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  \else
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\else % if luatex or xetex
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\fi
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  \usepackage[]{microtype}
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}{}
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    \usepackage{parskip}
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}{% if KOMA class
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    \end{minipage}%
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\vskip10pt\hfill\hspace{3.5mm} 										 
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{
\vskip5pt
\vskip2pt
\makebox[123mm]{\hspace{7.5mm}
\hfill Programmierung und Deskriptive Statistik $\vert$ 
\copyright $ $ 2022 Dirk Ostwald CC BY-NC-SA 4.0 $\vert$ 
Folie \insertframenumber}
\vskip4pt
}

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  \HL}
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% additional mathematical operators
% ------------------------------------------------------------------------------
\DeclareMathOperator*{\argmax}{arg\,max}
\DeclareMathOperator*{\argmin}{arg\,min}

\ifLuaTeX
  \usepackage{selnolig}  % disable illegal ligatures
\fi

\begin{document}

\begin{frame}[plain]{}
\protect\hypertarget{section}{}
\center

\begin{center}\includegraphics[width=0.2\linewidth]{10_Abbildungen/pds_10_otto} \end{center}

\vspace{2mm}

\huge

Programmierung und Deskriptive Statistik \vspace{6mm}

\large

BSc Psychologie WiSe 2021/22

\vspace{6mm}
\large

Prof.~Dr.~Dirk Ostwald
\end{frame}

\begin{frame}[plain]{}
\protect\hypertarget{section-1}{}
\vfill
\huge
\begin{center}
(10) Maße der Variabilität
\end{center}
\vfill
\end{frame}

\begin{frame}{}
\protect\hypertarget{section-2}{}
\small
\center
\footnotesize
\renewcommand{\arraystretch}{1.1}
\begin{tabular}{lll}
Datum        & Einheit                     & Thema                                       \\\hline
14.10.2021   & Einführung                  & (1)  Einführung                             \\
21.10.2021   & R Grundlagen                & (2)  R und RStudio I                        \\
28.10.2021   & R Grundlagen                & (2)  R und RStudio II                       \\
04.11.2021   & R Grundlagen                & (3)  Vektoren                               \\
11.11.2021   & R Grundlagen                & (4)  Matrizen                               \\
18.11.2021   & R Grundlagen                & (5)  Listen und Dataframes                  \\
25.11.2021   & Deskriptive Statistik       & (6)  Datenmanagement                         \\
02.12.2021   & Deskriptive Statistik       & (7)  Häufigkeitsverteilungen                \\
09.12.2021   & Deskriptive Statistik       & (8)  Verteilungsfunktionen und Quantile     \\
16.12.2021   & Deskriptive Statistik       & (9)  Maße der zentralen Tendenz             \\
             & \textcolor{gray}{Weihnachtspause}                                         
\\
\textbf{13.01.2022}
& \textbf{Deskriptive Statistik}
& \textbf{(10) Maße der Datenvariabilität}
\\
20.01.2022   & Inferenzstatistik           & (11) Anwendungsbeispiel                     \\
27.01.2022   & Inferenzstatistik           & (11) Anwendungsbeispiel                     \\\hline
25.02.2022   & Klausurtermin               &  G26 – H1, 9:00 - 10:00 Uhr                 \\
Jul 2022     & Klausurwiederholungstermin
\end{tabular}
\end{frame}

\begin{frame}{}
\protect\hypertarget{section-3}{}
\large
\vfill
\setstretch{2.5}

Spannbreite

Stichprobenvarianz

Stichprobenstandardabweichung

Selbstkontrollfragen \vfill
\end{frame}

\begin{frame}{}
\protect\hypertarget{section-4}{}
\large
\vfill
\setstretch{2.5}

\textbf{Spannbreite}

Stichprobenvarianz

Stichprobenstandardabweichung

Selbstkontrollfragen \vfill
\end{frame}

\begin{frame}{Spannbreite}
\protect\hypertarget{spannbreite}{}
\small
\begin{definition}[Spannbreite]
$x = (x_1,...,x_n)$ sei ein Datensatz. Dann ist die \textit{Spannbreite} von $x_1,...,x_n$ definiert als
\begin{equation}
S := \max(x_1,...,x_n) - \min(x_1,...,x_n).
\end{equation}
\end{definition}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]{Spannbreite}
\protect\hypertarget{spannbreite-1}{}
\textcolor{darkblue}{Berechnen der Spannbreite mit} \texttt{range()}
\vspace{2mm}

\footnotesize

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\CommentTok{\# Einlesen des Beispieldatensatzes}
\NormalTok{fname   }\OtherTok{=} \FunctionTok{file.path}\NormalTok{(}\FunctionTok{getwd}\NormalTok{(), }\StringTok{"10\_Daten"}\NormalTok{, }\StringTok{"psychotherapie\_datensatz.csv"}\NormalTok{)}
\NormalTok{D       }\OtherTok{=} \FunctionTok{read.table}\NormalTok{(fname, }\AttributeTok{sep =} \StringTok{","}\NormalTok{)}
\NormalTok{fdir    }\OtherTok{=} \FunctionTok{file.path}\NormalTok{(}\FunctionTok{getwd}\NormalTok{(), }\StringTok{"10\_Abbildungen"}\NormalTok{)}

\CommentTok{\# Manuelle Spanntbreitenberechnung}
\NormalTok{x       }\OtherTok{=}\NormalTok{ D}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{Pre.BDI                         }\CommentTok{\# double Vektor der Pre{-}BDI Werte Werte     }
\NormalTok{x\_max   }\OtherTok{=} \FunctionTok{max}\NormalTok{(x)                            }\CommentTok{\# Maximum der TA1 Werte}
\NormalTok{x\_min   }\OtherTok{=} \FunctionTok{min}\NormalTok{(x)                            }\CommentTok{\# Mininum der TA1 Werte}
\NormalTok{S       }\OtherTok{=}\NormalTok{ x\_max }\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{ x\_min                     }\CommentTok{\# Spannbreite}
\FunctionTok{print}\NormalTok{(S)}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}

\begin{verbatim}
> [1] 9
\end{verbatim}

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\CommentTok{\# automatische Spannbreitenberechnung}
\NormalTok{MinMax  }\OtherTok{=} \FunctionTok{range}\NormalTok{(x)                          }\CommentTok{\# "automatische" Berechnung von min(x), max(x)}
\NormalTok{S       }\OtherTok{=}\NormalTok{ MinMax[}\DecValTok{2}\NormalTok{] }\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{ MinMax[}\DecValTok{1}\NormalTok{]             }\CommentTok{\# Spannbreite}
\FunctionTok{print}\NormalTok{(S)}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}

\begin{verbatim}
> [1] 9
\end{verbatim}
\end{frame}

\begin{frame}{}
\protect\hypertarget{section-5}{}
\large
\vfill
\setstretch{2.5}

Spannbreite

\textbf{Stichprobenvarianz}

Stichprobenstandardabweichung

Selbstkontrollfragen \vfill
\end{frame}

\begin{frame}{Stichprobenvarianz}
\protect\hypertarget{stichprobenvarianz}{}
\footnotesize
\begin{definition}[Stichprobenvarianz, empirische Stichprobenvarianz]
\justifying
$x = (x_1,...,x_n)$ sei ein Datensatz. Die \textit{Stichprobenvarianz} von $x$ 
ist definiert als 
\begin{equation}
S^2 := \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2
\end{equation}
und die \textit{empirische Stichprobenvarianz} von $x$ ist definiert als
\begin{equation}
\tilde{S}^2 := \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2.
\end{equation}
\end{definition}

Bemerkungen

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  \(S^2\) ist ein unverzerrter Schätzer von \(\mathbb{V}(X)\),
  \(\tilde{S}^2\) ist ein verzerrter Schätzer \(\mathbb{V}(X)\).
\item
  Für \(n \to \infty\) gilt \(\frac{1}{n}\approx \frac{1}{n-1}\),
  \(\tilde{S}^2\) ist ein asymptotisch unverzerrter Schätzer von
  \(\mathbb{V}(X)\).
\item
  \(\tilde{S}^2\) ist der ML Schätzer, \(S^2\) ist der ReML Schätzer von
  \(\sigma^2\) bei \(X_1,...,X_n \sim N(\mu,\sigma^2)\).
\item
  Es gelten \begin{equation}
  \tilde{S}^2 = \frac{n-1}{n}S^2, S^2 = \frac{n}{n-1}\tilde{S}^2 \mbox{ und } 0 \le \tilde{S}^2 \le S^2.
  \end{equation}
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]{stichprobenvarianz}
\protect\hypertarget{stichprobenvarianz-1}{}
\textcolor{darkblue}{Berechnen der Stichprobenvarianz mit}
\texttt{var()} \vspace{2mm} \footnotesize

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\NormalTok{x           }\OtherTok{=}\NormalTok{ D}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{Pre.BDI                         }\CommentTok{\# double Vektor der Pre{-}BDI Werte Werte                                         }
\NormalTok{n           }\OtherTok{=} \FunctionTok{length}\NormalTok{(x)                         }\CommentTok{\# Anzahl der Werte}
\NormalTok{S2          }\OtherTok{=}\NormalTok{ (}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{(n}\DecValTok{{-}1}\NormalTok{))}\SpecialCharTok{*}\FunctionTok{sum}\NormalTok{((x }\SpecialCharTok{{-}} \FunctionTok{mean}\NormalTok{(x))}\SpecialCharTok{\^{}}\DecValTok{2}\NormalTok{)    }\CommentTok{\# Stichprobenvarianz}
\FunctionTok{print}\NormalTok{(S2)}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}

\begin{verbatim}
> [1] 3.03
\end{verbatim}

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\NormalTok{S2          }\OtherTok{=} \FunctionTok{var}\NormalTok{(x)                            }\CommentTok{\# "automatische" Stichprobenvarianz}
\FunctionTok{print}\NormalTok{(S2)}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}

\begin{verbatim}
> [1] 3.03
\end{verbatim}

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\NormalTok{S2\_tilde    }\OtherTok{=}\NormalTok{ (}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{n)}\SpecialCharTok{*}\FunctionTok{sum}\NormalTok{((x }\SpecialCharTok{{-}} \FunctionTok{mean}\NormalTok{(x))}\SpecialCharTok{\^{}}\DecValTok{2}\NormalTok{)        }\CommentTok{\# Empirische Stichprobenvarianz}
\FunctionTok{print}\NormalTok{(S2\_tilde)}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}

\begin{verbatim}
> [1] 3
\end{verbatim}

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\NormalTok{S2\_tilde    }\OtherTok{=}\NormalTok{ ((n}\DecValTok{{-}1}\NormalTok{)}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{n)}\SpecialCharTok{*}\FunctionTok{var}\NormalTok{(x)                  }\CommentTok{\# "automatische" empirische Stichprobenvarianz}
\FunctionTok{print}\NormalTok{(S2\_tilde)}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}

\begin{verbatim}
> [1] 3
\end{verbatim}
\end{frame}

\begin{frame}{Stichprobenvarianz}
\protect\hypertarget{stichprobenvarianz-2}{}
\footnotesize
\begin{theorem}[Stichprobenvarianz bei linear-affinen Transformationen]
\justifying
\normalfont
$x = (x_1,...,x_n)$ sei ein Datensatz mit Stichprobenvarianz $S_x^2$ und
$y = (ax_1+b, ..., ax_n+b)$ sei der mit $a,b \in \mathbb{R}$ linear-affin
transformierte Datensatz mit Stichprobenvarianz $S_y^2$. Dann gilt
\begin{equation}
S^2_y = a^2 S^2_x.
\end{equation}
\end{theorem}
\tiny

\underline{Beweis} \begin{align}
\begin{split}
S^2_y
:= \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (y_i - \bar{y})^2 
&  = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (ax_i + b - (a\bar{x} + b))^2 \\
&  = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (ax_i + b - a\bar{x} - b)^2 \\
&  = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (a(x_i - \bar{x}))^2 \\
&  = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n a^2(x_i - \bar{x})^2 
   = a^2\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2 
   = a^2S_x^2 \\
\end{split}
\end{align}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]{Stichprobenvarianz}
\protect\hypertarget{stichprobenvarianz-3}{}
\textcolor{darkblue}{Stichprobenvarianz bei linear-affinen Transformationen}

\footnotesize
\vspace{2mm}

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\CommentTok{\# Stichprobenvarianz nach Transformation}
\NormalTok{x       }\OtherTok{=}\NormalTok{ D}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{Pre.BDI                             }\CommentTok{\# double Vektor der Pre{-}BDI Werte Werte }
\NormalTok{S2x     }\OtherTok{=} \FunctionTok{var}\NormalTok{(x)                                }\CommentTok{\# Stichprobenvarianz von x\_1,...,x\_n}
\NormalTok{a       }\OtherTok{=} \DecValTok{2}                                     \CommentTok{\# Multiplikationskonstante}
\NormalTok{b       }\OtherTok{=} \DecValTok{5}                                     \CommentTok{\# Additionskonstante}
\NormalTok{y       }\OtherTok{=}\NormalTok{ a}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{x }\SpecialCharTok{+}\NormalTok{ b                               }\CommentTok{\# y\_i = ax\_i + b}
\NormalTok{S2y     }\OtherTok{=} \FunctionTok{var}\NormalTok{(y)                                }\CommentTok{\# Stichprobenvarianz y\_1,...,y\_n}
\FunctionTok{print}\NormalTok{(S2y)}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}

\begin{verbatim}
> [1] 12.1
\end{verbatim}

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\CommentTok{\# Stichprobenvarianz nach Theorem}
\NormalTok{S2y     }\OtherTok{=}\NormalTok{ a}\SpecialCharTok{\^{}}\DecValTok{2}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{S2x                               }\CommentTok{\# Stichprobenvarianz y\_1,...,y\_n}
\FunctionTok{print}\NormalTok{(S2y)}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}

\begin{verbatim}
> [1] 12.1
\end{verbatim}
\end{frame}

\begin{frame}{Stichprobenvarianz}
\protect\hypertarget{stichprobenvarianz-4}{}
\setstretch{1.2}
\footnotesize
\begin{theorem}[Verschiebungssatz zur empirischen Stichprobenvarianz]
\justifying
\normalfont
$x = (x_1,...,x_n)$ sei ein Datensatz, $x^2 := (x_1^2, ..., x_n^2)$ sei sein
elementweises Quadrat und $\bar{x}$ und $\overline{x^2}$ seien die respektiven
Mittelwerte. Dann gilt
\begin{equation}
\tilde{S}^2 = \overline{x^2} - \bar{x}^2
\end{equation}
\end{theorem}

\underline{Beweis} \begin{align}
\begin{split}
\tilde{S}^2
& := \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2 \\
&  = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \left(x_i^2 - 2x_i \bar{x} +  \bar{x}^2\right) \\
&  =  \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i^2
    - 2  \bar{x}  \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i
    + \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \bar{x}^2 \\
&  = \overline{x^2}
    - 2  \bar{x} \bar{x}
    + \frac{1}{n}n\bar{x}^2 \\
&  = \overline{x^2}
    - 2  \bar{x}^2
    + \bar{x}^2 \\
&  = \overline{x^2} - \bar{x}^2
\end{split}
\end{align}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]{Stichprobenvarianz}
\protect\hypertarget{stichprobenvarianz-5}{}
\textcolor{darkblue}{Verschiebungssatz zur empirischen Stichprobenvarianz}

\footnotesize
\vspace{3mm}

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\CommentTok{\# Direkte Berechnung der empirischen Stichprobenvarianz}
\NormalTok{x           }\OtherTok{=}\NormalTok{ D}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{Pre.BDI                             }\CommentTok{\# double Vektor der Pre{-}BDI Werte Werte}
\NormalTok{n           }\OtherTok{=} \FunctionTok{length}\NormalTok{(x)                             }\CommentTok{\# Anzahl Datenpunkte}
\NormalTok{x\_bar       }\OtherTok{=} \FunctionTok{mean}\NormalTok{(x)                               }\CommentTok{\# Stichprobenmittel}
\NormalTok{S2\_tilde    }\OtherTok{=}\NormalTok{ ((n}\DecValTok{{-}1}\NormalTok{)}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{n)}\SpecialCharTok{*}\FunctionTok{var}\NormalTok{(x)                      }\CommentTok{\# empirische Stichprobenvarianz}
\FunctionTok{print}\NormalTok{(S2\_tilde)}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}

\begin{verbatim}
> [1] 3
\end{verbatim}

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\CommentTok{\# Berechnung der empirischen Stichprobenvarianz mit Theorem}
\NormalTok{S2\_tilde    }\OtherTok{=} \FunctionTok{mean}\NormalTok{(x}\SpecialCharTok{\^{}}\DecValTok{2}\NormalTok{) }\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{ (}\FunctionTok{mean}\NormalTok{(x))}\SpecialCharTok{\^{}}\DecValTok{2}               \CommentTok{\# \textbackslash{}bar\{x\^{}2\} {-} \textbackslash{}bar\{x\}\^{}2}
\FunctionTok{print}\NormalTok{(S2\_tilde)}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}

\begin{verbatim}
> [1] 3
\end{verbatim}

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\CommentTok{\# Das Theorem gilt nicht für die Stichprobenvarianz}
\NormalTok{S2          }\OtherTok{=} \FunctionTok{var}\NormalTok{(x)                                }\CommentTok{\# S\^{}2 \textbackslash{}neq \textbackslash{}bar\{x\^{}2\} {-} \textbackslash{}bar\{x\}\^{}2                        }
\FunctionTok{print}\NormalTok{(S2)}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}

\begin{verbatim}
> [1] 3.03
\end{verbatim}
\end{frame}

\begin{frame}{}
\protect\hypertarget{section-6}{}
\large
\vfill
\setstretch{2.5}

Spannbreite

Stichprobenvarianz

\textbf{Stichprobenstandardabweichung}

Selbstkontrollfragen \vfill
\end{frame}

\begin{frame}{Stichprobenstandardabweichung}
\protect\hypertarget{stichprobenstandardabweichung}{}
\small
\begin{definition}[Stichprobenstandardabweichung, empirische]
$x = (x_1,...,x_n)$ sei ein Datensatz. Die \textit{Stichprobenstandardabweichung} 
von $x$ ist definiert als  
\begin{equation}
S := \sqrt{S^2}
\end{equation}
und die \textit{empirische Stichprobenstandardabweichung} von $x$ ist definiert als
\begin{equation}
\tilde{S} := \sqrt{\tilde{S}^2}.
\end{equation}
\end{definition}

Bemerkungen

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  \(S\) ist ein verzerrter Schätzer von \(\mathbb{S}(X)\).
\item
  \(S^2\) misst Variabilität in quadrierten Einheiten, zum Beispiel
  Quadratmeter (\(m^2)\).
\item
  \(S\) misst Variabilität in unquadrierten Einheiten, zum Beispiel
  Meter (\(m\)).
\item
  Es gilt \begin{equation}
  \tilde{S} = \sqrt{(n-1)/n}S.
  \end{equation}
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]{Stichprobenstandardabweichung}
\protect\hypertarget{stichprobenstandardabweichung-1}{}
\textcolor{darkblue}{Berechnung der Stichprobenstandardabweichung mit}
\texttt{sd()}

\vspace{1mm}
\footnotesize

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\CommentTok{\# Manuelle Berechnung der Stichprobenstandardabweichung}
\NormalTok{x       }\OtherTok{=}\NormalTok{ D}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{Pre.BDI                             }\CommentTok{\# double Vektor der Pre{-}BDI Werte Werte }
\NormalTok{n       }\OtherTok{=} \FunctionTok{length}\NormalTok{(x)                             }\CommentTok{\# Anzahl der Werte}
\NormalTok{S       }\OtherTok{=} \FunctionTok{sqrt}\NormalTok{((}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{(n}\DecValTok{{-}1}\NormalTok{))}\SpecialCharTok{*}\FunctionTok{sum}\NormalTok{((x }\SpecialCharTok{{-}} \FunctionTok{mean}\NormalTok{(x))}\SpecialCharTok{\^{}}\DecValTok{2}\NormalTok{))  }\CommentTok{\# Standardabweichung}
\FunctionTok{print}\NormalTok{(S)}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}

\begin{verbatim}
> [1] 1.74
\end{verbatim}

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\CommentTok{\# Automatische Berechnung der Stichprobenstandardabweichung}
\NormalTok{S       }\OtherTok{=} \FunctionTok{sd}\NormalTok{(x)                                 }\CommentTok{\# "automatische" Berechnung}
\FunctionTok{print}\NormalTok{(S)}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}

\begin{verbatim}
> [1] 1.74
\end{verbatim}

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\CommentTok{\# Empirische Standardabweichung}
\NormalTok{S\_tilde }\OtherTok{=} \FunctionTok{sqrt}\NormalTok{((}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{(n))}\SpecialCharTok{*}\FunctionTok{sum}\NormalTok{((x }\SpecialCharTok{{-}} \FunctionTok{mean}\NormalTok{(x))}\SpecialCharTok{\^{}}\DecValTok{2}\NormalTok{))   }\CommentTok{\# empirische Standardabweichung}
\FunctionTok{print}\NormalTok{(S\_tilde)}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}

\begin{verbatim}
> [1] 1.73
\end{verbatim}

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\NormalTok{S\_tilde }\OtherTok{=} \FunctionTok{sqrt}\NormalTok{((n}\DecValTok{{-}1}\NormalTok{)}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{n)}\SpecialCharTok{*}\FunctionTok{sd}\NormalTok{(x)                  }\CommentTok{\# empirische Standardabweichung}
\FunctionTok{print}\NormalTok{(S\_tilde)}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}

\begin{verbatim}
> [1] 1.73
\end{verbatim}
\end{frame}

\begin{frame}{Stichprobenstandardabweichung}
\protect\hypertarget{stichprobenstandardabweichung-2}{}
\setstretch{1}
\footnotesize
\begin{theorem}[Stichprobenvarianz bei linear-affinen Transformationen]
\justifying
\normalfont
$x = (x_1,...,x_n)$ sei ein Datensatz mit Stichprobenstandardabweichung $S_x$ und
$y = (ax_1+b, ..., ax_n+b)$ sei der mit $a,b \in \mathbb{R}$ linear-affin
transformierte Datensatz mit Stichprobenstandardabweichung $S_y$. Dann gilt
\begin{equation}
S_y = |a| S_x.
\end{equation}
\end{theorem}
\tiny

\underline{Beweis} \begin{align*}
\begin{split}
S_y
:= \left(\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (y_i - \bar{y})^2\right)^{1/2} 
&  = \left(\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n \left(ax_i + b - (a\bar{x} + b)\right)^2\right)^{1/2} \\
&  = \left(\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n \left(a(x_i - \bar{x})\right)^2\right)^{1/2}           \\
&  = \left(\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n a^2(x_i - \bar{x})^2\right)^{1/2} \\
&  = \left(a^2\right)^{1/2}\left(\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2\right)^{1/2}
\end{split}
\end{align*} Also gilt \(S_y = aS_x\), wenn \(a \ge 0\) und
\(S_y = -aS_x\), wenn \(a < 0\). Dies aber entspricht \(S_y = |a|S_x\).
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]{Stichprobenstandardabweichung}
\protect\hypertarget{stichprobenstandardabweichung-3}{}
\textcolor{darkblue}{Stichprobenstandardabweichung bei linear-affinen Transformationen}

\footnotesize
\setstretch{1}

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\CommentTok{\# a \textgreater{}= 0}
\NormalTok{x   }\OtherTok{=}\NormalTok{ D}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{Pre.BDI         }\CommentTok{\# double Vektor der Pre{-}BDI Werte Werte}
\NormalTok{Sx  }\OtherTok{=} \FunctionTok{sd}\NormalTok{(x)             }\CommentTok{\# Stichprobenvarianz von x}
\NormalTok{a   }\OtherTok{=} \DecValTok{2}                 \CommentTok{\# Multiplikationskonstante}
\NormalTok{b   }\OtherTok{=} \DecValTok{5}                 \CommentTok{\# Additionskonstante}
\NormalTok{y   }\OtherTok{=}\NormalTok{ a}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{x }\SpecialCharTok{+}\NormalTok{ b           }\CommentTok{\# y\_i = ax\_i + b}
\NormalTok{Sy  }\OtherTok{=} \FunctionTok{sd}\NormalTok{(y)             }\CommentTok{\# Stichprobenvarianz von y}
\FunctionTok{print}\NormalTok{(Sy)}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}

\begin{verbatim}
> [1] 3.48
\end{verbatim}

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\NormalTok{Sy  }\OtherTok{=}\NormalTok{ a}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{Sx              }\CommentTok{\# Stichprobenvarianz von y}
\FunctionTok{print}\NormalTok{(Sy)}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}

\begin{verbatim}
> [1] 3.48
\end{verbatim}

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\CommentTok{\# a \textless{} 0}
\NormalTok{x   }\OtherTok{=}\NormalTok{ D}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{Pre.BDI         }\CommentTok{\# double Vektor der Pre{-}BDI Werte Werte}
\NormalTok{Sx  }\OtherTok{=} \FunctionTok{sd}\NormalTok{(x)             }\CommentTok{\# Stichprobenvarianz von x}
\NormalTok{a   }\OtherTok{=} \SpecialCharTok{{-}}\DecValTok{3}                \CommentTok{\# Multiplikationskonstante}
\NormalTok{b   }\OtherTok{=} \DecValTok{10}                \CommentTok{\# Additionskonstante}
\NormalTok{y   }\OtherTok{=}\NormalTok{ a}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{x }\SpecialCharTok{+}\NormalTok{ b           }\CommentTok{\# y\_i = ax\_i + b}
\NormalTok{Sy  }\OtherTok{=} \FunctionTok{sd}\NormalTok{(y)             }\CommentTok{\# Stichprobenvarianz von y}
\FunctionTok{print}\NormalTok{(Sy)}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}

\begin{verbatim}
> [1] 5.22
\end{verbatim}

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\NormalTok{Sy  }\OtherTok{=}\NormalTok{ (}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{a)}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{Sx           }\CommentTok{\# Stichprobenvarianz von y}
\FunctionTok{print}\NormalTok{(Sy)}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}

\begin{verbatim}
> [1] 5.22
\end{verbatim}
\end{frame}

\begin{frame}{}
\protect\hypertarget{section-7}{}
\large
\vfill
\setstretch{2.5}

Spannbreite

Stichprobenvarianz

Stichprobenstandardabweichung

\textbf{Selbstkontrollfragen} \vfill
\end{frame}

\begin{frame}{Selbstkontrollfragen}
\protect\hypertarget{selbstkontrollfragen}{}
\footnotesize
\setstretch{1.6}
\begin{enumerate}
\justifying
\item Geben Sie die Definition der Spannbreite eines Datensatzes wieder.
\item Berechnen Sie die Spannbreite der Post.BDI Daten.
\item Geben Sie die Definition der Stichprobenvarianz und der empirischen Stichprobenvarianz wieder.
\item Berechnen Sie die Stichprobenvarianz und die empirische Stichprobenvarianz der Post.BDI Daten.
\item Geben Sie das Theorem zur Stichprobenvarianz bei linear-affinen Transformationen wieder.
\item Geben Sie den Verschiebungssatz zur empirischen Stichprobenvarianz wieder.
\item Geben Sie die Definition der Stichprobenstandardabweichung und der empirischen Stichprobenstandardabweichung wieder.
\item Berechnen Sie die Stichprobenstandardabweichung und die empirische Stichprobenstandardabweichung der Post.BDI Daten.
\item Geben Sie das Theorem zur Stichprobenstandardabweichung  bei linear-affinen Transformationen wieder.
\end{enumerate}
\end{frame}

\end{document}
