--- fontsize: 8pt format: beamer: include-in-header: ../ALM_Header.tex bibliography: ../ALM_Referenzen.bib --- # {.plain} \center ```{r, echo = F, out.width = "20%"} knitr::include_graphics("../OvGU_Logo.png") ``` \vspace{2mm} \huge Allgemeines Lineares Modell \vspace{6mm} \large BSc Psychologie, SoSe 2026 \vspace{5mm} Joram Soch # {.plain} \vfill \center \huge \textcolor{black}{(10) Zweistichproben-T-Tests} \vfill # \large \setstretch{2} \vfill Anwendungsszenario Modellformulierung Modellschätzung Modellevaluation Anwendung/Praxis Selbstkontrollfragen Anhang/Details \vfill # \large \setstretch{2} \vfill **Anwendungsszenario** Modellformulierung Modellschätzung Modellevaluation Anwendung/Praxis Selbstkontrollfragen Anhang/Details \vfill # Anwendungsszenario {.t} \vspace{2mm} \setstretch{2} \textbf{\textcolor{darkblue}{Zwei Gruppen}} (Stichproben) randomisierter experimenteller Einheiten. Annahme unabhängiger identischer Normalverteilungen $N(\mu_1,\sigma^2)$ und $N(\mu_2,\sigma^2)$. $\mu_1,\mu_2$ und $\sigma^2$ unbekannt. Annahme eines identischen Varianzparameters für beide Gruppen. Quantifizieren der Unsicherheit beim inferentiellen Vergleich von $\mu_1$ mit $\mu_2$ beabsichtigt. # Anwendungsszenario {.t} \vspace{2mm} \setstretch{1.8} \textcolor{darkblue}{Anwendungsbeispiele} \small BDI-Differenzwert-Datenanalyse bei zwei Gruppen von Patient:innen \vspace{-2mm} * Gruppe 1: Face-to-Face-Therapie; Gruppe 2: Online-Therapie * $\mu_1 \neq \mu_2 \Leftrightarrow$ Unterscheiden sich die Therapiewirksamkeiten? Forcierte Schwimmtest-Datenanalyse bei zwei Gruppen genmanipulierter Mäuse \vspace{-2mm} * Gruppe 1: Wildtyp; Gruppe 2: Serotoninrezeptormutation * $\mu_1 \neq \mu_2 \Leftrightarrow$ Trägt Serotoninrezeptor zum Schwimmtestverhalten bei? Analyse von fMRT-Daten in den klinischen Neurowissenschaften \vspace{-2mm} * Gruppe 1: Alzheimer-Patienten; Gruppe 2: gesunde Kontrollen * $\mu_1 \neq \mu_2 \Leftrightarrow$ Verändert Alzheimer-Erkrankung Hirnaktivität bei Enkodierung ins Gedächtnis? # Anwendungsszenario {.t} \vspace{2mm} \textcolor{darkblue}{Anwendungsbeispiel} ```{r, echo = F, out.width = "90%", fig.align = "center"} knitr::include_graphics("Abbildungen/beispielstudie_zweistichproben-t-test.pdf") ``` \small Wir nehmen an, dass die Datenpunkte der Face-to-Face-Therapiegruppe u.i.v. Realisierungen von ZVen $y_{1j} \sim N(\mu_1,\sigma^2)$ und dass die Datenpunkte der Online-Therapiegruppe u.i.v. Realisierungen von ZVen $y_{2j} \sim N(\mu_2,\sigma^2)$ sind ($j = 1,...,40$). Wir nehmen weiter an, dass wir an der Quantifizierung der Unsicherheit beim inferentiellen Vergleich der wahren, aber unbekannten Erwartungswertparameter $\mu_1$ und $\mu_2$ im Sinne eines Hypothesentests interessiert sind. # \large \setstretch{2} \vfill Anwendungsszenario **Modellformulierung** Modellschätzung Modellevaluation Anwendung/Praxis Selbstkontrollfragen Anhang/Details \vfill # Modellformulierung \footnotesize \begin{definition}[Zweistichproben-T-Test-Modell] \justifying $y_{ij}$ mit $i = 1,2$ und $j = 1,...,n_i$ seien Zufallsvariablen, die die Datenpunkte eines Anwendungsszenarios für den Zweistichproben-T-Test modellieren. Dann hat das \textit{Zweistichproben-T-Test-Modell} die strukturelle Form \begin{equation} y_{ij} = \mu_i + \varepsilon_{ij} \quad \mbox{mit} \quad \varepsilon_{ij} \sim N(0,\sigma^2) \quad \mbox{u.i.v. für} \quad i = 1,2, j = 1,...,n_i \quad \mbox{mit} \quad \mu_i \in \mathbb{R} \quad \mbox{und} \quad \sigma^2 > 0, \end{equation} die Datenverteilungsform \begin{equation} y_{ij} \sim N(\mu_i,\sigma^2) \quad \mbox{u.i.v. für} \quad i = 1,2, j = 1,...,n_i \quad \mbox{mit} \quad \mu_i \in \mathbb{R} \quad \mbox{und} \quad \sigma^2 > 0, \end{equation} und für den Datenvektor $y = (y_{11}, ...,y_{1n_1}, y_{21}, ...,y_{2n_2})^\mathrm{T}$ und $n := n_1 + n_2$ die Designmatrixform \begin{equation} y = X\beta + \varepsilon \quad \mbox{mit} \quad X := \begin{pmatrix} 1_{n_1} & 0_{n_1} \\ 0_{n_2} & 1_{n_2} \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{n \times 2}, \quad \beta := \begin{pmatrix} \mu_1 \\ \mu_2 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^2, \quad \varepsilon \sim N(0_n,\sigma^2I_n), \quad \mbox{und} \quad \sigma^2 > 0. \end{equation} \end{definition} Bemerkungen * $i$ indiziert die Gruppen, $j$ indiziert die experimentellen Einheiten in jeder Gruppe. * $n_1$ und $n_2$ sind die Gruppengrößen, $n$ repräsentiert die Gesamtanzahl an Datenpunkten. * Die Äquivalenz der drei Modellformen ergibt sich mit der Modellformulierung des ALM (vgl. Einheit (5) in *Allgemeines Lineares Modell*) und aus den Regeln der Matrixmultiplikation. * Die Anzahl der Betaparameter ist $p = 2$. # Modellformulierung Designmatrix des Zweistichproben-T-Test-Modells ($n = 20$, $p = 2$) ```{r, echo = F, eval = F} # Designmatrixerzeugung n_1 = 10 # Anzahl von Datenpunkten Gruppe 1 n_2 = 10 # Anzahl von Datenpunkten Gruppe 2 n = n_1 + n_2 # Gesamtanzahl der Datenpunkte p = 2 # Anzahl von Betaparametern X = matrix(c(rep(1,n_1), rep(0,n_1), # n x p Designmatrix rep(0,n_2), rep(1,n_2)), nrow = n) Xp = X # Abbildungsparameter library(plot.matrix) graphics.off() dev.new() par( family = "sans", mar = c(1,1,1,1), pty = "s", bty = "l", lwd = 1, las = 1, mgp = c(2,1,0), xaxs = "i", yaxs = "i", font.main = 1, cex = 1, cex.main = 2) # Designmatrix plot(Xp, col = gray(seq(0, 1, length.out = 256)), border = "black", xlab = '', ylab = '', main = '', breaks = seq(-2, 1, length.out = 257), key = NULL, axis.col = NULL, axis.row = NULL, asp = 1) # Speichern dev.copy2pdf( file = "Abbildungen/designmatrix_zweistichproben-t-test.pdf", width = 10, height = 10) ``` \vspace{2mm} ```{r, echo = F, out.width = "60%", fig.align = "center"} knitr::include_graphics("Abbildungen/designmatrix_zweistichproben-t-test.pdf") ``` # Modellformulierung \normalsize Datensimulation (vgl. Einheit (5) in *Allgemeines Lineares Modell*) \vspace{4mm} \footnotesize \setstretch{1.2} ```{r, echo = T} # Modellformulierung library(MASS) # multivariate Normalverteilung n_1 = 10 # Anzahl von Datenpunkten Gruppe 1 n_2 = 10 # Anzahl von Datenpunkten Gruppe 2 n = n_1 + n_2 # Gesamtanzahl der Datenpunkte p = 2 # Anzahl von Betaparametern X = matrix(c(rep(1,n_1), rep(0,n_1), # n x p Designmatrix rep(0,n_2), rep(1,n_2)), nrow = n) I_n = diag(n) # n x n Einheitsmatrix beta = matrix(c(1,2), nrow = p) # wahre, aber unbekannte Betaparameter sigsqr = 14 # wahrer, aber unbekannter Varianzparameter # Datenrealisierung y = mvrnorm(1, X %*% beta, sigsqr*I_n) # eine Realisierung des n-dimensionalen ZVs y print(y) ``` # \large \setstretch{2} \vfill Anwendungsszenario Modellformulierung **Modellschätzung** Modellevaluation Anwendung/Praxis Selbstkontrollfragen Anhang/Details \vfill # Modellschätzung \footnotesize \begin{theorem}[Parameterschätzung im Zweistichproben-T-Test-Modell] \normalfont \justifying Gegeben sei die Designmatrixform des Zweistichproben-T-Test-Modells. Dann ergeben sich für den Betaparameterschätzer \begin{equation} \hat{\beta} = \begin{pmatrix} \frac{1}{n_1}\sum_{j=1}^{n_1} y_{1j} \\ \frac{1}{n_2}\sum_{j=1}^{n_2} y_{2j} \end{pmatrix} =: \begin{pmatrix} \bar{y}_1 \\ \bar{y}_2 \end{pmatrix} \end{equation} und für den Varianzparameterschätzer \begin{equation} \hat{\sigma}^2 = \frac{\sum_{j=1}^{n_1} (y_{1j} - \bar{y}_1)^2 + \sum_{j=1}^{n_2} (y_{2j} - \bar{y}_2)^2}{n_1+n_2-2} =: s_{12}^2 \end{equation} \end{theorem} Bemerkungen * \justifying $\bar{y}_1$ und $\bar{y}_2$ bezeichnen die gruppenspezifischen Stichprobenmittel. * $s_{12}^2$ wird als *gebündelte Stichprobenvarianz* oder *pooled sample variance* bezeichnet. * Für einen Datensatz $y = \left( y_1^\mathrm{T}, \, y_2^\mathrm{T} \right)^\mathrm{T}$ gilt im Allgemeinen, dass $s_y^2 \neq s_{12}^2$. Die gebündelte Stichprobenvarianz und die Stichprobenvarianz eines zusammengefügten ("konkatenierten") Datensatzes sind im Allgemeinen also nicht identisch. Das Konzept der gebündelten Stichprobenvarianz wird uns im Kontext der einfaktoriellen Varianzanalyse erneut begegnen (siehe Einheit (11) in *Allgemeines Lineares Modell*). # Modellschätzung \footnotesize \underline{Beweis} Für $i = 1,2$ sei $y_i := (y_{i1}, ..., y_{in_i})^\mathrm{T}$. Dann ergibt sich für den Betaparameterschätzer \begin{align} \begin{split} \hat{\beta} & = (X^\mathrm{T} X)^{-1}X^\mathrm{T} y \\ & = \left( \begin{pmatrix} 1_{n_1} & 0_{n_2} \\ 0_{n_1} & 1_{n_2} \end{pmatrix}^\mathrm{T} \begin{pmatrix} 1_{n_1} & 0_{n_1} \\ 0_{n_2} & 1_{n_2} \end{pmatrix} \right)^{-1} \begin{pmatrix} 1_{n_1} & 0_{n_2} \\ 0_{n_1} & 1_{n_2} \end{pmatrix}^\mathrm{T} \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} n_1 & 0 \\ 0 & n_2 \\ \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} \sum_{j=1}^{n_1} y_{1j} \\ \sum_{j=1}^{n_2} y_{2j} \\ \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 1/n_1 & 0 \\ 0 & 1/n_2 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sum_{j=1}^{n_1} y_{1j} \\ \sum_{j=1}^{n_2} y_{2j} \\ \end{pmatrix} \\ & =\begin{pmatrix} \frac{1}{n_1}\sum_{j=1}^{n_1} y_{1j} \\ \frac{1}{n_2}\sum_{j=1}^{n_2} y_{2j} \\ \end{pmatrix} \\ & =: \begin{pmatrix} \bar{y}_1 \\ \bar{y}_2 \end{pmatrix}. \end{split} \end{align} # Modellschätzung \footnotesize \underline{Beweis (fortgeführt)} Gleichsam ergibt sich für den Varianzparameterschätzer mit $n = n_1 + n_2$ und $p = 2$ \begin{align} \begin{split} \hat{\sigma}^{2} & = \frac{(y-X\hat{\beta})^\mathrm{T}(y - X\hat{\beta})}{n - p} \\ & = \frac{1}{n_1+n_2-2} \left( \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1_{n_1} & 0_{n_1} \\ 0_{n_2} & 1_{n_2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \bar{y}_{1} \\ \bar{y}_{2} \\ \end{pmatrix} \right)^\mathrm{T} \left( \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1_{n_1} & 0_{n_1} \\ 0_{n_2} & 1_{n_2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \bar{y}_{1} \\ \bar{y}_{2} \\ \end{pmatrix} \right) \\ & =\frac{1}{n_1+n_2-2} \begin{pmatrix} y_{11}-\bar{y}_{1} \\ \vdots \\ y_{1n_1}-\bar{y}_{1} \\ y_{21}-\bar{y}_{2} \\ \vdots \\ y_{2n_2}-\bar{y}_{2} \\ \end{pmatrix}^\mathrm{T} \begin{pmatrix} y_{11}-\bar{y}_{1} \\ \vdots \\ y_{1n_1}-\bar{y}_{1} \\ y_{21}-\bar{y}_{2} \\ \vdots \\ y_{2n_2}-\bar{y}_{2} \\ \end{pmatrix} \\ & = \frac{\sum_{j=1}^{n_1} (y_{1j}-\bar{y}_{1})^{2} + \sum_{j=1}^{n_2} (y_{2j}-\bar{y}_{2})^{2}} {n_1+n_2-2} \\ & =: s_{12}^2. \end{split} \end{align} $\hfill\Box$ # Modellschätzung \tiny \setstretch{1} ```{r, echo = T} # Daten einlesen fname = "Daten/T-Tests_Daten.csv" # Dateiname D = read.table(fname, sep = ",", header = TRUE) # Dataframe y_1 = D$dBDI[D$Setting == "F2F"] # BDI-Differenzwerte in der F2F-Gruppe y_2 = D$dBDI[D$Setting == "ONL"] # BDI-Differenzwerte in der ONL-Gruppe # Modellformulierung n_1 = length(y_1) # Anzahl Datenpunkte Gruppe 1 (F2F) n_2 = length(y_1) # Anzahl Datenpunkte Gruppe 2 (ONL) n = n_1 + n_2 # Gesamtanzahl Datenpunkte p = 2 # Anzahl Betaparameter y = matrix(c(y_1, y_2), nrow = n) # Datenvektor X = matrix(c(rep(1,n_1), rep(0,n_1), # Designmatrix rep(0,n_2), rep(1,n_2)), nrow = n) # Modellschätzung beta_hat = solve(t(X) %*% X) %*% t(X) %*% y # Betaparameterschätzer eps_hat = y - X %*% beta_hat # Residuenvektor sigsqr_hat = (t(eps_hat) %*% eps_hat) /(n-p) # Varianzparameterschätzer s_sqr_12 = ((n_1-1)*var(y_1) + (n_2-1)*var(y_2))/(n_1+n_2-2) # gebündelte Stichprobenvarianz # Ausgabe cat( "hat{beta} : ", round(beta_hat, digits = 3), # Betaparameterschätzer "\nbar{y_1}, bar{y_2} : ", round(c(mean(y_1), mean(y_2)), # Stichprobenmittel digits = 3), "\nhat{sigsqr} : ", round(sigsqr_hat, digits = 3), # Varianzparameterschätzer "\ns_12^2 : ", round(s_sqr_12, digits = 3), # gebündelte Stichprobenvarianz "\ns_y^2 : ", round(var(y), digits = 3)) # Stichprobenvarianz des konkatenierten Datensatzes ``` # \large \setstretch{2} \vfill Anwendungsszenario Modellformulierung Modellschätzung **Modellevaluation** Anwendung/Praxis Selbstkontrollfragen Anhang/Details \vfill # Modellevaluation \small \setstretch{1.5} Überblick \footnotesize * Wir gruppieren frequentistische Konfidenzintervalle und Hypothesentests unter Modellevaluation. * Wir verzichten an dieser Stelle auf eine Diskussion von Konfidenzintervallen. * In der Praxis zielt die Evaluation von Zweistichproben-T-Tests-Designs meist auf einen Hypothesentest. * Die Theorie der Zweistichproben-T-Tests ist umfangreich. * Ein gutes Verständnis von Hypothesentests wird im Folgenden vorausgesetzt. * (vgl. Einheit (12) in *Wahrscheinlichkeitstheorie und Frequentistische Inferenz*) Im Zweistichproben-T-Test ALM Design ergeben sich folgende Hypothesenszenarien: \vspace{-2mm} * $H_0:\mu_1 - \mu_2 = \mu_0$ und $H_1: \mu_1 - \mu_2 \neq \mu_0$ * $H_0:\mu_1 - \mu_2 \le \mu_0$ und $H_1: \mu_1 - \mu_2 > \mu_0$ * $H_0:\mu_1 - \mu_2 \ge \mu_0$ und $H_1: \mu_1 - \mu_2 < \mu_0$ Wir betrachten hier exemplarisch nur $H_0:\mu_1 - \mu_2 = \mu_0$ und $H_1: \mu_1 - \mu_2 \neq \mu_0$. Für $\mu_0 := 0$ gelten dabei insbesondere: \vspace{-2mm} * $H_0:\mu_1 - \mu_2 = 0 \Leftrightarrow H_0: \mu_1 = \mu_2$ * $H_1:\mu_1 - \mu_2 \neq 0 \Leftrightarrow H_1: \mu_1 \neq \mu_2$ # Modellevaluation \small \setstretch{2} \textcolor{darkblue}{Gliederung} (vgl. [\textcolor{darkblue}{Einheit (12), um 01:58:00}](https://youtu.be/GJsS-AZe9zI?si=9kldNuX_I3bgjUFE&t=7080) in \textit{Wahrscheinlichkeitstheorie und Frequentistische Inferenz}) (1) Statistisches Modell $\checkmark$ (2) Testhypothesen $\checkmark$ (3) Teststatistik (4) Test (5) Analyse der Testgütefunktion (6) Testumfangkontrolle (7) p-Wert (8) Analyse der Powerfunktion # Modellevaluation (3) Teststatistik \footnotesize \begin{theorem}[T-Teststatistik des Zweistichproben-T-Tests] \justifying \normalfont Gegeben sei die Designmatrixform des Zweistichproben-T-Test-Modells. Dann ergibt sich für die T-Teststatistik mit \begin{equation} c := (1,-1)^\mathrm{T} \quad \mbox{und} \quad c^\mathrm{T}\beta_0 =: \mu_0, \end{equation} dass \begin{equation} T = \sqrt{\frac{n_1n_2}{n_1+n_2}}\left(\frac{\bar{y}_1-\bar{y}_2 - \mu_0}{s_{12}}\right) \end{equation} und es gilt \begin{equation} T \sim t(\delta, n_1 + n_2 - 2) \quad \mbox{mit} \quad \delta = \sqrt{\frac{n_1n_2}{n_1+n_2}}\left(\frac{\mu_1-\mu_2-\mu_0}{\sigma}\right). \end{equation} \end{theorem} Bemerkungen * Das Theorem basiert auf der T-Statistik im Rahmen des ALM. * Wir erinnern an das verwandte populäre und von der Stichprobengröße unabhängige Effekstärke-Maß *Cohen's* $d$ bei Zweistichproben-T-Test-Designs, \begin{equation} d := \frac{\bar{y}_1-\bar{y}_2}{s_{12}}. \end{equation} * Offenbar gilt für dieses *Cohen's* $d$, dass mit $\mu_0 := 0$ \begin{equation} T = \sqrt{\frac{n_1n_2}{n_1+n_2}}d \quad \Leftrightarrow \quad d = T/\sqrt{\frac{n_1n_2}{n_1+n_2}}. \end{equation} # Modellevaluation (3) Teststatistik \footnotesize \underline{Beweis} Mit dem Theorem zur Verteilung der T-Statistik (siehe Einheit (7) in *Allgemeines Lineares Modell*) gilt zunächst für die Zähler von $T$ und $\delta$, dass \begin{equation} c^\mathrm{T}\hat{\beta} - c^\mathrm{T}\beta_0 = \begin{pmatrix} 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \bar{y}_1 \\ \bar{y}_2 \end{pmatrix} - \mu_0 = \bar{y}_1 - \bar{y}_2 - \mu_0 \end{equation} und \begin{equation} c^\mathrm{T}\beta - c^\mathrm{T}\beta_0 = \begin{pmatrix} 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mu_1 \\ \mu_2 \end{pmatrix} - \mu_0 = \mu_1 - \mu_2 - \mu_0 \; . \end{equation} Weiterhin gilt für die Nenner von $T$ und $\delta$, dass \begin{equation} c^\mathrm{T}(X^\mathrm{T}X)^{-1}c = \begin{pmatrix} 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1/n_1 & 0 \\ 0 & 1/n_2 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{n_1} & -\frac{1}{n_2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2} \; . \end{equation} Außerdem gilt \begin{equation} \left(\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}\right)^{-\frac{1}{2}} = \left(\frac{n_2}{n_1n_2} + \frac{n_1}{n_1n_2}\right)^{-\frac{1}{2}} = \left(\frac{n_1 + n_2}{n_1n_2}\right)^{-\frac{1}{2}} = \left(\frac{n_1n_2}{n_1+n_2}\right)^{\frac{1}{2}} \; . \end{equation} Zusammengenommen folgt dann, dass \begin{equation} T = \sqrt{\frac{n_1n_2}{n_1+n_2}}\left(\frac{\bar{y}_1-\bar{y}_2 - \mu_0}{s_{12}}\right) \quad \mbox{und} \quad \delta = \sqrt{\frac{n_1n_2}{n_1+n_2}}\left(\frac{\mu_1-\mu_2-\mu_0}{\sigma}\right) \; . \end{equation} $\hfill\Box$ # Modellevaluation (4) Test \footnotesize \begin{definition}[Zweiseitiger Zweistichproben-T-Test] \justifying Gegeben sei das Zweistichproben-T-Test-Modell. Für ein $\mu_0 \in \mathbb{R}$ seien die Nullhypothese und die Alternativhypothese gegeben durch \begin{equation} H_0 : \mu_1 - \mu_2 = \mu_0 \end{equation} und \begin{equation} H_1 : \mu_1 - \mu_2 \neq \mu_0 \; . \end{equation} Weiterhin sei die T-Teststatistik definiert durch \begin{equation} T := \sqrt{\frac{n_1n_2}{n_1+n_2}}\left(\frac{\bar{y}_1-\bar{y}_2 - \mu_0}{s_{12}}\right) \end{equation} Dann ist der \textit{zweiseitige Zweistichproben-T-Test} definiert als der kritische-Wert-basierte Test \begin{equation} \phi(y) := 1_{\{|T| \ge k\}} = {\begin{cases} 1 & |T| \ge k \\ 0 & |T| < k \end{cases}} \; . \end{equation} \end{definition} Bemerkungen * Ausführlicher handelt es sich um den *zweiseitigen Zweistichproben-T-Test mit ungerichteter Hypothese*. # Modellevaluation \small \setstretch{2} \textcolor{darkblue}{Gliederung} (vgl. [\textcolor{darkblue}{Einheit (12), um 01:58:00}](https://youtu.be/GJsS-AZe9zI?si=9kldNuX_I3bgjUFE&t=7080) in \textit{Wahrscheinlichkeitstheorie und Frequentistische Inferenz}) (1) Statistisches Modell $\checkmark$ (2) Testhypothesen $\checkmark$ (3) Teststatistik $\checkmark$ (4) Test $\checkmark$ \textcolor{lightgray}{(5) Analyse der Testgütefunktion} \textcolor{lightgray}{(6) Testumfangkontrolle} \textcolor{lightgray}{(7) p-Wert} \textcolor{lightgray}{(8) Analyse der Powerfunktion} # Modellevaluation (6) Testumfangkontrolle \small \begin{theorem}[Testumfangkontrolle] \justifying \normalfont $\phi$ sei der im obigen Testszenario definierte Test. Dann ist $\phi$ ein Level-$\alpha_0$-Test mit Testumfang $\alpha_0$, wenn der kritische Wert definiert ist durch \begin{equation} k_{\alpha_0} := \psi^{-1}\left(1 - \frac{\alpha_0}{2}; n_1 + n_2 - 2 \right), \end{equation} wobei $\psi^{-1}(\cdot; n_1+n_2-2)$ die inverse KVF der $t$-Verteilung mit $n_1+n_2-2$ Freiheitsgraden ist. \end{theorem} Bemerkungen * Das Resultat folgt in Analogie zum Einstichproben-T-Test. * Im Vergleich zum Einstichproben-T-Testfall gilt lediglich \begin{equation} n - 1 \hookrightarrow n_1 + n_2 - 2. \end{equation} # Modellevaluation (6) Testumfangkontrolle Praktisches Vorgehen \footnotesize \begin{itemize} \justifying \item Man nimmt an, dass die Daten zweier Gruppen $y_{11},...,y_{1n_1}$ und $y_{21},...,y_{2n_2}$ Realisationen von $y_{1j} \sim N(\mu_1,\sigma^2) \mbox{ u.i.v. für } j = 1,...,n_1$ und $y_{2j} \sim N(\mu_2,\sigma^2) \mbox{ u.i.v. für } j = 1,...,n_2$ mit unbekannten Parametern $\mu_1,\mu_2$ und $\sigma^2$ sind. \item Man möchte entscheiden, ob eher $H_0: \mu_1 - \mu_2 = \mu_0$ oder $H_1: \mu_1 - \mu_2 \neq \mu_0$ zutrifft. \item Man wählt ein Signifikanzniveau $\alpha_0$ und bestimmt den zugehörigen Freiheitsgradparameter-abhängigen kritischen Wert $k_{\alpha_0}$. Zum Beispiel gilt bei Wahl von $\alpha_0 := 0.05$ und $n_1 = 12, n_2 = 12$, dass $k_{0.05}=\psi^{-1}(1-0.05/2; 12+12-2) \approx 2.07$ ist. \item Anhand von $n_1,n_2,\bar{y}_1,\bar{y}_2$ und der gebündelten Stichprobenstandardabweichung $s_{12}$ berechnet man die Realisierung der Zweistichproben-T-Teststatistik \begin{equation} t := \sqrt{\frac{n_1n_2}{n_1+n_2}}\left(\frac{\bar{y}_1-\bar{y}_2 - \mu_0}{s_{12}}\right) \end{equation} \item Wenn $t$ größer-gleich $k_{\alpha_0}$ ist oder wenn $t$ kleiner-gleich $-k_{\alpha_0}$ ist, lehnt man die Nullhypothese ab, andernfalls lehnt man sie nicht ab. \item Die oben entwickelte Theorie des Zweistichproben-T-Tests garantiert dann, dass man in höchstens $\alpha_0 \cdot 100$ von $100$ Fällen die Nullhypothese fälschlicherweise ablehnt. \end{itemize} # \large \setstretch{2} \vfill Anwendungsszenario Modellformulierung Modellschätzung Modellevaluation **Anwendung/Praxis** Selbstkontrollfragen Anhang/Details \vfill # Anwendung/Praxis \small \vspace{2mm} \textcolor{darkblue}{Daten einlesen:} $j = 1,...,15$ für jede Gruppe \tiny \setstretch{0.6} \vspace{1mm} ```{r, echo = T} fname = "Daten/T-Tests_Daten.csv" D = read.table(fname, sep = ",", header = TRUE) ``` \vspace{-1mm} ```{r, echo = F} knitr::kable(D[c(1:15, 41:55),], align = "ccc", "pipe") ``` # Anwendung/Praxis \vspace{1mm} \tiny \setstretch{0.5} ```{r, echo = T, eval = F} # Histogrammparameter h = 1 # gewünschte Klassenbreite b_0 = min(D$dBDI) # b_0 b_k = max(D$dBDI) # b_0 k = ceiling((b_k - b_0)/h) # Anzahl der Klassen b = seq(b_0, b_k, by = h) # Klassen [b_0, ..., b_k] ylimits = c(0,.2) # y-Achsenlimits xlimits = c(-2,14) # x-Achsenlimits therapie = c("F2F" , "ONL") # Therapiebedingungen labs = c("Face-to-Face", "Online") # Abbildungslabel # Abbildungsparameter par( # für Details siehe ?par mfcol = c(1,2), # 1 x 2 Panelstruktur family = "sans", # Serif-freier Fonttyp pty = "m", # maximale Abbildungsregion bty = "l", # L-förmige Box las = 1, # horizontale Achsenbeschriftung xaxs = "i", # x-Achse bei y = 0 yaxs = "i", # y-Achse bei x = 0 font.main = 1, # Titel nicht fett cex = 1, # Textvergrößerungsfaktor cex.main = 1) # Titeltextvergrößerungsfaktor # Iteration über Therapiebedingungen for(i in 1:2){ hist( D$dBDI[D$Setting == therapie[i]], # Delta-BDI-Werte von Therapiebedingung i breaks = b, # Histogrammklassen freq = F, # normierte relative Häufigkeit xlim = xlimits, # x-Achsenlimits ylim = ylimits, # y-Achsenlimits xlab = TeX("$\\Delta BDI$"), # x-Achsenbeschriftung ylab = "geschätzte Wahrscheinlichkeit",# y-Achsenbeschriftung main = labs[i]) # Titelbeschriftung } # Speichern dev.copy2pdf( file = "Abbildungen/F2F_ONL_histogramme.pdf", width = 8, height = 4) ``` # Anwendung/Praxis \vspace{2mm} \tiny \setstretch{1} ```{r, echo = T, eval = T} # Initialisierung eines Dataframes tp = c("F2F", "ONL") # Therapiebedingungen ntp = length(tp) # Anzahl Therapiebedingungen S = data.frame( # Dataframeerzeugung n = rep(NaN,ntp), # Stichprobengrößen Max = rep(NaN,ntp), # Maxima Min = rep(NaN,ntp), # Minima Median = rep(NaN,ntp), # Mediane Mean = rep(NaN,ntp), # Mittelwerte Var = rep(NaN,ntp), # Varianzen Std = rep(NaN,ntp), # Standardabweichungen row.names = tp) # Therapiebedingungen # Iterationen über Therapiebedingungen for(i in 1:ntp){ data = D$dBDI[D$Setting == tp[i]] # Daten S$n[i] = length(data) # Stichprobengröße S$Max[i] = max(data) # Maxima S$Min[i] = min(data) # Minima S$Median[i] = median(data) # Mediane S$Mean[i] = mean(data) # Mittelwerte S$Var[i] = var(data) # Varianzen S$Std[i] = sd(data) # Standardabweichungen } ``` # Anwendung/Praxis \vspace{2mm} \small \textcolor{darkblue}{Deskriptive Statistiken der PostBDI-PreBDI-Differenzen bei Face-to-Face- und Online-Therapie} \vspace{1mm} ```{r, echo = F, out.width = "100%"} knitr::include_graphics("Abbildungen/F2F_ONL_histogramme.pdf") ``` \footnotesize \setstretch{1} ```{r, echo = T} # Ausgabe print.AsIs(S) ``` # Anwendung/Praxis \vspace{3mm} \tiny \setstretch{0.7} ```{r, echo = T} # Modellevaluation fname = "Daten/T-Tests_Daten.csv" # Dateiname D = read.table(fname, sep = ",", header = TRUE) # Dataframe y_1 = D$dBDI[D$Setting == "F2F"] # BDI-Differenzwerte in der F2F-Gruppe y_2 = D$dBDI[D$Setting == "ONL"] # BDI-Differenzwerte in der ONL-Gruppe n_1 = length(y_1) # Anzahl Datenpunkte Gruppe 1 (F2F) n_2 = length(y_1) # Anzahl Datenpunkte Gruppe 2 (ONL) n = n_1 + n_2 # Gesamtanzahl Datenpunkte p = 2 # Anzahl Betaparameter y = matrix(c(y_1, y_2), nrow = n) # Datenvektor X = matrix(c(rep(1,n_1), rep(0,n_2), # Designmatrix rep(0,n_1), rep(1,n_2)), nrow = n) beta_hat = solve(t(X) %*% X) %*% t(X) %*% y # Betaparameterschätzer eps_hat = y - X %*% beta_hat # Residuenvektor sigsqr_hat = (t(eps_hat) %*% eps_hat) /(n-p) # Varianzparameterschätzer delta = 0.95 # Konfidenzbedingung t_delta = qt((1+delta)/2,n-1) # \Psi^{-1}((1+\delta)/2,n-1) lambda = diag(solve(t(X) %*% X)) # \lambda_j Werte kappa = matrix(rep(NaN,p*2), nrow = p) # \beta_j Konfidenintervall-Array for(j in 1:p){ # Iteration über \beta_j kappa[j,1] = beta_hat[j]-sqrt(sigsqr_hat*lambda[j])*t_delta # untere KI Grenze kappa[j,2] = beta_hat[j]+sqrt(sigsqr_hat*lambda[j])*t_delta # obere KI Grenze } c = matrix(c(1,-1), nrow = 2) # Kontrastgewichtsvektor mu_0 = 0 # Nullhypothese H_0 alpha_0 = 0.05 # Signifikanzniveau k_alpha_0 = qt(1 - (alpha_0/2), n-1) # kritischer Wert t_num = t(c) %*% beta_hat - mu_0 # T-Teststatistik Zähler t_den = sqrt(sigsqr_hat*t(c) %*% solve(t(X) %*% X)%*%c) # T-Teststatistik Nenner t = t_num/t_den # T-Teststatistik if(abs(t) >= k_alpha_0){phi = 1} else {phi = 0} # Test 1_{|T(X) >= k_alpha_0|} pval = 2*(1-pt(abs(t), n_1+n_2-2)) # p-Wert d = t/sqrt((n_1*n_2)/(n_1 + n_2)) # Cohen's d ``` \vspace{-1mm} ```{r, echo = F} cat( "hat{beta} = ", beta_hat, "\nfg = ", n_1 + n_2 - 2, "\nkappa_1 = ", kappa[1,], "\nkappa_2 = ", kappa[2,], "\nt = ", t, "\nalpha_0 = ", alpha_0, "\nk_alpha_0 = ", k_alpha_0, "\nphi = ", phi, "\np-Wert = ", pval, "\nCohen's d = ", d) ``` # Anwendung/Praxis \small \textcolor{darkblue}{Anwendungszenario} \vspace{2mm} \scriptsize \setstretch{0.9} ```{r, echo = T} # automatischer Zweistichproben-T-Test varphi = t.test(y_1, y_2, # Datensatz var.equal = TRUE, # \sigma_1^2 = \sigma_2^2 alternative = c("two.sided"), # H_1: \mu_1 \neq \mu_2 conf.level = 1-alpha_0) # \delta = 1 - \alpha_0 # Ausgabe print(varphi) # genauere Ausgabe von t paste(varphi[1]$statistic) # genauere Ausgabe von p paste(varphi[3]$p.value) ``` \setstretch{1.5} * R nutzt hier eine alternative Parameterisierung des Zweistichproben-T-Test Szenarios, die sogenannten *Effektdarstellung*. * Wir werden die Effektdarstellung im Kontext der einfaktoriellen Varianzanalyse ausführlich diskutieren. # Anwendung/Praxis \small Datensatz: erste vs. zweite 5 km beim Great 10k (08.10.2017), alle Teilnehmer ($n = 4883$) ```{r, echo = F, eval = T} # Daten einlesen filename = "Daten/great_10k.csv" D = read.csv(filename) # Daten reduzieren excl = c("FU14", "FU16", "FU18", "FU20", "FU23", "F70", "F75", "F80", "MU14", "MU16", "MU18", "MU20", "MU23", "M70", "M75", "M80") incl = c("FE", "FH", "F30", "F35", "F40", "F45", "F50", "F55", "F60", "F65", "ME", "MH", "M30", "M35", "M40", "M45", "M50", "M55", "M60", "M65") D = D[!(D$AgeGroup %in% excl),] D = D[!(D$X5kTime == "NaN:NaN:NaN"),] D = D[!(D$X10kTime == "NaN:NaN:NaN"),] n = nrow(D) # Daten umsortieren D$AgeGroup = factor(D$AgeGroup, levels = incl) # Daten umrechnen t5_hms = D$X5kTime t5_min = rep(0, n) t10_hms = D$X10kTime t10_min = rep(0, n) for(i in 1:n){ t5 = t5_hms[i] t10 = t10_hms[i] t5_min[i] = as.numeric(substr(t5,1,2))*60 + as.numeric(substr(t5,4,5)) + as.numeric(substr(t5,7,8))/60 t10_min[i] = as.numeric(substr(t10,1,2))*60 + as.numeric(substr(t10,4,5)) + as.numeric(substr(t10,7,8))/60 } D$T5k1 = t5_min D$T5k2 = t10_min-t5_min D$T10k = t10_min D$Tdiff = D$T5k2 - D$T5k1 ``` \vspace{2mm} ```{r, echo = F, out.width = "60%", fig.align = "center"} knitr::include_graphics("Abbildungen/great_10k_streudiagramm.pdf") ``` # Anwendung/Praxis \small Zweistichproben-T-Test: erste vs. zweite 5 km, alle Teilnehmer ($n_1 = n_2 = 4883$) \vspace{2mm} ```{r, echo = T, eval = T} # Zweistichproben-T-Test (falsch) y1 = D$T5k1 # "Gruppe" 1 y2 = D$T5k2 # "Gruppe" 2 n1 = length(y1) # Anzahl Gruppe 1 n2 = length(y2) # Anzahl Gruppe 2 n = n1 + n2 # Anzahl Datenpunkte p = 2 # Anzahl Regressoren y = matrix(c(y1,y2), nrow = n) # Datenvektor X = matrix(c(rep(1,n1), rep(0,n2), # Designmatrix rep(0,n1), rep(1,n2)), ncol = p) ``` ```{r, echo = F, eval = T} # Zweistichproben-T-Test (falsch) b_hat = solve(t(X) %*% X) %*% t(X) %*% y # Betaparameterschätzer e_hat = y - X %*% b_hat # Residuenvektor s2_hat = (t(e_hat) %*% e_hat)/(n-p) # Varianzparameterschätzer c = matrix(c(1,-1), nrow = p) # Kontrastvektor cTb0 = 0 # Nullhypothese t = (t(c)%*%b_hat - cTb0)/sqrt(s2_hat * t(c)%*%solve(t(X) %*% X)%*%c) # T-Statistik d = t/sqrt(n) # Cohen's d pval = 2*(1 - pt(abs(t), n-1)) # p-Wert cat( "Datenpunkte pro Gruppe : ", round(c(n1,n2), digits = 3), "\nBetaparameterschätzer : ", round(b_hat, digits = 3), "\nVarianzparameterschätzer : ", round(s2_hat, digits = 3), "\nZweistichproben-T-Teststatistik : ", round(t, digits = 3), "\nCohen's d : ", round(d, digits = 3), "\np-Wert : ", round(pval, digits = 3), "\n\n") ``` # Anwendung/Praxis \small Zweistichproben-T-Test: Differenz 5-km-Strecken, Frauen vs. Männer ($n_1 = 1921$, $n_2 = 2962$) \vspace{2mm} ```{r, echo = T, eval = T} # Zweistichproben-T-Test (richtig) y1 = D$Tdiff[D$Sex=="F"] # Gruppe 1 y2 = D$Tdiff[D$Sex=="M"] # Gruppe 2 n1 = length(y1) # Anzahl Gruppe 1 n2 = length(y2) # Anzahl Gruppe 2 n = n1 + n2 # Anzahl Datenpunkte p = 2 # Anzahl Regressoren y = matrix(c(y1,y2), nrow = n) # Datenvektor X = matrix(c(rep(1,n1), rep(0,n2), # Designmatrix rep(0,n1), rep(1,n2)), ncol = p) ``` ```{r, echo = F, eval = T} # Zweistichproben-T-Test (richtig) b_hat = solve(t(X) %*% X) %*% t(X) %*% y # Betaparameterschätzer e_hat = y - X %*% b_hat # Residuenvektor s2_hat = (t(e_hat) %*% e_hat)/(n-p) # Varianzparameterschätzer c = matrix(c(1,-1), nrow = p) # Kontrastvektor cTb0 = 0 # Nullhypothese t = (t(c)%*%b_hat - cTb0)/sqrt(s2_hat * t(c)%*%solve(t(X) %*% X)%*%c) # T-Statistik d = t/sqrt(n) # Cohen's d pval = 2*(1 - pt(abs(t), n-1)) # p-Wert cat( "Datenpunkte pro Gruppe : ", round(c(n1,n2), digits = 3), "\nBetaparameterschätzer : ", round(b_hat, digits = 3), "\nVarianzparameterschätzer : ", round(s2_hat, digits = 3), "\nZweistichproben-T-Teststatistik : ", round(t, digits = 3), "\nCohen's d : ", round(d, digits = 3), "\np-Wert : ", round(pval, digits = 3), "\n\n") ``` # Anwendung/Praxis \small Beispiel: Induzieren Bewegungen im Uhrzeigersinn Offenheit für neue Erfahrungen (= "psychische Zustände zeitlichen Fortschreitens und eine Orientierung auf die Zukunft und Neuartigkeit")? (@wagenmakers_turning_2015) \vspace{2mm} \begin{minipage}{0.58\textwidth} \includegraphics[width=\linewidth]{Abbildungen/kitchen_rolls_abstract.png} \end{minipage} \hfill \begin{minipage}{0.40\textwidth} \includegraphics[width=\linewidth]{Abbildungen/kitchen_rolls_experiment.png} \end{minipage} # Anwendung/Praxis \small Datensatz: mittlere NEO-PI-R-Scores, getrennt nach Rotationsrichtung ($n = 102$) ```{r, echo = F, eval = T} # Daten einlesen filename = "Daten/kitchen_rolls.csv" D = read.csv(filename) # Daten aufräumen levs = c("clock", "counter") D$Rotation = factor(D$Rotation, levels = levs) ``` ```{r, echo = F, eval = F} # Daten visualisieren library(vioplot) par( family = "sans", mar = c(3,3,1,1), pty = "m", bty = "l", lwd = 1, las = 1, mgp = c(2,1,0), xaxs = "i", yaxs = "i", font.main = 1.5, cex = 1.5) # Violinplot vioplot(D$mean_NEO ~ D$Rotation, D, col = "gray80", rectCol = "black", lineCol = "white", colMed = "black", border = "black", pchMed = 16, plotCentre = "lines", xlab = "rotation", ylab = "mean NEO", ylim = c(-1,2.5), drawRect = FALSE) # Datenpunkte stripchart(D$mean_NEO ~ D$Rotation, D, method = "jitter", xaxt = "n", vertical = TRUE, pch = 19, col = "black", add = TRUE, cex = 1) # Mittelwerte dx = 0.3 for (i in 1:length(levs)) { segments( x0 = i - dx, x1 = i + dx, y0 = median(D$mean_NEO[D$Rotation==levs[i]]), y1 = median(D$mean_NEO[D$Rotation==levs[i]]), col = "black", lwd = 2) } # Speichern dev.copy2pdf( file = "Abbildungen/kitchen_rolls_violin_plot.pdf", width = 9, height = 9) ``` \vspace{2mm} ```{r, echo = F, out.width = "60%", fig.align = "center"} knitr::include_graphics("Abbildungen/kitchen_rolls_violin_plot.pdf") ``` # Anwendung/Praxis \small Zweistichproben-T-Test: mittlere NEO-PI-R-Scores, im UZS vs. gegen den UZS ($n_1 = 48$, $n_2 = 54$) \vspace{2mm} ```{r, echo = T, eval = T} # Zweistichproben-T-Test y1 = D$mean_NEO[D$Rotation=="clock"] # Gruppe 1 y2 = D$mean_NEO[D$Rotation=="counter"] # Gruppe 2 n1 = length(y1) # Anzahl Gruppe 1 n2 = length(y2) # Anzahl Gruppe 2 n = n1 + n2 # Anzahl Datenpunkte p = 2 # Anzahl Regressoren y = matrix(c(y1,y2), nrow = n) # Datenvektor X = matrix(c(rep(1,n1), rep(0,n2), # Designmatrix rep(0,n1), rep(1,n2)), ncol = p) ``` ```{r, echo = F, eval = T} # Zweistichproben-T-Test b_hat = solve(t(X) %*% X) %*% t(X) %*% y # Betaparameterschätzer e_hat = y - X %*% b_hat # Residuenvektor s2_hat = (t(e_hat) %*% e_hat)/(n-p) # Varianzparameterschätzer c = matrix(c(1,-1), nrow = p) # Kontrastvektor cTb0 = 0 # Nullhypothese t = (t(c)%*%b_hat - cTb0)/sqrt(s2_hat * t(c)%*%solve(t(X) %*% X)%*%c) # T-Statistik d = t/sqrt(n) # Cohen's d pval = 2*(1 - pt(abs(t), n-1)) # p-Wert cat( "Datenpunkte pro Gruppe : ", round(c(n1,n2), digits = 3), "\nBetaparameterschätzer : ", round(b_hat, digits = 3), "\nVarianzparameterschätzer : ", round(s2_hat, digits = 3), "\nZweistichproben-T-Teststatistik : ", round(t, digits = 3), "\nCohen's d : ", round(d, digits = 3), "\np-Wert : ", round(pval, digits = 3), "\n\n") ``` # Anwendung/Praxis \small Zweistichproben-T-Test: mittlere NEO-PI-R-Scores, Frauen vs. Männer ($n_1 = 77$, $n_2 = 25$) \vspace{2mm} ```{r, echo = T, eval = T} # Zweistichproben-T-Test y1 = D$mean_NEO[D$Sex=="F"] # Gruppe 1 y2 = D$mean_NEO[D$Sex=="M"] # Gruppe 2 n1 = length(y1) # Anzahl Gruppe 1 n2 = length(y2) # Anzahl Gruppe 2 n = n1 + n2 # Anzahl Datenpunkte p = 2 # Anzahl Regressoren y = matrix(c(y1,y2), nrow = n) # Datenvektor X = matrix(c(rep(1,n1), rep(0,n2), # Designmatrix rep(0,n1), rep(1,n2)), ncol = p) ``` ```{r, echo = F, eval = T} # Zweistichproben-T-Test b_hat = solve(t(X) %*% X) %*% t(X) %*% y # Betaparameterschätzer e_hat = y - X %*% b_hat # Residuenvektor s2_hat = (t(e_hat) %*% e_hat)/(n-p) # Varianzparameterschätzer c = matrix(c(1,-1), nrow = p) # Kontrastvektor cTb0 = 0 # Nullhypothese t = (t(c)%*%b_hat - cTb0)/sqrt(s2_hat * t(c)%*%solve(t(X) %*% X)%*%c) # T-Statistik d = t/sqrt(n) # Cohen's d pval = 2*(1 - pt(abs(t), n-1)) # p-Wert cat( "Datenpunkte pro Gruppe : ", round(c(n1,n2), digits = 3), "\nBetaparameterschätzer : ", round(b_hat, digits = 3), "\nVarianzparameterschätzer : ", round(s2_hat, digits = 3), "\nZweistichproben-T-Teststatistik : ", round(t, digits = 3), "\nCohen's d : ", round(d, digits = 3), "\np-Wert : ", round(pval, digits = 3), "\n\n") ``` # \large \setstretch{2} \vfill Anwendungsszenario Modellformulierung Modellschätzung Modellevaluation Anwendung/Praxis **Selbstkontrollfragen** Anhang/Details \vfill # Selbstkontrollfragen \footnotesize \setstretch{2} \begin{enumerate} \item Erläutern Sie das Anwendungsszenario eines Zweistichproben-T-Tests. \item Geben Sie die Definition des Zweistichproben-T-Test-Modells wieder. \item Geben Sie das Theorem zur Parameterschätzung im Zweistichproben-T-Test-Modell wieder. \item Geben Sie das Theorem zur T-Teststatistik des Zweistichproben-T-Tests wieder. \item Erläutern Sie mögliche Hypothesenszenarien eines Zweistichproben-T-Tests. \item Geben Sie die Definition des zweiseitigen Zweistichproben-T-Tests mit ungerichteter Alternativypothese wieder. \item Erläutern Sie das praktische Vorgehen bei Durchführung eines zweiseitigen Level-$\alpha_0$-Zweistichproben-T-Tests. \item Gegeben seien zwei Datenvektoren $y_1$ und $y_2$. Unter welchen Bedingungen dürfen diese zu einem Zweistichproben-T-Test herangezogen werden? Unter welchen Bedingungen nicht? \end{enumerate} # \large \setstretch{2} \vfill Anwendungsszenario Modellformulierung Modellschätzung Modellevaluation Anwendung/Praxis Selbstkontrollfragen **Anhang/Details** \vfill # Anhang/Details \footnotesize \begin{theorem}[Testgütefunktion] \justifying \normalfont Es sei $\phi$ der im obigen Modell formulierte Zweistichproben-T-Test. Dann ist die Testgütefunktion von $\phi$ gegeben durch \begin{align} \begin{split} q_{\phi} : \mathbb{R}^2 \to [0,1], (\mu_1, \mu_2) \mapsto q_{\phi}(\mu_1, \mu_2) := 1 &- \psi(k;\delta,n_1+n_2-2) \\ &+ \psi(-k;\delta,n_1+n_2-2) \; , \end{split} \end{align} wobei $\psi(\cdot; \delta, n_1+n_2-2)$ die KVF der nichtzentralen $t$-Verteilung mit Nichtzentralitätsparameter \begin{equation} \delta = \sqrt{\frac{n_1n_2}{n_1+n_2}}\left(\frac{\mu_1-\mu_2-\mu_0}{\sigma}\right) \end{equation} und Freiheitsgradparameter $n_1+n_2-2$ bezeichnet. \end{theorem} Bemerkungen * $q_{\phi}$ ist eine bivariate reellwertige Funktion. * $q_{\phi}$ kann alternativ als univariate reellwertige Funktion von $\Delta := \mu_1 - \mu_2$ konzipiert werden. * Im Vergleich zum Einstichprobenszenario gelten \begin{equation} n-1 \hookrightarrow n_1+n_2-2, \quad\quad \sqrt{n} \hookrightarrow \sqrt{\frac{n_1n_2}{n_1 + n_2}}, \quad\quad \mu - \mu_0 \hookrightarrow \mu_1 - \mu_2 -\mu_0 \end{equation} * Wir verzichten auf einen Beweis. Für einen Beweisansatz, siehe @degroot2012, Seite 591. # Anhang/Details \small \center Testgütefunktion $q_\phi$ für $\sigma^2 = 9, \mu_0 = 0, n_1 = 12, n_2 = 12$ und $k = 1,2,3$. \vspace{2mm} \begin{equation*} q_{\phi}\mu_1,\mu_2) = \mathbb{P}_{\mu_1,\mu_2}(\phi = 1) \end{equation*} ```{r, eval = F, echo = F} # Abbildungsparameter graphics.off() dev.new() par( family = "sans", mfcol = c(1,3), pty = "m", bty = "l", lwd = 1, las = 1, xaxs = "i", yaxs = "i", font.main = 1, cex = .4, cex.main = 2) # Visualisierung k_all = c(1,2,3) # kritische Werte n_1 = 12 # Stichprobengröße n_1 n_2 = 12 # Stichprobengröße n_2 sigsqr = 9 # Varianzparameter mu_min = -5 # Minimum \mu_1,\mu_2 mu_max = 5 # Minimum \mu_1,\mu_2 mu_res = 2e1 # Auflösung \mu_1,\mu_2 mu_1 = seq(mu_min, mu_max, len = mu_res) # \mu_1 mu_2 = seq(mu_min, mu_max, len = mu_res) # \mu_2 # Iterationen über kritische Werte for(k in k_all){ q_phi = matrix(rep(NaN, mu_res*mu_res), nrow = mu_res) # q_\phi Array for(i in seq_along(mu_1)){ # \mu_1 Iterationen for(j in seq_along(mu_2)){ # \mu_2 Iterationen d = (mu_1[i] - mu_2[j])/sqrt(sigsqr) # Nichtzentralitätsparameter \delta df = n_1 + n_2 - 2 # Freiheitsgradparameter n_1+n_2-2 q_phi[i,j] = 1-pt(k,df,d)+pt(-k,df,d) # q_\phi } } persp(mu_1, mu_2, q_phi, d = 1, col = "gray90", theta = 20, phi = 30, lwd = .5, scale = T, ticktype = "detailed", r = 1.5, zlim = c(0,1), main = paste("k =", k)) } # Speichern dev.copy2pdf( file = "Abbildungen/t_test_zweistichproben_q_phi.pdf", width = 6, height = 2) ``` ```{r, echo = F, out.width = "100%"} knitr::include_graphics("Abbildungen/t_test_zweistichproben_q_phi.pdf") ``` # Anhang/Details \small \begin{theorem}[Testumfangkontrolle] \justifying \normalfont $\phi$ sei der im obigen Testszenario definierte Test. Dann ist $\phi$ ein Level-$\alpha_0$-Test mit Testumfang $\alpha_0$, wenn der kritische Wert definiert ist durch \begin{equation} k_{\alpha_0} := \psi^{-1}\left(1 - \frac{\alpha_0}{2}; n_1 + n_2 - 2 \right), \end{equation} wobei $\psi^{-1}(\cdot; n_1+n_2-2)$ die inverse KVF der $t$-Verteilung mit $n_1+n_2-2$ Freiheitsgraden ist. \end{theorem} Bemerkungen * Das Resultat folgt in Analogie zum Einstichproben-T-Test. * Im Vergleich zum Einstichproben-T-Testfall gilt lediglich \begin{equation} n - 1 \hookrightarrow n_1 + n_2 - 2. \end{equation} # Anhang/Details Praktisches Vorgehen \footnotesize \begin{itemize} \justifying \item Man nimmt an, dass die Daten zweier Gruppen $y_{11},...,y_{1n_1}$ und $y_{21},...,y_{2n_2}$ Realisationen von $y_{1j} \sim N(\mu_1,\sigma^2) \mbox{ u.i.v. für } j = 1,...,n_1$ und $y_{2j} \sim N(\mu_2,\sigma^2) \mbox{ u.i.v. für } j = 1,...,n_2$ mit unbekannten Parametern $\mu_1,\mu_2$ und $\sigma^2$ sind. \item Man möchte entscheiden, ob eher $H_0: \mu_1 - \mu_2 = \mu_0$ oder $H_1: \mu_1 - \mu_2 \neq \mu_0$ zutrifft. \item Man wählt ein Signifikanzniveau $\alpha_0$ und bestimmt den zugehörigen Freiheitsgradparameter-abhängigen kritischen Wert $k_{\alpha_0}$. Zum Beispiel gilt bei Wahl von $\alpha_0 := 0.05$ und $n_1 = 12, n_2 = 12$, dass $k_{0.05}=\psi^{-1}(1-0.05/2; 12+12-2) \approx 2.07$ ist. \item Anhand von $n_1,n_2,\bar{y}_1,\bar{y}_2$ und der gebündelten Stichprobenstandardabweichung $s_{12}$ berechnet man die Realisierung der Zweistichproben-T-Teststatistik \begin{equation} t := \sqrt{\frac{n_1n_2}{n_1+n_2}}\left(\frac{\bar{y}_1-\bar{y}_2 - \mu_0}{s_{12}}\right) \end{equation} \item Wenn $t$ größer-gleich $k_{\alpha_0}$ ist oder wenn $t$ kleiner-gleich $-k_{\alpha_0}$ ist, lehnt man die Nullhypothese ab, andernfalls lehnt man sie nicht ab. \item Die oben entwickelte Theorie des Zweistichproben-T-Tests garantiert dann, dass man in höchstens $\alpha_0 \cdot 100$ von $100$ Fällen die Nullhypothese fälschlicherweise ablehnt. \end{itemize} # Anhang/Details Bestimmung des p-Wertes \footnotesize * \justifying \small Per Definition ist der p-Wert das kleinste Signifikanzlevel $\alpha_0$, bei welchem man die Nullhypothese basierend auf einem vorliegendem Wert der Teststatistik ablehnen würde. * Bei $T = t$ würde $H_0$ für jedes $\alpha_0$ mit $|t|\ge\psi^{-1}(1-\alpha_0/2; n_1 + n_2-2)$ abgelehnt werden. Für diese $\alpha_0$ gilt, wie bereits mehrfach gezeigt, \begin{equation} \alpha_0 \ge 2 \mathbb{P}(T \ge |t|). \end{equation} * Das kleinste $\alpha_0 \in [0,1]$ mit $\alpha_0 \ge 2 \mathbb{P}(T \ge |t|)$ ist dann $\alpha_0 = 2 \mathbb{P}(T \ge |t|)$, also folgt \begin{equation} \mbox{p-Wert} = 2 \mathbb{P}(T \ge |t|) = 2(1 - \psi(|t|;n_1 + n_2 - 2)). \end{equation} * Im Vergleich zum Einstichprobenfall gilt lediglich $n-1 \hookrightarrow n_1+n_2-2$. # Anhang/Details Analyse der Powerfunktion \small Wir betrachten die Testgütefunktion \begin{align} \begin{split} q_{\phi} : \mathbb{R}^2 \to [0,1], (\mu_1, \mu_2) \mapsto q_{\phi}(\mu_1, \mu_2) := 1 &- \psi(k;\delta,n_1+n_2-2) \\ &+ \psi(-k;\delta,n_1+n_2-2) \end{split} \end{align} als Funktion des Nichtzentralitätsparameters $\delta := \sqrt{\frac{n_1n_2}{n_1+n_2}}\left(\frac{\mu_1-\mu_2-\mu_0}{\sigma}\right)$ und der Summe der Stichprobenumfänge $n := n_1 + n_2$ bei kontrolliertem Testumfang, also für $k_{\alpha_0} := \psi^{-1}(1-\alpha_0/2;n-2)$ mit festem $\alpha_0$. Es ergibt sich die multivariate reellwertige Funktion \begin{equation} \pi : \mathbb{R} \times \mathbb{N} \to [0,1], (\delta,n) \mapsto \pi(\delta,n) := 1-\psi(k_{\alpha_0};\delta,n-2)+\psi(-k_{\alpha_0}; \delta,n-2) \; . \end{equation} Bei festgelegten $\alpha_0$ hängt die Powerfunktion des zweiseitigen T-Tests mit einfacher Nullhypothese also vom unbekannten Wert $\delta$ und von der Summe der Stichprobengrößen $n$ ab. De facto handelt es sich also um die gleiche Powerfunktion wie beim zweiseitigen Einstichproben-T-Test mit dem einzigen Unterschied, dass für den Freiheitsgradparameter $n-2$ anstelle von $n-1$ gilt. Wir verzichten auf eine erneute Visualisierung. # Anhang/Details Praktisches Vorgehen \small \vspace{1mm} Mit größerem $n = n_1 + n_2$ steigt die Powerfunktion des Tests an: * Ein großer Stichprobenumfang ist besser als ein kleiner Stichprobenumfang. * Kosten für die Erhöhung des Stichprobenumfangs werden aber nicht berücksichtigt. * \justifying Ungleichgewichte zwischen $n_1$ und $n_2$ werden durch die Tatsache ausglichen, dass Datenpunkte einer Stichprobe auch zur Varianzschätzung in der anderen Stichprobe beitragen, da eine identische Varianz vorausgesetzt wurde. \vspace{1mm} Die Powerfunktion hängt vom wahren, aber unbekannten, Wert $\delta = \sqrt{\frac{n_1n_2}{n_1+n_2}}\left(\frac{\mu_1-\mu_2-\mu_0}{\sigma}\right)$ ab. $\Rightarrow$ Wenn man $\delta$ schon kennen würde, würde man den Test nicht durchführen. \vspace{1mm} Generell wird folgendes Vorgehen favorisiert: * Man legt das Signifikanzniveau $\alpha_0$ fest und evaluiert die Powerfunktion. * Man wählt einen Mindestparameterwert $\delta^*$, den man mit $\pi(\delta,n) = b$ detektieren möchte. * Ein konventioneller Wert ist $b= 0.8$. * Man liest die für $\pi(\delta = \delta^*,n) = b$ nötige Stichprobengröße $n$ ab. # Anhang/Details Praktisches Vorgehen \vspace{4mm} ```{r, echo = F, eval = F} # Szenariospezifikation sigma = 1 # bekanntes \sigma mu_0 = 0 # einfache Nullhypothese n_min = 3 # n = n_1 + n_2 Minimum n_max = 20 # n = n_1 + n_2 Maximum n_res = 1e2 # n Auflösung n = seq(n_min,n_max, len = n_res) # n Raum alpha_0 = 0.05 # Signifikanzniveau # Poweranalyse d_fix = 3 # fester Nichtzentralitätsparameter k_alpha_0 = qt(1-alpha_0/2,n-2) # kritische Werte pi_n = 1-pt(k_alpha_0,n-2, d_fix)+pt(-k_alpha_0,n-2,d_fix) # Powerfunktion beta = 0.8 # gewünschter Powerfunktionswert i = 1 # Indexinitialisierung n_min = NaN # Initialisierung von minimalem n while(pi_n[i] < beta){ # Solange \pi(\delta*,n) < \beta n_min = n[i] # Aufnahme des minimal nötigen n i = i + 1 # und Erhöhung des Indexes } cat("minimal nötiges n =", ceiling(n_min)) # Ausgabe ``` ```{r, echo = F, eval = F} # Visualisierung library(latex2exp) par( family = "sans", mfcol = c(1,1), pty = "m", bty = "l", lwd = 1, las = 1, xaxs = "i", yaxs = "i", font.main = 1, cex = 1.2, cex.main = 1.2) plot(n, pi_n, type = "l", lwd = 2, ylab = " ", ylim = c(0,1), xlab = TeX("$n$"), main = TeX("$\\pi(\\delta = 3,n)\\, für \\,\\alpha_0 = 0.05")) lines(3, beta, type = "p", pch = 16, xpd = TRUE) lines(n_min, 0, type = "p", pch = 16, xpd = TRUE) arrows( x0 = min(n), y0 = beta, x1 = n_min, y1 = beta, col = "darkorange", angle = 20, length = .1) arrows( x0 = n_min, y0 = beta, x1 = n_min, y1 = 0, col = "darkorange", angle = 20, length = .1) text(3.5, 0.85, TeX("$b$"), xpd = TRUE, cex = 1.2) text(18 , 0.05, TeX("$n_{opt}"), xpd = TRUE, cex = 1.2) # Speichern dev.copy2pdf( file = "Abbildungen/t_test_zweistichproben_umfang.pdf", width = 7, height = 5) ``` ```{r, echo = F, out.width = "80%", fig.align = "center"} knitr::include_graphics("Abbildungen/t_test_zweistichproben_umfang.pdf") ``` # Referenzen