---
fontsize: 8pt
bibliography: 1_Referenzen.bib
citation_package: natbib
output:
  beamer_presentation:
    keep_tex: true
    includes:
      in_header: 1_header.tex
---


```{r, include = F}
source("1_R_common.R")
```

#  {.plain}
\center
```{r, echo = FALSE, out.width = "20%"}
knitr::include_graphics("1_Abbildungen/mvda_1_otto.png")
```

\vspace{2mm}

\Huge
Multivariate Datenanalyse
\vspace{6mm}

\Large
MSc Psychologie WiSe 2021/22

\vspace{6mm}
\large
Prof. Dr. Dirk Ostwald

#  {.plain}

\vfill
\center
\huge
\textcolor{black}{(1) Vektoren}
\vfill

#

\textcolor{darkblue}{Motivation}
\setstretch{2.5}

* In der multivariaten Datenanalyse bestehen Datenpunkte aus mehreren Zahlen.
  * Abhängige Variable = (E1,E2,E3,E4,E5,E6) bei EEG-Studie
  * Abhängige Variable = ($\Delta$BDI, $\Delta$Glucorticoids) bei Psychotherapie-Studie.
* Einzelne Datenpunkte aus mehreren Zahlen nennt man Vektoren.
* In der multivariaten Datenanalyse wollen wir mit Vektoren rechnen.
* Vektorraumstrukturen definieren den mathematischen Umgang mit Vektoren.


#
\setstretch{2.5}
\large
\vfill
Reeller Vektorraum

Euklidischer Vektorraum

Lineare Unabhängigkeit

Vektorraumbasen

Selbstkontrollfragen
\vfill

#
\setstretch{2.5}
\large
\vfill
**Reeller Vektorraum**

Euklidischer Vektorraum

Lineare Unabhängigkeit

Vektorraumbasen

Selbstkontrollfragen
\vfill


# Reeller Vektorraum
\footnotesize

\begin{definition}[Vektorraum]
\justifying
Es seien $V$ eine nichtleere Menge und $S$ eine Menge von Skalaren. Weiterhin sei
eine Abbildung
\begin{equation}
+ : V \times V \to V, (v_1,v_2) \mapsto +(v_1, v_2) =: v_1 + v_2,
\end{equation}
genannt \textit{Vektoraddition}, definiert. Schließlich sei eine Abbildung
\begin{equation}
\cdot : S \times V \to V, (s,v) \mapsto \cdot(s,v) =: sv,
\end{equation}
genannt \textit{Skalarmultiplikation} definiert. Dann wird das Tupel $(V,S,+,\cdot)$
genau dann \textit{Vektorraum} genannt, wenn für beliebige Elemente
$v,w,u\in V$ und $a,b \in S$ folgende Bedingungen gelten:
\vspace{2mm}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\begin{tabular}{ll}
(1) Kommutativität der Vektoraddition
& $v + w = w + v$
\\
(2) Assoziativität der Vektoraddition
& $(v + w) + u = v + (w + u)$
\\
(3) Existenz eines neutralen Elements der Vektoraddition
& $\exists\, 0 \in V$ mit $v + 0 = 0 + v = v$.
\\
(4) Existenz inverser Elemente der Vektoraddition
& $\forall v \in V\, \exists\, -v \in V$ mit  $v + (-v) = 0$.
\\
(5) Existenz eines neutralen Elements der Skalarmultiplikation
& $\exists\, 1 \in S$ mit $1 \cdot v = v$.
\\
(6) Assoziativität der Skalarmultiplikation
& $a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b)\cdot c$.
\\
(7) Distributivität hinsichtlich der Vektoraddition
& $a\cdot (v + w) = a\cdot v + a \cdot w$.
\\
(8) Distributivität hinsichtlich der Skalaraddition
& $(a + b)\cdot v = a\cdot v + b\cdot v$.
\end{tabular}
\end{center}
\end{definition}

# Reeller Vektorraum

\setstretch{1.7}

\footnotesize
Bemerkungen

* Es gibt viele sehr verschiedene Vektorräume
* Beispiele für Mengen, auf denen eine Vektorraumstruktur definiert werden kann, sind
    * \footnotesize Die Menge der Matrizen
    * Die Menge der Polynome
    * Die Menge der Lösungen eines linearen Gleichungssystems
    * Die Menge der reellen Folgen
    * Die Menge der stetigen Funktionen
* Wir sind hier nur an der Vektorraumstruktur auf den reellen $n$-Tupeln interssiert
* Zur Erinnerung: die reellen $m$-Tupel bezeichnen wir mit
\begin{equation}
\mathbb{R}^m := \left\lbrace \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_m \end{pmatrix} | x_i \in \mathbb{R} \mbox{ für alle } 1 \le i \le m \right\rbrace
\end{equation}
* Wir sprechen $\mathbb{R}^m$ als "R hoch m" aus.
* Die Elemente $x \in \mathbb{R}^m$ nennen wir *reelle Vektoren* oder einfach *Vektoren*


# Reeller Vektorraum
\footnotesize
\begin{theorem}[Reeller Vektorraum]
\justifying
\normalfont
Für alle $x,y \in \mathbb{R}^m$ und $a \in \mathbb{R}$ definieren wir die \textit{Vektoraddition} durch
\begin{equation}
+ : \mathbb{R}^m \times \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m, (x,y) \mapsto x + y =
\begin{pmatrix}
x_1 \\ \vdots \\ x_m
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
y_1 \\ \vdots \\ y_m
\end{pmatrix}
:=
\begin{pmatrix}
x_1 + y_1 \\ \vdots \\ x_m + y_m
\end{pmatrix}
\end{equation}
und die \textit{Skalarmultiplikation} durch
\begin{equation}
\cdot : \mathbb{R} \times \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m, (a,x) \mapsto
ax =
a
\begin{pmatrix}
x_1  \\ \vdots \\ x_m
\end{pmatrix}
:=
\begin{pmatrix}
ax_1  \\ \vdots \\a x_m
\end{pmatrix}
\end{equation}
Dann bildet $(\mathbb{R}^m,+,\cdot)$ mit den Rechenregeln der Addition und Multiplikation
in $\mathbb{R}$ einen Vektorraum, den wir den \textit{reellen Vektorraum} nennen.
\end{theorem}

Bemerkungen

* Wir verzichten auf einen Beweis.
* Man sagt, dass Vektoraddition und Skalarmultiplikation *komponentenweise* durchgeführt werden.

# Reeller Vektorraum
Beispiele
\vspace{2mm}

\footnotesize
$\circ$ Für
$x:=
\begin{pmatrix}
1 \\ 2 \\ 3 \\ 4
\end{pmatrix}$
und
$y:=
\begin{pmatrix}
2 \\ 1 \\ 0 \\ 1
\end{pmatrix}$
gilt
$x + y
=
\begin{pmatrix}
1 \\ 2 \\ 3 \\ 4
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
2 \\ 1 \\ 0 \\ 1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 + 2 \\ 2 + 1 \\ 3 + 0\\ 4 + 1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
3 \\ 3\\ 3 \\ 5
\end{pmatrix}$.
\vspace{10mm}

$\circ$ Für
$x:=
\begin{pmatrix}
2 \\ 3
\end{pmatrix}$
und
$y:=
\begin{pmatrix}
1 \\ 3 \
\end{pmatrix}$
gilt
$x - y
=
\begin{pmatrix}
2 \\ 3
\end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix}
1 \\ 3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
2 - 1 \\ 3 - 3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 \\ 0
\end{pmatrix}$.
\vspace{10mm}

$\circ$ Für
$x:=
\begin{pmatrix}
2 \\ 1 \\ 3
\end{pmatrix}$
und
$a := 3$
gilt
$ax
=
3
\begin{pmatrix}
2 \\ 1 \\ 3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
3 \cdot 2 \\ 3 \cdot 1 \\ 3 \cdot 3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
6 \\ 3 \\ 9
\end{pmatrix}$.


# Reeller Vektorraum
\textcolor{darkblue}{Vektorrechnung in R}
\vspace{1mm}
\setstretch{1}
\footnotesize
```{r}
x = matrix(c(1,2,3,4), nrow = 4)      # Vektordefinition
y = matrix(c(2,1,0,1), nrow = 4)      # Vektordefinition
x + y                                 # Vektoraddition
```
\vspace{1mm}
```{r}
x = matrix(c(2,3), nrow = 2)         # Vektordefinition
y = matrix(c(1,3), nrow = 2)         # Vektordefinition
x - y                                # Vektorsubtraktion
```

\vspace{1mm}
```{r}
x = matrix(c(2,1,3), nrow = 3)       # Vektordefinition
a = 3                                # Skalardefinition
a*x                                  # Skalarmultiplikation
```


# Reeller Vektorraum

\textcolor{darkblue}{Visualisierung von Vektoren in $\mathbb{R}^2$}

```{r, eval = F, echo = F}
graphics.off()
fdir        =  file.path(getwd(), "1_Abbildungen")
dev.new()
par(
family      = "sans",
mfcol       = c(1,2),
pty         = "s",
bty         = "l",
lwd         = 1,
las         = 1,
mgp         = c(2,1,0),
xaxs        = "i",
yaxs        = "i",
font.main   = 1,
cex         = .95,
cex.main    = 1.2)

# Vektordefinition
x           = c(2,4)

# Punktperspektive
plot(
x[1],
x[2],
type        = "p",
pch         = 19,
xlab        = TeX("$x_1$"),
ylab        = TeX("$x_2$"),
xlim        = c(0,5),
ylim        = c(0,5))
grid()
text(2.5,4,expression(bgroup("(", atop("2", "4"), ")")), cex = .9)

# Pfeilperspektive
plot(
NULL,
xlab        = TeX("$x_1$"),
ylab        = TeX("$x_2$"),
xlim        = c(0,5),
ylim        = c(0,5))
grid()
text(2.5,4,expression(bgroup("(", atop("2", "4"), ")")), cex = .9)
arrows(
x0          = 0,
y0          = 0,
x1          = x[1],
y1          = x[2],
angle       = 30,
length      = .1)

# export to pdf
dev.copy2pdf(                                                                    # export to PDF
             file   = file.path(fdir, "mvda_1_vektoren_R2.pdf"),                 # filename
             width  = 8,                                                         # PDF width
             height = 4                                                          # PDF height
             )
```

```{r, echo = FALSE, out.width = "100%"}
knitr::include_graphics("1_Abbildungen/mvda_1_vektoren_R2.pdf")
```


# Reeller Vektorraum

\textcolor{darkblue}{Vektoraddition in $\mathbb{R}^2$}
\vspace{2mm}
\small
\begin{equation}
\begin{pmatrix}
1 \\ 2
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
3 \\ 1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
4 \\ 2
\end{pmatrix}
\end{equation}
\vspace{-2mm}
```{r, eval = F, echo = F}
graphics.off()
fdir        =  file.path(getwd(), "1_Abbildungen")
dev.new()
par(
family      = "sans",
mfcol       = c(1,1),
pty         = "s",
bty         = "l",
lwd         = 1,
las         = 1,
mgp         = c(2,1,0),
xaxs        = "i",
yaxs        = "i",
font.main   = 1,
cex         = .95,
cex.main    = 1.2)

# Vektordefinitionen
x           = c(1,2)
y           = c(3,1)
z           = c(4,3)

# Visualisierung
plot(
NULL,
xlab        = TeX("$x_1$"),
ylab        = TeX("$x_2$"),
xlim        = c(0,5),
ylim        = c(0,5))
grid()
points(
c(x[1],y[1],z[1]),
c(x[2],y[2],z[2]),
pch = 19)
text(1.5,2,expression(bgroup("(", atop("1", "2"), ")")), cex = .9)
text(3.5,1,expression(bgroup("(", atop("3", "1"), ")")), cex = .9)
text(4.5,3,expression(bgroup("(", atop("4", "3"), ")")), cex = .9)
arrows(
x0          = c(0,0,0,x[1],y[1]),
y0          = c(0,0,0,x[2],y[2]),
x1          = c(x[1],y[1],z[1],z[1],z[1]),
y1          = c(x[2],y[2],z[2],z[2],z[2]),
angle       = 20,
length      = .1,
col         = c("black", "black", "black", "gray60", "gray80"))


# export to pdf
dev.copy2pdf(                                                                    # export to PDF
             file   = file.path(fdir, "mvda_1_vektoraddition_R2.pdf"),           # filename
             width  = 4,                                                         # PDF width
             height = 4                                                          # PDF height
             )
```

```{r, echo = FALSE, out.width = "50%"}
knitr::include_graphics("1_Abbildungen/mvda_1_vektoraddition_R2.pdf")
```

# Reeller Vektorraum
\textcolor{darkblue}{Vektorsubtraktion in $\mathbb{R}^2$}
\vspace{2mm}
\small
\begin{equation}
\begin{pmatrix}
1 \\ 2
\end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix}
3 \\ 1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 \\ 2
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
-3 \\ -1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-2 \\ \,\, 1
\end{pmatrix}
\end{equation}
\vspace{-2mm}

```{r, eval = F, echo = F}
graphics.off()
fdir        =  file.path(getwd(), "1_Abbildungen")
dev.new()
par(
family      = "sans",
mfcol       = c(1,1),
pty         = "s",
bty         = "l",
lwd         = 1,
las         = 1,
mgp         = c(2,1,0),
xaxs        = "i",
yaxs        = "i",
font.main   = 1,
cex         = .95,
cex.main    = 1.2)

# Vektordefinitionen
x           = c(1,2)
y           = c(3,1)
z           = c(-2,1)

# Punktperspektive
plot(
NULL,
xlab        = TeX("$x_1$"),
ylab        = TeX("$x_2$"),
xlim        = c(-4,4),
ylim        = c(-4,4))
grid()
points(
c(x[1],y[1],z[1]),
c(x[2],y[2],z[2]),
pch = 19)
text(1.5,2,expression(bgroup("(", atop("1", "2"), ")")), cex = .9)
text(3.5,1,expression(bgroup("(", atop("3", "1"), ")")), cex = .9)
text(-2.5,1,expression(bgroup("(", atop("-2", "1"), ")")), cex = .9)
arrows(
x0          = c(0,0,0,0, -y[1],x[1], y[1]),
y0          = c(0,0,0,0, -y[2],x[2], y[2]),
x1          = c(x[1],y[1],z[1],-y[1], z[1], z[1],x[1]),
y1          = c(x[2],y[2],z[2],-y[2], z[2], z[2],x[2]),
angle       = 20,
length      = .1,
col         = c("black", "black", "black", "gray80", "gray80", "gray80", "gray80"))

# export to pdf
dev.copy2pdf(                                                                    # export to PDF
             file   = file.path(fdir, "mvda_1_vektorsubtraktion_R2.pdf"),        # filename
             width  = 4,                                                         # PDF width
             height = 4                                                          # PDF height
             )
```

```{r, echo = FALSE, out.width = "50%"}
knitr::include_graphics("1_Abbildungen/mvda_1_vektorsubtraktion_R2.pdf")
```



# Reeller Vektorraum
\textcolor{darkblue}{Skalarmultiplikation in $\mathbb{R}^2$}
\vspace{2mm}
\small
\begin{equation}
3
\begin{pmatrix}
1 \\ 1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
3 \\ 3
\end{pmatrix}
\end{equation}
\vspace{-2mm}

```{r, eval = F, echo = F}
graphics.off()
fdir        =  file.path(getwd(), "1_Abbildungen")
dev.new()
par(
family      = "sans",
mfcol       = c(1,1),
pty         = "s",
bty         = "l",
lwd         = 1,
las         = 1,
mgp         = c(2,1,0),
xaxs        = "i",
yaxs        = "i",
font.main   = 1,
cex         = .95,
cex.main    = 1.2)

# Vektor- und Skalardefinitionen
x           = c(1,1)
a           = 3

# Punktperspektive
plot(
NULL,
xlab        = TeX("$x_1$"),
ylab        = TeX("$x_2$"),
xlim        = c(0,4),
ylim        = c(0,4))
grid()
points(
c(a*x[1],x[1]),
c(a*x[2],x[2]),
pch = 19)
text(1,1.5,expression(bgroup("(", atop("1", "1"), ")")), cex = .9)
text(3,2.5,expression(bgroup("(", atop("3", "3"), ")")), cex = .9)
arrows(
x0          = c(0,0),
y0          = c(0,0),
x1          = c(x[1],a*x[1]),
y1          = c(x[2],a*x[2]),
angle       = 20,
length      = .1,
lwd         = c(4,1),
col         = c("gray70", "black"))

# export to pdf
dev.copy2pdf(                                                                    # export to PDF
             file   = file.path(fdir, "mvda_1_skalarmultiplikation_R2.pdf"),     # filename
             width  = 4,                                                         # PDF width
             height = 4                                                          # PDF height
             )
```

```{r, echo = FALSE, out.width = "50%"}
knitr::include_graphics("1_Abbildungen/mvda_1_skalarmultiplikation_R2.pdf")
```

#
\setstretch{2.5}
\large
\vfill
Reeller Vektorraum

**Euklidischer Vektorraum**

Lineare Unabhängigkeit

Vektorraumbasen

Selbstkontrollfragen
\vfill

# Euklidischer Vektorraum

\small
\begin{definition}[Skalarprodukt auf $\mathbb{R}^m$]
Das \textit{Skalarprodukt auf $\mathbb{R}^m$} ist definiert als die Abbildung
\begin{equation}
\langle \rangle : \mathbb{R}^m \times \mathbb{R}^m \to \mathbb{R},
(x,y) \mapsto \langle (x,y) \rangle := \langle x,y \rangle := \sum_{i=1}^m x_i y_i.
\end{equation}
\end{definition}

\footnotesize
Bemerkungen

* \justifying Das Skalarprodukt heißt Skalarprodukt, weil es einen Skalar ergibt, nicht weil Skalare multipliziert werden.
* Wir sehen später, dass mit der Identifikation $\mathbb{R}^m = \mathbb{R}^{m \times 1}$
und der Matrixtransposition gilt, dass
\begin{equation}
\langle x,y \rangle = x^Ty.
\end{equation}


# Euklidischer Vektorraum
Beispiel

\footnotesize
Es seien
\begin{equation}
x :=
\begin{pmatrix}
1 \\ 2 \\ 3
\end{pmatrix}
\mbox{ und }
y :=
\begin{pmatrix}
2 \\ 0 \\ 1
\end{pmatrix}
\end{equation}
Dann ergibt sich
\begin{equation}
\langle x,y \rangle
= x_1y_1 + x_2y_2 + x_3y_3
= 1 \cdot 2 + 2 \cdot 0 + 3 \cdot 1
= 2 + 0 + 3
= 5.
\end{equation}
\vspace{2mm}
\footnotesize
```{r}
# Vektordefinitionen
x = matrix(c(1,2,3), nrow = 3)
y = matrix(c(2,0,1), nrow = 3)
```

```{r}
# Skalarprodukt mithilfe von R's komponentenweiser Multiplikation und sum() Funktion
sum(x*y)

# Skalarprodukt mithilfe von R's Matrixtransposition und -multiplikation
t(x) %*% y
```


# Euklidischer Vektorraum

\small
\begin{definition}[Euklidischer Vektorraum]
\justifying
Das Tupel $\left((\mathbb{R}^m, +, \cdot), \langle \rangle \right)$ aus dem reellen Vektorraum $(\mathbb{R}^m, +, \cdot)$ und dem Skalarprodukt $\langle \rangle$ auf
$\mathbb{R}^m$ heißt \textit{reeller kanonischer Euklidischer Vektorraum}.
\end{definition}
Bemerkungen

\footnotesize
* \justifying Generell heißt jedes Tupel aus einem Vektorraum und einem Skalarprodukt "Euklidischer Vektorraum".
* Informell sprechen wir aber oft auch einfach von $\mathbb{R}^m$ als
"Euklidischer Vektorraum" und insbesondere bei $\left((\mathbb{R}^m, +, \cdot), \langle \rangle \right)$ von "Euklidischen Vektorraum".
* Ein Euklidischer Vektorraum ist ein Vektorraum mit geometrischer Struktur, die durch
das Skalarprodukt induziert wird.
* Insbesondere bekommen im Euklidischen Vektorraum Begriffe wie die *Länge* eines Vektors, der *Abstand* zweier Vektoren und der *Winkel* zwischen zwei Vektoren mithilfe des Skalarproduktes eine Bedeutung.

# Euklidischer Vektorraum
\setstretch{1.2}
\small
\begin{definition}[Länge, Abstand, Winkel]
$\left((\mathbb{R}^m, +, \cdot), \langle \rangle \right)$ sei der Euklidische Vektorraum.
\begin{itemize}
\item Die \textit{Länge} eines Vektors $x \in \mathbb{R}^m$ ist definiert als
\begin{equation}
\Vert x \Vert := \sqrt{\langle x, x \rangle}.
\end{equation}
\item Der \textit{Abstand} zweier Vektoren $x,y \in \mathbb{R}^m$ ist definiert als
\begin{equation}
d(x,y) := \Vert x - y \Vert.
\end{equation}
\item Der \textit{Winkel} $\alpha$ zwischen zwei Vektoren $x,y \in \mathbb{R}^m$ mit
$x,y \neq 0$ ist definiert durch
\begin{equation}
0 \le \alpha \le \pi \mbox{ und } \cos \alpha
:= \frac{\langle x, y \rangle}{\Vert x \Vert \Vert y \Vert}
\end{equation}
\end{itemize}
\end{definition}

\footnotesize
Bemerkungen

* $\Vert x \Vert$ heißt auch *Norm von $x$* oder *$\ell_2$-Norm von $x$*.
* Ohne Beweis halten wir fest, dass für den Abstand gilt, dass
\begin{equation}
d(x,y) \ge 0, d(x,x) = 0, d(x,y) = d(y,x) \mbox{ und } d(x,y) \le d(x,z) + d(z,y).
\end{equation}
* $\cos$ ist auf $[0,\pi]$ bijektiv, also invertierbar.

# Euklidischer Vektorraum

\textcolor{darkblue}{Vektorlängen in $\mathbb{R}^2$}

```{r, eval = F, echo = F}
graphics.off()
fdir        =  file.path(getwd(), "1_Abbildungen")
dev.new()
par(
family      = "sans",
mfcol       = c(1,1),
pty         = "s",
bty         = "l",
lwd         = 1,
las         = 1,
mgp         = c(2,1,0),
xaxs        = "i",
yaxs        = "i",
font.main   = 1,
cex         = .95,
cex.main    = 1.2)

# Vektordefinitionen
x           = c(2,0)
y           = c(2,2)
z           = c(2,4)

# Visualisierung
plot(
NULL,
xlab        = TeX("$x_1$"),
ylab        = TeX("$x_2$"),
xlim        = c(0,5),
ylim        = c(0,5))
grid()
points(
c(x[1],y[1],z[1]),
c(x[2],y[2],z[2]),
pch = 19)
text(2.5,0.5,expression(bgroup("(", atop("0", "2"), ")")), cex = .9)
text(2.5,2  ,expression(bgroup("(", atop("2", "2"), ")")), cex = .9)
text(2.5,4  ,expression(bgroup("(", atop("2", "4"), ")")), cex = .9)
arrows(
x0          = c(0,0,0),
y0          = c(0,0,0),
x1          = c(x[1],y[1],z[1]),
y1          = c(x[2],y[2],z[2]),
angle       = 20,
length      = .1,
xpd         = TRUE,
lwd         = 2)


# export to pdf
dev.copy2pdf(                                                                    # export to PDF
             file   = file.path(fdir, "mvda_1_länge_R2.pdf"),           # filename
             width  = 4,                                                         # PDF width
             height = 4                                                          # PDF height
             )
```

```{r, echo = FALSE, out.width = "60%"}
knitr::include_graphics("1_Abbildungen/mvda_1_länge_R2.pdf")
```


# Euklidischer Vektorraum

\textcolor{darkblue}{Vektorlängen in $\mathbb{R}^2$}
\footnotesize
\setstretch{1}
\begin{equation}
\left\lVert \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} \right\rVert
= \sqrt{\left\langle \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} \right\rangle}
= \sqrt{2^2 + 0^2}
= \sqrt{4}
= 2.00
\end{equation}
```{r}
norm(matrix(c(2,0),nrow = 2), type = "2")             # Vektorlänge = l_2 Norm
```
\begin{equation}
\left\lVert \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} \right\rVert
= \sqrt{\left\langle \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} \right\rangle}
= \sqrt{2^2 + 2^2}
= \sqrt{8}
\approx 2.83
\end{equation}
```{r}
norm(matrix(c(2,2),nrow = 2), type = "2")             # Vektorlänge = l_2 Norm
```
\begin{equation}
\left\lVert \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix} \right\rVert
= \sqrt{\left\langle \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix} \right\rangle}
= \sqrt{2^2 + 4^2}
= \sqrt{20}
\approx 4.47
\end{equation}
```{r}
norm(matrix(c(2,4),nrow = 2), type = "2")             # Vektorlänge = l_2 Norm
```

# Euklidischer Vektorraum

\textcolor{darkblue}{Abstände in $\mathbb{R}^2$}

```{r, eval = F, echo = F}
graphics.off()
fdir        =  file.path(getwd(), "1_Abbildungen")
dev.new()
par(
family      = "sans",
mfcol       = c(1,1),
pty         = "s",
bty         = "l",
lwd         = 1,
las         = 1,
mgp         = c(2,1,0),
xaxs        = "i",
yaxs        = "i",
font.main   = 1,
cex         = .95,
cex.main    = 1.2)

# Vektordefinitionen
x           = c(1,1)
y           = c(2,2)
z           = c(4,1)

# Visualisierung
plot(
NULL,
xlab        = TeX("$x_1$"),
ylab        = TeX("$x_2$"),
xlim        = c(0,5),
ylim        = c(0,5))
grid()
points(
c(x[1],y[1],z[1]),
c(x[2],y[2],z[2]),
pch = 19)
text(.5,1,expression(bgroup("(", atop("1", "1"), ")")), cex = .9)
text(2,2.75  ,expression(bgroup("(", atop("2", "2"), ")")), cex = .9)
text(4,1.75  ,expression(bgroup("(", atop("4", "1"), ")")), cex = .9)
arrows(
x0          = c(x[1],x[1]),
y0          = c(x[2],x[2]),
x1          = c(y[1],z[1]),
y1          = c(y[2],z[2]),
angle       = 20,
length      = .1,
xpd         = TRUE,
lwd         = 1,
col         = "gray80")


# export to pdf
dev.copy2pdf(                                                                    # export to PDF
             file   = file.path(fdir, "mvda_1_abstand_R2.pdf"),           # filename
             width  = 4,                                                         # PDF width
             height = 4                                                          # PDF height
             )
```

```{r, echo = FALSE, out.width = "60%"}
knitr::include_graphics("1_Abbildungen/mvda_1_abstand_R2.pdf")
```


# Euklidischer Vektorraum
\textcolor{darkblue}{Abstände in $\mathbb{R}^2$}
\footnotesize
\vspace{5mm}


\begin{equation}
d\left(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}\right)
= \left\lVert \begin{pmatrix}  1 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} \right\rVert
= \left\lVert \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \end{pmatrix}  \right\rVert
= \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2}
= \sqrt{2}
\approx 1.41
\end{equation}
```{r}
norm(matrix(c(1,1),nrow = 2) - matrix(c(2,2),nrow = 2), type = "2")
```
\vspace{5mm}


\begin{equation}
d\left(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}\right)
= \left\lVert \begin{pmatrix}  1 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} \right\rVert
= \left\lVert \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \end{pmatrix} \right\rVert
= \sqrt{(-3)^2 + 0^2}
= \sqrt{9}
= 3
\end{equation}

```{r}
norm(matrix(c(1,1),nrow = 2) - matrix(c(1,4),nrow = 2), type = "2")
```


# Euklidischer Vektorraum
\textcolor{darkblue}{Winkel in $\mathbb{R}^2$}

Kosinus und Arkuskosinus auf $[0,\pi]$

```{r, eval = F, echo = F}
graphics.off()
fdir        =  file.path(getwd(), "1_Abbildungen")
dev.new()
par(
family      = "sans",
mfcol       = c(1,2),
bty         = "l",
lwd         = 1,
las         = 1,
mgp         = c(2,1,0),
xaxs        = "i",
yaxs        = "i",
font.main   = 1,
cex         = .95,
cex.main    = 1.2)

x           =  seq( 0,pi,by = 0.01)
y           =  seq(-1,1 ,by = 0.01)

plot(
x,
cos(x),
type = "l",
xlim = c(0,3.14),
ylim = c(-1.1,1.1),
ylab = " ",
main = "cos(x)",
xlab = "x [rad]"
)
grid()

plot(
y,
acos(y),
type = "l",
xlim = c(-1,1),
ylim = c(0,3.14),
ylab = " ",
xlab = "y",
main = "acos(y)"
)
grid()

# export to pdf
dev.copy2pdf(                                                                    # export to PDF
             file   = file.path(fdir, "mvda_1_kosinus.pdf"),           # filename
             width  = 10,                                                         # PDF width
             height = 4                                                          # PDF height
             )
```

```{r, echo = FALSE, out.width = "100%"}
knitr::include_graphics("1_Abbildungen/mvda_1_kosinus.pdf")
```

\vspace{-3mm}
\footnotesize
\begin{equation}
\mbox{deg} = \mbox{rad} \cdot \frac{180}{\pi}, \,
\mbox{rad} = \mbox{deg} \cdot \frac{\pi}{180}
\end{equation}
\begin{equation}
0\pi \mbox{ rad }                 = 0.00 \mbox{ rad } = 0  \mbox{ deg }, \,
\frac{\pi}{2} \mbox{ rad } \approx  1.57 \mbox{ rad } = 90 \mbox{ deg }, \,
\pi \mbox{ rad } \approx  3.14 \mbox{ rad } = 180 \mbox{ deg }
\end{equation}

# Euklidischer Vektorraum
\textcolor{darkblue}{Winkel in $\mathbb{R}^2$}

```{r, eval = F, echo = F}
graphics.off()
fdir        =  file.path(getwd(), "1_Abbildungen")
dev.new()
par(
family      = "sans",
mfcol       = c(1,1),
pty         = "s",
bty         = "l",
lwd         = 1,
las         = 1,
mgp         = c(2,1,0),
xaxs        = "i",
yaxs        = "i",
font.main   = 1,
cex         = .95,
cex.main    = 1.2)

# Vektordefinitionen
x           = c(3,0)
y           = c(3,3)
z           = c(0,3)

# Visualisierung
plot(
NULL,
xlab        = TeX("$x_1$"),
ylab        = TeX("$x_2$"),
xlim        = c(0,5),
ylim        = c(0,5))
grid()
points(
c(x[1],y[1],z[1]),
c(x[2],y[2],z[2]),
pch = 19,
xpd = TRUE)
text(3,.75,expression(bgroup("(", atop("3", "0"), ")")), cex = .9)
text(3.5,3.5  ,expression(bgroup("(", atop("3", "3"), ")")), cex = .9)
text(.5,3  ,expression(bgroup("(", atop("0", "3"), ")")), cex = .9)
arrows(
x0          = c(0,0,0),
y0          = c(0,0,0),
x1          = c(x[1],y[1],z[1]),
y1          = c(x[2],y[2],z[2]),
angle       = 20,
length      = .1,
xpd         = TRUE,
lwd         = 2)


# export to pdf
dev.copy2pdf(                                                                    # export to PDF
             file   = file.path(fdir, "mvda_1_winkel_R2.pdf"),           # filename
             width  = 4,                                                         # PDF width
             height = 4                                                          # PDF height
             )
```

```{r, echo = FALSE, out.width = "60%"}
knitr::include_graphics("1_Abbildungen/mvda_1_winkel_R2.pdf")
```


# Euklidischer Vektorraum
\textcolor{darkblue}{Winkel in $\mathbb{R}^2$}

\footnotesize
Winkel in Radians

\tiny
\begin{equation}
\mbox{acos}
\left(\frac{\left\langle \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix} \right\rangle}
           {\left\lVert  \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix} \right\rVert \left\lVert \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix} \right\rVert}
\right)
= \mbox{acos}
\left(\frac{3\cdot 3 + 3 \cdot 0}
           {\sqrt{3^2 + 0^2} \cdot \sqrt{3^2 + 3^2}}
\right)
= \mbox{acos}
\left(\frac{9}
           {3 \cdot \sqrt{18}}
\right)
= \frac{\pi}{4}
\approx 0.785
\end{equation}

\footnotesize
Winkel in Grad

\begin{equation}
0.785 \cdot 180/\pi = 45
\end{equation}

Berechnung in R

```{r}
x = matrix(c(3,0), nrow = 2)                                 # Vektor 1
y = matrix(c(3,3), nrow = 2)                                 # Vektor 2
w = acos(sum(x*y)/(sqrt(sum(x*x))*sqrt(sum(y*y)))) * 180/pi  # Winkel in Grad
print(w)
```

# Euklidischer Vektorraum
\textcolor{darkblue}{Winkel in $\mathbb{R}^2$}

\footnotesize
Winkel in Radians

\tiny
\begin{equation}
\alpha
= \mbox{acos}
\left(\frac{\left\langle \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix} \right\rangle}
           {\left\lVert  \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix} \right\rVert \left\lVert \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix} \right\rVert}
\right)
= \mbox{acos}
\left(\frac{3\cdot 0 + 0 \cdot 3}
           {\sqrt{3^2 + 0^2} \cdot \sqrt{0^2 + 3^2}}
\right)
= \mbox{acos}
\left(\frac{0}
           {3 \cdot 3}
\right)
= \frac{\pi}{2}
\approx 1.57
\end{equation}

\footnotesize
Winkel in Grad

\begin{equation}
\frac{\pi}{2} \cdot \frac{180}{\pi} = 90
\end{equation}


Berechnung in R

```{r}
x = matrix(c(3,0), nrow = 2)                                    # Vektor 1
y = matrix(c(0,3), nrow = 2)                                    # Vektor 2
w = acos(sum(x*y)/(sqrt(sum(x*x))*sqrt(sum(y*y)))) * 180/pi     # Winkel in Grad
print(w)
```


# Euklidischer Vektorraum
\setstretch{1.2}
\small
\begin{definition}[Orthogonalität und Orthonormalität von Vektoren]
\justifying
$\left((\mathbb{R}^m, +, \cdot), \langle \rangle \right)$ sei der Euklidische Vektorraum.
\begin{itemize}
\item Zwei Vektoren $x,y \in \mathbb{R}^m$ heißen \textit{orthogonal}, wenn gilt, dass
\begin{equation}
\langle x, y \rangle = 0
\end{equation}
\item Zwei Vektoren $x,y \in \mathbb{R}^m$ heißen \textit{orthonormal}, wenn gilt, dass
\begin{equation}
\langle x, y \rangle = 0 \mbox{ und } \Vert x \Vert = \Vert y \Vert = 1.
\end{equation}
\end{itemize}
\end{definition}

Bemerkung

* Für orthogonale und orthonormale Vektoren gilt insbesondere auch
\begin{equation}
\cos \alpha
= \frac{\langle x, y \rangle}{\Vert x \Vert \Vert y \Vert}
= \frac{0}{\Vert x \Vert \Vert y \Vert}
= 0
\end{equation}
also
\begin{equation}
\alpha = \frac{\pi}{2} = 90^{\circ}
\end{equation}


#
\setstretch{2.5}
\large
\vfill
Reeller Vektorraum

Euklidischer Vektorraum

**Lineare Unabhängigkeit**

Vektorraumbasen

Selbstkontrollfragen
\vfill

# Lineare Unabhängigkeit
\small
\begin{definition}[Linearkombination]
\justifying
$\{v_1, v_2, ..., v_k\}$ sei eine Menge von $k$ Vektoren eines Vektorraums $V$.
Dann ist die \textit{Linearkombination} der Vektoren in $v_1, v_2, ..., v_k$ mit den
skalaren Koeffizienten $a_1, a_2,...,a_k$ definiert als der Vektor
\begin{equation}
w := \sum_{i=1}^k a_i v_i \in V.
\end{equation}
\end{definition}

\footnotesize
Beispiel

Es seien
\begin{equation}
v_1 := \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix},
v_2 := \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix},
v_3 := \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}
\mbox{ und }
a_1 := 2, a_2 := 3, a_3 := 0.
\end{equation}
Dann ergibt sich
\begin{align}
\begin{split}
w
  = a_1v_1 + a_2v_2 + a_3v_3
& =  2 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}
   + 3 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}
   + 0 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}   \\
& =   \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}
    + \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix}
    + \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}   \\
& =   \begin{pmatrix} 7 \\ 5 \end{pmatrix}
\end{split}
\end{align}



# Lineare Unabhängigkeit
\small
\begin{definition}[Lineare Unabhängigkeit]
\justifying
$V$ sei ein Vektorraum. Eine Menge $W := \{w_1, w_2, ...,w_k\}$ von Vektoren in $V$ heißt
\textit{linear unabhängig}, wenn die einzige Repräsentation des Nullelements
$0 \in V$ durch eine Linearkombination der $w \in W$ die triviale
Repräsentation
\begin{equation}
0 = a_1 w_1 + a_2 w_2 + \cdots + a_n w_n \mbox{ mit } a_1 = a_2 =  \cdots = a_n = 0
\end{equation}
ist. Wenn die Menge $W$ nicht linear unabhängig ist, dann heißt sie \textit{linear abhängig}.
\end{definition}

Bemerkungen

* Prinzipiell müsste man für jede Linearkombination der $w \in W$ prüfen, ob sie Null ist.
* Die beiden folgenden Theoreme zeigen, dass es auch einfacher geht.


# Lineare Unabhängigkeit
\small
\begin{theorem}[Lineare Abhängigkeit von zwei Vektoren]
\justifying
\normalfont
$V$ sei ein Vektorraum. Zwei Vektoren $v_1, v_2 \in V$ sind linear abhängig,
wenn einer der Vektoren ein skalares Vielfaches des anderen Vektors ist.
\end{theorem}
\footnotesize
\underline{Beweis}
\vspace{1mm}

$v_1$ sei ein skalares Vielfaches von $v_2$, also
\begin{equation}
v_1 = \lambda v_2 \mbox{ mit } \lambda \neq 0.
\end{equation}
Dann gilt
\begin{equation}
v_1 - \lambda v_2 = 0.
\end{equation}
Dies aber entspricht der Linearkombination
\begin{equation}
a_1v_1 + a_2v_2 = 0
\end{equation}
mit $a_1 = 1 \neq 0$ und  $a_2 = -\lambda \neq 0$. Es gibt also eine Linearkombination
des Nullelementes, die nicht die triviale Repräsentation ist, und damit sind
$v_1$ und $v_2$ nicht linear unabhängig.

# Lineare Unabhängigkeit
\setstretch{1.1}
\small
\begin{theorem}[Lineare Abhängigkeit einer Menge von Vektoren]
\justifying
\normalfont
$V$ sei ein Vektorraum und $w_1,...,w_k \in V$ sei eine Menge von Vektoren in $V$.
Wenn einer der Vektoren $w_i, i = 1,...,k$ eine Linearkombination der anderen
Vektoren ist, dann ist die Menge der Vektoren linear abhängig.
\end{theorem}

\footnotesize
\underline{Beweis}

Die Vektoren $w_1,...,w_k$ sind genau dann linear abhängig, wenn gilt, dass
$\sum_{i=1}^n a_i w_i = 0$ mit mindestens einem $a_i \neq 0$ . Es sei also zum
Beispiel $a_j \neq 0$. Dann gilt
\begin{equation}
0 = \sum_{i=1}^n a_i w_i = \sum_{i=1, i \neq j}^n a_i w_i + a_jw_j
\end{equation}
Also folgt
\begin{equation}
a_jw_j  = - \sum_{i=1, i \neq j}^n a_i w_i
\end{equation}
und damit
\begin{equation}
w_j  = - a_j^{-1}\sum_{i=1, i \neq j}^n a_i w_i = - \sum_{i=1, i \neq j}^n (a_j^{-1}a_i) w_i
\end{equation}
Also ist $w_j$ eine Linearkombination der $w_i, i = 1,...,k$ mit $i \neq j$.
$\hfill \Box$

#
\setstretch{2.5}
\large
\vfill
Reeller Vektorraum

Euklidischer Vektorraum

Lineare Unabhängigkeit

**Vektorraumbasen**

Selbstkontrollfragen
\vfill

# Vektorraumbasen
\small
\begin{definition}[Lineare Hülle und Aufspannen]
\justifying
$V$ sei ein Vektorraum und es sei $W := \{w_1,...,w_k\} \subset V$. Dann ist die
\textit{lineare Hülle} von $W$ definiert als die Menge aller Linearkombinationen
der Elemente von $W$,
\begin{equation}
\mbox{Span}(W) := \left\lbrace \sum_{i=1}^k a_iw_i \vert a_1,...,a_k \mbox{ sind skalare Koeffizienten } \right\rbrace
\end{equation}
Man sagt, dass eine Menge von Vektoren $W \subseteq V$ \textit{einen Vektorraum $V$ aufspannt},
wenn jedes $v \in V$ als eine Linearkombination von Vektoren in $W$ geschrieben werden kann.
\end{definition}

# Vektorraumbasen
\small
\begin{definition}[Basis]
$V$ sei ein Vektorraum und es sei $B \subseteq V$. Dann heißt $B$ eine
\textit{Basis von $V$}, wenn
\begin{itemize}
\item die Vektoren in $B$ linear unabhängig sind und
\item die Vektoren in $B$ den Vektorraum $V$ aufspannen.
\end{itemize}
\end{definition}

\begin{theorem}[Eigenschaften von Basen]
\begin{itemize}
\justifying
\normalfont
\item Alle Basen eines Vektorraums beinhalten die gleiche Anzahl von Vektoren.
\item Die Anzahl der Vektoren einer Basis heißt die \textit{Dimension} des Vektorraums.
\item Jede Menge von $m$ linear unabhängigen Vektoren ist Basis eines $m$-dimensionalen Vektorraums.
\end{itemize}
\end{theorem}

Bemerkung

* Wir verzichten auf einen Beweis des sehr tiefen Theorems.
* Vektorräume haben in der Regel unendlich viele Basen.

# Vektorraumbasen
\small

\begin{definition}[Basisdarstellung und Koordinaten]
\justifying
$B := \{b_1,...,b_m\}$ sei eine Basis eines $m$-dimensionalen Vektorraumes  $V$
und es sei $v \in V$. Dann heißt die Linearkombination
\begin{equation}
v = \sum_{i = 1}^m c_i b_i
\end{equation}
die \textit{Darstellung von $v$ bezüglich der Basis $B$} und die Koeffizienten
$c_1,...,c_m$ heißen die \textit{Koordinaten von $v$ bezüglich der Basis $B$}.
\end{definition}


# Vektorraumbasen
\small
\begin{theorem}[Eindeutigkeit der Basisdarstellung]
\normalfont
Die Basisdarstellung eines $v \in V$ bezüglich einer Basis $B$ ist eindeutig.
\end{theorem}

\footnotesize
\underline{Beweis}
\vspace{1mm}

Ohne Beschränkung der Allgemeinheit nehmen wir an, dass der Vektorraum von Dimension
$m$ ist. Nehmen wir an, dass zwei Darstellungen von $v$ bezüglich der Basis $B$
existieren, also dass
\begin{align}
\begin{split}
v & = a_1 b_1 + \cdots + a_m b_m \\
v & = c_1 b_1 + \cdots + c_m b_m
\end{split}
\end{align}
Subtraktion der unteren von dern oberen Gleichung ergibt
\begin{equation}
0 = (a_1 - c_1) b_1 + \cdots + (a_m - c_m) b_m
\end{equation}
Weil die $b_1,...,b_m$ linear unabhängig sind, gilt aber, dass $(a_i - c_i) = 0$
für alle $i = 1,...,m$ und somit sind die beiden Darstellungen von $v$ bezüglich
der Basis $B$ identisch.

$\hfill\Box$


# Vektorraumbasen
\small
\begin{definition}[Orthonormalbasis von $\mathbb{R}^m$]
Eine Menge von $m$ Vektoren $v_1,...,v_m \in \mathbb{R}^m$ heißt
\textit{Orthonormalbasis} von $\mathbb{R}^m$, wenn $v_1,...,v_m$ jeweils die
Länge 1 haben und wechselseitig orthogonal sind, also wenn
\begin{equation}
\langle v_i, v_j \rangle =
\begin{cases}
1 	& \mbox{ für } i = j 	\\
0 	& \mbox{ für } i \neq j
\end{cases}.
\end{equation}
\end{definition}

# Vektorraumbasen
\small
Beispiel 1
\setstretch{1.6}

\footnotesize
Es ist
\begin{equation}
B_1 :=
\left\lbrace
\begin{pmatrix}
1 \\ 0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
0 \\ 1
\end{pmatrix}
\right\rbrace
\end{equation}
eine Orthonormalbasis von $\mathbb{R}^2$, denn $B_1$ besteht aus zwei Vektoren
und es gelten
\begin{equation}
\left \langle
\begin{pmatrix}
1 \\ 0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
1 \\ 0
\end{pmatrix}
\right \rangle
= 1 \cdot 1
+ 0 \cdot 0
= 1 + 0
= 1,
\end{equation}
sowie
\begin{equation}
\left \langle
\begin{pmatrix}
0 \\ 1
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
0 \\1
\end{pmatrix}
\right \rangle
= 0 \cdot 0
+ 1 \cdot 1
= 0 + 1
= 1
\end{equation}
und
\begin{equation}
\left \langle
\begin{pmatrix}
1 \\ 0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
0 \\ 1
\end{pmatrix}
\right \rangle
=    1 \cdot 0
  +  0  \cdot 1
= 0 + 0
= 0
\end{equation}


# Vektorraumbasen
\small
\begin{definition}[Kanonische Basis und kanonische Einheitsvektoren]
Die Orthonormalbasis
\begin{equation}
B :=
\left\lbrace
e_1,...,e_m
\vert
e_{i_j} = 1 \mbox{ für } i =  j \mbox{ und } e_{i_j} =  0 \mbox{ für } i \neq j
\right\rbrace
\subset \mathbb{R}^m
\end{equation}
heißt die \textit{kanonische Basis} von $\mathbb{R}^m$ und die $e_{i_j}$ heißen
\textit{kanonische Einheitsvektoren}.
\end{definition}

Beispiele

* $B_1$ aus Beispiel 1 ist die kanonische Basis von $\mathbb{R}^2$.

* Die kanonische Basis von $\mathbb{R}^3$ ist
$B :=
\left\lbrace
\begin{pmatrix}
1 \\ 0 \\ 0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
0 \\ 1 \\ 0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
0 \\ 0 \\ 1
\end{pmatrix}
\right\rbrace$.

# Vektorraumbasen
\small
Beispiel 2
\setstretch{1.6}

\footnotesize
Es ist auch
\begin{equation}
B_2 :=
\left\lbrace
\begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
- \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \quad \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{pmatrix}
\right\rbrace
\end{equation}
eine Orthonormalbasis von $\mathbb{R}^2$, denn $B_2$ besteht aus zwei Vektoren
und es gelten
\begin{equation}
\left \langle
\begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{pmatrix}
\right \rangle
= \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}
+ \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}
= \frac{1}{2} + \frac{1}{2}
= 1,
\end{equation}
sowie
\begin{equation}
\left \langle
\begin{pmatrix}
- \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \quad \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
- \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \quad \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{pmatrix}
\right \rangle
= \left(- \frac{1}{\sqrt{2}} \right)\cdot \left(- \frac{1}{\sqrt{2}} \right)
+ \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}
= \frac{1}{2} + \frac{1}{2}
= 1
\end{equation}
und
\begin{equation}
\left \langle
\begin{pmatrix}
- \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \quad \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
  \frac{1}{\sqrt{2}} \\  \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{pmatrix}
\right \rangle
= - \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}
  + \frac{1}{\sqrt{2}}   \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}
= - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}
= 0
\end{equation}

# Vektorraumbasen
Beispiele 1 & 2

```{r, eval = F, echo = F}
graphics.off()
fdir        =  file.path(getwd(), "1_Abbildungen")
dev.new()
par(
family      = "sans",
mfcol       = c(1,1),
bty         = "l",
lwd         = 1,
las         = 1,
mgp         = c(2,1,0),
xaxs        = "i",
yaxs        = "i",
font.main   = 1,
cex         = .95,
cex.main    = 1.2)

# Vektordefinitionen
x           = c(1,0)
y           = c(0,1)
v           = 1/sqrt(2)*c(1,1)
w           = 1/sqrt(2)*c(-1,1)
p           = c(1/3,2/3)


# Visualisierung
plot(
NULL,
xlab        = TeX("$x_1$"),
ylab        = TeX("$x_2$"),
xlim        = c(-1.2,1.2),
ylim        = c(0,1.2))
grid()
points(
c(x[1],y[1],v[1],w[1],p[1]),
c(x[2],y[2],v[2],w[2],p[2]),
pch = 19,
xpd = TRUE,
col = c("gray40", "gray40", "gray80", "gray80", "blue"))
text(0.75 ,0.15, TeX("$B_1$"), col = "gray40", cex = 1.5)
text(-0.45,0.65, TeX("$B_2$"), col = "gray80", cex = 1.5)
arrows(
x0          = c(0,0,0,0),
y0          = c(0,0,0,0),
x1          = c(x[1],y[1],v[1],w[1]),
y1          = c(x[2],y[2],v[2],w[2]),
angle       = 20,
length      = .1,
xpd         = TRUE,
lwd         = 2,
col         = c("gray40", "gray40", "gray80", "gray80"))


# export to pdf
dev.copy2pdf(                                                                    # export to PDF
             file   = file.path(fdir, "mvda_1_basen_R2.pdf"),                 # filename
             width  = 6.5,                                                         # PDF width
             height = 4                                                          # PDF height
             )
```

```{r, echo = FALSE, out.width = "80%"}
knitr::include_graphics("1_Abbildungen/mvda_1_basen_R2.pdf")
```

\small 
* \justifying Im Rahmen von Hauptkomponentenranalyse werden wir daran
interessiert sein, basierend auf den Koordinaten eines Vektors bezüglich einer
Basis die Koordinaten desselben Vektors bezüglich einer anderen Basis zu berechnen.

#
\setstretch{2.5}
\large
\vfill
Reeller Vektorraum

Euklidischer Vektorraum

Lineare Unabhängigkeit

Vektorraumbasen

**Selbstkontrollfragen**
\vfill


# Selbstkontrollfragen
\footnotesize
\setstretch{1.5}
1. Geben Sie die Definition eines Vektorraums wieder.
2. Geben Sie die Definition des reellen Vektorraums wieder.
3. Es seien 
\begin{equation}
x := \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}, 
y := \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}
\mbox{ und } 
a := 2. 
\end{equation}
Berechnen Sie
\begin{equation}
v = a(x+y) \mbox{ und } w = \frac{1}{a}(y-x)
\end{equation}
und überprüfen Sie ihre Rechnung mit R.
4. Geben Sie die Definition des Skalarproduktes auf $\mathbb{R}^m$ wieder.
5. Für
\begin{equation}
x := \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix},
y := \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix},
z := \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} 
\end{equation}
berechnen Sie
\begin{equation}
\langle x,y \rangle, \langle x, z \rangle, \langle y,z \rangle
\end{equation}
und überprüfen Sie ihre Rechnung mithilfe von R.
6. Geben Sie die Definition des Euklidischen Vektorraums wieder.
7. Definieren Sie die Länge eines Vektors im Euklidischen Vektorraum.
8. Berechnen Sie die Längen der Vektoren $x,y,z$ aus Aufgabe 5 und überprüfen
Sie ihre Rechnung mit R.

# Selbstkontrollfragen
\footnotesize
\setstretch{1.9}
9. Geben Sie Definition des Abstands zweier Vektoren im Euklidischen Vektorraum wieder.
10. Berechnen Sie $d(x,y), d(x,z)$ und $d(y,z)$ für $x,y,z$ aus Aufgabe 5.
11. Geben Sie die Definition des Winkels zwischen zwei Vektoren im Euklidischen
Vektorraum wieder.
12. Berechnen Sie die Winkel zwischen den Vektoren $x$ und $y$, $x$ und $z$, sowie
$y$ und $z$ aus Aufgabe 5 mit R.
13. Definieren Sie die Begriffe der Orthogonalität und Orthonormalität von Vektoren.
14. Definieren Sie den Begriff der Linearkombination von Vektoren.
15. Definieren Sie den Begriff der linearen Unabhängigkeit von Vektoren.
16. Woran kann man erkennen, dass zwei Vektoren linear abhängig sind?
17. Definieren Sie den Begriff der linearen Hülle einer Menge von Vektoren.
18. Definieren Sie den Begriff der Basis eines Vektorraums.
19. Geben Sie das Theorem zu den Eigenschaften von Vektorraumbasen wieder.
20. Definieren Sie den Begriff der Basisdarstellung eines Vektors.
21. Definieren Sie den Begriff einer Orthonormalbasis von $\mathbb{R}^m$.
22. Definieren Sie die kanonische Basis von $\mathbb{R}^m$
23. Dokumentieren Sie alle in dieser Einheit eingeführten R Befehle in einem Skript.