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\widowpenalties 1 10000
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  \end{beamercolorbox}
}
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  \centering
  \begin{beamercolorbox}[sep=12pt,center]{part title}
    \usebeamerfont{section title}\insertsection\par
  \end{beamercolorbox}
}
\setbeamertemplate{subsection page}{
  \centering
  \begin{beamercolorbox}[sep=8pt,center]{part title}
    \usebeamerfont{subsection title}\insertsubsection\par
  \end{beamercolorbox}
}
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}
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  \else
    \frame{\sectionpage}
  \fi
}
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  \frame{\subsectionpage}
}
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  \usepackage[utf8]{inputenc}
  \usepackage{textcomp} % provide euro and other symbols
\else % if luatex or xetex
  \usepackage{unicode-math}
  \defaultfontfeatures{Scale=MatchLowercase}
  \defaultfontfeatures[\rmfamily]{Ligatures=TeX,Scale=1}
\fi
% Use upquote if available, for straight quotes in verbatim environments
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  \usepackage[]{microtype}
  \UseMicrotypeSet[protrusion]{basicmath} % disable protrusion for tt fonts
}{}
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  \IfFileExists{parskip.sty}{%
    \usepackage{parskip}
  }{% else
    \setlength{\parindent}{0pt}
    \setlength{\parskip}{6pt plus 2pt minus 1pt}}
}{% if KOMA class
  \KOMAoptions{parskip=half}}
\makeatother
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  hidelinks,
  pdfcreator={LaTeX via pandoc}}
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  \let\oldpar\par
  \def\par{\hangindent=\cslhangindent\oldpar}
  \fi
  % set entry spacing
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 }%
 {}
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% type setting
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% fonts
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% slide title and horizontal line
% ------------------------------------------------------------------------------
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    \vskip-30pt \color{black}\large%
    \begin{minipage}[b][23pt]{120mm}%
    \flushleft\insertframetitle%
    \end{minipage}%
}

\setbeamertemplate{headline}										
{
\vskip10pt\hfill\hspace{3.5mm} 										 
\vskip15pt\color{black}\rule{\textwidth}{0.4pt} 					 
}

% slide number
% ---------------------------------------------------------------
\setbeamertemplate{navigation symbols}{}
\setbeamertemplate{footline}
{
\vskip5pt
\vskip2pt
\makebox[123mm]{\hspace{7.5mm}
\hfill Programmierung und Deskriptive Statistik $\vert$ 
\copyright $ $ 2022 Dirk Ostwald CC BY-NC-SA 4.0 $\vert$ 
Folie \insertframenumber}
\vskip4pt
}

% block color scheme
% ------------------------------------------------------------------------------
% colors
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% definitions and theorems
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% ------------------------------------------------------------------------------
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% local line spacing
% ------------------------------------------------------------------------------
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% colors
% -----------------------------------------------------------------------------
\usepackage{color}

% justified text
% ------------------------------------------------------------------------------
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% bullet point lists
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\setbeamertemplate{itemize item}[circle]
\setbeamertemplate{itemize subitem}[circle]
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\setbeamerfont{itemize/enumerate subbody}{size = \normalsize}
\setbeamerfont{itemize/enumerate subsubbody}{size = \normalsize}

% color links
% ------------------------------------------------------------------------------
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% additional math commands
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% text highlighting
% ------------------------------------------------------------------------------
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\let\HL\hl
\renewcommand\hl{%
  \let\set@color\beamerorig@set@color
  \let\reset@color\beamerorig@reset@color
  \HL}
\makeatother

% equation highlighting
% -----------------------------------------------------------------------------
\newcommand{\highlight}[2][yellow]{\mathchoice%
  {\colorbox{#1}{$\displaystyle#2$}}%
  {\colorbox{#1}{$\textstyle#2$}}%
  {\colorbox{#1}{$\scriptstyle#2$}}%
  {\colorbox{#1}{$\scriptscriptstyle#2$}}}%

% additional mathematical operators
% ------------------------------------------------------------------------------
\DeclareMathOperator*{\argmax}{arg\,max}
\DeclareMathOperator*{\argmin}{arg\,min}

\ifLuaTeX
  \usepackage{selnolig}  % disable illegal ligatures
\fi

\begin{document}

\begin{frame}[plain]{}
\protect\hypertarget{section}{}
\center

\begin{center}\includegraphics[width=0.2\linewidth]{8_Abbildungen/pds_8_otto} \end{center}

\vspace{2mm}

\huge

Programmierung und Deskriptive Statistik \vspace{6mm}

\large

BSc Psychologie WiSe 2021/22

\vspace{6mm}
\large

Prof.~Dr.~Dirk Ostwald
\end{frame}

\begin{frame}[plain]{}
\protect\hypertarget{section-1}{}
\vfill
\huge
\begin{center}
(8) Verteilungsfunktionen und Quantile
\end{center}
\vfill
\end{frame}

\begin{frame}{}
\protect\hypertarget{section-2}{}
\vfill
\large
\setstretch{3}

Empirische Verteilungsfunktionen

Quantile und Boxplots

Übungen und Selbstkontrollfragen \vfill
\end{frame}

\begin{frame}{}
\protect\hypertarget{section-3}{}
\vfill
\large
\setstretch{3}

\textbf{Empirische Verteilungsfunktionen}

Quantile und Boxplots

Übungen und Selbstkontrollfragen \vfill
\end{frame}

\begin{frame}{Empirische Verteilungsfunktionen}
\protect\hypertarget{empirische-verteilungsfunktionen}{}
\footnotesize
\begin{definition}[Kumulative absolute und relative Häufigkeitsverteilungen]
\justifying
$x = (x_1,...,x_n)$ sei ein Datensatz, $A := \{a_1,...,a_k\}$ mit $k \le n$  
die im Datensatz vorkommenden verschiedenen Zahlenwerte und $h$ und $r$ die 
absoluten und relativen Häufigkeitsverteilungen von $x$, respektive. Dann heißt
die Funktion
\begin{equation}
H : A \to \mathbb{N}, a \mapsto H(a) := \sum_{a' \le a} h(a')
\end{equation}
die \textit{kumulative absolute Häufigkeitsverteilung} von $x$ und die Funktion
\begin{equation}
R : A \to [0,1], a \mapsto R(a) : =\sum_{a' \le a} r(a')
\end{equation}
die \textit{kumulative relative Häufigkeitsverteilung} der Zahlwerte von $x$.
\end{definition}

Bemerkung

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Mit den Definitionen der absoluten und relativen
  Häufigkeitsverteilungen gilt also \begin{equation}
  H(a) = \mbox{Anzahl der } x_i \mbox{ aus } x \mbox{ mit } x_i \le a
  \end{equation} und \begin{equation}
  R(a) = \mbox{Anzahl der } x_i \mbox{ aus } x \mbox{ mit } x_i \le a \mbox{ geteilt durch } n.
  \end{equation}
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]{Empirische Verteilungsfunktionen}
\protect\hypertarget{empirische-verteilungsfunktionen-1}{}
\small

\texttt{cumsum()} erlaubt die Berechnung kumulativer Summen \vspace{2mm}

\footnotesize
\setstretch{1.1}

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\CommentTok{\# Einlesen des Beispieldatensatzes und Abbildungsverzeichnisdefinition}
\NormalTok{fname    }\OtherTok{=} \FunctionTok{file.path}\NormalTok{(}\FunctionTok{getwd}\NormalTok{(), }\StringTok{"8\_Daten"}\NormalTok{, }\StringTok{"psychotherapie\_datensatz.csv"}\NormalTok{)}
\NormalTok{D        }\OtherTok{=} \FunctionTok{read.table}\NormalTok{(fname, }\AttributeTok{sep =} \StringTok{","}\NormalTok{)}
\NormalTok{fdir     }\OtherTok{=} \FunctionTok{file.path}\NormalTok{(}\FunctionTok{getwd}\NormalTok{(), }\StringTok{"8\_Abbildungen"}\NormalTok{)}

\CommentTok{\# Evaluation der absoluten und relativen Häufigkeitsverteilugen von Pre.BDI}
\NormalTok{x        }\OtherTok{=}\NormalTok{ D}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{Pre.BDI                 }\CommentTok{\# Double vector der Pre.BDI Werte}
\NormalTok{n        }\OtherTok{=} \FunctionTok{length}\NormalTok{(x)                 }\CommentTok{\# Anzahl der Datenwerte}
\NormalTok{H        }\OtherTok{=} \FunctionTok{as.data.frame}\NormalTok{(}\FunctionTok{table}\NormalTok{(x))   }\CommentTok{\# absolute Häufigkeitsverteilung als Dataframe}
\FunctionTok{names}\NormalTok{(H) }\OtherTok{=} \FunctionTok{c}\NormalTok{(}\StringTok{"a"}\NormalTok{, }\StringTok{"h"}\NormalTok{)               }\CommentTok{\# Spaltenbenennung}
\NormalTok{H}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{H      }\OtherTok{=} \FunctionTok{cumsum}\NormalTok{(H}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{h)               }\CommentTok{\# kumulative absolute Häufigkeitsverteilung}
\NormalTok{H}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{r      }\OtherTok{=}\NormalTok{ H}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{h}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{n                     }\CommentTok{\# relative Häufigkeitsverteilung}
\NormalTok{H}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{R      }\OtherTok{=} \FunctionTok{cumsum}\NormalTok{(H}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{r)               }\CommentTok{\# kumulative relative Häufigkeitsverteilung}
\FunctionTok{print}\NormalTok{(H)}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}

\begin{verbatim}
>     a  h   H    r    R
> 1  14  1   1 0.01 0.01
> 2  15  3   4 0.03 0.04
> 3  16  6  10 0.06 0.10
> 4  17 17  27 0.17 0.27
> 5  18 21  48 0.21 0.48
> 6  19 20  68 0.20 0.68
> 7  20 17  85 0.17 0.85
> 8  21 12  97 0.12 0.97
> 9  22  2  99 0.02 0.99
> 10 23  1 100 0.01 1.00
\end{verbatim}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]{Empirische Verteilungsfunktionen}
\protect\hypertarget{empirische-verteilungsfunktionen-2}{}
\small

Kumulative absolute Häufigkeitsverteilung der Pre.BDI Werte \vspace{2mm}

\footnotesize
\setstretch{1.1}

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\CommentTok{\# Visualisierung der kumulativen absoluten Häufigkeitsverteilung}
\FunctionTok{graphics.off}\NormalTok{()                    }\CommentTok{\# Abbildungsinitialisierung}
\FunctionTok{dev.new}\NormalTok{()                         }\CommentTok{\# Abbildungsinitialisierung}
\NormalTok{Ha          }\OtherTok{=}\NormalTok{ H}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{H                 }\CommentTok{\# H(a) Werte}
\FunctionTok{names}\NormalTok{(Ha)   }\OtherTok{=}\NormalTok{ H}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{a                 }\CommentTok{\# barplot braucht a Werte als names}
\FunctionTok{barplot}\NormalTok{(                          }\CommentTok{\# Balkendiagramm}
\NormalTok{Ha,                               }\CommentTok{\# H(a) Werte}
\AttributeTok{col         =} \StringTok{"gray90"}\NormalTok{,           }\CommentTok{\# Balkenfarbe}
\AttributeTok{xlab        =} \StringTok{"a"}\NormalTok{,                }\CommentTok{\# x Achsenbeschriftung}
\AttributeTok{ylab        =} \StringTok{"H(a)"}\NormalTok{,             }\CommentTok{\# y Achsenbeschriftung}
\AttributeTok{ylim        =} \FunctionTok{c}\NormalTok{(}\DecValTok{0}\NormalTok{,}\DecValTok{110}\NormalTok{),           }\CommentTok{\# y Achsenlimits}
\AttributeTok{las         =} \DecValTok{1}\NormalTok{,                  }\CommentTok{\# Achsenticklabelorientierung }
\AttributeTok{main        =} \StringTok{"Pre.BDI"}\NormalTok{)          }\CommentTok{\# Titel}

\CommentTok{\# PDF Speicherung}
\FunctionTok{dev.copy2pdf}\NormalTok{(}
\AttributeTok{file        =} \FunctionTok{file.path}\NormalTok{(fdir, }\StringTok{"pds\_8\_kh.pdf"}\NormalTok{), }
\AttributeTok{width       =} \DecValTok{8}\NormalTok{, }
\AttributeTok{height      =} \DecValTok{5}\NormalTok{)    }
\end{Highlighting}
\end{Shaded}
\end{frame}

\begin{frame}{Empirische Verteilungsfunktionen}
\protect\hypertarget{empirische-verteilungsfunktionen-3}{}
\small

Kumulative absolute Häufigkeitsverteilung der Pre.BDI Werte \vspace{4mm}

\begin{center}\includegraphics[width=0.85\linewidth]{8_Abbildungen/pds_8_kh} \end{center}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]{Empirische Verteilungsfunktionen}
\protect\hypertarget{empirische-verteilungsfunktionen-4}{}
\small

Kumulative relative Häufigkeitsverteilung der Pre.BDI Werte \vspace{2mm}

\footnotesize
\setstretch{1.1}

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\CommentTok{\# Visualisierung der kumulativen relativen Häufigkeitsverteilung}
\FunctionTok{graphics.off}\NormalTok{()                }\CommentTok{\# Abbildungsinitialisierung}
\FunctionTok{dev.new}\NormalTok{()                     }\CommentTok{\# Abbildungsinitialisierung}
\NormalTok{R           }\OtherTok{=}\NormalTok{ H}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{R             }\CommentTok{\# R(a) Werte}
\FunctionTok{names}\NormalTok{(R)    }\OtherTok{=}\NormalTok{ H}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{a             }\CommentTok{\# barplot braucht a Werte als names}
\FunctionTok{dev.new}\NormalTok{()                     }\CommentTok{\# Abbildungsinitialisierung}
\FunctionTok{barplot}\NormalTok{(                      }\CommentTok{\# Balkendiagramm}
\NormalTok{R,                            }\CommentTok{\# R(a) Werte}
\AttributeTok{col         =} \StringTok{"gray90"}\NormalTok{,       }\CommentTok{\# Balkenfarbe}
\AttributeTok{xlab        =} \StringTok{"a"}\NormalTok{,            }\CommentTok{\# x Achsenbeschriftung}
\AttributeTok{ylab        =} \StringTok{"R(a)"}\NormalTok{,         }\CommentTok{\# y Achsenbeschriftung}
\AttributeTok{ylim        =} \FunctionTok{c}\NormalTok{(}\DecValTok{0}\NormalTok{,}\DecValTok{1}\NormalTok{),         }\CommentTok{\# y Achsenlimits}
\AttributeTok{las         =} \DecValTok{1}\NormalTok{,              }\CommentTok{\# Achsenticklabelorientierung }
\AttributeTok{main        =} \StringTok{"Pre.BDI"}\NormalTok{)      }\CommentTok{\# Titel}

\CommentTok{\# PDF Speicherung}
\FunctionTok{dev.copy2pdf}\NormalTok{(}
\AttributeTok{file        =} \FunctionTok{file.path}\NormalTok{(fdir, }\StringTok{"pds\_8\_kr.pdf"}\NormalTok{), }
\AttributeTok{width       =} \DecValTok{8}\NormalTok{, }
\AttributeTok{height      =} \DecValTok{5}\NormalTok{)    }
\end{Highlighting}
\end{Shaded}
\end{frame}

\begin{frame}{Empirische Verteilungsfunktionen}
\protect\hypertarget{empirische-verteilungsfunktionen-5}{}
\small

Kumulative relative Häufigkeitsverteilung der Pre.BDI Werte \vspace{4mm}

\begin{center}\includegraphics[width=0.85\linewidth]{8_Abbildungen/pds_8_kr} \end{center}
\end{frame}

\begin{frame}{Empirische Verteilungsfunktionen}
\protect\hypertarget{empirische-verteilungsfunktionen-6}{}
\footnotesize
\begin{definition}[Empirische Verteilungsfunktion]
$x = (x_1,...,x_n)$ sei ein Datensatz. Dann heißt die Funktion
\begin{equation}
F : \mathbb{R} \to [0,1], \xi \mapsto F(\xi)
:= \frac{\mbox{Anzahl der } x_i \mbox{ aus } x \mbox{ mit } x_i \le \xi}{n}
\end{equation}
die empirische Verteilungsfunktion (EVF) von $x$.
\end{definition}

Bemerkungen

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Die empirische Verteilungsfunktion wird auch \emph{empirische
  kumulative Verteilungsfunktion} genannt.
\item
  Die Definitionsmenge der EVF ist im Gegensatz zu
  Häufigkeitsverteilungen \(\mathbb{R}\) und nicht \(A\)
\item
  Die EVF verhält sich zu kumulativen Häufigkeitsverteilungen wie
  Histogramme zu Häufigkeitsverteilungen.
\item
  Typischerweise sind empirische Verteilungsfunktionen
  Treppenfunktionen.
\item
  Die (visuelle) Umkehrfunktion der EVF kann zur Bestimmung von
  Quantilen genutzt werden.
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]{Empirische Verteilungsfunktionen}
\protect\hypertarget{empirische-verteilungsfunktionen-7}{}
\small

Empirische Verteilungsfunktion der Pre.BDI Werte

\texttt{ecdf()} evaluiert die empirischen Verteilungsfunktion eines
Datensatzes \vspace{3mm}

\footnotesize
\setstretch{1.2}

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\FunctionTok{graphics.off}\NormalTok{()                                    }\CommentTok{\# Abbildungsinitialisierung}
\FunctionTok{dev.new}\NormalTok{()                                         }\CommentTok{\# Abbildungsinitialisierung}
\NormalTok{x    }\OtherTok{=}\NormalTok{ D}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{Pre.BDI                                  }\CommentTok{\# double vector der Pre.BDI Werte}
\NormalTok{evf  }\OtherTok{=} \FunctionTok{ecdf}\NormalTok{(x)                                    }\CommentTok{\# Evaluation der EVF}
\FunctionTok{plot}\NormalTok{(                                             }\CommentTok{\# plot() weiß mit ecdf object umzugehen}
\NormalTok{evf,                                              }\CommentTok{\# ecdf Objekt}
\AttributeTok{xlab =} \FunctionTok{TeX}\NormalTok{(}\StringTok{"$}\SpecialCharTok{\textbackslash{}\textbackslash{}}\StringTok{xi$"}\NormalTok{),                             }\CommentTok{\# x Achsenbeschriftung}
\AttributeTok{ylab =} \FunctionTok{TeX}\NormalTok{(}\StringTok{"$F(}\SpecialCharTok{\textbackslash{}\textbackslash{}}\StringTok{xi)$"}\NormalTok{),                          }\CommentTok{\# y Achsenbeschriftung}
\AttributeTok{main =} \StringTok{"Pre.BDI Empirische Verteilungsfunktion"}\NormalTok{)  }\CommentTok{\# Titel}

\CommentTok{\# PDF Speicherung}
\FunctionTok{dev.copy2pdf}\NormalTok{(}
\AttributeTok{file        =} \FunctionTok{file.path}\NormalTok{(fdir, }\StringTok{"pds\_8\_ecdf.pdf"}\NormalTok{), }
\AttributeTok{width       =} \DecValTok{8}\NormalTok{, }
\AttributeTok{height      =} \DecValTok{5}\NormalTok{)    }
\end{Highlighting}
\end{Shaded}
\end{frame}

\begin{frame}{Empirische Verteilungsfunktionen}
\protect\hypertarget{empirische-verteilungsfunktionen-8}{}
\small

Empirische Verteilungsfunktion der Pre.BDI Werte \vspace{4mm}

\begin{center}\includegraphics[width=0.85\linewidth]{8_Abbildungen/pds_8_ecdf} \end{center}
\end{frame}

\begin{frame}{}
\protect\hypertarget{section-4}{}
\vfill
\large
\setstretch{3}

Empirische Verteilungsfunktionen

\textbf{Quantile und Boxplots}

Übungen und Selbstkontrollfragen \vfill
\end{frame}

\begin{frame}{Quantile und Boxplots}
\protect\hypertarget{quantile-und-boxplots}{}
\footnotesize
\begin{definition}[$p$-Quantil]
\justifying
$x = (x_1,...,x_n)$ sei ein Datensatz und
\begin{equation}
x_s = \left(x_{(1)}, x_{(2)}, ...,x_{(n)}\right) \mbox{ mit }
\min_{1 \le i \le n}x_i = x_{(1)} \le x_{(2)} \le \cdots \le x_{(n)} = \max_{1 \le i \le n} x_i
\end{equation}
der zugehörige aufsteigend sortierte Datensatz. Weiterhin bezeichne $\lfloor \cdot \rfloor$ 
die Abrundungsfunktion.Dann heißt für ein $p \in [0,1]$ die Zahl
\begin{equation}
x_p :=
\begin{cases}
x_{(\lfloor np + 1 \rfloor)} & \mbox{ falls } np \neq \mathbb{N} \\
\frac{1}{2}\left(x_{(np)} +  x_{(np + 1)}\right) & \mbox{ falls } np \in \mathbb{N} \\
\end{cases}
\end{equation}
das \textit{$p$-Quantil} von $x$.
\end{definition}

Bemerkungen

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Mindestens \(p \cdot 100\%\) aller Werte in \(x\) sind kleiner oder
  gleich \(x_p\).
\item
  Mindestens \((1-p) \cdot 100\%\) aller Werte in \(x\) sind größer als
  \(x_p\) .
\item
  Das \(p\)-Quantil teilt den geordneten Datensatz im Verhältnis \(p\)
  zu \((1-p)\) auf.
\item
  \(x_{0.25}, x_{0.50}, x_{0.75}\) heißen \emph{unteres Quartil},
  \emph{Median}, und \emph{oberes Quartil}, respektive.
\item
  \(x_{j\cdot 0.10}\) für \(j = 1,...,9\) heißen \emph{Dezile},
\item
  \(x_{j\cdot 0.01}\) für \(j = 1,...,99\) heißen \emph{Percentile}.
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Quantile und Boxplots}
\protect\hypertarget{quantile-und-boxplots-1}{}
\small

Beispiel \(p\)-Quantil (Henze (2018), Kapitel 5)

\footnotesize

Datensatz und sortierter Datensatz \vspace{1mm}

\begin{center}
\begin{tabular}{c|ccccccccccc}
$i$
& 1
& 2
& 3
& 4
& 5
& 6
& 7
& 8
& 9
& 10
\\\hline
$x_i$
& 8.5
& 1.5
& 75
& 4.5
& 6.0
& 3.0
& 3.0
& 2.5
& 6.0
& 9.0
\\
$x_{(i)}$
& 1.5
& 2.5
& 3.0
& 3.0
& 4.5
& 6.0
& 6.0
& 8.5
& 9.0
& 75
\end{tabular}
\end{center}
\vspace{4mm}

\small

\(0.25\)-Quantil \vspace{1mm}

\footnotesize

Es ist \(n = 10\) und es sei \(p := 0.25\). Dann gilt
\(np = 10 \cdot 0.25 = 2.5 \notin \mathbb{N}\). Also folgt
\begin{equation}
x_{0.25} = x_{(\lfloor 2.5 + 1\rfloor)} = x_{(3)} = 3.0
\end{equation} \vspace{1mm}

\(0.80\)-Quantil \vspace{1mm}

Es ist \(n = 10\) und es sei \(p := 0.80\). Dann gilt
\(np = 10 \cdot 0.80 = 8 \in \mathbb{N}\). Also folgt \begin{equation}
x_{0.80} = \frac{1}{2} \left( x_{(8)} + x_{(8 + 1)}\right) = \frac{1}{2}\left(x_{(8)} + x_{(9)}\right)
= \frac{8.5 + 9.0}{2} = 8.75.
\end{equation}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]{Quantile und Boxplots}
\protect\hypertarget{quantile-und-boxplots-2}{}
\small
\vspace{1mm}

Beispiel \(p\)-Quantil (Henze (2018), Kapitel 5) (fortgeführt)

\footnotesize

``Manuelle'' Quantilbestimmung anhand obiger Definition \vspace{1mm}
\setstretch{1}

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\NormalTok{x   }\OtherTok{=} \FunctionTok{c}\NormalTok{(}\FloatTok{8.5}\NormalTok{,}\FloatTok{1.5}\NormalTok{,}\DecValTok{12}\NormalTok{,}\FloatTok{4.5}\NormalTok{,}\FloatTok{6.0}\NormalTok{,}\FloatTok{3.0}\NormalTok{,}\FloatTok{3.0}\NormalTok{,}\FloatTok{2.5}\NormalTok{,}\FloatTok{6.0}\NormalTok{,}\FloatTok{9.0}\NormalTok{)   }\CommentTok{\# Beispieldaten}
\NormalTok{n   }\OtherTok{=} \FunctionTok{length}\NormalTok{(x)                                   }\CommentTok{\# Anzahl Datenwerte}
\NormalTok{x\_s }\OtherTok{=} \FunctionTok{sort}\NormalTok{(x)                                     }\CommentTok{\# sortierter Datensatz}
\NormalTok{p   }\OtherTok{=} \FloatTok{0.25}                                        \CommentTok{\# np \textbackslash{}notin \textbackslash{}mathbb\{N\}}
\NormalTok{x\_p }\OtherTok{=}\NormalTok{ x\_s[}\FunctionTok{floor}\NormalTok{(n}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{p }\SpecialCharTok{+} \DecValTok{1}\NormalTok{)]                         }\CommentTok{\# 0.25 Quantil}
\FunctionTok{print}\NormalTok{(x\_p)                                        }\CommentTok{\# Ausgabe}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}

\begin{verbatim}
> [1] 3
\end{verbatim}

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\NormalTok{p   }\OtherTok{=} \FloatTok{0.80}                                        \CommentTok{\# np \textbackslash{}in \textbackslash{}mathbb\{N\}}
\NormalTok{x\_p }\OtherTok{=}\NormalTok{ (}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{/}\DecValTok{2}\NormalTok{)}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{(x\_s[n}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{p] }\SpecialCharTok{+}\NormalTok{ x\_s[n}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{p }\SpecialCharTok{+} \DecValTok{1}\NormalTok{])             }\CommentTok{\# 0.80 Quantil}
\FunctionTok{print}\NormalTok{(x\_p)                                        }\CommentTok{\# Ausgabe}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}

\begin{verbatim}
> [1] 8.75
\end{verbatim}

\texttt{quantile()} wertet Quantile anhand der Quantildefinition
\texttt{type} aus.

Es gibt mindestens neun verschiedene Quantildefinitionen (cf. Hyndman
and Fan (1996))

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\NormalTok{x\_p }\OtherTok{=} \FunctionTok{quantile}\NormalTok{(x, }\FloatTok{0.80}\NormalTok{, }\AttributeTok{type =} \DecValTok{1}\NormalTok{)                 }\CommentTok{\# 0.80 Quantil, Definition 1}
\FunctionTok{print}\NormalTok{(x\_p)}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}

\begin{verbatim}
> 80% 
> 8.5
\end{verbatim}

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\NormalTok{x\_p }\OtherTok{=} \FunctionTok{quantile}\NormalTok{(x, }\FloatTok{0.80}\NormalTok{, }\AttributeTok{type =} \DecValTok{2}\NormalTok{)                 }\CommentTok{\# 0.80 Quantil, Definition 2}
\FunctionTok{print}\NormalTok{(x\_p)}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}

\begin{verbatim}
>  80% 
> 8.75
\end{verbatim}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]{Quantile und Boxplots}
\protect\hypertarget{quantile-und-boxplots-3}{}
\small
\vspace{1mm}

Beispiel \(p\)-Quantil (Henze (2018), Kapitel 5) (fortgeführt)

\footnotesize

Kombination von \texttt{ecdf()}und \texttt{abline()} erlaubt prinzipiell
die visuelle Bestimmung von Quantilen

\vspace{2mm}
\setstretch{1}

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\FunctionTok{graphics.off}\NormalTok{()                             }\CommentTok{\# Abbildungsinitialisierung}
\FunctionTok{dev.new}\NormalTok{()                                  }\CommentTok{\# Abbildungsinitialisierung}
\NormalTok{evf         }\OtherTok{=} \FunctionTok{ecdf}\NormalTok{(x)                      }\CommentTok{\# Evaluation der EVF}
\FunctionTok{plot}\NormalTok{(                                      }\CommentTok{\# plot() weiß mit ecdf object umzugehen}
\NormalTok{evf,                                       }\CommentTok{\# ecdf Objekt}
\AttributeTok{xlab        =} \FunctionTok{TeX}\NormalTok{(}\StringTok{"$}\SpecialCharTok{\textbackslash{}\textbackslash{}}\StringTok{xi$"}\NormalTok{),               }\CommentTok{\# x Achsenbeschriftung}
\AttributeTok{ylab        =} \FunctionTok{TeX}\NormalTok{(}\StringTok{"$F(}\SpecialCharTok{\textbackslash{}\textbackslash{}}\StringTok{xi)$"}\NormalTok{),            }\CommentTok{\# y Achsenbeschriftung}
\AttributeTok{verticals   =} \ConstantTok{TRUE}\NormalTok{,                        }\CommentTok{\# vertikale Linien }
\AttributeTok{do.points   =} \ConstantTok{FALSE}\NormalTok{,                       }\CommentTok{\# keine Punkte}
\AttributeTok{main        =} \StringTok{"Beispiel 80\%{-}Quantil"}\NormalTok{)      }\CommentTok{\# Titel}
\FunctionTok{abline}\NormalTok{(                                    }\CommentTok{\# horizontale Linie}
\AttributeTok{h           =} \FloatTok{0.80}\NormalTok{,                        }\CommentTok{\# y Ordinate der Linie}
\AttributeTok{col         =} \StringTok{"blue"}\NormalTok{)                      }\CommentTok{\# blau}

\CommentTok{\# PDF Speicherung}
\FunctionTok{dev.copy2pdf}\NormalTok{(}
\AttributeTok{file        =} \FunctionTok{file.path}\NormalTok{(fdir, }\StringTok{"pds\_8\_ecdf\_abline\_x.pdf"}\NormalTok{), }
\AttributeTok{width       =} \DecValTok{8}\NormalTok{, }
\AttributeTok{height      =} \DecValTok{5}\NormalTok{)    }
\end{Highlighting}
\end{Shaded}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]{Quantile und Boxplots}
\protect\hypertarget{quantile-und-boxplots-4}{}
\small
\vspace{1mm}

Beispiel \(p\)-Quantil (Henze (2018), Kapitel 5) (fortgeführt)

\footnotesize

Kombination von \texttt{ecdf()}und \texttt{abline()} erlaubt prinzipiell
die visuelle Bestimmung von Quantilen

\begin{center}\includegraphics[width=0.85\linewidth]{8_Abbildungen/pds_8_ecdf_abline_x} \end{center}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]{Empirische Verteilungsfunktionen}
\protect\hypertarget{empirische-verteilungsfunktionen-9}{}
\small

80\% Quantil der Pre-BDI Daten \vspace{2mm}

\footnotesize
\setstretch{1}

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\FunctionTok{graphics.off}\NormalTok{()                             }\CommentTok{\# Abbildungsinitialisierung}
\FunctionTok{dev.new}\NormalTok{()                                  }\CommentTok{\# Abbildungsinitialisierung}
\NormalTok{x           }\OtherTok{=}\NormalTok{ D}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{Pre.BDI                    }\CommentTok{\# Double vector der Pre.BDI Werte}
\NormalTok{evf         }\OtherTok{=} \FunctionTok{ecdf}\NormalTok{(x)                      }\CommentTok{\# Evaluation der EVF}
\FunctionTok{plot}\NormalTok{(                                      }\CommentTok{\# plot() weiß mit ecdf object umzugehen}
\NormalTok{evf,                                       }\CommentTok{\# ecdf Objekt}
\AttributeTok{xlab        =} \FunctionTok{TeX}\NormalTok{(}\StringTok{"$}\SpecialCharTok{\textbackslash{}\textbackslash{}}\StringTok{xi$"}\NormalTok{),               }\CommentTok{\# x Achsenbeschriftung}
\AttributeTok{ylab        =} \FunctionTok{TeX}\NormalTok{(}\StringTok{"$F(}\SpecialCharTok{\textbackslash{}\textbackslash{}}\StringTok{xi)$"}\NormalTok{),            }\CommentTok{\# y Achsenbeschriftung}
\AttributeTok{verticals   =} \ConstantTok{TRUE}\NormalTok{,                        }\CommentTok{\# vertikale Linien }
\AttributeTok{do.points   =} \ConstantTok{FALSE}\NormalTok{,                       }\CommentTok{\# keine Punkte}
\AttributeTok{main        =} \StringTok{"Beispiel 80\%{-}Quantil"}\NormalTok{)      }\CommentTok{\# Titel}
\FunctionTok{abline}\NormalTok{(                                    }\CommentTok{\# horizontale Linie}
\AttributeTok{h           =} \FloatTok{0.80}\NormalTok{,                        }\CommentTok{\# y Ordinate der Linie}
\AttributeTok{col         =} \StringTok{"blue"}\NormalTok{)                      }\CommentTok{\# blau}

\CommentTok{\# PDF Speicherung}
\FunctionTok{dev.copy2pdf}\NormalTok{(}
\AttributeTok{file        =} \FunctionTok{file.path}\NormalTok{(fdir, }\StringTok{"pds\_8\_ecdf\_abline\_prebdi.pdf"}\NormalTok{), }
\AttributeTok{width       =} \DecValTok{8}\NormalTok{, }
\AttributeTok{height      =} \DecValTok{5}\NormalTok{)    }
\end{Highlighting}
\end{Shaded}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]{Quantile und Boxplots}
\protect\hypertarget{quantile-und-boxplots-5}{}
\small

80\% Quantil der Pre-BDI Daten \vspace{2mm}

\begin{center}\includegraphics[width=0.8\linewidth]{8_Abbildungen/pds_8_ecdf_abline_prebdi} \end{center}

\tiny
\setstretch{1}

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\NormalTok{x\_p }\OtherTok{=} \FunctionTok{quantile}\NormalTok{(D}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{Pre.BDI, }\FloatTok{0.80}\NormalTok{, }\AttributeTok{type =} \DecValTok{2}\NormalTok{) }\CommentTok{\# 0.80 Quantil, Definition 2}
\FunctionTok{print}\NormalTok{(x\_p)}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}

\begin{verbatim}
> 80% 
>  20
\end{verbatim}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]{Quantile und Boxplots}
\protect\hypertarget{quantile-und-boxplots-6}{}
Boxplots

\small

Ein Boxplot visualisiert eine Quantil-basierte Zusammenfassung eines
Datensatzes.

Typischerweise werden \(\min x, x_{0.25}, x_{0.50}, x_{0.75}, \max x\)
visualisiert.

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  \(\min x\) und \(\max x\) werden oft als ``Whiskerendpunkte''
  dargestellt.
\item
  \(x_{0.25}\) und \(x_{0.75}\) sind untere und obere Grenze der
  zentralen grauen Box.
\item
  \(x_{0.50}\) wird als Strich in der zentralen grauen Box abgebildet.
\end{itemize}

\(d_Q := x_{0.75} - x_{0.25}\) heißt \textit{Interquartilsabstand} und
dient als Verteilungsbreitenmaß

\texttt{summary()} liefert wesentliche Kennzahlen

\footnotesize
\setstretch{1}

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\CommentTok{\# Sechswertezusammenfassung}
\FunctionTok{summary}\NormalTok{(D}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{Pre.BDI)}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}

\begin{verbatim}
>    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
>    14.0    17.0    19.0    18.6    20.0    23.0
\end{verbatim}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]{Quantile und Boxplots}
\protect\hypertarget{quantile-und-boxplots-7}{}
Boxplots

\small

\texttt{boxplot()} erstellt einen Boxplot, \vspace{2mm}

\footnotesize
\setstretch{1.2}

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\CommentTok{\# Boxplot}
\FunctionTok{graphics.off}\NormalTok{()                      }\CommentTok{\# Abbildungsinitialisierung}
\FunctionTok{dev.new}\NormalTok{()                           }\CommentTok{\# Abbildungsinitialisierung}
\FunctionTok{boxplot}\NormalTok{(                            }\CommentTok{\# Boxplot}
\NormalTok{D}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{Pre.BDI,                          }\CommentTok{\# Datensatz}
\AttributeTok{horizontal  =}\NormalTok{ T,                    }\CommentTok{\# horizontale Darstellung}
\AttributeTok{range       =} \DecValTok{0}\NormalTok{,                    }\CommentTok{\# Whiskers bis zu min x und max x}
\AttributeTok{xlab        =} \StringTok{"x"}\NormalTok{,                  }\CommentTok{\# x Achsenbeschriftung}
\AttributeTok{main        =} \StringTok{"Pre.BDI Boxplot"}\NormalTok{)    }\CommentTok{\# Titel}

\CommentTok{\# PDF Speicherung}
\FunctionTok{dev.copy2pdf}\NormalTok{(}
\AttributeTok{file        =} \FunctionTok{file.path}\NormalTok{(fdir, }\StringTok{"pds\_8\_boxplot\_prebdi.pdf"}\NormalTok{), }
\AttributeTok{width       =} \DecValTok{8}\NormalTok{, }
\AttributeTok{height      =} \DecValTok{5}\NormalTok{)    }
\end{Highlighting}
\end{Shaded}
\end{frame}

\begin{frame}{Quantile und Boxplots}
\protect\hypertarget{quantile-und-boxplots-8}{}
Boxplots

\begin{center}\includegraphics[width=0.8\linewidth]{8_Abbildungen/pds_8_boxplot_prebdi} \end{center}

\footnotesize

Es gibt viele Boxplotvariationen (cf. McGill, Tukey, and Larsen (1978)),
eine genaue Erläuterung ist immer nötig!
\end{frame}

\begin{frame}{}
\protect\hypertarget{section-5}{}
\vfill
\large
\setstretch{3}

Empirische Verteilungsfunktionen

Quantile und Boxplots

\textbf{Übungen und Selbstkontrollfragen} \vfill
\end{frame}

\begin{frame}{Übungen und Selbstkontrollfragen}
\protect\hypertarget{uxfcbungen-und-selbstkontrollfragen}{}
\footnotesize
\begin{enumerate}
\justifying
\item Definieren Sie die Begriffe der kumulativen absoluten und relativen Häufigkeitsverteilungen.
\item Erzeugen und visualisieren Sie die kumulativen absoluten und relativen Häufigkeitsverteilungen
der Post.BDI Daten des Beispieldatensatzes \textit{psychotherapie\_datensatz.csv}.
\item Definieren Sie den Begriff der empirischen Verteilungsfunktion.
\item Erzeugen und visualisieren Sie die empirische Verteilungsfunktion der Post.BDI Daten.
\item Erläutern Sie den Begriff des sortierten Datensatzes.
\item Definieren Sie den Begriff des $p$-Quantils.
\item Berechnen Sie das obere Quartil des Beispieldatensatzes auf Folie 16.
\item Definieren Sie die Begriffe unteres Quartil, Median und oberes Quartil mithilfe des $p$-Quantils.
\item Berechnen Sie das untere Quartil, den Median und das obere Quartil der Post.BDI Daten. Vergleiche Sie
ihre Ergebnisse mit der Ausgabe der summary() Funktion.
\item Erstellen Sie einen Boxplot der Post.BDI Daten.
\end{enumerate}
\end{frame}

\begin{frame}{References}
\protect\hypertarget{references}{}
\footnotesize

\hypertarget{refs}{}
\begin{CSLReferences}{1}{0}
\leavevmode\vadjust pre{\hypertarget{ref-henze_2018}{}}%
Henze, Norbert. 2018. \emph{{Stochastik für Einsteiger}}. {Wiesbaden}:
{Springer Fachmedien Wiesbaden}.
\url{https://doi.org/10.1007/978-3-658-22044-0}.

\leavevmode\vadjust pre{\hypertarget{ref-hyndman_1996}{}}%
Hyndman, Rob J., and Yanan Fan. 1996. {``Sample {Quantiles} in
{Statistical Packages}.''} \emph{The American Statistician} 50 (4): 361.
\url{https://doi.org/10.2307/2684934}.

\leavevmode\vadjust pre{\hypertarget{ref-mcgill_1978}{}}%
McGill, Robert, John W. Tukey, and Wayne A. Larsen. 1978. {``Variations
of {Box Plots}.''} \emph{The American Statistician} 32 (1): 12.
\url{https://doi.org/10.2307/2683468}.

\end{CSLReferences}
\end{frame}

\end{document}
