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\fi
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    \vskip-30pt \color{black}\large%
    \begin{minipage}[b][23pt]{120mm}%
    \flushleft\insertframetitle%
    \end{minipage}%
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{
\vskip10pt\hfill\hspace{3.5mm} 										 
\vskip15pt\color{black}\rule{\textwidth}{0.4pt} 					 
}

% slide number
% ---------------------------------------------------------------
\setbeamertemplate{navigation symbols}{}
\setbeamertemplate{footline}
{
\vskip5pt
\vskip2pt
\makebox[123mm]{\hspace{7.5mm}
\hfill Multivariate Datenanalyse $\vert$ 
\copyright $ $ 2022 Dirk Ostwald CC BY-NC-SA 4.0 $\vert$ 
Folie \insertframenumber}
\vskip4pt
}

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% ------------------------------------------------------------------------------
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% ------------------------------------------------------------------------------
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% -----------------------------------------------------------------------------
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  \let\set@color\beamerorig@set@color
  \let\reset@color\beamerorig@reset@color
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% -----------------------------------------------------------------------------
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% additional mathematical operators
% ------------------------------------------------------------------------------
\DeclareMathOperator*{\argmax}{arg\,max}
\DeclareMathOperator*{\argmin}{arg\,min}

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\fi
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\hypersetup{
  hidelinks,
  pdfcreator={LaTeX via pandoc}}

\author{}
\date{\vspace{-2.5em}}

\begin{document}

\begin{frame}[plain]{}
\protect\hypertarget{section}{}
\center

\begin{center}\includegraphics[width=0.2\linewidth]{2_Abbildungen/mvda_2_otto} \end{center}

\vspace{2mm}

\Huge

Multivariate Datenanalyse \vspace{6mm}

\large

MSc Psychologie WiSe 2021/22

\vspace{6mm}
\large

Prof.~Dr.~Dirk Ostwald
\end{frame}

\begin{frame}[plain]{}
\protect\hypertarget{section-1}{}
\vfill
\center
\huge

\textcolor{black}{(2) Matrizen} \vfill
\end{frame}

\begin{frame}{Definition}
\protect\hypertarget{definition}{}
\large

\textcolor{darkblue}{Motivation} \setstretch{2.2}

\normalsize

Matrizen sind die Worte der Sprache der multivariaten Datenanalyse.

Vektoren sind nur spezielle Matrizen.

Matrizen können als Tabellen der Datenrepräsentation dienen.

Matrizen können lineare Abbildungen repräsentieren.

Matrizen können Vektorräume repräsentieren. \vspace{2mm}

\center
\setstretch{1.2}

\textcolor{darkblue}{Ein sicherer Umgang mit Matrizen ist für}

\textcolor{darkblue}{das Verständnis multivariater Verfahren unverzichtbar.}
\end{frame}

\begin{frame}{}
\protect\hypertarget{section-2}{}
\large
\setstretch{2}
\vfill

Definition

Operationen

Determinanten

Spezielle Matrizen

Spaltenraum und Rang

Eigenanalyse

Selbstkontrollfragen \vfill
\end{frame}

\begin{frame}{}
\protect\hypertarget{section-3}{}
\large
\setstretch{2}
\vfill

\textbf{Definition}

Operationen

Determinanten

Spezielle Matrizen

Spaltenraum und Rang

Eigenanalyse

Selbstkontrollfragen \vfill
\end{frame}

\begin{frame}{Definition}
\protect\hypertarget{definition-1}{}
\small
\begin{definition}[Matrix]
Eine Matrix ist eine rechteckige Anordnung von Zahlen, die wie folgt bezeichnet
wird
\begin{equation}
A := \begin{pmatrix*}[r]
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{pmatrix*}
:= {(a_{ij})}_{1\le i\le n,\, 1\le j\le m}.
\end{equation}
\end{definition}

\footnotesize

Bemerkungen

\begin{itemize}
\item
  Matrizen bestehen aus \emph{Zeilen (rows)} und \emph{Spalten
  (columns)}.
\item
  Die Matrixeinträge \(a_{ij}\) werden mit einem \emph{Zeilenindex}
  \(i\) und einem \emph{Spaltenindex} \(j\) indiziert. \vspace{2mm}
\item
  Zum Beispiel gilt für
  \(A:=\begin{pmatrix*}[r] 2 & 7 & 5 & 2 \\ 8 & 2 & 5 & 6 \\ 6 & 4 & 0 & 9 \\ 9 & 2 & 1 & 2 \end{pmatrix*}\),
  dass \(a_{32} = 4\).
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Definition}
\protect\hypertarget{definition-2}{}
\setstretch{2.3}
\small

Bemerkungen (fortgeführt)

\footnotesize

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Die \emph{Größe} oder \emph{Dimension} einer Matrix ergibt sich aus
  der Anzahl ihrer Zeilen \(m\in \mathbb{N}\) und Spalten
  \(n \in \mathbb{N}\).
\item
  Matrizen mit \(m = n\) heißen \emph{quadratische Matrizen}.
\item
  In der Folge benötigen wir nur Matrizen mit reellen Einträgen, also
  \(a_{ij} \in \mathbb{R}\) \(\forall i = 1,...,m, j = 1,...,n\).
\item
  Wir nennen die Matrizen mit reellen Einträge \emph{reelle Matrizen}.
\item
  Die Menge der reellen Matrizen mit \(m\) Zeilen und \(n\) Spalten
  bezeichnen wir mit \(\mathbb{R}^{m \times n}\)
\item
  Aus dem Ausdruck \(A \in \mathbb{R}^{2\times3}\) lesen wir ab, dass
  \(A\) eine reelle Matrix mit zwei Zeilen und drei Spalten ist.
\item
  Wir identifizieren die Menge \(\mathbb{R}^{1 \times 1}\) mit der Menge
  \(\mathbb{R}\).
\item
  Wir identifizieren die Menge \(\mathbb{R}^{m \times 1}\) mit der Menge
  \(\mathbb{R}^m\).
\item
  Reelle Matrizen mit einer Spalte und \(m\) Zeilen sind also dasselbe
  wie \(m\)-dimensionale reelle Vektoren.
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{}
\protect\hypertarget{section-4}{}
\large
\setstretch{2}
\vfill

Definition

\textbf{Operationen}

Determinanten

Spezielle Matrizen

Spaltenraum und Rang

Eigenanalyse

Selbstkontrollfragen \vfill
\end{frame}

\begin{frame}{Operationen}
\protect\hypertarget{operationen}{}
\textcolor{darkblue}{Matrixoperationen} \setstretch{2.5}

\small

Man kann mit Matrizen rechnen.

In der Folge betrachten wir folgende grundlegende Matrixoperationen

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Addition und Subtraktion von Matrizen gleicher Größe (Matrixaddition
  und Matrixsubtraktion)
\item
  Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar (Skalarmultiplikation)
\item
  Vertauschen der Zeilen- und Spaltenanordnung (Matrixtransposition)
\item
  Multiplikation einer Matrix mit einer passenden zweiten Matrix
  (Matrixmultiplikation)
\item
  ``Teilen'' durch eine Matrix (Matrixinversion)
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Operationen}
\protect\hypertarget{operationen-1}{}
\footnotesize
\begin{definition}[Matrixaddition]
Es seien $A,B\in \mathbb{R}^{m\times n}$. Dann ist  die \textit{Addition} von $A$
und $B$ definiert als die Abbildung
\begin{equation}
+ : \mathbb{R}^{m\times n} \times \mathbb{R}^{m\times n} \to \mathbb{R}^{m \times n}, \,
(A,B) \mapsto +(A,B) := A + B
\end{equation}
mit
\begin{align}
\begin{split}
A + B
& =
\begin{pmatrix*}[r]
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{pmatrix*}
+
\begin{pmatrix*}[r]
b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\
b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
b_{m1} & b_{m2} & \cdots & b_{mn}
\end{pmatrix*}
\\
&
:=
\begin{pmatrix*}[r]
a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} & \cdots & a_{1n} + b_{1n} \\
a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} & \cdots & a_{2n} + b_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} + b_{m1} & a_{m2} + b_{m2} & \cdots & a_{mn} + b_{mn}
\end{pmatrix*}.
\end{split}
\end{align}
\end{definition}

Bemerkungen

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Nur Matrizen identischer Größe können miteinander addiert werden.
\item
  Die Addition zweier gleich großer Matrizen ist elementweise definiert.
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Operationen}
\protect\hypertarget{operationen-2}{}
\footnotesize
\begin{definition}[Matrixsubtraktion]
Es seien $A,B\in \mathbb{R}^{m\times n}$. Dann ist  die \textit{Subtraktion} von $A$
und $B$ definiert als die Abbildung
\begin{equation}
- : \mathbb{R}^{m\times n} \times \mathbb{R}^{m\times n} \to \mathbb{R}^{m \times n}, \,
(A,B) \mapsto -(A,B) := A - B
\end{equation}
mit
\begin{align}
\begin{split}
A - B
& =
\begin{pmatrix*}[r]
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{pmatrix*}
-
\begin{pmatrix*}[r]
b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\
b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
b_{m1} & b_{m2} & \cdots & b_{mn}
\end{pmatrix*}
\\
&
:=
\begin{pmatrix*}[r]
a_{11} - b_{11} & a_{12} - b_{12} & \cdots & a_{1n} - b_{1n} \\
a_{21} - b_{21} & a_{22} - b_{22} & \cdots & a_{2n} - b_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} - b_{m1} & a_{m2} - b_{m2} & \cdots & a_{mn} - b_{mn}
\end{pmatrix*}.
\end{split}
\end{align}
\end{definition}

Bemerkungen

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Nur Matrizen identischer Größe können voneinander subtrahiert werden.
\item
  Die Subktration zweier gleich großer Matrizen ist elementweise
  definiert.
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Operationen}
\protect\hypertarget{operationen-3}{}
\small

Beispiel

\footnotesize

Es seien \(A,B\in \mathbb{R}^{2\times 3}\) definiert als
\begin{equation}
A:=\begin{pmatrix*}[r]
2 & -3 & 0\\
1 &  6 & 5\\
\end{pmatrix*}
\mbox{ und }
B := \begin{pmatrix*}[r]
 4 & 1 & 0\\
-4 & 2 & 0\\
\end{pmatrix*}.
\end{equation} Da \(A\) und \(B\) gleich groß sind, können wir sie
addieren \begin{align}
\begin{split}
C
= A+B
& =
\begin{pmatrix*}[r]
2 & -3 & 0\\
1 &  6 & 5\\
\end{pmatrix*}
+
\begin{pmatrix*}[r]
 4 & 1 & 0\\
-4 & 2 & 0\\
\end{pmatrix*}\\
& =
\begin{pmatrix*}[r]
2 + 4 & -3 + 1 & 0 + 0\\
1 - 4 &  6 + 2 & 5 + 0\\
\end{pmatrix*}\\
& =
\begin{pmatrix*}[r]
6 & -2 & 0\\
-3 &  8 & 5 \\
\end{pmatrix*}
\end{split}
\end{align} und voneinander subtrahieren \begin{align}
\begin{split}
D
= A-B
=
& \begin{pmatrix*}[r]
2 & -3 & 0\\
1 &  6 & 5\\
\end{pmatrix*}
-
\begin{pmatrix*}[r]
 4 & 1 & 0\\
-4 & 2 & 0\\
\end{pmatrix*}\\
& =
\begin{pmatrix*}[r]
2 - 4 & -3 - 1 & 0 - 0\\
1 + 4 &  6 - 2 & 5 - 0\\
\end{pmatrix*}\\
& =
\begin{pmatrix*}[r]
-2 & -4 & 0\\
5 &  4 & 5 \\
\end{pmatrix*}.
\end{split}
\end{align}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]{Operationen}
\protect\hypertarget{operationen-4}{}
\small

Beispiel \vspace{5mm}

\footnotesize

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\CommentTok{\# Spaltenweise Definition von A (R default)}
\NormalTok{A }\OtherTok{=} \FunctionTok{matrix}\NormalTok{(}\FunctionTok{c}\NormalTok{(}\DecValTok{2}\NormalTok{,}\DecValTok{1}\NormalTok{,}\SpecialCharTok{{-}}\DecValTok{3}\NormalTok{,}\DecValTok{6}\NormalTok{,}\DecValTok{0}\NormalTok{,}\DecValTok{5}\NormalTok{), }\AttributeTok{nrow =} \DecValTok{2}\NormalTok{)}
\FunctionTok{print}\NormalTok{(A)}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}

\begin{verbatim}
>      [,1] [,2] [,3]
> [1,]    2   -3    0
> [2,]    1    6    5
\end{verbatim}

\vspace{5mm}

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\CommentTok{\# Zeilenweise Definition von B}
\NormalTok{B }\OtherTok{=} \FunctionTok{matrix}\NormalTok{(}\FunctionTok{c}\NormalTok{(}\DecValTok{4}\NormalTok{,}\DecValTok{1}\NormalTok{,}\DecValTok{0}\NormalTok{,}\SpecialCharTok{{-}}\DecValTok{4}\NormalTok{,}\DecValTok{2}\NormalTok{,}\DecValTok{0}\NormalTok{), }\AttributeTok{nrow =} \DecValTok{2}\NormalTok{, }\AttributeTok{byrow =} \ConstantTok{TRUE}\NormalTok{)}
\FunctionTok{print}\NormalTok{(B)}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}

\begin{verbatim}
>      [,1] [,2] [,3]
> [1,]    4    1    0
> [2,]   -4    2    0
\end{verbatim}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]{Operationen}
\protect\hypertarget{operationen-5}{}
\small

Beispiel \vspace{5mm}

\footnotesize

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\CommentTok{\# Addition}
\NormalTok{C }\OtherTok{=}\NormalTok{ A }\SpecialCharTok{+}\NormalTok{ B}
\FunctionTok{print}\NormalTok{(C)}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}

\begin{verbatim}
>      [,1] [,2] [,3]
> [1,]    6   -2    0
> [2,]   -3    8    5
\end{verbatim}

\vspace{5mm}

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\CommentTok{\# Subtraktion}
\NormalTok{D }\OtherTok{=}\NormalTok{ A }\SpecialCharTok{{-}}\NormalTok{ B}
\FunctionTok{print}\NormalTok{(D)}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}

\begin{verbatim}
>      [,1] [,2] [,3]
> [1,]   -2   -4    0
> [2,]    5    4    5
\end{verbatim}
\end{frame}

\begin{frame}{Operationen}
\protect\hypertarget{operationen-6}{}
\footnotesize
\begin{definition}[Skalarmultiplikation]
Es sei $c \in \mathbb{R}$ ein Skalar und $A \in \mathbb{R}^{m\times n}$. Dann
ist die \textit{Skalarmultiplikation} von $c$ und $A$ definiert als die Abbildung
\begin{equation}
\cdot : \mathbb{R} \times \mathbb{R}^{m\times n} \to \mathbb{R}^{m \times n}, \,
(c,A) \mapsto \cdot (c,A) := cA
\end{equation}
mit
\begin{align}
\begin{split}
cA
=
c
\begin{pmatrix*}[r]
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{pmatrix*}
:=
\begin{pmatrix*}[r]
ca_{11} & ca_{12} & \cdots & ca_{1n}  \\
ca_{21} & ca_{22} & \cdots & ca_{2n}  \\
\vdots  & \vdots  & \ddots & \vdots    \\
ca_{m1} & ca_{m2} & \cdots & ca_{mn}
\end{pmatrix*}.
\end{split}
\end{align}
\end{definition}

Bemerkungen

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Die Skalarmultiplikation ist elementweise definiert.
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Operationen}
\protect\hypertarget{operationen-7}{}
\small

Beispiel

\footnotesize

Es seiein \(c:=-3\) und \(A\in \mathbb{R}^{4\times 3}\) definiert als
\begin{equation}
A := \begin{pmatrix*}[r]
3 & 1 & 1\\
5 & 2 & 5\\
2 & 7 & 1\\
3 & 4 & 2
\end{pmatrix*}.
\end{equation} Dann ergibt sich \begin{align}
\begin{split}
B :=
cA
= -3\begin{pmatrix*}[r]
3 & 1 & 1\\
5 & 2 & 5\\
2 & 7 & 1\\
3 & 4 & 2
\end{pmatrix*}
= \begin{pmatrix*}[r]
-3\cdot3 & -3\cdot1 & -3\cdot1\\
-3\cdot5 & -3\cdot2 & -3\cdot5\\
-3\cdot2 & -3\cdot7 & -3\cdot1\\
-3\cdot3 & -3\cdot4 & -3\cdot2
\end{pmatrix*}
= \begin{pmatrix*}[r]
-9  &  -3 & -3  \\
-15 &  -6 & -15 \\
-6  & -21 & -3  \\
-9  & -12 & -6
\end{pmatrix*}.
\end{split}
\end{align}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]{Operationen}
\protect\hypertarget{operationen-8}{}
\small

Beispiel \vspace{5mm}

\footnotesize

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\CommentTok{\# Definitionen}
\NormalTok{A }\OtherTok{=} \FunctionTok{matrix}\NormalTok{(}\FunctionTok{c}\NormalTok{(}\DecValTok{3}\NormalTok{,}\DecValTok{1}\NormalTok{,}\DecValTok{1}\NormalTok{,}
             \DecValTok{5}\NormalTok{,}\DecValTok{2}\NormalTok{,}\DecValTok{5}\NormalTok{,}
             \DecValTok{2}\NormalTok{,}\DecValTok{7}\NormalTok{,}\DecValTok{1}\NormalTok{,}
             \DecValTok{3}\NormalTok{,}\DecValTok{4}\NormalTok{,}\DecValTok{2}\NormalTok{),}
           \AttributeTok{nrow =} \DecValTok{4}\NormalTok{,}
           \AttributeTok{byrow =} \ConstantTok{TRUE}\NormalTok{)}
\NormalTok{c }\OtherTok{=} \SpecialCharTok{{-}}\DecValTok{3}

\CommentTok{\# Skalarmultiplikation}
\NormalTok{B }\OtherTok{=}\NormalTok{ c}\SpecialCharTok{*}\NormalTok{A}
\FunctionTok{print}\NormalTok{(B)}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}

\begin{verbatim}
>      [,1] [,2] [,3]
> [1,]   -9   -3   -3
> [2,]  -15   -6  -15
> [3,]   -6  -21   -3
> [4,]   -9  -12   -6
\end{verbatim}
\end{frame}

\begin{frame}{Operationen}
\protect\hypertarget{operationen-9}{}
\footnotesize

\begin{theorem}[Vektorraum $\mathbb{R}^{m \times n}$]
\justifying
\normalfont
Das Tripel $(\mathbb{R}^{m \times n}, +, \cdot)$ mit der oben definierten
Matrixaddition und Skalarmultiplikation ist ein Vektorraum. Insbesondere gelten
also für $A,B,C\in \mathbb{R}^{m \times n}$ und $r,s,t\in \mathbb{R}$ folgende
Rechenregeln:
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\begin{tabular}{ll}
(1) Kommutativität der Addition
& $A + B = B + A$
\\
(2) Assoziativität der Addition
& $(A + B) + C = A + (B + C)$
\\
(3) Existenz eines neutralen Elements der Addition
& $\exists\, 0 \in \mathbb{R}^{m \times n}$ mit $A + 0 = 0 + A = A$.
\\
(4) Existenz inverser Elemente der Addition
& $\forall A \, \exists\, -A $ mit  $A + (-A) = 0$.
\\
(5) Existenz eines neutralen Elements der Skalarmultiplikation
& $\exists\, 1 \in \mathbb{R}$ mit $1 \cdot A = A$.
\\
(6) Assoziativität der Skalarmultiplikation
& $r \cdot (s \cdot t) = (r \cdot s)\cdot t$.
\\
(7) Distributivität hinsichtlich der Matrixaddition
& $r\cdot (A +B) = r\cdot A + r\cdot B$.
\\
(8) Distributivität hinsichtlich der Skalaraddition
& $(r + s)\cdot A = r\cdot A + s\cdot A$.
\end{tabular}
\end{center}
\end{theorem}

Bemerkungen

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Wir verzichten auf einen Beweis.
\item
  Der Beweis ergibt sich mit dem elementweisen Charakter von
  \(+,-,\cdot\) und den Rechenregeln in \((\mathbb{R},+,\cdot)\).
\item
  Das neutrale Element der Addition heißt \emph{Nullmatrix}; wir
  schreiben \(0_{nm} := (0)_{1\le i \le m, 1 \le j \le n}\) mit
  \(0\in \mathbb{R}\).
\item
  Die inversen Elemente der Addition sind durch
  \(-A := (-a_{ij})_{1\le i \le m, 1 \le j \le n}\) gegeben.
\item
  Das neutrale Element der Skalarmultiplikation ist
  \(1 \in \mathbb{R}\).
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Operationen}
\protect\hypertarget{operationen-10}{}
\footnotesize
\begin{definition}[Matrixtransposition]
Es sei $A \in \mathbb{R}^{m\times n}$. Dann ist  die \textit{Transposition}
von $A$ definiert als die Abbildung
\begin{equation}
\cdot^{T} : \mathbb{R}^{m\times n} \to \mathbb{R}^{n \times m}, \,
A \mapsto \cdot^{T}(A) := A^T
\end{equation}
mit
\begin{align}
\begin{split}
A^T
=
\begin{pmatrix*}[r]
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{pmatrix*}
:=
\begin{pmatrix*}[r]
a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{m1} \\
a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{m2} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{mn}
\end{pmatrix*}
\end{split}
\end{align}
\end{definition}

Bemerkungen

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  \justifying Die Matrixtransposition ``vertauscht'' Zeilen und Spalten.
\item
  Für \(A \in \mathbb{R}^{m \times n}\) gilt immer
  \(A^T \in \mathbb{R}^{n \times m}\).
\item
  Für \(A \in \mathbb{R}^{1 \times 1}\) gilt immer \(A^T = A\).
\item
  Es gilt \(\left(A^T\right)^T = A\).
\item
  Es gilt
  \(\left(a_{ii}\right)_{1 \le i \le \mbox{min}(m,n)} = \left(a_{ii}\right)^T_{1 \le i \le \mbox{min}(m,n)}\)
\item
  Matrixelemente auf der Hauptdiagonalen einer Matrix bleiben bei
  Transposition also unberührt.
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Operationen}
\protect\hypertarget{operationen-11}{}
\small

Beispiel

Es sei \(A \in \mathbb{R}^{2 \times 3}\) definiert durch
\begin{equation}
A:=\begin{pmatrix*}[r]
2 & 3 & 0 \\
1 & 6 & 5 \\
\end{pmatrix*},
\end{equation} Dann gilt \(A^T \in \mathbb{R}^{3 \times 2}\) und
speziell \begin{equation}
A^{T} :=
\begin{pmatrix*}[r]
2  & 1 \\
3  & 6 \\
0  & 5 \\
\end{pmatrix*}.
\end{equation} Weiterhin gilt offenbar \(\min(m,n) = 2\) und folglich
\begin{equation}
(a_{11}) = \left(a_{11}\right)^T
\mbox{ und }
(a_{22}) = \left(a_{22}\right)^T.
\end{equation}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]{Operationen}
\protect\hypertarget{operationen-12}{}
\small

Beispiel \vspace{5mm}

\footnotesize

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\CommentTok{\# Definition}
\NormalTok{A }\OtherTok{=} \FunctionTok{matrix}\NormalTok{(}\FunctionTok{c}\NormalTok{(}\DecValTok{2}\NormalTok{,}\DecValTok{3}\NormalTok{,}\DecValTok{0}\NormalTok{,}
             \DecValTok{1}\NormalTok{,}\DecValTok{6}\NormalTok{,}\DecValTok{5}\NormalTok{),}
           \AttributeTok{nrow =} \DecValTok{2}\NormalTok{,}
           \AttributeTok{byrow =} \ConstantTok{TRUE}\NormalTok{)}
\FunctionTok{print}\NormalTok{(A)}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}

\begin{verbatim}
>      [,1] [,2] [,3]
> [1,]    2    3    0
> [2,]    1    6    5
\end{verbatim}

\vspace{5mm}

\footnotesize

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\CommentTok{\# Transposition}
\NormalTok{AT }\OtherTok{=} \FunctionTok{t}\NormalTok{(A)}
\FunctionTok{print}\NormalTok{(AT)}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}

\begin{verbatim}
>      [,1] [,2]
> [1,]    2    1
> [2,]    3    6
> [3,]    0    5
\end{verbatim}
\end{frame}

\begin{frame}{Operationen}
\protect\hypertarget{operationen-13}{}
\footnotesize
\setstretch{1.7}
\begin{definition}[Matrixmultiplikation]
Es seien $A\in \mathbb{R}^{m\times n}$ und $B \in \mathbb{R}^{n \times p}$. Dann
ist  die \textit{Matrixmultiplikation} von $A$ und $B$ definiert als die Abbildung
\begin{equation}
\cdot : \mathbb{R}^{m\times n} \times \mathbb{R}^{n\times p} \to \mathbb{R}^{m \times p}, \,
(A,B) \mapsto \cdot(A,B) := AB
\end{equation}
mit
\begin{align}
\begin{split}
AB
& =
\begin{pmatrix*}[r]
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{pmatrix*}
\begin{pmatrix*}[r]
b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1p} \\
b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2p} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{np}
\end{pmatrix*}
\\
&
:=
\begin{pmatrix*}[r]
\sum_{i=1}^n a_{1i}b_{i1} & \sum_{i=1}^n a_{1i}b_{i2} & \cdots & \sum_{i=1}^n a_{1i}b_{ip}  \\
\sum_{i=1}^n a_{2i}b_{i1} & \sum_{i=1}^n a_{2i}b_{i2} & \cdots & \sum_{i=1}^n a_{2i}b_{ip}  \\
\vdots                    & \vdots                    & \ddots & \vdots                     \\
\sum_{i=1}^n a_{mi}b_{i1} & \sum_{i=1}^n a_{mi}b_{i2} & \cdots & \sum_{i=1}^n a_{mi}b_{ip}
\end{pmatrix*}
\end{split}
\end{align}
\end{definition}
\end{frame}

\begin{frame}{Operationen}
\protect\hypertarget{operationen-14}{}
\small

Bemerkungen \setstretch{1.7} \small

\begin{itemize}
\justifying
\item Das Matrixprodukt $AB$ ist nur dann definiert, wenn $A$ genau so viele Spalten hat wie $B$ Zeilen.
\item Informell gilt für die beteiligten Matrixgrößen immer $(m \times n)(n \times p) = (m \times p)$.
\item In $AB$ ist $(AB)_{ij}$ die Summe der multiplizierten $i$ten Zeilen von $A$ und $j$ten Spalten von $B$.
\item Zum Berechnen von $(AB)_{ij}$ für $1 \le i \le m, 1 \le j \le p$ geht man also wie folgt vor:
\begin{enumerate}
\begin{small}
\justifying
\item Man legt in Gedanken die Tranposition der $i$ten Zeile von $A$ über die $j$te Spalte von $B$.
\item Weil $A$ genau $n$ Spalten hat und $B$ genau $n$ Zeilen hat, gibt es zu jedem Element der Zeile aus $A$
ein korrespondierendes Element in der Spalte von $B$.
\item Man multipliziert die korrespondierenden Elemente miteinander.
\item Die Summe dieser Produkte ist dann der Eintrag mit Index $ij$ in $AB$.
\end{small}
\end{enumerate}
\item Die Multiplikation von Matrizen ist im Allgemeinen nicht kommutativ (also meist $AB \neq BA$).
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Operationen}
\protect\hypertarget{operationen-15}{}
Beispiel

\small
\justifying

\(A\in \mathbb{R}^{2\times 3}\) und \(B\in \mathbb{R}^{3\times 2}\)
seien definiert als \begin{equation}
A := \begin{pmatrix*}[r]
2 & -3 &  0   \\
1 &  6 &  5
\end{pmatrix*}
\mbox{ und }
B := \begin{pmatrix*}[r]
 4 & 2  \\
-1 & 0  \\
 1 & 3
\end{pmatrix*}.
\end{equation} Wir wollen \(C := AB\) und \(D := BA\) berechnen.

Mit \(m = 2, n = 3\) und \(p = 2\) wissen wir schon, dass
\(C \in \mathbb{R}^{2 \times 2}\) und \(D \in \mathbb{R}^{3 \times 3}\),
weil \begin{equation}
(2 \times 3)(3 \times 2) = (2 \times 2)
\end{equation} und \begin{equation}
(3 \times 2)(2 \times 3) = (3 \times 3)
\end{equation} Es gilt hier also sicher \(AB \neq BA\).
\end{frame}

\begin{frame}{Operationen}
\protect\hypertarget{operationen-16}{}
Beispiel (fortgeführt)

\small
\justifying

Es ergibt sich zum einen \begin{align}
\begin{split}
C
& = AB
\\
& = \begin{pmatrix*}[r]
2 & -3 & 0 \\
1 &  6 & 5 \\
\end{pmatrix*}
\begin{pmatrix*}[r]
4  & 2 \\
-1 & 0 \\
1  & 3
\end{pmatrix*}
\\
& =
\begin{pmatrix*}[r]
2\cdot 4 + (-3)\cdot (-1) + 0\cdot 1 & 2\cdot 2 + (-3)\cdot 0 + 0\cdot 3 \\
1\cdot 4 +    6\cdot (-1) + 5\cdot 1 & 1\cdot 2 +  6\cdot 0 + 5\cdot 3 \\
\end{pmatrix*}
\\
& =
\begin{pmatrix*}[r]
8 + 3 + 0 & 4 + 0 + 0 \\
4 - 6 + 5 & 2 + 0 + 15 \\
\end{pmatrix*}
\\
& =
\begin{pmatrix*}[r]
11 & 4 \\
3 & 17 \\
\end{pmatrix*}.
\end{split}
\end{align}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]{Operationen}
\protect\hypertarget{operationen-17}{}
Beispiel (fortgeführt) \vspace{2mm}

\footnotesize

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\CommentTok{\# Definitionen}
\NormalTok{A }\OtherTok{=} \FunctionTok{matrix}\NormalTok{(}\FunctionTok{c}\NormalTok{(}\DecValTok{2}\NormalTok{,}\SpecialCharTok{{-}}\DecValTok{3}\NormalTok{,}\DecValTok{0}\NormalTok{,}
             \DecValTok{1}\NormalTok{, }\DecValTok{6}\NormalTok{,}\DecValTok{5}\NormalTok{),}
           \AttributeTok{nrow  =} \DecValTok{2}\NormalTok{,}
           \AttributeTok{byrow =} \ConstantTok{TRUE}\NormalTok{)}
\NormalTok{B }\OtherTok{=} \FunctionTok{matrix}\NormalTok{(}\FunctionTok{c}\NormalTok{( }\DecValTok{4}\NormalTok{,}\DecValTok{2}\NormalTok{,}
             \SpecialCharTok{{-}}\DecValTok{1}\NormalTok{,}\DecValTok{0}\NormalTok{,}
              \DecValTok{1}\NormalTok{,}\DecValTok{3}\NormalTok{),}
           \AttributeTok{nrow  =} \DecValTok{3}\NormalTok{,}
           \AttributeTok{byrow =} \ConstantTok{TRUE}\NormalTok{)}

\CommentTok{\# Matrixmultiplikation}
\NormalTok{C }\OtherTok{=}\NormalTok{ A }\SpecialCharTok{\%*\%}\NormalTok{ B}
\FunctionTok{print}\NormalTok{(C)}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}

\begin{verbatim}
>      [,1] [,2]
> [1,]   11    4
> [2,]    3   17
\end{verbatim}
\end{frame}

\begin{frame}{Operationen}
\protect\hypertarget{operationen-18}{}
Beispiel (fortgeführt)

\small
\justifying

Es ergibt sich zum anderen \begin{align}
\begin{split}
D
& = BA
\\
& =
\begin{pmatrix*}[r]
4  & 2 \\
-1 & 0 \\
1  & 3
\end{pmatrix*}
\begin{pmatrix*}[r]
2 & -3 & 0 \\
1 &  6 & 5 \\
\end{pmatrix*}
\\
& =
\begin{pmatrix*}[r]
  4    \cdot   2  + 2 \cdot 1
& 4    \cdot (-3) + 2 \cdot 6
& 4    \cdot   0  + 2 \cdot 5
\\
  (-1) \cdot  2  + 0 \cdot 1
& (-1) \cdot(-3) + 0 \cdot 6
& (-1) \cdot  0  + 0 \cdot 5
\\
  1    \cdot  2  + 3 \cdot 1
& 1    \cdot(-3) + 3 \cdot 6
& 1    \cdot  0  + 3 \cdot 5
\end{pmatrix*}
\\
& =
\begin{pmatrix*}[r]
    8 + 2
& -12 + 12
&   0 + 5
\\
   -2 + 0
&   3 + 0
&   0 + 0
\\
    2 + 3
&  -3 + 18
&   0 + 15
\end{pmatrix*}
\\
& =
\begin{pmatrix*}[r]
  10
&  0
& 10
\\
  -2
&  3
&  0
\\
   5
& 15
& 15
\\
\end{pmatrix*}
\end{split}
\end{align}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]{Operationen}
\protect\hypertarget{operationen-19}{}
Beispiel (fortgeführt) \vspace{1mm}

\setstretch{1.2}
\footnotesize

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\CommentTok{\# Definitionen}
\NormalTok{A }\OtherTok{=} \FunctionTok{matrix}\NormalTok{(}\FunctionTok{c}\NormalTok{(}\DecValTok{2}\NormalTok{,}\SpecialCharTok{{-}}\DecValTok{3}\NormalTok{,}\DecValTok{0}\NormalTok{,}
             \DecValTok{1}\NormalTok{, }\DecValTok{6}\NormalTok{,}\DecValTok{5}\NormalTok{),}
           \AttributeTok{nrow  =} \DecValTok{2}\NormalTok{,}
           \AttributeTok{byrow =} \ConstantTok{TRUE}\NormalTok{)}
\NormalTok{B }\OtherTok{=} \FunctionTok{matrix}\NormalTok{(}\FunctionTok{c}\NormalTok{( }\DecValTok{4}\NormalTok{,}\DecValTok{2}\NormalTok{,}
             \SpecialCharTok{{-}}\DecValTok{1}\NormalTok{,}\DecValTok{0}\NormalTok{,}
              \DecValTok{1}\NormalTok{,}\DecValTok{3}\NormalTok{),}
           \AttributeTok{nrow  =} \DecValTok{3}\NormalTok{,}
           \AttributeTok{byrow =} \ConstantTok{TRUE}\NormalTok{)}

\CommentTok{\# Matrixmultiplikation}
\NormalTok{D }\OtherTok{=}\NormalTok{ B }\SpecialCharTok{\%*\%}\NormalTok{ A}
\FunctionTok{print}\NormalTok{(D)}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}

\begin{verbatim}
>      [,1] [,2] [,3]
> [1,]   10    0   10
> [2,]   -2    3    0
> [3,]    5   15   15
\end{verbatim}

\vspace{1mm}

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\CommentTok{\# Beispiel für eine undefinierte Matrixmultipliation}
\NormalTok{E }\OtherTok{=} \FunctionTok{t}\NormalTok{(A) }\SpecialCharTok{\%*\%}\NormalTok{ B      }\CommentTok{\# (3 x 2)(3 x 2)}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}

\begin{verbatim}
> Error in t(A) %*% B: nicht passende Argumente
\end{verbatim}
\end{frame}

\begin{frame}{Operationen}
\protect\hypertarget{operationen-20}{}
\setstretch{1.2}
\footnotesize
\begin{theorem}[Matrixmultiplikation und Skalarprodukt]
\normalfont
\justifying
Es seien $x,y \in \mathbb{R}^n$. Dann gilt
\begin{equation}
\langle x,y \rangle = x^Ty.
\end{equation}
Weiterhin seien für $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ für $i = 1,...,m$
\begin{equation}
\bar{a}_i := (a_{ji})_{1 \le j \le n} \in \mathbb{R}^n
\end{equation}
die Spalten von $A^T$ und für $B \in \mathbb{R}^{n \times p}$ für $i = 1,...,p$
\begin{equation}
\bar{b}_j := (b_{ij})_{1 \le j \le n} \in \mathbb{R}^n
\end{equation}
die Spalten von $B$, also
\begin{equation}
A^T =
\begin{pmatrix*}[r]
\bar{a}_1 & \bar{a}_2 & \cdots & \bar{a}_m
\end{pmatrix*}
\in \mathbb{R}^{n \times m}
\mbox{ und }
B =
\begin{pmatrix*}[r]
\bar{b}_1 & \bar{b}_2 & \cdots & \bar{b}_p
\end{pmatrix*}
\in \mathbb{R}^{n \times p}.
\end{equation}
Dann gilt
\begin{equation}
AB = \left(\langle \bar{a}_i,\bar{b}_j \rangle \right)_{1 \le i \le m, 1 \le j \le p}
\end{equation}
\end{theorem}

\footnotesize

Bemerkungen

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Wir verzichten auf einen ausführlichen Beweis.
\item
  Die erste Aussage folgt mit der Identifikation von
  \(\mathbb{R}^{n} = \mathbb{R}^{n \times 1}\)
\item
  Der Eintrag \((AB)_{ij}\) enstpricht dem Skalarprodukt von \(i\)ter
  Spalte von \(A^T\) und \(j\)ter Spalte von \(B\).
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Operationen}
\protect\hypertarget{operationen-21}{}
\small

\textcolor{darkblue}{Motivation für Begriff der Inversen einer quadratischen Matrix}
\setstretch{2} \footnotesize

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Es seien \(A\in \mathbb{R}^{m \times m}, x \in \mathbb{R}^m\) und
  \(b \in \mathbb{R}^m\), \(A\) und \(b\) seien als bekannt
  vorausgesetzt, \(x\) sei unbekannt.
\item
  Zum Beispiel sei
  \(A := \begin{pmatrix*}[r] 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix*}\) und
  \(b := \begin{pmatrix*}[r] 5 \\ 11 \end{pmatrix*}\)
\item
  In diesem Fall gilt
  \(Ax = b \Leftrightarrow \begin{pmatrix*}[r] 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix*} \begin{pmatrix*}[r] x_1 \\ x_2 \end{pmatrix*} = \begin{pmatrix*}[r] 5 \\ 11 \end{pmatrix*} \Leftrightarrow \begin{matrix} 1x_1 + 2x_2 & = 5 \\ 3x_1 + 4x_2 & = 11 \end{matrix}\)
\item
  Wir haben also ein \emph{lineares Gleichungssystem (LGS)} mit zwei
  Gleichungen und zwei Unbekannten.
\item
  Wir stellen uns vor, dass wissen möchten, für welche(s) \(x\) das LGS
  erfüllt ist.
\item
  Wären \(A = a \in \mathbb{R}\), \(x \in \mathbb{R}\) und
  \(b \in \mathbb{R}\), also \(ax = b\) gegeben so würden mit dem
  \emph{multiplikativem Inversen} von \(a\) multiplizieren, also dem
  Wert, der mit \(a\) multipliziert \(1\) ergibt und durch
  \(a^{-1} = \frac{1}{a}\) gegeben ist.
\item
  Dann würde nämlich gelten
  \(ax = b \Leftrightarrow a^{-1}ax = a^{-1}b \Leftrightarrow 1 \cdot x = a^{-1}b \Leftrightarrow x = \frac{b}{a}\)
\item
  Konkret etwa
  \(2x = 6 \Leftrightarrow 2^{-1} 2x = 2^{-1}6 \Leftrightarrow \frac{1}{2}2x = \frac{1}{2}6 \Leftrightarrow x = 3\).
\item
  Analog möchte mit dem \emph{multiplikativen Inversen} \(A^{-1}\) von
  \(A\) multiplizieren können, sodass ``\(A^{-1}A = 1\)''.
\item
  Dann hätte man nämlich
  \(Ax = b \Leftrightarrow A^{-1}Ax = A^{-1}b \Leftrightarrow x = A^{-1}b\)
\item
  Die Idee des multiplikativen Inversen wird im folgenden als
  \emph{Inverse eine quadratischen Matrix} formalisiert.
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]{Operationen}
\protect\hypertarget{operationen-22}{}
\footnotesize
\setstretch{1.2}
\begin{definition}[Einheitsmatrix]
Die Matrix
\begin{equation}
I_m
:= (a_{ij})_{1\le i \le m, 1 \le j \le m}  \in \mathbb{R}^{m \times m}
:=
\begin{pmatrix*}[r]
1      & 0      & \cdots & 0       \\
0      & 1      & \cdots & 0       \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots  \\
0      & 0      & \cdots & 1       \\
\end{pmatrix*}
\end{equation}
mit $a_{ij} = 1$ für $i = j$  und  $a_{ij} = 0$ für  $i \neq j$ heißt
\textit{$m$-dimensionale Einheitsmatrix}.
\end{definition}

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  \(I_m\) wird in R mit dem Befehl \texttt{diag(m)} erzeugt.

  \begin{theorem}[Neutrales Element der Matrixmultiplikation]
  \justifying
  \normalfont
  $I_m$ ist das neutrale Element der Matrixmultiplikation, d.h. es gilt für $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$,
  dass
  \begin{equation}
  I_mA = A \mbox{ und } AI_n = A.
  \end{equation}
  \end{theorem}
\end{itemize}

\underline{Beweis}

Es sei \(B = (b_{ij}) = I_mA \in \mathbb{R}^{m\times n}\). Dann gilt für
alle \(1 \le i \le m\) und alle \(1 \le j \le n\) \begin{equation}
d_{ij}
= 0 \cdot a_{1j}
+ 0 \cdot a_{2j}
+ \cdots
+ 0 \cdot a_{i-1,j}
+ 1 \cdot a_{ij} +
+ \cdots
+ 0 \cdot a_{i+1,j}
+ 0 \cdot a_{mj}
= a_{ij}
\end{equation} und analog für \(AI_n\). \(\hfill \Box\)
\end{frame}

\begin{frame}{Operationen}
\protect\hypertarget{operationen-23}{}
\small
\begin{definition}[Invertierbare Matrix und inverse Matrix]
$A \in \mathbb{R}^{m \times m}$ heißt \textit{invertierbar}, wenn es eine Matrix
$A^{-1} \in \mathbb{R}^{m \times m}$ gibt, so dass
\begin{equation}
A^{-1}A = AA^{-1} = I_m
\end{equation}
ist. Die Matrix $A^{-1}$ heißt die \textit{inverse Matrix von $A$}.
\end{definition}

\footnotesize

Bemerkungen

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Invertierbarkeit und inverse Matrizen beziehen sich nur auf
  quadratische Matrizen.
\item
  Inverse Matrizen heißen auch einfach \emph{Inverse}.
\item
  Quadratische Matrizen können, müssen aber nicht invertierbar sein.
\item
  Nicht invertierbare Matrizen nennt man \emph{singuläre} Matrizen
\item
  Für \(A = a \in \mathbb{R}^{1 \times 1}\) gilt
  \(A^{-1} = \frac{1}{a}\).
\item
  Die Definition sagt nur aus, was eine inverse Matrix ist, nicht wie
  man sie berechnet.
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Operationen}
\protect\hypertarget{operationen-24}{}
\small

Beispiel für eine invertierbare Matrix \footnotesize

Die Matrix
\(A = \begin{pmatrix*}[r] 2.0 & 1.0 \\ 3.0 & 4.0 \end{pmatrix*}\) ist
invertierbar mit inverser Matrix
\(A^{-1} = \begin{pmatrix*}[r] 0.8 & -0.2 \\ -0.6 & 0.4 \end{pmatrix*}\),
denn \begin{equation}
\begin{pmatrix*}[r] 2.0 &  1.0 \\   3.0 & 4.0 \end{pmatrix*}
\begin{pmatrix*}[r] 0.8 & -0.2 \\  -0.6 & 0.4 \end{pmatrix*}
=
\begin{pmatrix*}[r] 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix*}
=
\begin{pmatrix*}[r] 0.8 & -0.2  \\  -0.6 & 0.4 \end{pmatrix*}
\begin{pmatrix*}[r] 2.0 &  1.0  \\   3.0 & 4.0 \end{pmatrix*},
\end{equation} wovon man sich durch Nachrechnen überzeugt. \vspace{3mm}

\small

Beispiel für eine nicht-invertierbare Matrix \footnotesize

Die Matrix \(B = \begin{pmatrix*}[r] 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix*}\) ist
nicht invertierbar, denn wäre \(B\) invertierbar, dann gäbe es
\(\begin{pmatrix*}[r] a & b \\ c & d \end{pmatrix*}\) mit
\begin{equation}
\begin{pmatrix*}[r] 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix*}
\begin{pmatrix*}[r] a & b \\ c & d \end{pmatrix*}
=
\begin{pmatrix*}[r] a & b \\ 0 & 0 \end{pmatrix*}
=
\begin{pmatrix*}[r] 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix*}
\end{equation} Das würde aber bedeuten, dass \(0 = 1\) in \(\mathbb{R}\)
und das ist ein Widerspruch. Also kann \(B\) nicht invertierbar sein.
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]{Operationen}
\protect\hypertarget{operationen-25}{}
\setstretch{2.3}

\textcolor{darkblue}{Berechnen inverser Matrizen}

\small

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  \(2 \times 2\) bis etwa \(5 \times 5\) Matrizen kann man prinzipiell
  per Hand invertieren.
\item
  Dazu lernt man im BSc Mathematik verschiedene Verfahren.
\item
  Wir verzichten auf eine Einführung in die Matrizeninvertierung per
  Hand.
\item
  Ein kurzes (30 min) Erklärvideo
  \href{https://www.youtube.com/watch?v=9TD6gXfQDkw\&t=7s}{findet sich
  hier}.
\item
  In der Anwendung werden Matrizen standardmäßig numerisch invertiert.
\item
  Matrixinversion ist ein weites Feld in der numerischen Mathematik.
\item
  Es gibt sehr viele Algorithmen zur Invertierung invertierbarer
  Matrizen.
\item
  Elegant berechnet man inverse Matrizen in R zum Beispiel mit dem Paket
  \texttt{matlib}.
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]{Operationen}
\protect\hypertarget{operationen-26}{}
\textcolor{darkblue}{Berechnen inverser Matrizen} \footnotesize
\vspace{2mm} \setstretch{1.2}

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\CommentTok{\# Einmalige Installation des R Pakets matlib}
\FunctionTok{install.packages}\NormalTok{(}\StringTok{"matlib"}\NormalTok{)}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}

\vspace{2mm}

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\CommentTok{\# Laden der matlib Funktionen}
\FunctionTok{library}\NormalTok{(matlib)}

\CommentTok{\# Definition}
\NormalTok{A }\OtherTok{=} \FunctionTok{matrix}\NormalTok{(}\FunctionTok{c}\NormalTok{(}\DecValTok{2}\NormalTok{,}\DecValTok{1}\NormalTok{,}
             \DecValTok{3}\NormalTok{,}\DecValTok{4}\NormalTok{),}
           \AttributeTok{nrow  =} \DecValTok{2}\NormalTok{,}
           \AttributeTok{byrow =} \ConstantTok{TRUE}\NormalTok{)}

\CommentTok{\# Berechnen von A\^{}\{{-}1\}}
\FunctionTok{inv}\NormalTok{(A)}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}

\begin{verbatim}
>      [,1] [,2]
> [1,]  0.8 -0.2
> [2,] -0.6  0.4
\end{verbatim}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]{Operationen}
\protect\hypertarget{operationen-27}{}
\textcolor{darkblue}{Berechnen inverser Matrizen} \footnotesize
\vspace{2mm} \setstretch{1.2}

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\FunctionTok{print}\NormalTok{(}\FunctionTok{inv}\NormalTok{(A) }\SpecialCharTok{\%*\%}\NormalTok{ A)}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}

\begin{verbatim}
>          [,1] [,2]
> [1,] 1.00e+00    0
> [2,] 2.22e-16    1
\end{verbatim}

\vspace{2mm}

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\FunctionTok{print}\NormalTok{(A }\SpecialCharTok{\%*\%} \FunctionTok{inv}\NormalTok{(A))}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}

\begin{verbatim}
>          [,1] [,2]
> [1,] 1.00e+00    0
> [2,] 4.44e-16    1
\end{verbatim}

\vspace{2mm}

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\CommentTok{\# Nicht{-}invertierbare Matrizen sind auch numerisch nicht{-}invertierbar (singulär)}
\NormalTok{B }\OtherTok{=} \FunctionTok{matrix}\NormalTok{(}\FunctionTok{c}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\NormalTok{,}\DecValTok{0}\NormalTok{,}
             \DecValTok{0}\NormalTok{,}\DecValTok{0}\NormalTok{),}
           \AttributeTok{nrow  =} \DecValTok{2}\NormalTok{,}
           \AttributeTok{byrow =} \DecValTok{2}\NormalTok{)}
\FunctionTok{inv}\NormalTok{(B)}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}

\begin{verbatim}
> Error in Inverse(X, tol = sqrt(.Machine$double.eps), ...): X is numerically singular
\end{verbatim}
\end{frame}

\begin{frame}{}
\protect\hypertarget{section-5}{}
\large
\setstretch{2}
\vfill

Definition

Operationen

\textbf{Determinanten}

Spezielle Matrizen

Spaltenraum und Rang

Eigenanalyse

Selbstkontrollfragen \vfill
\end{frame}

\begin{frame}{Determinanten}
\protect\hypertarget{determinanten}{}
\setstretch{1.2}
\footnotesize
\begin{definition}[Determinante]
\justifying
Für $A = (a_{ij})_{1 \le i,j \le m} \in \mathbb{R}^{m \times m}$ mit $m>1$ sei
$A_{ij} \in \mathbb{R}^{m-1 \times m-1}$ die Matrix, die aus $A$ durch
Entfernen der $i$ten Zeile und der $j$ten Spalte entsteht.
Dann heißt die Zahl
\begin{align}
\det(A) & := a_{11} \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad   \mbox{ für } m = 1\\
\det(A) & := \sum_{j = 1}^m a_{1j}(-1)^{1+j} \det\left(A_{1j}\right)               \mbox{ für } m > 1
\end{align}
die \textit{Determinante von $A$}.
\end{definition}

\footnotesize

Bemerkungen

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Für \begin{equation}
  A :=
  \begin{pmatrix}
  1 & 2 & 3 \\
  4 & 5 & 6 \\
  7 & 8 & 9 \\
  \end{pmatrix}
  \end{equation} ergeben sich zum Beispiel \begin{equation}
  A_{11}
  =
  \begin{pmatrix}
  5 & 6 \\
  8 & 9 \\
  \end{pmatrix},
  A_{12}
  =
  \begin{pmatrix}
  4 & 6 \\
  7 & 9 \\
  \end{pmatrix},
  A_{21}
  =
  \begin{pmatrix}
  2 & 3 \\
  8 & 9 \\
  \end{pmatrix},
  A_{22}
  =
  \begin{pmatrix}
  1 & 3 \\
  7 & 9 \\
  \end{pmatrix}
  \end{equation}
\item
  Determinanten sind nichtlineare Abbildungen der Form
  \(\det: \mathbb{R}^{m \times m} \to \mathbb{R}, A \mapsto \mbox{det}(A)\)
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Determinanten}
\protect\hypertarget{determinanten-1}{}
\footnotesize
\setstretch{1.2}
\begin{theorem}[Determinanten von 2 $\times 2$ und $3 \times 3$ Matrizen]
\normalfont
(1) Es sei $A = (a_{ij})_{1 \le i,j \le 2} \in \mathbb{R}^{2 \times 2}$. Dann gilt
\begin{equation}
\det(A)
= a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}.
\end{equation}
(2) Es sei $A = (a_{ij})_{1 \le i,j \le 3} \in \mathbb{R}^{3 \times 3}$. Dann gilt
\begin{align}
\begin{split}
\det(A)
= a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32}
- a_{12}a_{21}a_{33} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31}.
\end{split}
\end{align}
\end{theorem}

Bemerkungen

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Für \(2 \times 2\) und \(3 \times 3\) Matrizen (und nur für diese)
  gilt die \emph{Sarrusche Merkregel}

  \begin{center}
  ``Summe der Produkte auf den Diagonalen minus Summe der Produkte auf den Gegendiagonalen''
  \end{center}
\item
  Bei \(3 \times 3\) Matrizen bezieht sich die Merkregel auf das Schema
  \begin{equation}
  \begin{pmatrix}
  a_{11} & a_{12} & a_{13} & \vert & a_{11} & a_{12} \\
  a_{21} & a_{22} & a_{23} & \vert & a_{21} & a_{22} \\
  a_{31} & a_{32} & a_{33} & \vert & a_{31} & a_{32}
  \end{pmatrix}
  \end{equation}
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Determinanten}
\protect\hypertarget{determinanten-2}{}
\scriptsize
\setstretch{1}

\underline{Beweis}

Für \(A \in \mathbb{R}^{2 \times 2}\) gilt nach Definition \begin{align}
\begin{split}
\mbox{det}(A)
& = \sum_{j = 1}^m a_{1j}(-1)^{1+j} \det\left(A_{1j}\right) \\
& = a_{11}(-1)^{1 + 1}\det(A_{11}) + a_{12}(-1)^{1 + 2}\det(A_{12}) \\
& = a_{11}\det((a_{22})) - a_{12}\det((a_{21})) \\
& = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} \\
\end{split}
\end{align} Für \(A \in \mathbb{R}^{3 \times 3}\) gilt nach Definition
und mit der Formel für Determinanten von \(2 \times 2\) Matrizen
\begin{align}
\begin{split}
\mbox{det}(A)
& = \sum_{j = 1}^m a_{1j}(-1)^{1+j} \det\left(A_{1j}\right) \\
& =   a_{11}(-1)^{1+1} \det\left(A_{1j}\right) + a_{12}(-1)^{1+2} \det\left(A_{12}\right) +  a_{13}(-1)^{1+3} \det\left(A_{13}\right)) \\
& =   a_{11}\det(A_{11}) - a_{12}\det(A_{12}) + a_{13}\det(A_{13}) \\
& =   a_{11}\det\left(\begin{pmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33}\end{pmatrix} \right)
    - a_{12}\det\left(\begin{pmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33}\end{pmatrix} \right)
    + a_{13}\det\left(\begin{pmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32}\end{pmatrix} \right) \\
& =   a_{11}\left(a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32} \right)
    - a_{12}\left(a_{21}a_{33} - a_{23}a_{31} \right)
    + a_{13}\left(a_{21}a_{32} - a_{22}a_{31} \right) \\
& =   a_{11}a_{22}a_{33} - a_{11}a_{23}a_{32}
    - a_{12}a_{21}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31}
    + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} \\
& =   a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32}
    - a_{12}a_{21}a_{33} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31}.
\end{split}
\end{align}
\end{frame}

\begin{frame}{Determinanten}
\protect\hypertarget{determinanten-3}{}
\small

Beispiel 1 \footnotesize

Es seien \begin{equation}
A :=
\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
3 & 4
\end{pmatrix}
\mbox{ und }
B :=
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 0
\end{pmatrix}
\end{equation} Dann ergeben sich \begin{equation}
\det(A)
= 2 \cdot 4 - 1 \cdot 3 = 8 - 3 = 5.
\end{equation} und \begin{equation}
\det(B)
= 1 \cdot 0 - 0 \cdot 0 = 0 - 0 = 0.
\end{equation} \vspace{2mm}

\small

Beispiel 2 \footnotesize Es sei \begin{equation}
C :=
\begin{pmatrix}
2 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 3
\end{pmatrix}
\end{equation} Dann ergibt sich \begin{equation}
\det(C)
= 2 \cdot 1 \cdot 3
+ 0 \cdot 0 \cdot 0
+ 0 \cdot 0 \cdot 0
- 0 \cdot 0 \cdot 3
- 0 \cdot 0 \cdot 0
- 0 \cdot 1 \cdot 0
= 2 \cdot 1 \cdot 3
= 6
\end{equation}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]{Determinanten}
\protect\hypertarget{determinanten-4}{}
\setstretch{1.1}
\footnotesize

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\CommentTok{\# Beispiel 1}
\NormalTok{A }\OtherTok{=} \FunctionTok{matrix}\NormalTok{(}\FunctionTok{c}\NormalTok{(}\DecValTok{2}\NormalTok{,}\DecValTok{1}\NormalTok{,                  }\CommentTok{\# Matrixdefinition}
             \DecValTok{3}\NormalTok{,}\DecValTok{4}\NormalTok{),}
           \AttributeTok{nrow =} \DecValTok{2}\NormalTok{,}
           \AttributeTok{byrow =} \ConstantTok{TRUE}\NormalTok{)}
\FunctionTok{det}\NormalTok{(A)                             }\CommentTok{\# Determinantenberechnung}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}

\begin{verbatim}
> [1] 5
\end{verbatim}

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\NormalTok{B }\OtherTok{=} \FunctionTok{matrix}\NormalTok{(}\FunctionTok{c}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\NormalTok{,}\DecValTok{0}\NormalTok{,                  }\CommentTok{\# Matrixdefinition}
             \DecValTok{0}\NormalTok{,}\DecValTok{0}\NormalTok{),}
           \AttributeTok{nrow =} \DecValTok{2}\NormalTok{,}
           \AttributeTok{byrow =} \ConstantTok{TRUE}\NormalTok{)}
\FunctionTok{det}\NormalTok{(B)                             }\CommentTok{\# Determinantenberechnung}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}

\begin{verbatim}
> [1] 0
\end{verbatim}

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\CommentTok{\# Beispiel 2}
\NormalTok{C }\OtherTok{=} \FunctionTok{matrix}\NormalTok{(}\FunctionTok{c}\NormalTok{(}\DecValTok{2}\NormalTok{,}\DecValTok{0}\NormalTok{,}\DecValTok{0}\NormalTok{,                }\CommentTok{\# Matrixdefinition}
             \DecValTok{0}\NormalTok{,}\DecValTok{1}\NormalTok{,}\DecValTok{0}\NormalTok{,}
             \DecValTok{0}\NormalTok{,}\DecValTok{0}\NormalTok{,}\DecValTok{3}\NormalTok{),}
           \AttributeTok{nrow =} \DecValTok{3}\NormalTok{,}
           \AttributeTok{byrow =} \ConstantTok{TRUE}\NormalTok{)}
\FunctionTok{det}\NormalTok{(C)                             }\CommentTok{\# Determinantenberechnung}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}

\begin{verbatim}
> [1] 6
\end{verbatim}
\end{frame}

\begin{frame}{Determinanten}
\protect\hypertarget{determinanten-5}{}
\footnotesize
\begin{theorem}[Rechenregeln für Determinanten]
\normalfont
Determinantenmultiplikationssatz

$\bullet$ Für $A,B \in \mathbb{R}^{m \times m}$ gilt
\begin{equation}
\det(AB) = \det(A)\det(B).
\end{equation}

Transposition

$\bullet$ Für $A \in \mathbb{R}^{m \times m}$ gilt
\begin{equation}
\det(A) = \det\left(A^T\right).
\end{equation}

Dreiecksmatrizen

$\bullet$ Für Matrizen
$A = (a_{ij})_{1 \le i,j\le m} \in \mathbb{R}^{m \times m}$
mit $a_{ij} = 0$ für $i > j$ oder $a_{ij} = 0$ \mbox{ für } $j > i$ gilt
\begin{equation}
\det(A) = \prod_{i=1}^m a_{ii}
\end{equation}
\end{theorem}
\footnotesize

Bemerkungen

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Wir verzichten auf einen Beweis.
\item
  Bei Dreiecksmatrizen sind alle Elemente unterhalb (\(i > j\)) oder
  oberhalb (\(j > i\)) der Diagonalen 0
\item
  Bei \(I_m\) sind alle nicht-diagonalen Elemente 0 und alle diagonalen
  Elemente 1, also folgt \(\det(I_m) = 1\).
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Determinanten}
\protect\hypertarget{determinanten-6}{}
\small
\begin{theorem}[Invertierbarkeit und Determinante]
\normalfont
$A \in \mathbb{R}^{m \times m}$ ist dann und nur dann invertierbar, wenn gilt,
dass $\det(A) \neq 0$. Es gilt also
\begin{align}
\begin{split}
A \mbox{ ist invertierbar} \Leftrightarrow \det(A) \neq 0
\mbox{ und}
A \mbox{ ist nicht invertierbar} \Leftrightarrow \det(A) = 0.
\end{split}
\end{align}
\end{theorem}

\footnotesize

\underline{Beweisandeutung} \vspace{1mm}

Wir zeigen lediglich, dass aus der Invertierbarkeit von \(A\) folgt,
dass \(\det(A)\) nicht null sein kann. Nehmen wir also an, dass \(A\)
ist invertierbar. Dann gibt es eine Matrix \(B\) mit \(AB = I_m\) und
mit dem Determinantenmultiplikationssatz folgt \begin{equation}
\det(AB) = \det(A)\det(B) = \det(I_m) = 1.
\end{equation} Also kann \(\det(A) = 0\) nicht gelten, denn sonst wäre
\(0 = 1\).

\(\hfill\Box\)

Bemerkung

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  \(A \mbox{ ist nicht invertierbar} \Leftrightarrow \det(A) = 0\) ist
  für die Eigenanalyse essentiell.
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Determinanten}
\protect\hypertarget{determinanten-7}{}
\textcolor{darkblue}{Visuelle Intuition}

\small

\(a_1,...,a_m \in \mathbb{R}^m\) seien die Spalten von
\(A \in \mathbb{R}^{m \times m}\).

\(\Rightarrow \det(A)\) enstpricht dem signierten Volumen des von
\(a_1,...,a_m\in \mathbb{R}^m\) aufgespannten Parallelotops.

\footnotesize

\begin{equation*}
A_1 =
\begin{pmatrix}
3 & 1 \\
1 & 2
\end{pmatrix}
\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad
A_2 =
\begin{pmatrix}
2 & 0 \\
0 & 2
\end{pmatrix}
\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad
A_3 =
\begin{pmatrix}
2 & 2 \\
2 & 2
\end{pmatrix}
\end{equation*}

\begin{center}\includegraphics[width=1\linewidth]{2_Abbildungen/mvda_2_determinante} \end{center}
\vspace{-5mm}

\begin{equation*}
\det(A_1) =
3\cdot 2 - 1 \cdot 1 = 5
\quad\quad\quad\quad
\det(A_2) =
2\cdot 2 - 0 \cdot 0 = 4
\quad\quad\quad\quad
\det(A_3) =
2\cdot 2 - 2 \cdot 2 = 0
\end{equation*}
\end{frame}

\begin{frame}{}
\protect\hypertarget{section-6}{}
\large
\setstretch{2}
\vfill

Definition

Operationen

Determinanten

\textbf{Spezielle Matrizen}

Spaltenraum und Rang

Eigenanalyse

Selbstkontrollfragen \vfill
\end{frame}

\begin{frame}{Spezielle Matrizen}
\protect\hypertarget{spezielle-matrizen}{}
\footnotesize
\begin{definition}[Nullmatrizen, Einheitsmatrizen, Einheitsvektoren, Einsvektoren]
\begin{itemize}
\item Wir bezeichnen \textit{Nullmatrizen} mit
\begin{equation}
0_{mn} := (0)_{1 \le i \le m, 1 \le j \le n} \in \mathbb{R}^{m \times n}
\mbox{ und }
0_{m} := (0)_{1 \le i \le m} \in \mathbb{R}^{m}
\end{equation}
\item Wir bezeichnen die \textit{Einheitsmatrix} mit
\begin{equation}
I_{m} := (i_{jk})_{1 \le i \le m, 1 \le j \le n} \in \mathbb{R}^{m \times n} \mbox{ mit } i_{jk} = 1 \mbox{ für } j = k \mbox{ und } i_{jk} = 0 \mbox{ für } j \neq k
\end{equation}
\item Wir bezeichnen die \textit{Einheitsvektoren} $e_1, i = 1,...,m$ mit
\begin{equation}
e_{i} := (e_{{i}_j})_{1 \le j \le m} \in \mathbb{R}^{m} \mbox{ mit } e_{{i}_j} = 1 \mbox{ für } i = j \mbox{ und } e_{{i}_j} = 0 \mbox{ für } i \neq j
\end{equation}
\item Wir bezeichnen den \textit{Einsvektor} mit
\begin{equation}
1_m := (1)_{1 \le i \le m} \in \mathbb{R}^m
\end{equation}
\end{itemize}
\end{definition}

Bemerkungen

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  \(0_{mn}\) und \(0_{m}\) bestehen nur aus Nullen.
\item
  \(I_{m}\) besteht nur aus Nullen und Diagonalelementen gleich Eins.
\item
  \(e_i, i 1,....,m\) besteht nur aus Nullen und einer Eins in der
  \(i\)ten Komponente.
\item
  \(1_m\) besteht nur aus Einsen.
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Spezielle Matrizen}
\protect\hypertarget{spezielle-matrizen-1}{}
\footnotesize
\begin{definition}[Symmetrische, diagonale, und orthogonale Matrizen]
\begin{itemize}
\item Eine Matrix $S \in \mathbb{R}^{m \times m}$ heißt \textit{symmetrisch}, wenn gilt dass $S^T = S$.
\item Eine Matrix $D \in \mathbb{R}^{m \times m}$ heißt \textit{Diagonalmatrix}, wenn $d_{ij} = 0$ für $1 \le i,j \le m, i \neq j$.
\item Eine Matrix $Q \in \mathbb{R}^{m \times m}$ heißt \textit{orthogonal}, wenn ihre Spaltenvektoren wechselseitig \textit{orthonormal} sind.
\end{itemize}
\end{definition}

Bemerkungen

\begin{itemize}
\item Eine Diagonalmatrix $D$ mit Diagonalelementen $d_1,...,d_n$ schreibt man auch als $ D= \mbox{diag}(d_1,...,d_n)$
\item Symmetrische, diagonale, und orthogonale Matrizen haben viele ``gute'' Eigenschaften.
\item Im folgenden wichtige Eigenschaften sind
\begin{itemize}
\begin{footnotesize}
\item[$\circ$] $D := \mbox{diag}(d_1,...,d_n)$ ist eine Diagonalmatrix $\Rightarrow$ $\det(D) = \prod_{i=1}^n d_i$.
\item[$\circ$] $Q$ ist orthogonal $\Rightarrow$ $Q^{-1} = Q^T$ (weil $Q^TQ = QQ^T = I_m$).
\end{footnotesize}
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Spezielle Matrizen}
\protect\hypertarget{spezielle-matrizen-2}{}
\setstretch{1.2}
\footnotesize
\begin{definition}[Positiv-definite und positiv-semidefinite Matrizen]
\begin{itemize}
\item Eine Matrix $C \in \mathbb{R}^{m \times m}$ heißt \textit{positiv-definit}, wenn
für alle $x \in \mathbb{R}^m$ mit $x \neq 0_m$ gilt, dass
\begin{equation}
x^TAx > 0.
\end{equation}
\item  Eine Matrix $C \in \mathbb{R}^{m \times m}$ heißt \textit{positiv-semidefinit},
wenn für alle $x \in \mathbb{R}^m$ mit $x \neq 0_m$ gilt, dass
\begin{equation}
x^TAx \ge 0.
\end{equation}
\end{itemize}
\end{definition}

Bemerkungen

\begin{itemize}
\item Positiv-definite und positiv-semidefinite Matrizen haben viele ``gute'' Eigenschaften.
\item Im folgenden wichtige Eigenschaften sind
\begin{itemize}
\begin{footnotesize}
\item[$\circ$] $C$ ist positiv-definit $\Rightarrow$ $\det(C)>0$ und $C$ ist invertierbar.
\item[$\circ$] $C$ ist positiv-definit $\Rightarrow$ Es gibt eine Matrix $K \in \mathbb{R}^{m \times m}$ mit $C = KK^T$.
\item[$\circ$] $C$ ist positiv-definit $\Rightarrow$ Alle Eigenwerte von $C$ sind positiv.
\end{footnotesize}
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{}
\protect\hypertarget{section-7}{}
\large
\setstretch{2}
\vfill

Definition

Operationen

Determinanten

Spezielle Matrizen

\textbf{Spaltenraum und Rang}

Eigenanalyse
\end{frame}

\begin{frame}{Spaltenraum und Rang}
\protect\hypertarget{spaltenraum-und-rang}{}
\footnotesize
\begin{definition}[Spaltenraum und Rang einer Matrix]
Es sei $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ und
\begin{equation}
a_1 :=
\begin{pmatrix}
a_{11} \\
\vdots \\
a_{m1}
\end{pmatrix},
a_2 :=
\begin{pmatrix}
a_{12} \\
\vdots \\
a_{m2}
\end{pmatrix},
...,
a_n :=
\begin{pmatrix}
a_{1n} \\
\vdots \\
a_{mn}
\end{pmatrix}
\in
\mathbb{R}^{m}
\end{equation}
seien die \textit{Spalten(vektoren)} von $A$. Dann heißt
\begin{equation}
\mbox{col}(A) := \left \lbrace \sum_{i = 1}^n c_i a_i | c_i \mbox{ mit } i = 1,...,n \in \mathbb{R} \right \rbrace
\end{equation}
der \textit{Spaltenraum} von $A$. Die Dimension von $\mbox{col}(A)$ heißt \textit{der Rang von $A$}. Ist die
Dimension von $\mbox{col}(A)$ gleich $n$, so sagt man, dass \textit{$A$ vollen Spaltenrang hat}.
\end{definition}

\footnotesize

Bemerkungen

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  \(\mbox{col}(A)\) ist die Menge aller Linearkombinationen der
  Spaltenvektoren von \(A\)
\item
  Die Dimension von \(\mbox{col}(A)\) entspricht der Anzahl der linear
  unabhängigen Spaltenvektoren von \(A\).
\item
  Mit \(c := (c_i)_{1 \le i \le n} \in \mathbb{R}^n\) gilt
  \(\mbox{col}(A) = \{Ac|c \in \mathbb{R}^n\}\).
\end{itemize}

Selbstkontrollfragen \vfill
\end{frame}

\begin{frame}{}
\protect\hypertarget{section-8}{}
\large
\setstretch{2}
\vfill

Definition

Operationen

Determinanten

Spezielle Matrizen

Spaltenraum und Rang

\textbf{Eigenanalyse}
\end{frame}

\begin{frame}{Eigenanalyse}
\protect\hypertarget{eigenanalyse}{}
\small
\begin{definition}[Eigenvektor, Eigenwert]
$A \in \mathbb{R}^{m \times m}$ sei eine quadratische Matrix. Dann heißt jeder
Vektor $v \in \mathbb{R}^m, v \neq 0$, für den gilt, dass
\begin{equation}
Av  = \lambda v
\end{equation}
mit $\lambda \in \mathbb{R}$ ein \textit{Eigenvektor} von $A$. $\lambda$
heißt zugehöriger \textit{Eigenwert} von $A$.
\end{definition}

\small

Bemerkungen

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Ein Eigenvektor \(v\) von \(A\) wird durch \(A\) mit einem Faktor
  \(\lambda\) verlängert.
\item
  Jeder Eigenvektor hat einen zugehörigen Eigenwert.
\item
  Die Eigenwerte verschiedener Eigenvektor können identisch sein.
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Eigenanalyse}
\protect\hypertarget{eigenanalyse-1}{}
\small
\begin{theorem}
\justifying
\normalfont
$A \in \mathbb{R}^{m \times m}$ sei eine quadratische Matrix. Wenn $v \in \mathbb{R}^m$
Eigenvektor von $A$ mit Eigenwert $\lambda \in \mathbb{R}$ ist, dann ist auch $av \in \mathbb{R}^m $
mit $a \in \mathbb{R}$ Eigenvektor von $A$ und zwar mit Eigenwert $a\lambda \in \mathbb{R}$.
\end{theorem}

\footnotesize

\underline{Beweis}

Es gilt \begin{equation}
Av = \lambda v \Leftrightarrow a(Av) = a(\lambda)v \Leftrightarrow A(av) = (a\lambda)v
\end{equation} Also ist \(av\) ein Eigenvektor von \(A\) mit Eigenwert
\(a\lambda\).

\(\hfill\Box\)

\small

\textbf{Konvention}

Wir betrachten im Folgenden nur Eigenvektoren mit \(\Vert v \Vert = 1\).
\end{frame}

\begin{frame}[t]{Eigenanalyse}
\protect\hypertarget{eigenanalyse-2}{}
\vspace{1mm}

\textcolor{darkblue}{Visualisierung eines Eigenvektors} \footnotesize
\center

Für \(A := \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\) ist
\(v := \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\)
Eigenvektor zum Eigenwert
\(\lambda = 3, w := \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) ist kein
Eigenvektor.

\begin{center}\includegraphics[width=0.55\linewidth]{2_Abbildungen/mvda_2_eigenvektor} \end{center}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]{Eigenanalyse}
\protect\hypertarget{eigenanalyse-3}{}
\small
\begin{theorem}[Bestimmung von Eigenwerten und Eigenvektoren]
\normalfont
\justifying
$A \in \mathbb{R}^{m \times m}$ sei eine quadratische Matrix. Dann ergeben sich
die Eigenwerte von $A$ als die Nullstellen des \textit{charakteristischen Polynoms}
\begin{equation}
\chi_A(\lambda) := \det(A - \lambda I_m).
\end{equation}
von $A$. Weiterhin seien $\lambda_i^*, i = 1,2,...$ die auf diese Weise bestimmten
Eigenwerte von $A$. Die entsprechenden Eigenvektoren $v_i, i = 1,2,...$ von $A$
können dann durch Lösen der linearen Gleichungssysteme
\begin{equation}
(A - \lambda_i^* I_m)v_i = 0_m \mbox{ für } i = 1,2,...
\end{equation}
bestimmt werden.
\end{theorem}

\footnotesize

Bemerkungen

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Für kleine Matrizen mit \(m \le 3\) können Eigenwerte und
  Eigenvektoren manuell bestimmt werden.
\item
  Bei großen Matrizen werden Eigenwerte und Eigenvektor im Allgemeinen
  numerisch bestimmt.
\item
  R's \texttt{eigen()}, Scipy's \texttt{linalg.eig()}, Matlab's
  \texttt{eig()}.
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Eigenanalyse}
\protect\hypertarget{eigenanalyse-4}{}
\setstretch{1.2}
\footnotesize

\underline{Beweis}

\noindent (1) Bestimmen von Eigenwerten

Wir halten zunächst fest, dass mit der Definition von Eigenvektoren und
Eigenwerten gilt, dass \begin{equation}
Av = \lambda v
\Leftrightarrow Av - \lambda v = 0_m
\Leftrightarrow (A - \lambda I_m)v = 0_m.
\end{equation} Für den Eigenwert \(\lambda\) wird der Eigenvector \(v\)
also durch \((A - \lambda I_m)\) auf den Nullvektor \(0_m\) abgebildet.
Weil aber per Definition \(v \neq 0_m\) gilt, ist die Matrix
\((A - \lambda I_m)\) somit nicht invertierbar: sowohl der Nullvektor
als auch \(v\) werden durch \(A\) auf \(0_m\) abgebildet, die Abbildung
\begin{equation}
f : \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m, x \mapsto (A - \lambda I_m)x
\end{equation} ist also nicht bijektiv, und \((A - \lambda I_m)^{-1}\)
kann nicht existieren. Die Tatsache, dass \((A - \lambda I_m)\) nicht
invertierbar ist, ist aber äquivalent dazu, dass die Determinante von
\((A -\lambda I_m)\) Null ist. Also ist \begin{equation}
\chi_A(\lambda) = \det(A - \lambda I_m) = 0
\end{equation} notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass
\(\lambda\) ein Eigenwert von \(A\) ist.

\noindent (2) Bestimmen von Eigenvektoren

Es sei \(\lambda_i^*\) ein Eigenwert von \(A\). Dann gilt mit den obigen
Überlegungen, dass Auflösen von \begin{equation}
(A - \lambda_i^* I_m)v_i^* = 0_m
\end{equation} nach \(v_i^*\) einen Eigenvektor zum Eigenwert
\(\lambda^*\) ergibt. \(\hfill \Box\)
\end{frame}

\begin{frame}{Eigenanalyse}
\protect\hypertarget{eigenanalyse-5}{}
Beispiel 1

\small

Es sei \begin{equation}
A :=
\begin{pmatrix*}[r]
2 & 1 \\
1 & 2\end{pmatrix*}
\end{equation} Wir wollen die Eigenwerte und Eigenvektoren von \(A\)
bestimmen. \vspace{1mm}

\noindent (1) Berechnen von Eigenwerten

Die Eigenwerte von \(A\) sind die Nullstellen des charakteristischen
Polynoms von \(A\).

Das charakteristische Polynom von \(A\) ergibt als \begin{equation}
\chi_A(\lambda)
=
\det\left(
\begin{pmatrix*}[r]
2 & 1 \\
1 & 2\end{pmatrix*}
-
\begin{pmatrix*}[r]
\lambda & 0 \\
0       & \lambda
\end{pmatrix*}
\right)
=
\det
\begin{pmatrix*}[r]
2 - \lambda & 1 \\
1 & 2 - \lambda
\end{pmatrix*}
= (2 - \lambda)^2 - 1.
\end{equation} Nullsetzen und Auflösen nach \(\lambda\) ergibt mit der
\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Quadratische_Gleichung}{pq-Formel}
\begin{equation}
(2 - \lambda)^2 - 1 = 0 \Rightarrow \lambda_1 = 3, \lambda_2 = 1.
\end{equation} Die Eigenwerte von \(A\) sind also \(\lambda_1 = 3\) und
\(\lambda_2 = 1\).
\end{frame}

\begin{frame}{Eigenanalyse}
\protect\hypertarget{eigenanalyse-6}{}
Beispiel 1 (fortgeführt)

\small

\noindent (2) Berechnen von Eigenvektoren

Die Eigenvektoren zu den Eigenwerten \(\lambda_1 = 3\) und
\(\lambda_2 = 1\) ergeben sich durch Lösen der linearen
Gleichungssysteme \begin{equation}
(A - \lambda_i I_2)v_i = 0_2
\end{equation} Für \(\lambda_1 = 3\) ergibt sich \begin{equation}
(A - 3I_2)v_1 = 0_2
\Leftrightarrow
\begin{pmatrix*}[r]
-1 & 1 \\
 1 & -1
\end{pmatrix*}
\begin{pmatrix*}[r]
v_{11} \\
v_{12}
\end{pmatrix*}
=
\begin{pmatrix*}[r]
0 \\
0
\end{pmatrix*}
\Rightarrow
v_1 =
\frac{1}{\sqrt{2}}
\begin{pmatrix*}[r]
1 \\
1
\end{pmatrix*}
\mbox{ ist eine Lösung. }
\end{equation} Fpr \(\lambda_2 = 1\) ergibt sich \begin{equation}
(A - 1I_2)v_2 = 0_2
\Leftrightarrow
\begin{pmatrix*}[r]
1 & 1 \\
1 & 1
\end{pmatrix*}
\begin{pmatrix*}[r]
v_{21} \\
v_{22}
\end{pmatrix*}
=
\begin{pmatrix*}[r]
0 \\
0
\end{pmatrix*}
\Rightarrow
v_2 =
\frac{1}{\sqrt{2}}
\begin{pmatrix*}[r]
1 \\
-1
\end{pmatrix*}
\mbox{ ist eine Lösung. }
\end{equation} Weiterhin gilt \(v_1^Tv_2 = 0\) und
\(||v_1||_2 = ||v_2||_2 = 1\).
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]{Eigenanalyse}
\protect\hypertarget{eigenanalyse-7}{}
\small

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\CommentTok{\# Matrixdefinition}
\NormalTok{A }\OtherTok{=} \FunctionTok{matrix}\NormalTok{(}\FunctionTok{c}\NormalTok{(}\DecValTok{2}\NormalTok{,}\DecValTok{1}\NormalTok{,}
             \DecValTok{1}\NormalTok{,}\DecValTok{2}\NormalTok{),}
           \AttributeTok{nrow  =} \DecValTok{2}\NormalTok{,}
           \AttributeTok{byrow =} \ConstantTok{TRUE}\NormalTok{)}

\CommentTok{\# Eigenanalyse}
\FunctionTok{eigen}\NormalTok{(A)}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}

\begin{verbatim}
> eigen() decomposition
> $values
> [1] 3 1
> 
> $vectors
>       [,1]   [,2]
> [1,] 0.707 -0.707
> [2,] 0.707  0.707
\end{verbatim}
\end{frame}

\begin{frame}{Eigenanalyse}
\protect\hypertarget{eigenanalyse-8}{}
\small
\begin{theorem}[Eigenwerte und Eigenvektoren symmetrischer Matrizen]
\justifying
\normalfont
Eine symmetrische Matrix $S \in \mathbb{R}^{m \times m}$ hat $m$ verschiedene
Eigenwerte $\lambda_1,...,\lambda_m$ mit zugehörigen orthogonalen
Eigenvektoren $q_1,...,q_m \in \mathbb{R}^m$.
\end{theorem}
\vspace{-2mm}
\footnotesize

Bemerkungen \vspace{-1mm}

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Das Theorem ist eine Konsequenz aus dem Spektralsatz der Linearen
  Algebra.
\item
  Ein vollständiger Beweis findet sich in Strang (2009), Section 6.4.
\end{itemize}

\vspace{-2mm}

\underline{Teilbeweis}

Wir setzen die Tatsache, dass \(S\) \(m\) verschiedene Eigenwerte hat,
als gegeben voraus und zeigen lediglich, dass die Eigenvektoren von
\(S\) orthogonal sind. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit seien also
\(\lambda_i\) und \(\lambda_j\) mit \(1 \le i,j \le m\) znd
\(\lambda_i \neq \lambda_j\) zwei der \(m\) verschiedenen Eigenwerte von
\(S\) mit zugehörigen Eigenvektoren \(q_i\) und \(q_j\), respektive.
Dann ergibt sich \begin{equation}
Sq_i = \lambda_i q_i
\Leftrightarrow
(Sq_i)^T = (\lambda_i q_i)^T
\Leftrightarrow
q_i^T S = q_i^T \lambda_i
\Leftrightarrow
q_i^T Sq_j = \lambda_i q_i^Tq_j.
\end{equation} Ähnlicherweise gilt \begin{equation}
Sq_j = \lambda_j q_j
\Leftrightarrow
q_i^T Sq_j = \lambda_j q_i^Tq_j.
\end{equation} Also folgt \begin{equation}
\lambda_i q_i^Tq_j
=
\lambda_j q_i^Tq_j
\mbox{ mit } q_i \neq 0, q_j \neq 0, \mbox{ und } \lambda_i \neq \lambda_j
\end{equation} und damit die Orthogonalität \(q_i^Tq_j = 0\).
\(\hfill \Box\)
\end{frame}

\begin{frame}{Eigenanalyse}
\protect\hypertarget{eigenanalyse-9}{}
\small
\begin{theorem}[Orthonormale Zerlegung einer symmetrischen Matrix]
\normalfont
$S \in \mathbb{R}^{m \times m}$ sei eine symmetrische Matrix. Dann kannn $S$
geschrieben werden als
\begin{equation}
S = Q \Lambda Q^T,
\end{equation}
wobei $Q \in \mathbb{R}^{m \times m}$ eine orthogonale Matrix ist und
$\Lambda \in \mathbb{R}^{m\times m}$ eine Diagonalmatrix ist.
\end{theorem}
\vspace{-2mm}

\footnotesize

\underline{Beweis}

Weil \(S\) symmetrisch ist, hat sie \(m\) verschiedene Eigenwerte
\(\lambda_i, i = 1,...,m\) und \(m\) zugehörige orthogonale
Eigenvektoren \(q_i, i = 1,...,m\), so dass \begin{equation}
Sq_i = \lambda_i q_i \mbox{ for } i = 1,...,m.
\end{equation} Mit den Definitionen \begin{equation}
Q :=
\begin{pmatrix*}[r]
q_1 & q_2 & \cdots & q_m
\end{pmatrix*}
\mbox{ und }
\Lambda :=
\mbox{diag}\begin{pmatrix*}[r]
\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_m
\end{pmatrix*},
\end{equation} folgt dann \begin{equation}
SQ = \Lambda Q
\Leftrightarrow
SQ = Q\Lambda.
\end{equation} Rechtseitige Multiplikation mit \(Q^T\) ergibt dann
\begin{equation}
SQQ^T = Q \Lambda Q^T
\Leftrightarrow SI_m = Q \Lambda Q^T
\Leftrightarrow S    = Q \Lambda Q^T
\end{equation} und damit ist alles gezeigt. \(\hfill \Box\)
\end{frame}

\begin{frame}{Eigenanalyse}
\protect\hypertarget{eigenanalyse-10}{}
Beispiel 1 (fortgeführt)

\footnotesize

Für \begin{equation}
Q := \begin{pmatrix*}[r]
v_1 & v_2
\end{pmatrix*}
\mbox{ and }
\Lambda = \mbox{diag}(\lambda_1,\lambda_2)
\end{equation} ergibt sich \begin{align*}
Q\Lambda Q^T
& =
\begin{pmatrix*}[r]
v_1 & v_2
\end{pmatrix*}
\mbox{diag}(\lambda_1,\lambda_2)
\begin{pmatrix*}[r]
v_1 & v_2
\end{pmatrix*}^T \\
& =
\frac{1}{\sqrt{2}}
\begin{pmatrix*}[r]
1 &  1\\
1 & -1
\end{pmatrix*}
\begin{pmatrix*}[r]
3 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix*}
\begin{pmatrix*}[r]
1 &  1 \\
1 & -1
\end{pmatrix*}  \\
& =
\frac{1}{\sqrt{2}}
\begin{pmatrix*}[r]
3 & 1 \\
3 & -1
\end{pmatrix*}
\begin{pmatrix*}[r]
1 &  1 \\
1 & -1
\end{pmatrix*} \\
& =
\frac{1}{\sqrt{2}}
\begin{pmatrix*}[r]
4 & 2 \\
2 & 4
\end{pmatrix*} \\
& =
\begin{pmatrix*}[r]
2 & 1 \\
1 & 2
\end{pmatrix*} \\
& = A
\end{align*}
\end{frame}

\begin{frame}{}
\protect\hypertarget{section-9}{}
\large
\setstretch{2}
\vfill

Definition

Operationen

Determinanten

Spezielle Matrizen

Spaltenraum und Rang

Eigenanalyse

\textbf{Selbstkontrollfragen}
\end{frame}

\begin{frame}{Selbstkontrollfragen}
\protect\hypertarget{selbstkontrollfragen}{}
\footnotesize
\begin{enumerate}
\item Geben Sie Definition einer Matrix wieder.
\item Nennen Sie sechs Matrixoperationen.
\item Geben Sie Definitionen der Matrixaddition und -subtraktion wieder.
\item Geben Sie die Definition der Skalarmultiplikation für Matrizen wieder.
\item Geben Sie die Definition der Matrixtransposition wieder.
\item Es seien
\begin{equation}
A :=
\begin{pmatrix*}[r]
1 & 2 \\
2 & 1
\end{pmatrix*},
B :=
\begin{pmatrix*}[r]
3 & 0 \\
1 & 2
\end{pmatrix*},
\mbox{ und }
c := 2
\end{equation}
Berechnen Sie
\begin{equation}
D := c\left(A - B^T\right)
\mbox{ und }
E := \left(cA\right)^T + B.
\end{equation}
per Hand und überprüfen Sie Ihre Rechnung mit R.


\item Geben Sie die Definition der Matrixmultiplikation wieder.
\item Es seien $A \in \mathbb{R}^{3 \times 2}, B \in \mathbb{R}^{2\times 4}$
und $C \in \mathbb{R}^{3 \times 4}$. Prüfen Sie, ob folgende Matrixprodukte
definiert sind, und wenn ja, geben Sie die Größe der resultierenden Matrix and
\begin{equation}
ABC, \quad ABC^T, \quad, A^TCB^T \quad, BAC
\end{equation}

\end{enumerate}
\end{frame}

\begin{frame}{Selbstkontrollfragen}
\protect\hypertarget{selbstkontrollfragen-1}{}
\footnotesize
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{8}
\item Es seien
\begin{equation}
A :=
\begin{pmatrix*}[r]
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
3 & 2 & 0
\end{pmatrix*}
B :=
\begin{pmatrix*}[r]
1 & 2 & 2 \\
1 & 3 & 1 \\
2 & 0 & 0
\end{pmatrix*}
\mbox{ und }
C :=
\begin{pmatrix*}[r]
1 \\ 3 \\ 2
\end{pmatrix*}
\end{equation}
Berechnen Sie die Matrixprodukte
\begin{equation}
AB , \quad\quad
B^TA^T, \quad\quad
\left(B^TA^T\right)^T, \quad\quad
AC
\end{equation}
per Hand und überprüfen Sie Ihre Rechnung mit R.



\item Invertieren Sie die Matrizen $A$ und $B$ aus der vorherigen Aufgabe mithilfe
von matlib::inv und überprüfen Sie die Inverseeigenschaft der inversen Matrizen
mithilfe von R.



\item Geben Sie die Formel für die Determinante von $A := (A_{ij})_{1 \le i,j \le 2} \in \mathbb{R}^2$ wieder.
\item Geben Sie die Formel für die Determinante von $A := (A_{ij})_{1 \le i,j \le 3} \in \mathbb{R}^3$ wieder.
\item Berechnen Sie die Determinanten von 
\begin{equation}
A := \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}
B := \begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \mbox{ und }
C := \mbox{diag}(1,2,3)
\end{equation}
per Hand und überprüfen Sie Ihre Rechnung mit R.
\end{enumerate}
\end{frame}

\begin{frame}{Selbstkontrollfragen}
\protect\hypertarget{selbstkontrollfragen-2}{}
\footnotesize
\setstretch{1.6}
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{13}
\item Geben Sie den Determinantenmultiplikationssatz wieder.
\item Geben Sie das Theorem zur Invertierbarkeit und Determinante von Matrizen wieder.
\item Geben Sie die Definition einer symmetrischen Matrix wieder.
\item Geben Sie die Definition einer Diagonalmatrix wieder.
\item Geben Sie die Definition einer orthogonalen Matrix wieder.
\item Geben Sie die Definition einer positiv-definiten und einer positiv-semidefiniten Matrix wieder.
\item Geben Sie die Definition des Spaltenraums einer Matrix wieder.
\item Wann sagt man, dass eine Matrix vollen Spaltenrang hat?
\item Geben Sie die Definition eines Eigenvektors und eines Eigenwertes einer quadratischen Matrix wieder.
\item Geben Sie das Theorem zur Bestimmung von Eigenwerten und Eigenvektoren wieder.
\item Geben Sie das Theorem zu den Eigenwerten und Eigenvektoren symmetrischer Matrizen wieder.
\item Geben Sie das Theorem zur orthonormalen Zerlegung einer symmetrischen Matrix wieder.
\item Dokumentieren Sie die in dieser Einheit eingeführten R Befehle in einem R Skript.
\end{enumerate}
\end{frame}

\begin{frame}{References}
\protect\hypertarget{references}{}
\footnotesize

\hypertarget{refs}{}
\begin{CSLReferences}{1}{0}
\leavevmode\vadjust pre{\hypertarget{ref-strang_2009}{}}%
Strang, Gilbert. 2009. \emph{Introduction to {Linear Algebra}}.

\end{CSLReferences}
\end{frame}

\end{document}
