--- format: pdf: fontsize: 11pt number-sections: true include-in-header: ../MV_Header_Seminar.tex lang: de --- \setcounter{section}{4} # Multivariate Deskriptivstatistik ## Mathematische Grundlagen Für diese und die folgenden Einheiten gehen wir davon aus, dass sich die Realisierungen $y_1, \ldots, y_n \in \mathbb{R}^m$ eines Zufallsvektors $\upsilon \in \mathbb{R}^m$ zu einer $m \times n$ Matrix $Y$ zusammenfassen lassen, die wir gewöhnlich als *Datenmatrix* bezeichnen: \begin{equation} \label{eq:Y} Y = \begin{pmatrix} y_1 & \ldots & y_n \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{m \times n} \; . \end{equation} Bitte beachten Sie, dass sich dieses Format -- die Anordnung von Datenpunkten in Spalten -- von dem gewöhnlich in `CSV`-Dateien oder etwa `R`-Dataframes verwendeten Format -- der Anordnung von Datenpunkten in Zeilen -- unterscheidet. Die Ursache hierfür liegt darin, dass gemäß unserer Theorie in den Einheiten (2) *Matrizen* und (4) *Multivariate Normalverteilungen* Vektoren und Zufallsvektoren grundsätzlich Spaltenvektoren sind, sodass sie hier horizontal bzw. nebeneinander angeordnet werden. \vspace{1em} In der Vorlesung haben wir drei *multivariate Deskriptivstatistiken* für eine derartige Sammlung von Realisierungen kennengelernt, deren Definition wir im Folgenden wiederholen. \vspace{1em} **Stichprobenmittel** \begin{equation} \label{eq:y_bar} \bar{y} := \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n y_i \end{equation} **Stichprobenkovarianzmatrix** \begin{equation} \label{eq:C} C := \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (y_i - \bar{y}) (y_i - \bar{y})^\mathrm{T} \end{equation} **Stichprobenkorrelationsmatrix** \begin{equation} \label{eq:R} R := \left( \frac{(C)_{ij} }{ \sqrt{(C)_{ii}} \sqrt{(C)_{jj}} } \right)_{1 \le i,j \le m} \end{equation} \pagebreak Darüber hinaus wurde in der Vorlesung gezeigt, dass diese Deskriptivstatistiken sich als Matrixprodukte auf Grundlage der Datenmatrix wie folgt darstellen lassen. \vspace{1em} **Stichprobenmittel** \begin{equation} \label{eq:y_bar-Y} \bar{y} = \frac{1}{n} Y 1_{n} \end{equation} **Stichprobenkovarianzmatrix** \begin{equation} \label{eq:C-Y} C = \frac{1}{n-1} \left( Y \left( I_n - \frac{1}{n} 1_{nn} \right) Y^\mathrm{T} \right) \end{equation} **Stichprobenkorrelationsmatrix** \begin{equation} \label{eq:R-Y} R = DCD \quad \text{mit} \quad D := \mbox{diag}\left( \frac{1}{\sqrt{(C)_{11}}}, \ldots, \frac{1}{\sqrt{(C)_{mm}}} \right) \end{equation} ## Analyse in R Die Datei `FADE_SAME.csv` enthält den in der ersten Seminarsitzung vorgestellten Datensatz. Erklären Sie die Funktion des folgenden R-Codes: \footnotesize ```{r, echo = T, eval = T, results = 'hide'} # Daten einlesen fname = 'FADE_SAME.csv' # Dateiname D = read.csv(fname) # Dataframe # Variablen extrahieren vars = c('novelty.FADE','novelty.SAME', # Variablen 'memory.FADE', 'memory.SAME') n = nrow(D) # Anzahl Datenpunkte m = length(vars) # Anzahl Variablen Y = matrix(rep(0,n*m), nrow = n) # zeilenweise Datenmatrix for (j in 1:m) { Y[,j] = D[,vars[j]] # j-te Variable } # Datenmatrix transponieren Y = t(Y) # spaltenweise Datenmatrix print(dim(Y)) # Überprüfung Datenmatrix ``` \normalsize \pagebreak ## Erste Programmieraufgabe Berechnen Sie nun die multivariaten Deskriptivstatistiken für diesen Datensatz anhand der oben beschriebenen Formeln. Gehen Sie dazu wie folgt vor: - Erzeugen Sie mit \verb|diag(n)| die $n$-dimensionale Einheitsmatrix \verb|I_n|. - Erzeugen Sie mit \verb|matrix()| eine $n \times n$ Einsmatrix \verb|J_n|. - Berechnen Sie das Stichprobenmittel $\bar{y}$ anhand der obigen Formel, d.h. indem Sie $Y$ mit der ersten Spalte von $J_n$ multiplizieren und das Produkt mit $1/n$ malnehmen. - Berechnen Sie die Stichprobenkovarianzmatrix $C$ anhand der obigen Formel, d.h. indem Sie das Matrixprodukt $Y \left( I_n - \frac{1}{n} J_n \right) Y^\mathrm{T}$ bestimmen und es mit $1/(n-1)$ multiplizieren. - Extrahieren Sie mit \verb|diag()| die Diagonaleinträge von $C$, nehmen Sie das Reziproke von deren Quadratwurzeln via \verb|1/sqrt()| und erzeugen Sie mit \verb|diag()| aus den resultierenden Werten wieder eine Diagonalmatrix, die wir $D$ nennen. - Berechnen Sie die Stichprobenkorrelationsmatrix $R$ anhand der obigen Formel, d.h. indem Sie das Matrixprodukt $D C D$ bestimmen. - Geben Sie die Resultate ihrer Analyse aus. Sie sollten folgende Ergebnisse erhalten: \footnotesize ```{r, echo = F, eval = T} ``` \normalsize \pagebreak Überprüfen Sie nun die multivariaten Deskriptivstatistiken für diesen Datensatz anhand der Berechnung auf Grundlage von R-Funktionen. Gehen Sie dazu wie folgt vor: - Berechnen Sie (i) das Stichprobenmittel $\bar{y}$ mit \verb|rowMeans()| als Zeilenmittel von $Y$ (alternativ: mit \verb|colMeans()| als Spaltenmittel von $Y^\mathrm{T}$), (ii) die Stichprobenkovarianzmatrix $C$ mit \verb|cov()| aus $Y^\mathrm{T}$ und (iii) die Stichprobenkorrelationsmatrix $R$ mit \verb|cor()| aus $Y^\mathrm{T}$. - Geben Sie die Resultate ihrer Analyse aus. Die Ergebnisse sollten identisch sein. \footnotesize ```{r, echo = F, eval = T} ``` \normalsize ## Analyse in R Im zweiten Teil wollen wir dieselben Deskriptivstatistiken noch einmal anhand anderer Variablen aus dem Datensatz `FADE_SAME.csv` berechnen. Erklären Sie dazu zunächst den folgenden R-Code und die daraus resultierende Datenmatrix: \footnotesize ```{r, echo = T, eval = T, results = 'hide'} # Daten einlesen fname = 'FADE_SAME.csv' # Dateiname D = read.csv(fname) # Dataframe print(colnames(D)) # Überprüfung Dataframe # Variablen extrahieren vars = c('age', 'memory', 'MWT.B') # Definition Variablen Y = D[,vars] # zeilenweise Datenmatrix Y = t(Y) # spaltenweise Datenmatrix n = nrow(Y) # Anzahl Datenpunkte print(dim(Y)) # Überprüfung Datenmatrix ``` \normalsize \pagebreak ## Zweite Programmieraufgabe Die Variable "MWT-B" (Mehrfachwahl-Wortschatz-Intelligenztest, Variante B) ist nicht für alle Datenpunkte vorhanden. Wir werden daher zunächst nur die Datenpunkte auswählen, für die der MWT-B gemessen wurde, bevor wir die Deskriptivstatistiken für diese Datenmatrix berechnen. Gehen Sie dazu wie folgt vor: - Für Datenpunkte, deren MWT-B fehlt, hat die dritte Zeile der Datenmatrix den Wert "NA" (not available). Der Ausdruck \verb|!is.na(Y[3,])| ist ein Vektor von der Länge der Datenmatrix, der \verb|TRUE| ist, wo der MWT-B vorhanden und demzufolge nicht "NA" ist. Nutzen Sie diesen Vektor, um die Spalten der Datenmatrix \verb|Y| zu indizieren und auf diese Weise nur die Werte mit vorhandenem MWT-B auszuwählen. Speichern Sie das Ergebnis in die Variable \verb|Y|. - Berechnen Sie die Anzahl der Datenpunkte $n$ und die Anzahl der Variablen $m$ als Anzahl der Spalten bzw. Zeilen der so neu erzeugten Datenmatrix $Y$. Geben Sie diese Werte aus: $n$ sollte 258 sein. - Ermitteln Sie die multivariaten Deskriptivstatistiken wie im Abschnitt 5.3. Verwenden Sie hierbei die Formeln zur Berechnung der Deskriptivstatistiken mithilfe von Matrixprodukten. - Geben Sie die Resultate ihrer Analyse aus. Sie sollten folgende Ergebnisse erhalten: \footnotesize ```{r, echo = F, eval = T} ``` \normalsize \pagebreak ## Lückentext Füllen Sie mit den in der Übung gewonnenen Erkenntnissen den folgenden Lückentext aus und präsentieren Sie die Ergebnisse im Seminar: \vspace{1em} **Lückentext:** Die Korrelation der beiden Novelty-Scores beträgt __________ und die Korrelation der beiden Memory-Scores beträgt __________. Die Korrelation der beiden FADE-Scores beträgt __________ und die Korrelation der beiden SAME-Scores beträgt __________. Die Scores sind demzufolge innerhalb eines fMRT-Kontrasts __________ (positiv/negativ) korreliert und innerhalb eines Score-Typs __________ (positiv/negativ) korreliert. In Absolutwerten sind Korrelationen der Scores innerhalb eines Kontrasts __________ (stärker/schwächer) als zwischen Kontrasten. Mit Blick auf die demographischen Variablen ist die Korrelation zwischen Personenalter und Gedächtnisleistung __________ (positiv/negativ), weil __________; und die Korrelation zwischen Personenalter und MWT-B __________ (positiv/negativ), weil __________. ## Mögliche Klausurfrage Präsentieren Sie im Seminar folgende Klausurfrage und erklären Sie die richtige Antwort: \vspace{1em} **Frage:** Gegeben sei ein Datensatz $y_1, \ldots, y_n$ mit $y_i \in \mathbb{R}^m$ für $i = 1,\ldots,n$ sowie dessen multivariates Stichprobenmittel $\bar{y}$. Wie ist die Stichprobenkovarianzmatrix der $y_1, \ldots, y_n$ definiert? \begin{enumerate}[a)] \item $C := \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (y_i - \bar{y})(y_i - \bar{y})^\mathrm{T}$ \item $C := \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (y_i - \bar{y})^\mathrm{T}(y_i - \bar{y})$ \item $C := \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (y_i - \bar{y})(y_i - \bar{y})^\mathrm{T}$ \item $C := \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (y_i - \bar{y})^\mathrm{T}(y_i - \bar{y})$ \end{enumerate} ## Mathematischer Witz Ein Statistiker hat Angst, mit dem Flugzeug zu fliegen, weil sich eine Bombe an Bord befinden könnte. Nach einigen Berechnungen stellt er fest, dass die Wahrscheinlichkeit dafür extrem gering ist, die Wahrscheinlichkeit für zwei Bomben aber noch viel geringer. Seitdem nimmt er auf jeden Flug selbst eine Bombe mit.