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\setcounter{section}{1}
# Matrizen


\setcounter{subsection}{8}
## Übungsaufgabe

Gegeben sei die Matrix
\begin{equation}
  A
= \begin{pmatrix}
 6 & 1 \\
-3 & 2
\end{pmatrix}
\in \mathbb{R}^{2 \times 2} \, .
\end{equation}

\begin{enumerate}[a)]
\item Berechnen Sie die Spur von $A$.
\item Berechnen Sie die Determinante von $A$.
\item Berechnen Sie die Inverse von $A$.
\item Überprüfen Sie die Inverse auf ihre Richtigkeit.
\item Berechnen Sie die Eigenwerte von $A$.
\item Berechnen Sie die zugehörigen Eigenvektoren.
\end{enumerate}


## Lösung der Übungsaufgabe

Wir bezeichnen die Einträge der Matrix $A$ mit
\begin{equation}
  A
= \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{pmatrix} \, .
\end{equation}

**a) Spur**

\begin{equation}
  \operatorname{tr}(A)
= a_{11} + a_{22}
= 6 + 2
= 8 \; .
\end{equation}

**b) Determinante**

\begin{equation}
  \det(A)
= a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}
= 6 \cdot 2 - 1 \cdot (-3)
= 12 + 3 = 15 \; .
\end{equation}

**c) Inverse**

\vspace{-0.5em}
\begin{equation}
\begin{split}
   A^{-1}
&= \frac{1}{a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}}
\begin{pmatrix}
 a_{22} & -a_{12} \\
-a_{21} &  a_{11}
\end{pmatrix} \\
&= \frac{1}{6 \cdot 2 - 1 \cdot (-3)}
\begin{pmatrix}
2 & -1 \\
3 &  6
\end{pmatrix}
 = \frac{1}{15}
\begin{pmatrix}
2 & -1 \\
3 &  6
\end{pmatrix} \\
&= 
\begin{pmatrix}
 2/15 & -1/15 \\
 3/15 &  6/15
\end{pmatrix}
 = 
\begin{pmatrix}
 2/15 & -1/15 \\
 1/5  &  2/5
\end{pmatrix} \; .
\end{split}
\end{equation}

**d) Probe**

Für die Inverse muss gelten, dass $A A^{-1} = I_n$. Wir überprüfen:
\begin{equation}
\begin{split}
   A A^{-1}
&=
\begin{pmatrix} 6 & 1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
 2/15 & -1/15 \\
 3/15 &  6/15
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix}
12/15 + 3/15 & -6/15 +  6/15 \\
-6/15 + 6/15 &  3/15 + 12/15
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I_2 \; .
\end{split}
\end{equation}

Analog ergibt sich $A^{-1} A = I_n$. Damit ist die Inverse korrekt.

\vspace{1em}
**e) Eigenwerte**

Das charakteristische Polynom lautet
\begin{equation}
\begin{split}
   \chi_A(\lambda)
&= \left\vert A - \lambda I_n \right\vert
 =
\left\vert 
\begin{pmatrix}
 6 & 1 \\
-3 & 2
\end{pmatrix}
-
\lambda
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}
\right\vert
=
\left\vert
\begin{pmatrix}
 6-\lambda & 1         \\
-3         & 2-\lambda
\end{pmatrix}
\right\vert \\
&= (6-\lambda)(2-\lambda) - 1\cdot(-3)
 = 12 - 6 \lambda - 2 \lambda + \lambda^2 + 3 \\
&= \lambda^2 - 8\lambda + 15 \; .
\end{split}
\end{equation}

Das heißt, wir müssen folgende quadratische Gleichung lösen:
\begin{equation}
0 = \lambda^2 - 8\lambda + 15 \; .
\end{equation}

Lösung der Gleichung mittels p-q-Formel ergibt
\vspace{-0.5em}
\begin{equation}
\begin{split}
   \lambda_{1,2}
&= -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left( \frac{p}{2} \right)^2 - q} \\
&= -\frac{-8}{2} \pm \sqrt{\left( \frac{-8}{2} \right)^2 - 15} \\
&= 4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 15} \\
&= 4 \pm \sqrt{1} \\
&= 4 \pm 1 \; .
\end{split}
\end{equation}

Damit sind die Eigenwerte $\lambda_1 = 5$ und $\lambda_2 = 3$.

\pagebreak
**f) Eigenvektoren**

Für $\lambda_1 = 5$ ergibt sich:
\begin{equation}
\begin{split}
(A - \lambda_1 I_n) v_1 = 0_n
\quad &\Leftrightarrow \quad
\left(
\begin{pmatrix}
 6 & 1 \\
-3 & 2
\end{pmatrix}
-
5
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}
\right)
\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\
0
\end{pmatrix} \\
\quad &\Leftrightarrow \quad
\begin{pmatrix}
 1 &  1 \\
-3 & -3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\
0
\end{pmatrix} \\
\quad &\Leftrightarrow \quad
\begin{array}{rl}
  1 x + 1 y & = 0 \\
- 3 x - 3 y & = 0
\end{array} \\
\quad &\Rightarrow \quad
v_1 =
\frac{1}{\sqrt{2}}
\begin{pmatrix}
 1 \\
-1
\end{pmatrix}
\; \mbox{ist eine Lösung} \; .
\end{split}
\end{equation}

Für $\lambda_2 = 3$ ergibt sich:
\begin{equation}
\begin{split}
(A - \lambda_2 I_n) v_2 = 0_n
\quad &\Leftrightarrow \quad
\left(
\begin{pmatrix}
 6 & 1 \\
-3 & 2
\end{pmatrix}
-
3
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}
\right)
\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\
0
\end{pmatrix} \\
\quad &\Leftrightarrow \quad
\begin{pmatrix}
 3 &  1 \\
-3 & -1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\
0
\end{pmatrix} \\
\quad &\Leftrightarrow \quad
\begin{array}{rl}
  3 x + 1 y & = 0 \\
- 3 x - 1 y & = 0
\end{array} \\
\quad &\Rightarrow \quad
v_2 =
\frac{1}{\sqrt{10}}
\begin{pmatrix}
 1 \\
-3
\end{pmatrix}
\; \mbox{ist eine Lösung} \; .
\end{split}
\end{equation}

Für die Eigenvektoren gilt
\begin{equation}
|| v_1 || = || v_2 || = 1
\quad \text{sowie} \quad
A v_1 = \lambda_1 v_1
\quad \text{und} \quad
A v_2 = \lambda_2 v_2 \; .
\end{equation}