--- format: pdf fontsize: 11pt bibliography: ../MV_Referenzen_Seminar.bib include-in-header: ../MV_Header_Seminar.tex lang: de --- # (2) Matrizen Ziel dieser Sitzung ist es, die Matrizenrechnung in **R** anhand der in der Vorlesung diskutierten Beispiele nachzuvollziehen und optional weitere Übungsaufgaben mithilfe von **R** zu lösen. ## Grundlegende Matrixoperationen Wir betrachten zunächst die spaltenweise und zeilenweise Definition von Matrizen in **R** anhand zweier in der Vorlesung gegebener Beispiele zur Matrixaddition und Matrixsubtraktion. Man beachte, dass die zeilenweise Definition einer Matrix, die mithilfe des Arguments `byrow = TRUE` (non-default) erreicht wird, eine höhere Korrespondenz zwischen **R**-Codebild und **R** Repräsentation ermöglicht. \small ```{r} # spaltenweise Definition von A (R-Default) A = matrix(c( 2, 1,-3, 6, 0, 5), nrow = 2) print(A) ``` \small ```{r} # zeilenweise Definition von B B = matrix(c( 4, 1, 0, -4, 2, 0), nrow = 2, byrow = TRUE) print(B) ``` \normalsize Die Addition und Subtraktion von Matrizen werden in **R** dann mit den Operatoren `+` und `-` implementiert. Entsprechend der in der Vorlesung eingeführten Rechenregeln ergeben sich \small ```{r} # Addition C = A + B print(C) ``` \normalsize und \small ```{r} # Subtraktion D = A - B print(D) ``` \normalsize Das in der Vorlesung betrachtete Beispiel zur Skalarmultiplikation ergibt sich mit dem Skalarmultiplikationsoperator `*` wie folgt. \small ```{r} # Definitionen A = matrix(c(3,1,1, 5,2,5, 2,7,1, 3,4,2), nrow = 4, byrow = TRUE) c = -3 # Skalarmultiplikation B = c*A print(B) ``` \normalsize Das in der Vorlesung betrachtete Beispiel zur Matrixtransposition schließlich ergibt sich mit dem Transpositionsoperator `t()` wie folgt. \small ```{r} # Definition A = matrix(c(2,3,0, 1,6,5), nrow = 2, byrow = TRUE) # Transposition AT = t(A) print(A) print(AT) ``` ## Multiplikation von Matrizen \normalsize Das erste in der Vorlesung betrachtete Beispiel zur Matrixmultiplikation implementiert man in **R** mithilfe des Matrixmultiplikationsoperators `%*%` wie folgt. \small ```{r} # Definitionen A = matrix(c( 2,-3, 0, 1, 6, 5), nrow = 2, byrow = TRUE) B = matrix(c( 4, 2, -1, 0, 1, 3), nrow = 3, byrow = TRUE) # Matrixmultiplikation C = A %*% B print(C) ``` \pagebreak \normalsize Das zweite Beispiel zur Matrixmultiplikation ergibt demzufolge so: \small ```{r} # Definitionen A = matrix(c( 2,-3, 0, 1, 6, 5), nrow = 2, byrow = TRUE) B = matrix(c( 4, 2, -1, 0, 1, 3), nrow = 3, byrow = TRUE) # Matrixmultiplikation D = B %*% A print(D) ``` \normalsize Ist die Multiplikation zweier in **R** definierter Matrizen nicht definiert, d.h. stimmt die Anzahl der Spalten der ersten Matrix nicht mit der Anzahl der Zeilen der zweiten Matrix überein, so ergibt sich ein Fehler. \small ```{r, error = T} # Beispiel für eine undefinierte Matrixmultipliation E = t(A) %*% B # (3 x 2)(3 x 2) ``` \pagebreak ## Inverse Matrizen \normalsize Inverse Matrizen berechnet man in **R** für gewöhnlich mit dem Befehl `solve()`. Für das in der Vorlesung betrachtete Beispiel einer invertierbaren $2 \times 2$ Matrix ergibt sich entsprechend folgender **R**-Code. (Man beachte, dass sich bei der rechtsseitigen Multiplikation von $A$ mit ihrer inversen minimale Rundungsfehler ergeben.) \small ```{r} # Definition A = matrix(c(2,1, 3,4), nrow = 2, byrow = TRUE) # Berechnen von A^{-1} print(solve(A)) # Probe: Multiplikation von A^{-1} mit A print(solve(A) %*% A) print(A %*% solve(A)) ``` \normalsize Das in der Vorlesung betrachtete Beispiel für eine nicht-invertierbare Matrix ist auch numerisch nicht invertierbar, wie folgender Beispielcode in **R** demonstriert. \small ```{r, error = T} # nicht-invertierbare Matrizen sind auch numerisch nicht-invertierbar (= singulär) B = matrix(c(1,0, 0,0), nrow = 2, byrow = TRUE) solve(B) ``` ## Determinanten \normalsize Determinanten berechnet man in **R** mithilfe des Befehls `det()`. Für die in der Vorlesung betrachteten Beispiele ergibt sich folgender **R**-Code. \small ```{r} # Beispiel 1 A = matrix(c(2,1, # Matrixdefinition 3,4), nrow = 2, byrow = TRUE) det(A) # Determinantenberechnung B = matrix(c(1,0, # Matrixdefinition 0,0), nrow = 2, byrow = TRUE) det(B) # Determinantenberechnung # Beispiel 2 C = matrix(c(2,0,0, # Matrixdefinition 0,1,0, 0,0,3), nrow = 3, byrow = TRUE) det(C) # Determinantenberechnung ``` \pagebreak ## Weitere Aufgaben zur Übung \normalsize (1) Es seien \begin{equation} A := \begin{pmatrix*}[r] 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix*}, \quad B := \begin{pmatrix*}[r] 3 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix*}, \quad \mbox{und} \quad c := 2 \end{equation} Berechnen Sie \begin{equation} D := c\left(A - B^T\right) \quad \mbox{und} \quad E := \left(cA\right)^T + B. \end{equation} mit **R**. ```{r, eval = F, echo = F} # Definition A = matrix(c(1,2, 2,1), nrow = 2, byrow = TRUE) B = matrix(c(3,0, 1,2), nrow = 2, byrow = TRUE) c = 2 # Berechnung print(A) print(B) print(c*(A - t(B))) print(t(c*A) + B) ``` (2) Es seien \begin{equation} A := \begin{pmatrix*}[r] 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 3 & 2 & 0 \end{pmatrix*}, \quad B := \begin{pmatrix*}[r] 1 & 2 & 2 \\ 1 & 3 & 1 \\ 2 & 0 & 0 \end{pmatrix*} \quad \mbox{und} \quad C := \begin{pmatrix*}[r] 1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix*}. \end{equation} Berechnen Sie die Matrixprodukte \begin{equation} AB, \quad\quad B^TA^T, \quad\quad \left( B^T A^T \right)^T \quad \mbox{und} \quad AC \end{equation} mit **R**. ```{r, eval = F, echo = F} # Definition A = matrix(c(1,2,3, 4,5,6, 3,2,0), nrow = 3, byrow = TRUE) B = matrix(c(1,2,2, 1,3,1, 2,0,0), nrow = 3, byrow = TRUE) C = matrix(c(1,3,2), nrow = 3, byrow = TRUE) # Berechnung print(A) print(B) print(C) print(A %*% B) print(t(B) %*% t(A)) print(t(t(B) %*% t(A))) print(A %*% C) ``` (3) Invertieren Sie die Matrizen $A$ und $B$ aus der vorherigen Aufgabe in **R** mithilfe von `solve()` und überprüfen Sie, dass es sich bei den erzielten Ergebnissen tatsächlich um die Inversen von $A$ und $B$ handelt. ```{r, eval = F, echo = F} # Matrixinversion A = matrix(c(1,2,3, 4,5,6, 3,2,0), nrow = 3, byrow = TRUE) B = matrix(c(1,2,2, 1,3,1, 2,0,0), nrow = 3, byrow = TRUE) # Berechnung print(solve(A)) print(solve(B)) print(solve(A) %*% A) print(solve(B) %*% B) print(solve(B) %*% B) ``` (4) Berechnen Sie die Determinanten von \begin{equation} A := \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}, \quad B := \begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \quad \mbox{und} \quad C := \mbox{diag}(1,2,3) \end{equation} mit **R**. ```{r, eval = F, echo = F} # Definition A = matrix(c(2,1, 1,2), nrow = 2, byrow = TRUE) B = matrix(c(3,2,1, 2,3,2, 1,2,3), nrow = 3, byrow = TRUE) C = diag(c(1,2,3)) # Berechnung print(det(A)) print(det(B)) print(det(C)) ```