--- format: pdf fontsize: 11pt bibliography: ../MV_Referenzen_Seminar.bib include-in-header: ../MV_Header_Seminar.tex lang: de --- # (5) Multivariate Deskriptivstatistik Ziel dieser Sitzung ist es, zu verdeutlichen, wie die Berechnung multivariater Deskriptivstatistiken implementiert wird, und sich der Grundlagen der Frequentistischen Inferenz zu besinnen. ### Multivariate Deskriptivstatistiken Wir simulieren zunächst einen Datensatz von $n = 30$ vierdimensionalen Messwerten ($m = 4$). \tiny ```{r} # R-Pakete library(MASS) # multivariate Normalverteilungen # library(matrixcalc) # Matrix-Paket (is.positive.definite()) # Simulationsparameter set.seed(1) # reproduzierbare Randomisierung m = 4 # Datenpunktdimension n = 30 # Anzahl Realisierungen mu = rep(0,m) # Erwartungswertparameter Sigma = matrix(runif(m^2), nrow = m) # zufällige Matrix Sigma = 0.5*(Sigma+t(Sigma)) # symmetrische Matrix Sigma = Sigma + m*diag(m) # positiv definite Matrix # Datensatzgeneration Y = t(mvrnorm(n,mu,Sigma)) # Y = (y_1,...,y_n) \sim N(\mu,\Sigma) fname = "Multivariate_Deskriptivstatistik.csv" # Dateiname write.csv(Y, # Datenspeichern file = fname, row.names = FALSE) ``` \normalsize Wir laden nun die Datenmatrix und berechnen auf Grundlage des in der Vorlesung diskutierten Theorems zu Datenmatrix und multivariate Deskriptivstatistiken das Stichprobenmittel, die Stichprobenkovarianzmatrix und die Stichprobenkorrelationsmatrix. \tiny ```{r} # Laden einer m x n Datenmatrix fname = "Multivariate_Deskriptivstatistik.csv" Y = as.matrix(read.table(fname, sep = ",", header = TRUE)) # Deskriptivstatisken n = ncol(Y) # Anzahl Datenvektorealisierungen I_n = diag(n) # Einheitsmatrix I_n J_n = matrix(rep(1,n^2), nrow = n) # 1_{nn} y_bar = (1/n)* Y %*% J_n[,1] # Stichprobenmittel C = (1/(n-1))*(Y %*% (I_n-(1/n)*J_n) %*% t(Y)) # Stichprobenkovarianzmatrix D = diag(1/sqrt(diag(C))) # Kov-Korr-Transformationsmatrix R = D %*% C %*% D # Stichprobenkorrelationsmatrix # Ausgabe print(y_bar) print(C) print(R) ``` \normalsize Wir überprüfen die Richtigkeit dieser Ergebnisse mithilfe der **R**-Funktionen `rowMeans` (bzw. `colMeans`), `cov` und `cor`. \tiny ```{r} # Deskriptivstatisken y_bar = as.matrix(rowMeans(Y)) # Strichprobenmittel als Zeilenmittel von Y y_bar = as.matrix(colMeans(t(Y))) # Strichprobenmittel als Spaltenmittel von Y^T C = cov(t(Y)) # Stichprobenkovarianzmatrix R = cor(t(Y)) # Stichprobenkorrelationsmatrix # Ausgabe print(y_bar) print(C) print(R) ``` \normalsize Schließlich berechnen wir die quadrierte Euklidische Distanz und die Mahalanobis-Distanz des berechneteten Stichprobenmittels vom Nullpunkt basierend auf der Stichprobenkovarianzmatrix. \tiny ```{r} # Laden einer m x n Datenmatrix fname = "Multivariate_Deskriptivstatistik.csv" Y = as.matrix(read.table(fname, sep = ",", header = TRUE)) # Deskriptivstatisken n = ncol(Y) # Anzahl Datenvektorealisierungen I_n = diag(n) # Einheitsmatrix I_n J_n = matrix(rep(1,n^2), nrow = n) # 1_{nn} y_bar = (1/n)* Y %*% J_n[,1] # Stichprobenmittel C = (1/(n-1))*(Y %*% (I_n-(1/n)*J_n) %*% t(Y)) # Stichprobenkovarianzmatrix # Ausgabe cat( "quadrierte Euklidische Distanz von 0_4 : ", t(y_bar) %*% y_bar, "\nMahalanobis-Distanz von 0_4 : ", t(y_bar) %*% solve(C) %*% y_bar, "\n") ``` \newpage ### Grundlagen Frequentistischer Inferenz \normalsize Anhand untenstehender Simulation der Dualität von Konfidenzintervallen und Hypothesentests im Szenario des (univariaten) Einstichproben-T-Tests wiederholen wir noch einmal die intuitiven Grundlagen der Frequentistischen Inferenz. \tiny ```{r} # Modellformulierung n = 12 # Stichprobengröße mu = 2 # wahrer, aber unbekannter Erwartungswertparameter sigsqr = 1 # wahrer, aber unbekannter Varianzparameter # Konfidenzintervallparameter und Testparameter delta = 0.95 # Konfidenzbedingung t_delta = qt((1+delta)/2, n-1) # \Psi^{-1}((\delta + 1)/2, n-1) mu_0 = mu # Nullhypothesenparameter # Simulationen set.seed(1) # reproduzierbare Randomisierung ns = 1e5 # Anzahl Simulationen y_bar = rep(NaN,ns) # Stichprobenmittelarray s = rep(NaN,ns) # Stichprobenstandardabweichungarray kappa = matrix(rep(NaN,2*ns), ncol = 2) # Konfidenzintervallarray kfn = rep(NaN,ns) # Überdeckungsindikatorarray phi = rep(NaN,ns) # Testarray for(i in 1:ns){ # Simulationsiterationen # Stichprobenrealisation und Konfidezintervallevaluation y = rnorm(n,mu_0,sqrt(sigsqr)) # Stichprobenrealisierung y_bar[i] = mean(y) # Stichprobenmittel s[i] = sd(y) # Stichprobenstandardabweichung kappa[i,1] = y_bar[i] - (s[i]/sqrt(n))*t_delta # untere KI Grenze kappa[i,2] = y_bar[i] + (s[i]/sqrt(n))*t_delta # obere KI Grenze # Überdeckungs- und Testevaluation if(kappa[i,1] <= mu_0 & mu_0 <= kappa[i,2]){ kfn[i] = 1} else{kfn[i] = 0} # Überdeckungsindikatorevaluation if(kappa[i,1] <= mu_0 & mu_0 <= kappa[i,2]){ phi[i] = 0} else{phi[i] = 1}} # Testevaluation # Ausgabe cat( "geschätztes Konfidenzniveau : ", mean(kfn), "\ngeschätzter Testumfang : ", mean(phi)) ``` \newpage \normalsize Wir visualieren die ersten 100 Simulationen als @fig-grundlagen-frequentistischer-inferenz. \tiny ```{r, echo = T, eval = F} # Visualisierungsparameter library(latex2exp) par( family = "sans", bty = "l", mfcol = c(2,1), lwd = 1, las = 1, mgp = c(2,1,0), xaxs = "i", yaxs = "i", font.main = 1, cex = 1, cex.main = 1) # Konfidenzintervallberechnung nv = 100 # Simulationsanzahl für Visualisierung y_bar = y_bar[1:nv] # Selektion der ersten nv Stichprobenmittel phi = phi[1:nv] # Selektion der ersten nv Testwertsimulationen kappa = kappa[1:nv,] # Selektion der ersten nv Konfidenzintervallgrenzen kfn = kfn[1:nv] # Selektion der ersten nv Konfidenzintervallüberdeckungsevaluatoren # Konfidenzintervallvisualisierung I = rep(NaN,nv) # nicht überdeckende KIs für Visualisierung I[kfn == 0] = 3.5 # Markerpositions plot(1:nv, y_bar, type = "p", ylim = c(0,4), xlim = c(0,102), xlab = "Simulationen", ylab = "", pch = 19, cex = 0.5, main = "Konfidenzintervalle") arrows( x0 = 1:nv, y0 = kappa[,1], x1 = 1:nv, y1 = kappa[,2], code = 3, angle = 90, length = 0.01, lwd = 0.7) abline(mu, 0, col = "gray80", lty = 1) lines(1:nv, I, type = "p", pch = 13, col = "darkorange") # Testvisualisierung plot(1:nv, phi, type = "p", ylim = c(-0.2,1.2), xlim = c(0,102), las = 1, xlab = "Simulationen", ylab = "", pch = 16, cex = 0.6, yaxp = c(0,1,1), main = "Hypothesentests") # PDF-Speicherung dev.copy2pdf( file = "./Abbildungen/grundlagen_frequentistischer_inferenz.pdf", width = 9, height = 6) dev.off() ``` \normalsize ![Grundlagen Frequentisticher Inferenz am Beispiel von Konfidenzintervallen und Hypothesentests im Szenario des Einstichproben-T-Tests.]("./Abbildungen/grundlagen_frequentistischer_inferenz.pdf"){#fig-grundlagen-frequentistischer-inferenz fig-align="center" width=100%}