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\vskip2pt
\makebox[123mm]{\hspace{7.5mm}
\hfill Multivariate Datenanalyse $\vert$ 
\copyright $ $ 2022 Dirk Ostwald CC BY-NC-SA 4.0 $\vert$ 
Folie \insertframenumber}
\vskip4pt
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\author{}
\date{\vspace{-2.5em}}

\begin{document}

\begin{frame}[plain]{}
\protect\hypertarget{section}{}
\center

\begin{center}\includegraphics[width=0.2\linewidth]{10_Abbildungen/mvda_10_otto} \end{center}

\vspace{2mm}

\Huge

Multivariate Datenanalyse \vspace{6mm}

\Large

MSc Psychologie WiSe 2021/22

\vspace{6mm}
\large

Prof.~Dr.~Dirk Ostwald
\end{frame}

\begin{frame}[plain]{}
\protect\hypertarget{section-1}{}
\vfill
\center
\huge

\textcolor{black}{(10) T$^2$-Tests} \vfill
\end{frame}

\begin{frame}{}
\protect\hypertarget{section-2}{}
\vfill
\setstretch{2.4}
\large

\textbf{Vorbemerkungen}

Einstichproben-T\(^2\)-Tests

Zweistichproben-T\(^2\)-Tests

Univariates vs.~multivariates Testen

Selbstkontrollfragen \vfill
\end{frame}

\begin{frame}{Vorbemerkungen}
\protect\hypertarget{vorbemerkungen}{}
Ausgewählte multivariate Methoden der Frequentistischen Inferenz

\small

Multivariate Generalisierungen bekannter Frequentistischer Verfahren

\textbf{T\(^2\)-Tests} als Generalisierung von T-Tests

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Inferentieller Vergleich von ein bis zwei Gruppen multivariater Daten
\end{itemize}

Multivariate \textbf{Einfaktorielle Varianzanalyse} als Generalisierung
der einfaktoriellen Varianzanalyse

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Inferentieller Vergleich von drei oder mehr Gruppen multivariater
  Daten
\end{itemize}

\textbf{Kanonische Korrelationsanalyse} als Generalisierung (multipler)
Korrelation

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Korrelative Zusammenhänge von Zufallsvektoren
\end{itemize}

Zur Revision univariater Frequentistischer Verfahren

\href{https://bit.ly/3sTMP8U}{\textcolor{red}{$\quad\bullet$ Inferenzstatistik SoSe 21}}

\href{https://bit.ly/3qJKlan}{\textcolor{red}{$\quad\bullet$ Wahrscheinlichkeitstheorie und Frequentistische Inferenz WiSe 21/22}}
\end{frame}

\begin{frame}{Vorbemerkungen}
\protect\hypertarget{vorbemerkungen-1}{}
\begin{center}\includegraphics[width=1\linewidth]{10_Abbildungen/mvda_10_frequentistische_inferenz} \end{center}
\end{frame}

\begin{frame}{Vorbemerkungen}
\protect\hypertarget{vorbemerkungen-2}{}
Standardprobleme Frequentistischer Inferenz

\small

\noindent (1) \textbf{Parameterschätzung}

Ziel der Parameterschätzung ist es, einen möglichst guten Tipp für den
wahren, aber unbekannten, Parameterwert (oder eine Funktion dessen)
abzugeben, typischerweise basierend auf der Beobachtung einer
Realisierung von \(Y_1,...,Y_n \sim \mathbb{P}_\theta\). \vspace{2mm}

\noindent (2) \textbf{Konfidenzintervalle}

Das Ziel der Bestimmung von Konfidenzintervallen ist es, basierend auf
der Verteilung möglicher Parameterschätzwerte eine quantitative Aussage
über die mit dem Schätzwert assoziierte Unsicherheit zu treffen.
\vspace{2mm}

\noindent (3) \textbf{Hypothesentests}

Das Ziel der Auswertung von Hypothesentests ist es, basierend auf der
angenommenen Verteilung der Beobachtungen \(Y_1,...,Y_n\) in einer
möglichst sinnvollen Form zu entscheiden, ob der wahre, aber unbekannte
Parameterwert, in einer von zwei sich gegenseitig ausschließenden
Untermengen des Parameterraumes, welche man als Hypothesen bezeichnet,
liegt.
\end{frame}

\begin{frame}{Vorbemerkungen}
\protect\hypertarget{vorbemerkungen-3}{}
Standardannahmen Frequentistischer Inferenz

\footnotesize

\(\mathcal{M}\) sei ein statistisches Modell mit unabhängig und
identisch verteilten Zufallsvektoren
\(Y_1,...,Y_n \sim \mathbb{P}_\theta\). Es wird angenommen, dass ein
vorliegender Datensatz eine der möglichen Realisierungen von
\(Y_1,...,Y_n \sim \mathbb{P}_\theta\) ist. Aus frequentistischer Sicht
kann man die Erhebung von Datensätzen unendlich oft wiederholen und zu
jedem Datensatz Statistiken auswerten.

\footnotesize
\begin{itemize}
\item[] Datensatz (1) : $y^{(1)} = \left(y_1^{(1)}, y_2^{(1)}, ...,y_n^{(1)}\right)$, Statistik (1): $S : \mathbb{R}^{m\times n} \to \Sigma, y^{(1)} \mapsto S\left(y^{(1)}\right)$
\item[] Datensatz (2) : $y^{(2)} = \left(y_1^{(2)}, y_2^{(2)}, ...,y_n^{(2)}\right)$, Statistik (2): $S : \mathbb{R}^{m\times n} \to \Sigma, y^{(2)} \mapsto S\left(y^{(2)}\right)$
\item[] Datensatz (3) : $y^{(3)} = \left(y_1^{(3)}, y_2^{(3)}, ...,y_n^{(3)}\right)$, Statistik (3): $S : \mathbb{R}^{m\times n} \to \Sigma, y^{(3)} \mapsto S\left(y^{(3)}\right)$
\item[] Datensatz (4) : $y^{(4)} = \left(y_1^{(4)}, y_2^{(4)}, ...,y_n^{(4)}\right)$, Statistik (4): $S : \mathbb{R}^{m\times n} \to \Sigma, y^{(4)} \mapsto S\left(y^{(4)}\right)$
\item[] ...
\end{itemize}

Um die Qualität statistischer Methoden zu beurteilen betrachtet die
frequentistische Statistik deshalb die Wahrscheinlichkeitsverteilungen
von Statistiken und Schätzern unter der Annahme von
\(Y_1,...,Y_n \sim \mathbb{P}_\theta\).

Wenn eine statistische Methode im Sinne der frequentitischen
Standardannahmen ``gut'' ist, dann heißt das also, dass sie bei häufiger
Anwendung ``im Mittel gut'' ist. Im Einzelfall, also im realen
Normalfall nur eines vorliegenden Datensatzes, kann sie auch
``schlecht'' sein.
\end{frame}

\begin{frame}{Vorbemerkungen}
\protect\hypertarget{vorbemerkungen-4}{}
\begin{center}\includegraphics[width=1\linewidth]{10_Abbildungen/mvda_10_hypothesentests} \end{center}
\end{frame}

\begin{frame}{Vorbemerkungen}
\protect\hypertarget{vorbemerkungen-5}{}
\small
\begin{definition}[Mahalanobis Distanz]
\justifying
$\xi_1$ sei ein Zufallsvektor, eine Realisiation eines Zufallsvektors,
ein multivariater Erwartungswert oder ein multivariates Stichprobenmittel,
$\xi_2$ sei ein Zufallsvektor, eine Realisiation eines Zufallsvektors,
ein multivariater Erwartungswert oder ein multivariates Stichprobenmittel
und $\Xi$ sei eine Kovarianzmatrix oder eine Stichprobenkovarianzmatrix. Dann heißt
\begin{equation}
D = \left(\xi_1 - \xi_2 \right)^T\Xi^{-1}\left(\xi_1 - \xi_2\right)
\end{equation}
\textit{Mahalanobis Distanz} von $\xi_1$ und $\xi_2$ hinsichtlich $\Xi$.
\end{definition}

\footnotesize

Bemerkungen

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Eine Mahalanobis Distanz ist eine Kovarianzmatrix-normalisierte
  quadrierte Euklidische Distanz.
\item
  Ähnliche Maße in der univariaten Statistik sind die
  \(z\)-Transformation \(z = \frac{y - \mu}{\sigma}\) und Cohen's
  \(d = \frac{\bar{y}_1 - \bar{y}_2}{s_{12}}\).
\item
  Ähnlich wie bei \(z\)-Werten wird bei der Mahalanobis Distanz in
  ``Einheiten von Kovarianzen'' gemessen.
\item
  Stark variante Komponenten von \(\xi_1\) und \(\xi_2\) tragen weniger
  zur Distanz bei.
\item
  Stark kovariante Komponenten von \(\xi_1\) und \(\xi_2\) tragen
  weniger zur Distanz bei.
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Vorbemerkungen}
\protect\hypertarget{vorbemerkungen-6}{}
Mahalanobis Distanzen als Funktion von Komponentenvarianzen \vspace{2mm}

\footnotesize

\begin{equation*}
\quad
\Sigma := \begin{pmatrix} 1.0 & 0.0 \\ 0.0 & 1.0\end{pmatrix}
\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad
\Sigma := \begin{pmatrix} 0.5 & 0.0 \\ 0.0 & 0.5\end{pmatrix}
\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad
\Sigma := \begin{pmatrix} 1.5 & 0.0 \\ 0.0 & 1.5\end{pmatrix}
\end{equation*} \vspace{2mm}

\begin{center}\includegraphics[width=1\linewidth]{10_Abbildungen/mvda_10_mahalanobis_distanzen_1} \end{center}
\end{frame}

\begin{frame}{Vorbemerkungen}
\protect\hypertarget{vorbemerkungen-7}{}
Mahalanobis Distanzen als Funktion von Komponentenkovarianzen
\vspace{2mm}

\footnotesize

\begin{equation*}
\quad\quad\quad
\Sigma := \begin{pmatrix} 1.0 & 0.0 \\ 0.0 & 1.0\end{pmatrix}
\quad\quad\quad\quad\quad\quad
\Sigma := \begin{pmatrix} 1.0 & 0.9 \\ 0.9 & 1.0\end{pmatrix}
\quad\quad\quad\quad\quad\quad
\Sigma := \begin{pmatrix*}[r] 1.0 & -0.9 \\ -0.9 & 1.0\end{pmatrix*}
\end{equation*} \vspace{2mm}

\begin{center}\includegraphics[width=1\linewidth]{10_Abbildungen/mvda_10_mahalanobis_distanzen_2} \end{center}
\end{frame}

\begin{frame}{Vorbemerkungen}
\protect\hypertarget{vorbemerkungen-8}{}
\footnotesize
\begin{definition}[$f$-Zufallsvariable]
\justifying
$X$ sei eine Zufallsvariable mit Ergebnisraum $\mathbb{R}_{>0}$ und Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
\begin{equation}
p_X : \mathbb{R} \to \mathbb{R}_{>0}, x \mapsto p_X(x)
:= \nu_1^{\frac{\nu_1}{2}}\nu_2^{\frac{\nu_2}{2}}
   \frac{\Gamma\left(\frac{\nu_1+\nu_2}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{\nu_1}{2}\right)\Gamma\left(\frac{\nu_2}{2}\right)}
   \frac{x^{\frac{\nu_1}{2}-1}}{\left(\nu_1 x  + \nu_2 \right)^{\frac{\nu_1+\nu_2}{2}}},
\end{equation}
wobei $\Gamma$ die Gammafunktion bezeichne. Dann sagen wir, dass $X$ einer
$f$-Verteilung mit Freiheitsgradparametern $\nu_1$ und $\nu_2$ unterliegt und nennen $X$ eine
$f$-Zufallsvariable mit Freiheitsgradparametern $\nu_1$ und $\nu_2$. Wir kürzen dies
mit $X \sim f(\nu_1,\nu_2)$ ab. Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF) einer
$f$-Zufallsvariable bezeichnen wir mit $f(x;\nu_1,\nu_2)$, die kumulative Verteilungsfunktion (KVF)
einer $f$-Zufallsvariable bezeichnen wir mit $F(x;\nu_1,\nu_2)$, und die inverse
kumulative Verteilungsfunktion einer $f$-Zufallsvariable bezeichnen wir mit $F^{-1}(x;\nu_1,\nu_2)$.
\end{definition}

Bemerkungen

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Im univariaten Fall ist die \(F\)-Statistik der Varianzanalyse bei
  Zutreffen der Nullhypothese \(f\)-verteilt
\item
  Im multivariaten Fall ist z.B. die T\(^2\)-Statistik bei Zutreffen der
  Nullhypothese \(f\)-verteilt.
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Vorbemerkungen}
\protect\hypertarget{vorbemerkungen-9}{}
\vfill

\small

Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen von \(f\)-Verteilungen \vspace{1mm}

\begin{center}\includegraphics[width=0.8\linewidth]{10_Abbildungen/mvda_10_f_zentral_wdf} \end{center}
\end{frame}

\begin{frame}{Vorbemerkungen}
\protect\hypertarget{vorbemerkungen-10}{}
\footnotesize
\begin{definition}[Nichtzentrale $f$-Zufallsvariable]
\justifying
$X$ sei eine Zufallsvariable mit Ergebnisraum $\mathbb{R}_{>0}$ und Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
\begin{multline}
p_X : \mathbb{R} \to \mathbb{R}_{>0}, x \mapsto \\
p_X(x)
:= \sum_{k=0}^\infty \frac{e^{-\delta/2}(\delta/2)^k}{\frac{\Gamma(\nu_2/2)\Gamma(\nu_1/2 + k)}{\Gamma(\nu_2/2 + \nu_1/2 + k)}k!}
    \left(\frac{\nu_1}{\nu_2}\right)^{\nu_1/2 + k}
    \left(\frac{\nu_2}{\nu_2+\nu_1x}\right)^{(\nu_1+\nu_2)/2 + k}
    x^{\nu_1/2 - 1 + k}
\end{multline}
wobei $\Gamma$ die Gammafunktion bezeichne. Dann sagen wir, dass $X$ einer
nichtzentralen $f$-Verteilung mit Nichtzentralitätsparameter $\delta$ und
Freiheitsgradparametern $\nu_1$ und $\nu_2$ unterliegt und nennen $X$ eine nichtzentrale
$f$-Zufallsvariable mit Nichtzentralitätsparameter $\delta$ und Freiheitsgradparametern
$\nu_1$ und $\nu_2$. Wir kürzen dies mit $X \sim f(\delta,\nu_1,\nu_2)$ ab.
Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF) einer $f$-Zufallsvariable
bezeichnen wir mit $f(x;\delta,\nu_1,\nu_2)$, die kumulative Verteilungsfunktion (KVF)
einer nichtzentralen $f$-Zufallsvariable bezeichnen
wir mit $F(x;\delta,\nu_1,\nu_2)$, und die inverse kumulative Verteilungsfunktion
einer nichtzentralen $f$-Zufallsvariable
bezeichnen wir mit $F^{-1}(x;\delta,\nu_1,\nu_2)$.
\end{definition}

Bemerkungen

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Es gilt \(f(0,\nu_1,\nu_2) = f(\nu_1,\nu_2)\).
\item
  Im univariaten Fall ist die \(F\)-Statistik bei Nichtzutreffen der
  Nullhypothese nichtzentral \(f\)-verteilt
\item
  Im multivariaten Fall ist z.B. die T\(^2\)-Statistik bei
  Nichtzutreffen der Nullhypothese nichtzentral \(f\)-verteilt.
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Vorbemerkungen}
\protect\hypertarget{vorbemerkungen-11}{}
\vfill

\small

WDFen von nichtzentralen \(f\)-Verteilungen \vspace{1mm}

\begin{center}\includegraphics[width=0.8\linewidth]{10_Abbildungen/mvda_10_f_nichtzentral_wdf} \end{center}
\end{frame}

\begin{frame}{}
\protect\hypertarget{section-3}{}
\vfill
\setstretch{2.4}
\large

Vorbemerkungen

\textbf{Einstichproben-T\(^2\)-Tests}

Zweistichproben-T\(^2\)-Tests

Univariates vs.~multivariates Testen

Selbstkontrollfragen \vfill
\end{frame}

\begin{frame}{Einstichproben-T\(^2\)-Tests}
\protect\hypertarget{einstichproben-t2-tests}{}
Anwendungszenario

\small

\begin{itemize}
\item
  \textbf{Eine Stichprobe experimenteller Einheiten}.
\item
  Annahme unabhängiger und identisch nach \(N(\mu,\Sigma)\) multivariat
  normalverteilter Daten.
\item
  \(\mu\) und \(\Sigma\) unbekannt.
\item
  Quantifizieren der Unsicherheit beim inferentiellen Vergleich von
  \(\mu\) mit \(\mu_0\) beabsichtigt.
\end{itemize}

\normalsize

Anwendungsbeispiele

\small

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Gruppenanalyse von BDI und Glukokortikoid Daten
\end{itemize}

\(\quad\quad\quad\) \(\circ\) \(\mu \neq \mu_0\) als Evidenz für eine
multivariate Abweichung von einem Normwert \(\mu_0\).

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Gruppenanalyse von Kognitionstestdaten
\end{itemize}

\(\quad\quad\quad\) \(\circ\) \(\mu \neq \mu_0\) als Evidenz für eine
multivariate Abweichung von einem Normwert \(\mu_0\).
\end{frame}

\begin{frame}{Einstichproben-T\(^2\) Tests}
\protect\hypertarget{einstichproben-t2-tests-1}{}
Anwendungsbeispiel

\footnotesize
\setstretch{1.2}

\begin{longtable}[]{@{}ccc@{}}
\toprule()
VP & IQ Test Score & Math Test Score \\
\midrule()
\endhead
1 & 54 & 44 \\
2 & 60 & 20 \\
3 & 67 & 36 \\
4 & 41 & 39 \\
5 & 66 & 57 \\
6 & 51 & 28 \\
7 & 51 & 46 \\
8 & 37 & 46 \\
9 & 57 & 54 \\
10 & 47 & 12 \\
11 & 50 & 67 \\
12 & 42 & 63 \\
13 & 60 & 64 \\
14 & 36 & 64 \\
15 & 60 & 71 \\
\bottomrule()
\end{longtable}

Abweichung des (IQ Test Score, Math Test Score) Erwartungswertparameters
vom Normwert \(\mu_0 = \begin{pmatrix} 60 \\ 60 \end{pmatrix}\)?
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]{Einstichproben-T\(^2\) Tests}
\protect\hypertarget{einstichproben-t2-tests-2}{}
Anwendungsbeispiel \vspace{3mm}

\tiny
\setstretch{1}

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\CommentTok{\# Deskriptivstatistik}
\FunctionTok{library}\NormalTok{(foreign)                                              }\CommentTok{\# R Paket}
\FunctionTok{library}\NormalTok{(ellipse)                                              }\CommentTok{\# R Paket}
\FunctionTok{library}\NormalTok{(matlib)                                               }\CommentTok{\# R Paket}
\NormalTok{mu\_0   }\OtherTok{=} \FunctionTok{matrix}\NormalTok{(}\FunctionTok{c}\NormalTok{(}\DecValTok{60}\NormalTok{,}\DecValTok{60}\NormalTok{), }\AttributeTok{nrow =} \DecValTok{2}\NormalTok{)                           }\CommentTok{\# Normwert}
\NormalTok{fname  }\OtherTok{=} \FunctionTok{file.path}\NormalTok{(}\FunctionTok{getwd}\NormalTok{(), }\StringTok{"10\_Daten"}\NormalTok{, }\StringTok{"studienerfolg.sav"}\NormalTok{)  }\CommentTok{\# Dateinamen}
\NormalTok{D      }\OtherTok{=} \FunctionTok{read.spss}\NormalTok{(fname, }\AttributeTok{to.data.frame =}\NormalTok{ T)                  }\CommentTok{\# Dateneinlesen}
\NormalTok{Y      }\OtherTok{=} \FunctionTok{rbind}\NormalTok{(D}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{X1[D}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{Gruppe }\SpecialCharTok{==} \StringTok{"ungenügend"}\NormalTok{],                }\CommentTok{\# Y\_\{i\_1\} IQ Test Score}
\NormalTok{               D}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{X2[D}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{Gruppe }\SpecialCharTok{==} \StringTok{"ungenügend"}\NormalTok{])                }\CommentTok{\# Y\_\{i\_2\} Math Test Score}
\NormalTok{n      }\OtherTok{=} \FunctionTok{ncol}\NormalTok{(Y)                                              }\CommentTok{\# Anzahl Datenpunkte}
\NormalTok{j\_n    }\OtherTok{=} \FunctionTok{matrix}\NormalTok{(}\FunctionTok{rep}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\NormalTok{,n), }\AttributeTok{nrow =}\NormalTok{ n)                           }\CommentTok{\# 1\_n}
\NormalTok{I\_n    }\OtherTok{=} \FunctionTok{diag}\NormalTok{(n)                                              }\CommentTok{\# I\_n}
\NormalTok{J\_n    }\OtherTok{=} \FunctionTok{matrix}\NormalTok{(}\FunctionTok{rep}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\NormalTok{,n}\SpecialCharTok{\^{}}\DecValTok{2}\NormalTok{), }\AttributeTok{nrow =}\NormalTok{ n)                         }\CommentTok{\# 1\_\{nn\}}
\NormalTok{Y\_bar  }\OtherTok{=}\NormalTok{ (}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{n)}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{(Y }\SpecialCharTok{\%*\%}\NormalTok{ j\_n)                                    }\CommentTok{\# Stichprobenmittel (cf.(3) Wahrscheinlichkeitstheorie)}
\NormalTok{C      }\OtherTok{=}\NormalTok{ (}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{(n}\DecValTok{{-}1}\NormalTok{))}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{(Y }\SpecialCharTok{\%*\%}\NormalTok{ (I\_n}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{n)}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{J\_n) }\SpecialCharTok{\%*\%} \FunctionTok{t}\NormalTok{(Y))           }\CommentTok{\# Stichprobenkovarianzmatrix (cf. ibid.)}
\NormalTok{D      }\OtherTok{=} \FunctionTok{t}\NormalTok{(Y\_bar }\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{ mu\_0) }\SpecialCharTok{\%*\%} \FunctionTok{inv}\NormalTok{(C) }\SpecialCharTok{\%*\%}\NormalTok{ (Y\_bar }\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{ mu\_0)        }\CommentTok{\# Mahalanobis Distanz}

\CommentTok{\# Ausgabe}
\FunctionTok{cat}\NormalTok{(}\StringTok{"Y\_bar ="}\NormalTok{, Y\_bar,}
    \StringTok{"}\SpecialCharTok{\textbackslash{}n}\StringTok{D     ="}\NormalTok{, D)}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}

\begin{verbatim}
Y_bar = 51.9 47.4 
D     = 1.19
\end{verbatim}
\end{frame}

\begin{frame}{Einstichproben-T\(^2\) Tests}
\protect\hypertarget{einstichproben-t2-tests-3}{}
Anwendungsbeispiel \vspace{1mm}

\begin{center}\includegraphics[width=0.6\linewidth]{10_Abbildungen/mvda_10_einstichproben_t2_deskription} \end{center}
\end{frame}

\begin{frame}{Einstichproben-T\(^2\)-Tests}
\protect\hypertarget{einstichproben-t2-tests-4}{}
Hypothesenszenarien \small \setstretch{1.1}

Einfache Nullhypothese, einfache Alternativhypothese
\(H_0:\mu = \mu_0, H_1:\mu = \mu_1\)

\begin{itemize}
\item Theoretisch wichtiges Szenario (Neymann-Pearson Lemma)
\item Praktische Relevanz eher gering
\end{itemize}

Einfache Nullhypothese, zusammengesetzte Alternativhypothese
\(H_0:\mu = \mu_0, H_1:\mu \neq \mu_0\)

\begin{itemize}
\item Zweiseitiger Einstichproben-T-Test mit ungerichteter Hypothese
\item Ungerichtete Fragestellung nach einem Unterschied
\end{itemize}

Zusammengesetzte Nullhypothese/Alternativhypothese
\(H_0:\mu \le \mu_0, H_1:\mu > \mu_0\)

\begin{itemize}
\item Einseitiger Einstichproben-T-Test mit gerichteter Hypothese
\item Gerichtete Fragestellung nach einem positiven Unterschied
\end{itemize}

Zusammengesetzte Nullhypothese/Alternativhypothese
\(H_0:\mu\ge\mu_0,H_1:\mu<\mu_0\)

\begin{itemize}
\item Gerichtete Fragestellung nach einem negativen Unterschied
\item Qualitativ äquivalente Theorie zum umgekehrten Fall
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Einstichproben-T\(^2\)-Tests}
\protect\hypertarget{einstichproben-t2-tests-5}{}
Im Folgenden näher betrachtetes Hypothesenszenario \small
\setstretch{1.1}

\textcolor{lightgray}{Einfache Nullhypothese, einfache Alternativhypothese $H_0:\mu = \mu_0, H_1:\mu = \mu_1$}

\begin{itemize}
\item[\textcolor{lightgray}{$\bullet$}] \textcolor{lightgray}{Theoretisch wichtiges Szenario (Neymann-Pearson Lemma)}
\item[\textcolor{lightgray}{$\bullet$}] \textcolor{lightgray}{Praktische Relevanz eher gering}
\end{itemize}

Einfache Nullhypothese, zusammengesetzte Alternativhypothese
\(H_0:\mu = \mu_0, H_1:\mu \neq \mu_0\)

\begin{itemize}
\item Zweiseitiger Einstichproben-T-Test mit ungerichteter Hypothese
\item Ungerichtete Fragestellung nach einem Unterschied
\end{itemize}

\textcolor{lightgray}{Zusammengesetzte Nullhypothese/Alternativhypothese $H_0:\mu \le \mu_0, H_1:\mu > \mu_0$}

\begin{itemize}
\item[\textcolor{lightgray}{$\bullet$}] \textcolor{lightgray}{Einseitiger Einstichproben-T-Test mit gerichteter Hypothese}
\item[\textcolor{lightgray}{$\bullet$}] \textcolor{lightgray}{Gerichtete Fragestellung nach einem positiven Unterschied}
\end{itemize}

\textcolor{lightgray}{Zusammengesetzte Nullhypothese/Alternativhypothese $H_0:\mu\ge\mu_0,H_1:\mu<\mu_0$}

\begin{itemize}
\item[\textcolor{lightgray}{$\bullet$}] \textcolor{lightgray}{Gerichtete Fragestellung nach einem negativen Unterschied}
\item[\textcolor{lightgray}{$\bullet$}] \textcolor{lightgray}{Qualitativ äquivalente Theorie zum umgekehrten Fall}
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Einstichproben-T\(^2\)-Tests}
\protect\hypertarget{einstichproben-t2-tests-6}{}
\setstretch{2}

Gliederung (vgl.
\href{https://bit.ly/32ZUAiy}{\textcolor{red}{(12) Hypothesentests}})

\small

\begin{enumerate}
[(1)]
\tightlist
\item
  Statistisches Modell in klassischer Form
\item
  Statistisches Modell in generativer Form
\item
  Testhypothesen, Teststatistik, Test
\item
  Analyse der Teststatistik
\item
  Analyse der Testgütefunktion
\item
  Testumfangkontrolle
\item
  p-Werte
\item
  Analyse der Powerfunktion
\end{enumerate}

\normalsize

Zur Wiederholung des univariaten Falls, siehe
\href{https://bit.ly/3n0f0zb}{\textcolor{red}{(13) Einstichproben-T-Tests}}.
\end{frame}

\begin{frame}{Einstichproben-T\(^2\)-Tests}
\protect\hypertarget{einstichproben-t2-tests-7}{}
\noindent (1) Statistisches Modell in klassischer Form

\small

\(Y_1,...,Y_n \sim N(\mu,\Sigma)\) sei die Stichproben eines
\(m\)-dimensionalen Normalverteilungsmodells mit unbekanntem
Erwartungswertparameter \(\mu \in \mathbb{R}^m\) und unbekanntem
Kovarianzmatrixparameter
\(\Sigma \in \mathbb{R}^{m \times m} \mbox{ p.d}\). Als Parameter von
Interesse betrachten wir \(\theta = \mu\), so dass sich der
Parameterraum von Interesse zu \(\Theta = \mathbb{R}^m\) ergibt.

\vspace{5mm}
\normalsize

\noindent (2) Statistisches Modell in generativer Form

\small

Es sei \begin{equation}
Y_i = \mu + \varepsilon_i \mbox{ mit } \varepsilon_i \sim N(0_m,\Sigma) \mbox{ für } i = 1,...,n
\end{equation} wobei

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  \(Y_i, i = 1,...,m\) beobachtbare Zufallsvektoren,
\item
  \(\mu \in \mathbb{R}^m\) den festen und identischen
  Erwartungswertparameter über Zufallsvektoren und
\item
  \(\varepsilon_i, i = 1,...,n\) unabhängige normalverteilte nicht
  beobachtbare Zufallsvektoren
\end{itemize}

bezeichnen.
\end{frame}

\begin{frame}{Einstichproben-T\(^2\)-Tests}
\protect\hypertarget{einstichproben-t2-tests-8}{}
\noindent (2) Statistisches Modell in generativer Form (fortgeführt)

\small

Die generative Form betont, dass im vorliegenden Modell beobachtete
Daten durch einen systematischen deterministischen Prozess (hier
\(\mu \in \mathbb{R}^m\)) unter dem additiven Einfluss einer Vielzahl
unabhängiger und deshalb in ihrer Summe normalverteilter Störprozesse
(hier in der Summe \(\varepsilon_i, i = 1,...,n\)) erzeugt konzipiert
werden.

\tiny

\underline{Beweis}

Wir halten zunächst fest, dass wenn \(\xi \sim N(\alpha,S)\) ein
\(m_1\)-dimensionaler normalverteilter Zufallsvektor mit
Erwartungswertparameter \(\alpha \in \mathbb{R}^{m_1}\) und
Kovarianzmatrixparameter
\(S \in \mathbb{R}^{m_1\times m_1} \mbox{ p.d. }\) ist und für
\(A \in \mathbb{R}^{m_2 \times m_1}\) und \(b \in \mathbb{R}^{m_2}\) ein
\(m_2\)-dimensionaler Zufallsvektor definiert ist als \begin{equation}
\zeta := A\xi + b,
\end{equation} dann gilt, dass \begin{equation}
\zeta \sim N\left(A\alpha + b, ASA^T\right)
\end{equation} (vgl. Anderson (2003), Section 2.4). Aus
\(\varepsilon \sim N(0_m,\Sigma)\) folgt hier mit \begin{equation}
Y_i = I_m\varepsilon + \mu
\end{equation} dann aber sofort, dass \begin{equation}
Y \sim N\left(I_m0_m + \mu,I_m\Sigma I_m^T \right) = N\left(\mu,\Sigma\right).
\end{equation} \(\hfill \Box\)
\end{frame}

\begin{frame}{Einstichproben-T\(^2\)-Tests}
\protect\hypertarget{einstichproben-t2-tests-9}{}
\noindent (3) Testhypothesen, Teststatistik, Test

\footnotesize

Für ein \(\mu_0 \in \mathbb{R}^m\) betrachten wir die einfache
Nullhypothese und die zusammengesetzte Alternativhypothese
\begin{equation}
H_0 := \mu = \mu_0 \Leftrightarrow \Theta_0 :=  \{\mu_0\}
\mbox{ und }
H_0 := \mu \neq \mu_0 \Leftrightarrow \Theta_1 :=  \mathbb{R}^m \setminus \{\mu_0\}
\end{equation} Weiterhin betrachten wir die
Einstichproben-T\(^2\)-Teststatistik \begin{equation}
T^2 := n(\bar{Y} - \mu_0)^T C^{-1}(\bar{Y} - \mu_0)
\end{equation} wobei \(\bar{Y}\) und \(C\) das Stichprobenmittel und die
Stichprobenkovarianzmatrix der \(Y_1,...,Y_n\), respektive, bezeichnen
(vgl. (3) Wahrscheinlichkeitstheorie).

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  \(T^2\) ist die mit dem Stichprobenumfang skalierte Mahalanobis
  Distanz von \(\bar{Y}\) und \(\mu_0\) hinsichtlich \(C\).
\item
  \(T^2 \uparrow\) für \(||\bar{Y} - \mu_0|| \uparrow\),
  \(C \downarrow\) und \(n\uparrow\).
\end{itemize}

Schließlich definieren wir den kritischen Wert-basierten Test
\begin{equation}
\phi(Y) := 1_{\{T^2 > k\}} := \begin{cases} 1 & T^2  > k \\ 0 & T^2 \le k \end{cases}.
\end{equation} wobei wie üblich 1 den Vorgang des Ablehnens von \(H_0\)
und 0 den Vorgang des Nichtablehnens von \(H_0\) repräsentieren.
\end{frame}

\begin{frame}{Einstichproben-T\(^2\)-Tests}
\protect\hypertarget{einstichproben-t2-tests-10}{}
\noindent (4) Analyse der Teststatistik

\footnotesize
\begin{theorem}[Verteilung der Einstichproben-T$^2$-Teststatistik]
\justifying
\normalfont
Es seien $Y_1,...,Y_n \sim N(\mu,\Sigma)$ mit $\mu \in \mathbb{R}^m$ und $\Sigma \in \mathbb{R}^{m\times m} \mbox{p.d.}$,
\begin{equation}
\nu:= \frac{n-m}{(n-1)m}
\end{equation}
und für $\mu \in \mathbb{R}^m$ sei die Einstichproben-T$^2$-Teststatistik definiert als
\begin{equation}
T^2 := n(\bar{Y} - \mu_0)^T C^{-1} (\bar{Y} - \mu_0).
\end{equation}
Dann gilt
\begin{equation}\label{eq:nuT2}
\nu T^2 \sim f(\delta, m, n-m)
\end{equation}
wobei $f(\delta,m,n-m)$ die nichtzentrale $f$-Verteilung mit Nichtzentralitätsparameter
\begin{equation}
\delta := n(\mu - \mu_0)^T\Sigma^{-1}(\mu - \mu_0)
\end{equation}
sowie mit Freiheitsgradparametern $m$ und $n-m$ bezeichnet.
\end{theorem}
\footnotesize

Bemerkungen

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Für einen Beweis von \eqref{eq:nuT2} verweisen wir auf Anderson (2003)
  und Hotelling (1931).
\item
  Für \(\mu = \mu_0\) und damit \(\delta = 0\) entspricht
  \(f(m,n-m,\delta)\) der \(f\)-Verteilung \(f(m,n-m)\)
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Einstichproben-T\(^2\)-Tests}
\protect\hypertarget{einstichproben-t2-tests-11}{}
\footnotesize
\begin{theorem}[WDF und KVF der Einstichproben-$T^2$-Teststatistik]
\normalfont
\justifying
Im  Einstichproben-$T^2$-Testszenario sei
\begin{equation}
\nu:= \frac{n-m}{(n-1)m}
\end{equation}
Dann ist eine WDF der Einstichproben-$T^2$-Teststatistik gegeben durch
\begin{equation}\label{eq:pT1}
p_{T^2} : \mathbb{R}_{\ge 0} \to \mathbb{R},
t^2 \mapsto p_{T^2}(t^2) := \nu f(\nu t^2;\delta, m,n-m)
\end{equation}
und eine WDF der Einstichproben-$T^2$-Teststatistik ist gegeben durch
\begin{equation}\label{eq:PT2}
P_{T^2} : \mathbb{R}_{\ge 0} \to [0,1],
t^2 \mapsto P_{T^2}(t^2) := F(\nu t^2;\delta, m,n-m)
\end{equation}
\end{theorem}

Bemerkungen

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  \(\nu T^2\) hat die WDF \(f(\delta,m,n-m)\), \(T^2\) dagegen hat die
  WDF \(\nu f(\nu t^2;\delta, m,n-m)\).
\item
  Für \(m := 1\) ist \(\nu = (n-1)/(n-1)\cdot 1 = 1\) und mit der
  Stichprobenvarianz \(S^2\) gilt \begin{equation}
  T^2 = n\frac{(\bar{Y} - \mu_0)^2}{S^2} = \left(\sqrt{n}\frac{\bar{Y} - \mu_0}{S} \right)^2
  \end{equation}
\item
  Das Quadrat der univariate Einstichproben-T-Teststatistik
  \(T := \sqrt{n}\frac{\bar{Y}-\mu_0}{S}\) ist also \(f(\delta,1,n-1)\)
  verteilt.
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Einstichproben-T\(^2\)-Tests}
\protect\hypertarget{einstichproben-t2-tests-12}{}
\footnotesize

\underline{Beweis}

Wir halten zunächst fest, dass das Theorem zur univariate WDF
Transformation bei linear-affinen Abbildungen (vgl.
\href{https://bit.ly/3zmkSYJ}{(7) Transformationen der
Normalverteilung}) besagt, dass für eine Zufallsvariable \(X\) mit WDF
\(p_X\) und der Definition \(Y = f(X)\) mit \(f(X) := aX + b\) für
\(a\neq 0\) eine WDF von \(Y\) definiert ist
\(p_Y(y) := (1/|a|)p_X((y-b)/a)\). Im vorliegenden Fall ist
\(X = \nu T^2\) mit WDF \(f(\delta,m,n-m)\) und
\(Y := T^2 = \frac{1}{\nu}\nu T^2\), also \(a = 1/\nu\) und \(b = 0\).
Mit \(\nu > 0\) ergibt sich \eqref{eq:pT1} also aus \begin{equation}
p_{T^2}(t^2) = \frac{1}{a}p_X\left(\frac{t^2}{a}\right) = \nu f(\nu t^2; m, n-m)
\end{equation} \eqref{eq:PT2} folgt dann mit der Tatsache, dass WDFen
bei kontinuierlichen Zufallsvariablen die Ableitungen der entsprechenden
KVF sind, sowie der Kettenregel der Differentiation \begin{align}
\begin{split}
\frac{d}{dt^2}P_{T^2}\left(t^2\right)
& = \frac{d}{dt^2}\left(F(\nu t^2;m,n-m,\delta)\right) \\
& = \frac{d}{dt^2}F(\nu t^2;m,n-m,\delta)\frac{d}{dt^2}\left(\nu t^2 \right) \\
& = \nu f(\nu t^2;m,n-m,\delta) \\
& = p_{T^2}(t^2)
\end{split}
\end{align} \(\hfill\Box\)
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]{Einstichproben-T\(^2\)-Tests}
\protect\hypertarget{einstichproben-t2-tests-13}{}
\noindent (4) Analyse der Teststatistik \vspace{3mm}

\tiny
\setstretch{1}

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\CommentTok{\# Modellparameter}
\NormalTok{m     }\OtherTok{=} \DecValTok{2}                                                     \CommentTok{\# Dimensionalität der Zufallsvektoren/Daten}
\NormalTok{n     }\OtherTok{=} \DecValTok{15}                                                    \CommentTok{\# Anzahl der Datenpunkte}
\NormalTok{mu\_0  }\OtherTok{=} \FunctionTok{matrix}\NormalTok{(}\FunctionTok{c}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\NormalTok{,}\DecValTok{1}\NormalTok{) , }\AttributeTok{nrow =} \DecValTok{2}\NormalTok{)                             }\CommentTok{\# H0 Hypothesenparameter}
\NormalTok{mu    }\OtherTok{=} \FunctionTok{matrix}\NormalTok{(}\FunctionTok{c}\NormalTok{(}\DecValTok{2}\NormalTok{,}\DecValTok{2}\NormalTok{) , }\AttributeTok{nrow =} \DecValTok{2}\NormalTok{)                             }\CommentTok{\# wahrer, aber unbekannter, Erwartungswertparameter}
\NormalTok{Sigma }\OtherTok{=} \FunctionTok{matrix}\NormalTok{(}\FunctionTok{c}\NormalTok{(}\FloatTok{0.5}\NormalTok{,}\FloatTok{0.3}\NormalTok{, }\FloatTok{0.3}\NormalTok{,}\FloatTok{0.5}\NormalTok{), }\AttributeTok{nrow =} \DecValTok{2}\NormalTok{, }\AttributeTok{byrow =} \ConstantTok{TRUE}\NormalTok{)   }\CommentTok{\# wahrer, aber unbekannter, Kovarianzmatrixparameter}

\CommentTok{\# Simulation}
\FunctionTok{library}\NormalTok{(MASS)                                                 }\CommentTok{\# R Paket für multivariate Normalverteilungen}
\FunctionTok{library}\NormalTok{(matlib)                                               }\CommentTok{\# R Paket für Matrizenrechnung}
\NormalTok{nsim  }\OtherTok{=} \FloatTok{1e4}                                                   \CommentTok{\# Anzahl Simulationen/Datensatzrealisierungen}
\NormalTok{Yb    }\OtherTok{=} \FunctionTok{matrix}\NormalTok{(}\FunctionTok{rep}\NormalTok{(}\ConstantTok{NaN}\NormalTok{,m}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{nsim), }\AttributeTok{nrow =} \DecValTok{2}\NormalTok{)                     }\CommentTok{\# Stichprobenmittelarray}
\NormalTok{T2    }\OtherTok{=} \FunctionTok{rep}\NormalTok{(}\ConstantTok{NaN}\NormalTok{,nsim)                                         }\CommentTok{\# T2 Statistik Array}
\NormalTok{j\_n   }\OtherTok{=} \FunctionTok{matrix}\NormalTok{(}\FunctionTok{rep}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\NormalTok{,n), }\AttributeTok{nrow =}\NormalTok{ n)                            }\CommentTok{\# 1\_n}
\NormalTok{I\_n   }\OtherTok{=} \FunctionTok{diag}\NormalTok{(n)                                               }\CommentTok{\# I\_n}
\NormalTok{J\_n   }\OtherTok{=} \FunctionTok{matrix}\NormalTok{(}\FunctionTok{rep}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\NormalTok{,n}\SpecialCharTok{\^{}}\DecValTok{2}\NormalTok{), }\AttributeTok{nrow =}\NormalTok{ n)                          }\CommentTok{\# 1\_\{nn\}}
\ControlFlowTok{for}\NormalTok{(s }\ControlFlowTok{in} \DecValTok{1}\SpecialCharTok{:}\NormalTok{nsim)\{                                             }\CommentTok{\# Simulationsiterationen}
\NormalTok{    Y      }\OtherTok{=} \FunctionTok{t}\NormalTok{(}\FunctionTok{mvrnorm}\NormalTok{(n,mu,Sigma))                           }\CommentTok{\# Y\_i \textbackslash{}sim N(\textbackslash{}mu,\textbackslash{}Sigma), i = 1,...,n}
\NormalTok{    Y\_bar  }\OtherTok{=}\NormalTok{ (}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{n)}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{(Y }\SpecialCharTok{\%*\%}\NormalTok{ j\_n)                                }\CommentTok{\# Stichprobenmittel}
\NormalTok{    C      }\OtherTok{=}\NormalTok{ (}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{(n}\DecValTok{{-}1}\NormalTok{))}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{(Y }\SpecialCharTok{\%*\%}\NormalTok{ (I\_n}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{n)}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{J\_n) }\SpecialCharTok{\%*\%} \FunctionTok{t}\NormalTok{(Y))       }\CommentTok{\# Stichprobenkovarianzmatrix}
\NormalTok{    T2[s]  }\OtherTok{=}\NormalTok{ n}\SpecialCharTok{*}\FunctionTok{t}\NormalTok{(Y\_bar }\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{ mu\_0) }\SpecialCharTok{\%*\%} \FunctionTok{inv}\NormalTok{(C) }\SpecialCharTok{\%*\%}\NormalTok{ (Y\_bar }\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{ mu\_0)  }\CommentTok{\# T2 Statistik}
\NormalTok{    Yb[,s] }\OtherTok{=}\NormalTok{ Y\_bar                                            }\CommentTok{\# Stichprobenmittel für Visualisierung}
\NormalTok{\}}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}
\end{frame}

\begin{frame}{Einstichproben-T\(^2\)-Tests}
\protect\hypertarget{einstichproben-t2-tests-14}{}
\vspace{1mm}

\noindent (4) Analyse der Teststatistik \vspace{1mm}

\begin{center}\includegraphics[width=0.6\linewidth]{10_Abbildungen/mvda_10_einstichproben_t2_teststatistik} \end{center}
\end{frame}

\begin{frame}{Einstichproben-T\(^2\)-Tests}
\protect\hypertarget{einstichproben-t2-tests-15}{}
\noindent (5) Analyse der Testgütefunktion

\footnotesize
\begin{theorem}[Testgütefunktion]
\justifying
\normalfont
$\phi$ sei der im obigen Testszenario definiert Test. Dann ist die Testgütefunktion
von $\phi$ gegeben durch
\begin{equation}
q_\phi : \mathbb{R}^m \to [0,1], \mu \mapsto q_\phi(\mu) := 1 - F(\nu k;\delta_\mu,m,n-m)
\end{equation}
wobei $F(\cdot;\delta_\mu, m,n-m)$ die KVF der nichtzentralen $f$-Verteilung mit
Freiheitsgradparametern$m$ und $n-m$ sowie mit Nichtzentralitätsparameter
\begin{equation}
\delta_\mu := n(\mu - \mu_0)^T\Sigma^{-1}(\mu - \mu_0)
\end{equation}
bezeichnet.
\end{theorem}

Bemerkungen

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  \(q_\phi\) kann zur Bestimmung kritischer Werte für einen erwünschten
  Testumfang genutzt werden.
\item
  \(q_\phi\) kann zur Bestimmung der Testpower genutzt werden.
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Einstichproben-T\(^2\)-Tests}
\protect\hypertarget{einstichproben-t2-tests-16}{}
\noindent \noindent (5) Analyse der Testgütefunktion

\footnotesize

\underline{Beweis}

Die Testgütefunktion des betrachteten Tests im vorliegenden Testszenario
ist definiert als \begin{equation}
q_\phi : \mathbb{R}^m \to [0,1], \mu \mapsto q_\phi(\mu) := \mathbb{P}_{\mu}(\phi = 1)
\end{equation} Da die Wahrscheinlichkeiten für \(\phi = 1\) und dafür,
dass die zugehörige Teststatistik im Ablehnungsbereich des Tests liegt,
gleich sind, benötigen wir also zunächst die Verteilung der
Teststatistik. Wir haben oben aber bereits gesehen, dass
\begin{equation}
\frac{n-m}{m(n-1)}T^2 \sim f(m,n-m,\delta_\mu) \mbox{ mit } \delta_\mu := n(\mu -\mu_0)^T\Sigma^{-1}(\mu-\mu_0)
\end{equation} gilt. Der Ablehnungsbereich des betrachteten Tests ist
\(A := ]k,\infty[\). Also ergibt sich \begin{align}
\begin{split}
q_\phi(\mu)
&  = \mathbb{P}_\mu(\phi = 1) \\
&  = \mathbb{P}_\mu\left(T^2 \in \,\,]k,\infty[\right) \\
&  = \mathbb{P}_\mu\left(T^2 > k \right) \\
&  = 1 - \mathbb{P}_\mu\left(T^2 \le k \right) \\
&  = 1 - F(\nu k; \delta_\mu,m, m-n)
\end{split}
\end{align}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]{Einstichproben-T\(^2\)-Tests}
\protect\hypertarget{einstichproben-t2-tests-17}{}
\noindent (5) Analyse der Testgütefunktion

\small

Beispiele \footnotesize \begin{equation*}
m := 2,
n := 15,
\Sigma := \begin{pmatrix} 1 & 0  \\ 0 & 1 \end{pmatrix},
\mu_0 := \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}
\end{equation*} \vspace{1mm}

\tiny
\setstretch{1}

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\CommentTok{\# Modellparameter}
\FunctionTok{library}\NormalTok{(matlib)                                                       }\CommentTok{\# R Paket}
\NormalTok{m           }\OtherTok{=} \DecValTok{2}                                                       \CommentTok{\# m}
\NormalTok{n           }\OtherTok{=} \DecValTok{15}                                                      \CommentTok{\# n}
\NormalTok{nu          }\OtherTok{=}\NormalTok{ (n}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{m)}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{((n}\DecValTok{{-}1}\NormalTok{)}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{m)                                         }\CommentTok{\# \textbackslash{}nu}
\NormalTok{Sigma       }\OtherTok{=} \FunctionTok{diag}\NormalTok{(m)                                                 }\CommentTok{\# \textbackslash{}Sigma = I\_2}
\NormalTok{iSigma      }\OtherTok{=} \FunctionTok{inv}\NormalTok{(Sigma)                                              }\CommentTok{\# \textbackslash{}Sigma\^{}\{{-}1\}}

\CommentTok{\# Testparameter}
\NormalTok{mu\_0        }\OtherTok{=} \FunctionTok{matrix}\NormalTok{(}\FunctionTok{c}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\NormalTok{,}\DecValTok{1}\NormalTok{), }\AttributeTok{nrow =} \DecValTok{2}\NormalTok{)                                }\CommentTok{\# \textbackslash{}mu\_0}
\NormalTok{k\_all       }\OtherTok{=} \FunctionTok{c}\NormalTok{(}\DecValTok{2}\NormalTok{,}\DecValTok{4}\NormalTok{,}\DecValTok{6}\NormalTok{)                                                }\CommentTok{\# k \textless{}{-}\textgreater{} \textbackslash{}phi}
\NormalTok{n\_k         }\OtherTok{=} \FunctionTok{length}\NormalTok{(k\_all)                                           }\CommentTok{\# Anzahl k Werte/Tests}

\CommentTok{\# q\_\textbackslash{}phi(\textbackslash{}mu) Evaluation}
\NormalTok{mu\_min      }\OtherTok{=} \DecValTok{0}                                                       \CommentTok{\# \textbackslash{}mu\_i Minimum}
\NormalTok{mu\_max      }\OtherTok{=} \DecValTok{2}                                                       \CommentTok{\# \textbackslash{}mu\_i Maximum}
\NormalTok{mu\_res      }\OtherTok{=} \FloatTok{1e3}                                                     \CommentTok{\# \textbackslash{}mu\_i Auflösung}
\NormalTok{mu\_i        }\OtherTok{=} \FunctionTok{seq}\NormalTok{(mu\_min,mu\_max,}\AttributeTok{len =}\NormalTok{ mu\_res)                         }\CommentTok{\# mu\_i}
\NormalTok{q\_phi       }\OtherTok{=} \FunctionTok{array}\NormalTok{(}\AttributeTok{dim =} \FunctionTok{c}\NormalTok{(mu\_res, mu\_res, }\FunctionTok{length}\NormalTok{(k\_all)))           }\CommentTok{\# q\_\textbackslash{}phi Array}
\ControlFlowTok{for}\NormalTok{(k }\ControlFlowTok{in} \DecValTok{1}\SpecialCharTok{:}\NormalTok{n\_k)\{}
    \ControlFlowTok{for}\NormalTok{(i }\ControlFlowTok{in} \DecValTok{1}\SpecialCharTok{:}\NormalTok{mu\_res)\{}
        \ControlFlowTok{for}\NormalTok{(j }\ControlFlowTok{in} \DecValTok{1}\SpecialCharTok{:}\NormalTok{mu\_res)\{}
\NormalTok{            mu           }\OtherTok{=} \FunctionTok{matrix}\NormalTok{(}\FunctionTok{c}\NormalTok{(mu\_i[i],mu\_i[j]), }\AttributeTok{nrow =} \DecValTok{2}\NormalTok{)       }\CommentTok{\# \textbackslash{}mu}
\NormalTok{            delta\_mu     }\OtherTok{=}\NormalTok{ n}\SpecialCharTok{*}\FunctionTok{t}\NormalTok{(mu }\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{ mu\_0) }\SpecialCharTok{\%*\%}\NormalTok{ iSigma }\SpecialCharTok{\%*\%}\NormalTok{ (mu }\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{mu\_0)   }\CommentTok{\# \textbackslash{}delta\_\textbackslash{}mu}
\NormalTok{            q\_phi[i,j,k] }\OtherTok{=} \DecValTok{1} \SpecialCharTok{{-}} \FunctionTok{pf}\NormalTok{(nu}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{k\_all[k], m, n}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{m, delta\_mu)\}\}\}   }\CommentTok{\# q\_\textbackslash{}phi(\textbackslash{}mu)}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}
\end{frame}

\begin{frame}{Einstichproben-T\(^2\)-Tests}
\protect\hypertarget{einstichproben-t2-tests-18}{}
\noindent (5) Analyse der Testgütefunktion

\small

Beispiele \footnotesize \begin{equation*}
m := 2,
n := 15,
\Sigma := \begin{pmatrix} 1.0 & 0.0  \\ 0.0 & 1.0 \end{pmatrix},
\mu_0  := \begin{pmatrix} 1.0 \\ 1.0 \end{pmatrix}
\end{equation*} \vspace{2mm}

\begin{center}\includegraphics[width=1\linewidth]{10_Abbildungen/mvda_10_einstichproben_t2_gütefunktion_1} \end{center}
\end{frame}

\begin{frame}{Einstichproben-T\(^2\)-Tests}
\protect\hypertarget{einstichproben-t2-tests-19}{}
\noindent (5) Analyse der Testgütefunktion

\small

Beispiele

\footnotesize

\begin{equation*}
m := 2,
n := 15,
\Sigma := \begin{pmatrix} 1.0 & 0.9  \\ 0.9 & 1.0 \end{pmatrix},
\mu_0  := \begin{pmatrix} 1.0 \\ 1.0 \end{pmatrix} 
\end{equation*} \vspace{1mm}

\begin{center}\includegraphics[width=1\linewidth]{10_Abbildungen/mvda_10_einstichproben_t2_gütefunktion_2} \end{center}
\end{frame}

\begin{frame}{Einstichproben-T\(^2\)-Tests}
\protect\hypertarget{einstichproben-t2-tests-20}{}
\noindent (6) Testumfangkontrolle

\footnotesize
\begin{theorem}[Testumfangkontrolle]
\justifying
\normalfont
$\phi$ sei der im obigen Testszenario definierte Test. Dann ist $\phi$ ein
Level-$\alpha_0$-Test mit Testumfang $\alpha_0$, wenn der kritische Wert definiert
ist durch
\begin{equation}
k_{\alpha_0} := \nu^{-1}F^{-1}\left(1-\alpha_0; m, n-m \right)
\end{equation}
wobei $\nu := (n-m)/((n-1)m)$ und $F^{-1}(\cdot;m,n-m)$ die inverse KVF der
$f$-Verteilung mit Freiheitsgradparametern $m$ und $n-m$ ist.
\end{theorem}
\end{frame}

\begin{frame}{Einstichproben-T\(^2\)-Tests}
\protect\hypertarget{einstichproben-t2-tests-21}{}
\footnotesize

\underline{Beweis}

Damit der betrachtete Test ein Level-\(\alpha_0\)-Test ist, muss
bekanntlich \(q_\phi(\mu)\le \alpha_0\) für alle \(\mu \in \{\mu_0\}\),
also hier \(q_\phi(\mu_0)\le \alpha_0\) gelten. Weiterhin ist der
Testumfang des betrachteten Tests durch
\(\alpha = \max_{\mu \in \{\mu_0\}} q_\phi(\mu)\), also hier durch
\(\alpha = q_\phi(\mu_0)\) gegeben. Wir müssen also zeigen, dass die
Wahl von \(k_{\alpha_0}\) garantiert, dass \(\phi\) ein
Level-\(\alpha_0\)-Test mit Testumfang \(\alpha_0\) ist. Dazu merken
wird zunächst an, dass für \(\mu = \mu_0\) gilt, dass \begin{equation}
q_\phi(\mu_0) = 1 - F(\nu k;m,n-m,\delta_{\mu_0}) = 1 - F(\nu k;m,n-m, 0)  = 1 - F(\nu k;m,n-m)
\end{equation} wobei\(F(\nu k; \delta, m, n-m)\) und \(F(\nu k;m,n-m)\)
die KVF der nichtzentralen \(f\)-Verteilung mit
Nichtzentralitätsparameter \(\delta\) und Freiheitsgradparametern \(m\)
und \(n-m\) sowie der \(f\)-Verteilung mit Freiheitsgradparametern \(m\)
und \(n-m\), respektive, bezeichnen. Sei nun also \(k := k_{\alpha_0}\).
Dann gilt \begin{align}
\begin{split}
q_\phi(\mu_0)
& = 1 - F(\nu k_{\alpha_0};m,n-m) \\
& = 1 - F\left(\nu \nu^{-1}F^{-1}\left(1-\alpha_0; m, n-m \right);m,n-m\right) \\
& = 1 - F\left(F^{-1}\left(1-\alpha_0; m, n-m \right);m,n-m\right) \\
& = 1 - (1 - \alpha_0)  = \alpha_0
\end{split}
\end{align} Es folgt also direkt, dass bei der Wahl von
\(k = k_{\alpha_0}, q_\phi(\mu_0) \le \alpha_0\) ist der betrachtete
Test somit ein Level-\(\alpha_0\)-Test ist. Weiterhin folgt direkt, dass
der Testumfang des betrachteten Tests bei der Wahl von
\(k = k_{\alpha_0}\) gleich \(\alpha_0\) ist.
\end{frame}

\begin{frame}{Einstichproben-T\(^2\)-Tests}
\protect\hypertarget{einstichproben-t2-tests-22}{}
\noindent (6) Testumfangkontrolle

\vfill
\center
\small

Wahl von
\(k_{\alpha_0} := \nu^{-1}F^{-1}\left(1-\alpha_0; m, n-m \right)\) mit
\(m = 2, n = 15\) und \(\alpha_0 := 0.05\) \vspace{5mm}

\begin{center}\includegraphics[width=0.9\linewidth]{10_Abbildungen/mvda_10_einstichproben_t2_testumfangkontrolle} \end{center}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]{Einstichproben-T\(^2\)-Tests}
\protect\hypertarget{einstichproben-t2-tests-23}{}
\noindent (6) Testumfangkontrolle \vspace{1mm}

\tiny
\setstretch{.9}

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\CommentTok{\# Modellparameter}
\NormalTok{m         }\OtherTok{=} \DecValTok{2}                                                    \CommentTok{\# Dimensionalität der Zufallsvektoren/Daten}
\NormalTok{n         }\OtherTok{=} \DecValTok{15}                                                   \CommentTok{\# Anzahl der Datenpunkte}
\NormalTok{nu        }\OtherTok{=}\NormalTok{ (n}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{m)}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{(m}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{(n}\DecValTok{{-}1}\NormalTok{))                                      }\CommentTok{\# Parameter}
\NormalTok{mu\_0      }\OtherTok{=} \FunctionTok{matrix}\NormalTok{(}\FunctionTok{c}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\NormalTok{,}\DecValTok{1}\NormalTok{) , }\AttributeTok{nrow =} \DecValTok{2}\NormalTok{)                            }\CommentTok{\# H0 Hypothesenparameter}
\NormalTok{mu        }\OtherTok{=}\NormalTok{ mu\_0                                                 }\CommentTok{\# w.a.u. Erwartungswertparameter bei Zutreffen von H0}
\NormalTok{Sigma     }\OtherTok{=} \FunctionTok{matrix}\NormalTok{(}\FunctionTok{c}\NormalTok{(}\FloatTok{0.5}\NormalTok{,}\FloatTok{0.3}\NormalTok{, }\FloatTok{0.3}\NormalTok{,}\FloatTok{0.5}\NormalTok{), }\AttributeTok{nrow =} \DecValTok{2}\NormalTok{, }\AttributeTok{byrow =} \ConstantTok{TRUE}\NormalTok{)  }\CommentTok{\# wahrer, aber unbekannter, Kovarianzmatrixparameter}

\CommentTok{\# Testparameter}
\NormalTok{alpha\_0   }\OtherTok{=} \FloatTok{0.05}                                                 \CommentTok{\# Signifikanzlevel}
\NormalTok{k\_alpha\_0 }\OtherTok{=}\NormalTok{ (}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{nu)}\SpecialCharTok{*}\FunctionTok{qf}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{alpha\_0, m,n}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{m)                          }\CommentTok{\# kritischer Wert}

\CommentTok{\# Simulation der Testumfangkontrolle}
\FunctionTok{library}\NormalTok{(MASS)                                                    }\CommentTok{\# R Paket für multivariate Normalverteilungen}
\FunctionTok{library}\NormalTok{(matlib)                                                  }\CommentTok{\# R Paket für Matrizenrechnung}
\NormalTok{nsim  }\OtherTok{=} \FloatTok{1e5}                                                      \CommentTok{\# Testentscheidungsarray}
\NormalTok{phi   }\OtherTok{=} \FunctionTok{rep}\NormalTok{(}\ConstantTok{NaN}\NormalTok{,nsim)                                            }\CommentTok{\# Testentscheidungsarray}
\NormalTok{j\_n   }\OtherTok{=} \FunctionTok{matrix}\NormalTok{(}\FunctionTok{rep}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\NormalTok{,n), }\AttributeTok{nrow =}\NormalTok{ n)                               }\CommentTok{\# 1\_n}
\NormalTok{I\_n   }\OtherTok{=} \FunctionTok{diag}\NormalTok{(n)                                                  }\CommentTok{\# I\_n}
\NormalTok{J\_n   }\OtherTok{=} \FunctionTok{matrix}\NormalTok{(}\FunctionTok{rep}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\NormalTok{,n}\SpecialCharTok{\^{}}\DecValTok{2}\NormalTok{), }\AttributeTok{nrow =}\NormalTok{ n)                             }\CommentTok{\# 1\_\{nn\}}
\ControlFlowTok{for}\NormalTok{(s }\ControlFlowTok{in} \DecValTok{1}\SpecialCharTok{:}\NormalTok{nsim)\{                                                }\CommentTok{\# Simulationsiterationen}
\NormalTok{    Y      }\OtherTok{=} \FunctionTok{t}\NormalTok{(}\FunctionTok{mvrnorm}\NormalTok{(n,mu,Sigma))                              }\CommentTok{\# Y\_i \textbackslash{}sim N(\textbackslash{}mu,\textbackslash{}Sigma), i = 1,...,n}
\NormalTok{    Y\_bar  }\OtherTok{=}\NormalTok{ (}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{n)}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{(Y }\SpecialCharTok{\%*\%}\NormalTok{ j\_n)                                   }\CommentTok{\# Stichprobenmittel}
\NormalTok{    C      }\OtherTok{=}\NormalTok{ (}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{(n}\DecValTok{{-}1}\NormalTok{))}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{(Y }\SpecialCharTok{\%*\%}\NormalTok{ (I\_n}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{n)}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{J\_n) }\SpecialCharTok{\%*\%} \FunctionTok{t}\NormalTok{(Y))          }\CommentTok{\# Stichprobenkovarianzmatrix}
\NormalTok{    T2     }\OtherTok{=}\NormalTok{ n}\SpecialCharTok{*}\FunctionTok{t}\NormalTok{(Y\_bar }\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{ mu\_0) }\SpecialCharTok{\%*\%} \FunctionTok{inv}\NormalTok{(C) }\SpecialCharTok{\%*\%}\NormalTok{ (Y\_bar }\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{ mu\_0)     }\CommentTok{\# T\^{}2 Statistik}
    \ControlFlowTok{if}\NormalTok{(T2 }\SpecialCharTok{\textgreater{}}\NormalTok{ k\_alpha\_0)\{                                         }\CommentTok{\# Test 1\_\{T\^{}2 \textgreater{}= k\_alpha\_0\}}
\NormalTok{        phi[s] }\OtherTok{=} \DecValTok{1}                                               \CommentTok{\# Ablehnen von H\_0}
\NormalTok{    \} }\ControlFlowTok{else}\NormalTok{ \{}
\NormalTok{        phi[s] }\OtherTok{=} \DecValTok{0}                                               \CommentTok{\# Nicht Ablehnen von H\_0}
\NormalTok{    \}}
\NormalTok{\}}
\FunctionTok{cat}\NormalTok{(}\StringTok{"}\SpecialCharTok{\textbackslash{}n}\StringTok{Kritischer Wert              = "}\NormalTok{, k\_alpha\_0,}
    \StringTok{"}\SpecialCharTok{\textbackslash{}n}\StringTok{Geschätzter Testumfang alpha = "}\NormalTok{, }\FunctionTok{mean}\NormalTok{(phi))              }\CommentTok{\# Ausgabe}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}

\begin{verbatim}

Kritischer Wert              =  8.2 
Geschätzter Testumfang alpha =  0.0494
\end{verbatim}
\end{frame}

\begin{frame}{Einstichproben-T\(^2\)-Tests}
\protect\hypertarget{einstichproben-t2-tests-24}{}
\noindent (6) Testumfangkontrolle

\small

Praktisches Vorgehen

\begin{itemize}
\item
  \justifying Man nimmt an, dass ein vorliegender Datensatz
  \(y_1,...,y_n\) eine Realisation von
  \(Y_1,...,Y_n \sim N(\mu,\Sigma)\) mit unbekannten Parametern
  \(\mu \in \mathbb{R}^m\) und
  \(\Sigma \in \mathbb{R}^{m \times m} \mbox{p.d.}\) ist.
\item
  Man möchte entscheiden ob für ein \(\mu_0 \in \mathbb{R}^m\) eher
  \(H_0 : \mu = \mu_0\) oder \(H_1: \mu \neq \mu_0\) zutrifft.
\item
  Man wählt ein Signifikanzlevel \(\alpha_0\) und bestimmt den
  zugehörigen Freiheitsgradparameter-abhängigen kritischen Wert
  \(k_{\alpha_0}\). Zum Beispiel gilt bei Wahl von
  \(\alpha_0 := 0.05, m = 2\) und \(n=15\), also Freiheitsgradparametern
  \(2\) und \(13\), dass
  \(k_{0.05}=\nu^{-1}F^{-1}(1 - 0.05;2,13) \approx 8.2\).
\item
  Anhand von \(m,n, \mu_0, \bar{Y}\) und \(C\) berechnet man die
  Realisierung der Einstichproben-T\(^2\)-Teststatistik \begin{equation}
  T^2 := n(\bar{Y} - \mu_0)^T C^{-1}(\bar{Y} - \mu_0)
  \end{equation}
\item
  Wenn \(T^2\) größer als \(k_{\alpha_0}\) ist, lehnt man die
  Nullhypothese ab, andernfalls nicht.
\item
  Die oben entwickelte Theorie garantiert dann, dass man in höchstens
  \(\alpha_0 \cdot 100\) von \(100\) Fällen die Nullhypothese
  fälschlicherweise ablehnt.
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Einstichproben-T\(^2\)-Tests}
\protect\hypertarget{einstichproben-t2-tests-25}{}
\noindent (7) p-Werte

\small

Bestimmung des p-Wertes

\begin{itemize}
\item
  \justifying Per Definition ist der p-Wert das kleinste
  Signifikanzlevel \(\alpha_0\), bei welchem man die Nullhypothese
  basierend auf einem vorliegenden Wert der Teststatistik ablehnen
  würde.
\item
  Bei \(T^2 = t^2\) würde \(H_0\) für jedes \(\alpha_0\) mit
  \(t^2 \ge \nu^{-1}F^{-1}(1-\alpha_0;m,n-m)\) abgelehnt werden. Für
  diese \(\alpha_0\) gilt, wie unten gezeigt \begin{equation}
  \alpha_0 \ge \mathbb{P}\left(T^2 \ge t^2\right)
  \end{equation}
\item
  Das kleinste \(\alpha_0 \in [0,1]\) mit
  \(\alpha_0 \ge \mathbb{P}\left(T^2 \ge t^2\right)\) ist dann
  \(\alpha_0 = \mathbb{P}(T^2 \ge t^2)\), also folgt \begin{equation}
  \mbox{ p-Wert } = \mathbb{P}\left(T^2 \ge t^2\right) = 1 - F(\nu t^2;m,n-m)
  \end{equation}
\item
  Zum Beispiel ergibt sich bei
\end{itemize}

\footnotesize

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  \(m = 2\) und \(n=15\) der p-Wert für \(t^2 = 7.00\) zu 0.071
\item
  \(m = 2\) und \(n=15\) der p-Wert für \(t^2 = 9.00\) zu 0.040
\item
  \(m = 2\) und \(n=99\) der p-Wert für \(t^2 = 7.00\) zu 0.035
\item
  \(m = 4\) und \(n=15\) der p-Wert für \(t^2 = 7.00\) zu 0.304
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Einstichproben-T\(^2\)-Tests}
\protect\hypertarget{einstichproben-t2-tests-26}{}
\noindent (7) p-Werte

\small

Bestimmung des p-Wertes

\footnotesize

\begin{itemize}
\item
  Es bleibt zu zeigen, dass gilt \begin{align}
  \begin{split}
  t^2 \ & \ge \nu^{-1}F^{-1}(1-\alpha_0;m,n-m) \\
  \Leftrightarrow
  \nu t^2 & \ge F^{-1}(1-\alpha_0;m,n-m) \\
  \Leftrightarrow
  \alpha_0 & \ge \mathbb{P}\left(T^2 \ge t^2\right)
  \end{split}
  \end{align}
\item
  Dies aber folgt aus \begin{align}
  \begin{split}
  t^2
  & \ge \nu^{-1}F^{-1}(1-\alpha_0;m,n-m) \\
  \nu t^2
  & \ge F^{-1}(1-\alpha_0;m,n-m) \\
  F(\nu t^2; m,n-m)
  & \ge F\left(F^{-1}(1-\alpha_0;m,n-m); m,n - m\right) \\
  F(\nu t^2; m,n-m)
  & \ge 1 -\alpha_0\\
  \mathbb{P}\left(T^2 \le t^2\right)
  & \ge 1-\alpha_0 \\
  \alpha_0
  & \ge 1-\mathbb{P}\left(T^2 \le t^2\right)  \\
  \end{split}
  \end{align}
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]{Einstichproben-T\(^2\)-Tests}
\protect\hypertarget{einstichproben-t2-tests-27}{}
\small

Anwendungsbeispiel

\tiny
\setstretch{1}

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\CommentTok{\# R Pakete}
\FunctionTok{library}\NormalTok{(foreign)                                                }\CommentTok{\# Dateneinlesen}
\FunctionTok{library}\NormalTok{(matlib)                                                 }\CommentTok{\# Matrixalgebra}

\CommentTok{\# Datenpräprozessierung}
\NormalTok{fname     }\OtherTok{=} \FunctionTok{file.path}\NormalTok{(}\FunctionTok{getwd}\NormalTok{(), }\StringTok{"10\_Daten"}\NormalTok{, }\StringTok{"studienerfolg.sav"}\NormalTok{) }\CommentTok{\# Dateinamen}
\NormalTok{D         }\OtherTok{=} \FunctionTok{read.spss}\NormalTok{(fname, }\AttributeTok{to.data.frame =}\NormalTok{ T)                 }\CommentTok{\# Dateneinlesen}
\NormalTok{Y         }\OtherTok{=} \FunctionTok{rbind}\NormalTok{(D}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{X1[D}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{Gruppe }\SpecialCharTok{==} \StringTok{"ungenügend"}\NormalTok{],               }\CommentTok{\# Y\_\{i\_1\} IQ Test Score}
\NormalTok{                  D}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{X2[D}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{Gruppe }\SpecialCharTok{==} \StringTok{"ungenügend"}\NormalTok{])               }\CommentTok{\# Y\_\{i\_2\} Math Test Score}

\CommentTok{\# Testparameter}
\NormalTok{m         }\OtherTok{=} \FunctionTok{nrow}\NormalTok{(Y)                                             }\CommentTok{\# Dimensionalität der Zufallsvektoren/Daten}
\NormalTok{n         }\OtherTok{=} \FunctionTok{ncol}\NormalTok{(Y)                                             }\CommentTok{\# Anzahl der Datenpunkte}
\NormalTok{nu        }\OtherTok{=}\NormalTok{ (n}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{m)}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{(m}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{(n}\DecValTok{{-}1}\NormalTok{))                                     }\CommentTok{\# Parameter}
\NormalTok{mu\_0      }\OtherTok{=} \FunctionTok{matrix}\NormalTok{(}\FunctionTok{c}\NormalTok{(}\DecValTok{60}\NormalTok{,}\DecValTok{60}\NormalTok{) , }\AttributeTok{nrow =} \DecValTok{2}\NormalTok{)                         }\CommentTok{\# H0 Hypothesenparameter ("Normwert")}
\NormalTok{alpha\_0   }\OtherTok{=} \FloatTok{0.05}                                                \CommentTok{\# Signifikanzlevel}
\NormalTok{k\_alpha\_0 }\OtherTok{=}\NormalTok{ (}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{nu)}\SpecialCharTok{*}\FunctionTok{qf}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{alpha\_0,m,n}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{m)                          }\CommentTok{\# kritischer Wert}

\CommentTok{\# Testevaluation}
\NormalTok{j\_n       }\OtherTok{=} \FunctionTok{matrix}\NormalTok{(}\FunctionTok{rep}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\NormalTok{,n), }\AttributeTok{nrow =}\NormalTok{ n)                          }\CommentTok{\# 1\_n}
\NormalTok{I\_n       }\OtherTok{=} \FunctionTok{diag}\NormalTok{(n)                                             }\CommentTok{\# I\_n}
\NormalTok{J\_n       }\OtherTok{=} \FunctionTok{matrix}\NormalTok{(}\FunctionTok{rep}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\NormalTok{,n}\SpecialCharTok{\^{}}\DecValTok{2}\NormalTok{), }\AttributeTok{nrow =}\NormalTok{ n)                        }\CommentTok{\# 1\_\{nn\}}
\NormalTok{Y\_bar     }\OtherTok{=}\NormalTok{ (}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{n)}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{(Y }\SpecialCharTok{\%*\%}\NormalTok{ j\_n)                                   }\CommentTok{\# Stichprobenmittel}
\NormalTok{C         }\OtherTok{=}\NormalTok{ (}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{(n}\DecValTok{{-}1}\NormalTok{))}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{(Y }\SpecialCharTok{\%*\%}\NormalTok{ (I\_n}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{n)}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{J\_n) }\SpecialCharTok{\%*\%} \FunctionTok{t}\NormalTok{(Y))          }\CommentTok{\# Stichprobenkovarianzmatrix}
\NormalTok{T2        }\OtherTok{=}\NormalTok{ n}\SpecialCharTok{*}\FunctionTok{t}\NormalTok{(Y\_bar }\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{ mu\_0) }\SpecialCharTok{\%*\%} \FunctionTok{inv}\NormalTok{(C) }\SpecialCharTok{\%*\%}\NormalTok{ (Y\_bar }\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{ mu\_0)     }\CommentTok{\# T\^{}2 Statistik}
\ControlFlowTok{if}\NormalTok{(T2 }\SpecialCharTok{\textgreater{}}\NormalTok{ k\_alpha\_0)\{                                            }\CommentTok{\# Test 1\_\{T\^{}2 \textgreater{}= k\_alpha\_0\}}
\NormalTok{    phi }\OtherTok{=} \DecValTok{1}                                                     \CommentTok{\# Ablehnen von H\_0}
\NormalTok{\} }\ControlFlowTok{else}\NormalTok{ \{}
\NormalTok{    phi }\OtherTok{=} \DecValTok{0}                                                     \CommentTok{\# Nicht Ablehnen von H\_0}
\NormalTok{\}}
\NormalTok{p         }\OtherTok{=} \DecValTok{1} \SpecialCharTok{{-}} \FunctionTok{pf}\NormalTok{(nu}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{T2,m,n}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{m)                                 }\CommentTok{\# p{-}Wert}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]{Einstichproben-T\(^2\)-Tests}
\protect\hypertarget{einstichproben-t2-tests-28}{}
\small

Anwendungsbeispiel

\vspace{1mm}
\tiny
\setstretch{.9}

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\CommentTok{\# Ausgabe}
\FunctionTok{cat}\NormalTok{(}\StringTok{"Y\_bar   = "}\NormalTok{, Y\_bar,}
    \StringTok{"}\SpecialCharTok{\textbackslash{}n}\StringTok{C       = "}\NormalTok{, C,}
    \StringTok{"}\SpecialCharTok{\textbackslash{}n}\StringTok{T\^{}2     = "}\NormalTok{, T2,}
    \StringTok{"}\SpecialCharTok{\textbackslash{}n}\StringTok{alpha\_0 = "}\NormalTok{, alpha\_0,}
    \StringTok{"}\SpecialCharTok{\textbackslash{}n}\StringTok{k       = "}\NormalTok{, k\_alpha\_0,}
    \StringTok{"}\SpecialCharTok{\textbackslash{}n}\StringTok{phi     = "}\NormalTok{, phi,}
    \StringTok{"}\SpecialCharTok{\textbackslash{}n}\StringTok{p       = "}\NormalTok{, p)}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}

\begin{verbatim}
Y_bar   =  51.9 47.4 
C       =  98.2 -4.11 -4.11 319 
T^2     =  17.8 
alpha_0 =  0.05 
k       =  8.2 
phi     =  1 
p       =  0.00482
\end{verbatim}

\small
\vspace{1mm}

Anwendungsbeispiel mit \texttt{MVTests::OneSampleHT2()} \vspace{1mm}

\tiny
\setstretch{.9}

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\FunctionTok{library}\NormalTok{(MVTests)                                 }\CommentTok{\# R Pakete}
\NormalTok{Y     }\OtherTok{=}\NormalTok{ D[}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{:}\DecValTok{15}\NormalTok{,}\DecValTok{2}\SpecialCharTok{:}\DecValTok{3}\NormalTok{]                              }\CommentTok{\# Dataframe von Interesse}
\NormalTok{phi   }\OtherTok{=} \FunctionTok{OneSampleHT2}\NormalTok{(Y, mu\_0, alpha\_0)           }\CommentTok{\# Einstichproben{-}T\^{}2{-}Test}

\CommentTok{\# Ausgabe}
\FunctionTok{cat}\NormalTok{(}\StringTok{"Y\_bar   = "}\NormalTok{  , phi}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{Descriptive[}\DecValTok{2}\NormalTok{,],}
    \StringTok{"}\SpecialCharTok{\textbackslash{}n}\StringTok{T\^{}2     = "}\NormalTok{, phi}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{HT2,}
    \StringTok{"}\SpecialCharTok{\textbackslash{}n}\StringTok{alpha\_0 = "}\NormalTok{, phi}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{alpha,}
    \StringTok{"}\SpecialCharTok{\textbackslash{}n}\StringTok{k       = "}\NormalTok{ ,phi}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{F,}
    \StringTok{"}\SpecialCharTok{\textbackslash{}n}\StringTok{p       = "}\NormalTok{, phi}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{p.value)}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}

\begin{verbatim}
Y_bar   =  51.9 47.4 
T^2     =  17.8 
alpha_0 =  0.05 
k       =  8.27 
p       =  0.00482
\end{verbatim}
\end{frame}

\begin{frame}{Einstichproben-T\(^2\)-Tests}
\protect\hypertarget{einstichproben-t2-tests-29}{}
\noindent (8) Analyse der Powerfunktion \vfill \justifying

\small

Wir betrachten die Testgütefunktion \begin{equation}
q_\phi : \mathbb{R}^m \to [0,1], \mu \mapsto q_\phi(\mu) := 1 - F(\nu k;\delta_\mu,m,n-m)
\end{equation} bei kontrolliertem Testumfang, also für \begin{equation}
k_{\alpha_0} := \nu^{-1}F^{-1}\left(1-\alpha_0; m, n-m \right)
\end{equation} mit festem \(\alpha_0\) als Funktion des
Nichtzentralitätsparameters und des Stichprobenumfangs. Namentlich hängt
hier \(k_{\alpha_0}\) auch von \(n\) ab.

Es ergibt sich die bivariate reellwertige Funktion \begin{equation}
\pi : \mathbb{R} \times \mathbb{N} \to [0,1],
(\delta_\mu,n) \mapsto
\pi(\delta_\mu,n) :=  1 - F(\nu k_{\alpha_0};\delta_\mu,m,n-m)
\end{equation} Bei festgelegtem \(\alpha_0\) hängt die Powerfunktion des
Einstichproben-T\(^2\)-Tests also vom unbekannten Wert \(\delta_\mu\),
von der Datendimensionalität \(m\) und von der Stichprobengröße \(n\)
ab. Wir evaluieren und visualisieren diese Abhängigkeiten untenstehend.
\vfill
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]{Einstichproben-T\(^2\)-Tests}
\protect\hypertarget{einstichproben-t2-tests-30}{}
\noindent (8) Analyse der Powerfunktion

\vspace{1mm}
\tiny
\setstretch{1}

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\CommentTok{\# Szenariospezifikationen}
\NormalTok{a\_0\_all   }\OtherTok{=} \FunctionTok{c}\NormalTok{(}\FloatTok{0.05}\NormalTok{,}\FloatTok{0.01}\NormalTok{)                                              }\CommentTok{\# \textbackslash{}alpha\_0 raum}
\NormalTok{d\_mu\_min  }\OtherTok{=} \DecValTok{0}                                                         \CommentTok{\# \textbackslash{}delta\_\textbackslash{}mu Minimum}
\NormalTok{d\_mu\_max  }\OtherTok{=} \DecValTok{20}                                                        \CommentTok{\# \textbackslash{}delta\_\textbackslash{}mu Maximum}
\NormalTok{d\_mu\_res  }\OtherTok{=} \DecValTok{30}                                                        \CommentTok{\# \textbackslash{}delta\_\textbackslash{}mu Auflösung}
\NormalTok{d\_mu\_all  }\OtherTok{=} \FunctionTok{seq}\NormalTok{(d\_mu\_min, d\_mu\_max, }\AttributeTok{len =}\NormalTok{ d\_mu\_res)                   }\CommentTok{\# \textbackslash{}delta\_\textbackslash{}mu d Raum}
\NormalTok{n\_min     }\OtherTok{=} \DecValTok{5}                                                         \CommentTok{\# n Minimum}
\NormalTok{n\_max     }\OtherTok{=} \DecValTok{20}                                                        \CommentTok{\# n Maximum}
\NormalTok{n\_res     }\OtherTok{=} \DecValTok{30}                                                        \CommentTok{\# n Auflösung}
\NormalTok{n\_all     }\OtherTok{=} \FunctionTok{seq}\NormalTok{(n\_min,n\_max, }\AttributeTok{len =}\NormalTok{ n\_res)                             }\CommentTok{\# n Raum}
\NormalTok{m\_all     }\OtherTok{=} \FunctionTok{c}\NormalTok{(}\DecValTok{2}\NormalTok{,}\DecValTok{4}\NormalTok{)                                                    }\CommentTok{\# m Raum}

\CommentTok{\# Evaluation der Powerfunktion}
\NormalTok{pi        }\OtherTok{=} \FunctionTok{array}\NormalTok{(}\AttributeTok{dim =} \FunctionTok{c}\NormalTok{(d\_mu\_res, n\_res, }\DecValTok{2}\NormalTok{,}\DecValTok{2}\NormalTok{))                      }\CommentTok{\# Powerfunktionsarray}
\ControlFlowTok{for}\NormalTok{ (a }\ControlFlowTok{in} \DecValTok{1}\SpecialCharTok{:}\FunctionTok{length}\NormalTok{(a\_0\_all))\{}
    \ControlFlowTok{for}\NormalTok{ (l }\ControlFlowTok{in} \DecValTok{1}\SpecialCharTok{:}\FunctionTok{length}\NormalTok{(m\_all))\{                                       }\CommentTok{\# m Iterationen}
        \ControlFlowTok{for}\NormalTok{(i }\ControlFlowTok{in} \DecValTok{1}\SpecialCharTok{:}\FunctionTok{length}\NormalTok{(d\_mu\_all))\{                                 }\CommentTok{\# \textbackslash{}delta\_\textbackslash{}mu Iterationen}
            \ControlFlowTok{for}\NormalTok{(j }\ControlFlowTok{in} \DecValTok{1}\SpecialCharTok{:}\FunctionTok{length}\NormalTok{(n\_all))\{                                }\CommentTok{\# n Iterationen}
\NormalTok{                m           }\OtherTok{=}\NormalTok{ m\_all[l]                                }\CommentTok{\# Datendimensionalität}
\NormalTok{                n           }\OtherTok{=}\NormalTok{ n\_all[j]                                }\CommentTok{\# Stichprobenumfang}
\NormalTok{                d\_mu        }\OtherTok{=}\NormalTok{ d\_mu\_all[i]                             }\CommentTok{\# wahrer, aber unbekannter, Parameter}
\NormalTok{                nu          }\OtherTok{=}\NormalTok{ (n}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{m)}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{(m}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{(n}\DecValTok{{-}1}\NormalTok{))                         }\CommentTok{\# Parameter}
\NormalTok{                alpha\_0     }\OtherTok{=}\NormalTok{ a\_0\_all[a]                              }\CommentTok{\# Signifikanzlevel}
\NormalTok{                k\_alpha\_0   }\OtherTok{=}\NormalTok{ (}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{nu)}\SpecialCharTok{*}\FunctionTok{qf}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{alpha\_0,m,n}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{m)              }\CommentTok{\# kritischer Wert}
\NormalTok{                pi[i,j,l,a] }\OtherTok{=} \DecValTok{1} \SpecialCharTok{{-}} \FunctionTok{pf}\NormalTok{(nu}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{k\_alpha\_0, m, n}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{m, d\_mu)\}\}\}\}  }\CommentTok{\# Powerfunktionswert}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}
\end{frame}

\begin{frame}{Einstichproben-T\(^2\)-Tests}
\protect\hypertarget{einstichproben-t2-tests-31}{}
\vspace{2mm}

\noindent (8) Analyse der Powerfunktion

\begin{center}\includegraphics[width=0.65\linewidth]{10_Abbildungen/mvda_10_einstichproben_t2_pi} \end{center}
\end{frame}

\begin{frame}{Einstichproben-T\(^2\)-Tests}
\protect\hypertarget{einstichproben-t2-tests-32}{}
\noindent (8) Analyse der Powerfunktion

\small

Praktisches Vorgehen

\footnotesize

Mit größerem \(n\) steigt die Powerfunktion des Tests an

\begin{itemize}
\item
  Ein großer Stichprobenumfang ist besser als ein kleiner
  Stichprobenumfang.
\item
  Kosten für die Erhöhung des Stichprobenumfangs werden aber nicht
  berücksichtigt.
\end{itemize}

\(\Rightarrow\) Die Theorie statistischer Hypothesentests ist nicht
besonders lebensnah.

\vspace{1mm}

Die Powerfunktion hängt vom wahren, aber unbekannten, Parameterwert
\(\delta_\mu = n(\mu-\mu_0)^T\Sigma^{-1}(\mu-\mu_0)\) ab.

\(\Rightarrow\) Wenn man \(\delta_\mu\) schon kennen würde, würde man
den Test nicht durchführen.

\vspace{1mm}

Generell wird folgendes Vorgehen favorisiert

\begin{itemize}
\item
  Man legt das Signifikanzlevel \(\alpha_0\) fest und evaluiert die
  Powerfunktion.
\item
  Man wählt einen Mindestparameterwert \(\delta_\mu^*\), den man mit
  \(\pi(\delta_\mu,n) = \beta\) detektieren möchte.
\item
  Ein konventioneller Wert ist \(\beta = 0.8\).
\item
  Man liest die für \(\pi(\delta_\mu = \delta_\mu^*,n) = \beta\) nötige
  Stichprobengröße \(n\) ab.
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]{}
\protect\hypertarget{section-4}{}
\begin{enumerate}
[(1)]
\setcounter{enumi}{6}
\tightlist
\item
  Analyse der Powerfunktion
\end{enumerate}

\small

Praktisches Vorgehen

\tiny
\setstretch{1}

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\CommentTok{\# Szenariospezifikation}
\NormalTok{n\_min      }\OtherTok{=} \DecValTok{5}                                               \CommentTok{\# n Minimum}
\NormalTok{n\_max      }\OtherTok{=} \DecValTok{20}                                              \CommentTok{\# n Maximum}
\NormalTok{n\_res      }\OtherTok{=} \FloatTok{1e2}                                             \CommentTok{\# n Auflösung}
\NormalTok{n          }\OtherTok{=} \FunctionTok{seq}\NormalTok{(n\_min,n\_max, }\AttributeTok{len =}\NormalTok{ n\_res)                   }\CommentTok{\# n Raum}
\NormalTok{alpha\_0    }\OtherTok{=} \FloatTok{0.05}                                            \CommentTok{\# Signifikanzlevel}

\CommentTok{\# Poweranalyse}
\NormalTok{m          }\OtherTok{=} \DecValTok{2}                                               \CommentTok{\# Datendimensionalität}
\NormalTok{d\_mu\_fix   }\OtherTok{=} \DecValTok{12}                                              \CommentTok{\# fester Nichtzentralitätsparameter}
\NormalTok{nu         }\OtherTok{=}\NormalTok{ (n}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{m)}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{(m}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{(n}\DecValTok{{-}1}\NormalTok{))                                 }\CommentTok{\# Parameter}
\NormalTok{k\_alpha\_0  }\OtherTok{=}\NormalTok{ (}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{nu)}\SpecialCharTok{*}\FunctionTok{qf}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{alpha\_0,m,n}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{m)                      }\CommentTok{\# kritischer Wert}
\NormalTok{pi\_n       }\OtherTok{=} \DecValTok{1} \SpecialCharTok{{-}} \FunctionTok{pf}\NormalTok{(nu}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{k\_alpha\_0, m, n}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{m, d\_mu\_fix)          }\CommentTok{\# Powerfunktionswert}
\NormalTok{beta       }\OtherTok{=} \FloatTok{0.8}                                             \CommentTok{\# gewünschter Powerfunktionswert}
\NormalTok{i          }\OtherTok{=} \DecValTok{1}                                               \CommentTok{\# Indexinitialisierung}
\NormalTok{n\_min      }\OtherTok{=} \ConstantTok{NaN}                                             \CommentTok{\# minimales n Initialisierung}
\ControlFlowTok{while}\NormalTok{(pi\_n[i] }\SpecialCharTok{\textless{}}\NormalTok{ beta)\{                                       }\CommentTok{\# Solange \textbackslash{}pi(\textbackslash{}delta\_\textbackslash{}mu*,n) \textless{} \textbackslash{}beta}
\NormalTok{    n\_min }\OtherTok{=}\NormalTok{ n[i]                                             }\CommentTok{\# Aufnahme des minimal nötigen ns}
\NormalTok{    i     }\OtherTok{=}\NormalTok{ i }\SpecialCharTok{+} \DecValTok{1}                                            \CommentTok{\# und Erhöhung des Indexes}
\NormalTok{\}}
\FunctionTok{cat}\NormalTok{(}\StringTok{"Minimal nötiges n ="}\NormalTok{, }\FunctionTok{ceiling}\NormalTok{(n\_min))                   }\CommentTok{\# Ausgabe}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}

\begin{verbatim}
Minimal nötiges n = 17
\end{verbatim}
\end{frame}

\begin{frame}{}
\protect\hypertarget{section-5}{}
\begin{enumerate}
[(1)]
\setcounter{enumi}{6}
\tightlist
\item
  Analyse der Powerfunktion
\end{enumerate}

\small

Praktisches Vorgehen \vspace{1mm}

\begin{center}\includegraphics[width=0.6\linewidth]{10_Abbildungen/mvda_10_einstichproben_t2_stichprobenumfang} \end{center}
\end{frame}

\begin{frame}{}
\protect\hypertarget{section-6}{}
\vfill
\setstretch{2.4}
\large

Vorbemerkungen

Einstichproben-T\(^2\)-Tests

\textbf{Zweistichproben-T\(^2\)-Tests}

Univariates vs.~multivariates Testen

Selbstkontrollfragen \vfill
\end{frame}

\begin{frame}{Zweistichproben-T\(^2\)-Tests}
\protect\hypertarget{zweistichproben-t2-tests}{}
Zweistichproben-T\(^2\)-Tests \textbf{bei unabhängigen Stichproben}

Anwendungsszenario

\small

\begin{itemize}
\item
  \textbf{Zwei Stichproben} experimenteller Einheiten.
\item
  Annahme unabhängiger und identisch nach \(N(\mu_1,\Sigma_1)\) und
  \(N(\mu_2,\Sigma_2)\) verteilter Daten.
\item
  \(\mu_1,\Sigma_1, \mu_2,\Sigma_2\) unbekannt.
\item
  Quantifizieren der Unsicherheit beim inferentiellen Vergleich von
  \(\mu_1\) und \(\mu_2\) beabsichtigt.
\end{itemize}

\normalsize

Anwendungsbeispiele

\small

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Gruppenvergleich von BDI und Glukokortikoid Daten
\end{itemize}

\(\quad\quad\quad\) \(\circ\) \(\mu_1 \neq \mu_2\) als Evidenz für
multivariate Gruppenunterschiede

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Gruppenvergleich von Testdaten bei erfolgreichen
  vs.~nicht-erfolgreichem Studienabschluss
\end{itemize}

\(\quad\quad\quad\) \(\circ\) \(\mu_1 \neq \mu_2\) als Evidenz für
multivariate Gruppenunterschiede
\end{frame}

\begin{frame}{Zweistichproben-T\(^2\)-Tests}
\protect\hypertarget{zweistichproben-t2-tests-1}{}
\setstretch{1.6}

Mögliche Modellszenarien

\begin{itemize}
\item
  Annahme identischer Kovarianzmatrixparameter
\item
  Annahme eines bekannten Varianzverhältnisses
\item
  Keine Annahmen zu Varianzen
\end{itemize}

\vspace{3mm}

Mögliche Hypothesenszenarien

\begin{itemize}
\item
  \(H_0: \mu_1 = \mu_2\) und \(H_1: \mu_1 \neq \mu_2\)
\item
  \(H_0: \mu_1 \le \mu_2\) und \(H_1: \mu_1 > \mu_2\)
\item
  \(H_0: \mu_1 \ge \mu_2\) und \(H_1: \mu_1 < \mu_2\)
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Zweistichproben-T\(^2\)-Tests}
\protect\hypertarget{zweistichproben-t2-tests-2}{}
\setstretch{1.6}

Hier betrachtetes Modellszenario

\begin{itemize}
\item Annahme identischer Kovarianzmatrixparameter 
\item \textcolor{lightgray}{Annahme eines bekannten Varianzverhältnisses}
\item \textcolor{lightgray}{Keine Annahmen zu Varianzen}
\end{itemize}
\vspace{3mm}

Hier betrachtetes Hypothesenszenario

\begin{itemize}
\item $H_0: \mu_1 =   \mu_2$ und $H_1: \mu_1 \neq \mu_2$
\item \textcolor{lightgray}{$H_0: \mu_1 \le \mu_2$ und $H_1: \mu_1 > \mu_2$}
\item \textcolor{lightgray}{$H_0: \mu_1 \ge \mu_2$ und $H_1: \mu_1 <    \mu_2$}
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Zweistichproben-T\(^2\)-Tests}
\protect\hypertarget{zweistichproben-t2-tests-3}{}
Anwendungsbeispiel

\tiny
\setstretch{.8}

\begin{longtable}[]{@{}cccc@{}}
\toprule()
Gruppe & VP & IQ Test Score & Math Test Score \\
\midrule()
\endhead
1 & 1 & 54 & 44 \\
1 & 2 & 60 & 20 \\
1 & 3 & 67 & 36 \\
1 & 4 & 41 & 39 \\
1 & 5 & 66 & 57 \\
1 & 6 & 51 & 28 \\
1 & 7 & 51 & 46 \\
1 & 8 & 37 & 46 \\
1 & 9 & 57 & 54 \\
1 & 10 & 47 & 12 \\
1 & 11 & 50 & 67 \\
1 & 12 & 42 & 63 \\
1 & 13 & 60 & 64 \\
1 & 14 & 36 & 64 \\
1 & 15 & 60 & 71 \\
2 & 1 & 71 & 41 \\
2 & 2 & 65 & 28 \\
2 & 3 & 67 & 76 \\
2 & 4 & 68 & 54 \\
2 & 5 & 75 & 33 \\
2 & 6 & 71 & 82 \\
2 & 7 & 68 & 64 \\
2 & 8 & 63 & 72 \\
2 & 9 & 48 & 54 \\
2 & 10 & 53 & 86 \\
2 & 11 & 62 & 71 \\
2 & 12 & 69 & 25 \\
2 & 13 & 67 & 72 \\
2 & 14 & 74 & 92 \\
2 & 15 & 76 & 75 \\
\bottomrule()
\end{longtable}

\footnotesize

Unterschiede zwischen den (IQ Test Score, Math Test Score)
Erwartungswertparametern zwischen Gruppen?
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]{Zweistichproben-T\(^2\)-Tests}
\protect\hypertarget{zweistichproben-t2-tests-4}{}
Anwendungsbeispiel \vspace{1mm}

\tiny
\setstretch{.9}

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\CommentTok{\# Deskriptivstatistik}
\FunctionTok{library}\NormalTok{(foreign)                                                    }\CommentTok{\# R Paket}
\FunctionTok{library}\NormalTok{(ellipse)                                                    }\CommentTok{\# R Paket}
\FunctionTok{library}\NormalTok{(matlib)                                                     }\CommentTok{\# R Paket}
\NormalTok{fname    }\OtherTok{=} \FunctionTok{file.path}\NormalTok{(}\FunctionTok{getwd}\NormalTok{(), }\StringTok{"10\_Daten"}\NormalTok{, }\StringTok{"studienerfolg.sav"}\NormalTok{)      }\CommentTok{\# Dateiname}
\NormalTok{D        }\OtherTok{=} \FunctionTok{read.spss}\NormalTok{(fname, }\AttributeTok{to.data.frame =}\NormalTok{ T)                      }\CommentTok{\# Dateneinlesen}
\NormalTok{m        }\OtherTok{=} \DecValTok{2}                                                        \CommentTok{\# Datendimensionalität}
\NormalTok{n        }\OtherTok{=} \DecValTok{15}                                                       \CommentTok{\# Datenpunkte pro Gruppe}
\NormalTok{n\_1      }\OtherTok{=}\NormalTok{ n                                                        }\CommentTok{\# Datenpunkte Gruppe 1}
\NormalTok{n\_2      }\OtherTok{=}\NormalTok{ n                                                        }\CommentTok{\# Datenpunkte Gruppe 2}
\NormalTok{j\_n      }\OtherTok{=} \FunctionTok{matrix}\NormalTok{(}\FunctionTok{rep}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\NormalTok{,n), }\AttributeTok{nrow =}\NormalTok{ n)                               }\CommentTok{\# 1\_n}
\NormalTok{I\_n      }\OtherTok{=} \FunctionTok{diag}\NormalTok{(n)                                                  }\CommentTok{\# I\_n}
\NormalTok{J\_n      }\OtherTok{=} \FunctionTok{matrix}\NormalTok{(}\FunctionTok{rep}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\NormalTok{,n}\SpecialCharTok{\^{}}\DecValTok{2}\NormalTok{), }\AttributeTok{nrow =}\NormalTok{ n)                             }\CommentTok{\# 1\_\{nn\}}
\NormalTok{Y\_1      }\OtherTok{=} \FunctionTok{t}\NormalTok{(}\FunctionTok{as.matrix}\NormalTok{(D[D}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{Gruppe }\SpecialCharTok{==} \StringTok{"ungenügend"}\NormalTok{, }\DecValTok{2}\SpecialCharTok{:}\DecValTok{3}\NormalTok{]))           }\CommentTok{\# Daten Gruppe 1}
\NormalTok{Y\_2      }\OtherTok{=} \FunctionTok{t}\NormalTok{(}\FunctionTok{as.matrix}\NormalTok{(D[D}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{Gruppe }\SpecialCharTok{==} \StringTok{"gut"}\NormalTok{, }\DecValTok{2}\SpecialCharTok{:}\DecValTok{3}\NormalTok{]))                  }\CommentTok{\# Daten Gruppe 2}
\NormalTok{Y\_1\_bar  }\OtherTok{=}\NormalTok{ (}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{n)}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{(Y\_1 }\SpecialCharTok{\%*\%}\NormalTok{ j\_n)                                      }\CommentTok{\# Stichprobenmittel}
\NormalTok{Y\_2\_bar  }\OtherTok{=}\NormalTok{ (}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{n)}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{(Y\_2 }\SpecialCharTok{\%*\%}\NormalTok{ j\_n)                                      }\CommentTok{\# Stichprobenmittel}
\NormalTok{C\_1      }\OtherTok{=}\NormalTok{ (}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{(n\_1}\DecValTok{{-}1}\NormalTok{))}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{(Y\_1 }\SpecialCharTok{\%*\%}\NormalTok{ (I\_n}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{n)}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{J\_n) }\SpecialCharTok{\%*\%} \FunctionTok{t}\NormalTok{(Y\_1))         }\CommentTok{\# Stichprobenkovarianzmatrix}
\NormalTok{C\_2      }\OtherTok{=}\NormalTok{ (}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{(n\_2}\DecValTok{{-}1}\NormalTok{))}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{(Y\_2 }\SpecialCharTok{\%*\%}\NormalTok{ (I\_n}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{n)}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{J\_n) }\SpecialCharTok{\%*\%} \FunctionTok{t}\NormalTok{(Y\_2))         }\CommentTok{\# Stichprobenkovarianzmatrix}
\NormalTok{C        }\OtherTok{=}\NormalTok{ ((n\_1}\DecValTok{{-}1}\NormalTok{)}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{C\_1}\SpecialCharTok{+}\NormalTok{(n\_2}\DecValTok{{-}1}\NormalTok{)}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{C\_2)}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{(n\_1}\SpecialCharTok{+}\NormalTok{n\_2}\DecValTok{{-}2}\NormalTok{)                    }\CommentTok{\# Gepoolte Stichprobenkovarianzmatrix}
\NormalTok{D        }\OtherTok{=} \FunctionTok{t}\NormalTok{(Y\_1\_bar }\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{ Y\_2\_bar) }\SpecialCharTok{\%*\%} \FunctionTok{inv}\NormalTok{(C) }\SpecialCharTok{\%*\%}\NormalTok{ (Y\_1\_bar }\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{ Y\_2\_bar)  }\CommentTok{\# Mahalanobis Distanz}

\CommentTok{\# Ausgabe}
\FunctionTok{cat}\NormalTok{(}\StringTok{"Y\_1\_bar  ="}\NormalTok{, Y\_1\_bar,}
    \StringTok{"}\SpecialCharTok{\textbackslash{}n}\StringTok{Y\_2\_bar  ="}\NormalTok{, Y\_2\_bar,}
    \StringTok{"}\SpecialCharTok{\textbackslash{}n}\StringTok{D        ="}\NormalTok{, D)}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}

\begin{verbatim}
Y_1_bar  = 51.9 47.4 
Y_2_bar  = 66.5 61.7 
D        = 3.33
\end{verbatim}
\end{frame}

\begin{frame}{Zweistichproben-T\(^2\) Tests}
\protect\hypertarget{zweistichproben-t2-tests-5}{}
Anwendungsbeispiel

\begin{center}\includegraphics[width=0.6\linewidth]{10_Abbildungen/mvda_10_zweistichproben_t2_deskription} \end{center}
\end{frame}

\begin{frame}{Zweistichproben-T\(^2\)-Tests}
\protect\hypertarget{zweistichproben-t2-tests-6}{}
\setstretch{2}

Gliederung (vgl.
\href{https://bit.ly/32ZUAiy}{\textcolor{red}{(12) Hypothesentests}})

\small

\begin{enumerate}
[(1)]
\tightlist
\item
  Statistisches Modell in klassischer Form
\item
  Statistisches Modell in generativer Form
\item
  Testhypothesen, Teststatistik, Test
\item
  Analyse der Teststatistik
\item
  Analyse der Testgütefunktion
\item
  Testumfangkontrolle
\item
  p-Werte
\end{enumerate}

\normalsize

Zur Wiederholung des univariaten Falls, siehe
\href{https://bit.ly/3qXv2eB}{\textcolor{red}{(14) Zweistichproben-T-Tests}}
\end{frame}

\begin{frame}{Zweistichproben-T\(^2\)-Tests}
\protect\hypertarget{zweistichproben-t2-tests-7}{}
\justifying

\noindent (1) Statistisches Modell in klassischer Form

\footnotesize

\(Y_{11},...,Y_{1n_1} \sim N(\mu_1,\Sigma)\) sei eine Stichprobe eines
multivariaten Normalverteilungsmodells mit unbekanntem
Erwartungswertparameter \(\mu_1 \in \mathbb{R}^m\) und unbekanntem
Kovarianzmatrixparameter
\(\Sigma \in \mathbb{R}^{m \times m} \mbox{ p.d}\).
\(Y_{21},..., Y_{2n_2} \sim N(\mu_2,\Sigma)\) sei eine weitere
Stichprobe eines multivariaten Normalverteilungsmodells mit unbekanntem
Erwartungswertparameter \(\mu_2 \in \mathbb{R}^m\) und unbekanntem
Kovarianzmatrixparameter
\(\Sigma \in \mathbb{R}^{m \times m} \mbox{ p.d}\). Die
Kovarianzmatrixparameter beider Stichproben werden also als identisch
vorausgesetzt. Der Parameter von Interesse ist \((\mu_1,\mu_2)\), der
Parameterraum des Modells ist
\(\Theta := \mathbb{R}^m \times \mathbb{R}^m\).

\vspace{1mm}
\normalsize

\noindent (2) Statistisches Modell in generativer Form

\footnotesize

Es sei \begin{equation}
Y_{ij} = \mu_i + \varepsilon_{ij}
\mbox{ mit } \varepsilon_{ij} \sim N(0,\Sigma)
\mbox{ für } i = 1,2
\mbox{ und } j = 1,...,n_i
\end{equation} wobei

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  \(i\) die Stichproben indiziert,
\item
  \(j\) die experimentellen Einheiten indiziert,
\item
  \(n_i\) die Stichprobengrößen sind,
\item
  \(Y_{ij}\) beobachtbare Zufallsvariablen sind,
\item
  \(\mu_i \in \mathbb{R}^m\) feste Erwartungswertparameter der
  Stichprobenvariablen sind
\item
  \(\Sigma \in \mathbb{R}^{m \times m} \mbox{ p.d. }\) der identische
  Kovarianzmatrixparameter über Stichproben, und
\item
  \(\varepsilon_{ij}\) unabhängige multivariat-normalverteilte
  nicht-beobachtbare Zufallsvariablen sind.
\end{itemize}

Der Zusammenhang zwischen klassischer und generativer Modellform ergibt
sich analog zum Einstichprobenfall.
\end{frame}

\begin{frame}{Zweistichproben-T\(^2\)-Tests}
\protect\hypertarget{zweistichproben-t2-tests-8}{}
\justifying

\noindent (3) Testhypothesen, Teststatistik, Test

\footnotesize
\setstretch{1.2}

Wir betrachten die einfache Nullhypothese \begin{equation}
H_0 : \mu_1 = \mu_2    \Leftrightarrow \Theta_0 := \{(\mu_1,\mu_2) \in \mathbb{R}^m \times \mathbb{R}^m | \mu_1 = \mu_2\}
\end{equation} und die zusammengesetzte Alternativhypothese
\begin{equation}
H_1 : \mu_1 \neq \mu_2 \Leftrightarrow \Theta_1 := \{(\mu_1,\mu_2) \in \mathbb{R}^m \times \mathbb{R}^m | \mu_1 \neq \mu_2\}
\end{equation} Weiterhin betrachten die
\emph{Zweistichproben-T\(^2\)-Teststatistik} \begin{equation}
T^2 := \frac{n_1n_2}{n_1 + n_2}\left(\bar{Y}_1 - \bar{Y}_2 \right)^TC^{-1}\left(\bar{Y}_1 - \bar{Y}_2 \right)
\end{equation} wobei für \(i=1,2\) und respektiven
Stichprobenkovarianzmatrizen \(C_1\) und \(C_2\) \begin{equation}
\bar{Y}_i := \frac{1}{n_i}\sum_{j=1}^{n_i} Y_{ij}\mbox{ und } C := \frac{(n_1 - 1)C_1 + (n_2 - 1)C_2}{n_1 + n_2 - 2}
\end{equation} die Stichprobenmittel und die \emph{gepoolte
Stichprobenkovarianzmatrix}, respektive, bezeichnen.

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  \(T^2\) ist die mit den Stichprobenumfängen skalierte Mahalanobis
  Distanz von \(\bar{Y}_1\) und \(\bar{Y}_2\) hinsichtlich \(C\).
\item
  Größere \(T^2\) Werte ergeben sich für größere Abstände, geringere
  Kovarianzen und größere Stichprobenumfänge.
\end{itemize}

Schließlich definieren wir den kritischen Wert-basierten Test
\begin{equation}
\phi(X) := 1_{\{T^2 \ge k \}}.
\end{equation}
\end{frame}

\begin{frame}{Zweistichproben-T\(^2\)-Tests}
\protect\hypertarget{zweistichproben-t2-tests-9}{}
\noindent (4) Analyse der Teststatistik

\setstretch{1.2}
\footnotesize
\begin{theorem}[Verteilung der Zweistichproben-T$^2$ Statistik]
\justifying
\normalfont
Für $i = 1,2$ seien $Y_{i1},...,Y_{in_i} \sim N(\mu_i,\Sigma)$
mit $\mu_i \in \mathbb{R}^{m}$ und $\Sigma \in \mathbb{R}^{m\times m} \mbox{ p.d.,}$,
\begin{equation}
\nu := \frac{n_1+n_2-m-1}{m(n_1+n_2-2)}
\end{equation}
und die Zweistichproben-$T^2$-Teststatistik sei definiert als
\begin{equation}
T^2 := \frac{n_1n_2}{n_1 + n_2}(\bar{Y}_1 - \bar{Y}_2)^T C^{-1}(\bar{Y}_1 - \bar{Y}_2)
\end{equation}
mit den Stichprobenmitteln $\bar{Y}_i$ und der gepoolten Stichprobenkovarianzmatrix $C$.
Dann gilt
\begin{equation}
\nu T^2 \sim f(\delta,m,n_1+n_2-m-1),
\end{equation}
wobei $f(\delta,m,n_1+n_2-m-1)$ die nichtzentrale $f$-Verteilung mit Nichtzentralitätsparameter
\begin{equation}
\delta := \frac{n_1n_2}{n_1+n_2} (\mu_1 - \mu_2)^T\Sigma^{-1}(\mu_1 - \mu_2)
\end{equation}
sowie mit Freiheitsgradparametern $m$ und $n_1+n_2-m-1$ bezeichnet.
\end{theorem}

\tiny

Bemerkungen

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Für einen Beweis verweisen wir auf Anderson (2003).
\item
  Für \(\mu_1 = \mu_2\) und damit \(\delta = 0\) entspricht
  \(f(\delta,m,n_1+n_2-m-1)\) der \(f\)-Verteilung \(f(m,n_1+n_2-m-1)\).
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Zweistichproben-T\(^2\)-Tests}
\protect\hypertarget{zweistichproben-t2-tests-10}{}
\noindent (4) Analyse der Teststatistik

\setstretch{1.2}
\footnotesize
\begin{theorem}[WDF und KVF der Zweistichproben-T$^2$ Statistik]
\justifying
\normalfont
Im Zweistichproben-$T^2$-Testszenario sei
\begin{equation}
\nu := \frac{n_1+n_2-m-1}{m(n_1+n_2-2)}
\end{equation}
Dann ist eine WDF der Zweistichproben-T$^2$ Statistik gegeben durch
\begin{equation}
p_{T^2} : \mathbb{R}_{\ge 0} \to \mathbb{R}, t^2 \mapsto p_{T^2}(t^2) := \nu f(\nu t^2; \delta, m,n_1+n_2-m-1 )
\end{equation}
und eine KVF der Zweistichproben-T$^2$ Statistik ist gegeben durch
\begin{equation}
P_{T^2} : \mathbb{R}_{\ge 0} \to \mathbb{R}, t^2 \mapsto P_{T^2}(t^2) := Ft(\nu t^2; \delta, m,n_1+n_2-m-1)
\end{equation}
\end{theorem}

Bemerkung

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Der Beweis erfolgt in Analogie zum
  Einstichproben-\(T^2\)-Testszenario.
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]{Zweistichproben-T\(^2\)-Tests}
\protect\hypertarget{zweistichproben-t2-tests-11}{}
\vspace{1mm}

\noindent (4) Analyse der Teststatistik \vspace{1mm}

\tiny
\setstretch{0.8}

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\CommentTok{\# Modellparameter}
\NormalTok{m     }\OtherTok{=} \DecValTok{2}                                                       \CommentTok{\# Dimensionalität der Zufallsvektoren/Daten}
\NormalTok{n     }\OtherTok{=} \DecValTok{15}                                                      \CommentTok{\# Anzahl Datenpunkte pro Stichprobe}
\NormalTok{n\_1   }\OtherTok{=}\NormalTok{ n                                                       }\CommentTok{\# Anzahl Datenpunkte Stichprobe 1}
\NormalTok{n\_2   }\OtherTok{=}\NormalTok{ n                                                       }\CommentTok{\# Anzahl Datenpunkte Stichprobe 1}
\NormalTok{mu\_1  }\OtherTok{=} \FunctionTok{matrix}\NormalTok{(}\FunctionTok{c}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\NormalTok{,}\DecValTok{1}\NormalTok{) , }\AttributeTok{nrow =} \DecValTok{2}\NormalTok{)                               }\CommentTok{\# wahrer, aber unbekannter, Erwartungswertparameter}
\NormalTok{mu\_2  }\OtherTok{=} \FunctionTok{matrix}\NormalTok{(}\FunctionTok{c}\NormalTok{(}\DecValTok{2}\NormalTok{,}\DecValTok{2}\NormalTok{) , }\AttributeTok{nrow =} \DecValTok{2}\NormalTok{)                               }\CommentTok{\# wahrer, aber unbekannter, Erwartungswertparameter}
\NormalTok{Sigma }\OtherTok{=} \FunctionTok{matrix}\NormalTok{(}\FunctionTok{c}\NormalTok{(}\FloatTok{0.4}\NormalTok{,}\FloatTok{0.1}\NormalTok{, }\FloatTok{0.1}\NormalTok{,}\FloatTok{0.4}\NormalTok{), }\AttributeTok{nrow =} \DecValTok{2}\NormalTok{, }\AttributeTok{byrow =} \ConstantTok{TRUE}\NormalTok{)     }\CommentTok{\# wahrer, aber unbekannter, Kovarianzmatrixparameter}

\CommentTok{\# Simulation}
\FunctionTok{library}\NormalTok{(MASS)                                                   }\CommentTok{\# R Paket für multivariate Normalverteilungen}
\FunctionTok{library}\NormalTok{(matlib)                                                 }\CommentTok{\# R Paket für Matrizenrechnung}
\NormalTok{nsim  }\OtherTok{=} \FloatTok{1e4}                                                     \CommentTok{\# Anzahl Simulationen/Datensatzrealisierungen}
\NormalTok{Y1b   }\OtherTok{=} \FunctionTok{matrix}\NormalTok{(}\FunctionTok{rep}\NormalTok{(}\ConstantTok{NaN}\NormalTok{,m}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{nsim), }\AttributeTok{nrow =} \DecValTok{2}\NormalTok{)                       }\CommentTok{\# Stichprobenmittelarray}
\NormalTok{Y2b   }\OtherTok{=} \FunctionTok{matrix}\NormalTok{(}\FunctionTok{rep}\NormalTok{(}\ConstantTok{NaN}\NormalTok{,m}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{nsim), }\AttributeTok{nrow =} \DecValTok{2}\NormalTok{)                       }\CommentTok{\# Stichprobenmittelarray}
\NormalTok{T2    }\OtherTok{=} \FunctionTok{rep}\NormalTok{(}\ConstantTok{NaN}\NormalTok{,nsim)                                           }\CommentTok{\# T2 Statistik Array}
\NormalTok{j\_n   }\OtherTok{=} \FunctionTok{matrix}\NormalTok{(}\FunctionTok{rep}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\NormalTok{,n), }\AttributeTok{nrow =}\NormalTok{ n)                              }\CommentTok{\# 1\_n}
\NormalTok{I\_n   }\OtherTok{=} \FunctionTok{diag}\NormalTok{(n)                                                 }\CommentTok{\# I\_n}
\NormalTok{J\_n   }\OtherTok{=} \FunctionTok{matrix}\NormalTok{(}\FunctionTok{rep}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\NormalTok{,n}\SpecialCharTok{\^{}}\DecValTok{2}\NormalTok{), }\AttributeTok{nrow =}\NormalTok{ n)                            }\CommentTok{\# 1\_\{nn\}}
\ControlFlowTok{for}\NormalTok{(s }\ControlFlowTok{in} \DecValTok{1}\SpecialCharTok{:}\NormalTok{nsim)\{                                               }\CommentTok{\# Simulationsiterationen}
\NormalTok{    Y\_1      }\OtherTok{=} \FunctionTok{t}\NormalTok{(}\FunctionTok{mvrnorm}\NormalTok{(n,mu\_1,Sigma))                         }\CommentTok{\# Y\_1j \textbackslash{}sim N(\textbackslash{}mu\_1,\textbackslash{}Sigma), j = 1,...,n\_1}
\NormalTok{    Y\_2      }\OtherTok{=} \FunctionTok{t}\NormalTok{(}\FunctionTok{mvrnorm}\NormalTok{(n,mu\_2,Sigma))                         }\CommentTok{\# Y\_2j \textbackslash{}sim N(\textbackslash{}mu\_2,\textbackslash{}Sigma), j = 1,...,n\_2}
\NormalTok{    Y\_1\_bar  }\OtherTok{=}\NormalTok{ (}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{n)}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{(Y\_1 }\SpecialCharTok{\%*\%}\NormalTok{ j\_n)                              }\CommentTok{\# Stichprobenmittel}
\NormalTok{    Y\_2\_bar  }\OtherTok{=}\NormalTok{ (}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{n)}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{(Y\_2 }\SpecialCharTok{\%*\%}\NormalTok{ j\_n)                              }\CommentTok{\# Stichprobenmittel}
\NormalTok{    C\_1      }\OtherTok{=}\NormalTok{ (}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{(n\_1}\DecValTok{{-}1}\NormalTok{))}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{(Y\_1 }\SpecialCharTok{\%*\%}\NormalTok{ (I\_n}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{n)}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{J\_n) }\SpecialCharTok{\%*\%} \FunctionTok{t}\NormalTok{(Y\_1)) }\CommentTok{\# Stichprobenkovarianzmatrix}
\NormalTok{    C\_2      }\OtherTok{=}\NormalTok{ (}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{(n\_2}\DecValTok{{-}1}\NormalTok{))}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{(Y\_2 }\SpecialCharTok{\%*\%}\NormalTok{ (I\_n}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{n)}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{J\_n) }\SpecialCharTok{\%*\%} \FunctionTok{t}\NormalTok{(Y\_2)) }\CommentTok{\# Stichprobenkovarianzmatrix}

    \CommentTok{\# Gepoolte Stichprobenkovarianzmatrix und T2 Statistik}
\NormalTok{    C        }\OtherTok{=}\NormalTok{ ((n\_1}\DecValTok{{-}1}\NormalTok{)}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{C\_1}\SpecialCharTok{+}\NormalTok{(n\_2}\DecValTok{{-}1}\NormalTok{)}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{C\_2)}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{(n\_1}\SpecialCharTok{+}\NormalTok{n\_2}\DecValTok{{-}2}\NormalTok{)}
\NormalTok{    T2[s]    }\OtherTok{=}\NormalTok{ (((n\_1}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{n\_2)}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{(n\_1}\SpecialCharTok{+}\NormalTok{n\_2))}\SpecialCharTok{*}\FunctionTok{t}\NormalTok{(Y\_1\_bar}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{Y\_2\_bar) }\SpecialCharTok{\%*\%} \FunctionTok{inv}\NormalTok{(C) }\SpecialCharTok{\%*\%}\NormalTok{ (Y\_1\_bar}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{Y\_2\_bar))}

    \CommentTok{\# Stichprobenmittel für Visualisierung}
\NormalTok{    Y1b[,s]  }\OtherTok{=}\NormalTok{ Y\_1\_bar}
\NormalTok{    Y2b[,s]  }\OtherTok{=}\NormalTok{ Y\_2\_bar}
\NormalTok{\}}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}
\end{frame}

\begin{frame}{Zweistichproben-T\(^2\)-Tests}
\protect\hypertarget{zweistichproben-t2-tests-12}{}
\vspace{1mm}

\noindent (4) Analyse der Teststatistik \vspace{1mm}

\begin{center}\includegraphics[width=0.6\linewidth]{10_Abbildungen/mvda_10_zweistichproben_t2_teststatistik} \end{center}
\end{frame}

\begin{frame}{Zweistichproben-T\(^2\)-Tests}
\protect\hypertarget{zweistichproben-t2-tests-13}{}
\noindent \noindent (5) Analyse der Testgütefunktion

\setstretch{1.2}
\footnotesize
\begin{theorem}[Testgütefunktion]
\justifying
\normalfont
$\phi$ sei der im obigen Testszenario definiert Test. Dann ist die Testgütefunktion von $\phi$
gegeben durch
\begin{equation}
q_\phi : \mathbb{R}^m \times \mathbb{R}^m \to [0,1], \mu \mapsto q_\phi(\mu_1,\mu_2) := 1 - F(\nu k;\delta_{\mu_{1,2}},m,n_1+n_2-m-1),
\end{equation}
wobei
\begin{equation}
\nu := \frac{n_1+n_2-m-1}{m(n_1+n_2-2)}, \quad
\delta_{\mu_{1,2}} := \frac{n_1n_2}{n_1+n_2} (\mu_1 - \mu_2)^T\Sigma^{-1}(\mu_1 - \mu_2)
\end{equation}
und $F(\cdot;\delta_{\mu_{1,2}}, m,n_1+n_2-m-1)$ die KVF der nichtzentralen
$f$-Verteilung mit Freiheitsgradparametern $m$ und $n_1+n_2-m-1$ sowie mit
Nichtzentralitätsparameter $\delta_{\mu_{1,2}}$ bezeichnet.
\end{theorem}

\footnotesize

Bemerkungen

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  \(q_\phi\) kann zur Bestimmung kritischer Werte für einen erwünschten
  Testumfang genutzt werden.
\item
  \(q_\phi\) kann zur Bestimmung der Testpower genutzt werden.
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Einstichproben-T\(^2\)-Tests}
\protect\hypertarget{einstichproben-t2-tests-33}{}
\noindent \noindent (5) Analyse der Testgütefunktion

\footnotesize
\setstretch{1.2}

\underline{Beweis}

Die Testgütefunktion des betrachteten Tests im vorliegenden Testszenario
ist definiert als \begin{equation}
q_\phi : \mathbb{R}^m \times \mathbb{R}^m \to [0,1], (\mu_1, \mu_2) \mapsto q_\phi(\mu_1, \mu_2) := \mathbb{P}_{\mu_1,\mu_2}(\phi = 1)
\end{equation} Da die Wahrscheinlichkeiten für \(\phi = 1\) und dafür,
dass die zugehörige Teststatistik im Ablehnungsbereich des Tests liegt,
gleich sind, benötigen wir also zunächst die Verteilung der
Teststatistik. Wir haben oben aber bereits gesehen, dass für
\begin{equation}
\nu := \frac{n_1+n_2-m-1}{(m(n_1+n_2-2)}
\mbox{ und }
\delta_{\mu_{1,2}} := \frac{n_1n_2}{n_1+n_2} (\mu_1 - \mu_2)^T\Sigma^{-1}(\mu_1 - \mu_2)
\end{equation} gilt, dass \begin{equation}
\nu T^2 \sim f(\delta_{\mu_{1,2}}, m,n_1+n_2-m-1).
\end{equation} Der Ablehnungsbereich des betrachteten Tests ergibt sich
als \(A := ]k,\infty[\) Also ergibt sich \begin{align}
\begin{split}
q_\phi(\mu)
&  = \mathbb{P}_\mu(\phi = 1) \\
&  = \mathbb{P}_\mu\left(T^2 \in \,\,]k,\infty[\right) \\
&  = \mathbb{P}_\mu\left(T^2 > k \right) \\
&  = 1 - \mathbb{P}_\mu\left(T^2 \le k \right) \\
&  = 1 - F\left(\nu k;\delta_{\mu_{1,2}}, m,n_1+n_2-m-1 \right)
\end{split}
\end{align}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]{Zweistichproben-T\(^2\)-Tests}
\protect\hypertarget{zweistichproben-t2-tests-14}{}
\noindent (5) Analyse der Testgütefunktion

\small

Beispiele \footnotesize \begin{equation*}
m      := 2,
n_1    := 15,
n_2    := 15,
\mu_2  := \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix},
\Sigma := \begin{pmatrix} 1 & 0  \\ 0 & 1 \end{pmatrix},
\end{equation*}

\tiny
\setstretch{1}

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\CommentTok{\# Modellparameter}
\FunctionTok{library}\NormalTok{(matlib)                                                        }\CommentTok{\# R Paket}
\NormalTok{m           }\OtherTok{=} \DecValTok{2}                                                        \CommentTok{\# m}
\NormalTok{n\_1         }\OtherTok{=} \DecValTok{15}                                                       \CommentTok{\# n\_1}
\NormalTok{n\_2         }\OtherTok{=} \DecValTok{15}                                                       \CommentTok{\# n\_2}
\NormalTok{nu          }\OtherTok{=}\NormalTok{ (n\_1}\SpecialCharTok{+}\NormalTok{n\_2}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{m}\DecValTok{{-}1}\NormalTok{)}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{(m}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{(n\_1}\SpecialCharTok{+}\NormalTok{n\_2}\DecValTok{{-}2}\NormalTok{))                            }\CommentTok{\# \textbackslash{}nu}
\NormalTok{Sigma       }\OtherTok{=} \FunctionTok{diag}\NormalTok{(m)                                                  }\CommentTok{\# \textbackslash{}Sigma = I\_2}
\NormalTok{iSigma      }\OtherTok{=} \FunctionTok{inv}\NormalTok{(Sigma)                                               }\CommentTok{\# \textbackslash{}Sigma\^{}\{{-}1\}}
\NormalTok{mu\_2        }\OtherTok{=} \FunctionTok{matrix}\NormalTok{(}\FunctionTok{c}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\NormalTok{,}\DecValTok{1}\NormalTok{), }\AttributeTok{nrow =} \DecValTok{2}\NormalTok{)                                 }\CommentTok{\# \textbackslash{}mu\_2}

\CommentTok{\# Testparameter}
\NormalTok{k\_all       }\OtherTok{=} \FunctionTok{c}\NormalTok{(}\DecValTok{2}\NormalTok{,}\DecValTok{4}\NormalTok{,}\DecValTok{6}\NormalTok{)                                                 }\CommentTok{\# k \textless{}{-}\textgreater{} \textbackslash{}phi}
\NormalTok{n\_k         }\OtherTok{=} \FunctionTok{length}\NormalTok{(k\_all)                                            }\CommentTok{\# Anzahl k Werte/Tests}

\CommentTok{\# q\_\textbackslash{}phi(\textbackslash{}mu) Evaluation}
\NormalTok{mu\_min      }\OtherTok{=} \DecValTok{0}                                                        \CommentTok{\# \textbackslash{}mu\_1 Minimum}
\NormalTok{mu\_max      }\OtherTok{=} \DecValTok{2}                                                        \CommentTok{\# \textbackslash{}mu\_1 Maximum}
\NormalTok{mu\_res      }\OtherTok{=} \FloatTok{1e3}                                                      \CommentTok{\# \textbackslash{}mu\_1 Auflösung}
\NormalTok{mu\_i        }\OtherTok{=} \FunctionTok{seq}\NormalTok{(mu\_min,mu\_max,}\AttributeTok{len =}\NormalTok{ mu\_res)                          }\CommentTok{\# mu\_1i}
\NormalTok{q\_phi       }\OtherTok{=} \FunctionTok{array}\NormalTok{(}\AttributeTok{dim =} \FunctionTok{c}\NormalTok{(mu\_res, mu\_res, }\FunctionTok{length}\NormalTok{(k\_all)))            }\CommentTok{\# q\_\textbackslash{}phi Array}
\ControlFlowTok{for}\NormalTok{(k }\ControlFlowTok{in} \DecValTok{1}\SpecialCharTok{:}\NormalTok{n\_k)\{}
    \ControlFlowTok{for}\NormalTok{(i }\ControlFlowTok{in} \DecValTok{1}\SpecialCharTok{:}\NormalTok{mu\_res)\{}
        \ControlFlowTok{for}\NormalTok{(j }\ControlFlowTok{in} \DecValTok{1}\SpecialCharTok{:}\NormalTok{mu\_res)\{}
\NormalTok{            mu\_1         }\OtherTok{=} \FunctionTok{matrix}\NormalTok{(}\FunctionTok{c}\NormalTok{(mu\_i[i],mu\_i[j]), }\AttributeTok{nrow =} \DecValTok{2}\NormalTok{)        }\CommentTok{\# \textbackslash{}mu\_1}
\NormalTok{            delta        }\OtherTok{=}\NormalTok{ (((n\_1}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{n\_2)}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{(n\_1}\SpecialCharTok{+}\NormalTok{n\_2))}\SpecialCharTok{*}                     \CommentTok{\# \textbackslash{}delta\_\{\textbackslash{}mu\_\{1,2\}\}}
                           \FunctionTok{t}\NormalTok{(mu\_1 }\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{ mu\_2) }\SpecialCharTok{\%*\%}\NormalTok{ iSigma }\SpecialCharTok{\%*\%}\NormalTok{ (mu\_1}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{mu\_2))}
\NormalTok{            q\_phi[i,j,k] }\OtherTok{=} \DecValTok{1}\SpecialCharTok{{-}}\FunctionTok{pf}\NormalTok{(nu}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{k\_all[k],m,n\_1}\SpecialCharTok{+}\NormalTok{n\_2}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{m}\DecValTok{{-}1}\NormalTok{,delta)\}\}\}    }\CommentTok{\# q\_\textbackslash{}phi(\textbackslash{}mu)}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}
\end{frame}

\begin{frame}{Zweistichproben-T\(^2\)-Tests}
\protect\hypertarget{zweistichproben-t2-tests-15}{}
\noindent (5) Analyse der Testgütefunktion

\small

Beispiele \footnotesize \begin{equation*}
m      := 2,
n_1    := 15,
n_2    := 15,
\mu_2  := \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix},
\Sigma := \begin{pmatrix} 1 & 0  \\ 0 & 1 \end{pmatrix} 
\end{equation*}

\begin{center}\includegraphics[width=1\linewidth]{10_Abbildungen/mvda_10_zweistichproben_t2_gütefunktion_1} \end{center}
\end{frame}

\begin{frame}{Zweistichproben-T\(^2\)-Tests}
\protect\hypertarget{zweistichproben-t2-tests-16}{}
\vspace{2mm}

\noindent (6) Testumfangkontrolle \footnotesize \setstretch{1.1}

\begin{theorem}[Testumfangkontrolle]
\justifying
\normalfont
$\phi$ sei der im obigen Testszenario definierte Test. Dann ist $\phi$ ein
Level-$\alpha_0$-Test mit Testumfang $\alpha_0$, wenn der kritische Wert definiert
ist durch
\begin{equation}
k_{\alpha_0} := \frac{1}{\nu}F^{-1}\left(1-\alpha_0; m, n_1 + n_2 - m - 1 \right)
\end{equation}
wobei $F^{-1}(\cdot;m,n_1+n_2-m-1)$ die inverse KVF der $f$-Verteilung mit Freiheitsgradparametern
$m$ und $n_1 + n_2 - m - 1$ ist.
\end{theorem}

Bemerkung

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Der Beweis erfolgt analog zum Einstichprobenszenario.
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Zweistichproben-T\(^2\)-Tests}
\protect\hypertarget{zweistichproben-t2-tests-17}{}
\noindent (6) Testumfangkontrolle

\vfill
\center
\footnotesize

Wahl von
\(k_{\alpha_0} := \frac{1}{\nu}F^{-1}\left(1-\alpha_0; m, n_1+n_2-m-1 \right)\)
mit \(m = 2, n_1 = 15, n_2 = 15,\alpha_0 := 0.05\) \vspace{5mm}

\begin{center}\includegraphics[width=0.9\linewidth]{10_Abbildungen/mvda_10_zweistichproben_t2_testumfangkontrolle} \end{center}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]{Zweistichproben-T\(^2\)-Tests}
\protect\hypertarget{zweistichproben-t2-tests-18}{}
\noindent (6) Testumfangkontrolle \vspace{1mm}

\tiny
\setstretch{.8}

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\CommentTok{\# Modellparameter bei Zutreffen von H0}
\NormalTok{m     }\OtherTok{=} \DecValTok{2}                                                          \CommentTok{\# Dimensionalität der Zufallsvektoren/Dat}
\NormalTok{n     }\OtherTok{=} \DecValTok{15}                                                         \CommentTok{\# Anzahl Datenpunkte pro Stichprobe}
\NormalTok{n\_1   }\OtherTok{=}\NormalTok{ n                                                          }\CommentTok{\# Anzahl Datenpunkte Stichprobe 1}
\NormalTok{n\_2   }\OtherTok{=}\NormalTok{ n                                                          }\CommentTok{\# Anzahl Datenpunkte Stichprobe 1}
\NormalTok{mu\_1  }\OtherTok{=} \FunctionTok{matrix}\NormalTok{(}\FunctionTok{c}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\NormalTok{,}\DecValTok{1}\NormalTok{) , }\AttributeTok{nrow =} \DecValTok{2}\NormalTok{)                                  }\CommentTok{\# wahrer, aber unbekannter, Erwartungswertparameter}
\NormalTok{mu\_2  }\OtherTok{=}\NormalTok{ mu\_1                                                       }\CommentTok{\# wahrer, aber unbekannter, Erwartungswertparameter}
\NormalTok{Sigma }\OtherTok{=} \FunctionTok{matrix}\NormalTok{(}\FunctionTok{c}\NormalTok{(}\FloatTok{0.4}\NormalTok{,}\FloatTok{0.1}\NormalTok{, }\FloatTok{0.1}\NormalTok{,}\FloatTok{0.4}\NormalTok{), }\AttributeTok{nrow =} \DecValTok{2}\NormalTok{, }\AttributeTok{byrow =} \ConstantTok{TRUE}\NormalTok{)        }\CommentTok{\# wahrer, aber unbekannter, Kovarianzmatrixparameter}

\CommentTok{\# Testparameter}
\NormalTok{nu          }\OtherTok{=}\NormalTok{ (n\_1}\SpecialCharTok{+}\NormalTok{n\_2}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{m}\DecValTok{{-}1}\NormalTok{)}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{(m}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{(n\_1}\SpecialCharTok{+}\NormalTok{n\_2}\DecValTok{{-}2}\NormalTok{))                        }\CommentTok{\# \textbackslash{}nu}
\NormalTok{alpha\_0     }\OtherTok{=} \FloatTok{0.05}                                                 \CommentTok{\# Signifikanzlevel}
\NormalTok{k\_alpha\_0   }\OtherTok{=}\NormalTok{ (}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{nu)}\SpecialCharTok{*}\FunctionTok{qf}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{alpha\_0,m,n\_1}\SpecialCharTok{+}\NormalTok{n\_2}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{m}\DecValTok{{-}1}\NormalTok{)                   }\CommentTok{\# kritischer Wert}

\CommentTok{\# Simulation}
\FunctionTok{library}\NormalTok{(MASS)                                                      }\CommentTok{\# R Paket für multivariate Normalverteilungen}
\FunctionTok{library}\NormalTok{(matlib)                                                    }\CommentTok{\# R Paket für Matrizenrechnung}
\NormalTok{nsim  }\OtherTok{=} \FloatTok{1e4}                                                        \CommentTok{\# Anzahl Simulationen/Datensatzrealisierungen}
\NormalTok{Y1b   }\OtherTok{=} \FunctionTok{matrix}\NormalTok{(}\FunctionTok{rep}\NormalTok{(}\ConstantTok{NaN}\NormalTok{,m}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{nsim), }\AttributeTok{nrow =} \DecValTok{2}\NormalTok{)                          }\CommentTok{\# Stichprobenmittelarray}
\NormalTok{Y2b   }\OtherTok{=} \FunctionTok{matrix}\NormalTok{(}\FunctionTok{rep}\NormalTok{(}\ConstantTok{NaN}\NormalTok{,m}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{nsim), }\AttributeTok{nrow =} \DecValTok{2}\NormalTok{)                          }\CommentTok{\# Stichprobenmittelarray}
\NormalTok{phi   }\OtherTok{=} \FunctionTok{rep}\NormalTok{(}\ConstantTok{NaN}\NormalTok{,nsim)                                              }\CommentTok{\# phi Array}
\NormalTok{j\_n   }\OtherTok{=} \FunctionTok{matrix}\NormalTok{(}\FunctionTok{rep}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\NormalTok{,n), }\AttributeTok{nrow =}\NormalTok{ n)                                 }\CommentTok{\# 1\_n}
\NormalTok{I\_n   }\OtherTok{=} \FunctionTok{diag}\NormalTok{(n)                                                    }\CommentTok{\# I\_n}
\NormalTok{J\_n   }\OtherTok{=} \FunctionTok{matrix}\NormalTok{(}\FunctionTok{rep}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\NormalTok{,n}\SpecialCharTok{\^{}}\DecValTok{2}\NormalTok{), }\AttributeTok{nrow =}\NormalTok{ n)                               }\CommentTok{\# 1\_\{nn\}}
\ControlFlowTok{for}\NormalTok{(s }\ControlFlowTok{in} \DecValTok{1}\SpecialCharTok{:}\NormalTok{nsim)\{                                                  }\CommentTok{\# Simulationsiterationen}
\NormalTok{    Y\_1     }\OtherTok{=} \FunctionTok{t}\NormalTok{(}\FunctionTok{mvrnorm}\NormalTok{(n,mu\_1,Sigma))                             }\CommentTok{\# Y\_1j \textbackslash{}sim N(\textbackslash{}mu\_1,\textbackslash{}Sigma), j = 1,...,n\_1}
\NormalTok{    Y\_2     }\OtherTok{=} \FunctionTok{t}\NormalTok{(}\FunctionTok{mvrnorm}\NormalTok{(n,mu\_2,Sigma))                             }\CommentTok{\# Y\_2j \textbackslash{}sim N(\textbackslash{}mu\_2,\textbackslash{}Sigma), j = 1,...,n\_2}
\NormalTok{    Y\_1\_bar }\OtherTok{=}\NormalTok{ (}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{n)}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{(Y\_1 }\SpecialCharTok{\%*\%}\NormalTok{ j\_n)                                  }\CommentTok{\# Stichprobenmittel}
\NormalTok{    Y\_2\_bar }\OtherTok{=}\NormalTok{ (}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{n)}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{(Y\_2 }\SpecialCharTok{\%*\%}\NormalTok{ j\_n)                                  }\CommentTok{\# Stichprobenmittel}
\NormalTok{    C\_1     }\OtherTok{=}\NormalTok{ (}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{(n\_1}\DecValTok{{-}1}\NormalTok{))}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{(Y\_1 }\SpecialCharTok{\%*\%}\NormalTok{ (I\_n}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{n)}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{J\_n) }\SpecialCharTok{\%*\%} \FunctionTok{t}\NormalTok{(Y\_1))     }\CommentTok{\# Stichprobenkovarianzmatrix}
\NormalTok{    C\_2     }\OtherTok{=}\NormalTok{ (}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{(n\_2}\DecValTok{{-}1}\NormalTok{))}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{(Y\_2 }\SpecialCharTok{\%*\%}\NormalTok{ (I\_n}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{n)}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{J\_n) }\SpecialCharTok{\%*\%} \FunctionTok{t}\NormalTok{(Y\_2))     }\CommentTok{\# Stichprobenkovarianzmatrix}
\NormalTok{    C       }\OtherTok{=}\NormalTok{ ((n\_1}\DecValTok{{-}1}\NormalTok{)}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{C\_1}\SpecialCharTok{+}\NormalTok{(n\_2}\DecValTok{{-}1}\NormalTok{)}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{C\_2)}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{(n\_1}\SpecialCharTok{+}\NormalTok{n\_2}\DecValTok{{-}2}\NormalTok{)                }\CommentTok{\# Gepoolte Stichprobenkovarianzmatrix}
\NormalTok{    T2      }\OtherTok{=}\NormalTok{ (((n\_1}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{n\_2)}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{(n\_1}\SpecialCharTok{+}\NormalTok{n\_2))}\SpecialCharTok{*}                              \CommentTok{\# T\^{}2 Statistik}
              \FunctionTok{t}\NormalTok{(Y\_1\_bar}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{Y\_2\_bar) }\SpecialCharTok{\%*\%} \FunctionTok{inv}\NormalTok{(C) }\SpecialCharTok{\%*\%}\NormalTok{ (Y\_1\_bar}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{Y\_2\_bar))}
    \ControlFlowTok{if}\NormalTok{(T2 }\SpecialCharTok{\textgreater{}}\NormalTok{ k\_alpha\_0)\{phi[s] }\OtherTok{=} \DecValTok{1}\NormalTok{\} }\ControlFlowTok{else}\NormalTok{ \{phi[s] }\OtherTok{=} \DecValTok{0}\NormalTok{\}              }\CommentTok{\# Evaluation von phi}
\NormalTok{\}}
\FunctionTok{cat}\NormalTok{(}\StringTok{"}\SpecialCharTok{\textbackslash{}n}\StringTok{Kritischer Wert              ="}\NormalTok{, k\_alpha\_0,}
    \StringTok{"}\SpecialCharTok{\textbackslash{}n}\StringTok{Geschätzter Testumfang alpha ="}\NormalTok{, }\FunctionTok{mean}\NormalTok{(phi))}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}

\begin{verbatim}

Kritischer Wert              = 6.96 
Geschätzter Testumfang alpha = 0.0476
\end{verbatim}
\end{frame}

\begin{frame}{Einstichproben-T\(^2\)-Tests}
\protect\hypertarget{einstichproben-t2-tests-34}{}
\noindent (6) Testumfangkontrolle

\small

Praktisches Vorgehen

\begin{itemize}
\item
  \justifying Man nimmt an, dass zwei vorliegende Datensätze
  \(y_{11},...,y_{1n_1}\) und \(y_{21},...,y_{2n_2}\) Realisationen von
  \(m\)-dimensionalen Zufallsvektoren \begin{equation}
  Y_{11},...,Y_{1n_1} \sim N(\mu_1,\Sigma)
  \mbox{ und }
  Y_{21},...,Y_{2n_2} \sim N(\mu_2,\Sigma)
  \end{equation} mit unbekannten Parametern \(\mu_1,\mu_2,\Sigma\) sind.
\item
  Man möchte entscheiden, ob eher \(H_0 : \mu_1 = \mu_2\) oder
  \(H_1: \mu_1 \neq \mu_2\) zutrifft.
\item
  Man wählt ein Signifikanzlevel \(\alpha_0\) und bestimmt den
  zugehörigen kritischen Wert \(k_{\alpha_0}\).
\item
  Anhand von \(m, n_1,n_2,\bar{Y}_1,\bar{Y}_2\) und der gepoolten
  Stichprobenstandardabweichung \(C\) berechnet man die Realisierung der
  Zweistichproben-T\(^2\)-Teststatistik \(t^2\).
\item
  Wenn \(t^2\) größer als \(k_{\alpha_0}\) ist lehnt man die
  Nullhypothese ab, andernfalls lehnt man sie nicht ab.
\item
  Die oben entwickelte Theorie des Zweistichproben-T-\(^2\)Tests
  garantiert dann, dass man in höchstens \(\alpha_0 \cdot 100\) von
  \(100\) Fällen die Nullhypothese fälschlicherweise ablehnt.
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Zweistichproben-T\(^2\)-Tests}
\protect\hypertarget{zweistichproben-t2-tests-19}{}
\noindent (7) p-Werte

\small

Bestimmung des p-Wertes

\begin{itemize}
\item
  \justifying Per Definition ist der p-Wert das kleinste
  Signifikanzlevel \(\alpha_0\), bei welchem man die Nullhypothese
  basierend auf einem vorliegenden Wert der Teststatistik ablehnen
  würde.
\item
  Bei \(T^2 = t^2\) würde \(H_0\) für jedes \(\alpha_0\) mit
  \(t^2 \ge \frac{1}{\nu}F^{-1}(1-\alpha_0;m,n_1+n_2-m-1)\) abgelehnt
  werden. Für diese \(\alpha_0\) gilt, wie analog im
  Eintsichprobenstzenario gezeigt \begin{equation}
  \alpha_0 \ge \mathbb{P}\left(T^2 \ge t^2\right)
  \end{equation}
\item
  Das kleinste \(\alpha_0 \in [0,1]\) mit
  \(\alpha_0 \ge \mathbb{P}\left(T^2 \ge t^2\right)\) ist dann
  \(\alpha_0 = \mathbb{P}(T^2 \ge t^2)\), also folgt \begin{equation}
  \mbox{ p-Wert } = \mathbb{P}\left(T^2 \ge t^2\right) = 1 - F(\nu t^2;m,n_1+n_2-m-1)
  \end{equation}
\item
  Zum Beispiel ergibt sich bei

  \begin{itemize}
  \begin{small}
  \item[$\circ$] $m = 2, n_1 = 15$ und $n_2=15$ der p-Wert für $t^2 = 5$ zu 0.11
  \item[$\circ$] $m = 2, n_1 = 15$ und $n_2=15$ der p-Wert für $t^2 = 7$ zu 0.05
  \item[$\circ$] $m = 2, n_1 = 99$ und $n_2=99$ der p-Wert für $t^2 = 5$ zu 0.09
  \item[$\circ$] $m = 4, n_1 = 15$ und $n_2=15$ der p-Wert für $t^2 = 7$ zu 0.21
  \end{small}
  \end{itemize}
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]{Zweistichproben-T\(^2\)-Tests}
\protect\hypertarget{zweistichproben-t2-tests-20}{}
\small
\vspace{1mm}

Anwendungsbeispiel

\tiny
\setstretch{1}

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\CommentTok{\# R Pakete}
\FunctionTok{library}\NormalTok{(foreign)                                                 }\CommentTok{\# Dateneinlesen}
\FunctionTok{library}\NormalTok{(matlib)                                                  }\CommentTok{\# Matrixalgebra}

\CommentTok{\# Datenpräprozessierung}
\NormalTok{fname     }\OtherTok{=} \FunctionTok{file.path}\NormalTok{(}\FunctionTok{getwd}\NormalTok{(), }\StringTok{"10\_Daten"}\NormalTok{, }\StringTok{"studienerfolg.sav"}\NormalTok{)  }\CommentTok{\# Dateiname}
\NormalTok{D         }\OtherTok{=} \FunctionTok{read.spss}\NormalTok{(fname, }\AttributeTok{to.data.frame =}\NormalTok{ T)                  }\CommentTok{\# Dateneinlesen}
\NormalTok{Y\_1       }\OtherTok{=} \FunctionTok{t}\NormalTok{(}\FunctionTok{as.matrix}\NormalTok{(D[D}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{Gruppe }\SpecialCharTok{==} \StringTok{"ungenügend"}\NormalTok{, }\DecValTok{2}\SpecialCharTok{:}\DecValTok{3}\NormalTok{]))       }\CommentTok{\# Daten Gruppe 1}
\NormalTok{Y\_2       }\OtherTok{=} \FunctionTok{t}\NormalTok{(}\FunctionTok{as.matrix}\NormalTok{(D[D}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{Gruppe }\SpecialCharTok{==} \StringTok{"gut"}\NormalTok{, }\DecValTok{2}\SpecialCharTok{:}\DecValTok{3}\NormalTok{]))              }\CommentTok{\# Daten Gruppe 2}

\CommentTok{\# Testparameter}
\NormalTok{m         }\OtherTok{=} \DecValTok{2}                                                    \CommentTok{\# Datendimensionalität}
\NormalTok{n         }\OtherTok{=} \DecValTok{15}                                                   \CommentTok{\# Datenpunkte pro Gruppe}
\NormalTok{n\_1       }\OtherTok{=}\NormalTok{ n                                                    }\CommentTok{\# Datenpunkte Gruppe 1}
\NormalTok{n\_2       }\OtherTok{=}\NormalTok{ n                                                    }\CommentTok{\# Datenpunkte Gruppe 2}
\NormalTok{nu        }\OtherTok{=}\NormalTok{ (n\_1}\SpecialCharTok{+}\NormalTok{n\_2}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{m}\DecValTok{{-}1}\NormalTok{)}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{(m}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{(n\_1}\SpecialCharTok{+}\NormalTok{n\_2}\DecValTok{{-}2}\NormalTok{))                        }\CommentTok{\# \textbackslash{}nu}
\NormalTok{alpha\_0   }\OtherTok{=} \FloatTok{0.05}                                                 \CommentTok{\# Signifikanzlevel}
\NormalTok{k\_alpha\_0 }\OtherTok{=}\NormalTok{ (}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{nu)}\SpecialCharTok{*}\FunctionTok{qf}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{alpha\_0,m,n\_1}\SpecialCharTok{+}\NormalTok{n\_2}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{m}\DecValTok{{-}1}\NormalTok{)                   }\CommentTok{\# kritischer Wert}

\CommentTok{\# Testevaluation}
\NormalTok{j\_n      }\OtherTok{=} \FunctionTok{matrix}\NormalTok{(}\FunctionTok{rep}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\NormalTok{,n), }\AttributeTok{nrow =}\NormalTok{ n)                            }\CommentTok{\# 1\_n}
\NormalTok{I\_n      }\OtherTok{=} \FunctionTok{diag}\NormalTok{(n)                                               }\CommentTok{\# I\_n}
\NormalTok{J\_n      }\OtherTok{=} \FunctionTok{matrix}\NormalTok{(}\FunctionTok{rep}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\NormalTok{,n}\SpecialCharTok{\^{}}\DecValTok{2}\NormalTok{), }\AttributeTok{nrow =}\NormalTok{ n)                          }\CommentTok{\# 1\_\{nn\}}
\NormalTok{Y\_1\_bar  }\OtherTok{=}\NormalTok{ (}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{n)}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{(Y\_1 }\SpecialCharTok{\%*\%}\NormalTok{ j\_n)                                   }\CommentTok{\# Stichprobenmittel}
\NormalTok{Y\_2\_bar  }\OtherTok{=}\NormalTok{ (}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{n)}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{(Y\_2 }\SpecialCharTok{\%*\%}\NormalTok{ j\_n)                                   }\CommentTok{\# Stichprobenmittel}
\NormalTok{C\_1      }\OtherTok{=}\NormalTok{ (}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{(n\_1}\DecValTok{{-}1}\NormalTok{))}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{(Y\_1 }\SpecialCharTok{\%*\%}\NormalTok{ (I\_n}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{n)}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{J\_n) }\SpecialCharTok{\%*\%} \FunctionTok{t}\NormalTok{(Y\_1))      }\CommentTok{\# Stichprobenkovarianzmatrix}
\NormalTok{C\_2      }\OtherTok{=}\NormalTok{ (}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{(n\_2}\DecValTok{{-}1}\NormalTok{))}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{(Y\_2 }\SpecialCharTok{\%*\%}\NormalTok{ (I\_n}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{n)}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{J\_n) }\SpecialCharTok{\%*\%} \FunctionTok{t}\NormalTok{(Y\_2))      }\CommentTok{\# Stichprobenkovarianzmatrix}
\NormalTok{C        }\OtherTok{=}\NormalTok{ ((n\_1}\DecValTok{{-}1}\NormalTok{)}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{C\_1}\SpecialCharTok{+}\NormalTok{(n\_2}\DecValTok{{-}1}\NormalTok{)}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{C\_2)}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{(n\_1}\SpecialCharTok{+}\NormalTok{n\_2}\DecValTok{{-}2}\NormalTok{)                 }\CommentTok{\# Gepoolte Stichprobenkovarianzmatrix}
\NormalTok{T2       }\OtherTok{=}\NormalTok{ (((n\_1}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{n\_2)}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{(n\_1}\SpecialCharTok{+}\NormalTok{n\_2))}\SpecialCharTok{*}                               \CommentTok{\# T\^{}2 Statistik}
           \FunctionTok{t}\NormalTok{(Y\_1\_bar}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{Y\_2\_bar) }\SpecialCharTok{\%*\%} \FunctionTok{inv}\NormalTok{(C) }\SpecialCharTok{\%*\%}\NormalTok{ (Y\_1\_bar}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{Y\_2\_bar))}
\ControlFlowTok{if}\NormalTok{(T2 }\SpecialCharTok{\textgreater{}}\NormalTok{ k\_alpha\_0)\{phi }\OtherTok{=} \DecValTok{1}\NormalTok{\} }\ControlFlowTok{else}\NormalTok{ \{phi }\OtherTok{=} \DecValTok{0}\NormalTok{\}                       }\CommentTok{\# Test 1\_\{T\^{}2 \textgreater{} k\_alpha\_0\}}
\NormalTok{p         }\OtherTok{=} \DecValTok{1} \SpecialCharTok{{-}} \FunctionTok{pf}\NormalTok{(nu}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{T2,m,n\_1}\SpecialCharTok{+}\NormalTok{n\_2}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{m}\DecValTok{{-}1}\NormalTok{)                          }\CommentTok{\# p{-}Wert}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]{Zweistichproben-T\(^2\)-Tests}
\protect\hypertarget{zweistichproben-t2-tests-21}{}
\small

Anwendungsbeispiel

\vspace{1mm}
\tiny
\setstretch{.8}

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\CommentTok{\# Ausgabe}
\FunctionTok{cat}\NormalTok{(}\StringTok{"Y\_1\_bar = "}\NormalTok{, Y\_1\_bar,}
    \StringTok{"}\SpecialCharTok{\textbackslash{}n}\StringTok{Y\_2\_bar = "}\NormalTok{, Y\_2\_bar,}
    \StringTok{"}\SpecialCharTok{\textbackslash{}n}\StringTok{C       = "}\NormalTok{, C,}
    \StringTok{"}\SpecialCharTok{\textbackslash{}n}\StringTok{T\^{}2     = "}\NormalTok{, T2,}
    \StringTok{"}\SpecialCharTok{\textbackslash{}n}\StringTok{alpha\_0 = "}\NormalTok{, alpha\_0,}
    \StringTok{"}\SpecialCharTok{\textbackslash{}n}\StringTok{k       = "}\NormalTok{, k\_alpha\_0,}
    \StringTok{"}\SpecialCharTok{\textbackslash{}n}\StringTok{phi     = "}\NormalTok{, phi,}
    \StringTok{"}\SpecialCharTok{\textbackslash{}n}\StringTok{p       = "}\NormalTok{, p)}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}

\begin{verbatim}
Y_1_bar =  51.9 47.4 
Y_2_bar =  66.5 61.7 
C       =  78.7 -8.94 -8.94 390 
T^2     =  25 
alpha_0 =  0.05 
k       =  6.96 
phi     =  1 
p       =  0.000181
\end{verbatim}

\small

Anwendungsbeispiel mit \texttt{MVTests::TwoSamplesHT2()} \vspace{1mm}

\tiny
\setstretch{.9}

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\FunctionTok{library}\NormalTok{(MVTests)                                 }\CommentTok{\# R Pakete}
\NormalTok{Y     }\OtherTok{=}\NormalTok{ D[}\FunctionTok{c}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{:}\DecValTok{15}\NormalTok{, }\DecValTok{31}\SpecialCharTok{:}\DecValTok{45}\NormalTok{), }\DecValTok{2}\SpecialCharTok{:}\DecValTok{3}\NormalTok{]                   }\CommentTok{\# Dataframe von Interesse}
\NormalTok{G     }\OtherTok{=} \FunctionTok{c}\NormalTok{(}\FunctionTok{rep}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\NormalTok{,}\DecValTok{15}\NormalTok{), }\FunctionTok{rep}\NormalTok{(}\DecValTok{2}\NormalTok{,}\DecValTok{15}\NormalTok{))                  }\CommentTok{\# Gruppenindikatoren}
\NormalTok{phi   }\OtherTok{=} \FunctionTok{TwoSamplesHT2}\NormalTok{(Y,G, alpha\_0)              }\CommentTok{\# Zweistichproben{-}T\^{}2{-}Test}

\CommentTok{\# Ausgabe}
\FunctionTok{cat}\NormalTok{(}\StringTok{"Y\_1\_bar = "}\NormalTok{ , phi}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{Descriptive1[}\DecValTok{1}\NormalTok{,],}
    \StringTok{"}\SpecialCharTok{\textbackslash{}n}\StringTok{Y\_2\_bar = "}\NormalTok{,  phi}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{Descriptive2[}\DecValTok{1}\NormalTok{,],}
    \StringTok{"}\SpecialCharTok{\textbackslash{}n}\StringTok{T\^{}2     = "}\NormalTok{, phi}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{HT2,}
    \StringTok{"}\SpecialCharTok{\textbackslash{}n}\StringTok{alpha\_0 = "}\NormalTok{, phi}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{alpha,}
    \StringTok{"}\SpecialCharTok{\textbackslash{}n}\StringTok{k       = "}\NormalTok{ ,phi}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{F,}
    \StringTok{"}\SpecialCharTok{\textbackslash{}n}\StringTok{p       = "}\NormalTok{, phi}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{p.value)}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}

\begin{verbatim}
Y_1_bar =  51.9 47.4 
Y_2_bar =  66.5 61.7 
T^2     =  25 
alpha_0 =  0.05 
k       =  12.1 
p       =  0.000181
\end{verbatim}
\end{frame}

\begin{frame}{}
\protect\hypertarget{section-7}{}
\vfill
\setstretch{2.4}
\large

Vorbemerkungen

Einstichproben-T\(^2\)-Tests

Zweistichproben-T\(^2\)-Tests

\textbf{Univariates vs.~multivariates Testen}

Selbstkontrollfragen \vfill
\end{frame}

\begin{frame}{Univariates vs.~multivariates Testen}
\protect\hypertarget{univariates-vs.-multivariates-testen}{}
\setstretch{1.5}

\textcolor{darkblue}{Gegeben sei ein Anwendungsszenario mit $n$ Beobachtungen von $m$ Variablen}

Bei Durchführung von \(m\) univariaten Tests entsteht ein multiples
Testproblem

\small

\begin{itemize}
\item
  Induktion multipler Typ I und Typ II Fehlerraten (cf. Ostwald et al.
  (2019))
\item
  Familywise Error Rate (FWER) =
  \(\mathbb{P}(\ge 1 {\mbox{ Typ I Fehler}})\)
\item
  Bei unabhängigen Variablen bietet zur FWER Kontrolle die
  \emph{Bonferroni Korrektur} an.
\item
  Bei Durchführung eines multivariaten Tests entsteht kein multiples
  Testproblem.
\end{itemize}

\normalsize

Multivariate Tests beziehen Variablenkovarianzen explizit mit ein.

\small

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Bei Durchführung von \(m\) univariaten Tests werden
  Variablenkorrelationen aktiv ignoriert.
\end{itemize}

\normalsize

Sollten \(m\) univariate Tests oder ein multivariater Test durchgeführt
werden?

\small

\begin{itemize}
\item
  Je nachdem, ob die Daten als multi- oder univariate Realisierung
  konzipiert werden.
\item
  Je nachdem, welche geometrische Form des Annahmebereiches gewünscht
  ist.
\item
  Prinzipiell sollte im wissenschaftlichen Diskurs überhaupt nicht
  getestet werden.
\end{itemize}

\normalsize

\textcolor{darkblue}{Wir betrachten in der Folge Simulationsszenarien mit $m := 2$}.
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]{Univariates vs.~multivariates Testen}
\protect\hypertarget{univariates-vs.-multivariates-testen-1}{}
\vspace{1mm}

\textcolor{darkblue}{Univariate vs. multivariate Einstichproben-T$^{(2)}$-Tests mit $\Sigma = \sigma^2I_2$}
\vspace{1mm}

\tiny
\setstretch{1}

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\CommentTok{\# R Pakete}
\FunctionTok{library}\NormalTok{(MASS)                                               }\CommentTok{\# R Paket für multivariate Normalverteilungen}
\FunctionTok{library}\NormalTok{(matlib)                                             }\CommentTok{\# R Paket für Matrizenrechnung}

\CommentTok{\# Modellparameter}
\NormalTok{m     }\OtherTok{=} \DecValTok{2}                                                   \CommentTok{\# Dimensionalität der Zufallsvektoren/Daten}
\NormalTok{n     }\OtherTok{=} \DecValTok{15}                                                  \CommentTok{\# Anzahl der Datenpunkte}
\NormalTok{mu    }\OtherTok{=} \FunctionTok{matrix}\NormalTok{(}\FunctionTok{c}\NormalTok{(}\DecValTok{0}\NormalTok{,}\DecValTok{0}\NormalTok{) , }\AttributeTok{nrow =} \DecValTok{2}\NormalTok{)                           }\CommentTok{\# Erwartungswertparameter}
\NormalTok{Sigma }\OtherTok{=} \FunctionTok{matrix}\NormalTok{(}\FunctionTok{c}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\NormalTok{,}\DecValTok{0}\NormalTok{,}\DecValTok{0}\NormalTok{,}\DecValTok{1}\NormalTok{), }\AttributeTok{nrow =} \DecValTok{2}\NormalTok{, }\AttributeTok{byrow =} \ConstantTok{TRUE}\NormalTok{)          }\CommentTok{\# Kovarianzmatrixparameter}

\CommentTok{\# Testparameter}
\NormalTok{alpha }\OtherTok{=} \FloatTok{0.05}                                                \CommentTok{\# Signifikanzlevel}
\NormalTok{nu    }\OtherTok{=}\NormalTok{ (n}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{m)}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{(m}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{(n}\DecValTok{{-}1}\NormalTok{))                                     }\CommentTok{\# T\^{}2{-}Test Parameter}
\NormalTok{k\_T2  }\OtherTok{=}\NormalTok{ (}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{nu)}\SpecialCharTok{*}\FunctionTok{qf}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{alpha, m, n}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{m)                          }\CommentTok{\# T\^{}2{-}Test kritischer Wert}
\NormalTok{k\_Tu  }\OtherTok{=} \FunctionTok{qt}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{/}\DecValTok{2}\NormalTok{)}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{alpha  ,n}\DecValTok{{-}1}\NormalTok{)                             }\CommentTok{\# T{-}Test kritischer Wert unkorrigiert}
\NormalTok{k\_Tc  }\OtherTok{=} \FunctionTok{qt}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{/}\DecValTok{2}\NormalTok{)}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{alpha}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{m,n}\DecValTok{{-}1}\NormalTok{)                             }\CommentTok{\# T{-}Test kritischer Wert Bonferonni korrigiert}

\CommentTok{\# Simulation der Testumfangkontrolle}
\NormalTok{nsim  }\OtherTok{=} \FloatTok{1e4}                                                 \CommentTok{\# Anzahl Simulation}
\NormalTok{phi   }\OtherTok{=} \FunctionTok{matrix}\NormalTok{(}\FunctionTok{rep}\NormalTok{(}\ConstantTok{NaN}\NormalTok{,nsim}\SpecialCharTok{*}\DecValTok{5}\NormalTok{), }\AttributeTok{nrow =} \DecValTok{5}\NormalTok{)                   }\CommentTok{\# Testentscheidungsarray}
\NormalTok{j\_n   }\OtherTok{=} \FunctionTok{matrix}\NormalTok{(}\FunctionTok{rep}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\NormalTok{,n), }\AttributeTok{nrow =}\NormalTok{ n)                          }\CommentTok{\# 1\_n}
\NormalTok{I\_n   }\OtherTok{=} \FunctionTok{diag}\NormalTok{(n)                                             }\CommentTok{\# I\_n}
\NormalTok{J\_n   }\OtherTok{=} \FunctionTok{matrix}\NormalTok{(}\FunctionTok{rep}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\NormalTok{,n}\SpecialCharTok{\^{}}\DecValTok{2}\NormalTok{), }\AttributeTok{nrow =}\NormalTok{ n)                        }\CommentTok{\# 1\_\{nn\}}
\ControlFlowTok{for}\NormalTok{(s }\ControlFlowTok{in} \DecValTok{1}\SpecialCharTok{:}\NormalTok{nsim)\{                                           }\CommentTok{\# Simulationsiterationen}
\NormalTok{    Y        }\OtherTok{=} \FunctionTok{t}\NormalTok{(}\FunctionTok{mvrnorm}\NormalTok{(n,mu,Sigma))                       }\CommentTok{\# Y\_i \textbackslash{}sim N(\textbackslash{}mu,\textbackslash{}Sigma), i = 1,...,n}
\NormalTok{    Y\_bar    }\OtherTok{=}\NormalTok{ (}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{n)}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{(Y }\SpecialCharTok{\%*\%}\NormalTok{ j\_n)                            }\CommentTok{\# Stichprobenmittel}
\NormalTok{    C        }\OtherTok{=}\NormalTok{ (}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{(n}\DecValTok{{-}1}\NormalTok{))}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{(Y }\SpecialCharTok{\%*\%}\NormalTok{ (I\_n}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{n)}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{J\_n) }\SpecialCharTok{\%*\%} \FunctionTok{t}\NormalTok{(Y))   }\CommentTok{\# Stichprobenkovarianzmatrix}
\NormalTok{    phi[}\DecValTok{1}\NormalTok{,s] }\OtherTok{=}\NormalTok{  n}\SpecialCharTok{*}\FunctionTok{t}\NormalTok{(Y\_bar) }\SpecialCharTok{\%*\%} \FunctionTok{inv}\NormalTok{(C) }\SpecialCharTok{\%*\%}\NormalTok{ (Y\_bar)  }\SpecialCharTok{\textgreater{}}\NormalTok{ k\_T2   }\CommentTok{\# T\^{}2{-}Test mit \textbackslash{}mu\_0}
    \ControlFlowTok{for}\NormalTok{(i }\ControlFlowTok{in} \DecValTok{1}\SpecialCharTok{:}\NormalTok{m)\{                                          }\CommentTok{\# T{-}Test Iterationen}
\NormalTok{      y\_bar      }\OtherTok{=}\NormalTok{ Y\_bar[i]                                 }\CommentTok{\# Stichprobenmittel}
\NormalTok{      sigma\_hat  }\OtherTok{=} \FunctionTok{sqrt}\NormalTok{(C[i,i])                             }\CommentTok{\# Stichprobenstandardabweichung}
\NormalTok{      phi[i}\SpecialCharTok{+}\DecValTok{1}\NormalTok{,s] }\OtherTok{=} \FunctionTok{abs}\NormalTok{(}\FunctionTok{sqrt}\NormalTok{(n)}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{y\_bar}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{sigma\_hat)  }\SpecialCharTok{\textgreater{}}\NormalTok{ k\_Tu     }\CommentTok{\# Unkorrigierter T{-}Test mit \textbackslash{}mu\_0 = 0}
\NormalTok{      phi[i}\SpecialCharTok{+}\DecValTok{3}\NormalTok{,s] }\OtherTok{=} \FunctionTok{abs}\NormalTok{(}\FunctionTok{sqrt}\NormalTok{(n)}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{y\_bar}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{sigma\_hat)  }\SpecialCharTok{\textgreater{}}\NormalTok{ k\_Tc\}\}   }\CommentTok{\# Korrigierter   T{-}Test mit \textbackslash{}mu\_0 = 0}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]{Univariates vs.~multivariates Testen}
\protect\hypertarget{univariates-vs.-multivariates-testen-2}{}
\vspace{1mm}

\textcolor{darkblue}{Univariate vs. multivariate Einstichproben-T$^{(2)}$-Tests mit $\Sigma = \sigma^2I_2$}
\vspace{2mm}

\small

\begin{verbatim}
Kritischer Wert T^2-Test                                        = 8.2 
Kritischer Wert T-Test                                          = 2.14 
Kritischer Wert T-Test Bonferroni                               = 2.51 
 
Geschätzte Typ I Fehlerwahrscheinlichkeit T^2-Test              = 0.049 
 
Geschätzte Typ I Fehlerwahrscheinlichkeit T-Test 1 unkorrigiert = 0.0474 
Geschätzte Typ I Fehlerwahrscheinlichkeit T-Test 2 unkorrigiert = 0.0523 
Geschätzte FWER T-Tests unkorrigiert                            = 0.0978 
 
Geschätzte Typ I Fehlerwahrscheinlichkeit T-Test 1 Bonferroni   = 0.0245 
Geschätzte Typ I Fehlerwahrscheinlichkeit T-Test 2 Bonferroni   = 0.0264 
Geschätzte FWER T-Tests Bonferroni                              = 0.0506
\end{verbatim}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]{Univariates vs.~multivariates Testen}
\protect\hypertarget{univariates-vs.-multivariates-testen-3}{}
\vspace{1mm}

\textcolor{darkblue}{Univariate vs. multivariate Einstichproben-T$^{(2)}$-Tests mit $\Sigma \neq \sigma^2I_2$}
\vspace{2mm}

\small

\begin{verbatim}
Kritischer Wert T^2-Test                                        = 8.2 
Kritischer Wert T-Test                                          = 2.14 
Kritischer Wert T-Test Bonferroni                               = 2.51 
 
Geschätzte Typ I Fehlerwahrscheinlichkeit T^2-Test              = 0.0445 
 
Geschätzte Typ I Fehlerwahrscheinlichkeit T-Test 1 unkorrigiert = 0.0471 
Geschätzte Typ I Fehlerwahrscheinlichkeit T-Test 2 unkorrigiert = 0.0465 
Geschätzte FWER T-Tests unkorrigiert                            = 0.0675 
 
Geschätzte Typ I Fehlerwahrscheinlichkeit T-Test 1 Bonferroni   = 0.0214 
Geschätzte Typ I Fehlerwahrscheinlichkeit T-Test 2 Bonferroni   = 0.0226 
Geschätzte FWER T-Tests Bonferroni                              = 0.0226
\end{verbatim}

\vspace{2mm}

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Kovariabilität von Variablen reduziert die FWER.
\item
  Die Bonferroni FWER Korrektur wird \emph{konservativ}, also
  \(\mathbb{P}(\ge 1 {\mbox{ Typ I Fehler}}) < \alpha_0\).
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Univariates vs.~multivariates Testen}
\protect\hypertarget{univariates-vs.-multivariates-testen-4}{}
\setstretch{1.5}

\textcolor{darkblue}{Univariate vs. multivariate Einstichproben-Z$^{(2)}$-Tests}

\small

Zur Visualisierung von Stichprobenmittel und Testentscheidung bieten
sich (nur) \(Z^2\)-Test an.

Z\(^2\)-Test \(\approx\) T\(^2\)-Test mit als bekannt vorausgesetzter
Kovarianzmatrix bei \(Y_i \sim N(\mu,\Sigma)\).

\begin{itemize}
\item
  Einstichproben-\(Z^2\)-Teststatistik: \begin{equation}
  Z^2 := n(\bar{Y} - \mu_0)^T\Sigma^{-1}(\bar{Y} - \mu_0)
  \end{equation}
\item
  Verteilung der Einstichproben-\(Z^2\)-Teststatistik bei
  \(H_0 : \mu = \mu_0\): \begin{equation}
  Z^2 \sim \chi^2(m)
  \end{equation}
\item
  Kritischer Wert für Testumfangkontrolle: \begin{equation}
  k_{\alpha_0} := \Xi^{2^{-1}}(1-\alpha_0;m)
  \end{equation} wobei \(\Xi^{2^{-1}}\) die inversen KVF der \(\chi^2\)
  Verteilung bezeichnet.
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]{Univariates vs.~multivariates Testen}
\protect\hypertarget{univariates-vs.-multivariates-testen-5}{}
\textcolor{darkblue}{Univariate vs. multivariate Einstichproben-Z$^{(2)}$-Tests mit $\Sigma = \sigma^2I_2$}

\setstretch{1}
\tiny

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\CommentTok{\# R Pakete}
\FunctionTok{library}\NormalTok{(MASS)                                               }\CommentTok{\# R Paket für multivariate Normalverteilungen}
\FunctionTok{library}\NormalTok{(matlib)                                             }\CommentTok{\# R Paket für Matrizenrechnung}

\CommentTok{\# Modellparameter}
\NormalTok{m     }\OtherTok{=} \DecValTok{2}                                                   \CommentTok{\# Dimensionalität der Zufallsvektoren/Daten}
\NormalTok{n     }\OtherTok{=} \DecValTok{15}                                                  \CommentTok{\# Anzahl der Datenpunkte}
\NormalTok{mu    }\OtherTok{=} \FunctionTok{matrix}\NormalTok{(}\FunctionTok{c}\NormalTok{(}\DecValTok{0}\NormalTok{,}\DecValTok{0}\NormalTok{) , }\AttributeTok{nrow =} \DecValTok{2}\NormalTok{)                           }\CommentTok{\# Erwartungswertparameter }
\NormalTok{Sigma }\OtherTok{=} \FunctionTok{matrix}\NormalTok{(}\FunctionTok{c}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\NormalTok{,}\DecValTok{0}\NormalTok{,}\DecValTok{0}\NormalTok{,}\DecValTok{1}\NormalTok{), }\AttributeTok{nrow =} \DecValTok{2}\NormalTok{, }\AttributeTok{byrow =} \ConstantTok{TRUE}\NormalTok{)          }\CommentTok{\# Kovarianzmatrixparameter}

\CommentTok{\# Testparameter}
\NormalTok{alpha }\OtherTok{=} \FloatTok{0.05}                                                \CommentTok{\# Signifikanzlevel }
\NormalTok{k\_Z2  }\OtherTok{=} \FunctionTok{qchisq}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{alpha, m)                                  }\CommentTok{\# Z\^{}2{-}Test kritischer Wert}
\NormalTok{k\_Zu  }\OtherTok{=} \FunctionTok{qnorm}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{/}\DecValTok{2}\NormalTok{)}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{alpha)                                }\CommentTok{\# Z{-}Test kritischer Wert unkorrigiert}
\NormalTok{k\_Zc  }\OtherTok{=} \FunctionTok{qnorm}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{/}\DecValTok{2}\NormalTok{)}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{alpha}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{m)                              }\CommentTok{\# Z{-}Test kritischer Wert Bonferonni korrigiert}

\CommentTok{\# Simulation der Testumfangkontrolle}
\NormalTok{nsim  }\OtherTok{=} \FloatTok{2e3}                                                 \CommentTok{\# Anzahl Simulation}
\NormalTok{YB    }\OtherTok{=} \FunctionTok{matrix}\NormalTok{(}\FunctionTok{rep}\NormalTok{(}\ConstantTok{NaN}\NormalTok{,nsim}\SpecialCharTok{*}\DecValTok{2}\NormalTok{), }\AttributeTok{nrow  =} \DecValTok{2}\NormalTok{)                  }\CommentTok{\# Stichprobenmittelarray}
\NormalTok{phi   }\OtherTok{=} \FunctionTok{matrix}\NormalTok{(}\FunctionTok{rep}\NormalTok{(}\ConstantTok{NaN}\NormalTok{,nsim}\SpecialCharTok{*}\DecValTok{5}\NormalTok{), }\AttributeTok{nrow  =} \DecValTok{5}\NormalTok{)                  }\CommentTok{\# Testentscheidungsarray}
\NormalTok{j\_n   }\OtherTok{=} \FunctionTok{matrix}\NormalTok{(}\FunctionTok{rep}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\NormalTok{,n), }\AttributeTok{nrow =}\NormalTok{ n)                          }\CommentTok{\# 1\_n}
\NormalTok{I\_n   }\OtherTok{=} \FunctionTok{diag}\NormalTok{(n)                                             }\CommentTok{\# I\_n}
\NormalTok{J\_n   }\OtherTok{=} \FunctionTok{matrix}\NormalTok{(}\FunctionTok{rep}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\NormalTok{,n}\SpecialCharTok{\^{}}\DecValTok{2}\NormalTok{), }\AttributeTok{nrow =}\NormalTok{ n)                        }\CommentTok{\# 1\_\{nn\}}
\ControlFlowTok{for}\NormalTok{(s }\ControlFlowTok{in} \DecValTok{1}\SpecialCharTok{:}\NormalTok{nsim)\{                                           }\CommentTok{\# Simulationsiterationen}
\NormalTok{    Y        }\OtherTok{=} \FunctionTok{t}\NormalTok{(}\FunctionTok{mvrnorm}\NormalTok{(n,mu,Sigma))                       }\CommentTok{\# Y\_i \textbackslash{}sim N(\textbackslash{}mu,\textbackslash{}Sigma), i = 1,...,n}
\NormalTok{    YB[,s]   }\OtherTok{=}\NormalTok{ (}\DecValTok{1}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{n)}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{(Y }\SpecialCharTok{\%*\%}\NormalTok{ j\_n)                            }\CommentTok{\# Stichprobenmittel}
\NormalTok{    phi[}\DecValTok{1}\NormalTok{,s] }\OtherTok{=}\NormalTok{ (n}\SpecialCharTok{*}\FunctionTok{t}\NormalTok{(YB[,s])}\SpecialCharTok{\%*\%}\FunctionTok{inv}\NormalTok{(Sigma)}\SpecialCharTok{\%*\%}\NormalTok{YB[,s]) }\SpecialCharTok{\textgreater{}}\NormalTok{ k\_Z2   }\CommentTok{\# T\^{}2{-}Test mit \textbackslash{}mu\_0 }
    \ControlFlowTok{for}\NormalTok{(i }\ControlFlowTok{in} \DecValTok{1}\SpecialCharTok{:}\NormalTok{m)\{                                          }\CommentTok{\# T{-}Test Iterationen}
\NormalTok{      y\_bar      }\OtherTok{=}\NormalTok{ YB[i,s]                                  }\CommentTok{\# Stichprobenmittel}
\NormalTok{      sigma      }\OtherTok{=} \FunctionTok{sqrt}\NormalTok{(Sigma[i,i])                         }\CommentTok{\# Stichprobenstandardabweichung}
\NormalTok{      phi[i}\SpecialCharTok{+}\DecValTok{1}\NormalTok{,s] }\OtherTok{=} \FunctionTok{abs}\NormalTok{(}\FunctionTok{sqrt}\NormalTok{(n)}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{y\_bar}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{sigma)  }\SpecialCharTok{\textgreater{}}\NormalTok{ k\_Zu         }\CommentTok{\# Unkorrigierter T{-}Test mit \textbackslash{}mu\_0 = 0}
\NormalTok{      phi[i}\SpecialCharTok{+}\DecValTok{3}\NormalTok{,s] }\OtherTok{=} \FunctionTok{abs}\NormalTok{(}\FunctionTok{sqrt}\NormalTok{(n)}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{y\_bar}\SpecialCharTok{/}\NormalTok{sigma)  }\SpecialCharTok{\textgreater{}}\NormalTok{ k\_Zc\}\}       }\CommentTok{\# Korrigierter   T{-}Test mit \textbackslash{}mu\_0 = 0}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}
\end{frame}

\begin{frame}{Univariates vs.~multivariates Testen}
\protect\hypertarget{univariates-vs.-multivariates-testen-6}{}
\vspace{1mm}

\textcolor{darkblue}{Univariate vs. multivariate Einstichproben-Z$^{(2)}$-Tests mit $\Sigma = \sigma^2I_2$}
\vspace{1mm}

\begin{center}\includegraphics[width=0.65\linewidth]{10_Abbildungen/mvda_10_univariate_vs_multivariate_1} \end{center}
\end{frame}

\begin{frame}{Univariates vs.~multivariates Testen}
\protect\hypertarget{univariates-vs.-multivariates-testen-7}{}
\vspace{1mm}

\textcolor{darkblue}{Univariate vs. multivariate Einstichproben-Z$^{(2)}$-Tests mit $\Sigma = \sigma^2I_2$}

\begin{center}\includegraphics[width=0.65\linewidth]{10_Abbildungen/mvda_10_univariate_vs_multivariate_2} \end{center}
\vspace{-2mm}
\footnotesize
\center

\textcolor{lightgray}{$\bullet$} \(\phi(Y) = 1\),
\textcolor{red}{$\bullet$} \(\phi(Y_1) = 1\),
\textcolor{blue}{$\bullet$} \(\phi(Y_2) = 1\),
\textcolor{black}{$\bullet$} \(\phi(Y_1) = 1 \mbox{ und }\phi(Y_2) = 1\)
\end{frame}

\begin{frame}{Univariates vs.~multivariates Testen}
\protect\hypertarget{univariates-vs.-multivariates-testen-8}{}
\vspace{1mm}

\textcolor{darkblue}{Univariate vs. multivariate Einstichproben-Z$^{(2)}$-Tests mit $\Sigma \neq \sigma^2I_2$}
\vspace{1mm}

\begin{center}\includegraphics[width=0.65\linewidth]{10_Abbildungen/mvda_10_univariate_vs_multivariate_3} \end{center}
\end{frame}

\begin{frame}{Univariates vs.~multivariates Testen}
\protect\hypertarget{univariates-vs.-multivariates-testen-9}{}
\vspace{1mm}

\textcolor{darkblue}{Univariate vs. multivariate Einstichproben-Z$^{(2)}$-Tests mit $\Sigma = \sigma^2I_2$}

\begin{center}\includegraphics[width=0.65\linewidth]{10_Abbildungen/mvda_10_univariate_vs_multivariate_4} \end{center}
\vspace{-2mm}
\footnotesize
\center

\textcolor{lightgray}{$\bullet$} \(\phi(Y) = 1\),
\textcolor{red}{$\bullet$} \(\phi(Y_1) = 1\),
\textcolor{blue}{$\bullet$} \(\phi(Y_2) = 1\),
\textcolor{black}{$\bullet$} \(\phi(Y_1) = 1 \mbox{ und }\phi(Y_2) = 1\)
\end{frame}

\begin{frame}{}
\protect\hypertarget{section-8}{}
\vfill
\setstretch{2.4}
\large

Vorbemerkungen

Einstichproben-T\(^2\)-Tests

Zweistichproben-T\(^2\)-Tests

Univariates vs.~multivariates Testen

\textbf{Selbstkontrollfragen} \vfill
\end{frame}

\begin{frame}{Selbstkontrollfragen}
\protect\hypertarget{selbstkontrollfragen}{}
\footnotesize
\setstretch{1.2}
\begin{enumerate}
\justifying
\itemsep0mm
\item Erläutern Sie das Modell und die Standardprobleme der Frequentistischen Inferenz.
\item Erläutern Sie die Standardannahmen Frequentistischer Inferenz.
\item Definieren Sie den Begriff der Mahalanobis Distanz.
\item Erläutern Sie den Unterschied zwischen einer $f$-Verteilung und einer nichtzentralen $f$-Verteilung.
\item Beschreiben Sie das Anwendungsszenario für einen Einstichproben-T$^2$-Test.
\item Geben Sie das statistische Modell eines Einstichproben-T$^2$-Test in klassischer Form an.
\item Geben Sie das statistische Modell eines Einstichproben-T$^2$-Test in generativer Form an.
\item Erläutern Sie das statistische Modell eines Einstichproben-T$^2$-Test in generativer Form.
\item Definieren Sie die Testhypothesen eines Einstichproben-T$^2$-Test mit einfacher Nullhypothese und zusammengesetzter Alternativhypothese.
\item Definieren Sie die Einstichproben-T$^2$-Teststatistik.
\item Erläutern Sie, wann die Einstichproben-T$^2$-Teststatistik hohe Werte annimmt.
\item Geben Sie die WDF und KVF der Einstichproben-T$^2$-Teststatistik an.
\item Geben Sie den kritischen Wert für einen Level-$\alpha_0$-Einstichproben-T$^2$-Testmit einfacher Nullhypothese und zusammengesetzter Alternativhypothese und Testumfang $\alpha_0$ an.
\item Erläutern Sie das praktische Vorgehen bei der Durchführung eines Einstichproben-T$^2$-Tests.
\item Definieren Sie den Begriff des p-Wertes.
\item Geben Sie den p-Wert für einen Einstichproben-T$^2$-Test mit einfacher Nullhypothese und zusammengesetzter Alternativhypothese an und erläutern Sie die Komponenten des entsprechenden Ausdrucks.
\item Definieren Sie die Powerfunktion eines Einstichproben-T$^2$-Test mit einfacher Nullhypothese und zusammengesetzter Alternativhypothese und erläutern Sie ihre Komponenten.
\end{enumerate}
\end{frame}

\begin{frame}{References}
\protect\hypertarget{references}{}
\footnotesize

\hypertarget{refs}{}
\begin{CSLReferences}{1}{0}
\leavevmode\vadjust pre{\hypertarget{ref-anderson_2003}{}}%
Anderson, T. W. 2003. \emph{An Introduction to Multivariate Statistical
Analysis}. 3rd ed. Wiley Series in Probability and Statistics. {Hoboken,
N.J}: {Wiley-Interscience}.

\leavevmode\vadjust pre{\hypertarget{ref-hotelling_1931}{}}%
Hotelling, Harold. 1931. {``The {Generalization} of {Student}'s
{Ratio}.''} \emph{The Annals of Mathematical Statistics} 2 (3): 360--78.
\url{https://doi.org/10.1214/aoms/1177732979}.

\leavevmode\vadjust pre{\hypertarget{ref-ostwald_2019}{}}%
Ostwald, Dirk, Sebastian Schneider, Rasmus Bruckner, and Lilla Horvath.
2019. {``Power, Positive Predictive Value, and Sample Size Calculations
for Random Field Theory-Based {fMRI} Inference.''} \emph{BioRxiv:
Doi.org/10.1101/613331}, April. \url{https://doi.org/10.1101/613331}.

\end{CSLReferences}
\end{frame}

\end{document}
