--- fontsize: 8pt format: beamer: include-in-header: ../PP_Header.tex bibliography: ../PP_Referenzen.bib --- # {.plain} \center ```{r, echo = F, out.width = "20%"} knitr::include_graphics("../OvGU_Logo.png") ``` \vspace{1mm} \huge Programmieren für Psychologie \vspace{6mm} \large MSc Umweltpsychologie/Mensch-Technik-Interaktion MSc Klinische Psychologie und Psychotherapie MSc Psychologie \vspace{6mm} \normalsize Joram Soch | Wintersemester 2026/2027 # {.plain} \vfill \center \huge \textcolor{black}{(8) Berechnung von Deskriptivstatistiken} \vfill # Übersicht \vspace{1mm} \normalsize \setstretch{1.0} Stichprobenmittel \vspace{-2mm} \begin{equation} \bar{y} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n y_i \end{equation} \vspace{1mm} Stichprobenvarianz \vspace{-2mm} \begin{equation} s_y^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (y_i - \bar{y})^2 \end{equation} \vspace{1mm} Stichprobenkovarianz \vspace{-2mm} \begin{equation} c_{xy} = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x}) (y_i - \bar{y}) \end{equation} \vspace{1mm} Stichprobenkorrelation \vspace{-2mm} \begin{equation} r_{xy} = \frac{c_{xy}}{\sqrt{s_x^2} \sqrt{s_y^2}} = \frac{ \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x}) (y_i - \bar{y}) }{ \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2} \sqrt{\sum_{i=1}^n (y_i - \bar{y})^2} } \end{equation} # Beispiel Beispieldatensatz: $(x_i,y_i)$ für $i = 1,\ldots,20$ von $n = 40$ \tiny \vspace{2mm} \setstretch{1} ```{r, echo = T, eval = T, warning = F} # Einlesen des Datensatzes D = read.csv("Daten/Daten_2.csv") # Daten einlesen n = nrow(D) # Anzahl Datenpunkte # Ausgabe des Dataframes library(knitr) # R-Paket laden knitr::kable(D[1:20,], digits = 2) # Tabellenoutput ``` # AGENDA {.plain} \large \setstretch{2.5} \vfill Stichprobenmittel Stichprobenvarianz Stichprobenkovarianz Stichprobenkorrelation # AGENDA {.plain} \large \setstretch{2.5} \vfill **Stichprobenmittel** Stichprobenvarianz Stichprobenkovarianz Stichprobenkorrelation # Stichprobenmittel \begin{definition}[Stichprobenmittel] \justifying $y = (y_1,\ldots,y_n)$ mit $y_i \in \mathbb{R}$ für $i = 1,\ldots,n$ sei ein univariater Datensatz. Dann ist ist das Stichprobenmittel von $y$ definiert als \begin{equation} \bar{y} := \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n y_i \; . \end{equation} \end{definition} \small Bemerkung * Das Stichprobenmittel wird auch als *arithmetisches Mittel* oder *Durchschnitt* bezeichnet. # Stichprobenmittel Berechnung mit R base \vspace{2mm} \footnotesize ```{r, echo = T, eval = T} D = read.csv("Daten/Daten_2.csv") # Daten einlesen n = nrow(D) # Anzahl Datenpunkte x_i = D[,1] # = D$DUR # x_i-Werte y_i = D[,2] # = D$dBDI # y_i-Werte x_bar = 1/n * sum(x_i) # Stichprobenmittel y_bar = 1/n * sum(y_i) # Stichprobenmittel cat( "Stichprobenmittel der x_i : ", x_bar, # Ergebnisausgabe "\nStichprobenmittel der y_i : ", y_bar) ``` \vfill # Stichprobenmittel Berechnung mit R-Funktionen \vspace{2mm} \footnotesize ```{r, echo = T, eval = T} D = read.csv("Daten/Daten_2.csv") # Daten einlesen n = nrow(D) # Anzahl Datenpunkte x_bar = mean(D[,1]) # Stichprobenmittel y_bar = mean(D[,2]) # Stichprobenmittel cat( "Stichprobenmittel der x_i : ", x_bar,# Ergebnisausgabe "\nStichprobenmittel der y_i : ", y_bar) ``` \vfill # Stichprobenmittel Berechnung mit `dplyr` \vspace{2mm} \footnotesize ```{r, echo = T, eval = T} D = read.csv("Daten/Daten_2.csv") # Daten einlesen n = nrow(D) # Anzahl Datenpunkte library(dplyr) # R-Paket laden D_mean = D %>% # Übergabe des Dataframes summarise(across(everything(), mean)) %>% # Berechnung Stichprobenmittel as.data.frame() # Konvertierung in Dataframe rownames(D_mean) = c("Mean") # Zeile benennen print(D_mean) # Ergebnisausgabe ``` \vfill # AGENDA {.plain} \large \setstretch{2.5} \vfill Stichprobenmittel **Stichprobenvarianz** Stichprobenkovarianz Stichprobenkorrelation # Stichprobenvarianz \begin{definition}[Stichprobenvarianz] \justifying $y = (y_1,\ldots,y_n)$ mit $y_i \in \mathbb{R}$ für $i = 1,\ldots,n$ sei ein univariater Datensatz. Dann ist ist die Stichprobenvarianz von $y$ definiert als \begin{equation} s_y^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (y_i - \bar{y})^2 \; , \end{equation} wobei $\bar{y}$ das Stichprobenmittel von $y$ ist. \end{definition} \small Bemerkung * Die Stichprobenvarianz entspricht der Summe der quadrierten Abweichungen der Datenpunkte von ihrem Stichprobenmittel, geteilt durch Stichprobenumfang minus 1. # Stichprobenvarianz \begin{definition}[Stichprobenstandardabweichung] \justifying $y = (y_1,\ldots,y_n)$ mit $y_i \in \mathbb{R}$ für $i = 1,\ldots,n$ sei ein univariater Datensatz. Dann ist ist die Stichprobenstandardabweichung von $y$ definiert als \begin{equation} s_y = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (y_i - \bar{y})^2} \; , \end{equation} wobei $\bar{y}$ das Stichprobenmittel von $y$ ist. \end{definition} \small Bemerkung * Die Stichprobenstandardabweichung ist die Quadratwurzel aus der Stichprobenvarianz. # Stichprobenvarianz Berechnung mit R base \vspace{2mm} \footnotesize ```{r, echo = T, eval = T} D = read.csv("Daten/Daten_2.csv") # Daten einlesen n = nrow(D) # Anzahl Datenpunkte x_i = D[,1] # = D$DUR # x_i-Werte y_i = D[,2] # = D$dBDI # y_i-Werte x_bar = 1/n * sum(x_i) # Stichprobenmittel y_bar = 1/n * sum(y_i) # Stichprobenmittel s2_x = 1/(n-1) * sum((x_i - x_bar)^2) # Stichprobenvarianz s2_y = 1/(n-1) * sum((y_i - y_bar)^2) # Stichprobenvarianz s_x = sqrt(s2_x) # Stichprobenstandardabweichung s_y = sqrt(s2_y) # Stichprobenstandardabweichung # Ergebnisausgabe cat( "Stichprobenvarianz der x_i : ", s2_x, "\nStichprobenvarianz der y_i : ", s2_y, "\nStichprobenstandardabweichung der x_i : ", s_x, "\nStichprobenstandardabweichung der y_i : ", s_y) ``` \vfill # Stichprobenvarianz Berechnung mit R-Funktionen \vspace{2mm} \footnotesize ```{r, echo = T, eval = T} D = read.csv("Daten/Daten_2.csv") # Daten einlesen n = nrow(D) # Anzahl Datenpunkte s2_x = var(D[,1]) # Stichprobenvarianz s2_y = var(D[,2]) # Stichprobenvarianz s_x = sd(D[,1]) # Stichprobenstandardabweichung s_y = sd(D[,2]) # Stichprobenstandardabweichung # Ergebnisausgabe cat( "Stichprobenvarianz der x_i : ", s2_x, "\nStichprobenvarianz der y_i : ", s2_y, "\nStichprobenstandardabweichung der x_i : ", s_x, "\nStichprobenstandardabweichung der y_i : ", s_y) ``` \vfill # Stichprobenvarianz Berechnung mit `dplyr` \vspace{2mm} \footnotesize ```{r, echo = T, eval = T} D = read.csv("Daten/Daten_2.csv") # Daten einlesen n = nrow(D) # Anzahl Datenpunkte library(dplyr) # R-Paket laden D_var = rbind( # Berechnung Deskriptivstatistiken summarise(D, across(everything(), mean)), summarise(D, across(everything(), var)), summarise(D, across(everything(), sd))) %>% as.data.frame() # Konvertierung in Dataframe rownames(D_var) = c("Mean", "Var", "SD") # Zeilen benennen print(D_var) # Ergebnisausgabe ``` \vfill # AGENDA {.plain} \large \setstretch{2.5} \vfill Stichprobenmittel Stichprobenvarianz **Stichprobenkovarianz** Stichprobenkorrelation # Stichprobenkovarianz \begin{definition}[Stichprobenkovarianz] \justifying $x = (x_1,\ldots,x_n)$ und $y = (y_1,\ldots,y_n)$ mit $x_i,y_i \in \mathbb{R}$ für $i = 1,\ldots,n$ seien zwei univariate Datensätze. Dann ist ist die Stichprobenkovarianz von $x$ und $y$ definiert als \begin{equation} c_{xy} = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x}) (y_i - \bar{y}) \; , \end{equation} wobei $\bar{x}$ und $\bar{y}$ die Stichprobenmittel von $x$ bzw. $y$ sind. \end{definition} \small Bemerkung * Die Stichprobenkovarianz entspricht der Summe der multiplizierten Abweichungen der Datenpunkte von ihren Stichprobenmitteln, geteilt durch Stichprobenumfang minus 1. # Stichprobenkovarianz Berechnung mit R base \vspace{2mm} \footnotesize ```{r, echo = T, eval = T} D = read.csv("Daten/Daten_2.csv") # Daten einlesen n = nrow(D) # Anzahl Datenpunkte x_i = D[,1] # = D$DUR # x_i-Werte y_i = D[,2] # = D$dBDI # y_i-Werte x_bar = 1/n * sum(x_i) # Stichprobenmittel y_bar = 1/n * sum(y_i) # Stichprobenmittel c_xy = 1/(n-1) * sum((x_i - x_bar)* # Stichprobenkovarianz (y_i - y_bar)) # Ergebnisausgabe cat("Stichprobenkovarianz der x_i und y_i : ", c_xy) ``` \vfill # Stichprobenkovarianz Berechnung mit R-Funktionen \vspace{2mm} \footnotesize ```{r, echo = T, eval = T} D = read.csv("Daten/Daten_2.csv") # Daten einlesen n = nrow(D) # Anzahl Datenpunkte c_xy = cov(D[,1], D[,2]) # Stichprobenkovarianz # Ergebnisausgabe cat("Stichprobenkovarianz der x_i und y_i : ", c_xy) ``` \vfill # Stichprobenkovarianz Berechnung mit `dplyr` \vspace{2mm} \footnotesize ```{r, echo = T, eval = T} D = read.csv("Daten/Daten_2.csv") # Daten einlesen n = nrow(D) # Anzahl Datenpunkte library(dplyr) # R-Paket laden D_cov = D %>% # Übergabe des Dataframes summarise("DUR/dBDI" = cov(DUR, dBDI)) %>%# Berechnung Stichkovarianz as.data.frame() # Konvertierung in Dataframe rownames(D_cov) = c("Cov") # Zeile benennen print(D_cov) # Ergebnisausgabe ``` \vfill # AGENDA {.plain} \large \setstretch{2.5} \vfill Stichprobenmittel Stichprobenvarianz Stichprobenkovarianz **Stichprobenkorrelation** # Stichprobenkorrelation \begin{definition}[Stichprobenkorrelation] \justifying $x = (x_1,\ldots,x_n)$ und $y = (y_1,\ldots,y_n)$ mit $x_i,y_i \in \mathbb{R}$ für $i = 1,\ldots,n$ seien zwei univariate Datensätze. Dann ist ist die Stichprobenkorrelation von $x$ und $y$ definiert als \begin{equation} r_{xy} = \frac{c_{xy}}{\sqrt{s_x^2} \sqrt{s_y^2}} = \frac{ \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x}) (y_i - \bar{y}) }{ \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2} \sqrt{\sum_{i=1}^n (y_i - \bar{y})^2} } \; , \end{equation} wobei $c_{xy}$ die Stichprobenkovarianz von $x$ und $y$ ist, während $s_x^2$ und $s_y^2$ die Stichprobenvarianzen von $x$ bzw. $y$ sind. \end{definition} \small Bemerkung * Die Stichprobenkorrelation entspricht dem Quotienten aus Stichprobenkovarianz und dem Produkt der Stichprobenstandardabweichungen. # Stichprobenkorrelation Berechnung mit R base \vspace{2mm} \footnotesize ```{r, echo = T, eval = T} D = read.csv("Daten/Daten_2.csv") # Daten einlesen n = nrow(D) # Anzahl Datenpunkte x_i = D[,1] # = D$DUR # x_i-Werte y_i = D[,2] # = D$dBDI # y_i-Werte x_bar = 1/n * sum(x_i) # Stichprobenmittel y_bar = 1/n * sum(y_i) # Stichprobenmittel s2_x = 1/(n-1) * sum((x_i - x_bar)^2) # Stichprobenvarianz s2_y = 1/(n-1) * sum((y_i - y_bar)^2) # Stichprobenvarianz c_xy = 1/(n-1) * sum((x_i - x_bar)* # Stichprobenkovarianz (y_i - y_bar)) r_xy = c_xy/(sqrt(s2_x) * sqrt(s2_y)) # Stichprobenkorrelation # Ergebnisausgabe cat( "Stichprobenvarianz der x_i : ", s2_x, "\nStichprobenvarianz der y_i : ", s2_y, "\nStichprobenkovarianz der x_i und y_i : ", c_xy, "\nStichprobenkorrelation der x_i und y_i : ", r_xy) ``` \vfill # Stichprobenkorrelation Berechnung mit R-Funktionen \vspace{2mm} \footnotesize ```{r, echo = T, eval = T} D = read.csv("Daten/Daten_2.csv") # Daten einlesen n = nrow(D) # Anzahl Datenpunkte r_xy = cor(D[,1], D[,2]) # Stichprobenkorrelation # Ergebnisausgabe cat("Stichprobenkorrelation der x_i und y_i : ", r_xy) ``` \vfill # Stichprobenkorrelation Berechnung mit `dplyr` \vspace{2mm} \footnotesize ```{r, echo = T, eval = T} D = read.csv("Daten/Daten_2.csv") # Daten einlesen n = nrow(D) # Anzahl Datenpunkte library(dplyr) # R-Paket laden D_cov = D %>% # Übergabe des Dataframes summarise("DUR/dBDI" = cor(DUR, dBDI)) %>%# Berechnung Stichkovarianz as.data.frame() # Konvertierung in Dataframe rownames(D_cov) = c("Corr") # Zeile benennen print(D_cov) # Ergebnisausgabe ``` \vfill