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  \frame{\subsectionpage}
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\else % if luatex or xetex
  \usepackage{unicode-math}
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\fi
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  \usepackage[]{microtype}
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    \usepackage{parskip}
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    \setlength{\parskip}{6pt plus 2pt minus 1pt}}
}{% if KOMA class
  \KOMAoptions{parskip=half}}
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 }%
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    \flushleft\insertframetitle%
    \end{minipage}%
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{
\vskip10pt\hfill\hspace{3.5mm} 										 
\vskip15pt\color{black}\rule{\textwidth}{0.4pt} 					 
}

% slide number
% ---------------------------------------------------------------
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\setbeamertemplate{footline}
{
\vskip5pt
\vskip2pt
\makebox[123mm]{\hspace{7.5mm}
\hfill Multivariate Datenanalyse $\vert$ 
\copyright $ $ 2022 Dirk Ostwald CC BY-NC-SA 4.0 $\vert$ 
Folie \insertframenumber}
\vskip4pt
}

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% ------------------------------------------------------------------------------
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% ------------------------------------------------------------------------------
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% bullet point lists
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% additional math commands
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% text highlighting
% ------------------------------------------------------------------------------
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  \let\set@color\beamerorig@set@color
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  \HL}
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\ifLuaTeX
  \usepackage{selnolig}  % disable illegal ligatures
\fi
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\hypersetup{
  hidelinks,
  pdfcreator={LaTeX via pandoc}}

\author{}
\date{\vspace{-2.5em}}

\begin{document}

\begin{frame}[plain]{}
\protect\hypertarget{section}{}
\center

\begin{center}\includegraphics[width=0.2\linewidth]{11_Abbildungen/mvda_11_otto} \end{center}

\vspace{2mm}

\Huge

Multivariate Datenanalyse \vspace{6mm}

\Large

MSc Psychologie WiSe 2021/22

\vspace{6mm}
\large

Prof.~Dr.~Dirk Ostwald
\end{frame}

\begin{frame}[plain]{}
\protect\hypertarget{section-1}{}
\vfill
\center
\huge

\textcolor{black}{(11) Einfaktorielle Varianzanalyse} \vfill
\end{frame}

\begin{frame}{}
\protect\hypertarget{section-2}{}
\setstretch{2}
\vfill
\large

Anwendungsszenario und Datendeskription

Modellformulierung und Modellschätzung

Modellevaluation

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Wilks' \(\Lambda\)
\item
  Pillai's \(V\)
\end{itemize}

Selbstkontrollfragen \vfill
\end{frame}

\begin{frame}{}
\protect\hypertarget{section-3}{}
\setstretch{2}
\vfill
\large

\textbf{Anwendungsszenario und Datendeskription}

Modellformulierung und Modellschätzung

Modellevaluation mit

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Wilks' \(\Lambda\)
\item
  Pillai's \(V\)
\end{itemize}

Selbstkontrollfragen \vfill
\end{frame}

\begin{frame}{Anwendungsszenario und Datendeskription}
\protect\hypertarget{anwendungsszenario-und-datendeskription}{}
\setstretch{1.2}

Anwendungsszenario

\small

\begin{itemize}
\item
  Zwei oder mehr Stichproben (oft Gruppen genannt) experimenteller
  Einheiten.
\item
  Annahme der unabhängigen und identischen Normalverteilung
  \(N(\mu_i,\Sigma)\) der Daten.
\item
  \(\mu_i \in \mathbb{R}^m, i = 1,...,k\) und
  \(\Sigma \in \mathbb{R}^{m \times m} \mbox{ p.d. }\) unbekannt.
\item
  Absicht des inferentiellen Testens der Nullhypothese identischer
  Gruppenerwartungswerte.
\end{itemize}

\center

Generalisierung des Zweistichproben-T\(^2\)-Tests bei unabhängigen
Stichproben mit einfacher Nullhypothese für mehr als zwei Stichproben

\normalsize
\flushleft

Anwendungsbeispiele

\small

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  BDI/Glukokortikoid Analyse von drei Gruppen psychiatrischer
  Patient:innen nach PA, CBT,ST
\end{itemize}

\(\quad\quad\quad\circ\) Inferentielle Evidenz für
Gruppenerwartungswertunterschiede?

\(\quad\quad\quad\circ\) Evidenz für unterschiedliche
Therapiewirksamkeit?

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Gruppenvergleich von Testdaten bei gutem, befriedigendem, ungenügenden
  Studienabschluss
\end{itemize}

\(\quad\quad\quad\circ\) Inferentielle Evidenz für
Gruppenerwartungswertunterschiede?

\(\quad\quad\quad\circ\) Evidenz für Studienerfolgsprädiktivität der
Testdaten?
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]{Anwendungsszenario und Datendeskription}
\protect\hypertarget{anwendungsszenario-und-datendeskription-1}{}
\textcolor{darkblue}{Anwendungsbeispiel}

\small

Nach Rudolf and Buse (2020) Kapitel 4, vgl. Einheiten zur Prädiktiven
Modellierung

Datensatz zum Verhältnis psychologischer Testdiagnostik und
Studienerfolg

Faktor Studienerfolg mit \(k = 3\) Leveln (\emph{Ungenügend,
Befriedigend, Gut})

Datendimension \(m = 2\) mit \(y_{ij} \in \mathbb{R}^2\) (\(y_{ij_1}\)
\emph{Intelligenztestscore}, \(y_{ij_2}\) \emph{Mathematiktestscore})
\vspace{4mm}

\setstretch{1}
\tiny

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\CommentTok{\# Einlesen des Datensatzes aus Rudolf \& Buse (2019) Multivariate Verfahren}
\FunctionTok{library}\NormalTok{(}\StringTok{"foreign"}\NormalTok{)}
\NormalTok{S        }\OtherTok{=} \FunctionTok{read.spss}\NormalTok{(}\FunctionTok{file.path}\NormalTok{(}\FunctionTok{getwd}\NormalTok{(), }\StringTok{"11\_Daten"}\NormalTok{, }\StringTok{"studienerfolg.sav"}\NormalTok{), }\AttributeTok{to.data.frame =}\NormalTok{ T)}

\CommentTok{\# Datenpräprozessierung}
\NormalTok{m        }\OtherTok{=} \DecValTok{2}                                       \CommentTok{\# Datendimension von Interesse}
\NormalTok{k        }\OtherTok{=} \DecValTok{3}                                       \CommentTok{\# Anzahl Gruppen}
\NormalTok{l        }\OtherTok{=} \DecValTok{15}                                      \CommentTok{\# Anzahl Datenpunkte pro Gruppe}
\NormalTok{Y        }\OtherTok{=} \FunctionTok{array}\NormalTok{(}\AttributeTok{dim =} \FunctionTok{c}\NormalTok{(m,l,k))                   }\CommentTok{\# Datenarrayinitialisierung}
\NormalTok{Y[,,}\DecValTok{1}\NormalTok{]   }\OtherTok{=} \FunctionTok{rbind}\NormalTok{(S}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{X1[S}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{Gruppe }\SpecialCharTok{==} \StringTok{"ungenügend"}\NormalTok{],   }\CommentTok{\# Y\_\{1j\_1\} Intelligenztestscore}
\NormalTok{                 S}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{X2[S}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{Gruppe }\SpecialCharTok{==} \StringTok{"ungenügend"}\NormalTok{])   }\CommentTok{\# Y\_\{1j\_2\} Mathematiktestscore}
\NormalTok{Y[,,}\DecValTok{2}\NormalTok{]   }\OtherTok{=} \FunctionTok{rbind}\NormalTok{(S}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{X1[S}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{Gruppe }\SpecialCharTok{==} \StringTok{"befriedigend"}\NormalTok{], }\CommentTok{\# Y\_\{2j\_1\} Intelligenztestscore}
\NormalTok{                 S}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{X2[S}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{Gruppe }\SpecialCharTok{==} \StringTok{"befriedigend"}\NormalTok{]) }\CommentTok{\# Y\_\{2j\_2\} Mathematiktestscore}
\NormalTok{Y[,,}\DecValTok{3}\NormalTok{]   }\OtherTok{=} \FunctionTok{rbind}\NormalTok{(S}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{X1[S}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{Gruppe }\SpecialCharTok{==} \StringTok{"gut"}\NormalTok{],          }\CommentTok{\# Y\_\{3j\_1\} Intelligenztestscore}
\NormalTok{                 S}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{X2[S}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{Gruppe }\SpecialCharTok{==} \StringTok{"gut"}\NormalTok{])          }\CommentTok{\# Y\_\{3j\_2\} Mathematiktestscore}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]{Anwendungsszenario und Datendeskription}
\protect\hypertarget{anwendungsszenario-und-datendeskription-2}{}
\textcolor{darkblue}{Anwendungsbeispiel}

\small

Datendeskription \vspace{1mm} \setstretch{.9} \tiny

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\NormalTok{Y\_bar\_i }\OtherTok{=} \FunctionTok{array}\NormalTok{(}\AttributeTok{dim =} \FunctionTok{c}\NormalTok{(m,k))                                            }\CommentTok{\# Stichprobenmittelarray}
\NormalTok{C\_i     }\OtherTok{=} \FunctionTok{array}\NormalTok{(}\AttributeTok{dim =} \FunctionTok{c}\NormalTok{(m,m,k))                                          }\CommentTok{\# Stichprobenkovarianzmatrizenarray}
\NormalTok{j\_l     }\OtherTok{=} \FunctionTok{matrix}\NormalTok{(}\FunctionTok{rep}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\NormalTok{,l), }\AttributeTok{nrow =}\NormalTok{ l)                                     }\CommentTok{\# 1\_\{l\}}
\NormalTok{I\_l     }\OtherTok{=} \FunctionTok{diag}\NormalTok{(l)                                                        }\CommentTok{\# Einheitsmatrix I\_l}
\NormalTok{J\_l     }\OtherTok{=} \FunctionTok{matrix}\NormalTok{(}\FunctionTok{rep}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\NormalTok{,l}\SpecialCharTok{\^{}}\DecValTok{2}\NormalTok{), }\AttributeTok{nrow =}\NormalTok{ l)                                   }\CommentTok{\# 1\_\{ll\}}
\ControlFlowTok{for}\NormalTok{ (i }\ControlFlowTok{in} \DecValTok{1}\SpecialCharTok{:}\NormalTok{k)\{                                                          }\CommentTok{\# Gruppeniterationen}
\NormalTok{    Y\_bar\_i[,i] }\OtherTok{=}\NormalTok{ (}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{l)}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{(Y[,,i] }\SpecialCharTok{\%*\%}\NormalTok{ j\_l)                                 }\CommentTok{\# Stichprobenmittel \textbackslash{}bar\{Y\}\_i}
\NormalTok{    C\_i[,,i]    }\OtherTok{=}\NormalTok{ (}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{(l}\DecValTok{{-}1}\NormalTok{))}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{(Y[,,i] }\SpecialCharTok{\%*\%}\NormalTok{ (I\_l}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{l)}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{J\_l) }\SpecialCharTok{\%*\%} \FunctionTok{t}\NormalTok{(Y[,,i]))\}  }\CommentTok{\# Stichprobenkovarianzmatrix C\_i}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}

\begin{center}\includegraphics[width=0.45\linewidth]{11_Abbildungen/mvda_11_anwendungsbeispiel} \end{center}
\end{frame}

\begin{frame}{}
\protect\hypertarget{section-4}{}
\setstretch{2}
\vfill
\large

Anwendungsszenario und Datendeskription

\textbf{Modellformulierung und Modellschätzung}

Modellevaluation

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Wilks' \(\Lambda\)
\item
  Pillai's \(V\)
\end{itemize}

\large

Selbstkontrollfragen \vfill
\end{frame}

\begin{frame}{Modellformulierung und Modellschätzung}
\protect\hypertarget{modellformulierung-und-modellschuxe4tzung}{}
\setstretch{1.2}
\footnotesize
\begin{definition}[Modell der einfaktoriellen Varianzanalyse]
\justifying
Für $i = 1,...,k$ sei
\begin{equation}\label{eq:manova_1}
Y_{i1},...,Y_{il} \sim N(\mu_i,\Sigma)
\end{equation}
eine Stichprobe eines multivariaten Normalverteilungsmodells von Größe $l$ mit
unbekanntem Erwartungswertparameter $\mu_i \in \mathbb{R}^m$ und unbekannten
Kovarianzmatrixparameter $\Sigma \in \mathbb{R}^{m \times m} \mbox{ p.d.}$ Dann
heißt \eqref{eq:manova_1} \textit{Klassisches Modell der einfaktoriellen
Varianzanalyse}. Die Gesamtstichprobengröße
bezeichnen wir mit $n := kl$. Äquivalent sei
\begin{equation}\label{eq:manova_2}
Y_{ij}  = \mu_i + \varepsilon_{ij}
\mbox{ mit }
\varepsilon_{ij} \sim N(0_m,\Sigma)
\mbox{ für }
i = 1,...,k \mbox{ und } j = 1,...,l,
\end{equation}
wobei
\begin{itemize}
\itemsep-0.5mm
\item $i$ die Stichproben und $j$ die experimentellen Einheiten indizieren,
\item $l$ die Stichprobengrößen und $n := lk$ die Gesamtstichprobengröße sind,
\item $Y_{ij}$ beobachtbare Zufallsvektoren sind,
\item $\mu_i \in \mathbb{R}^m$ feste Erwartungswertparameter der Stichprobenvariablen sind, und
\item $\varepsilon_{ij}$ unabhängige normalverteilte nicht-beobachtbare Zufallsvariablen mit $\Sigma \in \mathbb{R}^{m \times m} \mbox{ p.d. }$ sind.
\end{itemize}
Dann heißt \eqref{eq:manova_2} \textit{Generatives Modell der einfaktoriellen
Varianzanalyse.}
\end{definition}
\vspace{-2mm}

Bemerkungen

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Der Einfachheit halber setzen wir hier identische Stichprobengrößen
  voraus.
\item
  Die Kovarianzmatrixparameter aller Stichproben werden als identisch
  vorausgesetzt.
\item
  Wir verzichten auf einen Beweis der Äquivalenz von \eqref{eq:manova_1}
  und \eqref{eq:manova_2}.
\item
  Die Gesamtheit aller Stichprobenzufallsvektoren bezeichen wir mit
  \(Y := \{Y_{ij}\}_{i = 1,...,k, j = 1,...,l}\).
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Modellformulierung und Modellschätzung}
\protect\hypertarget{modellformulierung-und-modellschuxe4tzung-1}{}
\setstretch{1.2}
\footnotesize
\begin{theorem}[Parameterschätzer der einfaktoriellen Varianzanalyse]
\normalfont
\justifying
Für $i = 1,...,k$ sei mit
\begin{equation}
Y_{i1},...,Y_{il} \sim N(\mu_i,\Sigma)
\end{equation}
für $\mu_i \in \mathbb{R}^m$ und $\Sigma \in \mathbb{R}^{m \times m} \mbox{ p.d.}$
das Modell der einfaktoriellen Varianzanalyse gegeben. Dann ist für $i = 1,...,k$
\begin{equation}
\hat{\mu}_i := \frac{1}{l}\sum_{j = 1}^l Y_{ij}
\end{equation}
ein unverzerrte Schätzer des Erwartungswertparameters $\mu_i$ und
\begin{equation}
\hat{\Sigma} := \frac{1}{lk - k}\sum_{i = 1}^k \sum_{j = 1}^l \left(Y_{ij} - \hat{\mu}_i\right)\left(Y_{ij} - \hat{\mu}_i\right)^T
\end{equation}
ein unverzerrter Schätzer des Kovarianzmatrixparameters $\Sigma$.
\end{theorem}

Bemerkungen

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  \(\hat{\mu}_i\) ist das Stichprobenmittel der \(i\)ten Gruppe.
\item
  \(\hat{\Sigma}\) ist die mit \((lk - k)\) skalierte Within Group Sum
  of Squares Matrix (siehe unten).
\item
  Anstelle eines Beweis validieren wir die Aussage des Theorems mithilfe
  einer Simulation.
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]{Modellformulierung und Modellschätzung}
\protect\hypertarget{modellformulierung-und-modellschuxe4tzung-2}{}
Parameterschätzer der einfaktoriellen Varianzanalyse \vspace{2mm}

\tiny
\setstretch{0.9}

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\NormalTok{estimate }\OtherTok{=} \ControlFlowTok{function}\NormalTok{(Y)\{}

  \CommentTok{\# Diese Funktion evaluiert die Parameterschätzer einer einfaktoriellen}
  \CommentTok{\# Varianzanalyse basierend auf einen m x l x k Datensatz Y.}
  \CommentTok{\#}
  \CommentTok{\# Input}
  \CommentTok{\#     Y          : m x l x k Datenarray}
  \CommentTok{\#}
  \CommentTok{\# Output}
  \CommentTok{\#     $mu\_hat    : m x k \textbackslash{}mu\_i Parameterschätzer}
  \CommentTok{\#     $Sigma\_hat : m x m \textbackslash{}Sigma Parametschätzer}
  \CommentTok{\# {-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}}
  \CommentTok{\# Dimensionsparameter}
\NormalTok{  d         }\OtherTok{=} \FunctionTok{dim}\NormalTok{(Y)                                    }\CommentTok{\# Datensatzdimensionen}
\NormalTok{  m         }\OtherTok{=}\NormalTok{ d[}\DecValTok{1}\NormalTok{]                                      }\CommentTok{\# Datendimension}
\NormalTok{  l         }\OtherTok{=}\NormalTok{ d[}\DecValTok{2}\NormalTok{]                                      }\CommentTok{\# Anzahl Datenpunkte pro Gruppe}
\NormalTok{  k         }\OtherTok{=}\NormalTok{ d[}\DecValTok{3}\NormalTok{]                                      }\CommentTok{\# Anzahl Gruppen}

  \CommentTok{\# Erwartungswertparameterschätzer}
\NormalTok{  mu\_hat\_i  }\OtherTok{=} \FunctionTok{matrix}\NormalTok{(}\FunctionTok{apply}\NormalTok{(Y,}\DecValTok{3}\NormalTok{,rowMeans), }\AttributeTok{nrow =}\NormalTok{ m)}

  \CommentTok{\# Kovarianzmatrixparameterschätzer}
\NormalTok{  Sigma\_hat }\OtherTok{=} \FunctionTok{matrix}\NormalTok{(}\FunctionTok{rep}\NormalTok{(}\DecValTok{0}\NormalTok{,m}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{m), }\AttributeTok{nrow =}\NormalTok{ m)}
  \ControlFlowTok{for}\NormalTok{(i }\ControlFlowTok{in} \DecValTok{1}\SpecialCharTok{:}\NormalTok{k)\{}
      \ControlFlowTok{for}\NormalTok{(j }\ControlFlowTok{in} \DecValTok{1}\SpecialCharTok{:}\NormalTok{l)\{}
\NormalTok{          Sigma\_hat }\OtherTok{=}\NormalTok{ Sigma\_hat }\SpecialCharTok{+}\NormalTok{ (}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{(l}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{k}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{k))}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{(Y[,j,i] }\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{ mu\_hat\_i[,i]) }\SpecialCharTok{\%*\%} \FunctionTok{t}\NormalTok{(Y[,j,i] }\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{ mu\_hat\_i[,i])}
\NormalTok{    \}}
\NormalTok{  \}}


  \CommentTok{\# Outputspezifikation}
  \FunctionTok{return}\NormalTok{(}\FunctionTok{list}\NormalTok{(}\AttributeTok{mu\_hat\_i =}\NormalTok{ mu\_hat\_i, }\AttributeTok{Sigma\_hat =}\NormalTok{ Sigma\_hat))\}}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]{Modellformulierung und Modellschätzung}
\protect\hypertarget{modellformulierung-und-modellschuxe4tzung-3}{}
Parameterschätzer der einfaktoriellen Varianzanalyse \vspace{2mm}

\tiny
\setstretch{0.8}

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\CommentTok{\# R Pakete}
\FunctionTok{library}\NormalTok{(MASS)                                    }\CommentTok{\# multivariate Normalverteilungen}
\FunctionTok{library}\NormalTok{(matlib)                                  }\CommentTok{\# Matrixalgebra}


\CommentTok{\# Modellparameter}
\NormalTok{k          }\OtherTok{=} \DecValTok{3}                                   \CommentTok{\# Anzahl Gruppen}
\NormalTok{l          }\OtherTok{=} \DecValTok{15}                                  \CommentTok{\# Anzahl Datenpunkte pro Gruppe}
\NormalTok{m          }\OtherTok{=} \DecValTok{2}                                   \CommentTok{\# Datendimensionalität}
\NormalTok{mu\_i       }\OtherTok{=} \FunctionTok{matrix}\NormalTok{(}\FunctionTok{c}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\NormalTok{,}\DecValTok{2}\NormalTok{,}\DecValTok{2}\NormalTok{,}\DecValTok{1}\NormalTok{,}\DecValTok{3}\NormalTok{,}\FloatTok{2.5}\NormalTok{), }\AttributeTok{ncol =}\NormalTok{ k)  }\CommentTok{\# Erwartungswertparameter}
\NormalTok{Sigma      }\OtherTok{=} \FunctionTok{matrix}\NormalTok{(}\FunctionTok{c}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\NormalTok{,.}\DecValTok{5}\NormalTok{,.}\DecValTok{5}\NormalTok{,}\DecValTok{1}\NormalTok{)  , }\AttributeTok{ncol =}\NormalTok{ m)    }\CommentTok{\# Kovarianzmatrixparameter}

\CommentTok{\# Simulationsparameter und Arrays}
\NormalTok{nsm        }\OtherTok{=} \FloatTok{1e2}                                 \CommentTok{\# Anzahl Simulation}
\NormalTok{mu\_hat\_is  }\OtherTok{=} \FunctionTok{array}\NormalTok{(}\AttributeTok{dim =} \FunctionTok{c}\NormalTok{(m,k,nsm))             }\CommentTok{\# \textbackslash{}hat\{\textbackslash{}mu\}\_i Array}
\NormalTok{Sigma\_hats }\OtherTok{=} \FunctionTok{array}\NormalTok{(}\AttributeTok{dim =} \FunctionTok{c}\NormalTok{(m,m,nsm))             }\CommentTok{\# \textbackslash{}hat\{\textbackslash{}Sigma\} Array}

\CommentTok{\# Simulationen}
\ControlFlowTok{for}\NormalTok{(s }\ControlFlowTok{in} \DecValTok{1}\SpecialCharTok{:}\NormalTok{nsm)\{}

    \CommentTok{\# Datengeneration}
\NormalTok{    Y               }\OtherTok{=} \FunctionTok{array}\NormalTok{(}\AttributeTok{dim =} \FunctionTok{c}\NormalTok{(m,l,k))      }\CommentTok{\# Datenarray}
    \ControlFlowTok{for}\NormalTok{(i }\ControlFlowTok{in} \DecValTok{1}\SpecialCharTok{:}\NormalTok{k)\{}
\NormalTok{        Y[,,i] }\OtherTok{=} \FunctionTok{t}\NormalTok{(}\FunctionTok{mvrnorm}\NormalTok{(l,mu\_i[,i],Sigma))    }\CommentTok{\# Datengeneration}
\NormalTok{    \}}
\NormalTok{    S               }\OtherTok{=} \FunctionTok{estimate}\NormalTok{(Y)                }\CommentTok{\# Parameterschätzung}
\NormalTok{    mu\_hat\_is[,,s]  }\OtherTok{=}\NormalTok{ S}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{mu\_hat\_i                 }\CommentTok{\# \textbackslash{}hat\{\textbackslash{}mu\}\_i}
\NormalTok{    Sigma\_hats[,,s] }\OtherTok{=}\NormalTok{ S}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{Sigma\_hat                }\CommentTok{\# \textbackslash{}hat\{\textbackslash{}Sigma\}}
\NormalTok{\}}

\CommentTok{\# Erwartungswertschätzung}
\NormalTok{E\_hat\_mu\_i\_hat  }\OtherTok{=} \FunctionTok{apply}\NormalTok{(mu\_hat\_is , }\FunctionTok{c}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\NormalTok{,}\DecValTok{2}\NormalTok{), mean)}
\NormalTok{E\_hat\_Sigma\_hat }\OtherTok{=} \FunctionTok{apply}\NormalTok{(Sigma\_hats, }\FunctionTok{c}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\NormalTok{,}\DecValTok{2}\NormalTok{), mean)}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}
\end{frame}

\begin{frame}{Modellformulierung und Modellschätzung}
\protect\hypertarget{modellformulierung-und-modellschuxe4tzung-4}{}
Parameterschätzer der einfaktoriellen Varianzanalyse \vspace{2mm}

\begin{center}\includegraphics[width=0.6\linewidth]{11_Abbildungen/mvda_11_parameterschätzer} \end{center}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]{Modellformulierung und Modellschätzung}
\protect\hypertarget{modellformulierung-und-modellschuxe4tzung-5}{}
\textcolor{darkblue}{Anwendungsbeispiel}

\small

Parameterschätzung

\footnotesize

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\CommentTok{\# Parameterschätzung}
\NormalTok{S }\OtherTok{=} \FunctionTok{estimate}\NormalTok{(Y)}

\CommentTok{\# Ausgabe}
\FunctionTok{print}\NormalTok{(S}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{mu\_hat\_i)}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}

\begin{verbatim}
>      [,1] [,2] [,3]
> [1,] 51.9 58.5 66.5
> [2,] 47.4 62.5 61.7
\end{verbatim}

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\FunctionTok{print}\NormalTok{(S}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{Sigma\_hat)}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}

\begin{verbatim}
>       [,1]  [,2]
> [1,]  87.6 -14.9
> [2,] -14.9 348.3
\end{verbatim}
\end{frame}

\begin{frame}{}
\protect\hypertarget{section-5}{}
\setstretch{2}
\vfill
\large

Anwendungsszenario und Datendeskription

Modellformulierung und Modellschätzung

\textbf{Modellevaluation}

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Wilks' \(\Lambda\)
\item
  Pillai's \(V\)
\end{itemize}

Selbstkontrollfragen \vfill
\end{frame}

\begin{frame}{Modellevaluation}
\protect\hypertarget{modellevaluation}{}
Überblick

\footnotesize

Primäres Ziel der einfaktoriellen Varianzanalyse ist zumeist das Testen
der Nullhypothese \begin{equation}
H_0 : \mu_1 = \mu_2 = \cdots = \mu_k.
\end{equation}

Die Nullhypothese gesagt also, dass zwischen den Gruppen keine
Erwartungswertparameterunterschiede bestehen. Die Alternativhypothese
lautet somit \begin{equation}
H_1 : \mu_{i_c} \neq \mu_{j_c}
\mbox{ für mindestens ein Paar } (i,j)
\mbox{ mit } i \neq j
\mbox{ und mindestens ein } c
\mbox{ mit } 1 \le c \le m.
\end{equation}

Die Alternativhypothese besagt also, dass sich mindestens zwei
Erwartungswertparameter in mindestens einer ihrer Komponenten
unterscheiden.

Kritische Wert-basierte Tests der Nullhypothesen können mit
verschiedenen Teststatistiken
(\textit{Wilks' $\Lambda$, Pillai Statisik}) konstruiert werden. Diesen
Teststatistiken ist gemein, dass sie auf eine Generalisierung der vom
univariaten Fall bekannten Quadratsummenzerlegung zurück gehen. Wir
führen also zunächst diese sogenannte
\emph{Kreuzproduktsummenmatrizenzerlegung} ein und betrachten dann die
durch die Wilks' \(\Lambda\) und die Bartlett-Pillai-Spur induzierten
Tests anhand der Gliederung (1) Teststatistik und Test, (2) Analyse der
Teststatistik und (3) Testumfangkontrolle.

Einen Überblick über die Modellevaluation bei der univariaten
einfaktoriellen Varianzanalyse gibt
\href{https://bit.ly/3rdQsUE}{\textcolor{red}{(12) Varianzanalysen}}.
\end{frame}

\begin{frame}{Modellevaluation}
\protect\hypertarget{modellevaluation-1}{}
\footnotesize
\begin{theorem}[Kreuzproduktsummenmatrizenzerlegung]
\justifying
\normalfont
Für $i = 1,...,k$ und $j = 1,...,l$ bezeichne $Y_{ij}$ den $j$ten Stichprobenvektor
der $i$ten Stichprobengruppe eines einfaktoriellen Varianzanalysemodells. Weiterhin
seien
\begin{equation}
\bar{Y} := \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^k \sum_{j = 1}^l Y_{ij}
\mbox{ und }
\bar{Y}_i := \frac{1}{l} \sum_{j = 1}^l Y_{ij}
\end{equation}
das \textit{Gesamtstichprobenmittel} und das \textit{$i$te Gruppenstichprobenmittel}, respektive.
Schließlich seien
\vspace{1mm}

\center
\begin{tabular}{ll}
$T := \sum_{i = 1}^k \sum_{j = 1}^l \left(Y_{ij} - \bar{Y}\right)\left(Y_{ij} - \bar{Y}\right)^T$
&
die \textit{Totale Sum of Squares Matrix}
\\
\\
$B := \sum_{i = 1}^k l \left(\bar{Y}_{i} - \bar{Y}\right)\left(\bar{Y}_{i} - \bar{Y}\right)^T$
&
die \textit{Between Group Sum of Squares Matrix}
\\
\\
$W := \sum_{i = 1}^k \sum_{j = 1}^l \left(Y_{ij} - \bar{Y}_i\right)\left(Y_{ij} - \bar{Y}_i\right)^T$
&
die \textit{Within Group Sum of Squares Matrix}.
\end{tabular}
\vspace{1mm}

\flushleft
Dann gilt
\begin{equation}
T = B + W.
\end{equation}
\end{theorem}
\end{frame}

\begin{frame}{Modellevaluation}
\protect\hypertarget{modellevaluation-2}{}
\footnotesize
\setstretch{1.8}

Bemerkungen

\begin{itemize}
\item
  \justifying \(T \in \mathbb{R}^{m \times m}\) repräsentiert die totale
  Variabilität der Datenvektoren um das Gesamtstichprobenmittel.
\item
  \(B \in \mathbb{R}^{m \times m}\) repräsentiert die Variabilität der
  Gruppenstichprobenmittel um das Gesamtstichprobenmittel.
\item
  \(W \in \mathbb{R}^{m \times m}\) repräsentiert die Variabilität der
  Datenvektoren um ihre jeweiligen Gruppenstichprobenmittel.
\item
  Die totale Variabilität wird hier also in zwei unabhängige Beiträge
  von Variabilität zerlegt.
\item
  \(W\) heißt auch \textit{Residualvariabiliät}, weil sie die
  verbleibende Variabilität nach Schätzung der
  Gruppenerwartungswertparameter quantifiziert und gilt das
  \begin{equation}
  W = (lk -k)\hat{\Sigma}.
  \end{equation}
\item
  Die Kreuzproduktsummenmatrixzerlegung ergibt sich anhand von
  algebraischen Identitäten wie unten gezeigt.
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Modellevaluation}
\protect\hypertarget{modellevaluation-3}{}
\vspace{2mm}
\tiny

\underline{Beweis} \vspace{-2mm} \begin{align*}
\begin{split}
T
& = \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^{l}(Y_{ij}-\bar{Y})(Y_{ij}-\bar{Y})^T
\\
& = \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^{l} (Y_{ij}-\bar{Y}_i+\bar{Y}_i-\bar{Y})(Y_{ij}-\bar{Y}_i+\bar{Y}_i-\bar{Y})^T
\\
& = \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^{l} \left((Y_{ij}-\bar{Y}_i)+(\bar{Y}_i-\bar{Y})\right)\left((Y_{ij}-\bar{Y}_i)+(\bar{Y}_i-\bar{Y})\right)^T
\\
& = \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^{l} \left(
                                      (Y_{ij}-\bar{Y}_i)(Y_{ij}-\bar{Y}_i)^T
                                    +2(Y_{ij}-\bar{Y}_i)(\bar{Y}_i-\bar{Y})^T
                                    + (\bar{Y}_i-\bar{Y})(\bar{Y}_i-\bar{Y})^T
                                \right)
\\
& = \sum_{i=1}^k \left(
                       \sum_{j=1}^{l} (Y_{ij}-\bar{Y}_i)(Y_{ij}-\bar{Y}_i)^T
                      +\sum_{j=1}^{l}2(Y_{ij}-\bar{Y}_i)(\bar{Y}_i-\bar{Y})^T
                      +\sum_{j=1}^{l}(\bar{Y}_i-\bar{Y})(\bar{Y}_i-\bar{Y})^T
                 \right)
\end{split}
\end{align*}
\end{frame}

\begin{frame}{Modellevaluation}
\protect\hypertarget{modellevaluation-4}{}
\vspace{2mm}
\tiny

\underline{Beweis (fortgeführt)} \vspace{-2mm} \begin{align*}
\begin{split}
& = \sum_{i=1}^k \left(
                       \sum_{j=1}^{l} (Y_{ij}-\bar{Y}_i)(Y_{ij}-\bar{Y}_i)^T
                      +2\left(\sum_{j=1}^{l}(Y_{ij}-\bar{Y}_i)\right)(\bar{Y}_i-\bar{Y})^T
                      +l(\bar{Y}_i-\bar{Y})(\bar{Y}_i-\bar{Y})^T
                 \right)
\\
& = \sum_{i=1}^k \left(
                       \sum_{j=1}^{l} (Y_{ij}-\bar{Y}_i)(Y_{ij}-\bar{Y}_i)^T
                      +2\left(\sum_{j=1}^{l}\left(Y_{ij}-\frac{1}{l}\sum_{j=1}^l Y_{ij}\right)\right)(\bar{Y}_i-\bar{Y})^T
                      +l(\bar{Y}_i-\bar{Y})(\bar{Y}_i-\bar{Y})^T
                 \right)
\\
& = \sum_{i=1}^k \left(
                       \sum_{j=1}^{l} (Y_{ij}-\bar{Y}_i)(Y_{ij}-\bar{Y}_i)^T
                      +2\left(\sum_{j=1}^{l} Y_{ij}-\sum_{j=1}^{l} Y_{ij}\right) (\bar{Y}_i-\bar{Y})^T
                      +l(\bar{Y}_i-\bar{Y})(\bar{Y}_i-\bar{Y})^T
                 \right)
\\
& = \sum_{i=1}^k \left(
                       \sum_{j=1}^{l} (Y_{ij}-\bar{Y}_i)(Y_{ij}-\bar{Y}_i)^T
                       +l(\bar{Y}_i-\bar{Y})(\bar{Y}_i-\bar{Y})^T
                 \right)
\\
& = \sum_{i=1}^kl(\bar{Y}_i-\bar{Y})(\bar{Y}_i-\bar{Y})^T
   +\sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^{l} (Y_{ij}-\bar{Y}_i)(Y_{ij}-\bar{Y}_i)^T
\\
& = B + W.
\end{split}
\end{align*}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]{Modellevaluation}
\protect\hypertarget{modellevaluation-5}{}
\vspace{3mm}

\setstretch{.8}
\tiny

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\NormalTok{sos }\OtherTok{=} \ControlFlowTok{function}\NormalTok{(Y)\{}

  \CommentTok{\# Diese Funktion evaluiert die Kreuzproduktsummenmatrizen T,B,W einer}
  \CommentTok{\# einfaktoriellen Varianzanalyse basierend auf einen m x l x k Datensatz Y.}
  \CommentTok{\#}
  \CommentTok{\# Input}
  \CommentTok{\#     Y        : m x l x k Datenarray}
  \CommentTok{\#}
  \CommentTok{\# Output}
  \CommentTok{\#     $Y\_bar   : m x 1 Gesamtmittelwert}
  \CommentTok{\#     $Y\_bar\_i : m x k Gruppenmittelwerte}
  \CommentTok{\#     $T       : m x m Total Sum of Squares Matrix}
  \CommentTok{\#     $B       : m x m Between Group Sum of Squares Matrix}
  \CommentTok{\#     $W       : m x m Within  Group  Sum of Squares Matrix}
  \CommentTok{\# {-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}{-}}
\NormalTok{  d        }\OtherTok{=} \FunctionTok{dim}\NormalTok{(Y)                                    }\CommentTok{\# Datensatzdimensionen}
\NormalTok{  m        }\OtherTok{=}\NormalTok{ d[}\DecValTok{1}\NormalTok{]                                      }\CommentTok{\# Datendimension}
\NormalTok{  l        }\OtherTok{=}\NormalTok{ d[}\DecValTok{2}\NormalTok{]                                      }\CommentTok{\# Anzahl Datenpunkte pro Gruppe}
\NormalTok{  k        }\OtherTok{=}\NormalTok{ d[}\DecValTok{3}\NormalTok{]                                      }\CommentTok{\# Anzahl Gruppen}

  \CommentTok{\# Mittelwerte}
\NormalTok{  Y\_bar\_i  }\OtherTok{=} \FunctionTok{matrix}\NormalTok{(}\FunctionTok{apply}\NormalTok{(Y,}\DecValTok{3}\NormalTok{,rowMeans), }\AttributeTok{nrow =}\NormalTok{ m)     }\CommentTok{\# Gruppenstichprobenmittel}
\NormalTok{  Y\_bar    }\OtherTok{=} \FunctionTok{matrix}\NormalTok{(}\FunctionTok{rowMeans}\NormalTok{(Y\_bar\_i)  , }\AttributeTok{nrow =}\NormalTok{ m)     }\CommentTok{\# Gesamtstichprobenmittel}

  \CommentTok{\# Totale sum of Squares Matrix}
\NormalTok{  T }\OtherTok{=} \FunctionTok{matrix}\NormalTok{(}\FunctionTok{rep}\NormalTok{(}\DecValTok{0}\NormalTok{,m}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{m), }\AttributeTok{nrow =}\NormalTok{ m)}
  \ControlFlowTok{for}\NormalTok{(i }\ControlFlowTok{in} \DecValTok{1}\SpecialCharTok{:}\NormalTok{k)\{}
      \ControlFlowTok{for}\NormalTok{(j }\ControlFlowTok{in} \DecValTok{1}\SpecialCharTok{:}\NormalTok{l)\{}
\NormalTok{          T }\OtherTok{=}\NormalTok{ T }\SpecialCharTok{+}\NormalTok{ (Y[,j,i] }\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{ Y\_bar) }\SpecialCharTok{\%*\%} \FunctionTok{t}\NormalTok{(Y[,j,i] }\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{ Y\_bar)\}\}}

  \CommentTok{\# Between Sum of Squares Matrix}
\NormalTok{  B }\OtherTok{=} \FunctionTok{matrix}\NormalTok{(}\FunctionTok{rep}\NormalTok{(}\DecValTok{0}\NormalTok{,m}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{m), }\AttributeTok{nrow =}\NormalTok{ m)}
  \ControlFlowTok{for}\NormalTok{(i }\ControlFlowTok{in} \DecValTok{1}\SpecialCharTok{:}\NormalTok{k)\{}
\NormalTok{    B }\OtherTok{=}\NormalTok{ B }\SpecialCharTok{+}\NormalTok{ l}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{(Y\_bar\_i[,i] }\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{ Y\_bar) }\SpecialCharTok{\%*\%} \FunctionTok{t}\NormalTok{(Y\_bar\_i[,i] }\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{ Y\_bar)\}}

  \CommentTok{\# Within Sum of Squares Matrix}
\NormalTok{  W }\OtherTok{=} \FunctionTok{matrix}\NormalTok{(}\FunctionTok{rep}\NormalTok{(}\DecValTok{0}\NormalTok{,m}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{m), }\AttributeTok{nrow =}\NormalTok{ m)}
  \ControlFlowTok{for}\NormalTok{(i }\ControlFlowTok{in} \DecValTok{1}\SpecialCharTok{:}\NormalTok{k)\{}
      \ControlFlowTok{for}\NormalTok{(j }\ControlFlowTok{in} \DecValTok{1}\SpecialCharTok{:}\NormalTok{l)\{}
\NormalTok{          W }\OtherTok{=}\NormalTok{ W }\SpecialCharTok{+}\NormalTok{ (Y[,j,i] }\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{ Y\_bar\_i[,i]) }\SpecialCharTok{\%*\%} \FunctionTok{t}\NormalTok{(Y[,j,i] }\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{ Y\_bar\_i[,i])\}\}}

  \CommentTok{\# Outputspezifikation}
  \FunctionTok{return}\NormalTok{(}\FunctionTok{list}\NormalTok{(}\AttributeTok{Y\_bar\_i =}\NormalTok{ Y\_bar\_i, }\AttributeTok{Y\_bar =}\NormalTok{ Y\_bar, }\AttributeTok{T =}\NormalTok{ T, }\AttributeTok{B =}\NormalTok{ B, }\AttributeTok{W =}\NormalTok{ W))\}}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}
\end{frame}

\begin{frame}{Modellevaluation}
\protect\hypertarget{modellevaluation-6}{}
\textcolor{darkblue}{Überblick zu Teststatistiken und ihren Verteilungen}
\footnotesize

Basierend auf der Kreuzproduktsummenmatrixzerlegung \(T = B + W\) wurden
eine Reihe von Teststatisken für Hypothesentests der Nullhypothese
\(H_0 : \mu_1 = \cdots \mu_k\) vorgeschlagen. Wir betrachten hier (nur)
\begin{equation}
\mbox{Wilks' } \Lambda = \frac{|W|}{|B + W|} \mbox{ und  Pillai's } V := \mbox{tr}\left((B+W)^{-1}B \right)
\end{equation} Im Gegensatz zur \(T^2\)-Teststatistik und zur
F-Teststatistik der univariaten Varianzanalyse sind die Verteilungen von
\(\Lambda\) und \(V\) nur für bestimmte Anwendungsszenarien, d.h. kleine
Werte der Datendimensionalität \(m\) und die Anzahl der Gruppen \(k\),
analytisch exakt beschreibbar und führen, wie im Fall der
T\(^2\)-Teststatistik auf \(f\)-Verteilungen.

Für Anwendungsszenarien mit größeren Werten von \(m\) und oder \(k\)
existieren lediglich Approximationen der Verteilungen von \(\Lambda\)
und \(V\), die für unendlich große Stichprobenumfänge \(n \to \infty\)
exakt sind und wiederum durch \(f\)-Verteilungen gegeben sind.

Anderson (2003), Kapitel 8 gibt eine Einführung in die
Approximationstheorie für multivariate Modelle, das Wissen um die
exakten Verteilungen der Teststatistiken um 1970 wird von Rao (1972)
zusammengefasst. Im Sinne der Anwendung unterscheiden sich
Testentscheidungen basierend auf exakten oder approximativen
Verteilungen von Wilk's \(\Lambda\) und Pillai's \(V\) nicht. Zur
Absicherung dieser Aussage mögen im konkreten Fall von \(m\) und \(k\)
Simulationen wie im Folgenden diskutiert helfen, Unterschiede zwischen
\(\Lambda\) und \(V\) und der Approximation ihrer Verteilungen
abzuschätzen.
\end{frame}

\begin{frame}{}
\protect\hypertarget{section-6}{}
\setstretch{2}
\vfill
\large

Anwendungsszenario und Datendeskription

Modellformulierung und Modellschätzung

\textbf{Modellevaluation}

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  \textbf{Wilks' \(\Lambda\)}
\item
  Pillai's \(V\)
\end{itemize}

\large

Selbstkontrollfragen \vfill
\end{frame}

\begin{frame}{Modellevaluation mit der Wilks' \(\Lambda\) Statistik}
\protect\hypertarget{modellevaluation-mit-der-wilks-lambda-statistik}{}
\small
\begin{definition}[Wilks' $\Lambda$]
Es seien das Modell der einfaktoriellen Varianzanalyse sowie die Between Sum of
Squares Matrix $B$ und die Within Sum of Squares Matrix $W$ definiert wie oben.
Dann ist die Wilks' $\Lambda$ Teststatistik definiert als
\begin{equation}
\Lambda := \frac{|W|}{|B+W|},
\end{equation}
wobei $|\cdot|$ die Determinante bezeichnet.
\end{definition}

Bemerkungen

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Intuitiv misst \(\Lambda\) das Verhältnis von Residualvariabilität und
  Gesamtvariabilität.
\item
  Ohne Beweis halten wir fest, dass \(\Lambda \in [0,1]\)
\item
  Für \(\bar{Y}_1 = \cdots = \bar{Y}_p = \bar{Y}\) gilt \(B = 0_{mm}\)
  und damit \(\Lambda = 1\).
\item
  Für steigende Unterschiede zwischen den \(\bar{Y}_i\) nimmt \(|B+W|\)
  gegenüber \(|W|\) zu, \(\Lambda\) also ab.
\item
  Kleine Werte von \(\Lambda\) sprechen also für eine Abweichung von der
  Nullhypothese.
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Modellevaluation mit der Wilks' \(\Lambda\) Statistik}
\protect\hypertarget{modellevaluation-mit-der-wilks-lambda-statistik-1}{}
\small
\begin{theorem}[Eigenwertform von Wilks' $\Lambda$]
\justifying
\normalfont
Es seien das Modell der einfaktoriellen Varianzanalyse, die Between Sum of
Squares Matrix $B$, die Within Sum of Squares Matrix $W$ und Wilks' $\Lambda$ definiert
wie oben. Weiterhin seien $\lambda_1,...,\lambda_s$ die Eigenwerte von $W^{-1}B$.
Dann gilt
\begin{equation}
\Lambda = \prod_{i=1}^s \frac{1}{1 + \lambda_i}
\end{equation}
\end{theorem}

Bemerkungen

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Wir verzichten auf einen Beweis.
\item
  Die Matrix \(W^{-1}B\) ist das multivariate Analogon zu
  \(\frac{\mbox{SQB}}{\mbox{SQB}}\).
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Modellevaluation mit der Wilks' \(\Lambda\) Statistik}
\protect\hypertarget{modellevaluation-mit-der-wilks-lambda-statistik-2}{}
\footnotesize
\begin{theorem}[Spezielle $H_0$ Verteilungen von Wilks' $\Lambda$ Transformationen]
\justifying
\normalfont
Es seien das Modell der einfaktoriellen Varianzanalyse und Wilks' $\Lambda$
definiert wie oben und es gelte außerdem
\begin{equation}
H_0 : \mu_1 = \mu_2 = \cdots = \mu_p
\mbox{ bzw. }
H_0 : \alpha_1 = \alpha_2 = \cdots = \alpha_p = 0_m
\end{equation}
Dann sind für die in den ersten beiden Tabellenspalten aufgeführten Spezialfällen
die in der dritten Tabellenspalte aufgeführten Statistiken $f$-Zufallsvariablen
und zwar mit den in der vierten Tabellenspalte aufgeführten Parametern.
\vspace{1mm}
\center
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabular}{cccc}
Datendimension $m$
& Gruppenanzahl $k$
& Statistik
& $f$-Verteilungsparameter
\\\hline
Beliebig
& 2
& $\frac{1 - \Lambda}{\Lambda} \frac{n-k-m+1}{m}$
& $m, n-k-m+1$
\\
Beliebig
& 3
& $\frac{1 - \sqrt{\Lambda}}{\sqrt{\Lambda}} \frac{n-k-m+1}{m}$
& $2m, 2(n-k-m+1)$
\\
1
& Beliebig
& $\frac{1 - \Lambda}{\Lambda} \frac{n-k}{k-1}$
& $k-1,n-k$
\\
2
& Beliebig
& $\frac{1 - \sqrt{\Lambda}}{\sqrt{\Lambda}} \frac{n-k-1}{k-1}$
& $2(k-1),2(n-k-1)$
\end{tabular}
\end{theorem}

Bemerkungen

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Die Verteilungen gehen zurück auf Wilks (1932).
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]{Modellevaluation mit der Wilks' \(\Lambda\)
Statistik}
\protect\hypertarget{modellevaluation-mit-der-wilks-lambda-statistik-3}{}
\vspace{1mm}
\small

Simulation spezieller \(H_0\) Verteilungen von Wilks' \(\Lambda\)
Transformationen \vspace{1mm} \setstretch{.8} \tiny

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\CommentTok{\# Szenarioparameter}
\NormalTok{nsm }\OtherTok{=} \FloatTok{1e4}                                          \CommentTok{\# Datensimulationsanzahl}
\NormalTok{M   }\OtherTok{=} \FunctionTok{c}\NormalTok{(}\DecValTok{3}\NormalTok{,}\DecValTok{3}\NormalTok{,}\DecValTok{1}\NormalTok{,}\DecValTok{2}\NormalTok{)                                   }\CommentTok{\# Datendimension}
\NormalTok{K   }\OtherTok{=} \FunctionTok{c}\NormalTok{(}\DecValTok{2}\NormalTok{,}\DecValTok{3}\NormalTok{,}\DecValTok{4}\NormalTok{,}\DecValTok{4}\NormalTok{)                                   }\CommentTok{\# Gruppenanzahl}
\NormalTok{l   }\OtherTok{=} \DecValTok{15}                                           \CommentTok{\# Datenpunkte pro Gruppe}
\NormalTok{N   }\OtherTok{=}\NormalTok{ l}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{K                                          }\CommentTok{\# Gesamtanzahl Datenpunkte}

\CommentTok{\# Szenariensimulationen}
\FunctionTok{library}\NormalTok{(MASS)                                      }\CommentTok{\# R Paket für multivariate Normalverteilungen}
\NormalTok{nsc }\OtherTok{=} \FunctionTok{length}\NormalTok{(M)                                    }\CommentTok{\# Szenarienanzahl}
\NormalTok{P   }\OtherTok{=} \FunctionTok{matrix}\NormalTok{(}\FunctionTok{rep}\NormalTok{(}\ConstantTok{NaN}\NormalTok{,nsm}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{nsc), }\AttributeTok{ncol =}\NormalTok{ nsc)         }\CommentTok{\# Statistik ("Prüfgröße") Array}
\ControlFlowTok{for}\NormalTok{(sc }\ControlFlowTok{in} \DecValTok{1}\SpecialCharTok{:}\NormalTok{nsc)\{                                  }\CommentTok{\# Szenarioiterationen}

    \CommentTok{\# Modellparameter}
\NormalTok{    m     }\OtherTok{=}\NormalTok{ M[sc]                                  }\CommentTok{\# Datendimension}
\NormalTok{    k     }\OtherTok{=}\NormalTok{ K[sc]                                  }\CommentTok{\# Gruppenanzahl}
\NormalTok{    n     }\OtherTok{=}\NormalTok{ N[sc]                                  }\CommentTok{\# Gesamtanzahl Datenpunkte}
\NormalTok{    mu\_i  }\OtherTok{=} \FunctionTok{matrix}\NormalTok{(}\FunctionTok{rep}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\NormalTok{,m), }\AttributeTok{nrow =}\NormalTok{ m)             }\CommentTok{\# Identische Gruppenerwartungswertparameter bei H\_0}
\NormalTok{    Sigma }\OtherTok{=} \FunctionTok{diag}\NormalTok{(m)                                }\CommentTok{\# Identische Gruppenkovarianzmatrixparameter}

    \CommentTok{\# Datensimulationen}
    \ControlFlowTok{for}\NormalTok{(sm }\ControlFlowTok{in} \DecValTok{1}\SpecialCharTok{:}\NormalTok{nsm)\{}

        \CommentTok{\# Datengeneration}
\NormalTok{        Y     }\OtherTok{=} \FunctionTok{array}\NormalTok{(}\AttributeTok{dim =} \FunctionTok{c}\NormalTok{(m,l,k))              }\CommentTok{\# Datenanarrayinitialisierung}
        \ControlFlowTok{for}\NormalTok{(i }\ControlFlowTok{in} \DecValTok{1}\SpecialCharTok{:}\NormalTok{k)\{                             }\CommentTok{\# Gruppeniterationen}
\NormalTok{            Y[,,i] }\OtherTok{=}  \FunctionTok{t}\NormalTok{(}\FunctionTok{mvrnorm}\NormalTok{(l,mu\_i,Sigma))\}    }\CommentTok{\# Datensimulation}

        \CommentTok{\# Analyse}
\NormalTok{        S        }\OtherTok{=} \FunctionTok{sos}\NormalTok{(Y)                          }\CommentTok{\# Stichprobenmittel und Sum of Squares Matrizen}
\NormalTok{        L        }\OtherTok{=} \FunctionTok{det}\NormalTok{(S}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{W)}\SpecialCharTok{/}\FunctionTok{det}\NormalTok{(S}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{W }\SpecialCharTok{+}\NormalTok{ S}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{B)         }\CommentTok{\# Wilks\textquotesingle{} Lambda}

        \CommentTok{\# Szenarioabhängige Statistik ("Prüfgröße")}
        \ControlFlowTok{if}\NormalTok{     (sc }\SpecialCharTok{==} \DecValTok{1}\NormalTok{)\{p }\OtherTok{=}\NormalTok{ ((}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{L)}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{L)}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{((n}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{k}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{m}\SpecialCharTok{+}\DecValTok{1}\NormalTok{)}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{m)\}}
        \ControlFlowTok{else} \ControlFlowTok{if}\NormalTok{(sc }\SpecialCharTok{==} \DecValTok{2}\NormalTok{)\{p }\OtherTok{=}\NormalTok{ ((}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{{-}}\FunctionTok{sqrt}\NormalTok{(L))}\SpecialCharTok{/}\FunctionTok{sqrt}\NormalTok{(L))}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{((n}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{k}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{m}\SpecialCharTok{+}\DecValTok{1}\NormalTok{)}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{m)\}}
        \ControlFlowTok{else} \ControlFlowTok{if}\NormalTok{(sc }\SpecialCharTok{==} \DecValTok{3}\NormalTok{)\{p }\OtherTok{=}\NormalTok{ ((}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{L)}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{L)}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{((n}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{k)}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{(k}\DecValTok{{-}1}\NormalTok{))\}}
        \ControlFlowTok{else} \ControlFlowTok{if}\NormalTok{(sc }\SpecialCharTok{==} \DecValTok{4}\NormalTok{)\{p }\OtherTok{=}\NormalTok{ ((}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{{-}}\FunctionTok{sqrt}\NormalTok{(L))}\SpecialCharTok{/}\FunctionTok{sqrt}\NormalTok{(L))}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{((n}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{k}\DecValTok{{-}1}\NormalTok{)}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{(k}\DecValTok{{-}1}\NormalTok{))\}}

        \CommentTok{\# Statistikrealisation}
\NormalTok{        P[sm,sc] }\OtherTok{=}\NormalTok{ p \}\}}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}
\end{frame}

\begin{frame}{Modellevaluation mit der Wilks' \(\Lambda\) Statistik}
\protect\hypertarget{modellevaluation-mit-der-wilks-lambda-statistik-4}{}
\vspace{1mm}
\small

Simulation spezieller \(H_0\) Verteilungen von Wilks' \(\Lambda\)
Transformationen

\begin{center}\includegraphics[width=0.62\linewidth]{11_Abbildungen/mvda_11_spezielle_lambda_verteilungen} \end{center}
\end{frame}

\begin{frame}{Modellevaluation mit der Wilks' \(\Lambda\) Statistik}
\protect\hypertarget{modellevaluation-mit-der-wilks-lambda-statistik-5}{}
\footnotesize
\begin{theorem}[Approximative $H_0$ Verteilungen von Wilks' $\Lambda$ Transformationen]
\normalfont
\justifying
Es seien das Modell der einfaktoriellen Varianzanalyse und Wilks' $\Lambda$
definiert wie oben und es gelte außerdem die Nullhypothese
\begin{equation}
H_0 : \mu_1 = \mu_2 = \cdots = \mu_p
\mbox{ bzw. }
H_0 : \alpha_1 = \alpha_2 = \cdots = \alpha_p = 0_m
\end{equation}
Dann ist die Statistik
\begin{equation}
\tau := \frac{1 - \Lambda^{1/t}}{\Lambda^{1/t}} \frac{\nu_2}{\nu_1}
\end{equation}
mit
\begin{equation}
\nu_1 := m(k-1)
\mbox{ und }
\nu_2 := wt-\frac{1}{2}(m(k-1)-2)
\end{equation}
sowie
\begin{equation}
w := n-1-\frac{1}{2}(m+k)
\mbox{ und }
t   := \sqrt{\frac{m^2(k-1)^2 - 4}{m^2 + (k-1)^2 - 5}}
\end{equation}
approximativ $f$-verteilt mit Freiheitsgradparametern $\nu_1$ und $\nu_2$.
\end{theorem}

Bemerkungen

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Die Approximation geht zurück auf Rao (1951).
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]{Modellevaluation mit der Wilks' \(\Lambda\)
Statistik}
\protect\hypertarget{modellevaluation-mit-der-wilks-lambda-statistik-6}{}
\vspace{2mm}
\small

Simulation approximativer \(H_0\) Verteilungen von Wilks' \(\Lambda\)
Transformationen \vspace{1mm} \setstretch{.8} \tiny

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\CommentTok{\# Szenarioparameter}
\FunctionTok{library}\NormalTok{(MASS)                                          }\CommentTok{\# \# R Paket für multivariate Normalverteilungen}
\NormalTok{nsm }\OtherTok{=} \FloatTok{1e4}                                              \CommentTok{\# Datensimulationsanzahl}
\NormalTok{M   }\OtherTok{=} \FunctionTok{c}\NormalTok{(}\DecValTok{3}\NormalTok{,}\DecValTok{3}\NormalTok{,}\DecValTok{4}\NormalTok{,}\DecValTok{9}\NormalTok{)                                       }\CommentTok{\# Datendimension}
\NormalTok{K   }\OtherTok{=} \FunctionTok{c}\NormalTok{(}\DecValTok{4}\NormalTok{,}\DecValTok{9}\NormalTok{,}\DecValTok{4}\NormalTok{,}\DecValTok{4}\NormalTok{)                                       }\CommentTok{\# Gruppenanzahl}
\NormalTok{l   }\OtherTok{=} \DecValTok{15}                                               \CommentTok{\# Datenpunkte pro Gruppe}
\NormalTok{N   }\OtherTok{=}\NormalTok{ l}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{K                                              }\CommentTok{\# Gesamtanzahl Datenpunkte}
\NormalTok{nsc }\OtherTok{=} \FunctionTok{length}\NormalTok{(M)                                        }\CommentTok{\# Szenarienanzahl}
\NormalTok{TAU }\OtherTok{=} \FunctionTok{matrix}\NormalTok{(}\FunctionTok{rep}\NormalTok{(}\ConstantTok{NaN}\NormalTok{,nsm}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{nsc), }\AttributeTok{ncol =}\NormalTok{ nsc)             }\CommentTok{\# Statistik Array}
\NormalTok{NU  }\OtherTok{=} \FunctionTok{matrix}\NormalTok{(}\FunctionTok{rep}\NormalTok{(}\ConstantTok{NaN}\NormalTok{,}\DecValTok{2}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{nsc)  , }\AttributeTok{ncol =}\NormalTok{ nsc)             }\CommentTok{\# Parameter Array}
\NormalTok{WL  }\OtherTok{=} \FunctionTok{seq}\NormalTok{(}\DecValTok{0}\NormalTok{,}\DecValTok{1}\NormalTok{,}\AttributeTok{len =} \FloatTok{1e3}\NormalTok{)                               }\CommentTok{\# Wilk\textquotesingle{}s Lambda Values}
\NormalTok{TL  }\OtherTok{=} \FunctionTok{matrix}\NormalTok{(}\FunctionTok{rep}\NormalTok{(}\ConstantTok{NaN}\NormalTok{,}\FunctionTok{length}\NormalTok{(WL)}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{nsc), }\AttributeTok{nrow =}\NormalTok{ nsc)      }\CommentTok{\# \textbackslash{}tau(\textbackslash{}Lambda) Array}
\ControlFlowTok{for}\NormalTok{(sc }\ControlFlowTok{in} \DecValTok{1}\SpecialCharTok{:}\NormalTok{nsc)\{                                      }\CommentTok{\# Szenarioiterationen}

    \CommentTok{\# Modellparameter}
\NormalTok{    m       }\OtherTok{=}\NormalTok{ M[sc]                                    }\CommentTok{\# Datendimension}
\NormalTok{    k       }\OtherTok{=}\NormalTok{ K[sc]                                    }\CommentTok{\# Gruppenanzahl}
\NormalTok{    n       }\OtherTok{=}\NormalTok{ N[sc]                                    }\CommentTok{\# Gesamtanzahl Datenpunkte}
\NormalTok{    mu\_i    }\OtherTok{=} \FunctionTok{matrix}\NormalTok{(}\FunctionTok{rep}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\NormalTok{,m), }\AttributeTok{nrow =}\NormalTok{ m)               }\CommentTok{\# Identische Gruppenerwartungswertparameter bei H\_0}
\NormalTok{    Sigma   }\OtherTok{=} \FunctionTok{diag}\NormalTok{(m)                                  }\CommentTok{\# Identische Gruppenkovarianzmatrixparameter}

    \CommentTok{\# Varianzanalyse Parameter}
\NormalTok{    w       }\OtherTok{=}\NormalTok{ n}\DecValTok{{-}1}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{/}\DecValTok{2}\NormalTok{)}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{(m}\SpecialCharTok{+}\NormalTok{k)                          }\CommentTok{\# w}
\NormalTok{    t       }\OtherTok{=} \FunctionTok{sqrt}\NormalTok{((m}\SpecialCharTok{\^{}}\DecValTok{2}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{(k}\DecValTok{{-}1}\NormalTok{)}\SpecialCharTok{\^{}}\DecValTok{2{-}4}\NormalTok{)}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{(m}\SpecialCharTok{\^{}}\DecValTok{2}\SpecialCharTok{+}\NormalTok{(k}\DecValTok{{-}1}\NormalTok{)}\SpecialCharTok{\^{}}\DecValTok{2{-}5}\NormalTok{))    }\CommentTok{\# t}
\NormalTok{    nu\_1    }\OtherTok{=}\NormalTok{ m}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{(k}\DecValTok{{-}1}\NormalTok{)                                  }\CommentTok{\# \textbackslash{}nu\_1}
\NormalTok{    nu\_2    }\OtherTok{=}\NormalTok{ w}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{t}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{/}\DecValTok{2}\NormalTok{)}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{(m}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{(k}\DecValTok{{-}1}\NormalTok{)}\SpecialCharTok{{-}}\DecValTok{2}\NormalTok{)                    }\CommentTok{\# \textbackslash{}nu\_2}
\NormalTok{    TL[sc,] }\OtherTok{=}\NormalTok{ ((}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{WL}\SpecialCharTok{\^{}}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{t))}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{WL}\SpecialCharTok{\^{}}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{t))}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{(nu\_2}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{nu\_1)      }\CommentTok{\# \textbackslash{}tau(\textbackslash{}Lambda)}

    \CommentTok{\# Datensimulationen}
    \ControlFlowTok{for}\NormalTok{(sm }\ControlFlowTok{in} \DecValTok{1}\SpecialCharTok{:}\NormalTok{nsm)\{}

        \CommentTok{\# Datengeneration}
\NormalTok{        Y     }\OtherTok{=} \FunctionTok{array}\NormalTok{(}\AttributeTok{dim =} \FunctionTok{c}\NormalTok{(m,l,k))                  }\CommentTok{\# Datenanarrayinitialisierung}
        \ControlFlowTok{for}\NormalTok{(i }\ControlFlowTok{in} \DecValTok{1}\SpecialCharTok{:}\NormalTok{k)\{                                 }\CommentTok{\# Gruppeniterationen}
\NormalTok{            Y[,,i] }\OtherTok{=}  \FunctionTok{t}\NormalTok{(}\FunctionTok{mvrnorm}\NormalTok{(l,mu\_i,Sigma))\}        }\CommentTok{\# Datensimulation}

        \CommentTok{\# Varianzanalyse}
\NormalTok{        S          }\OtherTok{=} \FunctionTok{sos}\NormalTok{(Y)                            }\CommentTok{\# Stichprobenmittel und Sum of Squares Matrizen}
\NormalTok{        L          }\OtherTok{=} \FunctionTok{det}\NormalTok{(S}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{W)}\SpecialCharTok{/}\FunctionTok{det}\NormalTok{(S}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{W }\SpecialCharTok{+}\NormalTok{ S}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{B)           }\CommentTok{\# Wilks\textquotesingle{} Lambda}
\NormalTok{        tau        }\OtherTok{=}\NormalTok{ ((}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{L}\SpecialCharTok{\^{}}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{t))}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{L}\SpecialCharTok{\^{}}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{t))}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{(nu\_2}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{nu\_1) }\CommentTok{\# Statistik}
\NormalTok{        TAU[sm,sc] }\OtherTok{=}\NormalTok{ tau                               }\CommentTok{\# Statistik}
\NormalTok{        NU[}\DecValTok{1}\NormalTok{,sc]   }\OtherTok{=}\NormalTok{ nu\_1                              }\CommentTok{\# \textbackslash{}nu\_1}
\NormalTok{        NU[}\DecValTok{2}\NormalTok{,sc]   }\OtherTok{=}\NormalTok{ nu\_2\}\}                            }\CommentTok{\# \textbackslash{}nu\_2}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}
\end{frame}

\begin{frame}{Modellevaluation mit der Wilks' \(\Lambda\) Statistik}
\protect\hypertarget{modellevaluation-mit-der-wilks-lambda-statistik-7}{}
\vspace{1mm}

\(\tau\) als Funktion von \(\Lambda\) :
\(\Lambda \downarrow \Rightarrow \tau \uparrow\) \vspace{2mm}

\begin{center}\includegraphics[width=0.8\linewidth]{11_Abbildungen/mvda_11_tau_lambda} \end{center}
\end{frame}

\begin{frame}{Modellevaluation mit der Wilks' \(\Lambda\) Statistik}
\protect\hypertarget{modellevaluation-mit-der-wilks-lambda-statistik-8}{}
\vspace{1mm}
\small

Simulation approximativer \(H_0\) Verteilungen von Wilks' \(\Lambda\)
Transformationen

\begin{center}\includegraphics[width=0.62\linewidth]{11_Abbildungen/mvda_11_approximative_lambda_verteilungen} \end{center}
\end{frame}

\begin{frame}{Modellevaluation mit der Wilks' \(\Lambda\) Statistik}
\protect\hypertarget{modellevaluation-mit-der-wilks-lambda-statistik-9}{}
\small
\begin{definition}[Wilks' $\Lambda$-basierter Test, Testumfangkontrolle, p-Wert]
\justifying
Es seien das Modell der einfaktoriellen Varianzanalyse und die Wilks' $\Lambda$
basierte Teststatistik $\tau$ mit Verteilungsparametern $\nu_1,\nu_2$ wie oben definiert.
Weiterhin sei der kritische Wert-basierte Test
\begin{equation}
\phi(Y) := 1_{\{\tau > k\}} :=
\begin{cases}
1 & \tau >   k \\
0 & \tau \le k
\end{cases}
\end{equation}
definiert. $\phi$ ist genau dann ein Level-$\alpha_0$-Test mit Testumfang $\alpha$, wenn
\begin{equation}
k := k_{\alpha_0} := F^{-1}(1-\alpha_0; \nu_1,\nu_2)
\end{equation}
ist und der p-Wert einer realisiertern $\tau$-Teststatistik $\tilde{\tau}$ ergibt sich zu
\begin{equation}
\mbox{p-Wert} = \mathbb{P}(\tau \ge \tilde{\tau}) = 1 - F(\tilde{\tau}; \nu_1,\nu_2)
\end{equation}
\end{definition}

\footnotesize

Bemerkungen

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Ein Beweis kann in Analogie zum Einstichproben-T\(^2\)-Test Fall
  geführt werden.
\item
  Wir validieren die Testumfangkontrolle mithilfe von \(k_{\alpha_0}\)
  in untenstehender Simulation.
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Modellevaluation mit der Wilks' \(\Lambda\) Statistik}
\protect\hypertarget{modellevaluation-mit-der-wilks-lambda-statistik-10}{}
Testumfangkontrolle

\vspace{2mm}
\small
\center

Wahl von \(k_{\alpha_0}\) bei
\(m = 3,k = 4, n = 15 \Rightarrow \nu_1 = 9, \nu_2 = 132\) und
\(\alpha_0 = 0.05\). \vspace{2mm}

\begin{center}\includegraphics[width=0.9\linewidth]{11_Abbildungen/mvda_11_kritischer_wert_lambda} \end{center}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]{Modellevaluation mit der Wilks' \(\Lambda\)
Statistik}
\protect\hypertarget{modellevaluation-mit-der-wilks-lambda-statistik-11}{}
Testumfangkontrolle \vspace{1mm}

\setstretch{0.8}
\tiny

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\CommentTok{\# Szenarioparameter}
\NormalTok{nsm       }\OtherTok{=} \FloatTok{1e4}                                        \CommentTok{\# Datensimulationsanzahl}
\NormalTok{M         }\OtherTok{=} \FunctionTok{c}\NormalTok{(}\DecValTok{3}\NormalTok{,}\DecValTok{3}\NormalTok{,}\DecValTok{4}\NormalTok{,}\DecValTok{9}\NormalTok{)                                 }\CommentTok{\# Datendimension}
\NormalTok{K         }\OtherTok{=} \FunctionTok{c}\NormalTok{(}\DecValTok{4}\NormalTok{,}\DecValTok{9}\NormalTok{,}\DecValTok{4}\NormalTok{,}\DecValTok{4}\NormalTok{)                                 }\CommentTok{\# Gruppenanzahl}
\NormalTok{l         }\OtherTok{=} \DecValTok{15}                                         \CommentTok{\# Datenpunkte pro Gruppe}
\NormalTok{N         }\OtherTok{=}\NormalTok{ l}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{K                                        }\CommentTok{\# Gesamtanzahl Datenpunkte}
\NormalTok{alpha\_0   }\OtherTok{=} \FloatTok{0.05}                                       \CommentTok{\# \textbackslash{}alpha\_0}
\NormalTok{nsc       }\OtherTok{=} \FunctionTok{length}\NormalTok{(M)                                   }\CommentTok{\# Szenarienanzahl}
\NormalTok{TAU       }\OtherTok{=} \FunctionTok{matrix}\NormalTok{(}\FunctionTok{rep}\NormalTok{(}\ConstantTok{NaN}\NormalTok{,nsm}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{nsc), }\AttributeTok{ncol =}\NormalTok{ nsc)       }\CommentTok{\# Statistik Array}
\NormalTok{NU        }\OtherTok{=} \FunctionTok{matrix}\NormalTok{(}\FunctionTok{rep}\NormalTok{(}\ConstantTok{NaN}\NormalTok{,}\DecValTok{2}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{nsc)  , }\AttributeTok{ncol =}\NormalTok{ nsc)       }\CommentTok{\# Parameter Array}
\NormalTok{KA        }\OtherTok{=} \FunctionTok{rep}\NormalTok{(}\ConstantTok{NaN}\NormalTok{, nsc)                              }\CommentTok{\# Kritische Werte}
\NormalTok{PHI       }\OtherTok{=} \FunctionTok{matrix}\NormalTok{(}\FunctionTok{rep}\NormalTok{(}\DecValTok{0}\NormalTok{,nsm}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{nsc)  , }\AttributeTok{ncol =}\NormalTok{ nsc)       }\CommentTok{\# Testarray}

\CommentTok{\# Simulationen}
\ControlFlowTok{for}\NormalTok{(sc }\ControlFlowTok{in} \DecValTok{1}\SpecialCharTok{:}\NormalTok{nsc)\{                                      }\CommentTok{\# Szenarioiterationen}

    \CommentTok{\# Modellparameter}
\NormalTok{    m         }\OtherTok{=}\NormalTok{ M[sc]                                  }\CommentTok{\# Datendimension}
\NormalTok{    k         }\OtherTok{=}\NormalTok{ K[sc]                                  }\CommentTok{\# Gruppenanzahl}
\NormalTok{    n         }\OtherTok{=}\NormalTok{ N[sc]                                  }\CommentTok{\# Gesamtanzahl Datenpunkte}
\NormalTok{    mu\_i      }\OtherTok{=} \FunctionTok{matrix}\NormalTok{(}\FunctionTok{rep}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\NormalTok{,m), }\AttributeTok{nrow =}\NormalTok{ m)             }\CommentTok{\# Identische Gruppenerwartungswertparameter bei H\_0}
\NormalTok{    Sigma     }\OtherTok{=} \FunctionTok{diag}\NormalTok{(m)                                }\CommentTok{\# Identische Gruppenkovarianzmatrixparameter}

    \CommentTok{\# Varianzanalyse Parameter}
\NormalTok{    w         }\OtherTok{=}\NormalTok{ n}\DecValTok{{-}1}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{/}\DecValTok{2}\NormalTok{)}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{(m}\SpecialCharTok{+}\NormalTok{k)                        }\CommentTok{\# w}
\NormalTok{    t         }\OtherTok{=} \FunctionTok{sqrt}\NormalTok{((m}\SpecialCharTok{\^{}}\DecValTok{2}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{(k}\DecValTok{{-}1}\NormalTok{)}\SpecialCharTok{\^{}}\DecValTok{2{-}4}\NormalTok{)}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{(m}\SpecialCharTok{\^{}}\DecValTok{2}\SpecialCharTok{+}\NormalTok{(k}\DecValTok{{-}1}\NormalTok{)}\SpecialCharTok{\^{}}\DecValTok{2{-}5}\NormalTok{))  }\CommentTok{\# t}
\NormalTok{    nu\_1      }\OtherTok{=}\NormalTok{ m}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{(k}\DecValTok{{-}1}\NormalTok{)                                }\CommentTok{\# \textbackslash{}nu\_1}
\NormalTok{    nu\_2      }\OtherTok{=}\NormalTok{ w}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{t}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{/}\DecValTok{2}\NormalTok{)}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{(m}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{(k}\DecValTok{{-}1}\NormalTok{)}\SpecialCharTok{{-}}\DecValTok{2}\NormalTok{)                  }\CommentTok{\# \textbackslash{}nu\_2}
\NormalTok{    KA[sc]    }\OtherTok{=} \FunctionTok{qf}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{alpha\_0,nu\_1,nu\_2)                }\CommentTok{\# kritischer Wert}

    \CommentTok{\# Datensimulationen}
    \ControlFlowTok{for}\NormalTok{(sm }\ControlFlowTok{in} \DecValTok{1}\SpecialCharTok{:}\NormalTok{nsm)\{}
\NormalTok{        Y     }\OtherTok{=} \FunctionTok{array}\NormalTok{(}\AttributeTok{dim =} \FunctionTok{c}\NormalTok{(m,l,k))                  }\CommentTok{\# Datenanarrayinitialisierung}
        \ControlFlowTok{for}\NormalTok{(i }\ControlFlowTok{in} \DecValTok{1}\SpecialCharTok{:}\NormalTok{k)\{                                 }\CommentTok{\# Gruppeniterationen}
\NormalTok{            Y[,,i] }\OtherTok{=}  \FunctionTok{t}\NormalTok{(}\FunctionTok{mvrnorm}\NormalTok{(l,mu\_i,Sigma))\}        }\CommentTok{\# Datensimulation}
\NormalTok{        S          }\OtherTok{=} \FunctionTok{sos}\NormalTok{(Y)                            }\CommentTok{\# Stichprobenmittel und Sum of Squares Matrizen}
\NormalTok{        L          }\OtherTok{=} \FunctionTok{det}\NormalTok{(S}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{W)}\SpecialCharTok{/}\FunctionTok{det}\NormalTok{(S}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{W }\SpecialCharTok{+}\NormalTok{ S}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{B)           }\CommentTok{\# Wilks\textquotesingle{} Lambda}
\NormalTok{        tau        }\OtherTok{=}\NormalTok{ ((}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{L}\SpecialCharTok{\^{}}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{t))}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{L}\SpecialCharTok{\^{}}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{t))}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{(nu\_2}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{nu\_1) }\CommentTok{\# Statistik}
\NormalTok{        PHI[sm,sc] }\OtherTok{=}\NormalTok{ tau }\SpecialCharTok{\textgreater{}}\NormalTok{ KA[sc]\}\}                    }\CommentTok{\# Test}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}

\begin{verbatim}
> Kritische Werte       :  1.95 1.55 1.82 1.57 
> Geschätzte Testumfänge:  0.0526 0.0477 0.0513 0.0502
\end{verbatim}
\end{frame}

\begin{frame}{Modellevaluation mit der Wilks' \(\Lambda\) Statistik}
\protect\hypertarget{modellevaluation-mit-der-wilks-lambda-statistik-12}{}
Praktisches Vorgehen \footnotesize

\begin{itemize}
\item
  \justifying Man nimmt an, dass ein vorliegender Datensatz von \(k\)
  Gruppendatensätzen \(y_{11}, ...,y_{1l}\), \(y_{21}, ...,y_{2l}\),
  \ldots, \(y_{k1}, ...,y_{kl}\) Realisationen von
  \(Y_{ij} \sim N(\mu_i,\Sigma)\) mit unbekannten Parametern
  \(\mu_i \in \mathbb{R}^m, i = 1,...,k\) und
  \(\Sigma \in \mathbb{R}^{m \times m} \mbox{ p.d.}\) sind.
\item
  Man möchte entscheiden ob \(H_0 : \mu_1 = \cdots = \mu_k\) eher
  zutrifft oder eher nicht.
\item
  Man wählt ein Signifikanzniveau \(\alpha_0\) und bestimmt den
  zugehörigen Freiheitsgradparameter-abhängigen kritischen Wert
  \(k_{\alpha_0}\). Zum Beispiel gilt bei Wahl von
  \(\alpha_0 := 0.05, m = 3, k = 4, l = 15\) und somit \(n = 60\) sowie
  \(\nu_1 = 9, \nu_2 = 132\), dass
  \(k_{\alpha_0} = F^{-1}(1 - 0.05; 9, 132) \approx 1.95\) ist.
\item
  Anhand der Wilk's \(\Lambda\) Statistik sowie \(m,k\) und \(n\)
  berechnet man man den realisierten Wert der \(\tau\)-Teststatistik,
  den wir hier mit \(\tilde{\tau}\) bezeichnen.
\item
  Wenn \(\tilde{\tau}\) größer als \(k_{\alpha_0}\) ist, lehnt man die
  Nullhypothese ab, andernfalls nicht.
\item
  Die oben entwickelte Theorie garantiert dann, dass man im Mittel in
  höchstens \(\alpha_0 \cdot 100\) von 100 Fällen die Nullhypothese
  fälschlicherweise ablehnt.
\item
  Schließlich ergibt sich der assoziierte p-Wert der realisiertern
  \(\tau\)-Teststatistik \(\tilde{\tau}\) zu \begin{equation}
  \mbox{p-Wert} = \mathbb{P}(\tau \ge \tilde{\tau}) = 1 -  F(\tilde{\tau}; \nu_1,\nu_2)
  \end{equation}
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]{Modellevaluation mit der Wilks' \(\Lambda\)
Statistik}
\protect\hypertarget{modellevaluation-mit-der-wilks-lambda-statistik-13}{}
\textcolor{darkblue}{Anwendungsbeispiel} \vspace{1mm}

Einfaktorielle Varianzanalyse mit R's \texttt{lm()} und
\texttt{Manova()} \vspace{2mm}

\footnotesize

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\CommentTok{\# Einlesen des Datensatzes aus Rudolf \& Buse (2019) Multivariate Verfahren}
\FunctionTok{library}\NormalTok{(foreign)}
\FunctionTok{library}\NormalTok{(car)}
\NormalTok{D        }\OtherTok{=} \FunctionTok{read.spss}\NormalTok{(}\FunctionTok{file.path}\NormalTok{(}\FunctionTok{getwd}\NormalTok{(), }\StringTok{"11\_Daten"}\NormalTok{, }\StringTok{"studienerfolg.sav"}\NormalTok{), }\AttributeTok{to.data.frame =}\NormalTok{ T)}
\NormalTok{model    }\OtherTok{=} \FunctionTok{lm}\NormalTok{(}\FunctionTok{cbind}\NormalTok{(D}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{X1,D}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{X2) }\SpecialCharTok{\textasciitilde{}}\NormalTok{ D}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{Gruppe, D)      }\CommentTok{\# Modellspezifikation}
\FunctionTok{Manova}\NormalTok{(model, }\AttributeTok{test.statistic =} \StringTok{"Wilks"}\NormalTok{)            }\CommentTok{\# Einfaktorielle Varianzanalyse}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}

\begin{verbatim}
> 
> Type II MANOVA Tests: Wilks test statistic
>          Df test stat approx F num Df den Df  Pr(>F)    
> D$Gruppe  2      0.61     5.76      4     82 0.00039 ***
> ---
> Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
\end{verbatim}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]{Modellevaluation mit der Wilks' \(\Lambda\)
Statistik}
\protect\hypertarget{modellevaluation-mit-der-wilks-lambda-statistik-14}{}
\textcolor{darkblue}{Anwendungsbeispiel}

\small

Einfaktorielle Varianzanalyse mit \texttt{sos()} \vspace{1mm} \tiny
\setstretch{.8}

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\CommentTok{\# Einlesen des Datensatzes aus Rudolf \& Buse (2019) Multivariate Verfahren}
\FunctionTok{library}\NormalTok{(}\StringTok{"foreign"}\NormalTok{)}
\NormalTok{D      }\OtherTok{=} \FunctionTok{read.spss}\NormalTok{(}\FunctionTok{file.path}\NormalTok{(}\FunctionTok{getwd}\NormalTok{(), }\StringTok{"11\_Daten"}\NormalTok{, }\StringTok{"studienerfolg.sav"}\NormalTok{), }\AttributeTok{to.data.frame =}\NormalTok{ T)}

\CommentTok{\# Datepräprozessierung}
\NormalTok{m      }\OtherTok{=} \DecValTok{2}                                       \CommentTok{\# Datendimension von Interesse}
\NormalTok{k      }\OtherTok{=} \DecValTok{3}                                       \CommentTok{\# Anzahl Gruppen}
\NormalTok{l      }\OtherTok{=} \DecValTok{15}                                      \CommentTok{\# Anzahl Datenpunkte pro Gruppe}
\NormalTok{n      }\OtherTok{=}\NormalTok{ k}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{l                                     }\CommentTok{\# Gesamtdatenpunktanzahl}
\NormalTok{Y      }\OtherTok{=} \FunctionTok{array}\NormalTok{(}\AttributeTok{dim =} \FunctionTok{c}\NormalTok{(m,l,k))                   }\CommentTok{\# Datenarrayinitialisierung}
\NormalTok{Y[,,}\DecValTok{1}\NormalTok{] }\OtherTok{=} \FunctionTok{rbind}\NormalTok{(D}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{X1[D}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{Gruppe }\SpecialCharTok{==} \StringTok{"ungenügend"}\NormalTok{],   }\CommentTok{\# Y\_\{1j\_1\} Intelligenztestscore}
\NormalTok{               D}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{X2[D}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{Gruppe }\SpecialCharTok{==} \StringTok{"ungenügend"}\NormalTok{])   }\CommentTok{\# Y\_\{1j\_2\} Mathematiktestscore}
\NormalTok{Y[,,}\DecValTok{2}\NormalTok{] }\OtherTok{=} \FunctionTok{rbind}\NormalTok{(D}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{X1[D}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{Gruppe }\SpecialCharTok{==} \StringTok{"befriedigend"}\NormalTok{], }\CommentTok{\# Y\_\{2j\_1\} Intelligenztestscore}
\NormalTok{               D}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{X2[D}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{Gruppe }\SpecialCharTok{==} \StringTok{"befriedigend"}\NormalTok{]) }\CommentTok{\# Y\_\{2j\_2\} Mathematiktestscore}
\NormalTok{Y[,,}\DecValTok{3}\NormalTok{] }\OtherTok{=} \FunctionTok{rbind}\NormalTok{(D}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{X1[D}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{Gruppe }\SpecialCharTok{==} \StringTok{"gut"}\NormalTok{],          }\CommentTok{\# Y\_\{3j\_1\} Intelligenztestscore}
\NormalTok{               D}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{X2[D}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{Gruppe }\SpecialCharTok{==} \StringTok{"gut"}\NormalTok{])          }\CommentTok{\# Y\_\{3j\_2\} Mathematiktestscore}

\CommentTok{\# Einfaktorielle Varianzanalyse}
\NormalTok{S      }\OtherTok{=} \FunctionTok{sos}\NormalTok{(Y)                                  }\CommentTok{\# Sum of Squares Matrizen}
\NormalTok{L      }\OtherTok{=} \FunctionTok{det}\NormalTok{(S}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{W)}\SpecialCharTok{/}\FunctionTok{det}\NormalTok{(S}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{W }\SpecialCharTok{+}\NormalTok{ S}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{B)                 }\CommentTok{\# Wilks\textquotesingle{} Lambda}
\NormalTok{w      }\OtherTok{=}\NormalTok{ n}\DecValTok{{-}1}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{/}\DecValTok{2}\NormalTok{)}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{(m}\SpecialCharTok{+}\NormalTok{k)                         }\CommentTok{\# w}
\NormalTok{t      }\OtherTok{=} \FunctionTok{sqrt}\NormalTok{((m}\SpecialCharTok{\^{}}\DecValTok{2}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{(k}\DecValTok{{-}1}\NormalTok{)}\SpecialCharTok{\^{}}\DecValTok{2{-}4}\NormalTok{)}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{(m}\SpecialCharTok{\^{}}\DecValTok{2}\SpecialCharTok{+}\NormalTok{(k}\DecValTok{{-}1}\NormalTok{)}\SpecialCharTok{\^{}}\DecValTok{2{-}5}\NormalTok{))   }\CommentTok{\# t}
\NormalTok{nu\_1   }\OtherTok{=}\NormalTok{ m}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{(k}\DecValTok{{-}1}\NormalTok{)                                 }\CommentTok{\# \textbackslash{}nu\_1}
\NormalTok{nu\_2   }\OtherTok{=}\NormalTok{ w}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{t}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{/}\DecValTok{2}\NormalTok{)}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{(m}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{(k}\DecValTok{{-}1}\NormalTok{)}\SpecialCharTok{{-}}\DecValTok{2}\NormalTok{)                   }\CommentTok{\# \textbackslash{}nu\_2}
\NormalTok{tau    }\OtherTok{=}\NormalTok{ ((}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{L}\SpecialCharTok{\^{}}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{t))}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{L}\SpecialCharTok{\^{}}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{t))}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{(nu\_2}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{nu\_1)       }\CommentTok{\# Teststatistik}
\NormalTok{P      }\OtherTok{=} \DecValTok{1}\SpecialCharTok{{-}}\FunctionTok{pf}\NormalTok{(tau,nu\_1,nu\_2)                     }\CommentTok{\# Überschreitungswahrscheinlichkeit}

\CommentTok{\# Ausgabe}
\FunctionTok{cat}\NormalTok{(}\StringTok{"Wilks\textquotesingle{} Lambda     "}\NormalTok{  , L,}
    \StringTok{"}\SpecialCharTok{\textbackslash{}n}\StringTok{tau               "}\NormalTok{, tau,}
    \StringTok{"}\SpecialCharTok{\textbackslash{}n}\StringTok{nu\_1              "}\NormalTok{, nu\_1,}
    \StringTok{"}\SpecialCharTok{\textbackslash{}n}\StringTok{nu\_2              "}\NormalTok{, nu\_2,}
    \StringTok{"}\SpecialCharTok{\textbackslash{}n}\StringTok{P(tau \textgreater{} tau\_tilde)"}\NormalTok{, P)}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}

\begin{verbatim}
> Wilks' Lambda      0.61 
> tau                5.76 
> nu_1               4 
> nu_2               82 
> P(tau > tau_tilde) 0.000392
\end{verbatim}
\end{frame}

\begin{frame}{}
\protect\hypertarget{section-7}{}
\setstretch{2}
\vfill
\large

Anwendungsszenario und Datendeskription

Modellformulierung und Modellschätzung

\textbf{Modellevaluation}

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Wilks' \(\Lambda\)
\item
  \textbf{Pillai's \(V\)}
\end{itemize}

Selbstkontrollfragen \vfill
\end{frame}

\begin{frame}{Modellevaluation mit der Pillai's \(V\) Statistik}
\protect\hypertarget{modellevaluation-mit-der-pillais-v-statistik}{}
\small
\begin{definition}[Pillai's $V$ Statistik]
Es seien das Modell der einfaktoriellen Varianzanalyse sowie die Between Sum of
Squares Matrix $B$ und die Within Sum of Squares Matrix $W$ definiert wie oben.
Dann ist die \textit{Pillai's $V$ Statistik} definiert als
\begin{equation}
V := \mbox{tr}\left((B + W)^{-1}B \right)
\end{equation}
wobei $\mbox{tr}(\cdot)$ die Spur, also die Summe der Diagonalelemente, einer Matrix
bezeichnet.
\end{definition}

\footnotesize

Bemerkungen

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Die Pillai's \(V\) Statistik betrachtet die Diagonalelemente von
  \(T^{-1}B\)
\item
  Ein hoher Wert von \(V\) spricht also für einen großen Anteil der
  Between-Varianz an der Gesamtvarianz.
\item
  Für einen hohen Wert von \(V\) würde man also die Nullhypothese
  \(B = 0_{mm}\) verwerfen.
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Modellevaluation mit der Pillai's \(V\) Statistik}
\protect\hypertarget{modellevaluation-mit-der-pillais-v-statistik-1}{}
\small
\begin{theorem}[Eigenwertform der Pillai's $V$ Statistik]
\justifying
\normalfont
Es seien das Modell der einfaktoriellen Varianzanalyse, die Between Sum of
Squares Matrix $B$, die Within Sum of Squares Matrix $W$ und die Pillai's $V$ Statistik
definiert wie oben. Weiterhin seien $\lambda_1,...,\lambda_s$ die Eigenwerte
von $W^{-1}B$. Dann gilt
\begin{equation}
V = \sum_{i=1}^s \frac{\lambda_i}{1 + \lambda_i}
\end{equation}
\end{theorem}

footnotesize Bemerkungen

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Wir verzichten auf einen Beweis.
\item
  Die Matrix \(W^{-1}B\) ist das multivariate Analogon zu
  \(\frac{\mbox{SQB}}{\mbox{SQW}}\)
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Modellevaluation mit der Pillai's \(V\) Statistik}
\protect\hypertarget{modellevaluation-mit-der-pillais-v-statistik-2}{}
\small
\begin{theorem}[Approximative $H_0$ Verteilungen von Pillai's $V$ Transformationen]
\normalfont
\justifying
Es seien das Modell der einfaktoriellen Varianzanalyse und Pillai's $V$ definiert
wie oben und es gelte außerdem die Nullhypothese
\begin{equation}
H_0 : \mu_1 = \mu_2 = \cdots = \mu_p
\mbox{ bzw. }
H_0 : \alpha_1 = \alpha_2 = \cdots = \alpha_p = 0_m.
\end{equation}
Weiterhin seien die Parameter
\begin{equation}
s := \min(k-1,m),
t := \frac{1}{2}(|k-1-m|-1)
\mbox{ und }
w := \frac{1}{2}(n-k-m-1)
\end{equation}
definiert. Dann ist
\begin{equation}
\tau = \frac{(2w+s+1)V}{(2t+s+1)(s-V)}
\end{equation}
approximativ $f$-verteilt mit Freiheitsgradparametern
\begin{equation}
\nu_1 := s(2t+s+1)
\mbox{ und }
\nu_2:=  s(2w+s+1)
\end{equation}
\end{theorem}

\footnotesize

Bemerkungen

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Die Approximation geht zurück auf Pillai (1955).
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]{Modellevaluation mit der Pillai's \(V\)
Statistik}
\protect\hypertarget{modellevaluation-mit-der-pillais-v-statistik-3}{}
\vspace{2mm}
\small

Simulation approximativer \(H_0\) Verteilungen von Pillai's \(V\)
Transformatione \vspace{1mm} \setstretch{.8} \tiny

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\CommentTok{\# Szenarioparameter}
\FunctionTok{library}\NormalTok{(MASS)                                          }\CommentTok{\# R Paket für multivariate Normalverteilungen}
\FunctionTok{library}\NormalTok{(matlib)                                        }\CommentTok{\# R Paket für Matrixalgebra}
\NormalTok{nsm }\OtherTok{=} \FloatTok{1e1}                                              \CommentTok{\# Datensimulationsanzahl}
\NormalTok{M   }\OtherTok{=} \FunctionTok{c}\NormalTok{(}\DecValTok{3}\NormalTok{,}\DecValTok{3}\NormalTok{,}\DecValTok{4}\NormalTok{,}\DecValTok{9}\NormalTok{)                                       }\CommentTok{\# Datendimension}
\NormalTok{K   }\OtherTok{=} \FunctionTok{c}\NormalTok{(}\DecValTok{4}\NormalTok{,}\DecValTok{9}\NormalTok{,}\DecValTok{4}\NormalTok{,}\DecValTok{4}\NormalTok{)                                       }\CommentTok{\# Gruppenanzahl}
\NormalTok{l   }\OtherTok{=} \DecValTok{15}                                               \CommentTok{\# Datenpunkte pro Gruppe}
\NormalTok{N   }\OtherTok{=}\NormalTok{ l}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{K                                              }\CommentTok{\# Gesamtanzahl Datenpunkte}
\NormalTok{nsc }\OtherTok{=} \FunctionTok{length}\NormalTok{(M)                                        }\CommentTok{\# Szenarienanzahl}
\NormalTok{TAU }\OtherTok{=} \FunctionTok{matrix}\NormalTok{(}\FunctionTok{rep}\NormalTok{(}\ConstantTok{NaN}\NormalTok{,nsm}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{nsc), }\AttributeTok{ncol =}\NormalTok{ nsc)             }\CommentTok{\# Statistik Array}
\NormalTok{NU  }\OtherTok{=} \FunctionTok{matrix}\NormalTok{(}\FunctionTok{rep}\NormalTok{(}\ConstantTok{NaN}\NormalTok{,}\DecValTok{2}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{nsc)  , }\AttributeTok{ncol =}\NormalTok{ nsc)             }\CommentTok{\# Parameter Array}
\ControlFlowTok{for}\NormalTok{(sc }\ControlFlowTok{in} \DecValTok{1}\SpecialCharTok{:}\NormalTok{nsc)\{                                      }\CommentTok{\# Szenarioiterationen}

    
    \CommentTok{\# Modellparameter}
\NormalTok{    m     }\OtherTok{=}\NormalTok{ M[sc]                                      }\CommentTok{\# Datendimension}
\NormalTok{    k     }\OtherTok{=}\NormalTok{ K[sc]                                      }\CommentTok{\# Gruppenanzahl}
\NormalTok{    n     }\OtherTok{=}\NormalTok{ N[sc]                                      }\CommentTok{\# Gesamtanzahl Datenpunkte}
\NormalTok{    mu\_i  }\OtherTok{=} \FunctionTok{matrix}\NormalTok{(}\FunctionTok{rep}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\NormalTok{,m), }\AttributeTok{nrow =}\NormalTok{ m)                 }\CommentTok{\# Identische Gruppenerwartungswertparameter bei H\_0}
\NormalTok{    Sigma }\OtherTok{=} \FunctionTok{diag}\NormalTok{(m)                                    }\CommentTok{\# Identische Gruppenkovarianzmatrixparameter}

    \CommentTok{\# Varianzanalyseparameter}
\NormalTok{    s     }\OtherTok{=} \FunctionTok{min}\NormalTok{(k}\DecValTok{{-}1}\NormalTok{,m)                                 }\CommentTok{\# s}
\NormalTok{    t     }\OtherTok{=}\NormalTok{ (}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{/}\DecValTok{2}\NormalTok{)}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{(}\FunctionTok{abs}\NormalTok{(k}\DecValTok{{-}1}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{m)}\SpecialCharTok{{-}}\DecValTok{1}\NormalTok{)                       }\CommentTok{\# t}
\NormalTok{    w     }\OtherTok{=}\NormalTok{ (}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{/}\DecValTok{2}\NormalTok{)}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{(n}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{k}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{m}\DecValTok{{-}1}\NormalTok{)                            }\CommentTok{\# w}
\NormalTok{    nu\_1  }\OtherTok{=}\NormalTok{ s}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{(}\DecValTok{2}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{t}\SpecialCharTok{+}\NormalTok{s}\SpecialCharTok{+}\DecValTok{1}\NormalTok{)                                }\CommentTok{\# \textbackslash{}nu\_1}
\NormalTok{    nu\_2  }\OtherTok{=}\NormalTok{ s}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{(}\DecValTok{2}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{w}\SpecialCharTok{+}\NormalTok{s}\SpecialCharTok{+}\DecValTok{1}\NormalTok{)                                }\CommentTok{\# \textbackslash{}nu\_2}

    \CommentTok{\# Datensimulationen}
    \ControlFlowTok{for}\NormalTok{(sm }\ControlFlowTok{in} \DecValTok{1}\SpecialCharTok{:}\NormalTok{nsm)\{}

        \CommentTok{\# Datengeneration}
\NormalTok{        Y     }\OtherTok{=} \FunctionTok{array}\NormalTok{(}\AttributeTok{dim =} \FunctionTok{c}\NormalTok{(m,l,k))                  }\CommentTok{\# Datenanarrayinitialisierung}
        \ControlFlowTok{for}\NormalTok{(i }\ControlFlowTok{in} \DecValTok{1}\SpecialCharTok{:}\NormalTok{k)\{                                 }\CommentTok{\# Gruppeniterationen}
\NormalTok{            Y[,,i] }\OtherTok{=}  \FunctionTok{t}\NormalTok{(}\FunctionTok{mvrnorm}\NormalTok{(l,mu\_i,Sigma))\}        }\CommentTok{\# Datensimulation}

        \CommentTok{\# Varianzanalyse}
\NormalTok{        S          }\OtherTok{=} \FunctionTok{sos}\NormalTok{(Y)                            }\CommentTok{\# Stichprobenmittel und Sum of Squares Matrizen}
\NormalTok{        V          }\OtherTok{=} \FunctionTok{sum}\NormalTok{(}\FunctionTok{diag}\NormalTok{(}\FunctionTok{inv}\NormalTok{(S}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{B}\SpecialCharTok{+}\NormalTok{S}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{W) }\SpecialCharTok{\%*\%}\NormalTok{ S}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{B))   }\CommentTok{\# Pillai\textquotesingle{}s V}
\NormalTok{        tau        }\OtherTok{=}\NormalTok{ ((}\DecValTok{2}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{w}\SpecialCharTok{+}\NormalTok{s}\SpecialCharTok{+}\DecValTok{1}\NormalTok{)}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{V)}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{((}\DecValTok{2}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{t}\SpecialCharTok{+}\NormalTok{s}\SpecialCharTok{+}\DecValTok{1}\NormalTok{)}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{(s}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{V))   }\CommentTok{\# Statistik}
\NormalTok{        TAU[sm,sc] }\OtherTok{=}\NormalTok{ tau                               }\CommentTok{\# Statistik}
\NormalTok{        NU[}\DecValTok{1}\NormalTok{,sc]   }\OtherTok{=}\NormalTok{ nu\_1                              }\CommentTok{\# \textbackslash{}nu\_1}
\NormalTok{        NU[}\DecValTok{2}\NormalTok{,sc]   }\OtherTok{=}\NormalTok{ nu\_2\}\}                            }\CommentTok{\# \textbackslash{}nu\_2}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}
\end{frame}

\begin{frame}{Modellevaluation mit der Pillai's \(V\) Statistik}
\protect\hypertarget{modellevaluation-mit-der-pillais-v-statistik-4}{}
\vspace{1mm}
\small

Simulation approximativer \(H_0\) Verteilungen von Pillai's \(V\)
Transformationen \vspace{1mm}

\begin{center}\includegraphics[width=0.62\linewidth]{11_Abbildungen/mvda_11_approximative_v_verteilungen} \end{center}
\end{frame}

\begin{frame}{Modellevaluation mit der Pillai's \(V\) Statistik}
\protect\hypertarget{modellevaluation-mit-der-pillais-v-statistik-5}{}
\small
\begin{definition}[Pillai's $V$ -basierter Test, Testumfangkontrolle, p-Wert]
\justifying
Es seien das Modell der einfaktoriellen Varianzanalyse und die Pillai's $V$
basierte Teststatistik $\tau$ mit Verteilungsparametern $\nu_1,\nu_2$ wie oben definiert.
Weiterhin sei der kritische Wert-basierte Test
\begin{equation}
\phi(Y) := 1_{\{\tau > k\}} :=
\begin{cases}
1 & \tau >   k \\
0 & \tau \le k
\end{cases}
\end{equation}
definiert. $\phi$ ist genau dann ein Level-$\alpha_0$-Test mit Testumfang $\alpha$, wenn
\begin{equation}
k := k_{\alpha_0} := F^{-1}(1-\alpha_0; \nu_1,\nu_2)
\end{equation}
ist und der p-Wert einer realisiertern $\tau$-Teststatistik $\tilde{\tau}$ ergibt sich zu
\begin{equation}
\mbox{p-Wert} = \mathbb{P}(\tau \ge \tilde{\tau}) = 1 - F(\tilde{\tau}; \nu_1,\nu_2)
\end{equation}
\end{definition}
\end{frame}

\begin{frame}{Modellevaluation mit der Pillai's \(V\) Statistik}
\protect\hypertarget{modellevaluation-mit-der-pillais-v-statistik-6}{}
Testumfangkontrolle \vspace{2mm}

\small
\center

Wahl von \(k_{\alpha_0}\) bei
\(m = 3,k = 4, n = 15 \Rightarrow \nu_1 = 9, \nu_2 = 168\) und
\(\alpha_0 = 0.05\). \vspace{2mm}

\begin{center}\includegraphics[width=0.9\linewidth]{11_Abbildungen/mvda_11_kritischer_wert_v} \end{center}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]{Modellevaluation mit der Pillai's \(V\)
Statistik}
\protect\hypertarget{modellevaluation-mit-der-pillais-v-statistik-7}{}
Testumfangkontrolle \vspace{1mm}

\setstretch{0.8}
\tiny

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\CommentTok{\# Szenarioparameter}
\FunctionTok{library}\NormalTok{(MASS)                                          }\CommentTok{\# R Paket für multivariate Normalverteilungen}
\FunctionTok{library}\NormalTok{(matlib)                                        }\CommentTok{\# R Paket für Matrixalgebra}
\NormalTok{nsm     }\OtherTok{=} \FloatTok{1e3}                                          \CommentTok{\# Datensimulationsanzahl}
\NormalTok{M       }\OtherTok{=} \FunctionTok{c}\NormalTok{(}\DecValTok{3}\NormalTok{,}\DecValTok{3}\NormalTok{,}\DecValTok{4}\NormalTok{,}\DecValTok{9}\NormalTok{)                                   }\CommentTok{\# Datendimension}
\NormalTok{K       }\OtherTok{=} \FunctionTok{c}\NormalTok{(}\DecValTok{4}\NormalTok{,}\DecValTok{9}\NormalTok{,}\DecValTok{4}\NormalTok{,}\DecValTok{4}\NormalTok{)                                   }\CommentTok{\# Gruppenanzahl}
\NormalTok{l       }\OtherTok{=} \DecValTok{15}                                           \CommentTok{\# Datenpunkte pro Gruppe}
\NormalTok{N       }\OtherTok{=}\NormalTok{ l}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{K                                          }\CommentTok{\# Gesamtanzahl Datenpunkte}
\NormalTok{alpha\_0 }\OtherTok{=} \FloatTok{0.05}                                         \CommentTok{\# Signifikanzlevel}
\NormalTok{nsc     }\OtherTok{=} \FunctionTok{length}\NormalTok{(M)                                    }\CommentTok{\# Szenarienanzahl}
\NormalTok{KA      }\OtherTok{=} \FunctionTok{rep}\NormalTok{(}\ConstantTok{NaN}\NormalTok{, nsc)                                }\CommentTok{\# kritische Werte}
\NormalTok{PHI     }\OtherTok{=} \FunctionTok{matrix}\NormalTok{(}\FunctionTok{rep}\NormalTok{(}\DecValTok{0}\NormalTok{,nsm}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{nsc), }\AttributeTok{ncol =}\NormalTok{ nsc)           }\CommentTok{\# Testarray}

\CommentTok{\# Szenariosimulationen}
\ControlFlowTok{for}\NormalTok{(sc }\ControlFlowTok{in} \DecValTok{1}\SpecialCharTok{:}\NormalTok{nsc)\{                                      }\CommentTok{\# Szenarioiterationen}

    \CommentTok{\# Modell{-} und Varianzanalyseparameter}
\NormalTok{    m      }\OtherTok{=}\NormalTok{ M[sc]                                     }\CommentTok{\# Datendimension}
\NormalTok{    k      }\OtherTok{=}\NormalTok{ K[sc]                                     }\CommentTok{\# Gruppenanzahl}
\NormalTok{    n      }\OtherTok{=}\NormalTok{ N[sc]                                     }\CommentTok{\# Gesamtanzahl Datenpunkte}
\NormalTok{    mu\_i   }\OtherTok{=} \FunctionTok{matrix}\NormalTok{(}\FunctionTok{rep}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\NormalTok{,m), }\AttributeTok{nrow =}\NormalTok{ m)                }\CommentTok{\# Identische Gruppenerwartungswertparameter bei H\_0}
\NormalTok{    Sigma  }\OtherTok{=} \FunctionTok{diag}\NormalTok{(m)                                   }\CommentTok{\# Identische Gruppenkovarianzmatrixparameter}
\NormalTok{    s      }\OtherTok{=} \FunctionTok{min}\NormalTok{(k}\DecValTok{{-}1}\NormalTok{,m)                                }\CommentTok{\# s}
\NormalTok{    t      }\OtherTok{=}\NormalTok{ (}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{/}\DecValTok{2}\NormalTok{)}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{(}\FunctionTok{abs}\NormalTok{(k}\DecValTok{{-}1}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{m)}\SpecialCharTok{{-}}\DecValTok{1}\NormalTok{)                      }\CommentTok{\# t}
\NormalTok{    w      }\OtherTok{=}\NormalTok{ (}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{/}\DecValTok{2}\NormalTok{)}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{(n}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{k}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{m}\DecValTok{{-}1}\NormalTok{)                           }\CommentTok{\# w}
\NormalTok{    nu\_1   }\OtherTok{=}\NormalTok{ s}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{(}\DecValTok{2}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{t}\SpecialCharTok{+}\NormalTok{s}\SpecialCharTok{+}\DecValTok{1}\NormalTok{)                               }\CommentTok{\# \textbackslash{}nu\_1}
\NormalTok{    nu\_2   }\OtherTok{=}\NormalTok{ s}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{(}\DecValTok{2}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{w}\SpecialCharTok{+}\NormalTok{s}\SpecialCharTok{+}\DecValTok{1}\NormalTok{)                               }\CommentTok{\# \textbackslash{}nu\_2}
\NormalTok{    KA[sc] }\OtherTok{=} \FunctionTok{qf}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{alpha\_0,nu\_1,nu\_2)                   }\CommentTok{\# kritischer Wert }
    
    \CommentTok{\# Datensimulationen}
    \ControlFlowTok{for}\NormalTok{(sm }\ControlFlowTok{in} \DecValTok{1}\SpecialCharTok{:}\NormalTok{nsm)\{}

        \CommentTok{\# Datengeneration und Varianzanalyse}
\NormalTok{        Y     }\OtherTok{=} \FunctionTok{array}\NormalTok{(}\AttributeTok{dim =} \FunctionTok{c}\NormalTok{(m,l,k))                  }\CommentTok{\# Datenanarrayinitialisierung}
        \ControlFlowTok{for}\NormalTok{(i }\ControlFlowTok{in} \DecValTok{1}\SpecialCharTok{:}\NormalTok{k)\{                                 }\CommentTok{\# Gruppeniterationen}
\NormalTok{            Y[,,i] }\OtherTok{=}  \FunctionTok{t}\NormalTok{(}\FunctionTok{mvrnorm}\NormalTok{(l,mu\_i,Sigma))\}        }\CommentTok{\# Datensimulation}
\NormalTok{        S          }\OtherTok{=} \FunctionTok{sos}\NormalTok{(Y)                            }\CommentTok{\# Stichprobenmittel und Sum of Squares Matrizen}
\NormalTok{        V          }\OtherTok{=} \FunctionTok{sum}\NormalTok{(}\FunctionTok{diag}\NormalTok{(}\FunctionTok{inv}\NormalTok{(S}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{B}\SpecialCharTok{+}\NormalTok{S}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{W) }\SpecialCharTok{\%*\%}\NormalTok{ S}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{B))   }\CommentTok{\# Pillai\textquotesingle{}s V}
\NormalTok{        tau        }\OtherTok{=}\NormalTok{ ((}\DecValTok{2}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{w}\SpecialCharTok{+}\NormalTok{s}\SpecialCharTok{+}\DecValTok{1}\NormalTok{)}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{V)}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{((}\DecValTok{2}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{t}\SpecialCharTok{+}\NormalTok{s}\SpecialCharTok{+}\DecValTok{1}\NormalTok{)}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{(s}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{V))   }\CommentTok{\# Statistik}
\NormalTok{        PHI[sm,sc] }\OtherTok{=}\NormalTok{ tau }\SpecialCharTok{\textgreater{}}\NormalTok{ KA[sc]\}\}                    }\CommentTok{\# Test}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}

\begin{verbatim}
> Kritische Werte       :  1.95 1.55 1.82 1.57 
> Geschätzte Testumfänge:  0.0526 0.0477 0.0513 0.0502
\end{verbatim}
\end{frame}

\begin{frame}{Modellevaluation mit der Pillai's \(V\) Statistik}
\protect\hypertarget{modellevaluation-mit-der-pillais-v-statistik-8}{}
Praktisches Vorgehen \footnotesize

\begin{itemize}
\item
  \justifying Man nimmt an, dass ein vorliegender Datensatz von \(k\)
  Gruppendatensätzen \(y_{11}, ...,y_{1l}\), \(y_{21}, ...,y_{2l}\),
  \ldots, \(y_{k1}, ...,y_{kl}\) Realisationen von
  \(Y_{ij} \sim N(\mu_i,\Sigma)\) mit unbekannten Parametern
  \(\mu_i \in \mathbb{R}^m, i = 1,...,k\) und
  \(\Sigma \in \mathbb{R}^{m \times m} \mbox{ p.d.}\) sind.
\item
  Man möchte entscheiden ob \(H_0 : \mu_1 = \cdots = \mu_k\) eher
  zutrifft oder eher nicht.
\item
  Man wählt ein Signifikanzniveau \(\alpha_0\) und bestimmt den
  zugehörigen Freiheitsgradparameter-abhängigen kritischen Wert
  \(k_{\alpha_0}\). Zum Beispiel gilt bei Wahl von
  \(\alpha_0 := 0.05, m = 3, k = 4, l = 15\) und somit \(n = 60\) sowie
  \(\nu_1 = 9, \nu_2 = 168\), dass
  \(k_{\alpha_0} = F^{-1}(1 - 0.05; 9, 168) \approx 1.94\) ist.
\item
  Anhand der Pillai's \(V\) Statistik sowie \(m,k\) und \(n\) berechnet
  man man den realisierten Wert der \(\tau\)-Teststatistik, den wir hier
  mit \(\tilde{\tau}\) bezeichnen.
\item
  Wenn \(\tilde{\tau}\) größer als \(k_{\alpha_0}\) ist, lehnt man die
  Nullhypothese ab, andernfalls nicht.
\item
  Die oben entwickelte Theorie garantiert dann, dass man im Mittel in
  höchstens \(\alpha_0 \cdot 100\) von 100 Fällen die Nullhypothese
  fälschlicherweise ablehnt.
\item
  Schließlich ergibt sich der assoziierte p-Wert der realisiertern
  \(\tau\)-Teststatistik \(\tilde{\tau}\) zu \begin{equation}
  \mbox{p-Wert} = \mathbb{P}(\tau \ge \tilde{\tau}) = 1 -  F(\tilde{\tau}; \nu_1,\nu_2)
  \end{equation}
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]{Modellevaluation mit der Pillai's \(V\)
Statistik}
\protect\hypertarget{modellevaluation-mit-der-pillais-v-statistik-9}{}
\textcolor{darkblue}{Anwendungsbeispiel} \vspace{1mm}

Einfaktorielle Varianzanalyse mit R's \texttt{lm()} und
\texttt{Manova()} \vspace{2mm}

\footnotesize

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\CommentTok{\# Einlesen des Datensatzes aus Rudolf \& Buse (2019) Multivariate Verfahren}
\FunctionTok{library}\NormalTok{(foreign)}
\FunctionTok{library}\NormalTok{(car)}
\NormalTok{D        }\OtherTok{=} \FunctionTok{read.spss}\NormalTok{(}\FunctionTok{file.path}\NormalTok{(}\FunctionTok{getwd}\NormalTok{(), }\StringTok{"11\_Daten"}\NormalTok{, }\StringTok{"studienerfolg.sav"}\NormalTok{), }\AttributeTok{to.data.frame =}\NormalTok{ T)}
\NormalTok{model    }\OtherTok{=} \FunctionTok{lm}\NormalTok{(}\FunctionTok{cbind}\NormalTok{(D}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{X1,D}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{X2) }\SpecialCharTok{\textasciitilde{}}\NormalTok{ D}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{Gruppe, D)      }\CommentTok{\# Modellspezifikation}
\FunctionTok{Manova}\NormalTok{(model, }\AttributeTok{test.statistic =} \StringTok{"Pillai"}\NormalTok{)           }\CommentTok{\# Einfaktorielle Varianzanalyse}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}

\begin{verbatim}
> 
> Type II MANOVA Tests: Pillai test statistic
>          Df test stat approx F num Df den Df  Pr(>F)    
> D$Gruppe  2     0.404     5.31      4     84 0.00073 ***
> ---
> Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
\end{verbatim}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]{Modellevaluation mit der Pillai's \(V\)
Statistik}
\protect\hypertarget{modellevaluation-mit-der-pillais-v-statistik-10}{}
\textcolor{darkblue}{Anwendungsbeispiel}

\small

Einfaktorielle Varianzanalyse mit \texttt{sos()} \vspace{1mm} \tiny
\setstretch{.8}

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\CommentTok{\# Einlesen des Datensatzes aus Rudolf \& Buse (2019) Multivariate Verfahren}
\FunctionTok{library}\NormalTok{(foreign)}
\FunctionTok{library}\NormalTok{(matlib)}
\NormalTok{D      }\OtherTok{=} \FunctionTok{read.spss}\NormalTok{(}\FunctionTok{file.path}\NormalTok{(}\FunctionTok{getwd}\NormalTok{(), }\StringTok{"11\_Daten"}\NormalTok{, }\StringTok{"studienerfolg.sav"}\NormalTok{), }\AttributeTok{to.data.frame =}\NormalTok{ T)}

\CommentTok{\# Datepräprozessierung}
\NormalTok{m      }\OtherTok{=} \DecValTok{2}                                       \CommentTok{\# Datendimension von Interesse}
\NormalTok{k      }\OtherTok{=} \DecValTok{3}                                       \CommentTok{\# Anzahl Gruppen}
\NormalTok{l      }\OtherTok{=} \DecValTok{15}                                      \CommentTok{\# Anzahl Datenpunkte pro Gruppe}
\NormalTok{n      }\OtherTok{=}\NormalTok{ k}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{l                                     }\CommentTok{\# Gesamtdatenpunktanzahl}
\NormalTok{Y      }\OtherTok{=} \FunctionTok{array}\NormalTok{(}\AttributeTok{dim =} \FunctionTok{c}\NormalTok{(m,l,k))                   }\CommentTok{\# Datenarrayinitialisierung}
\NormalTok{Y[,,}\DecValTok{1}\NormalTok{] }\OtherTok{=} \FunctionTok{rbind}\NormalTok{(D}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{X1[D}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{Gruppe }\SpecialCharTok{==} \StringTok{"ungenügend"}\NormalTok{],   }\CommentTok{\# Y\_\{1j\_1\} Intelligenztestscore}
\NormalTok{               D}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{X2[D}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{Gruppe }\SpecialCharTok{==} \StringTok{"ungenügend"}\NormalTok{])   }\CommentTok{\# Y\_\{1j\_2\} Mathematiktestscore}
\NormalTok{Y[,,}\DecValTok{2}\NormalTok{] }\OtherTok{=} \FunctionTok{rbind}\NormalTok{(D}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{X1[D}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{Gruppe }\SpecialCharTok{==} \StringTok{"befriedigend"}\NormalTok{], }\CommentTok{\# Y\_\{2j\_1\} Intelligenztestscore}
\NormalTok{               D}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{X2[D}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{Gruppe }\SpecialCharTok{==} \StringTok{"befriedigend"}\NormalTok{]) }\CommentTok{\# Y\_\{2j\_2\} Mathematiktestscore}
\NormalTok{Y[,,}\DecValTok{3}\NormalTok{] }\OtherTok{=} \FunctionTok{rbind}\NormalTok{(D}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{X1[D}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{Gruppe }\SpecialCharTok{==} \StringTok{"gut"}\NormalTok{],          }\CommentTok{\# Y\_\{3j\_1\} Intelligenztestscore}
\NormalTok{               D}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{X2[D}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{Gruppe }\SpecialCharTok{==} \StringTok{"gut"}\NormalTok{])          }\CommentTok{\# Y\_\{3j\_2\} Mathematiktestscore}

\CommentTok{\# Einfaktorielle Varianzanalyse}
\NormalTok{S      }\OtherTok{=} \FunctionTok{sos}\NormalTok{(Y)                                  }\CommentTok{\# Sum of Squares Matrizen}
\NormalTok{V      }\OtherTok{=} \FunctionTok{sum}\NormalTok{(}\FunctionTok{diag}\NormalTok{(}\FunctionTok{inv}\NormalTok{(S}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{B}\SpecialCharTok{+}\NormalTok{S}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{W) }\SpecialCharTok{\%*\%}\NormalTok{ S}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{B))         }\CommentTok{\# Pillai\textquotesingle{}s V}
\NormalTok{s      }\OtherTok{=} \FunctionTok{min}\NormalTok{(k}\DecValTok{{-}1}\NormalTok{,m)                              }\CommentTok{\# s}
\NormalTok{t      }\OtherTok{=}\NormalTok{ (}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{/}\DecValTok{2}\NormalTok{)}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{(}\FunctionTok{abs}\NormalTok{(k}\DecValTok{{-}1}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{m)}\SpecialCharTok{{-}}\DecValTok{1}\NormalTok{)                    }\CommentTok{\# t}
\NormalTok{w      }\OtherTok{=}\NormalTok{ (}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{/}\DecValTok{2}\NormalTok{)}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{(n}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{k}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{m}\DecValTok{{-}1}\NormalTok{)                         }\CommentTok{\# w}
\NormalTok{nu\_1   }\OtherTok{=}\NormalTok{ s}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{(}\DecValTok{2}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{t}\SpecialCharTok{+}\NormalTok{s}\SpecialCharTok{+}\DecValTok{1}\NormalTok{)                             }\CommentTok{\# \textbackslash{}nu\_1}
\NormalTok{nu\_2   }\OtherTok{=}\NormalTok{ s}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{(}\DecValTok{2}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{w}\SpecialCharTok{+}\NormalTok{s}\SpecialCharTok{+}\DecValTok{1}\NormalTok{)                             }\CommentTok{\# \textbackslash{}nu\_2}
\NormalTok{tau    }\OtherTok{=}\NormalTok{ ((}\DecValTok{2}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{w}\SpecialCharTok{+}\NormalTok{s}\SpecialCharTok{+}\DecValTok{1}\NormalTok{)}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{V)}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{((}\DecValTok{2}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{t}\SpecialCharTok{+}\NormalTok{s}\SpecialCharTok{+}\DecValTok{1}\NormalTok{)}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{(s}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{V))         }\CommentTok{\# Statistik}
\NormalTok{P      }\OtherTok{=} \DecValTok{1}\SpecialCharTok{{-}}\FunctionTok{pf}\NormalTok{(tau,nu\_1,nu\_2)                     }\CommentTok{\# Überschreitungswahrscheinlichkeit}

\CommentTok{\# Ausgabe}
\FunctionTok{cat}\NormalTok{(}\StringTok{"Pillai\textquotesingle{}s  V        "}\NormalTok{  , V,}
    \StringTok{"}\SpecialCharTok{\textbackslash{}n}\StringTok{tau                "}\NormalTok{, tau,}
    \StringTok{"}\SpecialCharTok{\textbackslash{}n}\StringTok{nu\_1               "}\NormalTok{, nu\_1,}
    \StringTok{"}\SpecialCharTok{\textbackslash{}n}\StringTok{nu\_2               "}\NormalTok{, nu\_2,}
    \StringTok{"}\SpecialCharTok{\textbackslash{}n}\StringTok{P(tau \textgreater{} tau\_tilde) "}\NormalTok{, P)}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}

\begin{verbatim}
> Pillai's  V         0.404 
> tau                 5.31 
> nu_1                4 
> nu_2                84 
> P(tau > tau_tilde)  0.000732
\end{verbatim}
\end{frame}

\begin{frame}{}
\protect\hypertarget{section-8}{}
\setstretch{2}
\vfill
\large

Anwendungsszenario und Datendeskription

Modellformulierung und Modellschätzung

Modellevaluation

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Wilks' \(\Lambda\)
\item
  Pillai's \(V\)
\end{itemize}

\textbf{Selbstkontrollfragen} \vfill
\end{frame}

\begin{frame}{Selbskontrolfragen}
\protect\hypertarget{selbskontrolfragen}{}
\setstretch{1.8}
\footnotesize
\begin{enumerate}
\item Erläutern Sie das Anwendungsszenario einer multivariaten einfaktoriellen Varianzanalyse.
\item Definieren Sie das Klassische Modell der einfaktoriellen Varianzanalyse.
\item Geben Sie das Theorem zur Kreuzproduktsummenmatrixzerlegung wieder.
\item Erläutern Sie die intuitive Bedeutung der $T,B$ und $W$ Matrizen der Kreuzproduktsummenmatrixzerlegung. 
\item Geben Sie einen Überblick zu den Teststatistiken der einfaktoriellen Varianzanalyse und ihren Verteilungen.
\item Definieren Sie die Wilk's $\Lambda$ Teststatistik.
\item Erläutern Sie die intuitive Bedeutung der Wilk's $\Lambda$ Teststatistik.
\item Definieren Sie die Pillai's $V$ Teststatistik.
\item Erläutern Sie die intuitive Bedeutung der Pillai's $V$ Teststatistik
\end{enumerate}
\end{frame}

\begin{frame}{References}
\protect\hypertarget{references}{}
\footnotesize

\hypertarget{refs}{}
\begin{CSLReferences}{1}{0}
\leavevmode\vadjust pre{\hypertarget{ref-anderson_2003}{}}%
Anderson, T. W. 2003. \emph{An Introduction to Multivariate Statistical
Analysis}. 3rd ed. Wiley Series in Probability and Statistics. {Hoboken,
N.J}: {Wiley-Interscience}.

\leavevmode\vadjust pre{\hypertarget{ref-pillai_1955}{}}%
Pillai, K. C. S. 1955. {``Some {New Test Criteria} in {Multivariate
Analysis}.''} \emph{The Annals of Mathematical Statistics} 26 (1):
117--21. \url{https://doi.org/10.1214/aoms/1177728599}.

\leavevmode\vadjust pre{\hypertarget{ref-rao_1951}{}}%
Rao, C Radhakrishna. 1951. {``An Asymptotic Expansion of the
Distribution of {Wilk}'s Criterion.''} \emph{Bulletin of the
International Statistical Institute} 33 (2): 177--80.

\leavevmode\vadjust pre{\hypertarget{ref-rao_1972}{}}%
---------. 1972. {``Recent {Trends} of {Research Work} in {Multivariate
Analysis}.''} \emph{Biometrics} 28 (1): 21.

\leavevmode\vadjust pre{\hypertarget{ref-rudolf_2020}{}}%
Rudolf, Matthias, and Johannes Buse. 2020. \emph{Multivariate
{Verfahren}}. {Göttingen}: {Hogrefe}.

\leavevmode\vadjust pre{\hypertarget{ref-wilks_1932}{}}%
Wilks, S. S. 1932. {``Certain {Generalizations} in the {Analysis} of
{Variance}.''} \emph{Biometrika} 24 (3-4): 471--94.
\url{https://doi.org/10.1093/biomet/24.3-4.471}.

\end{CSLReferences}
\end{frame}

\end{document}
