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    \end{minipage}%
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{
\vskip5pt
\vskip2pt
\makebox[123mm]{\hspace{7.5mm}
\hfill Programmierung und Deskriptive Statistik $\vert$ 
\copyright $ $ 2022 Dirk Ostwald CC BY-NC-SA 4.0 $\vert$ 
Folie \insertframenumber}
\vskip4pt
}

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\fi

\begin{document}

\begin{frame}[plain]{}
\protect\hypertarget{section}{}
\center

\begin{center}\includegraphics[width=0.2\linewidth]{9_Abbildungen/pds_9_otto} \end{center}

\vspace{2mm}

\huge

Programmierung und Deskriptive Statistik \vspace{6mm}

\large

BSc Psychologie WiSe 2021/22

\vspace{6mm}
\large

Prof.~Dr.~Dirk Ostwald
\end{frame}

\begin{frame}[plain]{}
\protect\hypertarget{section-1}{}
\vfill
\huge
\begin{center}
(9) Maße der Zentralen Tendenz
\end{center}
\vfill
\end{frame}

\begin{frame}{}
\protect\hypertarget{section-2}{}
\large
\setstretch{2.4}

Mittelwert

Median

Modalwert

Visuelle Intuitionen

Übungen und Selbstkontrollfragen \vfill
\end{frame}

\begin{frame}{Mittelwert}
\protect\hypertarget{mittelwert}{}
\small
\begin{definition}[Mittelwert]
$x = (x_1,...,x_n)$ sei ein Datensatz. Dann heißt
\begin{equation}
\bar{x} := \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i
\end{equation}
der \textit{Mittelwert} von $x$.
\end{definition}

Bemerkung

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Im Kontext der Inferenzstatistik heißt der Mittelwert
  \emph{Stichprobenmittel}.
\item
  Die Inferenzstatistik gibt der Mittelwertsbildung ihren Sinn.
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]{Mittelwert}
\protect\hypertarget{mittelwert-1}{}
Berechnung des Mittelwerts \vspace{2mm}

\footnotesize
\setstretch{1.2}

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\CommentTok{\# Einlesen des Beispieldatensatzes und Abbildungsverzeichnisdefinition}
\NormalTok{fname    }\OtherTok{=} \FunctionTok{file.path}\NormalTok{(}\FunctionTok{getwd}\NormalTok{(), }\StringTok{"9\_Daten"}\NormalTok{, }\StringTok{"psychotherapie\_datensatz.csv"}\NormalTok{)}
\NormalTok{D        }\OtherTok{=} \FunctionTok{read.table}\NormalTok{(fname, }\AttributeTok{sep =} \StringTok{","}\NormalTok{)}
\NormalTok{fdir     }\OtherTok{=} \FunctionTok{file.path}\NormalTok{(}\FunctionTok{getwd}\NormalTok{(), }\StringTok{"9\_Abbildungen"}\NormalTok{)}

\CommentTok{\# Mittelwertberechnung}
\NormalTok{x       }\OtherTok{=}\NormalTok{ D}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{Pre.BDI             }\CommentTok{\# double Vektor der Pre{-}BDI Werte Werte}
\NormalTok{n       }\OtherTok{=} \FunctionTok{length}\NormalTok{(x)             }\CommentTok{\# Anzahl der Werte}
\NormalTok{x\_bar   }\OtherTok{=}\NormalTok{ (}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{n)}\SpecialCharTok{*}\FunctionTok{sum}\NormalTok{(x)          }\CommentTok{\# Mittelwertsberechnung}
\FunctionTok{print}\NormalTok{(x\_bar)                    }\CommentTok{\# Ausgabe}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}

\begin{verbatim}
> [1] 18.6
\end{verbatim}

\small

\texttt{mean()} zur Berechnung des Mittelwerts \vspace{2mm}

\footnotesize
\setstretch{1.2}

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\NormalTok{x\_bar   }\OtherTok{=} \FunctionTok{mean}\NormalTok{(x)               }\CommentTok{\# Mittelwertsberechnung}
\FunctionTok{print}\NormalTok{(x\_bar)                    }\CommentTok{\# Ausgabe}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}

\begin{verbatim}
> [1] 18.6
\end{verbatim}
\end{frame}

\begin{frame}{Mittelwert}
\protect\hypertarget{mittelwert-2}{}
\footnotesize
\vspace{2mm}
\setstretch{1.3}
\begin{theorem}[Eigenschaften des Mittelwerts]
\justifying
\normalfont
$x = (x_1,...,x_n)$ und sei ein Datensatz und $\bar{x}$ sei der Mittelwert von $x$.
Dann gelten
\begin{enumerate}
\item[(1)] Die Summe der Abweichungen vom Mittelwert ist Null,
\begin{equation}
\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x}) = 0.
\end{equation}
\item[(2)] Die absoluten Summen negativer und positiver Abweichungen vom Mittelwert sind gleich, d.h. wenn $j = 1,...,n_j$ die
Datenpunktindizes mit $(x_j - \bar{x}) < 0$ und $k = 1,...,n_k$ die Datenpunktindizes mit $(x_k - \bar{x}) \ge$ bezeichnen, dann gilt
mit $n_j + n_k$
\begin{equation}
\vert\sum_{j = 1}^{n_j} (x_j - \bar{x})\vert = \vert\sum_{k = 1}^{n_k} (x_k - \bar{x})\vert.
\end{equation}
\item[(3)] Der Mittelwert der Summe zweier gleich großer Datensätze entspricht der Summe ihrer Mittelwerte, d.h.
für einen weiteren Datensatz $y = (y_1,...,y_n)$ mit Mittelwert $\bar{y}$ gilt
\begin{equation}
\overline{x + y} = \bar{x} + \bar{y}
\end{equation}
\item[(4)] Eine linear-affine Transformation eines Datensatz transformiert den Mittelwert des Datensatzes linear-affin,
d.h für $a,b \in \mathbb{R}$ gilt
\begin{equation*}
\overline{ax + b} = a\bar{x} + b
\end{equation*}
\end{enumerate}
\end{theorem}
\end{frame}

\begin{frame}{Mittelwert}
\protect\hypertarget{mittelwert-3}{}
\footnotesize

\underline{Beweis}

\noindent (1) Es gilt \begin{equation*}
\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})
= \sum_{i=1}^n x_i - \sum_{i=1}^n \bar{x}
= \sum_{i=1}^n x_i - n\bar{x}
= \sum_{i=1}^n x_i - \frac{n}{n}\sum_{i=1}^n x_i
= \sum_{i=1}^n x_i - \sum_{i=1}^n x_i
= 0.
\end{equation*}

\noindent (2) Seien \(j = 1,...,n_j\) die Indizes mit
\((x_j - \bar{x}) < 0\) und \(k = 1,...,n_k\) die Indizes mit
\((x_k - \bar{x}) \ge 0\), so dass \(n = n_j + n_k\). Dann gilt
\begin{align*}
\begin{split}
\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x}) = 0
\Leftrightarrow
\sum_{j=1}^{n_j} (x_j - \bar{x})  + \sum_{k=1}^{n_k} (x_k - \bar{x}) = 0
\Leftrightarrow
\sum_{k=1}^{n_k} (x_k - \bar{x})  & =  - \sum_{j=1}^{n_j} (x_j - \bar{x})  \\
\Leftrightarrow
\vert\sum_{j = 1}^{n_j} (x_j - \bar{x})\vert & = \vert\sum_{k = 1}^{n_k} (x_k - \bar{x})\vert.
\end{split}
\end{align*}
\end{frame}

\begin{frame}{Mittelwert}
\protect\hypertarget{mittelwert-4}{}
\footnotesize

\underline{Beweis}

\noindent (3) Es gilt \begin{equation*}
\overline{x + y}
:= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i + y_i)
 = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^n x_i + \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^n y_i
 =: \bar{x} + \bar{y}
\end{equation*}

\noindent(4) Es gilt \begin{align*}
\begin{split}
\overline{ax + b}
& := \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (ax_i + b) \\
& = \sum_{i=1}^n \left(\frac{1}{n}ax_i + \frac{1}{n}b\right) \\
& = \sum_{i=1}^n \left(\frac{1}{n}ax_i\right) + \sum_{i=1}^n \left(\frac{1}{n}b\right) \\
& = a\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i + \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n b \\
& = a\bar{x} + b
\end{split}
\end{align*}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]{Mittelwert}
\protect\hypertarget{mittelwert-5}{}
\small

Eigenschaften des Mittelwerts \vspace{2mm}

\footnotesize

Summe der Abweichungen \vspace{2mm}

\setstretch{1}

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\NormalTok{x       }\OtherTok{=}\NormalTok{ D}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{Pre.BDI                     }\CommentTok{\# double Vektor der  Werte}
\NormalTok{s       }\OtherTok{=} \FunctionTok{sum}\NormalTok{(x }\SpecialCharTok{{-}} \FunctionTok{mean}\NormalTok{(x))              }\CommentTok{\# Summe der Abweichungen vom Mittelwert}
\FunctionTok{print}\NormalTok{(s)                                }\CommentTok{\# Rundungsfehler}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}

\begin{verbatim}
> [1] 5.68e-14
\end{verbatim}

\vspace{4mm}

Beträge der positiven und negativen Abweichungen \vspace{2mm}

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\NormalTok{x   }\OtherTok{=}\NormalTok{ D}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{Pre.BDI                         }\CommentTok{\# double Vektor der  Werte}
\NormalTok{s\_1 }\OtherTok{=} \FunctionTok{sum}\NormalTok{(x[x }\SpecialCharTok{\textless{}=} \FunctionTok{mean}\NormalTok{(x)] }\SpecialCharTok{{-}} \FunctionTok{mean}\NormalTok{(x))    }\CommentTok{\# Summe aller negativer Abweichungen}
\NormalTok{s\_2 }\OtherTok{=} \FunctionTok{sum}\NormalTok{(x[x }\SpecialCharTok{\textgreater{}} \FunctionTok{mean}\NormalTok{(x)]  }\SpecialCharTok{{-}} \FunctionTok{mean}\NormalTok{(x))    }\CommentTok{\# Summe aller positiver Abweichungen}
\FunctionTok{print}\NormalTok{(s\_1)                              }\CommentTok{\# Ausgabe}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}

\begin{verbatim}
> [1] -71.3
\end{verbatim}

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\FunctionTok{print}\NormalTok{(s\_2)                              }\CommentTok{\# Ausgabe}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}

\begin{verbatim}
> [1] 71.3
\end{verbatim}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]{Mittelwert}
\protect\hypertarget{mittelwert-6}{}
\vspace{2mm}
\footnotesize
\setstretch{0.9}

Summation von Datensätzen \vspace{2mm}

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\NormalTok{x       }\OtherTok{=}\NormalTok{ D}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{Pre.BDI                     }\CommentTok{\# double Vektor der  Werte}
\NormalTok{x\_bar   }\OtherTok{=} \FunctionTok{mean}\NormalTok{(x)                       }\CommentTok{\# Mittelwert der  Werte}
\NormalTok{y       }\OtherTok{=}\NormalTok{ D}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{Post.BDI                    }\CommentTok{\# double Vektor der Post.BDI Werte}
\NormalTok{y\_bar   }\OtherTok{=} \FunctionTok{mean}\NormalTok{(y)                       }\CommentTok{\# Mittelwert der Post.BDI Werte}
\NormalTok{z       }\OtherTok{=}\NormalTok{ x }\SpecialCharTok{+}\NormalTok{ y                         }\CommentTok{\# double Vektor der  und Post.BDI Werte}
\NormalTok{z\_bar   }\OtherTok{=} \FunctionTok{mean}\NormalTok{(z)                       }\CommentTok{\# Mittelwert der Summe der  und Post.BDI Werte}
\FunctionTok{print}\NormalTok{(z\_bar)                            }\CommentTok{\# Ausgabe}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}

\begin{verbatim}
> [1] 31.7
\end{verbatim}

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\NormalTok{xy\_bar  }\OtherTok{=}\NormalTok{ x\_bar }\SpecialCharTok{+}\NormalTok{ y\_bar                 }\CommentTok{\# Summe der Mittelwerte der  und Post.BDI Werte}
\FunctionTok{print}\NormalTok{(xy\_bar)                           }\CommentTok{\# Ausgabe}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}

\begin{verbatim}
> [1] 31.7
\end{verbatim}

Linear-affine Transformation \vspace{2mm}

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\NormalTok{x        }\OtherTok{=}\NormalTok{ D}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{Pre.BDI                    }\CommentTok{\# double Vektor der Pre.BDI Werte}
\NormalTok{x\_bar    }\OtherTok{=} \FunctionTok{mean}\NormalTok{(x)                      }\CommentTok{\# Mittelwert der Pre.BDI Werte}
\NormalTok{a        }\OtherTok{=} \DecValTok{2}                            \CommentTok{\# Multiplikationskonstante}
\NormalTok{b        }\OtherTok{=} \DecValTok{5}                            \CommentTok{\# Additionskonstante}
\NormalTok{y        }\OtherTok{=}\NormalTok{ a}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{x }\SpecialCharTok{+}\NormalTok{ b                      }\CommentTok{\# linear{-}affine Transformation der Pre.BDI Werte}
\NormalTok{y\_bar    }\OtherTok{=} \FunctionTok{mean}\NormalTok{(y)                      }\CommentTok{\# Mittelwert der transfomierten Pre.BDI Werte}
\FunctionTok{print}\NormalTok{(y\_bar)                            }\CommentTok{\# Ausgabe}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}

\begin{verbatim}
> [1] 42.2
\end{verbatim}

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\NormalTok{ax\_bar\_b }\OtherTok{=}\NormalTok{ a}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{x\_bar }\SpecialCharTok{+}\NormalTok{ b                  }\CommentTok{\# Transformation des TA1 Mittelwerts}
\FunctionTok{print}\NormalTok{(ax\_bar\_b)                         }\CommentTok{\# Ausgabe}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}

\begin{verbatim}
> [1] 42.2
\end{verbatim}
\end{frame}

\begin{frame}{}
\protect\hypertarget{section-3}{}
\vfill
\large
\setstretch{2.4}

Mittelwert

\textbf{Median}

Modalwert

Visuelle Intuitionen

Übungen und Selbstkontrollfragen \vfill
\end{frame}

\begin{frame}{Median}
\protect\hypertarget{median}{}
\small
\begin{definition}[Median]
$x = (x_1,...,x_n)$ sei ein Datensatz und $x_{s} = (x_{(1)}, ...,x_{(n)})$ der
zugehörige aufsteigend sortierte Datensatz. Dann ist der Median von $x$ definiert als
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{equation}
\tilde{x} :=
\begin{cases}
x_{((n+1)/2)}
& \mbox{ falls } n \mbox{ ungerade}
\\[5pt]
\frac{1}{2}\left(x_{(n/2)} + x_{(n/2 + 1)}\right)
& \mbox{ falls } n \mbox{ gerade}
\end{cases}
\end{equation}
\end{definition}

\small

Bemerkungen

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Der Median ist identisch mit dem 0.5-Quantil.
\item
  Mindestens 50\% aller \(x_i\) sind kleiner oder gleich \(\tilde{x}\)
\item
  Mindestens 50\% aller \(x_i\) sind größer oder gleich \(\tilde{x}\).
\item
  Anstelle eines Beweises verweisen wir auf untenstehende Abbildungen.
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Median}
\protect\hypertarget{median-1}{}
\vspace{1mm}

Beispiele

\begin{center}\includegraphics[width=0.85\linewidth]{9_Abbildungen/pds_9_median} \end{center}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]{Median}
\protect\hypertarget{median-2}{}
\small

Berechnung des Medians \vspace{2mm}

\footnotesize
\setstretch{1}

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\NormalTok{x           }\OtherTok{=}\NormalTok{ D}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{Pre.BDI                   }\CommentTok{\# double Vektor der Pre.BDI Werte}
\NormalTok{n           }\OtherTok{=} \FunctionTok{length}\NormalTok{(x)                   }\CommentTok{\# Anzahl der Werte}
\NormalTok{x\_s         }\OtherTok{=} \FunctionTok{sort}\NormalTok{(x)                     }\CommentTok{\# aufsteigend sortierter Vektor}
\ControlFlowTok{if}\NormalTok{(n }\SpecialCharTok{\%\%} \DecValTok{2} \SpecialCharTok{==} \DecValTok{1}\NormalTok{)\{                          }\CommentTok{\# n ungerade, n mod 2 == 1    }
\NormalTok{   x\_tilde }\OtherTok{=}\NormalTok{ x\_s[(n}\SpecialCharTok{+}\DecValTok{1}\NormalTok{)}\SpecialCharTok{/}\DecValTok{2}\NormalTok{]}
\NormalTok{\} }\ControlFlowTok{else}\NormalTok{ \{                                  }\CommentTok{\# n gerade, n mod 2 == 0}
\NormalTok{   x\_tilde }\OtherTok{=}\NormalTok{ (x\_s[n}\SpecialCharTok{/}\DecValTok{2}\NormalTok{] }\SpecialCharTok{+}\NormalTok{ x\_s[n}\SpecialCharTok{/}\DecValTok{2} \SpecialCharTok{+} \DecValTok{1}\NormalTok{])}\SpecialCharTok{/}\DecValTok{2}
\NormalTok{\}}
\FunctionTok{print}\NormalTok{(x\_tilde)}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}

\begin{verbatim}
> [1] 19
\end{verbatim}

\small
\vspace{2mm}

Berechnung des Medians mit \texttt{median()} \vspace{2mm}

\footnotesize

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\NormalTok{x\_tilde     }\OtherTok{=} \FunctionTok{median}\NormalTok{(x)                  }\CommentTok{\# Berechnung des Medians}
\FunctionTok{print}\NormalTok{(x\_tilde)                           }\CommentTok{\# Ausgabe}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}

\begin{verbatim}
> [1] 19
\end{verbatim}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]{Median}
\protect\hypertarget{median-3}{}
\small

Der Median ist weniger anfällig für Ausreißer als der Mittelwert
\vspace{2mm}

\footnotesize
\setstretch{1.1}

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\NormalTok{x       }\OtherTok{=}\NormalTok{ D}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{Pre.BDI                 }\CommentTok{\# double Vektor der Pre.BDI Werte}
\NormalTok{x\_bar   }\OtherTok{=} \FunctionTok{mean}\NormalTok{(x)                   }\CommentTok{\# Mittelwert der Pre.BDI Werte}
\NormalTok{x\_tilde }\OtherTok{=} \FunctionTok{median}\NormalTok{(x)                 }\CommentTok{\# Median der Pre.BDI Werte}
\FunctionTok{print}\NormalTok{(x\_bar)                        }\CommentTok{\# Ausgabe }
\end{Highlighting}
\end{Shaded}

\begin{verbatim}
> [1] 18.6
\end{verbatim}

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\FunctionTok{print}\NormalTok{(x\_tilde)                      }\CommentTok{\#  Ausgabe}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}

\begin{verbatim}
> [1] 19
\end{verbatim}

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\NormalTok{y       }\OtherTok{=}\NormalTok{ x                         }\CommentTok{\# neuer Datensatz mit}
\NormalTok{y[}\DecValTok{1}\NormalTok{]    }\OtherTok{=} \DecValTok{10000}                     \CommentTok{\# ... einem Extremwert}
\NormalTok{y\_bar   }\OtherTok{=} \FunctionTok{mean}\NormalTok{(y)                   }\CommentTok{\# Mittelwert des neuen Datensatzes}
\FunctionTok{print}\NormalTok{(y\_bar)                        }\CommentTok{\# Ausgabe}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}

\begin{verbatim}
> [1] 118
\end{verbatim}

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\NormalTok{y\_tilde }\OtherTok{=} \FunctionTok{median}\NormalTok{(y)                 }\CommentTok{\# Mittelwert des neuen Datensatzes}
\FunctionTok{print}\NormalTok{(y\_tilde)                      }\CommentTok{\# Ausgabe}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}

\begin{verbatim}
> [1] 19
\end{verbatim}
\end{frame}

\begin{frame}{}
\protect\hypertarget{section-4}{}
\vfill
\large
\setstretch{2.4}

Mittelwert

Median

\textbf{Modalwert}

Visuelle Intuitionen

Übungen und Selbstkontrollfragen \vfill
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]{Modalwert}
\protect\hypertarget{modalwert}{}
\footnotesize
\begin{definition}[Modalwert]
$x := (x_1,...,x_n)$ mit $x_i \in \mathbb{R}$ sei ein Datensatz, $A := \{a_1,...,a_k\}$ mit $k \le n$ seien die im Datensatz vorkommenden verschiedenen Zahlenwerte und
$h : A \to \mathbb{N}$ sei die absolute Häufigkeitsverteilung der Zahlwerte von $x$.
Dann ist der \textit{Modalwert (oder Modus)} von $x$ definiert als
\begin{equation}
\mbox{argmax}_{a \in A} h(a),
\end{equation}
also der am häufigsten im Datensatz vorkommende Wert.
\end{definition}
\footnotesize

Bemerkungen

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Modalwerte sind nur bei Datensätzen mit Datenpunktwiederholungen
  sinnvoll.
\end{itemize}

Bestimmung des Modalwertes \setstretch{1}

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\NormalTok{x        }\OtherTok{=}\NormalTok{ D}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{Pre.BDI                }\CommentTok{\# double Vektor der Pre.BDI Werte}
\NormalTok{n        }\OtherTok{=} \FunctionTok{length}\NormalTok{(x)                }\CommentTok{\# Anzahl der Datenwerte (100)}
\NormalTok{H        }\OtherTok{=} \FunctionTok{as.data.frame}\NormalTok{(}\FunctionTok{table}\NormalTok{(x))  }\CommentTok{\# absolute Haeufigkeitsverteilung (dataframe)}
\FunctionTok{names}\NormalTok{(H) }\OtherTok{=} \FunctionTok{c}\NormalTok{(}\StringTok{"a"}\NormalTok{, }\StringTok{"h"}\NormalTok{)              }\CommentTok{\# Konsistente Benennung}
\NormalTok{mod      }\OtherTok{=}\NormalTok{ H}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{a[}\FunctionTok{which.max}\NormalTok{(H}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{h)]      }\CommentTok{\# Modalwert}
\FunctionTok{print}\NormalTok{(}\FunctionTok{as.numeric}\NormalTok{(}\FunctionTok{as.vector}\NormalTok{(mod)))   }\CommentTok{\# Ausgabe als numeric vector, nicht factor}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}

\begin{verbatim}
> [1] 18
\end{verbatim}
\end{frame}

\begin{frame}{}
\protect\hypertarget{section-5}{}
\vfill
\large
\setstretch{2.4}

Mittelwert

Median

Modalwert

\textbf{Visuelle Intuitionen}

Übungen und Selbstkontrollfragen \vfill
\end{frame}

\begin{frame}{Visuelle Intuitionen}
\protect\hypertarget{visuelle-intuitionen}{}
Visuelle Intuition zu Maßen zentraler Tendenz bei Normalverteilung

\vspace{2mm}

\begin{center}\includegraphics[width=0.8\linewidth]{9_Abbildungen/pds_9_normalverteilung} \end{center}
\end{frame}

\begin{frame}{Visuelle Intuitionen}
\protect\hypertarget{visuelle-intuitionen-1}{}
Visuelle Intuition zu Maßen zentraler Tendenz bei Gleichverteilung

\vspace{2mm}

\begin{center}\includegraphics[width=0.8\linewidth]{9_Abbildungen/pds_9_gleichverteilung} \end{center}
\end{frame}

\begin{frame}{Visuelle Intuitionen}
\protect\hypertarget{visuelle-intuitionen-2}{}
Visuelle Intuition zu Maßen zentraler Tendenz bei bimodalen Verteilungen

\vspace{2mm}

\begin{center}\includegraphics[width=0.8\linewidth]{9_Abbildungen/pds_9_bimodalverteilung} \end{center}
\end{frame}

\begin{frame}{Visuelle Intuitionen}
\protect\hypertarget{visuelle-intuitionen-3}{}
Visuelle Intuition zu Maßen zentraler Tendenz bei nicht-symmetrischen
Verteilungen

\begin{center}\includegraphics[width=0.8\linewidth]{9_Abbildungen/pds_9_gammaverteilung} \end{center}
\end{frame}

\begin{frame}{}
\protect\hypertarget{section-6}{}
\large
\setstretch{2.4}

Mittelwert

Median

Modalwert

Visuelle Intuitionen

\textbf{Übungen und Selbstkontrollfragen} \vfill
\end{frame}

\begin{frame}{Übungen und Selbskontrollfragen}
\protect\hypertarget{uxfcbungen-und-selbskontrollfragen}{}
\small
\begin{enumerate}
\justifying
\item Geben Sie die Definition des Mittelwertes eines Datensatzes wieder.
\item Berechnen Sie den Mittelwert der Post.BDI Daten.
\item Geben Sie das Theorem zu den Eigenschaften des Mittelwerts wieder.
\item Geben Sie die Definition des Median eines Datensatzes wieder.
\item Berechnen Sie den Median der Post.BDI Daten.
\item Wie verhalten sich Mittelwert und Median in Bezug auf Datenausreißer?
\item Geben Sie die Definition des Modalwertes eines Datensatzes wieder.
\item Berechnen Sie den Modalwert des Post.BDI Datensatzes.
\item Visualisieren Sie die Häufigkeitsverteilung des Post.BDI Datensatzes und
diskutieren Sie die berechneten Werte von Mittelwert, Median und Modalwert vor
dem Hintergrund dieser Häufigkeitsverteilung.
\end{enumerate}
\end{frame}

\end{document}
