for(j in 1:n){
      beta_j    = rnorm(1,0,sqrt(sigsqr_beta))                                   # zufälliger experimenteller Einheits-abhängiger Effekt
      X_1[j,s]  = mu[1] + beta_j + rnorm(1,0, sqrt(sigsqr_veps))                 # X_{1j} = \mu_1 + \beta_j + \varepsilon_{1j}
      X_2[j,s]  = mu[2] + beta_j + rnorm(1,0, sqrt(sigsqr_veps))                 # X_{2j} = \mu_2 + \beta_j + \varepsilon_{2j}
      X[j,s]    = X_2[j,s] - X_1[j,s]                                            # X_j = X_{2j} - X_{1j}
  }
}

# Histograms of X_1 and X_2
hist(
as.vector(X_1),
breaks      = 20,
col         = "gray90",
prob        = TRUE,
ylim        = c(0,.25),
xlim        = c(0,25),
xlab        = TeX("$x_{1j}$"),
ylab        =  "",
main        = TeX("$X_{1j}$"))
hist(
as.vector(X_2),
breaks      = 20,
col         = "gray90",
prob        = TRUE,
ylim        = c(0,.25),
xlim        = c(0,25),
xlab        = TeX("$x_{2j}$"),
ylab        =  "",
main        = TeX("$X_{2j}$"))


# Histogramm und Density of X_j
x_j_min     = -10                                                                # minimum x-value
x_j_max     = 10                                                                 # maximum x-value
x_j_res     = 1e3                                                                # x-space resolution
x_j         = seq(x_j_min, x_j_max, len = x_j_res)                               # x-space
p_X_j       = dnorm(x_j, mu[2] - mu[1], sqrt(2*sigsqr_veps))                     # X_j \sim N(\mu,\sigma^2)

hist(
as.vector(X),
breaks      = 20,
col         = "gray90",
prob        = TRUE,
xlim        = c(-10,10),
xlab        = TeX("$x_{j}$"),
ylim        =  c(0,.35),
ylab        =  "",
main        = TeX("$X_j$"))
lines(
x_j,
p_X_j,
lwd         = 2,
col         = "darkorange")

dev.copy2pdf(
file        = file.path(fdir, "wtfi_14_t_test_abhängige_stichproben_theorem.pdf"),
width       = 8,
height      = 3)

```

```{r, echo = FALSE, out.width = "100%"}
knitr::include_graphics("14_Abbildungen/wtfi_14_t_test_abhängige_stichproben_theorem.pdf")
```
\vfill


# Zweistichproben-T-Test bei abhängigen Stichproben
\justifying

(3) Praktisches Vorgehen

\small
\begin{itemize}
\itemsep3mm
\justifying

\item Man nimmt an, dass ein vorliegender Datensatz von Messpaaren $x_{11}$ und $x_{21}$,
$x_{12}$ und $x_{22}$, ..., $x_{1n}$ und $x_{2n}$ eine Realisation von $X_{ij},
i = 1,2, j = 1,...,n$ wie in der Beschreibung des generativen Modells definiert ist.

\item Man bildet die Differenzwerte $x_1 = x_{21} - x_{11}$,
$x_{2} = x_{22} - x_{12}$, ..., $x_{n} = x_{2n} - x_{1n}$.

\item[$\Rightarrow$] Man nutzt die Theorie des Einstichproben-T-Tests zum Testen der
Hypothesen des Zweistichproben-T-Tests mit abhängigen Stichproben.

\end{itemize}

\vfill

# Zweistichproben-T-Test bei abhängigen Stichproben

(3) Praktisches Vorgehen

\small
Datenbeispiel
\vspace{1mm}

```{r, echo = F}

# Modellspezifikation
n           = 12                                    # Stichprobengröße
mu          = c(10,12)                              # feste Effektparameter      \mu_1, mu_2
sigsqr_beta = 5                                     # zufälliger Effektparameter \sigsgqr_\beta
sigsqr_veps = 1                                     # Störvariablenparameter     \sigsqr_\varepsilon

# Datengeneration
X           = data.frame(                           # Datensatzinitialisierung
                mu_1        = rep(NaN,n),           # \mu_1
                mu_2        = rep(NaN,n),           # \mu_2
                beta_j      = rep(NaN,n),           # \beta_j,
                veps_1_j    = rep(NaN,n),           # \varepsilon_{1j},
                veps_2_j    = rep(NaN,n),           # \varepsilon_{2j},
                X_1j        = rep(NaN,n),           # X_{1j}, j = 1,...,n
                X_2j        = rep(NaN,n),           # X_{2j}, j = 1,...,n
                X_j         = rep(NaN,n))           # X_j = X_{2j} - X_{1j}, j = 1,...,n

# Iterationen über experimentelle Einheiten
for(j in 1:n){
    beta_j          = rnorm(1,0,sqrt(sigsqr_beta))  # zufälliger experimenteller Einheits-abhängiger Effekt
    X[[j,3]]        = beta_j                        # \beta_j

     # Iterationen über Messungen
    for(i in 1:2){
        eps_ij      = rnorm(1,0,sqrt(sigsqr_veps))  # zufälliger Störvariablenwert
        X[[j,i]]    = mu[i]                         # \mu_i
        X[[j,3+i]]  = eps_ij                        # \varepsilon_{ij}
        X[[j,5+i]]  = mu[i] + beta_j + eps_ij       # X_{ij} = \mu_i + \beta_j + \varepsilon_{ij}
        X[[j,8]]    = X$X_2j[j] - X$X_1j[j]         # X_j    = X_2j - X_1j
    }
}

```

\footnotesize
```{r, echo = F}
knitr::kable(X)
```

\normalsize
\center $\Rightarrow$ Einstichproben-T-Test basierend auf $X_j, j = 1,...,n$

# Zweistichproben-T-Test bei abhängigen Stichproben

(3) Praktisches Vorgehen

\small
Datenbeispiel

\vfill
```{r, echo = F, eval = F}

# figure parameters
fdir        =  file.path(getwd(), "14_Abbildungen")
par(
family      = "sans",
mfcol       = c(1,2),
mgp         = c(2,1,0),
pty         = "m",
bty         = "l",
lwd         = 1,
las         = 1,
xaxs        = "i",
yaxs        = "i",
font.main   = 1,
cex         = .8,
cex.main    = 1)

# X_{1j}, X_{2j}
M = rbind(matrix(X$X_1j, ncol = n), matrix(X$X_2j, ncol = n))
matplot(
M,
type    = "b",
pch     = 21,
bg      = "gray80",
col     = "black",
bty     = "L",
xlim    = c(0.5,2.5),
ylim    = c(2,21),
ylab    = "",
lty     = 1,
xaxt    = "n",
cex     = .8,
main    = "Rohdatenwerte")

# X_j
plot(
rep(1,n),
X$X_j,
type    = "p",
pch     = 21,
bg      = "gray80",
col     = "black",
bty     = "L",
xlim    = c(0.5,1.5),
xlab    = "",
ylab    = "",
lty     = 1,
xaxt    = "n",
cex     = .8,
ylim    = c(-2,5),
xpd     = TRUE,
main    = "Differenzwerte")

dev.copy2pdf(
file        = file.path(fdir, "wtfi_14_t_test_abhängige_stichproben_beispiel.pdf"),
width       = 6,
height      = 3)

```

```{r, echo = FALSE, out.width = "90%"}
knitr::include_graphics("14_Abbildungen/wtfi_14_t_test_abhängige_stichproben_beispiel.pdf")
```
\center $\Rightarrow$ Einstichproben-T-Test basierend auf $X_j, j = 1,...,n$
\vfill

#  
\setstretch{2.5}
\large
\vfill
Zweistichproben-T-Tests bei unabhängigen Stichproben

Zweistichproben-T-Tests bei abhängigen Stichproben 

**Anwendungsbeispiele**

Selbstkontrollfragen
\vfill

#  
\setstretch{2.5}
\large
\vfill
Zweistichproben-T-Tests bei unabhängigen Stichproben

Zweistichproben-T-Tests bei abhängigen Stichproben 

Anwendungsbeispiele

**Selbstkontrollfragen**
\vfill


# Selbstkontrollfragen
\footnotesize
\begin{enumerate}
\item Erläutern Sie das Anwendungsszenario eines Zweistichproben-T-Tests bei unabhängigen Stichproben.
\item Nennen Sie drei Modellszenarien für Zweistichproben-T-Tests bei unabhängigen Stichproben.
\item Geben Sie das statistische Modell eines Zweistichproben-T-Tests bei unabhängigen Stichproben in klassischer Form an.
\item Geben Sie das statistische Modell eines Zweistichproben-T-Tests bei unabhängigen Stichproben in generativer Form an.
\item Definieren Sie die gepoolte Stichprobenstandardabweichung.
\item Definieren Sie die Zweistichproben-T-Teststatistik.
\item Definieren Sie den kritischen Wert für einen zweiseitigen Level-$\alpha_0$-Zweistichproben-T-Tests bei unabhängigen Stichproben.
\item Erläutern Sie das praktische Vorgehen bei Durchführung eines zweiseitigen Level-$\alpha_0$-Zweistichproben-T-Tests bei unabhängigen Stichproben.
\item Erläutern Sie das Szenario eines Zweistichproben-T-Tests bei unabhängigen Stichproben mit bekanntem Varianzverhältnis.
\item Definieren Sie das Behrens-Fisher Problem.
\item Erläutern Sie das Anwendungsszenario eines Zweistichproben-T-Tests bei abhängigen Stichproben.
\item Geben Sie das statistische Modell eines Zweistichproben-T-Tests bei abhängigen Stichproben in generativer Form an.
\item Geben Sie das Theorem zur Verteilung der Differenzvariablen im Zweistichproben-T-Tests bei abhängigen Stichproben wieder.
\item Erläutern Sie das praktische Vorgehen bei Durchführung eines Zweistichproben-T-Tests bei abhängigen Stichproben.
\end{enumerate}

# References
\footnotesize