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\setcounter{section}{4}
# Multivariate Deskriptivstatistik


## Mathematische Grundlagen

Für diese und die folgenden Einheiten gehen wir davon aus, dass sich die Realisierungen $y_1, \ldots, y_n \in \mathbb{R}^m$ eines Zufallsvektors $\upsilon \in \mathbb{R}^m$ zu einer $m \times n$ Matrix $Y$ zusammenfassen lassen, die wir gewöhnlich als *Datenmatrix* bezeichnen:

\begin{equation} \label{eq:Y}
Y = \begin{pmatrix} y_1 & \ldots & y_n \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{m \times n} \; .
\end{equation}

Bitte beachten Sie, dass sich dieses Format -- die Anordnung von Datenpunkten in Spalten -- von dem gewöhnlich in `CSV`-Dateien oder etwa `R`-Dataframes verwendeten Format -- der Anordnung von Datenpunkten in Zeilen -- unterscheidet. Die Ursache hierfür liegt darin, dass gemäß unserer Theorie in den Einheiten (2) *Matrizen* und (4) *Multivariate Normalverteilungen* Vektoren und Zufallsvektoren grundsätzlich Spaltenvektoren sind, sodass sie hier horizontal bzw. nebeneinander angeordnet werden.

\vspace{1em}
In der Vorlesung haben wir drei *multivariate Deskriptivstatistiken* für eine derartige Sammlung von Realisierungen kennengelernt, deren Definition wir im Folgenden wiederholen.

\vspace{1em}
**Stichprobenmittel**
\begin{equation} \label{eq:y_bar}
\bar{y} := \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n y_i
\end{equation}

**Stichprobenkovarianzmatrix**
\begin{equation} \label{eq:C}
C := \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (y_i - \bar{y}) (y_i - \bar{y})^\mathrm{T}
\end{equation}

**Stichprobenkorrelationsmatrix**
\begin{equation} \label{eq:R}
R := \left( \frac{(C)_{ij} }{ \sqrt{(C)_{ii}} \sqrt{(C)_{jj}} } \right)_{1 \le i,j \le m}
\end{equation}

\pagebreak
Darüber hinaus wurde in der Vorlesung gezeigt, dass diese Deskriptivstatistiken sich als Matrixprodukte auf Grundlage der Datenmatrix wie folgt darstellen lassen.

\vspace{1em}
**Stichprobenmittel**
\begin{equation} \label{eq:y_bar-Y}
\bar{y} =  \frac{1}{n} Y 1_{n}
\end{equation}

**Stichprobenkovarianzmatrix**
\begin{equation} \label{eq:C-Y}
C = \frac{1}{n-1} \left( Y \left( I_n - \frac{1}{n} 1_{nn} \right) Y^\mathrm{T} \right)
\end{equation}

**Stichprobenkorrelationsmatrix**
\begin{equation} \label{eq:R-Y}
R = DCD
\quad \text{mit} \quad
D := \mbox{diag}\left( \frac{1}{\sqrt{(C)_{11}}}, \ldots, \frac{1}{\sqrt{(C)_{mm}}} \right)
\end{equation}


## Analyse in R

Die Datei `FADE_SAME.csv` enthält den in der ersten Seminarsitzung vorgestellten Datensatz. Erklären Sie die Funktion des folgenden R-Codes:

\footnotesize
```{r, echo = T, eval = T, results = 'hide'}
# Daten einlesen
fname = 'FADE_SAME.csv'                             # Dateiname
D     = read.csv(fname)                             # Dataframe

# Variablen extrahieren
vars  = c('novelty.FADE','novelty.SAME',            # Variablen
          'memory.FADE', 'memory.SAME')
n     = nrow(D)                                     # Anzahl Datenpunkte
m     = length(vars)                                # Anzahl Variablen
Y     = matrix(rep(0,n*m), nrow = n)                # zeilenweise Datenmatrix
for (j in 1:m) {
    Y[,j] = D[,vars[j]]                             # j-te Variable
}

# Datenmatrix transponieren
Y     = t(Y)                                        # spaltenweise Datenmatrix
print(dim(Y))                                       # Überprüfung Datenmatrix
```
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\pagebreak
## Erste Programmieraufgabe

Berechnen Sie nun die multivariaten Deskriptivstatistiken für diesen Datensatz anhand der oben beschriebenen Formeln. Gehen Sie dazu wie folgt vor:

- Erzeugen Sie mit \verb|diag(n)| die $n$-dimensionale Einheitsmatrix $I_n$.

- Erzeugen Sie mit \verb|matrix()| eine $n \times n$ Einsmatrix $J_n$.

- Berechnen Sie das Stichprobenmittel $\bar{y}$ anhand der obigen Formel, d.h. indem Sie $Y$ mit der ersten Spalte von $J_n$ multiplizieren und das Produkt mit $1/n$ malnehmen.

- Berechnen Sie die Stichprobenkovarianzmatrix $C$ anhand der obigen Formel, d.h. indem Sie das Matrixprodukt $Y \left( I_n - \frac{1}{n} J_n \right) Y^\mathrm{T}$ bestimmen und es mit $1/(n-1)$ multiplizieren.

- Extrahieren Sie mit \verb|diag()| die Diagonaleinträge von $C$, nehmen Sie das Reziproke von deren Quadratwurzeln via \verb|1/sqrt()| und erzeugen Sie mit \verb|diag()| aus den resultierenden Werten wieder eine Diagonalmatrix, die wir $D$ nennen.

- Berechnen Sie die Stichprobenkorrelationsmatrix $R$ anhand der obigen Formel, d.h. indem Sie das Matrixprodukt $D C D$ bestimmen.

- Geben Sie die Resultate ihrer Analyse aus. Sie sollten folgende Ergebnisse erhalten:

\footnotesize
```{r, echo = F, eval = T}
# Deskriptivstatisken
I_n   = diag(n)                                     # Einheitsmatrix I_n
J_n   = matrix(rep(1,n^2), nrow = n)                # Einsmatrix 1_{nn}
y_bar = (1/n)* Y %*% J_n[,1]                        # Stichprobenmittel
C     = (1/(n-1))*(Y %*% (I_n-(1/n)*J_n) %*% t(Y))  # Stichprobenkovarianzmatrix
D     = diag(1/sqrt(diag(C)))                       # Kov-Korr-Transformationsmatrix
R     = D %*% C %*% D                               # Stichprobenkorrelationsmatrix
print(y_bar)
print(C)
print(R)
```
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\pagebreak
Überprüfen Sie nun die multivariaten Deskriptivstatistiken für diesen Datensatz anhand der Berechnung auf Grundlage von R-Funktionen. Gehen Sie dazu wie folgt vor:

- Berechnen Sie (i) das Stichprobenmittel $\bar{y}$ mit \verb|rowMeans()| als Zeilenmittel von $Y$ (alternativ: mit \verb|colMeans()| als Spaltenmittel von $Y^\mathrm{T}$), (ii) die Stichprobenkovarianzmatrix $C$ mit \verb|cov()| aus $Y^\mathrm{T}$ und (iii) die Stichprobenkorrelationsmatrix $R$ mit \verb|cor()| aus $Y^\mathrm{T}$.

- Geben Sie die Resultate ihrer Analyse aus. Die Ergebnisse sollten identisch sein.

\footnotesize
```{r, echo = F, eval = T}
# Deskriptivstatistiken (R)
y_bar = as.matrix(rowMeans(Y))                      # Strichprobenmittel als Zeilenmittel  von Y
y_bar = as.matrix(colMeans(t(Y)))                   # Strichprobenmittel als Spaltenmittel von Y^T
C     = cov(t(Y))                                   # Stichprobenkovarianzmatrix
R     = cor(t(Y))                                   # Stichprobenkorrelationsmatrix
print(y_bar)
print(C)
print(R)
```
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## Analyse in R

Im zweiten Teil wollen wir dieselben Deskriptivstatistiken noch einmal anhand anderer Variablen aus dem Datensatz `FADE_SAME.csv` berechnen. Erklären Sie dazu zunächst den folgenden R-Code und die daraus resultierende Datenmatrix:

\footnotesize
```{r, echo = T, eval = T, results = 'hide'}
# Daten einlesen
fname = 'FADE_SAME.csv'                             # Dateiname
D     = read.csv(fname)                             # Dataframe

# Variablen extrahieren
vars  = c('age', 'memory', 'MWT.B')                 # Definition Variablen
Y     = D[,vars]                                    # zeilenweise Datenmatrix
Y     = t(Y)                                        # spaltenweise Datenmatrix
print(dim(Y))                                       # Überprüfung Datenmatrix
```
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\pagebreak
## Zweite Programmieraufgabe

Die Variable "MWT-B" (Mehrfachwahl-Wortschatz-Intelligenztest, Variante B) ist nicht für alle Datenpunkte vorhanden. Wir werden daher zunächst nur die Datenpunkte auswählen, für die der MWT-B gemessen wurde, bevor wir die Deskriptivstatistiken für diese Datenmatrix berechnen. Gehen Sie dazu wie folgt vor:

- Für Datenpunkte, deren MWT-B fehlt, hat die dritte Zeile der Datenmatrix den Wert "NA" (not available). Der Ausdruck \verb|!is.na(Y[3,])| ist ein Vektor von der Länge der Datenmatrix, der \verb|TRUE| ist, wo der MWT-B vorhanden und demzufolge nicht "NA" ist. Nutzen Sie diesen Vektor, um die Spalten der Datenmatrix \verb|Y| zu indizieren und auf diese Weise nur die Werte mit vorhandenem MWT-B auszuwählen. Speichern Sie das Ergebnis in die Variable \verb|Y|.

- Berechnen Sie die Anzahl der Datenpunkte $n$ und die Anzahl der Variablen $m$ als Anzahl der Spalten bzw. Zeilen der so neu erzeugten Datenmatrix $Y$. Geben Sie diese Werte aus: $n$ sollte 258 sein.

- Ermitteln Sie die multivariaten Deskriptivstatistiken wie im Abschnitt 5.3. Es genügt hier, wenn Sie die Deskriptivstatistiken mittels der oben beschriebenen Formeln als Matrixprodukte berechnen.

- Geben Sie die Resultate ihrer Analyse aus. Sie sollten folgende Ergebnisse erhalten:

\footnotesize
```{r, echo = F, eval = T}
# Datenpunkte ausschließen
Y     = Y[,!is.na(Y[3,])]                           # MWT-B muss vorhanden sein
n     = ncol(Y)                                     # Anzahl Datenpunkte
m     = nrow(Y)                                     # Anzahl Variablen
print(dim(Y))                                       # Überprüfung Datenmatrix

# Deskriptivstatisken
I_n   = diag(n)                                     # Einheitsmatrix I_n
J_n   = matrix(rep(1,n^2), nrow = n)                # Einsmatrix 1_{nn}
y_bar = (1/n)* Y %*% J_n[,1]                        # Stichprobenmittel
C     = (1/(n-1))*(Y %*% (I_n-(1/n)*J_n) %*% t(Y))  # Stichprobenkovarianzmatrix
D     = diag(1/sqrt(diag(C)))                       # Kov-Korr-Transformationsmatrix
R     = D %*% C %*% D                               # Stichprobenkorrelationsmatrix
print(y_bar)
print(C)
print(R)
```
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\pagebreak
## Lückentext

Füllen Sie mit den in der Übung gewonnenen Erkenntnissen den folgenden Lückentext aus und präsentieren Sie die Ergebnisse im Seminar:

\vspace{1em}
**Lückentext:** Die Korrelation der beiden Novelty-Scores beträgt \underline{ -0.655 } und die Korrelation der beiden Memory-Scores beträgt \underline{ -0.798 }. Die Korrelation der beiden FADE-Scores beträgt \underline{ 0.047 } und die Korrelation der beiden SAME-Scores beträgt \underline{ 0.151 }. Die Scores sind demzufolge innerhalb eines fMRT-Kontrasts \underline{ negativ } (positiv/negativ) korreliert und innerhalb eines Score-Typs \underline{ positiv } (positiv/negativ) korreliert. In Absolutwerten sind Korrelationen der Scores innerhalb eines Kontrasts \underline{ stärker } (stärker/schwächer) als zwischen Kontrasten. Mit Blick auf die demographischen Variablen ist die Korrelation zwischen Personenalter und Gedächtnisleistung \underline{ negativ } (positiv/negativ), weil \underline{ hohes Lebensmittelalter mit der Beeinträchtigung kognitiver Leistungen einhergeht }; und die Korrelation zwischen Personenalter und MWT-B \underline{ positiv } (positiv/negativ), weil \underline{ kristalline Intelligenz mit steigendem Lebensalter zunimmt }.


## Mögliche Klausurfrage

Präsentieren Sie im Seminar folgende Klausurfrage und erklären Sie die richtige Antwort:

\vspace{1em}
**Frage:** Gegeben sei ein Datensatz $y_1, \ldots, y_n$ mit $y_i \in \mathbb{R}^m$ für $i = 1,\ldots,n$ sowie dessen multivariates Stichprobenmittel $\bar{y}$. Wie ist die Stichprobenkovarianzmatrix der $y_1, \ldots, y_n$ definiert?
\begin{enumerate}[a)]
\item $C := \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (y_i - \bar{y})(y_i - \bar{y})^\mathrm{T}$
\item $C := \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (y_i - \bar{y})^\mathrm{T}(y_i - \bar{y})$
\item $C := \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (y_i - \bar{y})(y_i - \bar{y})^\mathrm{T}$ $\checkmark$
\item $C := \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (y_i - \bar{y})^\mathrm{T}(y_i - \bar{y})$
\end{enumerate}


## Kinderwitz

Was sagt der Pirat auf dem Bauernhof?

\begin{turn}{180}
Antwort: "Ah... Heu!"
\end{turn}