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\makebox[123mm]{\hspace{7.5mm}
\hfill Multivariate Datenanalyse $\vert$ 
\copyright $ $ 2022 Dirk Ostwald CC BY-NC-SA 4.0 $\vert$ 
Folie \insertframenumber}
\vskip4pt
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\author{}
\date{\vspace{-2.5em}}

\begin{document}

\begin{frame}[plain]{}
\protect\hypertarget{section}{}
\center

\begin{center}\includegraphics[width=0.2\linewidth]{4_Abbildungen/mvda_4_otto} \end{center}

\vspace{2mm}

\Huge

Multivariate Datenanalyse \vspace{6mm}

\large

MSc Psychologie WiSe 2021/22

\vspace{6mm}
\large

Prof.~Dr.~Dirk Ostwald
\end{frame}

\begin{frame}[plain]{}
\protect\hypertarget{section-1}{}
\vfill
\center
\huge

\textcolor{black}{(4) Hauptkomponentenanalyse} \vfill
\end{frame}

\begin{frame}{Modul A1/A3 Forschungsmethoden: Multivariate Verfahren}
\protect\hypertarget{modul-a1a3-forschungsmethoden-multivariate-verfahren}{}
\small
\center
\footnotesize
\renewcommand{\arraystretch}{1.1}
\begin{tabular}{lll}
Datum        & Einheit                     & Thema                                          \\\hline
15.10.2021   & Einführung                  & (0) Einführung                         \\
15.10.2021   & Grundlagen                  & (1) Vektoren                               \\
22.10.2021   & Grundlagen                  & (2) Matrizen I                         \\
29.10.2021   & Grundlagen                  & (3) Matrizen II                        \\
05.11.2021   & Grundlagen                  & (4) Multivariate Normalverteilung      \\
  \textbf{12.11.2021}
& \textbf{Achsentransformationen}
& \textbf{(5) Hauptkomponentenanalyse}                                              \\
19.11.2021   & Achsentransformationen      & (6) Faktoranalyse                      \\
26.11.2021   & Maschinelles Lernen         & (7) LDA und Optimierung                \\
03.12.2021   & Maschinelles Lernen         & (8) Logistische Regression             \\
10.12.2021   & Maschinelles Lernen         & (9) Support Vektor Maschinen           \\
17.12.2021   & Maschinelles Lernen         & (10) Neuronale Netze                   \\
             & \textcolor{gray}{Weihnachtspause}                                    \\
07.01.2022   & Frequentistische Inferenz   & (11) T-Tests                           \\
14.01.2022   & Frequentistische Inferenz   & (12) Einfaktorielle Varianzanalyse     \\
21.01.2022   & Frequentistische Inferenz   & (13) Multivariate Regression           \\
28.01.2022   & Frequentistische Inferenz   & (14) Kanonische Korrelation            \\\hline
22.02.2022   & Klausur                     & 12 - 13 Uhr, G26-H1                    \\
Jul 2022     & Klausurwiederholungstermin
\end{tabular}
\end{frame}

\begin{frame}{Überblick}
\protect\hypertarget{uxfcberblick}{}
\small
\begin{itemize}
\item Hauptkomponentenanalyse heißt auf Englisch Principal Component Analysis (PCA).
\item PCA ist eine Featureselektionsmethode.
\begin{itemize}
\small
\item[$\circ$] ``Features'' sind die Komponenten multidimensionaler Zufallsvektoren.
\item[$\circ$] Korrelierte Features repräsentieren redundate Information.
\end{itemize}
\item PCA generiert ein korrelationsfreies Featureset durch lineare Featurekombination.
\item PCA basiert auf
\begin{itemize}
\small
\item[$\circ$] einer Eigenanalyse/Orthonormalzerlegung der Stichprobenkovarianzmatrix und
\item[$\circ$] einer anschließenden Vektorkoordinatentransformation.
\end{itemize}
\item Implementiert wird eine PCA oft mithilfe einer Singulärwertzerlegung.
\item In der Psychologie dient PCA zum Beispiel
\begin{itemize}
\small
\item[$\circ$] der Datenkompression beim Umgang mit neurophysiologischen Zeitseriendaten,
\item[$\circ$] der Inspiration im Rahmen der ``Exploratorischen Faktoranalyse''.
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{}
\protect\hypertarget{section-2}{}
\vfill
\setstretch{2.4}
\large

Vektorkoordinatentransformation

Definition und Theorem

Singulärwertzerlegung

Datenkompression

Exploratorische Faktorenanalyse

Selbstkontrollfragen \vfill
\end{frame}

\begin{frame}{}
\protect\hypertarget{section-3}{}
\vfill
\setstretch{2.4}
\large

\textbf{Vektorkoordinatentransformation}

Definition

Datenkompression

Singulärwertzerlegung

Exploratorische Faktorenanalyse

Selbstkontrollfragen \vfill
\end{frame}

\begin{frame}{Vektorkoordinatentransformation}
\protect\hypertarget{vektorkoordinatentransformation}{}
\small

\textcolor{darkblue}{Im Folgenden wichtige Begriffe aus (1) Vektoren}

\textbf{Euklidischer Vektorraum.} Das Tupel
\(\left((\mathbb{R}^m, +, \cdot), \langle \rangle \right)\) aus dem
reellen Vektorraum \((\mathbb{R}^m, +, \cdot)\) und dem Skalarprodukt
\(\langle \rangle\) auf \(\mathbb{R}^m\) heißt
\textit{reeller kanonischer Euklidischer Vektorraum}. \vspace{2mm}

\textbf{Basis.} \(V\) sei ein Vektorraum und es sei \(B \subseteq V\).
Dann heißt \(B\) eine \textit{Basis von $V$}, wenn die Vektoren in \(B\)
linear unabhängig sind und die Vektoren in \(B\) den Vektorraum \(V\)
aufspannen. \vspace{2mm}

\textbf{Basisdarstellung und Koordinaten.} \(B := \{b_1,...,b_m\}\) sei
eine Basis eines \(m\)-dimensionalen Vektorraumes \(V\) und es sei
\(x \in V\). Dann heißt die Linearkombination
\(x = \sum_{i = 1}^m a_i b_i\) die \textit{Darstellung von
$x$ bezüglich der Basis $B$} und die Koeffizienten \(a_1,...,a_m\)
heißen die \textit{Koordinaten von $x$ bezüglich der Basis $B$}.
\vspace{2mm}

\textbf{Orthonormalbasis von \(\mathbb{R}^m\).} Eine Menge von \(m\)
Vektoren \(q_1,...,q_m \in \mathbb{R}^m\) heißt
\textit{Orthonormalbasis} von \(\mathbb{R}^m\), wenn \(q_1,...,q_m\)
jeweils die Länge 1 haben und wechselseitig orthogonal sind.

\textcolor{darkblue}{Im Folgenden wichtiger Begriff aus (2) Matrizen}

\textbf{Orthonormale Zerlegung einer symmetrischen Matrix}.
\(S \in \mathbb{R}^{m \times m}\) sei eine symmetrische Matrix. Dann
kannn \(S\) geschrieben werden als \(S = Q \Lambda Q^T\), wobei
\(Q \in \mathbb{R}^{m \times m}\) eine orthogonale Matrix ist und
\(\Lambda \in \mathbb{R}^{m\times m}\) eine Diagonalmatrix ist. Dabei
sind die Spalten von \(Q\) die Eigenvektoren von \(S\) und die
Diagonalelemente von \(\Lambda\) sind die entsprechenden Eigenwerte.
\end{frame}

\begin{frame}{Vektorkoordinatentransformationn}
\protect\hypertarget{vektorkoordinatentransformationn}{}
\textcolor{darkblue}{Im Folgenden wichtige Intuition aus (1) Vektoren}

\begin{center}\includegraphics[width=0.7\linewidth]{4_Abbildungen/mvda_4_basen_R2} \end{center}

\small

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  \justifying Im Rahmen von Hauptkomponentenranalyse werden wir daran
  interessiert sein, basierend auf den Koordinaten eines Vektors
  bezüglich einer Basis die Koordinaten desselben Vektors bezüglich
  einer anderen Basis zu berechnen.
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Vektorkoordinatentransformation}
\protect\hypertarget{vektorkoordinatentransformation-1}{}
\small
\begin{definition}[Orthogonalprojektion]
$x$ und $q$ seien Vektoren im Euklidischen Vektorraum $\mathbb{R}^m$. Dann ist die
\textit{Orthogonalprojektion von $x$ auf $q$} definiert als der Vektor
\begin{equation}
\tilde{x} = aq \mbox{ mit } a := \frac{q^T x}{q^T q},
\end{equation}
wobei der Skalar $a$ \textit{Projektionsfaktor} genannt wird.
\end{definition}

\footnotesize

Bemerkungen

\begin{itemize}
\item Per definition ist  $\tilde{x} = aq$ mit $a \in \mathbb{R}$ der Punkt in Richtung von $q$ der $x$ am nähesten ist.
\item Diese minimierte Distanzeigenschaft impliziert die Orthogonalität von $q$ und $x - \tilde{x}$.
\item Die Formel von $a$ folgt direkt aus der Orthogonalität von $x - \tilde{x}$ und $q$, da gilt
\begin{equation*}
q^T(x - \tilde{x}) = 0
\Leftrightarrow
q^T(x - aq) = 0
\Leftrightarrow
q^Tx - aq^Tq = 0
\Leftrightarrow
a = \frac{q^Tx}{q^Tq}.
\end{equation*}
\item Wenn $q$ die Länge $||q|| = \sqrt{q^Tq} = 1$ hat, dann gilt $a = \frac{q^T x}{||q||^2} = q^T x$.
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Vektorkoordinatentransformation}
\protect\hypertarget{vektorkoordinatentransformation-2}{}
Orthogonalprojektion

\begin{center}\includegraphics[width=0.6\linewidth]{4_Abbildungen/mvda_4_orthogonale_vektorprojektion} \end{center}
\end{frame}

\begin{frame}{Vektorkoordinatentransformation}
\protect\hypertarget{vektorkoordinatentransformation-3}{}
\footnotesize
\begin{theorem}[Vektorkoordinaten bezüglich einer Orthogonalbasis]
\justifying
\normalfont
Es sei $x \in \mathbb{R}^m$ und es sei $B := \{q_1,...,q_m\}$ eine Orthonormalbasis
von von $\mathbb{R}^m$. Dann ergeben sich für $i = 1,...,m$ die Koordinaten $a_i$ in
der Basisdarstellung von $x$ bezüglich $B$ als die Projektionsfaktoren
\begin{equation}
a_i = x^T q_i
\end{equation}
in der Orthogonalprojektion von $x$ auf $q_i$. Äquivalent ist die
Basisdarstellung von $x$ bezüglich $B$ gegeben durch
\begin{equation}
x = \sum_{i=1}^m (x^T q_i)q_i.
\end{equation}
\end{theorem}

\footnotesize

\underline{Beweis}

Für \(i = 1,...,m\) gilt \begin{equation}
x = \sum_{j=1}^m a_j q_j
\Leftrightarrow
q_i^T x = q_i^T \sum_{j=1}^m a_j q_j
\Leftrightarrow
q_i^T x = \sum_{j=1}^m a_j q_i^Tq_j
\Leftrightarrow
q_i^T x = a_i
\Leftrightarrow
a_i = x^T q_i.
\end{equation} \(\hfill \Box\)
\end{frame}

\begin{frame}{Vektorkoordinatentransformation}
\protect\hypertarget{vektorkoordinatentransformation-4}{}
\footnotesize
\begin{theorem}[Vektorkoordinatentransformation]
\justifying
\normalfont
$B_v := \{v_1,...,v_m\}$ und $B_w := \{w_1,...,w_m\}$ seien zwei Orthonormalbasen
eines Vektorraums. $A \in \mathbb{R}^{m \times m}$ sei die Matrix, die durch die
spaltenweise Konkatenation der Koordinaten der Vektoren in $B_w$ in der Basisdarstellung
bezüglich der Basis $B_v$ ergibt. Dann können die Koordinaten $x_i, i = 1,...,m$
eines Vektors $x$ bezüglich der Basis $B_v$ in die Koordinaten $\tilde{x}_1,...,\tilde{x}_m$
des Vektors bezüglich der Basis $B_w$  durch
\begin{equation}
\tilde{x} = A^T x
\end{equation}
transformiert werden. Analog können die Koordinaten $\tilde{y}_1,...,\tilde{y}_m$
des Vektors hinsichtlich der Basis $B_w$ in die Koordinaten $y_1,...,y_m$ des
Vektors hinsichtlich $B_v$ durch
\begin{equation}
x = A \tilde{x}.
\end{equation}
transformiert werden.
\end{theorem}

\footnotesize

Bemerkungen

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  \justifying Das Theorem erlaubt die Berechnung von Vektorkoordinaten
  bezüglich einer anderen Orthonormalbasis.
\item
  Für die Berechnung muss zunächst die Matrix \(A\) gebildet und dann
  (nur) entsprechend multipliziert werden.
\item
  Wir verzichten auf einen Beweis und demonstrieren das Theorem an einem
  Beispiel.
\end{itemize}

\small
\center

\textbf{Ein Vektor wird hier als  fester Punkt in $\mathbb{R}^m$ betrachtet; die Komponenten (Zahlen) des Vektors werden dagegen nur als Koordinaten bezüglich einer spezifischen Basis interpretiert!}
\end{frame}

\begin{frame}{Vektorkoordinatentransformation}
\protect\hypertarget{vektorkoordinatentransformation-5}{}
\textcolor{darkblue}{Beispiel}

\begin{center}\includegraphics[width=1\linewidth]{4_Abbildungen/mvda_4_vektorkoordinatentransformation} \end{center}
\center
\vspace{1mm}
\small

\textbf{Man beachte, dass $x$ and $\tilde{x}$ am selben Ort in $\mathbb{R}^2$ liegen!}
\end{frame}

\begin{frame}{Vektorkoordinatentransformation}
\protect\hypertarget{vektorkoordinatentransformation-6}{}
\setstretch{1.2}

\textcolor{darkblue}{Beispiel}

\footnotesize

Wir nehmen an, dass wir die Koordinaten von
\(x = (1/3, 2/3)^T \in \mathbb{R}^2\) hinsichtlich der kanonischen
Orthonormalbasis \(B_v :=\{e_1,e_2\}\) in die Koordinaten bezüglich der
Basis \begin{equation}
B_w :=
\left\lbrace
\begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
-\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{pmatrix}
\right\rbrace
\end{equation} transformieren wollen. Die Basisdarstellungen der in
Vektoren \(B_w\) bezüglich der Basisvektoren in \(B_v\) sind
\begin{equation}
\begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{pmatrix}
=
a_{11}
\begin{pmatrix}
1 \\ 0
\end{pmatrix}
+
a_{21}
\begin{pmatrix}
0 \\ 1
\end{pmatrix}
\mbox{ and }
\begin{pmatrix}
-\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{pmatrix}
=
a_{12}
\begin{pmatrix}
1 \\ 0
\end{pmatrix}
+
a_{22}
\begin{pmatrix}
0 \\ 1
\end{pmatrix}.
\end{equation} Die Projektionsfaktoren der Orthogonalprojektionen der
Vektoren in \(B_w\) auf die Vektoren in \(B_v\) sind \begin{equation}
a_{11} =  \frac{1}{\sqrt{2}},
a_{21} =  \frac{1}{\sqrt{2}},
a_{12} = -\frac{1}{\sqrt{2}},
a_{22} =  \frac{1}{\sqrt{2}}.
\end{equation} Die Transformationsmatrix
\(A \in \mathbb{R}^{m \times m}\) in obigem Theorem ergibt sich also zu
\begin{equation}
A =
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22} \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\
\frac{1}{\sqrt{2}} &  \frac{1}{\sqrt{2}} \\
\end{pmatrix}.
\end{equation} Die Vektorkoordinatentransformation von
\(x \in \mathbb{R}^2\) ergibt sich also zu \begin{equation}
\tilde{x}
= A^T x
= \begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}     \\
-\frac{1}{\sqrt{2}} &  \frac{1}{\sqrt{2}}   \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\frac{1}{3} \\
\frac{2}{3}
\end{pmatrix}
\approx
\begin{pmatrix}
0.70 \\
0.23
\end{pmatrix}.
\end{equation}
\end{frame}

\begin{frame}{}
\protect\hypertarget{section-4}{}
\vfill
\setstretch{2.4}
\large

Vektorkoordinatentransformation

\textbf{Definition und Theorem}

Singulärwertzerlegung

Datenkompression

Exploratorische Faktorenanalyse

Selbstkontrollfragen \vfill
\end{frame}

\begin{frame}{Definition und Theorem}
\protect\hypertarget{definition-und-theorem}{}
\footnotesize
\begin{definition}[Hauptkomponentenanalyse]
\justifying
$\mathbb{C}(X)$ sei die Kovarianzmatrix eines $m$-dimensionalen Zufallsvektors $X$.
Dann heißt die orthonormale Zerlegung
\begin{equation}
\mathbb{C}(X) = Q \Lambda Q^T,
\end{equation}
wobei
\begin{itemize}
\item $Q \in \mathbb{R}^{m\times m}$ die Matrix der spaltenweisen Konkatenation der Eigenvektoren  von $\mathbb{C}(X)$ ist und
\item $\Lambda \in \mathbb{R}^{m \times m}$ die Diagonalmatrix der zugehörigen Eigenwerte bezeichnen,
\end{itemize}
die \textit{Hauptkomponentenanalyse} von $\mathbb{C}(X)$ und die Spalten von $Q$ heißen die \textit{Hauptkomponenten}
von $\mathbb{C}(X)$. Der $m$-dimensionale Zufallsvektor
\begin{equation}
\tilde{X} = Q^T X
\end{equation}
heißt \textit{PCA-transformierter Zufallsvektor}.
\end{definition}

\footnotesize

Bemerkungen

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Man spricht auch von der Hauptkomponentenanalyse/den Hauptkomponenten
  von \(X\).
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Definition und Theorem}
\protect\hypertarget{definition-und-theorem-1}{}
\footnotesize
\begin{theorem}[Hauptkomponentenanalyse]
\normalfont
\justifying
$\mathbb{C}(X) \in \mathbb{R}^{m \times m}$ sei die Kovarianzmatrix eines
$m$-dimensionalen Zufallsvektors $X$, es sei $\mathbb{E}(X) = 0_m$ und es sei
\begin{equation}
\mathbb{C}(X) = Q \Lambda Q^T,
\end{equation}
die Hauptkomponentenanalyse von $\mathbb{C}(X)$. Dann gelten
\begin{itemize}
\justifying
\item[(1)] Die Spalten von $Q$ bilden eine Orthonormalbasis von $\mathbb{R}^m$.
\item[(2)] Multiplikation mit $Q^T$ transformiert die kanonischen Koordinaten von $X$ in Koordinaten bezüglich der Hauptkomponenten von $\mathbb{C}(X)$.
\item[(3)] Die Kovarianzmatrix des PCA-transformierten Zufallsvektors ist die Diagonalmatrix $\Lambda$.
\item[(4)] In dem Koordinatensystem, das von den Hauptkomponenten von $\mathbb{C}(X)$ aufgespannt wird, gilt
\begin{equation}
\mathbb{V}(\tilde{X}_i) = \lambda_i \mbox{ für } i = 1,...,m
\mbox{ und }
\mathbb{C}(\tilde{X}_i, \tilde{X}_j) = 0 \mbox{ für } i \neq j, 1 \le i,j \le m.
\end{equation}
\end{itemize}
\end{theorem}
\end{frame}

\begin{frame}{Definition und Theorem}
\protect\hypertarget{definition-und-theorem-2}{}
\footnotesize

\underline{Beweis}

\noindent (1) \justifying Mit dem Theorem zu den Eigenschaften von Basen
aus Einheit (1) Vektoren gilt, dass jede Menge von \(m\) linear
unabhängigen Vektoren Basis eines \(m\)-dimensionalen Vektorraums ist.
Die Spalten \(q_1,...q_m \in \mathbb{R}^{m}\) von \(Q\) sind \(m\)
orthonormale Vektoren und damit insbesondere auch linear unabhängig,
denn für \(i = 1,...,m\) gilt \begin{align}
\begin{split}
                a_1q_1 + a_2q_2 + \cdots + a_mq_m        & = 0_m          \\
\Leftrightarrow (a_1q_1 + a_2q_2 + \cdots + a_mq_m)^T    & = 0_m^T        \\
\Leftrightarrow (a_1q_1 + a_2q_2 + \cdots + a_mq_m)^Tq_i & = 0_m^Tq_i    \\
\Leftrightarrow \sum_{j = 1}^m a_jq_j^Tq_i & = 0                          \\
\Leftrightarrow a_i  & = 0.
\end{split}
\end{align} Es ist also \(a_i = 0\) für \(i = 1,...,m\) und die einzige
Repräsentation des Nullelements \(0_m\) durch eine Linearkombination der
Spalten von \(Q\) ist die triviale Repräsentation. Die Spalten von \(Q\)
sind also \(m\) unabhängige Vektoren und damit eine Basis von
\(\mathbb{R}^m\). Da die Spalten von \(Q\) auch orthonormal sind, bilden
sie eine Orthonormalbasis von \(\mathbb{R}^m\).
\end{frame}

\begin{frame}{Definition und Theorem}
\protect\hypertarget{definition-und-theorem-3}{}
\footnotesize

\underline{Beweis (fortgeführt)}

\noindent (2) Wir betrachten das Theorem zur
Vektorkoordinatentransformation aus dieser Einheit und setzen
\(B_v := \{e_1,...,e_m\}\) und \(B_w := \{q_1,...q_m\}\) mit den Spalten
\(q_1,...,q_m \in \mathbb{R}^{m}\) von \(Q\). Dann gilt, dass
\(Q \in \mathbb{R}^{m \times m}\) die Matrix ist, die sich durch die
spaltenweise Konkatenation der Koordinaten der Vektoren in \(B_w\) in
der Basisdarstellung bezüglich der Basis \(B_v\) ergibt, denn für
\(i = 1,...,m\) gilt, dass die Basisdarstellung von \(q_i\) bezüglich
der kanonischen Basis \(B_v\) gegeben ist durch \begin{equation}
q_i
= \sum_{j=1}^m (q_i^Te_j)e_j
= \sum_{j=1}^m q_{i_j} e_j = q_i.
\end{equation} Äquivalent ist natürlich jeder Vektor
\(q \in \mathbb{R}^m\) schon immer identisch mit der Basisdarstellung
von \(q\) bezüglich der kanonischen Basis. Damit folgt aber mit Theorem
zur Vektorkoordinatentransformation direkt, dass der PCA-transfomierte
Zufallsvektor \begin{equation}
\tilde{X} = Q^T X
\end{equation} aus den Koordinaten des Vektors bezüglich der
Hauptkomponenten von \(\mathbb{C}(X)\) besteht.

\noindent (3) Wir erinnern zunächst daran, dass die inverse Matrix einer
orthogonalen Matrix \(Q\) durch \(Q^T\) gegeben ist (vgl. Einheit (2)
Definition symmetrischer, diagonaler, und orthogonaler Matrize). Mit
\(QQ^T = Q^TQ = I_m\) gilt dann, dass \begin{equation}
\mathbb{C}(X) = Q \Lambda Q^T
\Leftrightarrow
Q^T\mathbb{C}(X)Q = Q^TQ \Lambda Q^T Q
\Leftrightarrow
Q^T\mathbb{C}(X)Q = \Lambda.
\end{equation}
\end{frame}

\begin{frame}{Definition und Theorem}
\protect\hypertarget{definition-und-theorem-4}{}
\footnotesize
\vspace{2mm}

\underline{Beweis (fortgeführt)}

Weiterhin gilt, dass mit \(\mathbb{E}(X) = 0_m\) die Kovarianzmatrix von
\(X\) gegeben ist durch (vgl. Einheit (3) Definition der
Kovarianzmatrix) \begin{equation}
\mathbb{C}(X)
= \mathbb{E}\left(\left(X - \mathbb{E}(X)\right) \left(X - \mathbb{E}(X)\right)^T\right)
= \mathbb{E}\left(XX^T\right).
\end{equation} Damit ergibt sich für die Kovarianzmatrix des
PCA-transformierte Vektors \(\tilde{X} = Q^TX\) aber, dass \begin{align}
\begin{split}
\mathbb{C}(\tilde{X})
& = \mathbb{E}\left(\left(\tilde{X} - \mathbb{E}(\tilde{X})\right) \left(\tilde{X} - \mathbb{E}(\tilde{X})\right)^T\right) \\
& = \mathbb{E}\left(\left(Q^TX - \mathbb{E}(Q^TX)\right) \left(Q^TX - \mathbb{E}(Q^TX)\right)^T\right) \\
& = \mathbb{E}\left(\left(Q^TX - Q^T\mathbb{E}(X)\right) \left(Q^TX - Q^T\mathbb{E}(X)\right)^T\right) \\
& = \mathbb{E}\left((Q^TX)(Q^TX)^T\right) \\
& = Q^T\mathbb{E}\left(XX^T\right)Q \\
& = Q^T\mathbb{C}(X)Q \\
& = \Lambda.
\end{split}
\end{align}

\noindent (4) Die Koordinaten von \(\tilde{X}\) entsprechen den
Koordinaten von \(X\) in dem Koordinatensystem, dass von den
Hauptkomponenten \(q_1,...,q_m\) von \(\mathbb{C}(X)\) aufgespannt wird.
Mit \(\mathbb{C}(\tilde{X}) = \Lambda\) folgt Aussage (4) dann direkt
mit der Definition der Kovarianzmatrix in Einheit (3). \(\hfill \Box\)
\end{frame}

\begin{frame}{Definition und Theorem}
\protect\hypertarget{definition-und-theorem-5}{}
\footnotesize

Bemerkungen

\begin{itemize}
\itemsep4mm
\justifying
\item Die Eigenwerte $\lambda_1,...,\lambda_m$ von $\mathbb{C}(X)$ sind die Varianzen von $\tilde{X}_1,...,\tilde{X}_m$.
\item Bei Annahme von $\lambda_1 > \lambda_2 > \cdots > \lambda_m$ mit zugehörigen Eigenvektoren $q_1, ...,q_m$ gilt
\begin{equation}
\mathbb{V}(\tilde{X}_1) > \mathbb{V}(\tilde{X}_2) > \cdots > \mathbb{V}(\tilde{X}_m)
\Leftrightarrow
\mathbb{V}(q_1^T X)     > \mathbb{V}(q_2^T X)     > \cdots > \mathbb{V}(q_m^T X)
\end{equation}
\item Die paarweise nicht-identischen Kovarianzen der Komponenten von $\tilde{X}$ sind Null.
\begin{itemize}
\justifying
\begin{footnotesize}
\item[$\Rightarrow$] Die Komponenten von $\tilde{X}$ sind unkorreliert.
\item[$\Rightarrow$] Die Komponenten von $\tilde{X}$ repräsentieren keine redundante Information.
\end{footnotesize}
\end{itemize}
\item $q_1^T X$ maximiert die Varianz der unkorrelierten Linearkombinationen der Komponenten von $X$.
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Definition und Theorem}
\protect\hypertarget{definition-und-theorem-6}{}
\footnotesize
\begin{definition}[Hauptkomponentenanalyse eines Datensatzes]
\justifying
$Y \in \mathbb{R}^{m \times n}$ sei ein Datensatz aus $n$ unabhängigen
Realisierungen eines $m$-dimensionalen Zufallsvektors und es sei $C \in
\mathbb{R}^{m \times m}$ die Stichprobenkovarianzmatrix des Datensatzes.
Dann heißt die Orthonormalzerlegung
\begin{equation}
C = Q\Lambda Q^T
\end{equation}
wobei
\begin{itemize}
\item $Q \in \mathbb{R}^{m \times m}$ die spaltenweise Konkatenation der Eigenvektoren von $C$ ist und
\item $\Lambda \in \mathbb{R}^{m \times m}$ die Diagonalmatrix der zugehörigen Eigenwerten bezeichnen,
\end{itemize}
die \textit{Hauptkomponentenanalyse von $C$} und die Spalten von $Q$ heißen die
\textit{Hauptkomponenten von $C$}. Der $m \times n$-dimensionale Datensatz
\begin{equation}
\tilde{Y} = Q^T Y
\end{equation}
heißt \textit{PCA-transformierter Datensatz}.
\end{definition}

\footnotesize

Bemerkungen

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Man spricht auch von der Hauptkomponentenanalyse/den Hauptkomponenten
  des Datensatzes \(Y\).
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Definition und Theorem}
\protect\hypertarget{definition-und-theorem-7}{}
\footnotesize
\begin{theorem}[Hauptkomponentenanalyse eines Datensatzes]
\normalfont
\justifying
$C \in \mathbb{R}^{m \times m}$ sei die Stichprobenkovarianzmatrix eines
Datensatzes $Y \in \mathbb{R}^{m \times n}$ und es sei
\begin{equation}
C = Q \Lambda Q^T,
\end{equation}
die Hauptkomponentenanalyse von $C$. Dann gelten
\begin{itemize}
\justifying
\item[(1)] Die Spalten von $Q$ bilden eine Orthonormalbasis von $\mathbb{R}^m$.
\item[(2)] Multiplikation mit $Q^T$ transformiert die kanonischen Koordinaten der Spalten von $Y$ in Koordinaten bezüglich der Hauptkomponenten von $C$.
\item[(3)] Die Stichprobenkovarianzmatrix des PCA-transformierten Datensatzes ist die Diagonalmatrix $\Lambda$.
\item[(4)] In dem Koordinatensystem, das von den Hauptkomponenten von $C$ aufgespannt wird, gilt
\begin{equation}
S^2(\tilde{Y}_i) = \lambda_i \mbox{ für } i = 1,...,m
\mbox{ und }
C(\tilde{Y}_i, \tilde{Y}_j) = 0 \mbox{ für } i \neq j, 1 \le i,j \le m.
\end{equation}
\end{itemize}
wobei $S^2(\tilde{Y}_i)$ die Stichprobenvarianz der $i$ten Komponente des Datensatzes
und $C(\tilde{Y}_i, \tilde{Y}_j)$ die Stichprobenkovarianz der $i$ten und $j$ten
Komponente des Datensatzes bezeichnen.
\end{theorem}

Bemerkungen

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Der Beweis ergibt sich in Analogie zum Beweis Theorems zur
  Hauptkomponentenanalyse
\item
  Wir verzichten aus eine Ausformulierung des Beweises.
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]{Definition und Theorem}
\protect\hypertarget{definition-und-theorem-8}{}
\textcolor{darkblue}{Hauptkomponentenanalyse eines simulierten Datensatzes}

\small

Datensatzgeneration \vspace{1mm}

\footnotesize

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\CommentTok{\# R Pakete}
\FunctionTok{library}\NormalTok{(matrixcalc)                                  }\CommentTok{\# Matrix Paket (is.positive.definite())}
\FunctionTok{library}\NormalTok{(MASS)                                        }\CommentTok{\# Multivariate Normalverteilung (mvrnorm())}

\CommentTok{\# Simulationsparameter}
\FunctionTok{set.seed}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\NormalTok{)                                          }\CommentTok{\# Reproduzierbare Randomisierung}
\NormalTok{m     }\OtherTok{=} \DecValTok{5}                                            \CommentTok{\# Datenpunktdimension}
\NormalTok{n     }\OtherTok{=} \DecValTok{20}                                           \CommentTok{\# Anzahl Realisierung}
\NormalTok{mu    }\OtherTok{=} \FunctionTok{rep}\NormalTok{(}\DecValTok{0}\NormalTok{,m)                                     }\CommentTok{\# Erwartungswertparameter}
\NormalTok{Sigma }\OtherTok{=} \FunctionTok{matrix}\NormalTok{(}\FunctionTok{runif}\NormalTok{(m}\SpecialCharTok{\^{}}\DecValTok{2}\NormalTok{), }\AttributeTok{nrow =}\NormalTok{ m)                 }\CommentTok{\# zufällige Matrix}
\NormalTok{Sigma }\OtherTok{=} \FloatTok{0.5}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{(Sigma}\SpecialCharTok{+}\FunctionTok{t}\NormalTok{(Sigma))                         }\CommentTok{\# symmetrische Matrix}
\NormalTok{Sigma }\OtherTok{=}\NormalTok{ Sigma }\SpecialCharTok{+}\NormalTok{ m}\SpecialCharTok{*}\FunctionTok{diag}\NormalTok{(m)                            }\CommentTok{\# positiv definite Matrix}
\FunctionTok{print}\NormalTok{(}\FunctionTok{is.positive.definite}\NormalTok{(Sigma))                   }\CommentTok{\# Positiv{-}Definitheits Check}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}

\begin{verbatim}
> [1] TRUE
\end{verbatim}

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\CommentTok{\# Datensatzgeneration}
\NormalTok{Y     }\OtherTok{=} \FunctionTok{t}\NormalTok{(}\FunctionTok{mvrnorm}\NormalTok{(n,mu,Sigma))}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]{Definition und Theorem}
\protect\hypertarget{definition-und-theorem-9}{}
\textcolor{darkblue}{Hauptkomponentenanalyse eines simulierten Datensatzes}
\vspace{1mm}

\small

Hauptkomponentenanalyse durch Eigenanalyse \footnotesize

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\CommentTok{\# Hauptkomponentenanalyse durch Eigenanalyse}
\NormalTok{I\_n     }\OtherTok{=} \FunctionTok{diag}\NormalTok{(n)                                     }\CommentTok{\# Einheitsmatrix I\_n}
\NormalTok{J\_n     }\OtherTok{=} \FunctionTok{matrix}\NormalTok{(}\FunctionTok{rep}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\NormalTok{,n}\SpecialCharTok{\^{}}\DecValTok{2}\NormalTok{), }\AttributeTok{nrow =}\NormalTok{ n)                }\CommentTok{\# 1\_\{nn\}}
\NormalTok{C       }\OtherTok{=}\NormalTok{ (}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{(n}\DecValTok{{-}1}\NormalTok{))}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{(Y }\SpecialCharTok{\%*\%}\NormalTok{ (I\_n}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{n)}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{J\_n) }\SpecialCharTok{\%*\%} \FunctionTok{t}\NormalTok{(Y))  }\CommentTok{\# Stichprobenkovarianzmatrix}
\NormalTok{D       }\OtherTok{=} \FunctionTok{diag}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{/}\FunctionTok{sqrt}\NormalTok{(}\FunctionTok{diag}\NormalTok{(C)))                       }\CommentTok{\# Kov{-}Korr{-}Transformationsmatrix}
\NormalTok{R       }\OtherTok{=}\NormalTok{ D }\SpecialCharTok{\%*\%}\NormalTok{ C }\SpecialCharTok{\%*\%}\NormalTok{ D                               }\CommentTok{\# Stichprobenkorrelationsmatrix}
\NormalTok{EA      }\OtherTok{=} \FunctionTok{eigen}\NormalTok{(C)                                    }\CommentTok{\# Eigenanalyse von C}
\NormalTok{lambda  }\OtherTok{=}\NormalTok{ EA}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{values                                   }\CommentTok{\# Eigenwerte von C}
\NormalTok{Q       }\OtherTok{=}\NormalTok{ EA}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{vectors                                  }\CommentTok{\# Eigenvektoren von C}
\NormalTok{Y\_tilde }\OtherTok{=} \FunctionTok{t}\NormalTok{(Q) }\SpecialCharTok{\%*\%}\NormalTok{ Y                                  }\CommentTok{\# Transformierter Datensatz}

\CommentTok{\# Stichproben{-} und Korrelationsmatrix des transformierten Datensatzes}
\NormalTok{C\_tilde }\OtherTok{=}\NormalTok{ (}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{(n}\DecValTok{{-}1}\NormalTok{))}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{(Y\_tilde }\SpecialCharTok{\%*\%}\NormalTok{ (I\_n}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{n)}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{J\_n) }\SpecialCharTok{\%*\%} \FunctionTok{t}\NormalTok{(Y\_tilde))}
\NormalTok{D\_tilde }\OtherTok{=} \FunctionTok{diag}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{/}\FunctionTok{sqrt}\NormalTok{(}\FunctionTok{diag}\NormalTok{(C\_tilde)))}
\NormalTok{R\_tilde }\OtherTok{=}\NormalTok{ D\_tilde }\SpecialCharTok{\%*\%}\NormalTok{ C\_tilde }\SpecialCharTok{\%*\%}\NormalTok{ D\_tilde}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}
\end{frame}

\begin{frame}{Definition und Theorem}
\protect\hypertarget{definition-und-theorem-10}{}
\textcolor{darkblue}{Hauptkomponentenanalyse eines simulierten Datensatzes}
\vspace{1mm}

\small

Hauptkomponentenanalyse durch Eigenanalyse \footnotesize

\begin{center}\includegraphics[width=0.8\linewidth]{4_Abbildungen/mvda_4_pca_eigenanalyse_1} \end{center}
\end{frame}

\begin{frame}{Definition und Theorem}
\protect\hypertarget{definition-und-theorem-11}{}
\textcolor{darkblue}{Hauptkomponentenanalyse eines simulierten Datensatzes}
\vspace{1mm}

\small

Hauptkomponentenanalyse durch Eigenanalyse \footnotesize

\begin{center}\includegraphics[width=0.8\linewidth]{4_Abbildungen/mvda_4_pca_eigenanalyse_2} \end{center}
\end{frame}

\begin{frame}{}
\protect\hypertarget{section-5}{}
\vfill
\large
\setstretch{2.4}

Vektorkoordinatentransformation

Definition

\textbf{Singulärwertzerlegung}

Datenkompression

Exploratorische Faktorenanalyse

Selbstkontrollfragen

\vfill
\end{frame}

\begin{frame}{Singulärwertzerlegung}
\protect\hypertarget{singuluxe4rwertzerlegung}{}
\small
\begin{definition}[Singulärwertzerlegung]
\justifying
$X \in \mathbb{R}^{m \times n}$ sei eine Matrix. Dann heißt die Zerlegung
\begin{equation}
X = USV^T,
\end{equation}
wobei $U \in \mathbb{R}^{m \times m}$ eine orthogonale matrix ist, $S \in \mathbb{R}^{m \times n}$
eine Diagonalmatrix ist und $V \in \mathbb{R}^{n \times n}$ eine orthogonale Matrix ist,
\textit{Singulärwertzerlegung (Singular Value Decomposition (SVD))} von $X$. Die
Diagonalelemente von  $S$ heißen die  \textit{Singulärwerte} von $X$.
\end{definition}

Bemerkungen

\begin{itemize}
\item Die Existenz der Singulärwertzerlegung folgt aus dem Spektralsatz der Linearen Algebra.
\item Singulärwertzerlegungen können in R mit  svd()  berechnet werden.
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Singulärwertzerlegung}
\protect\hypertarget{singuluxe4rwertzerlegung-1}{}
\small
\begin{theorem}[Singulärwertzerlegung und Eigenanalyse]
\justifying
\normalfont
$X \in \mathbb{R}^{m \times n}$ sei eine Matrix und
\begin{equation}
X = USV^T
\end{equation}
sei ihre Singulärwertzerlegung. Dann gilt:
\begin{itemize}
\item Die Spalten von $U$ sind die Eigenvektoren von $XX^T$,
\item die Spalten von $V$ sind die Eigenvektoren von $X^TX$ und
\item die entsprechenden Singulärwerte sind die Quadratwurzeln der zugehörigen Eigenwerte.
\end{itemize}
\end{theorem}

Bemerkung

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Singulärwertzerlegung und Eigenanalyse sind eng verwandt.
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Singulärwertzerlegung}
\protect\hypertarget{singuluxe4rwertzerlegung-2}{}
\footnotesize

\underline{Beweis} \vspace{1mm}

Wir halten zunächst fest, dass mit \begin{equation}
\left(XX^T\right)^T = XX^T \mbox{ and } \left(X^TX\right)^T = X^TX,
\end{equation} \(XX^T\) und \(X^TX\) symmetrische Matrizen sind und
somit Orthornomalzerlegungen haben. Wir halten weiterhin fest, dass mit
der Definition der Singulärwertzerlegung gelten, dass sowohl
\begin{equation}
XX^T
= USV^T \left(U\Sigma V^T\right)^T
= USV^T V S^T U^T
= USSU^T
= U\Lambda U^T
\end{equation} als auch \begin{equation}
X^TX
= \left(USV^T\right)^T USV^T
= VS^T UUS^T V^T
= V\Lambda V^T
\end{equation} ist, wobei wir \(\Lambda := SS\) definiert haben. Weil
das Produkt von Diagonalmatrizen wieder eine Diagonalmatrix ist, ist
\(\Lambda\) eine Diagonalmatrix und per Definition sind \(U\) und \(V\)
orthogonale Matrizen. Wir haben also \(XX^T\) und \(X^TX\) in Form der
Orthonormalzerlegungen \begin{equation}
XX^T = U \Lambda U^T  \mbox{ and } X^TX = V \Lambda V^T
\end{equation} geschrieben und damit ist alles gezeigt.

\(\hfill \Box\)
\end{frame}

\begin{frame}{Singulärwertzerlegung}
\protect\hypertarget{singuluxe4rwertzerlegung-3}{}
\footnotesize
\begin{theorem}[Datenhauptkomponentenanalyse durch Singulärwertzerlegung]
\justifying
\normalfont
$Y \in \mathbb{R}^{m \times n}$ sei ein Datensatz von $n$ unabhängigen Realisierungen
eines $m$-dimensionalen Zufallsvektors. Weiterhin sei
\begin{equation}
\frac{1}{\sqrt{n-1}}Y_c = USV^T
\end{equation}
die Singulärwertzerlegung des skalierten und zentrierten Datenmatrix. Dann sind
die Spalten von $U$ die Eigenvektoren der Stichprobenkovarianzmatrix des Datensatzes
$Y$ und  die quadrierten Singulärwerte sind die zugehörigen Eigenwerte.
\end{theorem}

\underline{Beweis}

Nach Definition der Singulärwertzerlegung sind die Spalten von \(U\) die
Eigenvektoren von \begin{equation}
\frac{1}{\sqrt{n-1}} Y_c \frac{1}{\sqrt{n-1}} Y_c^T = \frac{1}{n-1}Y_c Y_c^T =: C,
\end{equation} und damit identisch mit den Eigenvektoren der
Stichprobenkovarianzmatrix. Weil die Singulärwerte die Quadratwurzeln
der zugehörigen Eigenwerte sind, sind ihre quadrierten Werte identisch
zu den zugehörigen Eigenwerten.

\(\hfill \Box\)

\center

\textbf{Eine PCA kann durch Eigenanalyse der Stichprobenkovarianzmatrix berechnet werden}

\textbf{Eine PCA kann auch durch Singulärwertzerlegung der skaliert-zentrierten Datenmatrix berechnet werden}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]{Singulärwertzerlegung}
\protect\hypertarget{singuluxe4rwertzerlegung-4}{}
\textcolor{darkblue}{Hauptkomponentenanalyse eines simulierten Datensatzes}
\vspace{1mm}

\small

Hauptkomponentenanalyse durch Singulärwertzerlegung \vspace{2mm}

\footnotesize

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\CommentTok{\# Hauptkomponentenanalyse durch Singulärwertzerlegung}
\NormalTok{Y\_sc    }\OtherTok{=}\NormalTok{ (}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{/}\FunctionTok{sqrt}\NormalTok{(n}\DecValTok{{-}1}\NormalTok{))}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{(Y}\SpecialCharTok{{-}}\FunctionTok{as.matrix}\NormalTok{(}\FunctionTok{rowMeans}\NormalTok{(Y)) }\SpecialCharTok{\%*\%} \FunctionTok{rep}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\NormalTok{,n)) }\CommentTok{\# skaliert{-}zentrierter Datensatz}
\NormalTok{SWD     }\OtherTok{=} \FunctionTok{svd}\NormalTok{(Y\_sc)                                             }\CommentTok{\# Singulärwertzerlegung}
\NormalTok{U       }\OtherTok{=}\NormalTok{ SWD}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{u                                                 }\CommentTok{\# Eigenvektoren von C}
\NormalTok{s       }\OtherTok{=}\NormalTok{ SWD}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{d}\SpecialCharTok{\^{}}\DecValTok{2}                                               \CommentTok{\# Eigenwerte von C}
\NormalTok{Y\_tilde }\OtherTok{=} \FunctionTok{t}\NormalTok{(U) }\SpecialCharTok{\%*\%}\NormalTok{ Y                                            }\CommentTok{\# Transformierter Datensatz}

\CommentTok{\# Stichproben{-} und Korrelationsmatrix des transformierten Datensatzes}
\NormalTok{C\_tilde }\OtherTok{=}\NormalTok{ (}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{(n}\DecValTok{{-}1}\NormalTok{))}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{(Y\_tilde }\SpecialCharTok{\%*\%}\NormalTok{ (I\_n}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{n)}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{J\_n) }\SpecialCharTok{\%*\%} \FunctionTok{t}\NormalTok{(Y\_tilde))}
\NormalTok{D\_tilde }\OtherTok{=} \FunctionTok{diag}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{/}\FunctionTok{sqrt}\NormalTok{(}\FunctionTok{diag}\NormalTok{(C\_tilde)))}
\NormalTok{R\_tilde }\OtherTok{=}\NormalTok{ D\_tilde }\SpecialCharTok{\%*\%}\NormalTok{ C\_tilde }\SpecialCharTok{\%*\%}\NormalTok{ D\_tilde}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}
\end{frame}

\begin{frame}{Singulärwertzerlegung}
\protect\hypertarget{singuluxe4rwertzerlegung-5}{}
\textcolor{darkblue}{Hauptkomponentenanalyse eines simulierten Datensatzes}
\vspace{1mm}

\small

Hauptkomponentenanalyse durch Singulärwertzerlegung \vspace{1mm}

\begin{center}\includegraphics[width=0.55\linewidth]{4_Abbildungen/mvda_4_pca_svd} \end{center}
\end{frame}

\begin{frame}{}
\protect\hypertarget{section-6}{}
\vfill
\setstretch{2.4}
\large

Vektorkoordinatentransformation

Definition

Singulärwertzerlegung

\textbf{Datenkompression}

Exploratorische Faktorenanalyse

Selbstkontrollfragen

\vfill
\end{frame}

\begin{frame}{Datenkompression}
\protect\hypertarget{datenkompression}{}
\textcolor{darkblue}{Überblick} \small \setstretch{2}

\begin{itemize}
\item
  Datenkompression entspricht einer Reduktion der Dimension \(m\) von
  Daten.
\item
  Im Rahmen der prädiktiven Modellierung wird PCA zur
  \emph{Dimensionsreduktion} eingesetzt.
\item
  Ziel ist es hier, dem Undersampling hochdimensionaler Datenräume
  entgegen zu wirken.
\item
  Dimensionsreduktion entspricht dem Verwerfen von \(k < m\) Komponenten
  von \(\tilde{Y}\).
\item
  Wahl von Komponenten mit hohen Eigenwerten hält den
  \emph{Datenrekonstruktionsfehler} klein.
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Datenkompression}
\protect\hypertarget{datenkompression-1}{}
\small
\begin{definition}[Dimensionsreduzierter Datensatz]
\justifying
$Y \in \mathbb{R}^{m \times n}$ sei ein Datensatz,
\begin{equation}
C = \frac{1}{n-1} \left(Y\left(I_n  - \frac{1}{n} 1_{nn}\right) Y^T\right) \in \mathbb{R}^{m \times m}
\end{equation}
sei die zugehörige Stichprobenkovarianzmatrix,
\begin{equation}
C = Q\Lambda Q^T
\end{equation}
sei die Hauptkomponentenanalyse von $C$ und es gelte $\lambda_1 > \lambda_2 > \cdots > \lambda_m$
für die Diagonalelemente von $\Lambda$. Schließlich sei für $k \le m$ $Q_k$ die Matrix, die
aus $Q$ durch Streichen der Spalten $k + 1,...,m$ entsteht. Dann heißt
\begin{equation}
\tilde{Y}_k = Q^T_k Y \in \mathbb{R}^{k \times n}
\end{equation}
\textit{PCA-dimensionsreduzierter Datensatz}.
\end{definition}

\footnotesize

Bemerkung

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  \(\tilde{Y}_k = Q_k^T Y\) entspricht einer
  \((k \times n) = (k \times m)\cdot(m \times n)\) Matrixmultiplikation
\item
  \(\tilde{Y}_k\) ist der Datensatz, der aus \(\tilde{Y}\) durch
  Streichen der (\(k + 1\))-ten bis \(m\)-ten Zeile ensteht.
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Datenkompression}
\protect\hypertarget{datenkompression-2}{}
\vspace{1mm}

\textcolor{darkblue}{Dimensionalitätsreduktion eines simulierten Datensatzes}

\small

Dimensionsreduzierte Datensätze

\begin{center}\includegraphics[width=0.7\linewidth]{4_Abbildungen/mvda_4_Q_k} \end{center}
\vspace{-7mm}

\begin{center}\includegraphics[width=0.75\linewidth]{4_Abbildungen/mvda_4_Y_tilde_k} \end{center}
\end{frame}

\begin{frame}{Datenkompression}
\protect\hypertarget{datenkompression-3}{}
\small
\begin{definition}[Rekonstruierter Datensatz, Datenrekonstruktionsfehler]
$Y \in \mathbb{R}^{m \times n}$ sei ein Datensatz und für $k \le m$ sei
\begin{equation}
\tilde{Y}_k = Q_k^TY \in \mathbb{R}^{k \times n}
\end{equation}
ein PCA-dimensionsreduzierter Datensatz.
Dann heißt
\begin{equation}
Y_k = Q_k\tilde{Y}_k \in \mathbb{R}^{m \times n}
\end{equation}
\textit{rekonstruierter Datensatz} und
\begin{equation}
e = \Vert \mbox{vec}(Y - Y_k) \Vert \ge 0
\end{equation}
heißt \textit{Datenrekonstruktionsfehler}.
\end{definition}

\footnotesize

Bemerkungen

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  \(Y_k =Q_k \tilde{Y}_k\) entspricht einer
  \((m \times n) = (m \times k)\cdot(k \times n)\) Matrixmultiplikation
\item
  Für \(M \in \mathbb{R}^{m \times n}\) ist
  \(\mbox{vec}(M) \in \mathbb{R}^{mn}\) der Vektor, der durch Stapeln
  der Spalten von \(M\) entsteht.
\item
  Für \(k = m\) gilt \(Q\tilde{Y}_k = QQ^TY = Y\) und damit \(e = 0\).
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Datenkompression}
\protect\hypertarget{datenkompression-4}{}
\textcolor{darkblue}{Datensatzrekonstruktion und -rekonstruktionsfehler eines simulierten Datensatzes}

\small

Eigenwerte (``Scree-Plot'') und Rekonstruktionsfehler

\begin{center}\includegraphics[width=1\linewidth]{4_Abbildungen/mvda_4_lambda_e} \end{center}
\end{frame}

\begin{frame}{Datenkompression}
\protect\hypertarget{datenkompression-5}{}
\textcolor{darkblue}{Datensatzrekonstruktion und -rekonstruktionsfehler eines simulierten Datensatzes}

Scree (engl.) Schutthalde

\vspace{2mm}

\begin{center}\includegraphics[width=0.6\linewidth]{4_Abbildungen/mvda_4_scree} \end{center}
\end{frame}

\begin{frame}{Datenkompression}
\protect\hypertarget{datenkompression-6}{}
\textcolor{darkblue}{Datensatzrekonstruktion und -rekonstruktionsfehler eines simulierten Datensatzes}

\small

Rekonstruierte Datensätze

\begin{center}\includegraphics[width=0.6\linewidth]{4_Abbildungen/mvda_4_Y_k} \end{center}
\end{frame}

\begin{frame}{Datenkompression}
\protect\hypertarget{datenkompression-7}{}
\textcolor{darkblue}{Datensatzrekonstruktion und -rekonstruktionsfehler eines simulierten Datensatzes}

\small

Originaldatensatz minus rekonstruierter Datensatz

\begin{center}\includegraphics[width=0.6\linewidth]{4_Abbildungen/mvda_4_Y-Y_k} \end{center}
\end{frame}

\begin{frame}{Datenkompression}
\protect\hypertarget{datenkompression-8}{}
\textcolor{darkblue}{Featureselektion bei EEG Daten}

\normalsize

Wie werden visuelle Stimuli im Gehirn verarbeitet?

Wie entscheiden Menschen, ob sie ein Haus oder ein Gesicht wahrnehmen?

\begin{center}\includegraphics[width=0.8\linewidth]{4_Abbildungen/mvda_4_neurosensorik} \end{center}

\(\rightarrow\) Allgemeine Psychologie, Biologische Psychologie,
Kognitive Neurowissenschaften
\end{frame}

\begin{frame}{Datenkompression}
\protect\hypertarget{datenkompression-9}{}
\textcolor{darkblue}{Featureselektion bei EEG Daten} \small
\setstretch{2.2}

\begin{itemize}
\item
  In der prädiktiven EEG Analyse werden mentale Zustände aus
  Raumzeitserien dekodiert.
\item
  Dabei wird ein Klassifikationsalgorithmus anhand von
  Single-Trial-Daten trainiert.
\item
  Oft ist die Datendimension (Elektroden \(\times\) Perieventsamples)
  sehr viel höher als die Trialanzahl.
\item
  Wegen des Curse of Dimensionality performen Classifier auf
  Rohdatensätzen nicht optimal.
\item
  Im Rahmen der Featureselektion können redundante Features durch PCA
  entfernt werden.
\item
  Featureselektion entspricht einer Dimensionsreduktion und kann
  Klassifikationsraten erhöhen.
\item
  Wir visualisieren das Vorgehen exemplarisch für eine
  Single-Trial-Elektrodenraum-Zeitserie.
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Datenkompression}
\protect\hypertarget{datenkompression-10}{}
\textcolor{darkblue}{Featureselektion bei EEG Daten} \small

Single-Trial Evoziertes Potential einer Elektrode \vspace{3mm}

\begin{center}\includegraphics[width=0.8\linewidth]{4_Abbildungen/mvda_4_eeg_O2} \end{center}
\end{frame}

\begin{frame}{Datenkompression}
\protect\hypertarget{datenkompression-11}{}
\textcolor{darkblue}{Featureselektion bei EEG Daten} \small

Single-Trial Evoziertes Potential aller Elektroden

\begin{center}\includegraphics[width=0.75\linewidth]{4_Abbildungen/mvda_4_eeg_cap} \end{center}
\end{frame}

\begin{frame}{Datenkompression}
\protect\hypertarget{datenkompression-12}{}
\vspace{2mm}

\textcolor{darkblue}{Featureselektion bei EEG Daten} \small

Single-Trial Evoziertes Potential aller Elektroden in Matrixform
\vspace{2mm}

\begin{center}\includegraphics[width=0.85\linewidth]{4_Abbildungen/mvda_4_eeg_Y} \end{center}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]{Datenkompression}
\protect\hypertarget{datenkompression-13}{}
\textcolor{darkblue}{Featureselektion bei EEG Daten} \small

Hauptkomponentenanalyse \vspace{2mm}

\footnotesize

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\CommentTok{\# Laden der Daten}
\NormalTok{Y       }\OtherTok{=} \FunctionTok{as.matrix}\NormalTok{(}\FunctionTok{readRDS}\NormalTok{(}\FunctionTok{file.path}\NormalTok{(}\FunctionTok{getwd}\NormalTok{(), }\StringTok{"4\_Daten"}\NormalTok{, }\StringTok{"eeg.csv"}\NormalTok{)))}

\CommentTok{\# Hauptkomponentenanalyse durch Eigenanalyse}
\NormalTok{m       }\OtherTok{=} \FunctionTok{nrow}\NormalTok{(Y)                                     }\CommentTok{\# Datendimension (Anzahl Elektroden)}
\NormalTok{n       }\OtherTok{=} \FunctionTok{ncol}\NormalTok{(Y)                                     }\CommentTok{\# Datenpunktanzahl (Anzahl Time{-}Bins)}
\NormalTok{I\_n     }\OtherTok{=} \FunctionTok{diag}\NormalTok{(n)                                     }\CommentTok{\# Einheitsmatrix I\_n}
\NormalTok{J\_n     }\OtherTok{=} \FunctionTok{matrix}\NormalTok{(}\FunctionTok{rep}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\NormalTok{,n}\SpecialCharTok{\^{}}\DecValTok{2}\NormalTok{), }\AttributeTok{nrow =}\NormalTok{ n)                }\CommentTok{\# 1\_\{nn\}}
\NormalTok{C       }\OtherTok{=}\NormalTok{ (}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{(n}\DecValTok{{-}1}\NormalTok{))}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{(Y }\SpecialCharTok{\%*\%}\NormalTok{ (I\_n}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{n)}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{J\_n) }\SpecialCharTok{\%*\%} \FunctionTok{t}\NormalTok{(Y))  }\CommentTok{\# Stichprobenkovarianzmatrix}
\NormalTok{D       }\OtherTok{=} \FunctionTok{diag}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{/}\FunctionTok{sqrt}\NormalTok{(}\FunctionTok{diag}\NormalTok{(C)))                       }\CommentTok{\# Kov{-}Korr{-}Transformationsmatrix}
\NormalTok{R       }\OtherTok{=}\NormalTok{ D }\SpecialCharTok{\%*\%}\NormalTok{ C }\SpecialCharTok{\%*\%}\NormalTok{ D                               }\CommentTok{\# Stichprobenkorrelationsmatrix}
\NormalTok{EA      }\OtherTok{=} \FunctionTok{eigen}\NormalTok{(C)                                    }\CommentTok{\# Eigenanalyse von C}
\NormalTok{lambda  }\OtherTok{=}\NormalTok{ EA}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{values                                   }\CommentTok{\# Eigenwerte von C}
\NormalTok{Q       }\OtherTok{=}\NormalTok{ EA}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{vectors                                  }\CommentTok{\# Eigenvektoren von C}
\NormalTok{Y\_tilde }\OtherTok{=} \FunctionTok{t}\NormalTok{(Q) }\SpecialCharTok{\%*\%}\NormalTok{ Y                                  }\CommentTok{\# Transformierter Datensatz}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}
\end{frame}

\begin{frame}{Datenkompression}
\protect\hypertarget{datenkompression-14}{}
\textcolor{darkblue}{Featureselektion bei EEG Daten} \small

Stichprobenkovarianzmatrix und Stichprobenkorrelationsmatrix

\begin{center}\includegraphics[width=1\linewidth]{4_Abbildungen/mvda_4_eeg_C_R} \end{center}
\end{frame}

\begin{frame}{Datenkompression}
\protect\hypertarget{datenkompression-15}{}
\textcolor{darkblue}{Featureselektion bei EEG Daten}

\small

Eigenwerte (``Scree (engl. Schutthalde)-Plot'') und
Rekonstruktionsfehler

\begin{center}\includegraphics[width=1\linewidth]{4_Abbildungen/mvda_4_eeg_lambda_e} \end{center}
\end{frame}

\begin{frame}{}
\protect\hypertarget{section-7}{}
\vfill
\setstretch{2.4}
\large

Vektorkoordinatentransformation

Definition

Singulärwertzerlegung

Datenkompression

\textbf{Exploratorische Faktorenanalyse}

Selbstkontrollfragen

\vfill
\end{frame}

\begin{frame}{Exploratorische Faktorenanalyse}
\protect\hypertarget{exploratorische-faktorenanalyse}{}
\setstretch{2}

\textcolor{darkblue}{Überblick} \small

Faktorenanalyse (oder Faktoranalyse) ist ein Sammelbegriff für viele
datenanalytische Verfahren.

Prinzipiell entsprechen ``Faktoren'' latenten Zufallsvariablen in
probabilistischen Modellen.

Latente Zufallsvariablen sind nur indirekt beobachtbar.

In der Psychologie dienen latente Zufallsvariablen oft der Modellierung
von ``Konstrukten''.

Wir betrachten probabilistische Modelle mit latenten Zufallsvariablen in
(5) Faktorenanalyse.

``Exploratorische Faktorenanalyse (EFA)'' ist eine intuitive Vorform des
Latent-Variable-Modellings.

Im Wesentlichen entspricht EFA einer speziellen Interpretation einer
Hauptkomponentenanalyse.

Wir erläutern EFA hier anhand der Sedimentationshypothese der
Persönlichkeitspsychologie.
\end{frame}

\begin{frame}{Exploratorische Faktorenanalyse}
\protect\hypertarget{exploratorische-faktorenanalyse-1}{}
\setstretch{2}

\textcolor{darkblue}{Sedimentationshypothese (Lexikalischer Ansatz) der Persönlichkeitspsychologie}
\small

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Alle wichtigen Persönlichkeitseigenschaften sind durch Adjektive
  repräsentiert.
\item
  Persönlichkeitsadjektive haben sich analog zu
  Persönlichkeitseigenschaften entwickelt
\item
  Persönlichkeitsadjektive decken die relevanten individuellen
  Differenzen ab.
\item
  \(\Rightarrow\) Big-Five der Persönlichkeitspsychologie (OCEAN-Modell)
\end{itemize}

\normalsize

Datengeneration

\small

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  30 Proband:innen schätzen eine Person hinsichtlich des Zutreffens von
  Adjektiven ein.
\item
  Neunstufige Skala (1: trifft überhaupt nicht zu, 9: trifft voll zu)
\item
  Hochkorrelierte Ajdektive beschreiben eine ``übergeordnete
  Persönlichkeitseigenschaften''.
\end{itemize}

\vspace{2mm}
\footnotesize
\flushright

\emph{Rudolf \& Buse (2020) Multvariate Verfahren Kapitel 9}
\end{frame}

\begin{frame}{Exploratorische Faktorenanalyse}
\protect\hypertarget{exploratorische-faktorenanalyse-2}{}
\textcolor{darkblue}{Sedimentationshypothese (Lexikalischer Ansatz) der Persönlichkeitspsychologie}
\vspace{1mm} \small

Datensatz (Proband:innen 1 bis 15)

\footnotesize

\begin{longtable}[]{@{}
  >{\raggedright\arraybackslash}p{(\columnwidth - 30\tabcolsep) * \real{0.2500}}
  >{\raggedleft\arraybackslash}p{(\columnwidth - 30\tabcolsep) * \real{0.0500}}
  >{\raggedleft\arraybackslash}p{(\columnwidth - 30\tabcolsep) * \real{0.0500}}
  >{\raggedleft\arraybackslash}p{(\columnwidth - 30\tabcolsep) * \real{0.0500}}
  >{\raggedleft\arraybackslash}p{(\columnwidth - 30\tabcolsep) * \real{0.0500}}
  >{\raggedleft\arraybackslash}p{(\columnwidth - 30\tabcolsep) * \real{0.0500}}
  >{\raggedleft\arraybackslash}p{(\columnwidth - 30\tabcolsep) * \real{0.0500}}
  >{\raggedleft\arraybackslash}p{(\columnwidth - 30\tabcolsep) * \real{0.0500}}
  >{\raggedleft\arraybackslash}p{(\columnwidth - 30\tabcolsep) * \real{0.0500}}
  >{\raggedleft\arraybackslash}p{(\columnwidth - 30\tabcolsep) * \real{0.0500}}
  >{\raggedleft\arraybackslash}p{(\columnwidth - 30\tabcolsep) * \real{0.0500}}
  >{\raggedleft\arraybackslash}p{(\columnwidth - 30\tabcolsep) * \real{0.0500}}
  >{\raggedleft\arraybackslash}p{(\columnwidth - 30\tabcolsep) * \real{0.0500}}
  >{\raggedleft\arraybackslash}p{(\columnwidth - 30\tabcolsep) * \real{0.0500}}
  >{\raggedleft\arraybackslash}p{(\columnwidth - 30\tabcolsep) * \real{0.0500}}
  >{\raggedleft\arraybackslash}p{(\columnwidth - 30\tabcolsep) * \real{0.0500}}@{}}
\toprule()
\begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright
\end{minipage} & \begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedleft
1
\end{minipage} & \begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedleft
2
\end{minipage} & \begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedleft
3
\end{minipage} & \begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedleft
4
\end{minipage} & \begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedleft
5
\end{minipage} & \begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedleft
6
\end{minipage} & \begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedleft
7
\end{minipage} & \begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedleft
8
\end{minipage} & \begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedleft
9
\end{minipage} & \begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedleft
10
\end{minipage} & \begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedleft
11
\end{minipage} & \begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedleft
12
\end{minipage} & \begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedleft
13
\end{minipage} & \begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedleft
14
\end{minipage} & \begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedleft
15
\end{minipage} \\
\midrule()
\endhead
angriffslustig & 4 & 9 & 5 & 8 & 7 & 2 & 4 & 3 & 1 & 4 & 2 & 6 & 4 & 8 &
7 \\
penibel & 6 & 3 & 1 & 1 & 3 & 4 & 3 & 5 & 4 & 7 & 6 & 4 & 8 & 7 & 8 \\
streitbar & 3 & 8 & 4 & 6 & 6 & 3 & 3 & 3 & 1 & 3 & 2 & 4 & 3 & 7 & 7 \\
kämpferisch & 4 & 6 & 2 & 8 & 7 & 3 & 4 & 4 & 5 & 6 & 5 & 7 & 5 & 8 &
8 \\
grimmig & 5 & 4 & 3 & 4 & 4 & 5 & 5 & 4 & 3 & 4 & 2 & 3 & 5 & 7 & 6 \\
gründlich & 5 & 2 & 2 & 2 & 3 & 4 & 5 & 5 & 4 & 6 & 6 & 5 & 6 & 6 & 7 \\
akkurat & 5 & 2 & 1 & 1 & 3 & 4 & 4 & 5 & 4 & 6 & 6 & 5 & 7 & 5 & 5 \\
gewissenhaft & 1 & 2 & 3 & 2 & 4 & 3 & 6 & 4 & 4 & 5 & 6 & 2 & 5 & 4 &
4 \\
kleinlich & 5 & 1 & 1 & 1 & 3 & 1 & 2 & 1 & 2 & 3 & 6 & 1 & 1 & 7 & 8 \\
übergenau & 6 & 1 & 1 & 1 & 3 & 4 & 3 & 5 & 4 & 7 & 6 & 1 & 1 & 7 & 8 \\
herausfordernd & 4 & 1 & 2 & 8 & 7 & 3 & 4 & 4 & 1 & 1 & 2 & 3 & 5 & 7 &
6 \\
hitzig & 5 & 4 & 3 & 4 & 4 & 5 & 6 & 4 & 3 & 4 & 2 & 3 & 5 & 7 & 6 \\
\bottomrule()
\end{longtable}

\vspace{2mm}
\footnotesize
\flushright

\emph{Rudolf \& Buse (2020) Multvariate Verfahren Kapitel 9}
\end{frame}

\begin{frame}{Exploratorische Faktorenanalyse}
\protect\hypertarget{exploratorische-faktorenanalyse-3}{}
\textcolor{darkblue}{Sedimentationshypothese (Lexikalischer Ansatz) der Persönlichkeitspsychologie}
\vspace{1mm} \small

Datensatz (Proband:innen 16 bis 30)

\footnotesize

\begin{longtable}[]{@{}
  >{\raggedright\arraybackslash}p{(\columnwidth - 30\tabcolsep) * \real{0.2500}}
  >{\raggedleft\arraybackslash}p{(\columnwidth - 30\tabcolsep) * \real{0.0500}}
  >{\raggedleft\arraybackslash}p{(\columnwidth - 30\tabcolsep) * \real{0.0500}}
  >{\raggedleft\arraybackslash}p{(\columnwidth - 30\tabcolsep) * \real{0.0500}}
  >{\raggedleft\arraybackslash}p{(\columnwidth - 30\tabcolsep) * \real{0.0500}}
  >{\raggedleft\arraybackslash}p{(\columnwidth - 30\tabcolsep) * \real{0.0500}}
  >{\raggedleft\arraybackslash}p{(\columnwidth - 30\tabcolsep) * \real{0.0500}}
  >{\raggedleft\arraybackslash}p{(\columnwidth - 30\tabcolsep) * \real{0.0500}}
  >{\raggedleft\arraybackslash}p{(\columnwidth - 30\tabcolsep) * \real{0.0500}}
  >{\raggedleft\arraybackslash}p{(\columnwidth - 30\tabcolsep) * \real{0.0500}}
  >{\raggedleft\arraybackslash}p{(\columnwidth - 30\tabcolsep) * \real{0.0500}}
  >{\raggedleft\arraybackslash}p{(\columnwidth - 30\tabcolsep) * \real{0.0500}}
  >{\raggedleft\arraybackslash}p{(\columnwidth - 30\tabcolsep) * \real{0.0500}}
  >{\raggedleft\arraybackslash}p{(\columnwidth - 30\tabcolsep) * \real{0.0500}}
  >{\raggedleft\arraybackslash}p{(\columnwidth - 30\tabcolsep) * \real{0.0500}}
  >{\raggedleft\arraybackslash}p{(\columnwidth - 30\tabcolsep) * \real{0.0500}}@{}}
\toprule()
\begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright
\end{minipage} & \begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedleft
16
\end{minipage} & \begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedleft
17
\end{minipage} & \begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedleft
18
\end{minipage} & \begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedleft
19
\end{minipage} & \begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedleft
20
\end{minipage} & \begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedleft
21
\end{minipage} & \begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedleft
22
\end{minipage} & \begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedleft
23
\end{minipage} & \begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedleft
24
\end{minipage} & \begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedleft
25
\end{minipage} & \begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedleft
26
\end{minipage} & \begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedleft
27
\end{minipage} & \begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedleft
28
\end{minipage} & \begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedleft
29
\end{minipage} & \begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedleft
30
\end{minipage} \\
\midrule()
\endhead
angriffslustig & 5 & 6 & 8 & 4 & 3 & 2 & 4 & 6 & 9 & 9 & 2 & 4 & 6 & 4 &
9 \\
penibel & 9 & 8 & 9 & 8 & 7 & 8 & 7 & 6 & 4 & 2 & 1 & 3 & 2 & 1 & 2 \\
streitbar & 5 & 6 & 7 & 5 & 4 & 3 & 4 & 5 & 8 & 8 & 1 & 3 & 5 & 3 & 8 \\
kämpferisch & 7 & 7 & 6 & 5 & 4 & 5 & 4 & 6 & 8 & 8 & 3 & 5 & 7 & 5 &
8 \\
grimmig & 5 & 5 & 7 & 3 & 5 & 5 & 3 & 5 & 7 & 8 & 3 & 3 & 5 & 3 & 7 \\
gründlich & 8 & 7 & 8 & 7 & 8 & 8 & 8 & 7 & 6 & 3 & 2 & 3 & 3 & 2 & 3 \\
akkurat & 7 & 6 & 8 & 7 & 7 & 8 & 7 & 7 & 5 & 3 & 3 & 3 & 3 & 2 & 2 \\
gewissenhaft & 3 & 4 & 3 & 3 & 3 & 5 & 8 & 8 & 7 & 4 & 4 & 3 & 4 & 3 &
3 \\
kleinlich & 7 & 8 & 9 & 8 & 7 & 7 & 7 & 6 & 4 & 2 & 1 & 3 & 2 & 1 & 2 \\
übergenau & 7 & 8 & 9 & 8 & 7 & 9 & 7 & 6 & 4 & 2 & 1 & 3 & 2 & 1 & 2 \\
herausfordernd & 7 & 7 & 5 & 5 & 4 & 5 & 4 & 6 & 8 & 8 & 3 & 5 & 7 & 5 &
8 \\
hitzig & 6 & 5 & 5 & 7 & 3 & 5 & 3 & 5 & 7 & 8 & 3 & 3 & 5 & 3 & 7 \\
\bottomrule()
\end{longtable}

\vspace{2mm}
\footnotesize
\flushright

\emph{Rudolf \& Buse (2020) Multvariate Verfahren Kapitel 9}
\end{frame}

\begin{frame}{Exploratorische Faktorenanalyse}
\protect\hypertarget{exploratorische-faktorenanalyse-4}{}
\textcolor{darkblue}{Sedimentationshypothese (Lexikalischer Ansatz) der Persönlichkeitspsychologie}
\small

Datensatz

\begin{center}\includegraphics[width=1\linewidth]{4_Abbildungen/mvda_4_sedimentation_Y} \end{center}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]{Exploratorische Faktorenanalyse}
\protect\hypertarget{exploratorische-faktorenanalyse-5}{}
\textcolor{darkblue}{Sedimentationshypothese (Lexikalischer Ansatz) der Persönlichkeitspsychologie}
\vspace{2mm}

\footnotesize

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\CommentTok{\# Hauptkomponentenanalyse durch Eigenanalyse}
\NormalTok{m       }\OtherTok{=} \FunctionTok{nrow}\NormalTok{(Y)                                     }\CommentTok{\# Variablenanzahl (Anzahl Adjektive)}
\NormalTok{n       }\OtherTok{=} \FunctionTok{ncol}\NormalTok{(Y)                                     }\CommentTok{\# Datenpunktanzahl (Anzahl Proband:innen)}
\NormalTok{I\_n     }\OtherTok{=} \FunctionTok{diag}\NormalTok{(n)                                     }\CommentTok{\# Einheitsmatrix I\_n}
\NormalTok{J\_n     }\OtherTok{=} \FunctionTok{matrix}\NormalTok{(}\FunctionTok{rep}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\NormalTok{,n}\SpecialCharTok{\^{}}\DecValTok{2}\NormalTok{), }\AttributeTok{nrow =}\NormalTok{ n)                }\CommentTok{\# 1\_\{nn\}}
\NormalTok{C       }\OtherTok{=}\NormalTok{ (}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{(n}\DecValTok{{-}1}\NormalTok{))}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{(Y }\SpecialCharTok{\%*\%}\NormalTok{ (I\_n}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{n)}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{J\_n) }\SpecialCharTok{\%*\%} \FunctionTok{t}\NormalTok{(Y))  }\CommentTok{\# Stichprobenkovarianzmatrix}
\NormalTok{D       }\OtherTok{=} \FunctionTok{diag}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{/}\FunctionTok{sqrt}\NormalTok{(}\FunctionTok{diag}\NormalTok{(C)))                       }\CommentTok{\# Kov{-}Korr{-}Transformationsmatrix}
\NormalTok{R       }\OtherTok{=}\NormalTok{ D }\SpecialCharTok{\%*\%}\NormalTok{ C }\SpecialCharTok{\%*\%}\NormalTok{ D                               }\CommentTok{\# Stichprobenkorrelationsmatrix}
\NormalTok{EA      }\OtherTok{=} \FunctionTok{eigen}\NormalTok{(C)                                    }\CommentTok{\# Eigenanalyse von C}
\NormalTok{lambda  }\OtherTok{=}\NormalTok{ EA}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{values                                   }\CommentTok{\# Eigenwerte von C}
\NormalTok{Q       }\OtherTok{=}\NormalTok{ EA}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{vectors                                  }\CommentTok{\# Eigenvektoren von C}
\NormalTok{Y\_tilde }\OtherTok{=} \FunctionTok{t}\NormalTok{(Q) }\SpecialCharTok{\%*\%}\NormalTok{ Y                                  }\CommentTok{\# Transformierter Datensatz}

\CommentTok{\# Stichproben{-} und Korrelationsmatrix des transformierten Datensatzes}
\NormalTok{C\_tilde }\OtherTok{=}\NormalTok{ (}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{(n}\DecValTok{{-}1}\NormalTok{))}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{(Y\_tilde }\SpecialCharTok{\%*\%}\NormalTok{ (I\_n}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{n)}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{J\_n) }\SpecialCharTok{\%*\%} \FunctionTok{t}\NormalTok{(Y\_tilde))}
\NormalTok{D\_tilde }\OtherTok{=} \FunctionTok{diag}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{/}\FunctionTok{sqrt}\NormalTok{(}\FunctionTok{diag}\NormalTok{(C\_tilde)))}
\NormalTok{R\_tilde }\OtherTok{=}\NormalTok{ D\_tilde }\SpecialCharTok{\%*\%}\NormalTok{ C\_tilde }\SpecialCharTok{\%*\%}\NormalTok{ D\_tilde}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}
\end{frame}

\begin{frame}{Exploratorische Faktorenanalyse}
\protect\hypertarget{exploratorische-faktorenanalyse-6}{}
\textcolor{darkblue}{Sedimentationshypothese (Lexikalischer Ansatz) der Persönlichkeitspsychologie}
\small

Stichprobenkovarianzmatrix und Stichprobenkorrelationsmatrix

\begin{center}\includegraphics[width=1\linewidth]{4_Abbildungen/mvda_4_sedimentation_C_R} \end{center}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]{Exploratorische Faktorenanalyse}
\protect\hypertarget{exploratorische-faktorenanalyse-7}{}
\textcolor{darkblue}{Sedimentationshypothese (Lexikalischer Ansatz) der Persönlichkeitspsychologie}

\small

Ladungen (= Komponenten) der Faktoren (= Eigenvektoren) mit den höchsten
beiden Eigenwerten

\vspace{1mm}

\footnotesize

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\CommentTok{\# "Ladungen" der "Faktoren" mit den höchsten beiden Eigenwerten}
\NormalTok{L }\OtherTok{=}\NormalTok{ Q[, }\DecValTok{1}\SpecialCharTok{:}\DecValTok{2}\NormalTok{]}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}

\begin{longtable}[]{@{}lrr@{}}
\toprule()
& Faktor 1 & Faktor 2 \\
\midrule()
\endhead
angriffslustig & 0.035 & 0.549 \\
penibel & -0.468 & -0.068 \\
streitbar & -0.048 & 0.472 \\
kämpferisch & -0.044 & 0.346 \\
grimmig & -0.077 & 0.275 \\
gründlich & -0.381 & -0.049 \\
akkurat & -0.348 & -0.115 \\
gewissenhaft & -0.099 & -0.035 \\
kleinlich & -0.489 & 0.072 \\
übergenau & -0.494 & -0.057 \\
herausfordernd & -0.060 & 0.423 \\
hitzig & -0.080 & 0.268 \\
\bottomrule()
\end{longtable}
\end{frame}

\begin{frame}{Exploratorische Faktorenanalyse}
\protect\hypertarget{exploratorische-faktorenanalyse-8}{}
\textcolor{darkblue}{Sedimentationshypothese (Lexikalischer Ansatz) der Persönlichkeitspsychologie}

\small

Ladungen (Komponenten) der Faktoren (Eigenvektoren) mit den höchsten
beiden Eigenwerten

\begin{center}\includegraphics[width=0.6\linewidth]{4_Abbildungen/mvda_4_sedimentation_faktorladungen} \end{center}

\vspace{-7mm}
\footnotesize
\center
\setstretch{1.2}

Angriffslustig, streitbar, herausfordernd, kämpferisch, hitzig
\(\approx\) Hohe Werte Faktor 1, Niedrige Werte Faktor 2

Kleinlich, akkurat, übergenau, gründlich, gewissenhaft, penibel
\(\approx\) Niedrige Werte Faktor 1, Hohe Werte Faktor 2
\end{frame}

\begin{frame}{Exploratorische Faktorenanalyse}
\protect\hypertarget{exploratorische-faktorenanalyse-9}{}
\textcolor{darkblue}{Sedimentationshypothese (Lexikalischer Ansatz) der Persönlichkeitspsychologie}

\small

Ladungen (Komponenten) der Faktoren (Eigenvektoren) mit den höchsten
beiden Eigenwerten

\begin{center}\includegraphics[width=0.6\linewidth]{4_Abbildungen/mvda_4_sedimentation_faktorladungen} \end{center}
\vspace{-7mm}
\small
\center

Faktor 1 = Aggressivität und Faktor 2 = Perfektionismus als
Persönlichkeitseigenschaften
\end{frame}

\begin{frame}{Exploratorische Faktorenanalyse}
\protect\hypertarget{exploratorische-faktorenanalyse-10}{}
\textcolor{darkblue}{Sedimentationshypothese (Lexikalischer Ansatz) der Persönlichkeitspsychologie}

\ldots{} es ginge auch direkter \ldots{}

\begin{center}\includegraphics[width=1\linewidth]{4_Abbildungen/mvda_4_sedimentation_Co_Ro} \end{center}
\end{frame}

\begin{frame}{}
\protect\hypertarget{section-8}{}
\vfill
\setstretch{2.4}
\large

Vektorkoordinatentransformation

Definition

Singulärwertzerlegung

Datenkompression

Exploratorische Faktorenanalyse

\textbf{Selbstkontrollfragen}

\vfill
\end{frame}

\begin{frame}{Selbstkontrollfragen}
\protect\hypertarget{selbstkontrollfragen}{}
\footnotesize
\justifying
\begin{enumerate}
\itemsep2mm
\item Erläutern Sie den Begriff ``Featureselektion''.
\item Definieren Sie den Begriff Orthogonalprojektion.
\item Geben Sie das Theorem zu Vektorkoordinaten bezüglich einer Orthogonalbasis wieder.
\item Geben Sie das Vektorkoordinatentransformationstheorem wieder.
\item Erläutern Sie das Vektorkoordinatentransformationstheorem.
\item Geben Sie die Definition einer Hauptkomponentenanalyse wieder.
\item Geben Sie das Theorem zur Hauptkomponentenanalyse wieder.
\item Geben Sie die Definition der Hauptkomponentenanalyse eines Datensatzes wieder.
\item Geben Sie das Theorem zur Hauptkomponentenanalyse eines Datensatzes wieder.
\item Schreiben Sie R Code zur Implementation einer Hauptkomponentenanalyse durch Eigenanalyse.
\item Geben Sie die Definition einer Singulärwertzerlegung wieder.
\item Geben Sie das Theorem zum Zusammenhang von Singulärwertzerlegung und Eigenanalyse wieder.
\end{enumerate}
\end{frame}

\begin{frame}{Selbstkontrollfragen}
\protect\hypertarget{selbstkontrollfragen-1}{}
\footnotesize
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{12}
\itemsep2mm
\item Geben Sie das Theorem zur Datenhauptkomponentenanalyse durch Singulärwertzerlegung wieder.
\item Schreiben Sie R Code zur Implementation einer Hauptkomponentenanalyse durch Singulärwertzerlegung.
\item Erläutern Sie das Prinzip der Datenkompression durch Hauptkomponentenanalyse
\item Definieren Sie den Begriff des PCA-dimensionreduzierten Datensatzes.
\item Definieren Sie den Begriff des (PCA)-rekonstruierten Datensatzes.
\item Definieren Sie den Begriff des (PCA)-Rekonstruktionsfehlers.
\item Erläutern Sie die Idee eines Scree-Plots.
\item Erläutern Sie ein Beispiel zur Datendimensionreduktion in der Analyse von EEG Daten.
\item Erläutern Sie den Begriff ``Exploratorische Faktorenanalyse''.
\item Erläutern Sie die Idee der Sedimenationshypothese/des lexikalischen Ansatzes der Persönlichkeitspsychologie.
\item Erläutern Sie, wie man mithilfe einer Hauptkomponentenanalyse und eines Datensatzes von Einschätzungen
einer ihnen bekannten Person durch Proband:innen hinsichtlich einer Menge von Adjektiven zur 
Identifikation von latenten Persönlichkeitseigenschaften gelangen kann.
\end{enumerate}
\end{frame}

\end{document}
