--- format: pdf: fontsize: 11pt number-sections: true include-in-header: ../MV_Header_Seminar.tex lang: de --- \setcounter{section}{4} # Multivariate Deskriptivstatistik ## Mathematische Grundlagen Für diese und die folgenden Einheiten gehen wir davon aus, dass sich die Realisierungen $y_1, \ldots, y_n \in \mathbb{R}^m$ eines Zufallsvektors $\upsilon \in \mathbb{R}^m$ zu einer $m \times n$ Matrix $Y$ zusammenfassen lassen, die wir gewöhnlich als *Datenmatrix* bezeichnen: \begin{equation} \label{eq:Y} Y = \begin{pmatrix} y_1 & \ldots & y_n \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{m \times n} \; . \end{equation} Bitte beachten Sie, dass sich dieses Format -- die Anordnung von Datenpunkten in Spalten -- von dem gewöhnlich in `CSV`-Dateien oder etwa `R`-Dataframes verwendeten Format -- der Anordnung von Datenpunkten in Zeilen -- unterscheidet. Die Ursache hierfür liegt darin, dass gemäß unserer Theorie in den Einheiten (2) *Matrizen* und (4) *Multivariate Normalverteilungen* Vektoren und Zufallsvektoren grundsätzlich Spaltenvektoren sind, sodass sie hier horizontal bzw. nebeneinander angeordnet werden. \vspace{1em} In der Vorlesung haben wir drei *multivariate Deskriptivstatistiken* für eine derartige Sammlung von Realisierungen kennengelernt, deren Definition wir im Folgenden wiederholen. \vspace{1em} **Stichprobenmittel** \begin{equation} \label{eq:y_bar} \bar{y} := \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n y_i \end{equation} **Stichprobenkovarianzmatrix** \begin{equation} \label{eq:C} C := \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (y_i - \bar{y}) (y_i - \bar{y})^\mathrm{T} \end{equation} **Stichprobenkorrelationsmatrix** \begin{equation} \label{eq:R} R := \left( \frac{(C)_{ij} }{ \sqrt{(C)_{ii}} \sqrt{(C)_{jj}} } \right)_{1 \le i,j \le m} \end{equation} \pagebreak Darüber hinaus wurde in der Vorlesung gezeigt, dass diese Deskriptivstatistiken sich als Matrixprodukte auf Grundlage der Datenmatrix wie folgt darstellen lassen. \vspace{1em} **Stichprobenmittel** \begin{equation} \label{eq:y_bar-Y} \bar{y} = \frac{1}{n} Y 1_{n} \end{equation} **Stichprobenkovarianzmatrix** \begin{equation} \label{eq:C-Y} C = \frac{1}{n-1} \left( Y \left( I_n - \frac{1}{n} 1_{nn} \right) Y^\mathrm{T} \right) \end{equation} **Stichprobenkorrelationsmatrix** \begin{equation} \label{eq:R-Y} R = DCD \quad \text{mit} \quad D := \mbox{diag}\left( \frac{1}{\sqrt{(C)_{11}}}, \ldots, \frac{1}{\sqrt{(C)_{mm}}} \right) \end{equation} ## Analyse in R Die Datei `FADE_SAME.csv` enthält den in der ersten Seminarsitzung vorgestellten Datensatz. Erklären Sie die Funktion des folgenden R-Codes: \footnotesize ```{r, echo = T, eval = T, results = 'hide'} # Daten einlesen fname = 'FADE_SAME.csv' # Dateiname D = read.csv(fname) # Dataframe # Variablen extrahieren vars = c('novelty.FADE','novelty.SAME', # Variablen 'memory.FADE', 'memory.SAME') n = nrow(D) # Anzahl Datenpunkte m = length(vars) # Anzahl Variablen Y = matrix(rep(0,n*m), nrow = n) # zeilenweise Datenmatrix for (j in 1:m) { Y[,j] = D[,vars[j]] # j-te Variable } # Datenmatrix transponieren Y = t(Y) # spaltenweise Datenmatrix print(dim(Y)) # Überprüfung Datenmatrix ``` \normalsize \pagebreak ## Erste Programmieraufgabe Berechnen Sie nun die multivariaten Deskriptivstatistiken für diesen Datensatz anhand der oben beschriebenen Formeln. Gehen Sie dazu wie folgt vor: - Erzeugen Sie mit \verb|diag(n)| die $n$-dimensionale Einheitsmatrix $I_n$. - Erzeugen Sie mit \verb|matrix()| eine $n \times n$ Einsmatrix $J_n$. - Berechnen Sie das Stichprobenmittel $\bar{y}$ anhand der obigen Formel, d.h. indem Sie $Y$ mit der ersten Spalte von $J_n$ multiplizieren und das Produkt mit $1/n$ malnehmen. - Berechnen Sie die Stichprobenkovarianzmatrix $C$ anhand der obigen Formel, d.h. indem Sie das Matrixprodukt $Y \left( I_n - \frac{1}{n} J_n \right) Y^\mathrm{T}$ bestimmen und es mit $1/(n-1)$ multiplizieren. - Extrahieren Sie mit \verb|diag()| die Diagonaleinträge von $C$, nehmen Sie das Reziproke von deren Quadratwurzeln via \verb|1/sqrt()| und erzeugen Sie mit \verb|diag()| aus den resultierenden Werten wieder eine Diagonalmatrix, die wir $D$ nennen. - Berechnen Sie die Stichprobenkorrelationsmatrix $R$ anhand der obigen Formel, d.h. indem Sie das Matrixprodukt $D C D$ bestimmen. - Geben Sie die Resultate ihrer Analyse aus. Sie sollten folgende Ergebnisse erhalten: \footnotesize ```{r, echo = F, eval = T} ``` \normalsize \pagebreak Überprüfen Sie nun die multivariaten Deskriptivstatistiken für diesen Datensatz anhand der Berechnung auf Grundlage von R-Funktionen. Gehen Sie dazu wie folgt vor: - Berechnen Sie (i) das Stichprobenmittel $\bar{y}$ mit \verb|rowMeans()| als Zeilenmittel von $Y$ (alternativ: mit \verb|colMeans()| als Spaltenmittel von $Y^\mathrm{T}$), (ii) die Stichprobenkovarianzmatrix $C$ mit \verb|cov()| aus $Y^\mathrm{T}$ und (iii) die Stichprobenkorrelationsmatrix $R$ mit \verb|cor()| aus $Y^\mathrm{T}$. - Geben Sie die Resultate ihrer Analyse aus. Die Ergebnisse sollten identisch sein. \footnotesize ```{r, echo = F, eval = T} ``` \normalsize ## Analyse in R Im zweiten Teil wollen wir dieselben Deskriptivstatistiken noch einmal anhand anderer Variablen aus dem Datensatz `FADE_SAME.csv` berechnen. Erklären Sie dazu zunächst den folgenden R-Code und die daraus resultierende Datenmatrix: \footnotesize ```{r, echo = T, eval = T, results = 'hide'} # Daten einlesen fname = 'FADE_SAME.csv' # Dateiname D = read.csv(fname) # Dataframe # Variablen extrahieren vars = c('age', 'memory', 'MWT.B') # Definition Variablen Y = D[,vars] # zeilenweise Datenmatrix Y = t(Y) # spaltenweise Datenmatrix print(dim(Y)) # Überprüfung Datenmatrix ``` \normalsize \pagebreak ## Zweite Programmieraufgabe Die Variable "MWT-B" (Mehrfachwahl-Wortschatz-Intelligenztest, Variante B) ist nicht für alle Datenpunkte vorhanden. Wir werden daher zunächst nur die Datenpunkte auswählen, für die der MWT-B gemessen wurde, bevor wir die Deskriptivstatistiken für diese Datenmatrix berechnen. Gehen Sie dazu wie folgt vor: - Für Datenpunkte, deren MWT-B fehlt, hat die dritte Zeile der Datenmatrix den Wert "NA" (not available). Der Ausdruck \verb|!is.na(Y[3,])| ist ein Vektor von der Länge der Datenmatrix, der \verb|TRUE| ist, wo der MWT-B vorhanden und demzufolge nicht "NA" ist. Nutzen Sie diesen Vektor, um die Spalten der Datenmatrix \verb|Y| zu indizieren und auf diese Weise nur die Werte mit vorhandenem MWT-B auszuwählen. Speichern Sie das Ergebnis in die Variable \verb|Y|. - Berechnen Sie die Anzahl der Datenpunkte $n$ und die Anzahl der Variablen $m$ als Anzahl der Spalten bzw. Zeilen der so neu erzeugten Datenmatrix $Y$. Geben Sie diese Werte aus: $n$ sollte 258 sein. - Ermitteln Sie die multivariaten Deskriptivstatistiken wie im Abschnitt 5.3. Es genügt hier, wenn Sie die Deskriptivstatistiken mittels der oben beschriebenen Formeln als Matrixprodukte berechnen. - Geben Sie die Resultate ihrer Analyse aus. Sie sollten folgende Ergebnisse erhalten: \footnotesize ```{r, echo = F, eval = T} ``` \normalsize \pagebreak ## Lückentext Füllen Sie mit den in der Übung gewonnenen Erkenntnissen den folgenden Lückentext aus und präsentieren Sie die Ergebnisse im Seminar: \vspace{1em} **Lückentext:** Die Korrelation der beiden Novelty-Scores beträgt __________ und die Korrelation der beiden Memory-Scores beträgt __________. Die Korrelation der beiden FADE-Scores beträgt __________ und die Korrelation der beiden SAME-Scores beträgt __________. Die Scores sind demzufolge innerhalb eines fMRT-Kontrasts __________ (positiv/negativ) korreliert und innerhalb eines Score-Typs __________ (positiv/negativ) korreliert. In Absolutwerten sind Korrelationen der Scores innerhalb eines Kontrasts __________ (stärker/schwächer) als zwischen Kontrasten. Mit Blick auf die demographischen Variablen ist die Korrelation zwischen Personenalter und Gedächtnisleistung __________ (positiv/negativ), weil __________; und die Korrelation zwischen Personenalter und MWT-B __________ (positiv/negativ), weil __________. ## Mögliche Klausurfrage Präsentieren Sie im Seminar folgende Klausurfrage und erklären Sie die richtige Antwort: \vspace{1em} **Frage:** Gegeben sei ein Datensatz $y_1, \ldots, y_n$ mit $y_i \in \mathbb{R}^m$ für $i = 1,\ldots,n$ sowie dessen multivariates Stichprobenmittel $\bar{y}$. Wie ist die Stichprobenkovarianzmatrix der $y_1, \ldots, y_n$ definiert? \begin{enumerate}[a)] \item $C := \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (y_i - \bar{y})(y_i - \bar{y})^\mathrm{T}$ \item $C := \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (y_i - \bar{y})^\mathrm{T}(y_i - \bar{y})$ \item $C := \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (y_i - \bar{y})(y_i - \bar{y})^\mathrm{T}$ \item $C := \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (y_i - \bar{y})^\mathrm{T}(y_i - \bar{y})$ \end{enumerate} ## Kinderwitz Was sagt der Pirat auf dem Bauernhof? \begin{turn}{180} Antwort: "Ah... Heu!" \end{turn}