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  \centering
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  \usepackage[]{microtype}
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  hidelinks,
  pdfcreator={LaTeX via pandoc}}
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  % set entry spacing
  \setlength{\parskip}{#2\cslentryspacingunit}
 }%
 {}
\usepackage{calc}
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    \flushleft\insertframetitle%
    \end{minipage}%
}

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{
\vskip10pt\hfill\hspace{3.5mm} 										 
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}

% slide number
% ---------------------------------------------------------------
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\setbeamertemplate{footline}
{
\vskip5pt
\vskip2pt
\makebox[123mm]{\hspace{7.5mm}
\hfill Programmierung und Deskriptive Statistik $\vert$ 
\copyright $ $ 2022 Dirk Ostwald CC BY-NC-SA 4.0 $\vert$ 
Folie \insertframenumber}
\vskip4pt
}

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% definitions and theorems
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% ------------------------------------------------------------------------------
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% local line spacing
% ------------------------------------------------------------------------------
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% colors
% -----------------------------------------------------------------------------
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% ------------------------------------------------------------------------------
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% bullet point lists
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\setbeamerfont{itemize/enumerate subsubbody}{size = \normalsize}

% color links
% ------------------------------------------------------------------------------
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% additional math commands
% ------------------------------------------------------------------------------
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% text highlighting
% ------------------------------------------------------------------------------
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\let\HL\hl
\renewcommand\hl{%
  \let\set@color\beamerorig@set@color
  \let\reset@color\beamerorig@reset@color
  \HL}
\makeatother

% equation highlighting
% -----------------------------------------------------------------------------
\newcommand{\highlight}[2][yellow]{\mathchoice%
  {\colorbox{#1}{$\displaystyle#2$}}%
  {\colorbox{#1}{$\textstyle#2$}}%
  {\colorbox{#1}{$\scriptstyle#2$}}%
  {\colorbox{#1}{$\scriptscriptstyle#2$}}}%

% additional mathematical operators
% ------------------------------------------------------------------------------
\DeclareMathOperator*{\argmax}{arg\,max}
\DeclareMathOperator*{\argmin}{arg\,min}

\ifLuaTeX
  \usepackage{selnolig}  % disable illegal ligatures
\fi

\begin{document}

\begin{frame}[plain]{}
\protect\hypertarget{section}{}
\center

\begin{center}\includegraphics[width=0.2\linewidth]{7_Abbildungen/pds_7_otto} \end{center}

\vspace{2mm}

\huge

Programmierung und Deskriptive Statistik \vspace{6mm}

\large

BSc Psychologie WiSe 2021/22

\vspace{6mm}
\large

Prof.~Dr.~Dirk Ostwald
\end{frame}

\begin{frame}[plain]{}
\protect\hypertarget{section-1}{}
\vfill
\huge
\begin{center}
(7) Häufigkeitsverteilungen
\end{center}
\vfill
\end{frame}

\begin{frame}[plain]{}
\protect\hypertarget{section-2}{}
\setstretch{1.6}
\justifying
\large

\textcolor{darkblue}{Definition und Ziele der Deskriptive Statistik}

\normalsize

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Die Deskriptive Statistik ist die \emph{beschreibende} Statistik.
\item
  Ziel der Deskriptiven Statistik ist es, Daten übersichtlich
  darzustellen.
\item
  Deskriptive Statistik ist inbesondere bei großen Datensätzen sinnvoll.
\item
  Die Deskriptive Statistik berechnet zusammenfassende Maße aus Daten.
\end{itemize}

\large

\textcolor{darkblue}{Typische Methoden der Deskriptiven Statistik}

\normalsize

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Häufigkeitsverteilungen und Histogramme
\item
  Verteilungsfunktionen und Quantile
\item
  Maße der zentralen Tendenz und der Datenvariabilität
\item
  Zusammenhangsmaße
\end{itemize}

Die Deskriptive Statistik benutzt keine probabilistischen Modelle, aber
die Methoden der Deskriptiven Statistik ergeben nur vor dem Hintergrund
probabilistischer Modelle Sinn.
\end{frame}

\begin{frame}{}
\protect\hypertarget{section-3}{}
\vfill
\large
\setstretch{3}

Beispieldatensatz

Häufigkeitsverteilungen

Histogramme

Übungen und Selbstkontrollfragen \vfill
\end{frame}

\begin{frame}{}
\protect\hypertarget{section-4}{}
\vfill
\large
\setstretch{3}

\textbf{Beispieldatensatz}

Häufigkeitsverteilungen

Histogramme

Übungen und Selbstkontrollfragen \vfill
\end{frame}

\begin{frame}{Beispieldatensatz}
\protect\hypertarget{beispieldatensatz}{}
\textcolor{darkblue}{Evidenzbasierte Evaluation von Psychotherapieformen bei Depression}

\normalsize

Welche Therapieform ist bei Depression wirksamer?

\begin{center}\includegraphics[width=1.1\linewidth]{7_Abbildungen/pds_7_klinische_forschung} \end{center}
\end{frame}

\begin{frame}{Beispieldatensatz}
\protect\hypertarget{beispieldatensatz-1}{}
\textcolor{darkblue}{Evidenzbasierte Evaluation von Psychotherapieformen bei Depression}

\normalsize

Becks Depressions-Inventar (BDI) zur Depressionsdiagnostik

\begin{center}\includegraphics[width=1\linewidth]{7_Abbildungen/pds_7_bdi} \end{center}
\end{frame}

\begin{frame}{Beispieldatensatz}
\protect\hypertarget{beispieldatensatz-2}{}
\textcolor{darkblue}{Beispiel: Evaluation von Psychotherapieformen bei Depression}
\vspace{2mm}

\begin{center}\includegraphics[width=0.9\linewidth]{7_Abbildungen/pds_7_messplan} \end{center}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]{Beispieldatensatz}
\protect\hypertarget{beispieldatensatz-3}{}
Einlesen des Datensatzes mit \texttt{read.table()} \vspace{1mm}

\footnotesize

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\NormalTok{fname       }\OtherTok{=} \FunctionTok{file.path}\NormalTok{(}\FunctionTok{getwd}\NormalTok{(), }\StringTok{"7\_Daten"}\NormalTok{, }\StringTok{"psychotherapie\_datensatz.csv"}\NormalTok{)}
\NormalTok{D           }\OtherTok{=} \FunctionTok{read.table}\NormalTok{(fname, }\AttributeTok{sep =} \StringTok{","}\NormalTok{)}
\FunctionTok{print}\NormalTok{(D)}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}

\begin{verbatim}
>      V1        V2      V3       V4
> 1    NA Bedingung Pre BDI Post BDI
> 2     1 Klassisch      17        9
> 3     2 Klassisch      20       14
> 4     3 Klassisch      16       13
> 5     4 Klassisch      18       12
> 6     5 Klassisch      21       12
> 7     6 Klassisch      17       14
> 8     7 Klassisch      17       12
> 9     8 Klassisch      17        9
> 10    9 Klassisch      18       11
> 11   10 Klassisch      18       14
> 12   11 Klassisch      20       10
> 13   12 Klassisch      17       15
> 14   13 Klassisch      16       17
> 15   14 Klassisch      18       12
> 16   15 Klassisch      16       10
> 17   16 Klassisch      18       13
> 18   17 Klassisch      17        9
> 19   18 Klassisch      14       13
> 20   19 Klassisch      18       12
> 21   20 Klassisch      18       12
> 22   21 Klassisch      20       14
> 23   22 Klassisch      20       14
> 24   23 Klassisch      21       10
> 25   24 Klassisch      19        9
> 26   25 Klassisch      19       14
> 27   26 Klassisch      17       13
> 28   27 Klassisch      20       11
> 29   28 Klassisch      21       14
> 30   29 Klassisch      17       10
> 31   30 Klassisch      17       10
> 32   31 Klassisch      19       14
> 33   32 Klassisch      20        9
> 34   33 Klassisch      22       10
> 35   34 Klassisch      20       12
> 36   35 Klassisch      21       13
> 37   36 Klassisch      20       13
> 38   37 Klassisch      16       12
> 39   38 Klassisch      15       10
> 40   39 Klassisch      15       13
> 41   40 Klassisch      18       13
> 42   41 Klassisch      21       11
> 43   42 Klassisch      17       12
> 44   43 Klassisch      18       16
> 45   44 Klassisch      21       14
> 46   45 Klassisch      17       11
> 47   46 Klassisch      19       11
> 48   47 Klassisch      16       12
> 49   48 Klassisch      17       12
> 50   49 Klassisch      17       10
> 51   50 Klassisch      18       11
> 52   51    Online      22       16
> 53   52    Online      19       15
> 54   53    Online      21       13
> 55   54    Online      18       15
> 56   55    Online      19       13
> 57   56    Online      17       16
> 58   57    Online      20       13
> 59   58    Online      19       16
> 60   59    Online      19       13
> 61   60    Online      19       14
> 62   61    Online      17        9
> 63   62    Online      20       18
> 64   63    Online      18       14
> 65   64    Online      20       17
> 66   65    Online      18       13
> 67   66    Online      18       13
> 68   67    Online      15       14
> 69   68    Online      18       14
> 70   69    Online      17       14
> 71   70    Online      19       13
> 72   71    Online      19       12
> 73   72    Online      19       14
> 74   73    Online      20       12
> 75   74    Online      19       11
> 76   75    Online      20       14
> 77   76    Online      19       15
> 78   77    Online      21       17
> 79   78    Online      19       12
> 80   79    Online      19       16
> 81   80    Online      18       13
> 82   81    Online      20       18
> 83   82    Online      16       13
> 84   83    Online      21       15
> 85   84    Online      19       16
> 86   85    Online      20       12
> 87   86    Online      18       14
> 88   87    Online      23       14
> 89   88    Online      18       13
> 90   89    Online      19       15
> 91   90    Online      18       12
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> 93   92    Online      17       15
> 94   93    Online      20       13
> 95   94    Online      21       15
> 96   95    Online      21       14
> 97   96    Online      20       16
> 98   97    Online      18       15
> 99   98    Online      18       14
> 100  99    Online      19       13
> 101 100    Online      19       15
\end{verbatim}

\small

Daten der ersten acht Proband:innen jeder Gruppe

\footnotesize
\setstretch{1}

\begin{longtable}[]{@{}lcccc@{}}
\toprule
& V1 & V2 & V3 & V4 \\
\midrule
\endhead
1 & NA & Bedingung & Pre BDI & Post BDI \\
2 & 1 & Klassisch & 17 & 9 \\
3 & 2 & Klassisch & 20 & 14 \\
4 & 3 & Klassisch & 16 & 13 \\
5 & 4 & Klassisch & 18 & 12 \\
6 & 5 & Klassisch & 21 & 12 \\
7 & 6 & Klassisch & 17 & 14 \\
8 & 7 & Klassisch & 17 & 12 \\
51 & 50 & Klassisch & 18 & 11 \\
52 & 51 & Online & 22 & 16 \\
53 & 52 & Online & 19 & 15 \\
54 & 53 & Online & 21 & 13 \\
55 & 54 & Online & 18 & 15 \\
56 & 55 & Online & 19 & 13 \\
57 & 56 & Online & 17 & 16 \\
58 & 57 & Online & 20 & 13 \\
\bottomrule
\end{longtable}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]{Beispieldatensatz}
\protect\hypertarget{beispieldatensatz-4}{}
Datensatzübersicht mit \texttt{View()} \vspace{2mm}

\begin{center}\includegraphics[width=0.3\linewidth]{7_Abbildungen/pds_7_view} \end{center}
\end{frame}

\begin{frame}{}
\protect\hypertarget{section-5}{}
\vfill
\large
\setstretch{3}

Beispieldatensatz

\textbf{Häufigkeitsverteilungen}

Histogramme

Übungen und Selbstkontrollfragen \vfill
\end{frame}

\begin{frame}{Häufigkeitsverteilungen}
\protect\hypertarget{huxe4ufigkeitsverteilungen}{}
\small
\begin{definition}[Absolute und relative Häufigkeitsverteilungen]
\justifying
$x := (x_1,...,x_n)$ mit $x_i \in \mathbb{R}$ sei ein \textit{Datensatz} 
(manchmal auch ``Urliste'' genannt) und $A := \{a_1,...,a_k\}$ mit $k \le n$ 
seien die im Datensatz vorkommenden verschiedenen Zahlenwerte (manchmal auch
``Merkmalsausprägungen'' genannt). Dann heißt die Funktion
\begin{equation}
h : A \to \mathbb{N}, a \mapsto h(a) := \mbox{Anzahl der } x_i \mbox{ aus } x \mbox{ mit } x_i = a
\end{equation}
die \textit{absolute Häufigkeitsverteilung} der Zahlwerte von $x$ und die Funktion
\begin{equation}
r : A \to [0,1], a \mapsto r(a) := \frac{h(a)}{n}
\end{equation}
die \textit{relative Häufigkeitsverteilung} der Zahlwerte von $x$.
\end{definition}

\footnotesize

Bemerkungen

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Absolute und relative Häufigkeitsverteilungen fassen Datensätze
  zusammen
\item
  Absolute und relative Häufigkeitsverteilungen können einen ersten
  Datenüberblick geben
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]{Häufigkeitsverteilungen}
\protect\hypertarget{huxe4ufigkeitsverteilungen-1}{}
Erzeugen der absoluten Häufigkeitsverteilung mit \texttt{table()}

Erzeugen der relativen Häufigkeitsverteilung durch Division mit \(n\)
\vspace{1mm}

\setstretch{1.2}
\footnotesize

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\NormalTok{x           }\OtherTok{=}\NormalTok{ D}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{Pre.BDI                     }\CommentTok{\# Double vector der Pre BDI Werte}
\NormalTok{n           }\OtherTok{=} \FunctionTok{length}\NormalTok{(x)                     }\CommentTok{\# Anzahl der Datenwerte (100)}
\NormalTok{H           }\OtherTok{=} \FunctionTok{as.data.frame}\NormalTok{(}\FunctionTok{table}\NormalTok{(x))       }\CommentTok{\# absolute Haeufigkeitsverteilung (dataframe)}
\FunctionTok{names}\NormalTok{(H)    }\OtherTok{=} \FunctionTok{c}\NormalTok{(}\StringTok{"a"}\NormalTok{, }\StringTok{"h"}\NormalTok{)                   }\CommentTok{\# Spaltenbenennung}
\NormalTok{H}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{r         }\OtherTok{=}\NormalTok{ H}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{h}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{n                         }\CommentTok{\# relative Haeufigkeitsverteilung}
\FunctionTok{print}\NormalTok{(H, }\AttributeTok{digits =} \DecValTok{1}\NormalTok{)                        }\CommentTok{\# Ausgabe}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]{Häufigkeitsverteilungen}
\protect\hypertarget{huxe4ufigkeitsverteilungen-2}{}
Visualisierung der absoluten Häufigkeitsverteilung mit
\texttt{barplot()}

\footnotesize
\vspace{1mm}

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\NormalTok{h           }\OtherTok{=}\NormalTok{ H}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{h                                     }\CommentTok{\# h(a) Werte}
\FunctionTok{names}\NormalTok{(h)    }\OtherTok{=}\NormalTok{ H}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{a                                     }\CommentTok{\# barplot braucht a Werte als names}
\FunctionTok{dev.new}\NormalTok{()                                             }\CommentTok{\# Abbildungsinitialisierung}
\FunctionTok{barplot}\NormalTok{(                                              }\CommentTok{\# Balkendiagramm}
\NormalTok{h,                                                    }\CommentTok{\# absolute Haeufigkeiten}
\AttributeTok{col         =} \StringTok{"gray90"}\NormalTok{,                               }\CommentTok{\# Balkenfarbe}
\AttributeTok{xlab        =} \StringTok{"a"}\NormalTok{,                                    }\CommentTok{\# x Achsenbeschriftung}
\AttributeTok{ylab        =} \StringTok{"h(a)"}\NormalTok{,                                 }\CommentTok{\# y Achsenbeschriftung}
\AttributeTok{ylim        =} \FunctionTok{c}\NormalTok{(}\DecValTok{0}\NormalTok{,}\DecValTok{25}\NormalTok{),                                }\CommentTok{\# y Achsengrenzen}
\AttributeTok{las         =} \DecValTok{2}\NormalTok{,                                      }\CommentTok{\# x Tick Orientierung}
\AttributeTok{main        =} \StringTok{"Pre BDI"}\NormalTok{)                              }\CommentTok{\# Titel}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}

\vspace{2mm}
\normalsize

Speichern von Abbildungen mit \texttt{dev.copy2pdf()}

\footnotesize
\vspace{1mm}

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\NormalTok{fdir        }\OtherTok{=} \FunctionTok{file.path}\NormalTok{(}\FunctionTok{getwd}\NormalTok{(), }\StringTok{"7\_Abbildungen"}\NormalTok{)     }\CommentTok{\# Abbildungsverzeichnis}
\FunctionTok{dev.copy2pdf}\NormalTok{(                                         }\CommentTok{\# PDF Kopiefunktion}
\AttributeTok{file        =} \FunctionTok{file.path}\NormalTok{(fdir, }\StringTok{"pds\_7\_ha\_prebdi.pdf"}\NormalTok{), }\CommentTok{\# Dateiname}
\AttributeTok{width       =} \DecValTok{7}\NormalTok{,                                      }\CommentTok{\# Breite (inch)}
\AttributeTok{height      =} \DecValTok{4}\NormalTok{)                                      }\CommentTok{\# Höhe (inch)}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}
\end{frame}

\begin{frame}{Beispieldatensatz}
\protect\hypertarget{beispieldatensatz-5}{}
Absolute Häufigkeitsverteilung aller Pre-BDI Werte \vspace{4mm}

\begin{center}\includegraphics[width=0.9\linewidth]{7_Abbildungen/pds_7_ha_prebdi} \end{center}
\end{frame}

\begin{frame}{Beispieldatensatz}
\protect\hypertarget{beispieldatensatz-6}{}
Relative Häufigkeitsverteilung aller Pre-BDI Werte \vspace{4mm}

\begin{center}\includegraphics[width=0.9\linewidth]{7_Abbildungen/pds_7_ra_prebdi} \end{center}
\end{frame}

\begin{frame}{}
\protect\hypertarget{section-6}{}
\vfill
\large
\setstretch{3}

Beispieldatensatz

Häufigkeitsverteilungen

\textbf{Histogramme}

Übungen und Selbstkontrollfragen \vfill
\end{frame}

\begin{frame}{Histogramme}
\protect\hypertarget{histogramme}{}
\small

\begin{definition}[Histogramm]
\justifying
Ein \textit{Histogramm} ist ein Diagramm, in dem zu einem Datensatz $x = (x_1,...,x_n)$ 
mit verschiedenen Zahlwerten $A := \{a_1,...,a_m\}, m \le n$ über benachbarten Intervallen 
$[b_{j-1},b_j[$, welche  \textit{Klassen} oder \textit{Bins} genannt werden, 
für $j = 1,...,k$ Rechtecke mit

\vspace{1mm}
\begin{center}
\begin{tabular}{ll}
Breite &  $d_j = b_j - b_{j-1}$\\
Höhe   &  $h(a)$ oder $r(a)$ mit $a \in [b_{j-1}, b_{j}[$
\end{tabular}
\end{center}
\vspace{1mm}

abgebildet sind, wobei $b_0 := \min A$ und $b_k := \max A$ angenommen werden soll.
\end{definition}

Bemerkungen

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Das Aussehen eines Histogramms ist stark von der Anzahl \(k\) der
  Klassen abhängig.
\item
  Mit der Aufrundungsfunktion \(\lceil \cdot \rceil\) sind
  konventionelle Werte für \(k\)
\end{itemize}

\center
\begin{tabular}{ll}
$k := \lceil (b_k - b_0)h \rceil$   & $h$ ist die gewünschte Klassenbreite                        \\
$k := \lceil \sqrt{n} \rceil$       & Excelstandard                                               \\
$k := \lceil \log_2 n + 1\rceil$    & Implizite Normalverteilungsannahme (Sturges, 1926)          \\
$k := 3.49 S_n/\sqrt[3]{n}$         & Min. MSE Dichteschätzung bei Normalverteilung (Scott, 1979)
\end{tabular}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]{Histogramme}
\protect\hypertarget{histogramme-1}{}
Berechnung und Visualisierung von Histogrammen mit \texttt{hist()}

\small

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Die Klassen \([b_{j-1}, b_{j}[, j = 1,...,k\) werden als Argument
  \texttt{breaks} festgelegt
\item
  \texttt{breaks} ist der atomic vector c\((b_0,b_1,...,b_k)\) mit Länge
  \(k + 1\)
\item
  Per default benutzt \texttt{hist()} eine Modifikation der Sturges
  Empfehlung \(k = \lceil \log_2 n + 1\rceil\)
\item
  \texttt{hist()} bietet eine Vielzahl weiterer
  Spezifikationsmöglichkeiten
\end{itemize}

\vspace{2mm}
\footnotesize

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\CommentTok{\# Default Histogramm}
\NormalTok{x       }\OtherTok{=}\NormalTok{ D}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{Pre.BDI                             }\CommentTok{\# Datensatz}
\NormalTok{x\_min   }\OtherTok{=} \DecValTok{12}                                    \CommentTok{\# x Achsengrenze (unten)}
\NormalTok{x\_max   }\OtherTok{=} \DecValTok{25}                                    \CommentTok{\# x Achsengrenze (oben)}
\NormalTok{y\_min   }\OtherTok{=} \DecValTok{0}                                     \CommentTok{\# y Achsengrenze (oben)}
\NormalTok{y\_max   }\OtherTok{=} \DecValTok{30}                                    \CommentTok{\# y Achsengrenze (unten)}
\FunctionTok{hist}\NormalTok{(                                           }\CommentTok{\# Histogramm}
\NormalTok{x,                                              }\CommentTok{\# Datensatz}
\AttributeTok{xlim    =} \FunctionTok{c}\NormalTok{(x\_min, x\_max),                      }\CommentTok{\# x Achsengrenzen}
\AttributeTok{ylim    =} \FunctionTok{c}\NormalTok{(y\_min, y\_max),                      }\CommentTok{\# y Achsengrenzen}
\AttributeTok{ylab    =} \StringTok{"Häufigkeit"}\NormalTok{,                         }\CommentTok{\# y{-}Achsenbezeichnung}
\AttributeTok{xlab    =} \StringTok{""}\NormalTok{,                                   }\CommentTok{\# x{-}Achsenbezeichnung}
\AttributeTok{main    =} \StringTok{"Pre{-}BDI, R Default"}\NormalTok{)                 }\CommentTok{\# Titel}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]{Histogramme}
\protect\hypertarget{histogramme-2}{}
Berechnung und Visualisierung von Histogrammen mit \texttt{hist()}
\vspace{2mm}

\begin{center}\includegraphics[width=1\linewidth]{7_Abbildungen/pds_7_hg_0} \end{center}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]{Histogramme}
\protect\hypertarget{histogramme-3}{}
Berechnung von Klassenanzahlen und \texttt{breaks} Argument \vspace{3mm}

\footnotesize
\setstretch{1.1}

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\CommentTok{\# Histogramm mit gewuenschter Klassenbreite}
\NormalTok{h   }\OtherTok{=} \DecValTok{1}                                     \CommentTok{\# gewuenschte Klassenbreite}
\NormalTok{b\_0 }\OtherTok{=} \FunctionTok{min}\NormalTok{(x)                                }\CommentTok{\# b\_0}
\NormalTok{b\_k }\OtherTok{=} \FunctionTok{max}\NormalTok{(x)                                }\CommentTok{\# b\_k}
\NormalTok{k   }\OtherTok{=} \FunctionTok{ceiling}\NormalTok{((b\_k }\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{ b\_0)}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{h)                }\CommentTok{\# Anzahl der Klassen}
\NormalTok{b   }\OtherTok{=} \FunctionTok{seq}\NormalTok{(b\_0, b\_k, }\AttributeTok{by =}\NormalTok{ h)                 }\CommentTok{\# Klassen [b\_\{j{-}1\}, b\_j[}

\CommentTok{\# Excelstandard}
\NormalTok{n   }\OtherTok{=} \FunctionTok{length}\NormalTok{(x)                             }\CommentTok{\# Anzahl Datenwerte}
\NormalTok{k   }\OtherTok{=} \FunctionTok{ceiling}\NormalTok{(}\FunctionTok{sqrt}\NormalTok{(n))                      }\CommentTok{\# Anzahl der Klassen}
\NormalTok{b   }\OtherTok{=} \FunctionTok{seq}\NormalTok{(b\_0, b\_k, }\AttributeTok{len =}\NormalTok{ k)                }\CommentTok{\# Klassen [b\_\{j{-}1\}, b\_j[}
\NormalTok{h   }\OtherTok{=}\NormalTok{ b[}\DecValTok{2}\NormalTok{] }\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{ b[}\DecValTok{1}\NormalTok{]                           }\CommentTok{\# Klassenbreite}

\CommentTok{\# Sturges}
\NormalTok{n   }\OtherTok{=} \FunctionTok{length}\NormalTok{(x)                             }\CommentTok{\# Anzahl Datenwerte}
\NormalTok{k   }\OtherTok{=} \FunctionTok{ceiling}\NormalTok{(}\FunctionTok{log2}\NormalTok{(n)}\SpecialCharTok{+}\DecValTok{1}\NormalTok{)                    }\CommentTok{\# Anzahl der Klassen}
\NormalTok{b   }\OtherTok{=} \FunctionTok{seq}\NormalTok{(b\_0, b\_k, }\AttributeTok{len =}\NormalTok{ k)                }\CommentTok{\# Klassen [b\_\{j{-}1\}, b\_j[}
\NormalTok{h   }\OtherTok{=}\NormalTok{ b[}\DecValTok{2}\NormalTok{] }\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{ b[}\DecValTok{1}\NormalTok{]                           }\CommentTok{\# Klassenbreite}

\CommentTok{\# Scott}
\NormalTok{n   }\OtherTok{=} \FunctionTok{length}\NormalTok{(x)                             }\CommentTok{\# Anzahl Datenwerte}
\NormalTok{S   }\OtherTok{=} \FunctionTok{sd}\NormalTok{(x)                                 }\CommentTok{\# Stichprobenstandardabweichung}
\NormalTok{h   }\OtherTok{=} \FunctionTok{ceiling}\NormalTok{(}\FloatTok{3.49}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{S}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{(n}\SpecialCharTok{\^{}}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{/}\DecValTok{3}\NormalTok{)))             }\CommentTok{\# Klassenbreite}
\NormalTok{k   }\OtherTok{=} \FunctionTok{ceiling}\NormalTok{((b\_k }\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{ b\_0)}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{h)                }\CommentTok{\# Anzahl der Klassen}
\NormalTok{b   }\OtherTok{=} \FunctionTok{seq}\NormalTok{(b\_0, b\_k, }\AttributeTok{len =}\NormalTok{ k)                }\CommentTok{\# Klassen [b\_\{j{-}1\}, b\_j[}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}
\end{frame}

\begin{frame}{Histogramme}
\protect\hypertarget{histogramme-4}{}
Gewünschte Klassenbreite \(h := 1\) \vspace{2mm}

\begin{center}\includegraphics[width=1\linewidth]{7_Abbildungen/pds_7_hg_1} \end{center}
\end{frame}

\begin{frame}{Histogramme}
\protect\hypertarget{histogramme-5}{}
Gewünschte Klassenbreite \(h := 1.5\) \vspace{2mm}

\begin{center}\includegraphics[width=1\linewidth]{7_Abbildungen/pds_7_hg_2} \end{center}
\end{frame}

\begin{frame}{Histogramme}
\protect\hypertarget{histogramme-6}{}
Excelstandard \(k := \lceil \sqrt{n} \rceil\) \vspace{1mm}

\begin{center}\includegraphics[width=1\linewidth]{7_Abbildungen/pds_7_hg_3} \end{center}
\end{frame}

\begin{frame}{Histogramme}
\protect\hypertarget{histogramme-7}{}
Sturges (1926) \(k := \lceil \log_2 n + 1\rceil\) \vspace{1mm}

\begin{center}\includegraphics[width=1\linewidth]{7_Abbildungen/pds_7_hg_4} \end{center}
\end{frame}

\begin{frame}{Histogramme}
\protect\hypertarget{histogramme-8}{}
Scott (1979) \(h := 3.49S_n/\sqrt[3]{n}\) \vspace{1mm}

\begin{center}\includegraphics[width=1\linewidth]{7_Abbildungen/pds_7_hg_5} \end{center}
\end{frame}

\begin{frame}{}
\protect\hypertarget{section-7}{}
\vfill
\large
\setstretch{3}

Beispieldatensatz

Häufigkeitsverteilungen

Histogramme

Übungen und Selbstkontrollfragen \vfill
\end{frame}

\begin{frame}{Übungen und Selbskontrollfragen}
\protect\hypertarget{uxfcbungen-und-selbskontrollfragen}{}
\small
\begin{enumerate}
\justifying
\item Definieren Sie die Begriffe der absoluten und relativen Häufigkeitsverteilungen.
\item Visualisieren Sie die Häufigkeitsverteilungen der Post-BDI Daten.
\item Visualisieren Sie die Häufigkeitsverteilungen der Differenzen von Post- und Pre-BDI Daten.
\item Visualisieren Sie die Häufigkeitsverteilungen der Differenzen von Post- und Pre-BDI Daten getrennt nach den experimentellen Bedingungen ``Klassisch'' und ``Online''.
      Nutzen Sie dazu Ihr Wissen zu den Prinzipien der Indizierung in R.
\item Beschreiben Sie die in der vorherigen Aufgabe erstellten Häufigkeitsverteilungen.
\item Definieren Sie den Begriff des Histogramms.
\item Erläutern Sie die Bedeutung der Klassenanzahl für das Erscheinungsbild eines Histogramms.
\item Visualisieren Sie Histogramme der Daten wie in Aufgabe 4. mit einer Klassenbreite von 3, dem Excelstandard, der Sturges Klassenanzahl und der Scott Klassenanzahl.
\item Beschreiben Sie die in der vorherigen Aufgabe erstellten Histogramme.
\end{enumerate}
\end{frame}

\begin{frame}{References}
\protect\hypertarget{references}{}
\footnotesize

\hypertarget{refs}{}
\begin{CSLReferences}{1}{0}
\leavevmode\vadjust pre{\hypertarget{ref-scott_1979}{}}%
Scott, David W. 1979. {``On Optimal and Data-Based Histograms,''} 6.

\leavevmode\vadjust pre{\hypertarget{ref-sturges_1926}{}}%
Sturges, Herbert A. 1926. {``The {Choice} of a {Class Interval}.''}
\emph{Journal of the American Statistical Association} 21 (153): 65--66.
\url{https://doi.org/10.1080/01621459.1926.10502161}.

\end{CSLReferences}
\end{frame}

\end{document}
