--- fontsize: 8pt format: beamer: include-in-header: ../ALM_Header.tex bibliography: ../ALM_Referenzen.bib --- # {.plain} \center ```{r, echo = F, out.width = "20%"} knitr::include_graphics("../OvGU_Logo.png") ``` \vspace{2mm} \huge Allgemeines Lineares Modell \vspace{6mm} \large BSc Psychologie, SoSe 2026 \vspace{5mm} Joram Soch # {.plain} \vfill \center \huge \textcolor{black}{(12) Zweifaktorielle Varianzanalyse} \vfill # \large \setstretch{2.5} \vfill Anwendungsszenario Modellformulierung Modellschätzung Modellevaluation Anwendung/Praxis Selbstkontrollfragen \vfill # \large \setstretch{2.5} \vfill **Anwendungsszenario** Modellformulierung Modellschätzung Modellevaluation Anwendung/Praxis Selbstkontrollfragen \vfill # Anwendungsszenario \setstretch{1.5} \textcolor{darkblue}{Randomisiertes zweifaktorielles Studiendesigns mit gekreuztem Design} Zweifaktorielle Varianzanalyse (ZVA) = two-way analysis of variance (ANOVA): \flushleft \small * Eine univariate abhängige Variable, bestimmt an randomisierten experimentellen Einheiten. * Zwei diskrete unabhängige Variablen, die mindestens zweistufig sind. * Die unabhängigen Variablen werden **Faktoren** genannt. * Die Stufen der Faktoren werden auch **Level** der Faktoren genannt. * Jedes Level eines Faktors wird mit allen Leveln des anderen Faktors kombiniert. * Die Kombination zweier spezifischer Faktorlevel wird **Zelle** des Designs genannt. \normalsize Zweifaktorielle Studiendesigns werden üblicherweise anhand ihrer Faktorlevel bezeichnet: \small \center \begin{tabular}{lll} $2 \times 2$ ANOVA: & Faktor A mit Level 1,2 & Faktor B mit Level 1,2 \\ $2 \times 3$ ANOVA: & Faktor A mit Level 1,2 & Faktor B mit Level 1,2,3 \\ $4 \times 2$ ANOVA: & Faktor A mit Level 1,2,3,4 & Faktor B mit Level 1,2 \\ $3 \times 1$ ANOVA: & Faktor A mit Level 1,2,3 & Faktor B mit Level 1 \end{tabular} \flushleft * Generell sind **2 x 2 Designs** sehr populär, wir fokussieren auf diesen Fall. * Die Zellen eines 2 x 2 Designs werden im Folgenden auch als **Gruppen** bezeichnet. # Anwendungsszenario \textcolor{darkblue}{Konzeptuelles Design} \vspace{-2mm} \center ```{r, echo = F, out.width = "70%"} knitr::include_graphics("Abbildungen/zva_konzept.pdf") ``` \small Die Zellen/Gruppen des Designs sind hier mit A1B1, A1B2, A2B1 und A2B2 bezeichnet. # Anwendungsszenario \textcolor{darkblue}{Datennotation} \vspace{-2mm} \center ```{r, echo = F, out.width = "70%"} knitr::include_graphics("Abbildungen/zva_datennotation.pdf") ``` \center \small $y_{ijk}$ bezeichnet die Datenvariable der $k$ten experimentellen Einheit ($k = 1,...,n_{ij}$) im $i$ten Level von Faktor A und $j$ten Level von Faktor B ($i = 1,2, j = 1,2$). # Anwendungsszenario \textcolor{darkblue}{Haupteffekte (\textit{main effects}) und Interaktionen (\textit{interactions})} \small Man unterscheidet intuitiv hinsichtlich der Gruppenmittelwerte *Haupteffekte* und *Interaktionen*: \footnotesize * \justifying Intuitiv spricht man vom Vorliegen eines *Haupteffekts von Faktor A*, wenn sich die Gruppenmittelwerte zwischen Level 1 und Level 2 von Faktor A, jeweils gemittelt über die zwei Level von Faktor B, unterscheiden. * Intuitiv spricht man vom Vorliegen eines *Haupteffekts von Faktor B*, wenn sich die Gruppenmittelwerte zwischen Level 1 und Level 2 von Faktor B, jeweils gemittelt über die zwei Level von Faktor A, unterscheiden. * Intuitiv spricht man vom Vorliegen einer *Interaktion der Faktoren A und B*, wenn der Unterschied der Gruppenmittelwerte von Faktor A zwischen Level 1 und 2 unterschiedlich für Level 1 und Level 2 von Faktor B ausgeprägt ist bzw. wenn der Unterschied der Gruppenmittelwerte von Faktor B zwischen Level 1 und 2 unterschiedlich für Level 1 und Level 2 von Faktor A ausgeprägt ist. \small Intuitiv beziehen sich Haupteffekte also auf (marginale) Unterschiede (Differenzen), während sich Interaktionen auf Unterschiede von Unterschieden (Differenzen von Differenzen) beziehen. Das Vorhandensein einer Interaktion besagt lediglich, dass sich die Unterschiede der Gruppenmittelwerte zwischen den Leveln eines experimentellen Faktors in Abhängigkeit von den Leveln des anderen experimentellen Faktors ändern, es macht aber keine Aussage darüber, warum dies so ist. \textcolor{darkblue}{$\Rightarrow$ Haupteffekte und Interaktionen sind Datenmuster, keine wissenschaftlichen Theorien.} # Anwendungsszenario \setstretch{1.5} \textcolor{darkblue}{Anwendungsbeispiel} BDI-Differenzwertanalyse für zwei CBT-Settings und CBT-Varianten \vspace{2mm} \center ```{r, echo = F, out.width = "70%"} knitr::include_graphics("Abbildungen/beispielstudie.pdf") ``` ```{r, echo = F, echo = F} # Datensimulation set.seed(1) # Ergebnisreproduzierbarkeit library(MASS) # multivariate Normalverteilung I = 2 # Anzahl Level Faktor A (Therapiesetting) J = 2 # Anzahl Level Faktor B (Therapievariante) n_ij = 12 # balanciertes ANOVA Design n = I*J*n_ij # Anzahl Datenpunkte p = 1 + (I-1)+(J-1)+(I*J-3) # Anzahl Parameter D = matrix(c(1,0,0,0, # Referenzgruppenregressor 1,1,0,0, # Haupteffekt A Regressor 1,0,1,0, # Haupteffekt B Regressor 1,1,1,1), nrow = p, byrow = TRUE) # Interaktionseffekt Regressor C = matrix(rep(1,n_ij),nrow = n_ij) # prototypischer Zellenvektor für balancierte Designs X = kronecker(D,C) # Kroneckerprodukt für balancierte Designs I_n = diag(n) # n x n Einheitsmatrix beta = matrix(c(10,4,0,0), nrow = p) # \beta = (\mu_0,\alpha_2,\beta_2,\gamma_22) sigsqr = 8 # \sigma^2 y = mvrnorm(1, X %*% beta, sigsqr*diag(n)) # Datenrealisierung y = round(y) # diskrete BDI-Werte D = data.frame(Setting = c(rep("F2F" , n_ij*2), # face-to-face rep("ONL" , n_ij*2)), # online Variant = c(rep("MND" , n_ij), # CBT-M rep("EXC" , n_ij), # CBT-E rep("MND" , n_ij), # CBT-M rep("EXC" , n_ij)), # CBT-E dBDI = y) # BDI-Differenzwerte fname = "Daten/Zweifaktorielle_Varianzanalyse_Daten.csv" # Dateiname write.csv(D, file = fname, row.names = FALSE) # Speicherung ``` # Anwendungsszenario \setstretch{1.5} \textcolor{darkblue}{Anwendungsbeispiel} BDI-Differenzwertanalyse für zwei CBT-Settings und CBT-Varianten \small * Faktor (A) CBT-Setting mit Level (1) face-to-face (F2F) und Level (2) online (ONL). * Faktor (B) CBT-Variante mit Level (1) mindfulness (MND) und Level (2) exercise (EXC). * $n_{ij} := 12, \; 1 \le i,j \le 2$ Patient:innen in jeder Bedingung, $n = 48$ Patient:innen insgesamt. \normalsize 2 x 2 randomisiertes zweifaktorielles Studiendesign $\Rightarrow$ 2 x 2 ANOVA \small * inferentielle Evidenz für einen Haupteffekt des CBT-Settings? * inferentielle Evidenz für einen Haupteffekt der CBT-Variante? * inferentielle Evidenz für Interaktion von CBT-Setting und CBT-Variante? # \large \setstretch{2.5} \vfill Anwendungsszenario **Modellformulierung** Modellschätzung Modellevaluation Anwendung/Praxis Selbstkontrollfragen \vfill # Modellformulierung \vspace{2mm} \textcolor{darkblue}{Modell der additiven ZVA} \footnotesize \setstretch{1.2} In Analogie zur einfaktoriellen Varianzanalyse (EVA) möchte man in der additiven ZVA die Gruppenerwartungswerte $\mu_{ij}$ mit $i = 1,...,I$ für die Level von Faktor A und $j = 1,...,J$ für die Level von Faktor B als Summe eines gruppenunspezifischen Erwartungswertes und den Effekten der Level von Faktor A und der Level von Faktor B modellieren. Wir bezeichnen den gruppenunspezifischen Erwartungswertparameter mit $\mu_0$, den Effekt von Level $i$ von Faktor A mit $\alpha_i$ und den Effekt von Level $j$ von Faktor B mit $\beta_j$ ($\beta_j$ bezeichnet hier also \underline{nicht} den $j$ten Eintrag des Betaparametervektors). Dann ergibt sich zum Beispiel für $I := J := 2$: \begin{center} \begin{tabular}{l|l} $\mu_{11} := \mu_0 + \alpha_1 + \beta_1$ & $\mu_{12} := \mu_0 + \alpha_1 + \beta_2$ \\ \hline $\mu_{21} := \mu_0 + \alpha_2 + \beta_1$ & $\mu_{22} := \mu_0 + \alpha_2 + \beta_2$ \\ \end{tabular} \end{center} Wie im Falle der EVA ist diese Darstellung der Gruppenerwartungswerte $\mu_{ij}$ allerdings überparameterisiert. Um eine eindeutige Darstellung der $\mu_{ij}$ zu gewährleisten, bietet sich auch hier die Restriktion an, den Effekt des ersten Levels jedes Faktors als Null zu definieren: \begin{equation} \alpha_1 := \beta_1 := 0 \; . \end{equation} Dies etabliert die Faktorlevelkombination A1B1 als Referenzgruppe. Es ergibt sich somit zum Beispiel für für $I := J := 2$: \begin{center} \begin{tabular}{l|l} $\mu_{11} := \mu_0$ & $\mu_{12} := \mu_0 + \beta_2$ \\ \hline $\mu_{21} := \mu_0 + \alpha_2$ & $\mu_{22} := \mu_0 + \alpha_2 + \beta_2$ \\ \end{tabular} \end{center} Auch bei dieser Effektdarstellung des Modells der additiven 2 x 2 ZVA mit Referenzgruppe ändern sich die Interpretation der Parameter $\mu_0,\alpha_2,\beta_2$ im Vergleich zum überparameterisierten Fall ohne Referenzgruppe: $\mu_0$ entspricht dem Erwartungswert der Faktorlevelkombination A1B1, $\alpha_2$ der Differenz beim Übergang von Level 1 zu Level 2 von Faktor A und $\beta_2$ der Differenz beim Übergang von Level 1 zu Level 2 von Faktor B. # Modellformulierung \footnotesize \begin{definition}[Modell der additiven ZVA mit Referenzgruppe] \justifying $y_{ijk}$ mit $i = 1,...,I$, $j = 1,...,J$, $k = 1,...,n_{ij}$ sei die Zufallsvariable, die den $k$ten Datenpunkt zum $i$ten Level von Faktor A und dem $j$ten Level von Faktor B in einem ZVA-Anwendungsszenario modelliert. Dann hat das \textit{Modell der additiven ZVA mit Referenzgruppe} die strukturelle Form \begin{equation} y_{ijk} = \mu_{ij} + \varepsilon_{ijk} \quad \mbox{mit} \quad \varepsilon_{ijk} \sim N(0,\sigma^2) \quad \mbox{u.i.v. für} \quad i = 1,...,I, \; j = 1,...,J, \; k = 1,...,n_{ij} \end{equation} und die Datenverteilungsform \begin{equation} y_{ijk} \sim N(\mu_{ij}, \sigma^2) \quad \mbox{u.v. für} \quad i = 1,...,I, \; j = 1,...,J, \; k = 1,...,n_{ij} \end{equation} mit \begin{equation} \mu_{ij} := \mu_0 + \alpha_i + \beta_j \quad \mbox{für} \quad i = 1,...,I, \; j = 1,...,J \quad \mbox{mit} \quad \alpha_1 := \beta_1 := 0 \end{equation} und $\sigma^2 > 0$. \end{definition} Bemerkungen * Das Modell der additiven ZVA modelliert ausschließlich Haupteffekte, keine Interaktionen. # Modellformulierung \textcolor{darkblue}{Parameterbeispiele} \small \setstretch{1.5} \noindent (1) Es sei $\mu_0 := 1, \alpha_2 := 1, \beta_2 := 0$. Dann gilt: \begin{center} \begin{tabular}{ll} $\mu_{11} = \mu_0 + \alpha_1 + \beta_1 = 1 + 0 + 0 = 1$ & $\mu_{12} = \mu_0 + \alpha_1 + \beta_2 = 1 + 0 + 0 = 1$ \\ $\mu_{21} = \mu_0 + \alpha_2 + \beta_1 = 1 + 1 + 0 = 2$ & $\mu_{22} = \mu_0 + \alpha_2 + \beta_2 = 1 + 1 + 0 = 2$ \\ \end{tabular} \end{center} \vspace{1mm} $\Rightarrow$ Haupteffekt von Faktor A, kein Haupteffekt von Faktor B \vspace{1mm} \noindent (2) Es sei $\mu_0 := 1, \alpha_2 := 0, \beta_2 := 1$. Dann gilt: \begin{center} \begin{tabular}{ll} $\mu_{11} = \mu_0 + \alpha_1 + \beta_1 = 1 + 0 + 0 = 1$ & $\mu_{12} = \mu_0 + \alpha_1 + \beta_2 = 1 + 0 + 1 = 2$ \\ $\mu_{21} = \mu_0 + \alpha_2 + \beta_1 = 1 + 0 + 0 = 1$ & $\mu_{22} = \mu_0 + \alpha_2 + \beta_2 = 1 + 0 + 1 = 2$ \\ \end{tabular} \end{center} \vspace{1mm} $\Rightarrow$ kein Haupteffekt von Faktor A, Haupteffekt von Faktor B \vspace{1mm} \noindent (3) Es sei $\mu_0 := 1, \alpha_2 := 1, \beta_2 := 1$. Dann gilt: \begin{center} \begin{tabular}{ll} $\mu_{11} = \mu_0 + \alpha_1 + \beta_1 = 1 + 0 + 0 = 1$ & $\mu_{12} = \mu_0 + \alpha_1 + \beta_2 = 1 + 0 + 1 = 2$ \\ $\mu_{21} = \mu_0 + \alpha_2 + \beta_1 = 1 + 1 + 0 = 2$ & $\mu_{22} = \mu_0 + \alpha_2 + \beta_2 = 1 + 1 + 1 = 3$ \\ \end{tabular} \end{center} \vspace{1mm} $\Rightarrow$ Haupteffekt von Faktor A, Haupteffekt von Faktor B # Modellformulierung \vspace{2mm} \textcolor{darkblue}{Parameterbeispiele} \vspace{2mm} ```{r, echo = F, eval = F} # Abbildungsparameter graphics.off() dev.new() par( mfcol = c(2,3), family = "sans", pty = "s", bty = "l", lwd = 1, las = 1, mgp = c(2,1,0), xaxs = "i", yaxs = "i", font.main = 1, cex = 1.2, cex.main = 1.2) # Parameterbeispiele mu = list(matrix(c(1,1,2,2) , ncol = 2), matrix(c(1,2,1,2) , ncol = 2), matrix(c(1,2,2,3) , ncol = 2)) labs = list(TeX("$\\mu_0 = 1,\\, \\alpha_2 = 1,\\, \\beta_2 = 0$"), TeX("$\\mu_0 = 1,\\, \\alpha_2 = 0,\\, \\beta_2 = 1$"), TeX("$\\mu_0 = 1,\\, \\alpha_2 = 1,\\, \\beta_2 = 1$")) for(i in 1:3){ # Barplot B = as.vector(mu[[i]]) names(B) = c("A1B1", "A1B2", "A2B1", "A2B2") barplot(B, ylim = c(0,3.5), main = labs[[i]], col = "gray90") # Lineplot matplot(1:2, mu[[i]], type = "b", pch = 21, ylim = c( 0, 5), xlim = c(0.5, 2.5), lty = 1, col = c("gray30", "gray70"), lwd = c(3,1), main = labs[[i]], xlab = "Faktor B", ylab = "", xaxt = "n") legend(0.01, 6.00, c("Faktor A, Level 1", "Faktor A, Level 2"), lty = 1, col = c("gray30", "gray90"), lwd = c(3,1), bty = "n", seg.len = 0.4, x.intersp = 0.3, y.intersp = 0.2, cex = 1) text(1, -0.4, "Level 1", xpd = T) text(2, -0.4, "Level 2", xpd = T) } # PDF-Speicherung dev.copy2pdf( file = "Abbildungen/zva_beispiel_add.pdf", width = 15, height = 10) ``` ```{r, echo = F, out.width = "100%"} knitr::include_graphics("Abbildungen/zva_beispiel_add.pdf") ``` \vfill # Modellformulierung \small \vspace{2mm} \setstretch{1.2} \begin{theorem}[\small Designmatrixform des Modells der additiven 2 x 2 ZVA mit Referenzgruppe] \justifying \normalfont Gegeben sei die strukturelle Form des Modells der additiven 2 x 2 ZVA mit Referenzgruppe. Dann hat dieses Modell die Designmatrixform \begin{equation} y = X\beta + \varepsilon \quad \mbox{mit} \quad \varepsilon \sim N(0_n,\sigma^2 I_n), \end{equation} wobei \begin{equation} y := \begin{pmatrix} y_{111} \\ \vdots \\ y_{11n_{11}} \\ y_{121} \\ \vdots \\ y_{12n_{12}} \\ y_{211} \\ \vdots \\ y_{21n_{21}} \\ y_{221} \\ \vdots \\ y_{22n_{22}} \\ \end{pmatrix}, \quad X := \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{n \times 3}, \quad \beta := \begin{pmatrix} \mu_0 \\ \alpha_{2} \\ \beta_{2} \\ \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{3} \quad \mbox{und} \quad \sigma^2 > 0. \end{equation} \end{theorem} \vspace{-2mm} Bemerkung \vspace{-2mm} * Das Theorem folgt direkt aus den Regel der Matrixmultiplikation. # Modellformulierung Designmatrix des Modells der additiven ZVA mit Referenzgruppe ($n = 16$, $p = 3$) ```{r, echo = F, eval = F} # Designmatrixerzeugung I = 2 # Anzahl Level Faktor A J = 2 # Anzahl Level Faktor B n_ij = 4 # Anzahl von Datenpunkten der (i,j)ten Gruppe n = I*J*n_ij # Anzahl Datenpunkte insgesamt p = 1 + (I-1)+(J-1)+(I*J-3) # Anzahl Parameter insgesamt D = matrix(c(1,0,0,0, # prototypische Designmatrix für balancierte Designs 1,0,1,0, 1,1,0,0, 1,1,1,1), nrow = p, byrow = TRUE) C = matrix(rep(1,n_ij), nrow = n_ij) # prototypischer Zellenvektor für balancierte Designs X = kronecker(D,C) # Kroneckerprodukt-Designmatrix-Erzeugung für balancierte Designs X = X[,-4] # eliminiere vierte Spalte Xp = X # Abbildungsparameter library(plot.matrix) graphics.off() dev.new() par( family = "sans", mar = c(1,1,1,1), pty = "s", bty = "l", lwd = 1, las = 1, mgp = c(2,1,0), xaxs = "i", yaxs = "i", font.main = 1, cex = 1, cex.main = 2) # Designmatrix plot(Xp, col = gray(seq(0, 1, length.out = 256)), border = "black", xlab = '', ylab = '', main = '', breaks = seq(-2, 1, length.out = 257), key = NULL, axis.col = NULL, axis.row = NULL, asp = 1) # Speichern dev.copy2pdf( file = "Abbildungen/zva_designmatrix_add.pdf", width = 10, height = 10) ``` \vspace{2mm} ```{r, echo = F, out.width = "60%", fig.align = "center"} knitr::include_graphics("Abbildungen/zva_designmatrix_add.pdf") ``` # Modellformulierung \vspace{2mm} \textcolor{darkblue}{Modell der ZVA mit Interaktion} \footnotesize \setstretch{1.1} In der ZVA mit Interaktion möchte man die Gruppenerwartungswerte $\mu_{ij}$ mit $i = 1,...,I$ für die Level von Faktor A und $j = 1,...,J$ für die Level von Faktor B als Summe eines gruppenunspezifischen Erwartungswertes, der Effekte der Level von Faktor A und Faktor B und der Interaktion der Level der Faktoren modellieren. Wir bezeichnen den gruppenunspezifischen Erwartungswertparameter mit $\mu_0$, den Effekt von Level $i$ von Faktor A mit $\alpha_i$, den Effekt von Level $j$ von Faktor B mit $\beta_j$, und die Interaktion von Level $i$ von Faktor A mit Level $j$ von Faktor B mit $\gamma_{ij}$. Dann ergibt sich zum Beispiel für $I := J := 2$: \begin{center} \begin{tabular}{l|l} $\mu_{11} := \mu_0 + \alpha_1 + \beta_1 + \gamma_{11}$ & $\mu_{12} := \mu_0 + \alpha_1 + \beta_2 + \gamma_{12}$ \\ \hline $\mu_{21} := \mu_0 + \alpha_2 + \beta_1 + \gamma_{21}$ & $\mu_{22} := \mu_0 + \alpha_2 + \beta_2 + \gamma_{22}$ \\ \end{tabular} \end{center} Wie in der die additiven ZVA ist diese Darstellung der Gruppenerwartungswerte $\mu_{ij}$ multipel überparameterisiert. Um eine eindeutige Darstellung der $\mu_{ij}$ zu gewährleisten, bietet sich auch hier die Restriktion an, den Effekt des ersten Levels jedes Faktors und jeder Interaktion als Null zu definieren: \begin{equation} \alpha_1 := \beta_1 := \gamma_{i1} := \gamma_{1j} := 0 \quad \mbox{für} \quad i = 1,...,I, \; j = 1,..,J \end{equation} Dies etabliert die Faktorlevelkombination A1B1 als Referenzgruppe. Es ergibt sich somit zum Beispiel für $I := J := 2$: \begin{center} \begin{tabular}{l|l} $\mu_{11} := \mu_0$ & $\mu_{12} := \mu_0 + \beta_2$ \\ \hline $\mu_{21} := \mu_0 + \alpha_2$ & $\mu_{22} := \mu_0 + \alpha_2 + \beta_2 + \gamma_{22}$ \\ \end{tabular} \end{center} Auch bei dieser Effektdarstellung des Modells der 2 x 2 ZVA mit Interaktion und Referenzgruppe ändert sich die Interpretation der Parameter $\mu_0,\alpha_2,\beta_2,\gamma_{22}$ im Vergleich zum überparameterisierten Fall ohne Referenzgruppe: $\mu_0$ entspricht dem Erwartungswert der Faktorlevelkombination A1B1, $\alpha_2$ der Differenz beim Übergang von Level 1 zu Level 2 von Faktor A, $\beta_2$ der Differenz beim Übergang von Level 1 zu Level 2 von Faktor B und $\gamma_{22}$ der Differenz beim Übergang von Level 1 zu Level 2 von Faktor B im Unterschiede zum Übergang von Level 1 zu Level 2 von Faktor A. # Modellformulierung \footnotesize \begin{definition}[Modell der ZVA mit Interaktion und Referenzgruppe] \justifying $y_{ijk}$ mit $i = 1,...,I$, $j = 1,...,J$, $k = 1,...,n_{ij}$ sei die Zufallsvariable, die den $k$ten Datenpunkt zum $i$ten Level von Faktor A und dem $j$ten Level von Faktor B in einem ZVA-Anwendungsszenario modelliert. Dann hat das \textit{Modell der ZVA mit Interaktion und Referenzgruppe} die strukturelle Form \begin{equation} y_{ijk} = \mu_{ij} + \varepsilon_{ijk} \quad \mbox{mit} \quad \varepsilon_{ijk} \sim N(0,\sigma^2) \quad \mbox{u.i.v. für} \quad i = 1,...,I, \; j = 1,...,J, \; k = 1,...,n_{ij} \end{equation} und die Datenverteilungsform \begin{equation} y_{ijk} \sim N(\mu_{ij}, \sigma^2) \quad \mbox{u.v. für} \quad i = 1,...,I, \; j = 1,...,J, \; k = 1,...,n_{ij} \end{equation} mit \begin{equation} \mu_{ij} := \mu_0 + \alpha_i + \beta_j + \gamma_{ij} \end{equation} sowie \begin{equation} \alpha_1 := \beta_1 := \gamma_{i1} := \gamma_{1j} :=0 \quad \mbox{für} \quad i = 1,...,I, \; j = 1,...,J \end{equation} und $\sigma^2 > 0$. \end{definition} Bemerkungen * Das Modell der ZVA mit Interaktion beinhaltet durch die Terme $\gamma_{ij}$ für $i = 1,...,I$, $j = 1,...,J$ Interaktionseffekte, die Abweichungen vom Modell der additiven ZVA mit ausschließlich Haupteffekten repräsentieren. # Modellformulierung \vspace{1mm} \setstretch{1} \textcolor{darkblue}{Parameterbeispiele} \vspace{1mm} \footnotesize \noindent (1) Es sei $\mu_0 := 1, \alpha_2 := 0, \beta_2 := 0, \gamma_{22} = 2$. Dann gilt: \begin{tiny} \begin{tabular}{ll} $\mu_{11} = \mu_0 + \alpha_1 + \beta_1 + \gamma_{11} = 1 + 0 + 0 + 0= 1$ & $\mu_{12} = \mu_0 + \alpha_1 + \beta_2 + \gamma_{12} = 1 + 0 + 0 + 0 = 1$ \\\\ $\mu_{21} = \mu_0 + \alpha_2 + \beta_1 + \gamma_{21} = 1 + 0 + 0 + 0 = 1$ & $\mu_{22} = \mu_0 + \alpha_2 + \beta_2 + \gamma_{22} = 1 + 0 + 0 + 2 = 3$ \\ \end{tabular} \end{tiny} \vspace{1mm} $\Rightarrow$ kein Haupteffekt von Faktor A, kein Haupteffekt von Faktor B, Interaktion von A und B \vspace{2mm} \noindent (2) Es sei $\mu_0 := 1, \alpha_2 := 1, \beta_2 := 1, \gamma_{22} = -2$. Dann gilt: \begin{tiny} \begin{tabular}{ll} $\mu_{11} = \mu_0 + \alpha_1 + \beta_1 + \gamma_{11} = 1 + 0 + 0 + 0= 1$ & $\mu_{12} = \mu_0 + \alpha_1 + \beta_2 + \gamma_{12} = 1 + 0 + 1 + 0 = 2$ \\\\ $\mu_{21} = \mu_0 + \alpha_2 + \beta_1 + \gamma_{21} = 1 + 0 + 1 + 0 = 2$ & $\mu_{22} = \mu_0 + \alpha_2 + \beta_2 + \gamma_{22} = 1 + 1 + 1 - 2 = 1$ \\ \end{tabular} \end{tiny} \vspace{1mm} $\Rightarrow$ Haupteffekt von Faktor A, Haupteffekt von Faktor B, negative Interaktion von A und B \vspace{2mm} \noindent (3) Es sei $\mu_0 := 1, \alpha_2 := 1, \beta_2 := 0, \gamma_{22} = 1$. Dann gilt: \begin{tiny} \begin{tabular}{ll} $\mu_{11} = \mu_0 + \alpha_1 + \beta_1 + \gamma_{11} = 1 + 0 + 0 + 0 = 1$ & $\mu_{12} = \mu_0 + \alpha_1 + \beta_2 + \gamma_{12} = 1 + 0 + 0 + 0 = 1$ \\\\ $\mu_{21} = \mu_0 + \alpha_2 + \beta_1 + \gamma_{21} = 1 + 1 + 0 + 0 = 2$ & $\mu_{22} = \mu_0 + \alpha_2 + \beta_2 + \gamma_{22} = 1 + 1 + 0 + 1 = 3$ \\ \end{tabular} \end{tiny} \vspace{1mm} $\Rightarrow$ Haupteffekt von Faktor A, kein Haupteffekt von Faktor B, Interaktion von A und B \vspace{2mm} \noindent (4) Es sei $\mu_0 := 1, \alpha_2 := 0, \beta_2 := 1, \gamma_{22} = 1$. Dann gilt: \begin{tiny} \begin{tabular}{ll} $\mu_{11} = \mu_0 + \alpha_1 + \beta_1 + \gamma_{11} = 1 + 0 + 0 + 0 = 1$ & $\mu_{12} = \mu_0 + \alpha_1 + \beta_2 + \gamma_{12} = 1 + 0 + 1 + 0 = 2$ \\\\ $\mu_{21} = \mu_0 + \alpha_2 + \beta_1 + \gamma_{21} = 1 + 0 + 0 + 0 = 1$ & $\mu_{22} = \mu_0 + \alpha_2 + \beta_2 + \gamma_{22} = 1 + 0 + 1 + 1 = 3$ \\ \end{tabular} \end{tiny} \vspace{1mm} $\Rightarrow$ kein Haupteffekt von Faktor A, Haupteffekt von Faktor B, Interaktion von A und B # Modellformulierung \vspace{2mm} \textcolor{darkblue}{Parameterbeispiele} \vspace{2mm} ```{r, echo = F, eval = F} # Abbildungsparameter graphics.off() dev.new() par( mfcol = c(2,4), family = "sans", pty = "s", bty = "l", lwd = 1, las = 1, mgp = c(2,1,0), xaxs = "i", yaxs = "i", font.main = 1, cex = 1.1, cex.main = 1) mu = list(matrix(c(1,1,1,3), ncol = 2), matrix(c(1,2,2,1), ncol = 2), matrix(c(1,1,2,3), ncol = 2), matrix(c(1,2,1,3), ncol = 2)) labs = list(TeX("$\\mu_0 = 1, \\, \\alpha_2 = 0, \\, \\beta_2 = 0,\\, \\gamma_{22} = 2$"), TeX("$\\mu_0 = 1, \\, \\alpha_2 = 1, \\, \\beta_2 = 1,\\, \\gamma_{22} = -2$"), TeX("$\\mu_0 = 1, \\, \\alpha_2 = 1, \\, \\beta_2 = 0,\\, \\gamma_{22} = 1$"), TeX("$\\mu_0 = 1, \\, \\alpha_2 = 0, \\, \\beta_2 = 1,\\, \\gamma_{22} = 1$")) # Parameterbeispiele for(i in 1:4){ # Barplot B = as.vector(mu[[i]]) names(B) = c("A1B1", "A1B2", "A2B1", "A2B2") barplot(B, ylim = c(0,4), main = labs[[i]], col = "gray90") # Lineplot matplot(1:2, mu[[i]], type = "b", pch = 21, ylim = c( 0,4.5), xlim = c(.5,2.5), lty = 1, col = c("gray30", "gray70"), lwd = c(3,1), main = labs[[i]], xlab = "Faktor B", ylab = "", xaxt = "n") legend(0.01, 6.00, c("Faktor A, Level 1", "Faktor A, Level 2"), lty = 1, col = c("gray30", "gray90"), lwd = c(3,1), bty = "n", seg.len = 0.4, x.intersp = 0.3, y.intersp = 0.2, cex = 1) text(1, -0.5, "Level 1", xpd = T) text(2, -0.5, "Level 2", xpd = T) } # PDF-Speicherung dev.copy2pdf( file = "Abbildungen/zva_beispiel_int.pdf", width = 15, height = 10) ``` ```{r, echo = F, out.width = "100%"} knitr::include_graphics("Abbildungen/zva_beispiel_int.pdf") ``` \vfill # Modellformulierung \small \vspace{2mm} \setstretch{1.2} \begin{theorem}[\small Designmatrixform des Modells der 2 x 2 ZVA mit Interaktion und Referenzgruppe] \justifying \normalfont Gegeben sei die strukturelle Form eines 2 x 2 ZVA-Modells mit Interaktion und Referenzgruppe und es sei $n := \sum_{i=1}^2 \sum_{j=1}^2 n_{ij}$ die Gesamtanzahl an Datenvariablen. Dann hat dieses Modell die Designmatrixform \begin{equation} y = X\beta + \varepsilon \quad \mbox{mit} \quad \varepsilon \sim N(0_n,\sigma^2 I_n), \end{equation} wobei \begin{equation} y := \begin{pmatrix} y_{111} \\ \vdots \\ y_{11n_{11}} \\ y_{121} \\ \vdots \\ y_{12n_{12}} \\ y_{211} \\ \vdots \\ y_{21n_{21}} \\ y_{221} \\ \vdots \\ y_{22n_{22}} \\ \end{pmatrix}, \quad X := \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{n \times 4}, \quad \beta := \begin{pmatrix} \mu_0 \\ \alpha_{2} \\ \beta_{2} \\ \gamma_{22} \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{4} \quad \mbox{und} \quad \sigma^2 > 0. \end{equation} \end{theorem} # Modellformulierung Designmatrix des Modells der ZVA mit Interaktion ($n = 16$, $p = 4$) ```{r, echo = F, eval = F} # Designmatrixerzeugung I = 2 # Anzahl Level Faktor A J = 2 # Anzahl Level Faktor B n_ij = 4 # Anzahl von Datenpunkten der (i,j)ten Gruppe n = I*J*n_ij # Anzahl Datenpunkte insgesamt p = 1 + (I-1)+(J-1)+(I*J-3) # Anzahl Parameter insgesamt D = matrix(c(1,0,0,0, # prototypische Designmatrix für balancierte Designs 1,0,1,0, 1,1,0,0, 1,1,1,1), nrow = p, byrow = TRUE) C = matrix(rep(1,n_ij), nrow = n_ij) # prototypischer Zellenvektor für balancierte Designs X = kronecker(D,C) # Kroneckerprodukt-Designmatrix-Erzeugung für balancierte Designs Xp = X # Abbildungsparameter library(plot.matrix) graphics.off() dev.new() par( family = "sans", mar = c(1,1,1,1), pty = "s", bty = "l", lwd = 1, las = 1, mgp = c(2,1,0), xaxs = "i", yaxs = "i", font.main = 1, cex = 1, cex.main = 2) # Designmatrix plot(Xp, col = gray(seq(0, 1, length.out = 256)), border = "black", xlab = '', ylab = '', main = '', breaks = seq(-2, 1, length.out = 257), key = NULL, axis.col = NULL, axis.row = NULL, asp = 1) # Speichern dev.copy2pdf( file = "Abbildungen/zva_designmatrix_int.pdf", width = 10, height = 10) ``` \vspace{2mm} ```{r, echo = F, out.width = "60%", fig.align = "center"} knitr::include_graphics("Abbildungen/zva_designmatrix_int.pdf") ``` # Modellformulierung \textcolor{darkblue}{Beispiel} \footnotesize Es seien \begin{equation} I := 2, J := 2 \quad \mbox{und} \quad n_{ij} := 4 \quad \mbox{für} \quad i = 1,2, \; j = 1,2, \quad \mbox{also} \quad n = 16. \end{equation} Dann gilt \begin{equation} y = X\beta + \varepsilon \quad \mbox{mit} \quad \varepsilon \sim N(0_{16},\sigma^2 I_{16}) \end{equation} mit \footnotesize \begin{equation} y := \begin{pmatrix} y_{111} \\ y_{112} \\ y_{113} \\ y_{114} \\ y_{121} \\ y_{122} \\ y_{123} \\ y_{124} \\ y_{211} \\ y_{212} \\ y_{213} \\ y_{214} \\ y_{221} \\ y_{222} \\ y_{223} \\ y_{224} \end{pmatrix}, \quad X := \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{16 \times 4}, \quad \beta := \begin{pmatrix} \mu_0 \\ \alpha_2 \\ \beta_2 \\ \gamma_{22} \\ \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{4} \quad \mbox{und} \quad \sigma^2 > 0. \end{equation} # Modellformulierung \vspace{2mm} \textcolor{darkblue}{Beispiel} \vspace{2mm} \tiny \setstretch{0.85} ```{r, echo = T} # Modellformulierung library(MASS) # multivariate Normalverteilung I = 2 # Anzahl Level Faktor A J = 2 # Anzahl Level Faktor B n_ij = 4 # Anzahl von Datenpunkten der i,jten Gruppe n = I*J*n_ij # Anzahl Datenpunkte insgesamt p = 1 + (I-1)+(J-1)+(I*J-3) # Anzahl Parameter insgesamt D = matrix(c(1,0,0,0, # prototypische Designmatrix für balancierte Designs 1,0,1,0, 1,1,0,0, 1,1,1,1), nrow = p, byrow = TRUE) C = matrix(rep(1,n_ij), nrow = n_ij) # prototypischer Zellenvektor für balancierte Designs X = kronecker(D,C) # Kroneckerprodukt-Designmatrix-Erzeugung für balancierte Designs I_n = diag(n) # n x n Einheitsmatrix beta = matrix(c(1,1,1,1), nrow = p) # \beta = (\mu_0,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4) sigsqr = 10 # \sigma^2 # Datenrealisierung y = mvrnorm(1, X %*% beta, sigsqr*I_n) # eine Realisierung des n-dimensionalen ZVs y print(X) ``` # \large \setstretch{2.5} \vfill Anwendungsszenario Modellformulierung **Modellschätzung** Modellevaluation Anwendung/Praxis Selbstkontrollfragen \vfill # Modellschätzung \footnotesize \begin{theorem}[\small Betaparameterschätzung im additiven 2 x 2 ZVA-Modell mit Referenzgruppe] \justifying \normalfont Gegeben sei die Designmatrixform eines balancierten additiven 2 x 2 ZVA-Modells mit Referenzgruppe. Dann ergibt sich für den Betaparameterschätzer \begin{equation} \hat{\beta} := \begin{pmatrix} \hat{\mu}_0 \\ \hat{\alpha}_2 \\ \hat{\beta}_2 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{3}{4}\bar{y}_{11} + \frac{1}{4}(\bar{y}_{12} + \bar{y}_{21}) - \frac{1}{4}\bar{y}_{22} \\ \frac{1}{2}(\bar{y}_{21} + \bar{y}_{22}) - \frac{1}{2}(\bar{y}_{11} + \bar{y}_{12}) \\ \frac{1}{2}(\bar{y}_{12} + \bar{y}_{22}) - \frac{1}{2}(\bar{y}_{11} + \bar{y}_{21}) \\ \end{pmatrix}, \end{equation} wobei \begin{equation} \bar{y}_{ij} := \frac{1}{n_{ij}}\sum_{k = 1}^{n_{ij}} y_{ijk} \quad \mbox{für} \quad 1 \le i,j \le 2 \end{equation} das Stichprobenmittel der $i,j$ten Gruppe des 2 x 2 ZVA-Designs bezeichnet. \end{theorem} \small \underline{Beweis} Wir bestimmen zunächst $X^\mathrm{T}y, \; X^\mathrm{T}X$ und $(X^\mathrm{T}X)^{-1}$ bei konstantem $n_{ij}$ für $1 \le i,j \le 2$. # Modellschätzung \small \underline{Beweis (fortgeführt)} \footnotesize \begin{align} \renewcommand{\arraystretch}{1.2} \begin{split} X^\mathrm{T}y & = \setcounter{MaxMatrixCols}{20} \begin{pmatrix} 1 & \cdots & 1 & 1 & \cdots & 1 & 1 & \cdots & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 & \cdots & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 0 & \cdots & 0 & 1 & \cdots & 1 & 0 & \cdots & 0 & 1 & \cdots & 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix*}[c] y_{111} \\ \vdots \\ y_{11n_{11}} \\ y_{121} \\ \vdots \\ y_{12n_{12}} \\ y_{211} \\ \vdots \\ y_{21n_{21}} \\ y_{221} \\ \vdots \\ y_{22n_{22}} \\ \end{pmatrix*} \\ & = \begin{pmatrix*}[l] \sum_{i=1}^2 \sum_{j=1}^2 \sum_{k = 1}^{n_{ij}} y_{ijk} \\ \sum_{j=1}^2 \sum_{k = 1}^{n_{2j}} y_{2jk} \\ \sum_{i=1}^2 \sum_{k = 1}^{n_{i2}} y_{i2k} \\ \end{pmatrix*} \end{split} \end{align} # Modellschätzung \small \underline{Beweis (fortgeführt)} \footnotesize \begin{align} \renewcommand{\arraystretch}{1} \begin{split} X^\mathrm{T}X & = \setcounter{MaxMatrixCols}{20} \begin{pmatrix} 1 & \cdots & 1 & 1 & \cdots & 1 & 1 & \cdots & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 & \cdots & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 0 & \cdots & 0 & 1 & \cdots & 1 & 0 & \cdots & 0 & 1 & \cdots & 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{pmatrix} \\ &= n_{ij} \begin{pmatrix*}[r] 4 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \\ \end{pmatrix*} \end{split} \end{align} # Modellschätzung \small \underline{Beweis (fortgeführt)} \footnotesize Ohne Beweis halten wir weiterhin fest, dass \begin{align} (X^\mathrm{T} X)^{-1} = n_{ij} \begin{pmatrix*}[r] 4 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \\ \end{pmatrix*}^{-1} = \frac{1}{n_{ij}} \begin{pmatrix*}[r] \frac{3}{4} & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & 1 & 0 \\ -\frac{1}{2} & 0 & 1 \\ \end{pmatrix*}. \end{align} Es ergibt sich also \begin{equation} \hat{\beta} = \begin{pmatrix} \hat{\mu}_0 \\ \hat{\alpha}_2 \\ \hat{\beta}_2 \\ \end{pmatrix} = \frac{1}{n_{ij}} \begin{pmatrix*}[r] \frac{3}{4} & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & 1 & 0 \\ -\frac{1}{2} & 0 & 1 \\ \end{pmatrix*} \begin{pmatrix*}[l] \sum_{i=1}^2 \sum_{j=1}^2 \sum_{k = 1}^{n_{ij}} y_{ijk} \\ \sum_{j=1}^2 \sum_{k = 1}^{n_{2j}} y_{2jk} \\ \sum_{i=1}^2 \sum_{k = 1}^{n_{i2}} y_{i2k} \\ \end{pmatrix*}. \end{equation} # Modellschätzung \small \underline{Beweis (fortgeführt)} \footnotesize Damit ergibt sich dann \begin{align} \begin{split} \hat{\mu}_0 & = \frac{1}{n_{ij}} \left( \frac{3}{4}\sum_{i=1}^2 \sum_{j=1}^2 \sum_{k = 1}^{n_{ij}} y_{ijk} - \frac{1}{2}\sum_{j=1}^2 \sum_{k = 1}^{n_{2j}} y_{2jk} - \frac{1}{2}\sum_{i=1}^2 \sum_{k = 1}^{n_{i2}} y_{i2k} \right) \\ & = \frac{1}{n_{ij}} \left( \frac{3}{4}\sum_{k = 1}^{n_{11}} y_{11k} + \frac{3}{4}\sum_{k = 1}^{n_{12}} y_{12k} + \frac{3}{4}\sum_{k = 1}^{n_{21}} y_{21k} + \frac{3}{4}\sum_{k = 1}^{n_{22}} y_{22k} \right) \\ & + \frac{1}{n_{ij}} \left( - \frac{1}{2}\sum_{k = 1}^{n_{21}} y_{21k} - \frac{1}{2}\sum_{k = 1}^{n_{22}} y_{22k} - \frac{1}{2}\sum_{k = 1}^{n_{12}} y_{12k} - \frac{1}{2}\sum_{k = 1}^{n_{22}} y_{22k} \right) \\ & = \frac{1}{n_{ij}} \left( \frac{3}{4}\sum_{k = 1}^{n_{11}} y_{11k} + \frac{1}{4}\sum_{k = 1}^{n_{12}} y_{12k} + \frac{1}{4}\sum_{k = 1}^{n_{21}} y_{21k} - \frac{1}{4}\sum_{k = 1}^{n_{22}} y_{22k} \right) \\ & = \frac{3}{4}\bar{y}_{11} + \frac{1}{4}(\bar{y}_{12} + \bar{y}_{21}) - \frac{1}{4}\bar{y}_{22} \end{split} \end{align} # Modellschätzung \small \underline{Beweis (fortgeführt)} \footnotesize sowie \begin{align} \begin{split} \hat{\alpha}_2 & = \frac{1}{n_{ij}} \left( - \frac{1}{2} \sum_{i=1}^2 \sum_{j=1}^2 \sum_{k = 1}^{n_{ij}} y_{ijk} + \sum_{j=1}^2 \sum_{k = 1}^{n_{2j}} y_{2jk} \right) \\ & = \frac{1}{n_{ij}} \left( - \frac{1}{2}\sum_{k = 1}^{n_{11}} y_{11k} - \frac{1}{2}\sum_{k = 1}^{n_{12}} y_{12k} - \frac{1}{2}\sum_{k = 1}^{n_{21}} y_{21k} - \frac{1}{2}\sum_{k = 1}^{n_{22}} y_{22k} + \sum_{k = 1}^{n_{21}} y_{21k} + \sum_{k = 1}^{n_{22}} y_{22k} \right) \\ & = \frac{1}{n_{ij}} \left( - \frac{1}{2}\sum_{k = 1}^{n_{11}} y_{11k} - \frac{1}{2}\sum_{k = 1}^{n_{12}} y_{12k} + \frac{1}{2}\sum_{k = 1}^{n_{21}} y_{21k} + \frac{1}{2}\sum_{k = 1}^{n_{22}} y_{22k} \right) \\ & = \frac{1}{2}(\bar{y}_{21} + \bar{y}_{22}) - \frac{1}{2}(\bar{y}_{11} + \bar{y}_{12}) \end{split} \end{align} und analog für $\hat{\beta}_2$. $\hfill\Box$ # Modellschätzung \vspace{2mm} \textcolor{darkblue}{Beispiel} \vspace{2mm} \tiny \setstretch{1.1} ```{r, echo = T} # Datenreformatierung fname = "Daten/Zweifaktorielle_Varianzanalyse_Daten.csv" D = read.table(fname, sep = ",", header = TRUE) # Datensatz A1B1 = D$dBDI[D$Setting == "F2F" & D$Variant == "MND"] # face-to-face, mindfulness A1B2 = D$dBDI[D$Setting == "F2F" & D$Variant == "EXC"] # face-to-face, exercise A2B1 = D$dBDI[D$Setting == "ONL" & D$Variant == "MND"] # online, mindfulness A2B2 = D$dBDI[D$Setting == "ONL" & D$Variant == "EXC"] # online, exercise # Datenmatrix für Gruppenmittelwerte n_ij = length(A1B1) # Anzahl der Datenpunkte pro Gruppe Y = matrix(c(A1B1,A1B2,A2B1,A2B2), nrow = n_ij) # n_ij x 4 Datenmatrix y_bar = colMeans(Y) # 1 x 4 Zellenmittelwerte # Modellschätzung I = 2 # Anzahl Level Faktor A (Therapiesetting) J = 2 # Anzahl Level Faktor B (Therapievariante) n = I*J*n_ij # Anzahl Datenpunkte insgesamt p = 1 + (I-1)+(J-1)+(I*J-3) # Anzahl Parameter insgesamt D = matrix(c(1,0,0, # prototypische Designmatrix für balancierte Designs 1,0,1, 1,1,0, 1,1,1), nrow = p, byrow = TRUE) C = matrix(rep(1,n_ij),nrow = n_ij) # prototypischer Zellenvektor für balancierte Designs X = kronecker(D,C) # Kroneckerprodukt-Designmatrix y = matrix(c(A1B1,A1B2,A2B1,A2B2), nrow = n) # Datenvektor beta_hat = solve(t(X) %*% X) %*% t(X) %*% y # Betaparameterschätzer eps_hat = y - X %*% beta_hat # Residuenvektor sigsqr_hat = (t(eps_hat) %*% eps_hat)/(n-p) # Varianzparameterschätzer ``` # Modellschätzung Betaparameterschätzer und Stichprobenmittelwerte \vspace{2mm} \small \setstretch{1.5} ```{r, echo = F} # Ausgabe cat( "hat{beta} : ", beta_hat, "\nhat{sigsqr} : ", sigsqr_hat, "\nbar{y}_11, bar{y}_12, bar{y}_21, bar{y}_22 : ", y_bar, "\n3/4bar{y}_11 + 1/4(bar{y}_12 + bar{y}_21) - 1/4bar{y}_22 : ", (3/4)*y_bar[1]+(1/4)*(y_bar[2]+y_bar[3])-(1/4)*y_bar[4], "\n1/2(bar{y}_21 + bar{y}_22) - 1/2(bar{y}_11 + bar{y}_12) : ", (1/2)*(y_bar[3]+y_bar[4])-(1/2)*(y_bar[1] + y_bar[2]), "\n1/2(bar{y}_12 + bar{y}_22) - 1/2(bar{y}_11 + bar{y}_21) : ", (1/2)*(y_bar[2]+y_bar[4])-(1/2)*(y_bar[1] + y_bar[3])) ``` \vfill # Modellschätzung \footnotesize \begin{theorem}[\small Betaparameterschätzung im 2 x 2 ZVA-Modell mit Interaktion und Referenzgruppe] \justifying \normalfont Gegeben sei die Designmatrixform eines balancierten 2 x 2 ZVA-Modells mit Interaktion und Referenzgruppe. Dann ergibt sich für den Betaparameterschätzer \begin{equation} \hat{\beta} := \begin{pmatrix} \hat{\mu}_0 \\ \hat{\alpha}_2 \\ \hat{\beta}_2 \\ \hat{\gamma}_{22} \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \bar{y}_{11} \\ \bar{y}_{21} - \bar{y}_{11} \\ \bar{y}_{12} - \bar{y}_{11} \\ \bar{y}_{11} + \bar{y}_{22} - \bar{y}_{12} - \bar{y}_{21} \\ \end{pmatrix}, \end{equation} wobei \begin{equation} \bar{y}_{ij} := \frac{1}{n_{ij}}\sum_{k = 1}^{n_{ij}} y_{ijk} \quad \mbox{für} \quad 1 \le i,j \le 2 \end{equation} das Stichprobenmittel der $i,j$ten Gruppe des 2 x 2 ZVA-Designs bezeichnet. \end{theorem} \small \underline{Beweis} Wir bestimmen zunächst $X^\mathrm{T}y, \; X^\mathrm{T}X$ und $(X^\mathrm{T}X)^{-1}$ bei konstantem $n_{ij}$ für $1 \le i,j \le 2$. # Modellschätzung \small \underline{Beweis (fortgeführt)} \footnotesize \begin{align} \renewcommand{\arraystretch}{1.2} \begin{split} X^\mathrm{T}y & = \setcounter{MaxMatrixCols}{20} \begin{pmatrix} 1 & \cdots & 1 & 1 & \cdots & 1 & 1 & \cdots & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 & \cdots & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 0 & \cdots & 0 & 1 & \cdots & 1 & 0 & \cdots & 0 & 1 & \cdots & 1 \\ 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 & \cdots & 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix*}[c] y_{111} \\ \vdots \\ y_{11n_{11}} \\ y_{121} \\ \vdots \\ y_{12n_{12}} \\ y_{211} \\ \vdots \\ y_{21n_{21}} \\ y_{221} \\ \vdots \\ y_{22n_{22}} \\ \end{pmatrix*} \\ & = \begin{pmatrix*}[l] \sum_{i=1}^2 \sum_{j=1}^2 \sum_{k = 1}^{n_{ij}} y_{ijk} \\ \sum_{j=1}^2 \sum_{k = 1}^{n_{2j}} y_{2jk} \\ \sum_{i=1}^2 \sum_{k = 1}^{n_{i2}} y_{i2k} \\ \sum_{k = 1}^{n_{22}} y_{22k} \\ \end{pmatrix*} \end{split} \end{align} # Modellschätzung \small \underline{Beweis (fortgeführt)} \footnotesize \begin{align} \renewcommand{\arraystretch}{1} \begin{split} X^\mathrm{T}X & = \setcounter{MaxMatrixCols}{20} \begin{pmatrix} 1 & \cdots & 1 & 1 & \cdots & 1 & 1 & \cdots & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 & \cdots & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 0 & \cdots & 0 & 1 & \cdots & 1 & 0 & \cdots & 0 & 1 & \cdots & 1 \\ 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 & \cdots & 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ \end{pmatrix} \\ & = n_{ij} \begin{pmatrix*}[r] 4 & 2 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix*} \end{split} \end{align} # Modellschätzung \small \underline{Beweis (fortgeführt)} \footnotesize Ohne Beweis halten wir weiterhin fest, dass \begin{align} (X^\mathrm{T} X)^{-1} = n_{ij} \begin{pmatrix*}[r] 4 & 2 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix*}^{-1} = \frac{1}{n_{ij}} \begin{pmatrix*}[r] 1 & -1 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & 1 & -2 \\ -1 & 1 & 2 & -2 \\ 1 & -2 & -2 & 4 \end{pmatrix*}. \end{align} Es ergibt sich also \begin{equation} \hat{\beta} = \begin{pmatrix} \hat{\mu}_0 \\ \hat{\alpha}_2 \\ \hat{\beta}_2 \\ \hat{\gamma}_{22} \\ \end{pmatrix} = \frac{1}{n_{ij}} \begin{pmatrix*}[r] 1 & -1 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & 1 & -2 \\ -1 & 1 & 2 & -2 \\ 1 & -2 & -2 & 4 \\ \end{pmatrix*} \begin{pmatrix*}[l] \sum_{i=1}^2 \sum_{j=1}^2 \sum_{k = 1}^{n_{ij}} y_{ijk} \\ \sum_{j=1}^2 \sum_{k = 1}^{n_{2j}} y_{2jk} \\ \sum_{i=1}^2 \sum_{k = 1}^{n_{i2}} y_{i2k} \\ \sum_{k = 1}^{n_{22}} y_{22k} \\ \end{pmatrix*}. \end{equation} # Modellschätzung \small \underline{Beweis (fortgeführt)} \footnotesize Damit ergibt sich dann \begin{align} \begin{split} \hat{\mu}_0 & = \frac{1}{n_{ij}} \left( \sum_{i=1}^2 \sum_{j=1}^2 \sum_{k = 1}^{n_{ij}} y_{ijk} - \sum_{j=1}^2 \sum_{k = 1}^{n_{2j}} y_{2jk} - \sum_{i=1}^2 \sum_{k = 1}^{n_{i2}} y_{i2k} + \sum_{k = 1}^{n_{22}} y_{22k} \right) \\ & = \frac{1}{n_{ij}} \left( \sum_{k = 1}^{n_{11}} y_{11k} + \sum_{k = 1}^{n_{12}} y_{12k} + \sum_{k = 1}^{n_{21}} y_{21k} + \sum_{k = 1}^{n_{22}} y_{22k} \right) \\ & + \frac{1}{n_{ij}} \left( - \sum_{k = 1}^{n_{21}} y_{21k} - \sum_{k = 1}^{n_{22}} y_{22k} - \sum_{k = 1}^{n_{12}} y_{12k} - \sum_{k = 1}^{n_{22}} y_{22k} + \sum_{k = 1}^{n_{22}} y_{22k} \right) \\ & = \frac{1}{n_{11}} \sum_{k = 1}^{n_{11}} y_{11k} \\ & = \bar{y}_{11} \end{split} \end{align} # Modellschätzung \small \underline{Beweis (fortgeführt)} \footnotesize sowie \begin{align} \begin{split} \hat{\alpha}_2 & = \frac{1}{n_{ij}} \left( - \sum_{i=1}^2 \sum_{j=1}^2 \sum_{k = 1}^{n_{ij}} y_{ijk} + 2\sum_{j=1}^2 \sum_{k = 1}^{n_{2j}} y_{2jk} + 1\sum_{i=1}^2 \sum_{k = 1}^{n_{i2}} y_{i2k} - 2 \sum_{k = 1}^{n_{22}} y_{22k} \right) \\ & = \frac{1}{n_{ij}} \left( - \sum_{k = 1}^{n_{11}} y_{11k} - \sum_{k = 1}^{n_{12}} y_{12k} - \sum_{k = 1}^{n_{21}} y_{21k} - \sum_{k = 1}^{n_{22}} y_{22k} \right) \\ & + \frac{1}{n_{ij}} \left( 2\sum_{k = 1}^{n_{21}} y_{21k} +2\sum_{k = 1}^{n_{22}} y_{22k} + \sum_{k = 1}^{n_{12}} y_{12k} + \sum_{k = 1}^{n_{22}} y_{22k} - 2\sum_{k = 1}^{n_{22}} y_{22k} \right) \\ & = \frac{1}{n_{ij}}\left(\sum_{k = 1}^{n_{21}} y_{21k} - \sum_{k = 1}^{n_{11}} y_{11k}\right) \\ & = \bar{y}_{21} - \bar{y}_{11} \end{split} \end{align} und analog für $\hat{\beta}_2$. # Modellschätzung \small \underline{Beweis (fortgeführt)} \footnotesize Schließlich ergibt sich \begin{align} \begin{split} \hat{\gamma}_{22} & = \frac{1}{n_{ij}} \left( \sum_{i=1}^2 \sum_{j=1}^2 \sum_{k = 1}^{n_{ij}} y_{ijk} - 2\sum_{j=1}^2 \sum_{k = 1}^{n_{2j}} y_{2jk} - 2\sum_{i=1}^2 \sum_{k = 1}^{n_{i2}} y_{i2k} + 4 \sum_{k = 1}^{n_{22}} y_{22k} \right) \\ & = \frac{1}{n_{ij}} \left( \sum_{k = 1}^{n_{11}} y_{11k} + \sum_{k = 1}^{n_{12}} y_{12k} + \sum_{k = 1}^{n_{21}} y_{21k} + \sum_{k = 1}^{n_{22}} y_{22k} \right) \\ & + \frac{1}{n_{ij}} \left( - 2\sum_{k = 1}^{n_{21}} y_{21k} - 2\sum_{k = 1}^{n_{22}} y_{22k} - 2\sum_{k = 1}^{n_{12}} y_{12k} - 2\sum_{k = 1}^{n_{22}} y_{22k} + 4\sum_{k = 1}^{n_{22}} y_{22k} \right) \\ & = \frac{1}{n_{ij}} \left( \sum_{k = 1}^{n_{11}} y_{11k} + \sum_{k = 1}^{n_{22}} y_{22k} - \sum_{k = 1}^{n_{12}} y_{12k} - \sum_{k = 1}^{n_{21}} y_{21k} \right) \\ & = \bar{y}_{11} + \bar{y}_{22} - \bar{y}_{12} - \bar{y}_{21}. \end{split} \end{align} $\hfill\Box$ # Modellschätzung \vspace{2mm} \textcolor{darkblue}{Beispiel} \vspace{2mm} \tiny \setstretch{1.1} ```{r, echo = T} # Datenreformatierung fname = "Daten/Zweifaktorielle_Varianzanalyse_Daten.csv" D = read.table(fname, sep = ",", header = TRUE) # Datensatz A1B1 = D$dBDI[D$Setting == "F2F" & D$Variant == "MND"] # face-to-face, mindfulness A1B2 = D$dBDI[D$Setting == "F2F" & D$Variant == "EXC"] # face-to-face, exercise A2B1 = D$dBDI[D$Setting == "ONL" & D$Variant == "MND"] # online, mindfulness A2B2 = D$dBDI[D$Setting == "ONL" & D$Variant == "EXC"] # online, exercise # Datenmatrix für Gruppenmittelwerte n_ij = length(A1B1) # Anzahl der Datenpunkte pro Gruppe Y = matrix(c(A1B1,A1B2,A2B1,A2B2), nrow = n_ij) # n_ij x 4 Datenmatrix y_bar = colMeans(Y) # 1 x 4 Zellenmittelwerte # Modellschätzung I = 2 # Anzahl Level Faktor A (Therapiesetting) J = 2 # Anzahl Level Faktor B (Therapievariante) n = I*J*n_ij # Anzahl Datenpunkte insgesamt p = 1 + (I-1)+(J-1)+(I*J-3) # Anzahl Parameter insgesamt D = matrix(c(1,0,0,0, # prototypische Designmatrix für balancierte Designs 1,0,1,0, 1,1,0,0, 1,1,1,1), nrow = p, byrow = TRUE) C = matrix(rep(1,n_ij), nrow = n_ij) # prototypischer Zellenvektor für balancierte Designs X = kronecker(D,C) # Kroneckerprodukt-Designmatrix y = matrix(c(A1B1,A1B2,A2B1,A2B2), nrow = n) # Datenvektor beta_hat = solve(t(X) %*% X) %*% t(X) %*% y # Betaparameterschätzer eps_hat = y - X %*% beta_hat # Residuenvektor sigsqr_hat = (t(eps_hat) %*% eps_hat)/(n-p) # Varianzparameterschätzer ``` # Modellschätzung Betaparameterschätzer und Stichprobenmittelwerte \vspace{2mm} \small \setstretch{1.5} ```{r, echo = F} # Ausgabe cat( "hat{beta} : ", beta_hat, "\nhat{sigsqr} : ", sigsqr_hat, "\nbar{y}_11, bar{y}_12, bar{y}_21, bar{y}_22 : ", y_bar, "\nbar{y}_11 : ", y_bar[1], "\nbar{y}_21 - bar{y}_11 : ", y_bar[3]-y_bar[1], "\nbar{y}_12 - bar{y}_11 : ", y_bar[2]-y_bar[1], "\nbar{y}_11 + bar{y}_22 - bar{y}_12 + bar{y}_21 : ", y_bar[1]+y_bar[4]-y_bar[3]-y_bar[2]) ``` \vfill # \large \setstretch{2.5} \vfill Anwendungsszenario Modellformulierung Modellschätzung **Modellevaluation** Anwendung/Praxis Selbstkontrollfragen \vfill # Modellevaluation \textcolor{darkblue}{Überblick} \small Wie bei der EVA kann auch bei der ZVA eine Modellevaluationstheorie mithilfe einer Quadratsummenzerlegung entwickelt werden (siehe Einheit (11) in *Allgemeines Lineares Modell*). Mit zunehmender Designkomplexität wird eine solche Theorie allerdings zunehmend unübersichtlich. Prinzipiell können alle Quadratsummenzerlegung-basierten F-Statistiken auf Likelihood-basierte Modellvergleiche zurückgeführt werden. Allerdings fehlt dazu in diesem Kurs bisher eine allgemeine Kontrasttheorie. Wir beschränken und im Folgenden deshalb auf die (1) Evaluation der Haupteffekte im additiven Modell der 2 x 2 ZVA mit Referenzgruppe und die (2) Evaluation der Interaktion im Modell der 2 x 2 ZVA mit Interaktion und Referenzgruppe. \vfill # Modellevaluation \setstretch{2} \textcolor{darkblue}{Evaluation der Haupteffekte im additiven Modell der 2 x 2 ZVA mit Referenzgruppe} (1) Statistische Modelle und Teststatistiken (2) Testhypothesen und Tests (3) Testumfangkontrollen und p-Werte \vspace{4mm} \textcolor{darkblue}{Evaluation der Interaktion im Modell der 2 x 2 ZVA mit Interaktion und Referenzgruppe} (1) Statistisches Modell und Teststatistik (2) Testhypothese und Test (3) Testumfangkontrolle und p-Wert # Modellevaluation: Haupteffekte (1) Teststatistiken \vspace{2mm} \footnotesize \begin{theorem}[Teststatistiken für Haupteffekte] \justifying \normalfont Gegeben sei die Designmatrixform des additiven Modells der 2 x 2 ZVA mit Referenzgruppe \begin{equation} y = X\beta + \varepsilon \quad \mbox{mit} \quad \varepsilon \sim N(0_n,\sigma^2I_n) \; , \end{equation} wobei die Spalten von $X$ bezeichnet seien durch \begin{equation} X := \begin{pmatrix} X_{\mu_0} & X_{\alpha_2} & X_{\beta_2} \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{n \times 3} \; . \end{equation} Dann gelten: \begin{itemize} \item[(A)] Eine \textit{F-Teststatistik für den Haupteffekt von Faktor A}, $F_A$, ist die F-Statistik unter der Partitionierung \begin{equation} X := \begin{pmatrix} X_{\mu_0} & X_{\beta_2} & X_{\alpha_2} \end{pmatrix}, \; \beta := \begin{pmatrix} \mu_0 \\ \beta_2 \\ \alpha_2 \end{pmatrix} \quad \mbox{und} \quad X_0 := \begin{pmatrix} X_{\mu_0} & X_{\beta_2} \end{pmatrix}, \; \beta_0 := \begin{pmatrix} \mu_0 \\ \beta_2 \end{pmatrix} \; . \end{equation} \item[(B)] Eine \textit{F-Teststatistik für den Haupteffekt von Faktor B}, $F_B$, ist die F-Statistik unter der Partitionierung \begin{equation} X := \begin{pmatrix} X_{\mu_0} & X_{\alpha_2} & X_{\beta_2} \end{pmatrix}, \; \beta := \begin{pmatrix} \mu_0 \\ \alpha_2 \\ \beta_2 \end{pmatrix} \quad \mbox{und} \quad X_0 := \begin{pmatrix} X_{\mu_0} & X_{\alpha_2} \end{pmatrix}, \; \beta_0 := \begin{pmatrix} \mu_0 \\ \alpha_2 \end{pmatrix} \; . \end{equation} \end{itemize} \end{theorem} Bemerkung \vspace{-2mm} * Der Beweis ergibt sich aus dem Theorem zur Verteilung der F-Statistik bei Partitionierung eines ALM (siehe Einheit (8) in *Allgemeines Lineares Modell*). # Modellevaluation: Haupteffekte (2) Testhypothesen \footnotesize \begin{definition}[Testhypothesen und Tests] \justifying Gegeben sei das Modell der additiven 2 x 2 ZVA mit Referenzgruppe. Die F-Teststatistiken für die Haupteffekte von Faktor A und B seien mit $F_A$ und $F_B$ bezeichnet und wie oben definiert. Dann gilt: \begin{itemize} \item[(A)] Der kritische-Wert-basierte Test \begin{equation} \phi_A(y) := 1_{\{F_A \ge k\}} \quad \mbox{mit Nullhypothese} \quad H_0^A : \alpha_2 = 0 \end{equation} definiert den \textit{F-Test des Haupteffekts von Faktor A}. \item[(B)] Der kritische-Wert-basierte Test \begin{equation} \phi_B(y) := 1_{\{F_B \ge k\}} \quad \mbox{mit Nullhypothese} \quad H_0^B : \beta_2 = 0 \end{equation} definiert den \textit{F-Test des Haupteffekts von Faktor B}. \end{itemize} \end{definition} Bemerkung * Die F-Tests beziehen sich auf die im vorangegangenen Theorem definierten F-Statistiken. # Modellevaluation: Haupteffekte (3) Testumfangkontrolle \footnotesize \begin{theorem}[Testumfangkontrolle und p-Werte] \justifying \normalfont Mit obigen Definitionen und der KVF $\varphi(\cdot; n_1, n_2)$ der $f$-Verteilung gelten: \begin{itemize} \item[(A)] $\phi_A$ ist ein Level-$\alpha_0$-Test mit Testumfang $\alpha_0$, wenn der kritische Wert definiert ist durch \begin{equation} k_{\alpha_0}^A := \varphi^{-1}(1-\alpha_0; 1,n-3). \end{equation} Der zu einem beobachteten Wert $f_A$ von $F_A$ assoziierte p-Wert ist gegeben durch \begin{equation} \mbox{p-Wert} := 1 - \varphi(f_A; 1,n-3). \end{equation} \item[(B)] $\phi_B$ ist ein Level-$\alpha_0$-Test mit Testumfang $\alpha_0$, wenn der kritische Wert definiert ist durch \begin{equation} k_{\alpha_0}^B := \varphi^{-1}(1-\alpha_0; 1,n-3). \end{equation} Der zu einem beobachteten Wert $f_B$ von $F_B$ assoziierte p-Wert ist gegeben durch \begin{equation} \mbox{p-Wert} := 1 - \varphi(f_B; 1,n-3). \end{equation} \end{itemize} \end{theorem} Bemerkung * Wir verzichten auf einen Beweis. # Modellevaluation \setstretch{2} \textcolor{darkblue}{Evaluation der Haupteffekte im additiven Modell der 2 x 2 ZVA mit Referenzgruppe} (1) Statistische Modelle und Teststatistiken (2) Testhypothesen und Tests (3) Testumfangkontrollen und p-Werte \vspace{4mm} \textcolor{darkblue}{Evaluation der Interaktion im Modell der 2 x 2 ZVA mit Interaktion und Referenzgruppe} (1) Statistisches Modell und Teststatistik (2) Testhypothese und Test (3) Testumfangkontrolle und p-Wert # Modellevaluation: Interaktion (1) Teststatistik \vspace{2mm} \footnotesize \begin{theorem}[Teststatistik für die Interaktion] \justifying \normalfont Gegeben sei die Designmatrixform des additiven Modells der 2 x 2 ZVA mit Interaktion und Referenzgruppe \begin{equation} y = X\beta + \varepsilon \quad \mbox{mit} \quad \varepsilon \sim N(0_n,\sigma^2I_n) \; , \end{equation} wobei die Spalten von $X$ bezeichnet seien durch \begin{equation} X := \begin{pmatrix} X_{\mu_0} & X_{\alpha_2} & X_{\beta_2} & X_{\gamma_{22}} \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{n \times 4} \; . \end{equation} Dann gilt: Eine \textit{F-Teststatistik für die Interaktion von Faktor A und B} wird als $F_{A \times B}$ bezeichnet und ist die F-Statistik unter der Partitionierung \begin{align} \begin{split} X &:= \begin{pmatrix} X_{\mu_0} & X_{\alpha_2} & X_{\beta_2} & X_{\gamma_{22}} \end{pmatrix}, \; \beta := \begin{pmatrix} \mu_0 \\ \alpha_2 \\ \beta_2 \\ \gamma_{22} \end{pmatrix}, \; p := 4 \quad \mbox{und} \quad \\ X_0 &:= \begin{pmatrix} X_{\mu_0} & X_{\alpha_2} & X_{\beta_2} \end{pmatrix}, \; \beta_0 := \begin{pmatrix} \mu_0 \\ \alpha_2 \\ \beta_2 \end{pmatrix}, \; p_0 := 3 \; . \end{split} \end{align} \end{theorem} Bemerkung \vspace{-2mm} * Der Beweis ergibt sich aus dem Theorem zur Verteilung der F-Statistik bei Partitionierung eines ALM (siehe Einheit (8) in *Allgemeines Lineares Modell*). # Modellevaluation: Interaktion (2) Testhypothese (3) Testumfangskontrolle \footnotesize \begin{definition}[Testhypothese und Test] \justifying Die F-Teststatistik für die Interaktion von Faktor A und Faktor B sei mit $F_{A \times B}$ bezeichnet und wie oben definiert. Dann definiert der kritische-Wert-basierte Test \begin{equation} \phi_{A\times B}(y) := 1_{\{F_{A \times B} \ge k\}} \quad \mbox{mit Nullhypothese} \quad H_0^{A\times B} : \gamma_{22} = 0 \end{equation} den \textit{F-Test der Interaktion von Faktor A und Faktor B}. \end{definition} \vspace{4mm} \begin{theorem}[Testumfangkontrolle und p-Wert] \justifying \normalfont Mit der obigen Definition und der KVF $\varphi(\cdot; n_1, n_2)$ der $f$-Verteilung gilt, dass $\phi_{A\times B}$ ein Level-$\alpha_0$-Test mit Testumfang $\alpha_0$ ist, wenn der kritische Wert definiert ist durch \begin{equation} k_{\alpha_0}^{A \times B} := \varphi^{-1}(1-\alpha_0; 1,n-4). \end{equation} Der zu einem beobachteten Wert $f_{A \times B}$ von $F_{A \times B}$ assoziierte p-Wert ist gegeben durch \begin{equation} \mbox{p-Wert} := 1 - \varphi(f_{A \times B}; 1,n-4). \end{equation} \end{theorem} # \large \setstretch{2.5} \vfill Anwendungsszenario Modellformulierung Modellschätzung Modellevaluation **Anwendung/Praxis** Selbstkontrollfragen \vfill # Anwendung/Praxis \small \vspace{2mm} \textcolor{darkblue}{Daten einlesen:} $j = 1,...,4$ für jede Gruppe \footnotesize \vspace{2mm} ```{r, echo = T} fname = "Daten/Zweifaktorielle_Varianzanalyse_Daten.csv" D = read.table(fname, sep = ",", header = TRUE) ``` \center ```{r, echo = F} library(knitr) n_ij = 12 kable(D[c(1:4, (1:4)+sum(n_ij*1), (1:4)+sum(n_ij*2), (1:4)+sum(n_ij*3)),], align = "c", "pipe") ``` # Anwendung/Praxis \vspace{2mm} \textcolor{darkblue}{Boxplot} ```{r, echo = F, eval = F} # Datenselektion fname = "Daten/Zweifaktorielle_Varianzanalyse_Daten.csv" # Dateiname D = read.table(fname, sep = ",", header = TRUE) # Daten einlesen Y = data.frame( # Dataframe anlegen F2FMND = D$dBDI[D$Setting == "F2F" & D$Variant == "MND"], # A1B1 F2FEXC = D$dBDI[D$Setting == "F2F" & D$Variant == "EXC"], # A1B2 ONLMND = D$dBDI[D$Setting == "ONL" & D$Variant == "MND"], # A2B1 ONLEXC = D$dBDI[D$Setting == "ONL" & D$Variant == "EXC"]) # A2B2 # Abbildungsparameter library(latex2exp) dev.new() par( family = "sans", pty = "m", bty = "l", lwd = 1, las = 1, font.main = 1, cex = 1.1, cex.main = 1.2) # Boxplot und Speichern boxplot(Y, ylim = c(0,20)) dev.copy2pdf( file = "Abbildungen/zva_boxplot.pdf", width = 6, height = 4) ``` ```{r, echo = F, out.width = "100%"} knitr::include_graphics("Abbildungen/zva_boxplot.pdf") ``` # Anwendung/Praxis \vspace{2mm} \textcolor{darkblue}{Balkendiagramm} ```{r, echo = F, eval = F} # Abbildungsparameter library(latex2exp) # LaTeX-Annotations dev.new() # Figure-Initialisierung par( # für Details siehe ?par family = "sans", # Serif-freier Fonttyp pty = "m", # maximale Abbildungsregion bty = "l", # L-förmige Box lwd = 1, # Liniendicke las = 1, # horizontale Achsenbeschriftung font.main = 1, # Titel nicht fett cex = 1.1, # Textvergrößerungsfaktor cex.main = 1.2) # Titeltextvergrößerungsfaktor # Balkendiagramm groupmeans = colMeans(Y) # Gruppenmittelwerte groupstds = apply(Y,2,sd) # Gruppenstandardabweichungen x = barplot(groupmeans, ylim = c(0,20), # Y-Achsen-Limits col = "gray90") # Balkenfarbe arrows( x0 = x, # arrow start x-ordinate y0 = groupmeans - groupstds, # arrow start y-ordinate x1 = x, # arrow end x-ordinate y1 = groupmeans + groupstds, # arrow end y-ordinate code = 3, # Pfeilspitzen beiderseits angle = 90, # Pfeilspitzenwinkel -> Linie length = 0.05) # Linienlänge # PDF-Speicherung dev.copy2pdf( file = "Abbildungen/zva_barplot.pdf", width = 6, height = 4) ``` ```{r, echo = F, out.width = "100%"} knitr::include_graphics("Abbildungen/zva_barplot.pdf") ``` # Anwendung/Praxis \vspace{2mm} \textcolor{darkblue}{Liniendiagramm} \vspace{-2mm} ```{r, echo = F, eval = F} # Vorbereitung groupmeans = matrix(colMeans(Y), nrow = 2) groupstds = matrix(apply(Y, 2, sd), nrow = 2) cols = c("gray30", "gray70") lwds = c(2,2) print(groupmeans) print(groupstds) # Abbildungsparameter library(latex2exp) # LaTeX-Annotations dev.new() # Figure-Initialisierung par( family = "sans", pty = "s", bty = "l", lwd = 1, las = 1, mgp = c(2,1,0), xaxs = "i", yaxs = "i", font.main = 1, cex = 1.5, cex.main = 1) # Lineplots x = 1:2 matplot(x, groupmeans, type = "b", pch = 21, xlim = c(0.5, 2.5), ylim = c( 5, 20), lty = 1, col = cols, lwd = lwds, xlab = "CBT Variant", ylab = TeX("$\\Delta BDI$"), xaxt = "n") for(i in 1:2){ arrows( x0 = x, # arrow start x-ordinate y0 = groupmeans[,i] - groupstds[,i], # arrow start y-ordinate x1 = x, # arrow end x-ordinate y1 = groupmeans[,i] + groupstds[,i], # arrow end y-ordinate col = cols[[i]], # Farbe lwd = lwds[[i]], # Linienstärke code = 3, # Pfeilspitzen beiderseits angle = 90, # Pfeilspitzenwinkel -> Linie length = 0.05) # Linienlänge } legend(0.6, 20, c("CBT Setting F2F", "CBT Setting ONL"), lty = 1, col = c("gray30", "gray90"), lwd = lwds, bty = "n", cex = 1, x.intersp = 0.3, y.intersp = 2, seg.len = 1.5) text(1, 4, "MND", xpd = T, cex = 1) text(2, 4, "EXC", xpd = T, cex = 1) # PDF-Speicherung dev.copy2pdf( file = "Abbildungen/zva_lineplot.pdf", width = 7.5, height = 7.5) ``` ```{r, echo = F, out.width = "80%", fig.align = "center"} knitr::include_graphics("Abbildungen/zva_lineplot.pdf") ``` # Anwendung/Praxis \vspace{4mm} ```{r, echo = F} # Datenreformatierung fname = "Daten/Zweifaktorielle_Varianzanalyse_Daten.csv" D = read.table(fname, sep = ",", header = TRUE) # Datensatz A1B1 = D$dBDI[D$Setting == "F2F" & D$Variant == "MND"] # face-to-face, mindfulness A1B2 = D$dBDI[D$Setting == "F2F" & D$Variant == "EXC"] # face-to-face, exercise A2B1 = D$dBDI[D$Setting == "ONL" & D$Variant == "MND"] # online, mindfulness A2B2 = D$dBDI[D$Setting == "ONL" & D$Variant == "EXC"] # online, exercise ``` \tiny \setstretch{0.5} ```{r, echo = T} # Modellevaluation I = 2 # Anzahl Level Faktor A (Therapiesetting) J = 2 # Anzahl Level Faktor B (Therapievariante) n_ij = length(A1B1) # balanciertes ZVA-Design n = I*J*n_ij # Anzahl Datenpunkte p = 3 # Anzahl Parameter vollständiges Modell y = matrix(c(A1B1,A1B2,A2B1,A2B2), nrow = n) # Datenvektor D = matrix(c(1,0,0, 1,0,1, 1,1,0, 1,1,1), nrow = I*J, byrow = TRUE) # prototypische Designmatrix C = matrix(rep(1,n_ij), nrow = n_ij) # prototypischer Zellenvektor für balancierte Designs X = kronecker(D,C) # Kroneckerprodukt-Designmatrix XH = list(X[,c(1,3,2)], X) # Modellvarianten alpha_0 = 0.05 # Signifikanzlevel Eff = rep(NaN,2) # F-Teststatistik Arrayinitialisierung k_alpha_0 = rep(NaN,2) # kritischer Wert Arrayinitialisierung phi = rep(NaN,2) # Testwert Arrayinitialisierung p_vals = rep(NaN,2) # p-Wert Arrayinitialisierung for(i in 1:2){ # Iteration über Modellvarianten X = XH[[i]] # Designmatrix vollständiges Modell X_0 = X[,-3] # Designmatrix reduziertes Modell p = ncol(X) # Anzahl Parameter vollständiges Modell p_0 = ncol(X_0) # Anzahl Parameter reduziertes Modell p_1 = p - p_0 # Anzahl zusätzlicher Parameter im vollständigen Modell beta_hat_0 = solve(t(X_0)%*%X_0) %*% t(X_0)%*%y # Betaparameterschätzer reduziertes Modell beta_hat = solve(t(X) %*%X ) %*% t(X) %*%y # Betaparameterschätzer vollständiges Modell eps_hat_0 = y - X_0 %*% beta_hat_0 # Residuenvektor reduziertes Modell eps_hat = y - X %*% beta_hat # Residuenvektor vollständiges Modell eh0_eh0 = t(eps_hat_0) %*% eps_hat_0 # residuelle QS reduziertes Modell eh_eh = t(eps_hat) %*% eps_hat # esiduelle QS vollständiges Modell sigsqr_hat = eh_eh/(n-p) # Varianzparameterschätzer vollständiges Modell Eff[i] = ((eh0_eh0-eh_eh)/p_1)/sigsqr_hat # F-Statistik k_alpha_0[i] = qf(1-alpha_0, p_1, n-p) # kritischer Wert if(Eff[i] >= k_alpha_0[i]){ phi[i] = 1 } # H_0 ablehnen else { phi[i] = 0 } # H_0 nicht ablehnen p_vals[i] = 1 - pf(Eff[i], p_1,n-p) # p-Wert } data.frame("f"=Eff, "k"= k_alpha_0, "phi"=phi, "p-Wert"= p_vals, row.names = c("Setting", "Variant")) ``` # Anwendung/Praxis \setstretch{0.9} \small \textcolor{darkblue}{Haupteffekte der additiven 2 x 2 ZVA mit R's aov() Funktion} \vspace{1mm} \tiny ```{r, echo = T} # Daten einlesen fname = "Daten/Zweifaktorielle_Varianzanalyse_Daten.csv" D = read.table(fname, sep = ",", header = TRUE) # R's aov-Funktion res.aov = aov(dBDI ~ Setting + Variant, data = D) # Modellformulierung und Modellschätzung summary(res.aov) # Modellevaluation ``` \vspace{2mm} \small \textcolor{darkblue}{Haupteffekte der additiven 2 x 2 ZVA mit R's lm() und anova() Funktionen} \vspace{1mm} \tiny ```{r, echo = T} # Dateneinlesen fname = "Daten/Zweifaktorielle_Varianzanalyse_Daten.csv" D = read.table(fname, sep = ",", header = TRUE) # R's lm() und anova() Funktionen glm = lm(dBDI ~ Setting + Variant, data = D) # Modellformulierung und Modellschätzung anova(glm) # Modellevaluation ``` # Anwendung/Praxis \vspace{4mm} ```{r, echo = F} # Datenreformatierung fname = "Daten/Zweifaktorielle_Varianzanalyse_Daten.csv" D = read.table(fname, sep = ",", header = TRUE) # Datensatz A1B1 = D$dBDI[D$Setting == "F2F" & D$Variant == "MND"] # face-to-face, mindfulness A1B2 = D$dBDI[D$Setting == "F2F" & D$Variant == "EXC"] # face-to-face, exercise A2B1 = D$dBDI[D$Setting == "ONL" & D$Variant == "MND"] # online, mindfulness A2B2 = D$dBDI[D$Setting == "ONL" & D$Variant == "EXC"] # online, exercise ``` \tiny \setstretch{1.1} ```{r, echo = T} # Modellevaluation I = 2 # Anzahl Level Faktor A (Therapiesetting) J = 2 # Anzahl Level Faktor B (Therapievariante) n_ij = length(A1B1) # balanciertes ZVA-Design n = I*J*n_ij # Anzahl Datenpunkte p = 4 # Anzahl Parameter vollständiges Modell y = matrix(c(A1B1,A1B2,A2B1,A2B2), nrow = n) # Datenvektor D = matrix(c(1,0,0,0, 1,0,1,0, 1,1,0,0, 1,1,1,1), nrow = I*J, byrow = TRUE) # prototypische Designmatrix C = matrix(rep(1,n_ij), nrow = n_ij) # prototypischer Zellenvektor für balancierte Designs X = kronecker(D,C) # Kroneckerprodukt-Designmatrix alpha_0 = 0.05 # Signifikanzlevel # X = X # Designmatrix vollständiges Modell X_0 = X[,-4] # Designmatrix reduziertes Modell p = ncol(X) # Anzahl Parameter vollständiges Modell p_0 = ncol(X_0) # Anzahl Parameter reduziertes Modell p_1 = p - p_0 # Anzahl zusätzlicher Parameter im vollständigen Modell beta_hat_0 = solve(t(X_0)%*%X_0) %*% t(X_0)%*%y # Betaparameterschätzer reduziertes Modell beta_hat = solve(t(X) %*%X ) %*% t(X) %*%y # Betaparameterschätzer vollständiges Modell eps_hat_0 = y - X_0 %*% beta_hat_0 # Residuenvektor reduziertes Modell eps_hat = y - X %*% beta_hat # Residuenvektor vollständiges Modell eh0_eh0 = t(eps_hat_0) %*% eps_hat_0 # residuelle QS reduziertes Modell eh_eh = t(eps_hat) %*% eps_hat # residuelle QS vollständiges Modell sigsqr_hat = eh_eh/(n-p) # Varianzparameterschätzer vollständiges Modell Eff = ((eh0_eh0-eh_eh)/p_1)/sigsqr_hat # F-Statistik k_alpha_0 = qf(1-alpha_0, p_1, n-p) # kritischer Wert if(Eff >= k_alpha_0){phi = 1} else {phi = 0} # Test p_val = 1 - pf(Eff, p_1,n-p) # p-Wert data.frame("f"=Eff, "k"=k_alpha_0, "phi"=phi, "p-Wert"=p_val, row.names=c("Setting x Variant")) ``` # Anwendung/Praxis \setstretch{0.8} \small \textcolor{darkblue}{Interaktion im Modell der 2 x 2 ZVA mit Interaktion mit R's aov() Funktion} \vspace{1mm} \tiny ```{r, echo = T} # Dateneinlesen fname = "Daten/Zweifaktorielle_Varianzanalyse_Daten.csv" D = read.table(fname, sep = ",", header = TRUE) # R's aov Funktion res.aov = aov(dBDI ~ Setting + Variant + Setting:Variant, data = D) # Modellformulierung und Modellschätzung summary(res.aov) # Modellevaluation ``` \vspace{2mm} \small \textcolor{darkblue}{Interaktion im Modell der 2 x 2 ZVA mit Interaktion mit R's lm() und anova() Funktionen} \vspace{1mm} \tiny ```{r, echo = T} # Dateneinlesen fname = "Daten/Zweifaktorielle_Varianzanalyse_Daten.csv" D = read.table(fname, sep = ",", header = TRUE) # R's lm() und anova() Funktionen glm = lm(dBDI ~ Setting + Variant + Setting:Variant, data = D) # Modellformulierung und Modellschätzung anova(glm) # Modellevaluation ``` # Anwendung/Praxis \small Beispiel: Induzieren Bewegungen im Uhrzeigersinn Offenheit für neue Erfahrungen (= "psychische Zustände zeitlichen Fortschreitens und eine Orientierung auf die Zukunft und Neuartigkeit")? (@wagenmakers_turning_2015) \vspace{2mm} \begin{minipage}{0.58\textwidth} \includegraphics[width=\linewidth]{Abbildungen/kitchen_rolls_abstract.png} \end{minipage} \hfill \begin{minipage}{0.40\textwidth} \includegraphics[width=\linewidth]{Abbildungen/kitchen_rolls_experiment.png} \end{minipage} # Anwendung/Praxis \small Datensatz: mittlere NEO-PI-R-Scores, getrennt nach Rotationsrichtung ($n = 102$) ```{r, echo = F, eval = T} # Daten einlesen filename = "Daten/kitchen_rolls.csv" D = read.csv(filename) # Daten aufräumen levs = c("clock", "counter") D$Rotation = factor(D$Rotation, levels = levs) ``` ```{r, echo = F, eval = F} # Daten visualisieren library(vioplot) par( family = "sans", mar = c(3,3,1,1), pty = "m", bty = "l", lwd = 1, las = 1, mgp = c(2,1,0), xaxs = "i", yaxs = "i", font.main = 1.5, cex = 1.5) # Violinplot vioplot(D$mean_NEO ~ D$Rotation, D, col = "gray80", rectCol = "black", lineCol = "white", colMed = "black", border = "black", pchMed = 16, plotCentre = "lines", xlab = "rotation", ylab = "mean NEO", ylim = c(-1,2.5), drawRect = FALSE) # Datenpunkte stripchart(D$mean_NEO ~ D$Rotation, D, method = "jitter", xaxt = "n", vertical = TRUE, pch = 19, col = "black", add = TRUE, cex = 1) # Mittelwerte dx = 0.3 for (i in 1:length(levs)) { segments( x0 = i - dx, x1 = i + dx, y0 = median(D$mean_NEO[D$Rotation==levs[i]]), y1 = median(D$mean_NEO[D$Rotation==levs[i]]), col = "black", lwd = 2) } # Speichern dev.copy2pdf( file = "Abbildungen/kitchen_rolls_violin_zstt.pdf", width = 9, height = 9) ``` \vspace{2mm} ```{r, echo = F, out.width = "60%", fig.align = "center"} knitr::include_graphics("Abbildungen/kitchen_rolls_violin_zstt.pdf") ``` # Anwendung/Praxis \small Zweistichproben-T-Test: mittlere NEO-PI-R-Scores, im UZS vs. gegen den UZS ($n_1 = 48$, $n_2 = 54$) \vspace{2mm} ```{r, echo = T, eval = T} # Zweistichproben-T-Test y1 = D$mean_NEO[D$Rotation=="clock"] # Gruppe 1 y2 = D$mean_NEO[D$Rotation=="counter"] # Gruppe 2 n1 = length(y1) # Anzahl Gruppe 1 n2 = length(y2) # Anzahl Gruppe 2 n = n1 + n2 # Anzahl Datenpunkte p = 2 # Anzahl Regressoren y = matrix(c(y1,y2), nrow = n) # Datenvektor X = matrix(c(rep(1,n1), rep(0,n2), # Designmatrix rep(0,n1), rep(1,n2)), ncol = p) ``` ```{r, echo = F, eval = T} # Zweistichproben-T-Test b_hat = solve(t(X) %*% X) %*% t(X) %*% y # Betaparameterschätzer e_hat = y - X %*% b_hat # Residuenvektor s2_hat = (t(e_hat) %*% e_hat)/(n-p) # Varianzparameterschätzer c = matrix(c(1,-1), nrow = p) # Kontrastvektor cTb0 = 0 # Nullhypothese t = (t(c)%*%b_hat - cTb0)/sqrt(s2_hat * t(c)%*%solve(t(X) %*% X)%*%c) # T-Statistik d = t/sqrt(n) # Cohen's d pval = 2*(1 - pt(abs(t), n-1)) # p-Wert cat( "Datenpunkte pro Gruppe : ", round(c(n1,n2), digits = 3), "\nBetaparameterschätzer : ", round(b_hat, digits = 3), "\nVarianzparameterschätzer : ", round(s2_hat, digits = 3), "\nZweistichproben-T-Teststatistik : ", round(t, digits = 3), "\nCohen's d : ", round(d, digits = 3), "\np-Wert : ", round(pval, digits = 3), "\n\n") ``` # Anwendung/Praxis \small Zweistichproben-T-Test: mittlere NEO-PI-R-Scores, Frauen vs. Männer ($n_1 = 77$, $n_2 = 25$) \vspace{2mm} ```{r, echo = T, eval = T} # Zweistichproben-T-Test y1 = D$mean_NEO[D$Sex=="F"] # Gruppe 1 y2 = D$mean_NEO[D$Sex=="M"] # Gruppe 2 n1 = length(y1) # Anzahl Gruppe 1 n2 = length(y2) # Anzahl Gruppe 2 n = n1 + n2 # Anzahl Datenpunkte p = 2 # Anzahl Regressoren y = matrix(c(y1,y2), nrow = n) # Datenvektor X = matrix(c(rep(1,n1), rep(0,n2), # Designmatrix rep(0,n1), rep(1,n2)), ncol = p) ``` ```{r, echo = F, eval = T} # Zweistichproben-T-Test b_hat = solve(t(X) %*% X) %*% t(X) %*% y # Betaparameterschätzer e_hat = y - X %*% b_hat # Residuenvektor s2_hat = (t(e_hat) %*% e_hat)/(n-p) # Varianzparameterschätzer c = matrix(c(1,-1), nrow = p) # Kontrastvektor cTb0 = 0 # Nullhypothese t = (t(c)%*%b_hat - cTb0)/sqrt(s2_hat * t(c)%*%solve(t(X) %*% X)%*%c) # T-Statistik d = t/sqrt(n) # Cohen's d pval = 2*(1 - pt(abs(t), n-1)) # p-Wert cat( "Datenpunkte pro Gruppe : ", round(c(n1,n2), digits = 3), "\nBetaparameterschätzer : ", round(b_hat, digits = 3), "\nVarianzparameterschätzer : ", round(s2_hat, digits = 3), "\nZweistichproben-T-Teststatistik : ", round(t, digits = 3), "\nCohen's d : ", round(d, digits = 3), "\np-Wert : ", round(pval, digits = 3), "\n\n") ``` # Anwendung/Praxis \small Datensatz: mittlere NEO-PI-R-Scores, getrennt nach Rotation und Geschlecht ($n = 102$) ```{r, echo = F, eval = F} # Daten umsortieren D$RotSex = rep(NA, nrow(D)) D$RotSex[D$Rotation=="clock" & D$Sex=="F"] = "clock-female" D$RotSex[D$Rotation=="clock" & D$Sex=="M"] = "clock-male" D$RotSex[D$Rotation=="counter" & D$Sex=="F"] = "counter-female" D$RotSex[D$Rotation=="counter" & D$Sex=="M"] = "counter-male" levs_rs = c("clock-female", "clock-male", "counter-female", "counter-male") D$RotSex = factor(D$RotSex, levels = levs_rs) # Daten visualisieren library(vioplot) par( family = "sans", mar = c(3,3,1,1), pty = "m", bty = "l", lwd = 1, las = 1, mgp = c(2,1,0), xaxs = "i", yaxs = "i", font.main = 1.5, cex = 1.5) # Violinplot vioplot(D$mean_NEO ~ D$RotSex, D, col = "gray80", rectCol = "black", lineCol = "white", colMed = "black", border = "black", pchMed = 16, plotCentre = "lines", xlab = "rotation and gender", ylab = "mean NEO", ylim = c(-1,2.5), drawRect = FALSE) # Datenpunkte stripchart(D$mean_NEO ~ D$RotSex, D, method = "jitter", xaxt = "n", vertical = TRUE, pch = 19, col = "black", add = TRUE, cex = 1) # Mittelwerte dx = 0.3 for (i in 1:length(levs_rs)) { segments( x0 = i - dx, x1 = i + dx, y0 = median(D$mean_NEO[D$RotSex==levs_rs[i]]), y1 = median(D$mean_NEO[D$RotSex==levs_rs[i]]), col = "black", lwd = 2) } # Speichern dev.copy2pdf( file = "Abbildungen/kitchen_rolls_violin_zva.pdf", width = 16, height = 9) ``` \vspace{2mm} ```{r, echo = F, out.width = "100%"} knitr::include_graphics("Abbildungen/kitchen_rolls_violin_zva.pdf") ``` # Anwendung/Praxis \small $2 \times 2$ ZVA mit Interaktion: mittlere NEO-Scores, Rotation und Geschlecht ($n = 102$) \vspace{2mm} ```{r, echo = T, eval = T} # Zweifaktorielle Varianzanalyse y11 = D$mean_NEO[D$Rotation=="clock" & D$Sex=="F"] # Gruppe 11 y12 = D$mean_NEO[D$Rotation=="clock" & D$Sex=="M"] # Gruppe 12 y21 = D$mean_NEO[D$Rotation=="counter" & D$Sex=="F"] # Gruppe 21 y22 = D$mean_NEO[D$Rotation=="counter" & D$Sex=="M"] # Gruppe 22 n = length(y11) + length(y12) + length(y21) + length(y22) # Anzahl Datenpunkte p = 4 # Anzahl Regressoren y = matrix(c(y11, y12, y21, y22), nrow = n) # Datenvektor ``` ```{r, echo = F, eval = T} # Zweifaktorielle Varianzanalyse n11 = length(y11) # Anzahl Datenpunkte Gr. 11 n12 = length(y12) # Anzahl Datenpunkte Gr. 12 n21 = length(y21) # Anzahl Datenpunkte Gr. 21 n22 = length(y22) # Anzahl Datenpunkte Gr. 22 X = matrix(c(rep(1,n), # Designmatrix vollständiges Modell c(rep(0,n11+n12), rep(1,n21+n22)), c(rep(0,n11), rep(1,n12), rep(0,n21), rep(1,n22)), c(rep(0,n11+n12+n21), rep(1,n22))), nrow = n) X_0 = X[,-4] # Designmatrix reduziertes Modell # Zweifaktorielle Varianzanalyse p = ncol(X) # Anzahl Parameter vollständiges Modell p_0 = ncol(X_0) # Anzahl Parameter reduziertes Modell p_1 = p - p_0 # Anzahl zusätzlicher Parameter im vollständigen Modell beta_hat_0 = solve(t(X_0)%*%X_0) %*% t(X_0)%*%y # Betaparameterschätzer reduziertes Modell beta_hat = solve(t(X) %*%X ) %*% t(X) %*%y # Betaparameterschätzer vollständiges Modell eps_hat_0 = y - X_0 %*% beta_hat_0 # Residuenvektor reduziertes Modell eps_hat = y - X %*% beta_hat # Residuenvektor vollständiges Modell eh0_eh0 = t(eps_hat_0) %*% eps_hat_0 # residuelle QS reduziertes Modell eh_eh = t(eps_hat) %*% eps_hat # residuelle QS vollständiges Modell sigsqr_hat = eh_eh/(n-p) # Varianzparameterschätzer vollständiges Modell Eff = ((eh0_eh0-eh_eh)/p_1)/sigsqr_hat # F-Statistik p_val = 1 - pf(Eff, p_1,n-p) # p-Wert cat( "Datenpunkte pro Gruppe : ", c(n11,n12,n21,n22), "\nBetaparameterschätzer : ", round(beta_hat, digits = 3), "\nBetaparameterschätzer red. Mod. : ", round(beta_hat_0, digits = 3), "\nresiduelle Quadratsumme : ", round(eh_eh, digits = 3), "\nresiduelle Quadratsumme red. Mod. : ", round(eh0_eh0, digits = 3), "\nF-Teststatistik : ", round(Eff, digits = 3), "\np-Wert : ", round(p_val, digits = 3), "\n\n") ``` # Anwendung/Praxis \textcolor{darkblue}{Multiples Testen (\textit{multiple comparisons})} \vspace{2mm} ```{r, echo = F, out.width = "80%", fig.align = "center"} knitr::include_graphics("Abbildungen/pvalue1.png") ``` \vspace{2mm} \center \small Webcomic zu multiplem Testen \footnotesize (Quelle: [*xkcd*: "Significant" (#882)](https://xkcd.com/882/); Lizenz: CC-BY-NC 2.5). # Anwendung/Praxis \vspace{-2mm} ```{r, echo = F, out.width = "50%", fig.align = "center"} knitr::include_graphics("Abbildungen/pvalue2.png") ``` \center \footnotesize Webcomic zu multiplem Testen (Quelle: [*xkcd*: "Significant" (#882)](https://xkcd.com/882/); Lizenz: CC-BY-NC 2.5). # Anwendung/Praxis ```{r, echo = F, out.width = "80%", fig.align = "center"} knitr::include_graphics("Abbildungen/pvalue3.png") ``` \vspace{2mm} \center \footnotesize Webcomic zu multiplem Testen (Quelle: [*xkcd*: "Significant" (#882)](https://xkcd.com/882/); Lizenz: CC-BY-NC 2.5). # \large \setstretch{2.5} \vfill Anwendungsszenario Modellformulierung Modellschätzung Modellevaluation **Selbstkontrollfragen** Anwendung/Praxis \vfill # Selbstkontrollfragen \footnotesize \begin{enumerate} \justifying \item Erläutern Sie das Anwendungsszenario der zweifaktoriellen Varianzanalyse (ZVA). \item Aus wie vielen Datenpunkten besteht ein Datensatz eines 3 x 4 ZVA-Designs mit 10 Datenpunkten pro Zelle? \item Erläutern Sie die intuitive Bedeutung eines Haupteffektes in einem ZVA-Design. \item Erläutern Sie die intuitive Bedeutung einer Interaktion ein einem ZVA-Design. \item Geben Sie die Definition des additiven Modells der ZVA mit Referenzgruppe (RG) wieder. \item Erläutern Sie die Bedeutung der Parameter $\mu_0,\alpha_2$ und $\beta_2$ im additiven Modell der ZVA mit RG. \item Bestimmen Sie $\mu_{ij}$ für $\mu_0 := 2, \alpha_2 := -1, \beta_2 := 3$ im additiven Modell der ZVA mit RG. \item Geben Sie die Designmatrixform des Modells einer additiven 2 x 2 ZVA mit RG für $n_{ij} := 1$ an. \item Geben Sie die Designmatrixform des Modells einer additiven 2 x 2 ZVA mit RG für $n_{ij} := 3$ an. \item Geben Sie die Definition des Modells der ZVA mit Interaktion und Referenzgruppe wieder. \item Erläutern Sie die Bedeutung der Parameter $\mu_0, \alpha_2, \beta_2$ und $\gamma_{22}$ im Modell der ZVA mit Interaktion und RG. \item Bestimmen Sie $\mu_{ij}$ für $\mu_0 := 2, \alpha_2 := 1, \beta_2 := -1, \gamma_{22} := 3$ im Modell der ZVA mit Interaktion und RG. \item Geben Sie die Designmatrixform des Modells einer 2 x 2 ZVA mit Interaktion und RG für $n_{ij} := 1$ an. \item Geben Sie die Designmatrixform des Modells einer 2 x 2 ZVA mit Interaktion und RG für $n_{ij} := 3$ an. \item Geben Sie das Theorem zur Betaparameterschätzung im 2 x 2 ZVA-Modell mit Interaktion und RG wieder. \item Wie muss das Model der 2 x 2 ZVA mit Interaktion und Referenzgruppe partitioniert werden, um eine F-Teststatistik für die Interaktion von Faktor A und B zu bestimmen? \end{enumerate} \vfill # Referenzen