--- fontsize: 8pt format: beamer: include-in-header: ../ALM_Header.tex bibliography: ../ALM_Referenzen.bib --- ```{r, include = F} source("../ALM_Common.R") ``` # {.plain} \center ```{r, echo = F, out.width = "20%"} knitr::include_graphics("../OvGU_Logo.png") ``` \vspace{2mm} \huge Allgemeines Lineares Modell \vspace{6mm} \large BSc Psychologie, SoSe 2024 \vspace{5mm} Joram Soch # {.plain} \vfill \center \huge \textcolor{black}{(2) Korrelation} \vfill # \setstretch{3} \vfill \large Grundbegriffe der Korrelation Korrelation und Bestimmtheitsmaß Anwendung/Praxis Selbstkontrollfragen \vfill # \setstretch{3} \vfill \large **Grundbegriffe der Korrelation** Korrelation und Bestimmtheitsmaß Anwendung/Praxis Selbstkontrollfragen \vfill # Grundbegriffe der Korrelation \large Anwendungsszenario ```{r, echo = F, out.width = "80%"} knitr::include_graphics("Abbildungen/beispielszenario.pdf") ``` # Grundbegriffe der Korrelation Beispieldatensatz \center \footnotesize $i = 1,...,20$ Patient:innen, $y_i$ Symptomreduktion bei Patient:in $i$, $x_i$ Anzahl Therapiestunden von Patient:in $i$ \setstretch{1} ```{r, echo = F} fname = "Daten/Korrelation_Simulation.csv" D = read.table(fname, sep = ",", header = TRUE) knitr::kable(D, "pipe") ``` # Grundbegriffe der Korrelation Beispieldatensatz ```{r, echo = F, eval = F} fname = "Daten/Korrelation_Simulation.csv" D = read.table(fname, sep = ",", header = TRUE) graphics.off() dev.new() par( family = "sans", mfcol = c(1,1), pty = "s", bty = "l", lwd = 1, las = 1, mgp = c(2,1,0), xaxs = "i", yaxs = "i", font.main = 1, cex = 1, cex.main = 1) plot(D$x_i, D$y_i, pch = 16, xlab = "Anzahl Therapiestunden (x)", ylab = "Symptomreduktion (y)", xlim = c(0,21), ylim = c(-10, 40)) legend("topleft", TeX("$(x_i,y_i)$"), lty = 0, pch = 16, col = "black", bty = "n", cex = 1, x.intersp = 1) dev.copy2pdf( file = "Abbildungen/beispieldatensatz.pdf", width = 4, height = 4) ``` ```{r, echo = F, out.width = "60%"} knitr::include_graphics("Abbildungen/beispieldatensatz.pdf") ``` \vspace{-4mm} \center \textcolor{darkblue}{Wie stark hängen Anzahl Therapiestunden und Symptomreduktion zusammen?} # Grundbegriffe der Korrelation \small \begin{definition}[Korrelation] \justifying Die \textit{Korrelation} zweier Zufallsvariablen $\xi$ und $\upsilon$ ist definiert als \begin{equation} \rho(\xi,\upsilon) := \frac{\mathbb{C}(\xi,\upsilon)}{\mathbb{S}(\xi)\mathbb{S}(\upsilon)} \end{equation} wobei $\mathbb{C}(\xi,\upsilon)$ die Kovarianz von $\xi$ und $\upsilon$ und $\mathbb{S}(\xi)$ und $\mathbb{S}(\upsilon)$ die Standardabweichungen von $\xi$ bzw. $\upsilon$ bezeichnen. \end{definition} \footnotesize Bemerkungen * $\rho(\xi,\upsilon)$ wird auch \textit{Korrelationskoeffizient} von $\xi$ und $\upsilon$ genannt. * Wir haben bereits gesehen, dass $-1 \le \rho(\xi,\upsilon) \le 1$ gilt. * Wenn $\rho(\xi,\upsilon) = 0$ ist, werden $\xi$ und $\upsilon$ \textit{unkorreliert} genannt. * Wir haben bereits gesehen, dass aus der Unabhängigkeit von $\xi$ und $\upsilon$, folgt dass $\rho(\xi,\upsilon) = 0$. * Wenn $\rho(\xi,\upsilon) = 0$ ist, sind aber $\xi$ und $\upsilon$ nicht notwendigerweise unabhängig voneinander. # Grundbegriffe der Korrelation \footnotesize \begin{definition}[Stichprobenkorrelation] \justifying $\{(x_1,y_1),...,(x_n,y_n)\} \subset \mathbb{R}^2$ sei ein Datensatz. Weiterhin seien: \begin{itemize} \item die Stichprobenmittel der $x_i$ und $y_i$ definiert als \begin{equation} \bar{x} := \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i \mbox{ und } \bar{y} := \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n y_i \; , \end{equation} \item die Stichprobenstandardabweichungen $x_i$ und $y_i$ definiert als \begin{equation} s_x := \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(x_i - \bar{x})^2} \mbox{ und } s_y := \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(y_i - \bar{y})^2} \; , \end{equation} \item die Stichprobenkovarianz der $(x_1,y_1),...,(x_n,y_n)$ definiert als \begin{equation} c_{xy} := \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) \; . \end{equation} \end{itemize} Dann ist die \textit{Stichprobenkorrelation} der $(x_1,y_1),...,(x_n,y_n)$ definiert als \begin{equation} r_{xy} := \frac{c_{xy}}{s_xs_y} \end{equation} und wird auch \textit{Stichprobenkorrelationskoeffizient} genannt. \end{definition} # Grundbegriffe der Korrelation Beispiel \vspace{2mm} \tiny \setstretch{1.2} ```{r, echo = T} # Laden des Beispieldatensatzes fname = "Daten/Korrelation_Simulation.csv" # Dateipfad generieren D = read.table(fname, sep = ",", header = TRUE) # Beispieldatensatz als Dataframe laden x_i = D$x_i # x_i Werte y_i = D$y_i # y_i Werte n = length(x_i) # n # "manuelle" Berechnung der Stichprobenkorrelation x_bar = (1/n)*sum(x_i) # \bar{x} y_bar = (1/n)*sum(y_i) # \bar{y} s_x = sqrt(1/(n-1)*sum((x_i - x_bar)^2)) # s_x s_y = sqrt(1/(n-1)*sum((y_i - y_bar)^2)) # s_y c_xy = 1/(n-1) * sum((x_i - x_bar) * (y_i - y_bar)) # c_{xy} r_xy = c_xy/(s_x * s_y) # r_{xy} print(r_xy) # Ausgabe # automatische Berechnung mit der R-Funktion cor() r_xy = cor(x_i,y_i) # r_{xy} print(r_xy) # Ausgabe ``` \center \small $\Rightarrow$ Anzahl Therapiestunden und Symptomreduktion sind hochkorreliert. # Grundbegriffe der Korrelation Mechanik der Kovariationsterme ```{r, echo = F, out.width = "80%"} knitr::include_graphics("Abbildungen/korrelationsterme.pdf") ``` \center \footnotesize häufige richtungsgleiche Abweichung der $x_i$ und $y_i$ von ihren Mittelwerten $\Rightarrow$ positive Korrelation häufige richtungsungleiche Abweichung der $x_i$ und $y_i$ von ihren Mittelwerten $\Rightarrow$ negative Korrelation keine häufigen richtungsgleichen oder richtungsungleichen Abweichungen $\Rightarrow$ keine Korrelation # Grundbegriffe der Korrelation \vspace{2mm} Beispiele \vspace{-2mm} ```{r, eval = F, echo = F} library(MASS) graphics.off() dev.new() par( family = "sans", mfcol = c(3,3), pty = "s", bty = "l", lwd = 1, las = 1, mgp = c(2,1,0), xaxs = "i", yaxs = "i", font.main = 1, cex = 1, cex.main = 1.3) # Modellformulierung n = 30 # Anzahl an Stichprobenvektoren mu = c(0,0) # Erwartungswertparameter sigma_1 = 1 # \sigma_1 sigma_2 = 1 # \sigma_2 rho_12 = c( 0.8, 0.2, -0.4, # \rho_12 0.6, 0.0, -0.6, 0.4,-0.2, -0.8) # Datenrealisierung und Visualisierung set.seed(1) for(rho in rho_12){ Sigma = matrix(c(sigma_1^2, rho*sigma_1*sigma_2, rho*sigma_1*sigma_2, sigma_2^2), nrow = 2) xy = mvrnorm(n, mu, Sigma) plot(xy, pch = 21, col = "white", bg = "black", xlab = TeX("$x$"), ylab = TeX("$y$"), xlim = c(-3,3), ylim = c(-3,3), main = TeX(sprintf("$r_{xy}$ = %.2f", cor(xy[,1],xy[,2])))) } # Speicherung dev.copy2pdf( file = "Abbildungen/korrelationsbeispiele.pdf", width = 11, height = 11) ``` ```{r, echo = F, out.width = "70%"} knitr::include_graphics("Abbildungen/korrelationsbeispiele.pdf") ``` # Grundbegriffe der Korrelation \small \begin{theorem}[Korrelation und linear-affine Abhängigkeit] \justifying \normalfont $\xi$ und $\upsilon$ seien zwei Zufallsvariablen mit positiver Varianz. Dann gilt: Ihre Korrelation beträgt \begin{equation} \rho(\xi,\upsilon) = 1 \mbox{ oder } \rho(\xi,\upsilon) = -1 \end{equation} genau dann, wenn eine lineare-affine Abhängigkeit der folgenden Form zwischen $\xi$ und $\upsilon$ besteht: \begin{equation} \upsilon = \beta_0 + \beta_1\xi \mbox{ mit } \beta_0,\beta_1\in \mathbb{R} \; . \end{equation} \end{theorem} \footnotesize Bemerkungen * Die linear-affine Abhängigkeit $\upsilon = \beta_0 + \beta_1\xi$ impliziert eine linear-affine Abhängigkeit $\xi = \tilde{\beta}_0 + \tilde{\beta}_1\upsilon$, denn \begin{equation} \upsilon = \beta_0 + \beta_1\xi \Leftrightarrow -\beta_0 + \upsilon = \beta_1\xi \Leftrightarrow \xi = -\frac{\beta_0}{\beta_1} + \frac{1}{\beta_1}\upsilon \Leftrightarrow \xi = \tilde{\beta}_0 + \tilde{\beta}_1\upsilon \; , \end{equation} wobei wie folgt ersetzt wurde: \begin{equation} \tilde{\beta}_0 = -\frac{\beta_0}{\beta_1} \mbox{ und } \tilde{\beta}_1 = \frac{1}{\beta_1} \; . \end{equation} # Grundbegriffe der Korrelation \footnotesize \underline{Beweis} \setstretch{1.2} Wir beschränken uns auf den Beweis der Aussage, dass aus $\upsilon = \beta_0 + \beta_1\xi$ folgt, dass $\rho(\xi,\upsilon) = \pm 1$ ist. Dazu halten wir zunächst fest, dass mit den Theoremen zu Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung gilt, dass \begin{equation} \mathbb{E}(\upsilon) = \beta_0 + \beta_1\mathbb{E}(\xi) \mbox{ und } \mathbb{V}(\upsilon) = \beta_1^2 \mathbb{V}(\xi) \mbox{ und somit } \mathbb{S}(\upsilon) = \pm \beta_1 \mathbb{S}(\xi) \; . \end{equation} Wegen $\mathbb{V}(\xi) > 0$ und $\mathbb{V}(\upsilon) > 0$ gilt damit $\beta_1 \neq 0$. Weiterhin gilt: \begin{align} \begin{split} \upsilon - \mathbb{E}(\upsilon) & = \beta_0 + \beta_1\xi - \mathbb{E}(\upsilon) \\ & = \beta_0 + \beta_1\xi - \beta_0 - \beta_1\mathbb{E}(\xi) \\ & = \beta_1\xi - \beta_1\mathbb{E}(\xi) \\ & = \beta_1(\xi -\mathbb{E}(\xi)) \; . \end{split} \end{align} Für die Kovarianz von $\xi$ und $\upsilon$ ergibt sich also: \begin{align} \begin{split} \mathbb{C}(\xi,\upsilon) & = \mathbb{E}\left((\upsilon - \mathbb{E}(\upsilon))(\xi - \mathbb{E}(\xi))\right) \\ & = \mathbb{E}\left(\beta_1(\xi - \mathbb{E}(\xi))(\xi - \mathbb{E}(\xi))\right) \\ & = \beta_1\mathbb{E}\left((\xi - \mathbb{E}(\xi))^2\right) \\ & = \beta_1\mathbb{V}(\xi) \; . \end{split} \end{align} Damit ergibt für die Korrelation von $\xi$ und $\upsilon$: \begin{equation} \rho(\xi,\upsilon) = \frac{\mathbb{C}(\xi,\upsilon)}{\mathbb{S}(\xi)\mathbb{S}(\upsilon)} = \pm \frac{\beta_1\mathbb{V}(\xi)}{\mathbb{S}(\xi)\beta_1 \mathbb{S}(\xi)} = \pm \frac{\beta_1\mathbb{V}(\xi)}{\beta_1\mathbb{V}(\xi)} = \pm 1. \end{equation} $\hfill\Box$ # Grundbegriffe der Korrelation Beispiele \vspace{4mm} ```{r, echo = F, out.width = "100%"} knitr::include_graphics("Abbildungen/correlation_examples.png") ``` \vspace{2mm} \center \footnotesize (Quelle: [*Wikimedia Commons*: "Correlation_examples.png"](https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correlation_examples.png); Lizenz: gemeinfrei.) # \setstretch{3} \vfill \large Grundbegriffe der Korrelation **Korrelation und Bestimmtheitsmaß** Anwendung/Praxis Selbstkontrollfragen \vfill # Korrelation und Bestimmtheitsmaß Überblick \setstretch{2} \footnotesize Das sogenannte Bestimmtheitsmaß $\mbox{R}^2$ ist eine beliebte Statistik. Numerisch ist $\mbox{R}^2$ das Quadrat des Stichprobenkorrelationskoeffizienten. Ist die Stichprobenkorrelation $r_{xy} = 0.5$, dann ist $\mbox{R}^2 = 0.25$, ist $r_{xy} = -0.5$, dann ist $\mbox{R}^2 = 0.25$. $\Rightarrow \mbox{R}^2$ enthält also weniger Information über die Rohdaten als $r_{xy}$, da das Vorzeichen wegfällt. $\Rightarrow$ \textit{Per se} ist die Angabe von $\mbox{R}^2$ anstelle von $r_{xy}$ im Kontext der Korrelation zweier Variablen wenig sinnvoll. Ein tieferes Verständnis von $\mbox{R}^2$ erlaubt jedoch \vspace{-2mm} (1) einen Einstieg in das Konzept von Quadratsummenzerlegungen, ein wichtiges ALM-Evaluationsprinzip; (2) einen Einstieg in das Verständnis der Zusammenhänge von Ausgleichsgerade und Stichprobenkorrelation; (3) einen ersten Einblick in die Tatsache, dass Korrelationen (nur) linear-affine Zusammenhänge quantifizieren. # Korrelation und Bestimmtheitsmaß \small \begin{definition}[Erklärte Werte und Residuen einer Ausgleichsgerade] \justifying Gegeben seien ein Datensatz $\{(x_1,y_1), ..., (x_n,y_n)\} \subset \mathbb{R}^2$ und die zu diesem Datensatz gehörende Ausgleichsgerade \begin{equation} f_{\hat{\beta}} : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto f_{\hat{\beta}}(x) := \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1x. \end{equation} Dann werden für $i = 1,...,n$ \begin{equation} \hat{y}_i := \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1x_i \end{equation} die durch die Ausgleichsgerade \textit{erklärten Werte} genannt und \begin{equation} \hat{\varepsilon}_i := y_i - \hat{y}_i \end{equation} die \textit{Residuen} der Ausgleichsgerade genannt. \end{definition} \footnotesize Bemerkungen * \justifying Die *erklärten Werte* sind die Datenvorhersage des Modells, basierend auf den geschätzten Parameterwerten. * Die *Residuen* sind die Differenzen zwischen geschätzter Datenvorhersage und beobachteten Datenwerten. # Korrelation und Bestimmtheitsmaß Erklärte Werte und Residuen einer Ausgleichsgerade ```{r, echo = F, eval = F} # Einlesen des Beispieldatensatzes fname = "Daten/Korrelation_Simulation.csv" D = read.table(fname, sep = ",", header = TRUE) # Ausgleichsgeradenparameter x_bar = mean(D$x_i) # Stichprobenmittel der x_i-Werte y_bar = mean(D$y_i) # Stichprobenmittel der y_i-Werte s2x = var(D$x_i) # Stichprobenvarianz der x_i-Werte cxy = cov(D$x_i, D$y_i) # Stichprobenkovarianz der (x_i,y_i)-Werte beta_1_hat = cxy/s2x # \hat{\beta}_1, Steigungsparameter beta_0_hat = y_bar - beta_1_hat*x_bar # \hat{\beta}_0, Offset Parameter # Visualisierung graphics.off() dev.new() par( family = "sans", mfcol = c(1,1), pty = "s", bty = "l", lwd = 1, las = 1, mgp = c(2,1,0), xaxs = "i", yaxs = "i", font.main = 1, cex = 1, cex.main = 1) plot(D$x_i, D$y_i, pch = 16, xlab = "Anzahl Therapiestunden (x)", ylab = "Symptomreduktion (y)", xlim = c(0,21), ylim = c(-10, 40)) abline( coef = c(beta_0_hat, beta_1_hat), lty = 1, col = "black") points(D$x_i, beta_0_hat + beta_1_hat*D$x_i, pch = 16, col = "grey") arrows( x0 = D$x_i, y0 = D$y_i, x1 = D$x_i, y1 = beta_0_hat + beta_1_hat*D$x_i, length = 0, col = "grey") points(mean(D$x_i), mean(D$y_i), pch = 16, col = "Blue") dev.copy2pdf( file = "Abbildungen/erklaertewerte_residuen.pdf", width = 4, height = 4) ``` ```{r, echo = F, out.width = "60%"} knitr::include_graphics("Abbildungen/erklaertewerte_residuen.pdf") ``` \vspace{-5mm} \center $\bullet$ $(x_i, y_i)$ \hspace{2mm} \textcolor{blue}{$\bullet$} $(\bar{x},\bar{y})$ \hspace{2mm} \textbf{---} $f_{\hat{\beta}}(x)$ \hspace{2mm} \textcolor{lightgray}{$\bullet$} $(x_i, \hat{y}_i)$ \hspace{2mm} \textcolor{lightgray}{\textbf{---}} $\hat{\varepsilon}_i$ \hspace{2mm} $i = 1,...,n$ # Korrelation und Bestimmtheitsmaß Motivation \setstretch{2} \small Die in einer abhängigen Variable enthaltene Gesamtvarianz lässt sich in verschiedene Beiträge partitionieren: denjenigen Teil der Varianz, der sich mit Rückgriff auf unabhängige Variablen erklären lässt (*erklärte Varianz*), und denjenigen Teil der Varianz, der aus dem Beitrag von Zufallsvariablen resultiert (*nicht-erklärte Varianz*). Dieser Gedanke bildet die Grundlage für die Methode der Quadratsummenzerlegung. Wir werden diese im Folgenden zunächst am Beispiel der einfachen linearen Regression mit Ausgleichsgerade betrachten und das Konzept später im Rahmen von einfaktorieller und zweifaktorieller Varianzanalysen wieder aufgreifen. \vfill # Korrelation und Bestimmtheitsmaß \small \begin{definition}[Quadratsummen] \justifying \normalfont Für einen Datensatz $\{(x_1,y_1), ..., (x_n,y_n)\} \subset \mathbb{R}^2$ und seine zugehörige Ausgleichsgerade $f_{\hat{\beta}}$ seien \begin{equation} \bar{y} := \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n y_i \mbox{ und } \hat{y}_i := \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1x_i, \mbox{ für } i= 1,...,n \end{equation} das Stichprobenmittel der $y$-Werte und die durch die Ausgleichsgerade erklärten Werte. Dann sind \center \vspace{3mm} \begin{tabular}{ll} $\mbox{SQT} := \sum_{i = 1}^n (y_i - \bar{y})^2$ & die \textit{totale Quadratsumme} \\ \\ $\mbox{SQE} := \sum_{i = 1}^n (\hat{y}_i - \bar{y})^2$ & die \textit{erklärte Quadratsumme} \\ \\ $\mbox{SQR} := \sum_{i = 1}^n (y_i - \hat{y}_i)^2$ & die \textit{residuelle Quadratsumme} \\ \end{tabular} \end{definition} \footnotesize Bemerkungen * SQT wird auch als *total sum of squares* (TSS) bezeichnet. * SQE wird auch als *explained sum of squares* (ESS) bezeichnet. * SQR wird auch als *residual sum of squares* (RSS) bezeichnet. # Korrelation und Bestimmtheitsmaß \footnotesize \setstretch{1.2} Bemerkungen (fortgeführt) \begin{itemize} \item SQT repräsentiert die Gesamtstreuung der $y_i$-Werte um ihren Mittelwert $\bar{y}$. \item SQE repräsentiert die Streuung der erklärten Werte $\hat{y}_i$ um ihren Mittelwert. \item[] $\Rightarrow$ Große Werte von SQE repräsentieren eine große absolute Steigung der $y_i$ mit den $x_i$. \item[] $\Rightarrow$ Kleine Werte von SQE repräsentieren eine kleine absolute Steigung der $y_i$ mit den $x_i$. \item SQE ist also ein Maß für die Stärke des linearen Zusammenhangs der $x_i$- und $y_i$-Werte. \item SQR ist die Summe der quadrierten Residuen. Es gilt: \begin{equation} \mbox{SQR} := \sum_{i = 1}^n (y_i - \hat{y}_i)^2 = \sum_{i = 1}^n (y_i - f_{\hat{\beta}}(x_i))^2 := \sum_{i=1}^n \hat{\varepsilon}_i^2. \end{equation} \item[] $\Rightarrow$ Große Werte von SQR repräsentieren große Abweichungen der erklärten von den beobachteten $y_i$-Werten. \item[] $\Rightarrow$ Kleine Werte von SQR repräsentieren geringe Abweichungen der erklärten von den beobachteten $y_i$-Werten. \item SQR ist also ein Maß für die Güte der Beschreibung der Datenmenge durch die Ausgleichsgerade. \end{itemize} # Korrelation und Bestimmtheitsmaß \small \begin{theorem}[Quadratsummenzerlegung bei Ausgleichsgerade] \justifying \normalfont Für einen Datensatz $\{(x_1,y_1), ..., (x_n,y_n)\} \subset \mathbb{R}^2$ und seine zugehörige Ausgleichsgerade $f_{\hat{\beta}}$ seien SQT, SQE und SQR die totale, die erklärte und die residuelle Quadratsumme. Dann gilt \begin{equation} \mbox{SQT} = \mbox{SQE} + \mbox{SQR} \end{equation} \end{theorem} \footnotesize Bemerkungen * Die totale Quadratsumme entspricht der Summe aus erklärter Quadratsumme und residueller Quadratsumme. # Korrelation und Bestimmtheitsmaß \footnotesize \setstretch{1} \underline{Beweis} Wir schreiben zunächst die totale Quadratsumme aus: \begin{align} \begin{split} \mbox{SQT} &= \sum_{i=1}^n (y_i - \bar{y})^2 \\ &= \sum_{i=1}^n (y_i - \hat{y}_i + \hat{y}_i - \bar{y})^2 \\ &= \sum_{i=1}^n ((y_i - \hat{y}_i) + (\hat{y}_i - \bar{y}))^2 \\ &= \sum_{i=1}^n \left((y_i - \hat{y}_i)^2 + 2(y_i - \hat{y}_i)(\hat{y}_i - \bar{y}) + (\hat{y}_i - \bar{y})^2\right) \\ &= \sum_{i=1}^n(\hat{y}_i - \bar{y})^2 + 2\sum_{i=1}^n(y_i - \hat{y}_i)(\hat{y}_i - \bar{y}) + \sum_{i=1}^n (y_i - \hat{y}_i)^2\\ &= \mbox{SQE} + 2\sum_{i=1}^n(y_i - \hat{y}_i)(\hat{y}_i - \bar{y}) + \mbox{SQR} \; . \end{split} \end{align} Es verbleibt also zu zeigen, dass der mittlere Term Null ist: \begin{equation} 2\sum_{i=1}^n(y_i - \hat{y}_i)(\hat{y}_i - \bar{y}) = 0 \; . \end{equation} # Korrelation und Bestimmtheitsmaß \footnotesize \underline{Beweis (fortgeführt)} Unter Gebrauch des Ausdrucks $\hat{y}_i = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 x_i$ für die erklärten Werte einer Ausgleichsgerade und nach Einsetzen des Ausgleichsgeradenparameters $\hat{\beta}_0 = \bar{y} - \hat{\beta}_1 \bar{x}$ (siehe Einheit (1) in *Allgemeines Lineares Modell*) ergibt sich dann für diese Summe zunächst: \begin{align} \begin{split} \sum_{i=1}^{n} 2 (y_i - \hat{y}_i) (\hat{y}_i - \bar{y}) &= \sum_{i=1}^{n} 2 (y_i - \hat{\beta}_0 - \hat{\beta}_1 x_i) (\hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 x_i - \bar{y}) \\ &= \sum_{i=1}^{n} 2 (y_i - \bar{y} + \hat{\beta}_1 \bar{x} - \hat{\beta}_1 x_i) (\bar{y} - \hat{\beta}_1 \bar{x} + \hat{\beta}_1 x_i - \bar{y}) \\ &= \sum_{i=1}^{n} 2 \left( (y_i - \bar{y}) - (\hat{\beta}_1 x_i - \hat{\beta}_1 \bar{x}) \right) (\hat{\beta}_1 x_i - \hat{\beta}_1 \bar{x}) \\ &= 2 \sum_{i=1}^{n} \left( (y_i - \bar{y}) - \hat{\beta}_1 (x_i - \bar{x}) \right) \hat{\beta}_1 (x_i - \bar{x}) \\ &= 2 \sum_{i=1}^{n} \left( (y_i - \hat{y}_i) \hat{\beta}_1 (x_i - \bar{x}) - \hat{\beta}_1 (x_i - \bar{x}) \hat{\beta}_1 (x_i - \bar{x}) \right) \\ &= 2 \left( \hat{\beta}_1 \sum_{i=1}^{n} (y_i - \hat{y}_i) (x_i - \bar{x}) - \hat{\beta}_1^2 \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x}) (x_i - \bar{x}) \right) \; . \end{split} \end{align} # Korrelation und Bestimmtheitsmaß \footnotesize \underline{Beweis (fortgeführt)} Hierin erkennen wir nun Vielfache der Stichprobenkovarianz $c_{xy}$ und der Stichprobenvarianz $s_x^2$: \begin{align} \begin{split} \sum_{i=1}^{n} 2 (y_i - \hat{y}_i) (\hat{y}_i - \bar{y}) &= 2 \left( \hat{\beta}_1 (n-1) c_{xy} - \hat{\beta}_1^2 (n-1) s_x^2 \right) \\ &= 2 (n-1) \left( \hat{\beta}_1 c_{xy} - \hat{\beta}_1^2 s_x^2 \right) \; . \end{split} \end{align} Einsetzen des Ausgleichsgeradenparameters $\hat{\beta}_1 = c_{xy} / s_x^2$ ergibt schließlich: \begin{align} \begin{split} \sum_{i=1}^{n} 2 (y_i - \hat{y}_i) (\hat{y}_i - \bar{y}) &= 2 (n-1) \left( \left( \frac{c_{xy}}{s_x^2} \right) c_{xy} - \left( \frac{c_{xy}}{s_x^2} \right)^2 s_x^2 \right) \\ &= 2 (n-1) \left( \frac{c_{xy}^2}{s_x^2} - \frac{c_{xy}^2}{s_x^2} \right) \\ &= 2 (n-1) \cdot 0 \\ &= 0 \; . \end{split} \end{align} $\hfill\Box$ # Korrelation und Bestimmtheitsmaß \small \begin{definition}[Bestimmtheitsmaß $\mbox{R}^2$] \justifying Für einen Datensatz $\{(x_1,y_1), ..., (x_n,y_n)\} \subset \mathbb{R}^2$ und seine zugehörige Ausgleichsgerade $f_{\hat{\beta}}$ sowie die zugehörige erklärte Quadratsumme $\mbox{SQE}$ und totale Quadratsumme $\mbox{SQT}$ heißt \begin{equation} \mbox{R}^2 := \frac{\mbox{SQE}}{\mbox{SQT}} \end{equation} \textit{Bestimmtheitsmaß} oder \textit{Determinationskoeffizient}. \end{definition} \footnotesize Bemerkungen \begin{itemize} \item Es gilt $\mbox{R}^2 = 0$ genau dann, wenn $\mbox{SQE} = 0$ ist. \item[] $\Rightarrow$ Für $\mbox{R}^2 = 0$ ist die erklärte Streuung der Daten durch die Ausgleichsgerade gleich null. \item[] $\Rightarrow$ $\mbox{R}^2 = 0$ beschreibt also den Fall der schlechtestmöglichen Erklärung der Daten durch die Ausgleichsgerade. \item Es gilt $\mbox{R}^2 = 1$ genau dann, wenn $\mbox{SQE} = \mbox{SQT}$ ist. \item[] $\Rightarrow$ Für $\mbox{R}^2 = 1$ ist also die Gesamtstreuung gleich der durch die Ausgleichsgerade erklärten Streuung. \item[] $\Rightarrow$ $\mbox{R}^2 = 1$ beschreibt also den Fall, dass sämtliche Datenvariabilität durch die Ausgleichsgerade erklärt wird. \item Man sagt, dass $\mbox{R}^2$ ``der Anteil der durch die Ausgleichsgerade erklärten Varianz an der gesamten Varianz der beobachteten Daten'' ist. \end{itemize} # Korrelation und Bestimmtheitsmaß \small \begin{theorem}[Bestimmtheitsmaß und residuelle Quadratsumme] \justifying \normalfont Für einen Datensatz $\{(x_1,y_1), ..., (x_n,y_n)\} \subset \mathbb{R}^2$ seien $\mbox{R}^2$ das Bestimmtheitsmaß sowie $\mbox{SQR}$ und $\mbox{SQT}$ die residuelle bzw. totale Quadratsumme. Dann lässt sich $\mbox{R}^2$ alternativ ausdrücken als \begin{equation} \mbox{R}^2 = 1 - \frac{\mbox{SQR}}{\mbox{SQT}} \; . \end{equation} \end{theorem} \footnotesize Bemerkungen \vspace{-1mm} * Es gilt $\mbox{R}^2 = 0$ genau dann, wenn $\mbox{SQR} = \mbox{SQT}$ ist. * Es gilt $\mbox{R}^2 = 1$ genau dann, wenn $\mbox{SQR} = 0$ ist. \vspace{1mm} \underline{Beweis} Mit der Definition von $\mbox{R}^2$ und dem Theorem zur Quadratsummenzerlegung bei Ausgleichsgerade gilt \begin{equation} \mbox{R}^2 := \frac{\mbox{SQE}}{\mbox{SQT}} = \frac{\mbox{SQT}-\mbox{SQR}}{\mbox{SQT}} = \frac{\mbox{SQT}}{\mbox{SQT}} - \frac{\mbox{SQR}}{\mbox{SQT}} = 1 - \frac{\mbox{SQR}}{\mbox{SQT}} \; . \end{equation} # Korrelation und Bestimmtheitsmaß \small \begin{theorem}[Stichprobenkorrelation und Bestimmtheitsmaß] \justifying \normalfont Für einen Datensatz $\{(x_1,y_1), ..., (x_n,y_n)\} \subset \mathbb{R}^2$ sei $\mbox{R}^2$ das Bestimmtheitsmaß und $r_{xy}$ sei die Stichprobenkorrelation. Dann gilt \begin{equation} \mbox{R}^2 = r_{xy}^2. \end{equation} \end{theorem} \footnotesize Bemerkungen * Bei zwei Variablen entspricht das Bestimmtheitsmaß dem Quadrat der Stichprobenkorrelation. * Mit $-1 \le r_{xy} \le 1$ folgt aus dem Theorem direkt, dass $0 \le \mbox{R}^2 \le 1$. # Korrelation und Bestimmheitsmaß \vspace{2mm} \footnotesize \underline{Beweis} Wir halten zunächst fest, dass mit \begin{equation} \bar{\hat{y}} := \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \hat{y}_i = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(\hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1x_i) = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1\bar{x} = \bar{y} - \hat{\beta}_1\bar{x} + \hat{\beta}_1\bar{x} = \bar{y} \end{equation} folgt, dass \begin{align} \begin{split} \mbox{SQE} & = \sum_{i=1}^n (\hat{y}_i - \bar{y})^2 \\ & = \sum_{i=1}^n (\hat{y}_i - \bar{\hat{y}})^2 \\ & = \sum_{i=1}^n (\hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1x_i - \hat{\beta}_0 - \hat{\beta}_1 \bar{x})^2 \\ & = \sum_{i=1}^n (\hat{\beta}_1(x_i - \bar{x}))^2 \\ & = \hat{\beta}_1^2\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2 \; . \end{split} \end{align} # Korrelation und Bestimmheitsmaß \vspace{2mm} \footnotesize \underline{Beweis (fortgeführt)} Damit ergibt sich dann \begin{align} \begin{split} \mbox{R}^2 & = \frac{\mbox{SQE}}{\mbox{SQT}} \\ & = \frac{\sum_{i=1}^n (\hat{y}_i - \bar{y})^2}{\sum_{i = 1}^n (y_i - \bar{y})^2} \\ & = \hat{\beta}_1^2\frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2}{\sum_{i = 1}^n (y_i - \bar{y})^2} \\ & = \frac{c_{xy}^2}{s_x^4} \frac{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2}{\frac{1}{n-1}\sum_{i = 1}^n (y_i - \bar{y})^2} \\ & = \frac{c_{xy}^2}{s_x^4} \frac{s_x^2}{s_y^2} \\ & = \frac{c_{xy}^2}{s_x^2s_y^2} \\ & = \left(\frac{c_{xy}}{s_xs_y}\right)^2 \\ & = r_{xy}^2 \; . \end{split} \end{align} $\hfill\Box$ # Korrelation und Bestimmheitsmaß \vspace{2mm} Beispiele \vspace{-2mm} ```{r, eval = F, echo = F} library(MASS) graphics.off() dev.new() par( family = "sans", mfcol = c(3,3), pty = "s", bty = "l", lwd = 1, las = 1, mgp = c(2,1,0), xaxs = "i", yaxs = "i", font.main = 1, cex = 1, cex.main = 1.2) # Modellformulierung n = 30 # Anzahl an Stichprobenvektoren mu = c(0,0) # Erwartungswertparameter sigma_1 = 1 # \sigma_1 sigma_2 = 1 # \sigma_2 rho_12 = c( 0.8, 0.2, -0.4, # \rho_12 0.6, 0.0, -0.6, 0.4,-0.2, -0.8) # Datenrealisierung, Datenanalyse und Visualisierung set.seed(1) for(rho in rho_12){ # Datenrealisierung Sigma = matrix(c(sigma_1^2, rho*sigma_1*sigma_2, rho*sigma_1*sigma_2, sigma_2^2), nrow = 2) xy = mvrnorm(n, mu, Sigma) x = xy[,1] y = xy[,2] # Ausgleichsgeradenparameter x_bar = mean(x) # Stichprobenmittel der x_i-Werte y_bar = mean(y) # Stichprobenmittel der y_i-Werte s2x = var(x) # Stichprobenvarianz der x_i-Werte cxy = cov(x,y) # Stichprobenkovarianz der (x_i,y_i)-Werte beta_1_hat = cxy/s2x # \hat{\beta}_1, Steigungsparameter beta_0_hat = y_bar - beta_1_hat*x_bar # \hat{\beta}_0, Offset Parameter # Visualisierung plot(xy, pch = 21, col = "white", bg = "black", xlab = TeX("$x$"), ylab = TeX("$y"), xlim = c(-3,3), ylim = c(-3,3), main = TeX(sprintf("$r_{xy}$ = %.2f, $R^2$ = %.2f", cor(x,y),cor(x,y)^2))) abline( coef = c(beta_0_hat, beta_1_hat), lty = 1, col = "black") } # Speichern dev.copy2pdf( file = "Abbildungen/r2beispiele.pdf", width = 11, height = 11) ``` ```{r, echo = F, out.width = "70%"} knitr::include_graphics("Abbildungen/r2beispiele.pdf") ``` # \setstretch{3} \vfill \large Grundbegriffe der Korrelation Korrelation und Bestimmtheitsmaß **Anwendung/Praxis** Selbstkontrollfragen \vfill # Anwendung/Praxis Funktionale Abhängigkeiten und Stichprobenkorrelation ```{r, eval = F, echo = F} library(MASS) graphics.off() dev.new() par( family = "sans", mfcol = c(1,3), pty = "s", bty = "l", lwd = 1, las = 1, mgp = c(2,1,0), xaxs = "i", yaxs = "i", font.main = 1, cex = 1.1, cex.main = 1.2, xpd = TRUE) # Modellformulierung und Datenrealisierungen set.seed(1) n = 40 x = seq(-pi,pi,len = n) eps = rnorm(n) y_all = list(x + eps, x^2 + eps, 8*cos(2*x) + eps) # Visualisierung for(y in y_all){ plot(x, y, pch = 21, bg = "black", col = "white", xlim = c(-3.5,3.5), main = TeX(sprintf("$r_{xy}$ = %.2f", cor(x,y)))) } # Speichern dev.copy2pdf( file = "Abbildungen/rlinearitaet.pdf", width = 11, height = 4) ``` ```{r, echo = F, out.width = "100%"} knitr::include_graphics("Abbildungen/rlinearitaet.pdf") ``` \vspace{-5mm} $\,$ \hspace{1.1cm} $y_i = x_i + \varepsilon_i$ \hspace{1.8cm} $y_i = x_i^2 + \varepsilon_i$ \hspace{1.4cm} $y_i = 8 \cos(2x_i) + \varepsilon_i$ \vspace{1mm} \center $\quad \quad \! \varepsilon_i \sim N(0,1)$ # Anwendung/Praxis \footnotesize \begin{theorem}[Stichprobenkorrelation bei linear-affinen Transformationen] \justifying \normalfont Für einen Datensatz $\{(x_i,y_i)\}_{i = 1,...n} \subset \mathbb{R}^2$ sei $\{(\tilde{x}_i,\tilde{y}_i)\}_{i = 1,...n} \subset \mathbb{R}^2$ eine linear-affin transformierte Wertemenge mit \begin{equation} (\tilde{x}_i, \tilde{y}_i) = (a_x x_i + b_x, a_y y_i + b_y), a_x,a_y \neq 0. \end{equation} Dann gilt \begin{equation} |r_{\tilde{x}\tilde{y}}| = |r_{xy}|. \end{equation} \end{theorem} Bemerkungen * Der Betrag der Stichprobenkorrelation ändert sich bei linear-affiner Datentransformation nicht. * Man sagt, dass die Stichprobenkorrelation im Gegensatz zur Stichprobenkovarianz \textit{maßstabsunabhängig} ist. # Anwendung/Praxis \footnotesize \vspace{1mm} \underline{Beweis} Es gilt \tiny \begin{align} \begin{split} r_{\tilde{x}\tilde{y}} &:= \frac{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (\tilde{x}_i - \bar{\tilde{x}})(\tilde{y}_i - \bar{\tilde{y}})} {\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n \left(\tilde{x}_i - \bar{\tilde{x}}\right)^2} \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n \left(\tilde{y}_i - \bar{\tilde{y}}\right)^2}} \\ & = \frac{\sum_{i=1}^n (a_x x_i + b_x - (a_x\bar{x} + b_x))(a_y y_i + b_y - (a_y \bar{y} + b_y))} {\sqrt{\sum_{i=1}^n (a_x x_i + b_x - (a_x \bar{x} + b_x))^2}\sqrt{\sum_{i=1}^n (a_y y_i + b_y - (a_y \bar{y} + b_y))^2}} \\ & = \frac{a_x a_y\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})} {\sqrt{a_x^2\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2}\sqrt{a_y^2\sum_{i=1}^n (y_i - \bar{y})^2}} \\ & = \frac{a_x a_y}{|a_x||a_y|} \frac{\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})} {\sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2}\sqrt{\sum_{i=1}^n (y_i - \bar{y})^2}} \\ & = \frac{a_x a_y}{|a_x||a_y|}\frac{c_{xy}}{s_x s_y} \\ & = \frac{a_x a_y}{|a_x||a_y|}r_{xy}. \end{split} \end{align} \footnotesize Nach Durchspielen aller möglichen Vorzeichenfälle ergibt sich: \begin{equation} |r_{\tilde{x}\tilde{y}}| = |r_{xy}|. \end{equation} $\hfill\Box$ # Anwendung/Praxis Beispiel: Körpergröße und Körpergewicht in unterschiedlichen Einheiten ($n = 100$) \vspace{-4mm} \begin{equation} y_i = -100 + 1 \, x_i + \varepsilon_{i} \quad \mbox{ mit } \quad \varepsilon_i \sim N(0,12^2) \quad \mbox{ für } \quad i = 1,\ldots,n \end{equation} \vspace{-6mm} \begin{equation} \tilde{x}_i = (x_i - 150) / 100 \quad \mbox{ und } \quad \tilde{y}_i = (y_i - 70) \cdot 1000 \quad \mbox{ für } \quad i = 1,\ldots,n \end{equation} ```{r, echo = F, eval = F} library(latex2exp) # Simulation: unabhängige Variable library(MASS) # multivariate Normalverteilungen set.seed(0) # reproduzierbare Ergebnisse n = 100 # Anzahl Datenpunkte mu_x = 170 # Erwartungswert Größe sigma_x = 10 # Standardabweichung Größe x = rnorm(n, mu_x, sigma_x) # unabhängige Variable # Simulation: abhängige Variable beta_0 =-100 # Offset-Parameter Größe -> Gewicht beta_1 = 1 # Steigungsparameter Größe -> Gewicht sigma = 12 # Standardabweichung Gewicht X = matrix(c(rep(1,n), x), ncol = 2) # Designmatrix beta = matrix(c(beta_0, beta_1), ncol = 1) # Regressionskoeffizienten mu = X %*% beta # Erwartungswert Gewicht Sigma = sigma^2 * diag(n) # Kovarianzmatrixparameter y = as.matrix(mvrnorm(1, mu, Sigma)) # Daten generieren # Szenarien vorbereiten nscn = 2 # Anzahl Szenarien x_i = list() # unabhängige Variable y_i = list() # abhängige Variable x_lab = list() # x-Achsen-Label y_lab = list() # y-Achsen-Label x_rng = matrix(rep(0,nscn*2), ncol = 2) # Minimum/Maximum Größe y_rng = matrix(rep(0,nscn*2), ncol = 2) # Minimum/Maximum Gewicht r_xy = matrix(rep(0,nscn), nrow = 1) # Stichprobenkorrelation # Iteration über Szenarien for (k in 1:nscn) { # unabhängige und abhängige Variable if (k==1 ) { x_i[[k]] = x } else { x_i[[k]] = (x-150)/100 } if (k==1 ) { y_i[[k]] = y } else { y_i[[k]] = (y-70)*1000 } # if (k==1 ) { y_i[[k]] = y } else { y_i[[k]] = (y-70)/0.454 } # unabhängige und abhängige Labels if (k==1 ) { x_lab[[k]] = "Körpergröße [cm]" y_lab[[k]] = "Körpergewicht [kg]" } else { x_lab[[k]] = "Körpergröße [m], relativ zu 150 cm" y_lab[[k]] = "Körpergewicht [g], relativ zu 70 kg" } # Minimum/Maximum Größe und Gewicht x_rng[k,] = matrix(c(min(x_i[[k]]), max(x_i[[k]])), ncol = 2) y_rng[k,] = matrix(c(min(y_i[[k]]), max(y_i[[k]])), ncol = 2) # Stichprobenkorrelationsschätzung x_bar = (1/n)*sum(x_i[[k]]) y_bar = (1/n)*sum(y_i[[k]]) s_x = sqrt(1/(n-1)*sum((x_i[[k]] - x_bar)^2)) s_y = sqrt(1/(n-1)*sum((y_i[[k]] - y_bar)^2)) c_xy = 1/(n-1) * sum((x_i[[k]] - x_bar) * (y_i[[k]] - y_bar)) r_xy[k] = c_xy/(s_x * s_y) } # Abbildungsparameter graphics.off() dev.new() par( family = "sans", mfrow = c(1,2), mar = c(4,4,2,2), pty = "s", bty = "l", lwd = 1, las = 1, mgp = c(2.5,1,0), xaxs = "i", yaxs = "i", font.main = 1, cex = 1, cex.lab = 0.8, cex.axis = 0.6, cex.main = 1) # Iteration über Subplots for (k in 1:nscn) { # Datenwerte plot(x_i[[k]], y_i[[k]], pch = 16, xlim = c(x_rng[k,1]-(1/10)*(x_rng[k,2]-x_rng[k,1]), x_rng[k,2]+(1/10)*(x_rng[k,2]-x_rng[k,1])), ylim = c(y_rng[k,1]-(1/10)*(y_rng[k,2]-y_rng[k,1]), y_rng[k,2]+(1/10)*(y_rng[k,2]-y_rng[k,1])), xlab = x_lab[[k]], ylab = y_lab[[k]], main = TeX(sprintf("$r_{xy}$ = %0.2f", r_xy[k]))) } # Speicherung dev.copy2pdf( file = "Abbildungen/beispiel_groesse_gewicht.pdf", width = 7, height = 3.5) ``` ```{r, echo = F, out.width = "90%"} knitr::include_graphics("Abbildungen/beispiel_groesse_gewicht.pdf") ``` \vspace{-2mm} \center $\bullet \; (x_i, y_i), \; (\tilde{x}_i, \tilde{y}_i)$ # Anwendung/Praxis Sensitivität der Stichprobenkorrelation gegenüber Ausreißern \center \small \vspace{2mm} Beispiel: Klausurzeit und Punktzahl, ALM-Klausur, SoSe 2024 ($n = 56$) \vspace{2mm} ```{r, echo = F, eval = F} # load libraries library(pracma) library(openxlsx) library(latex2exp) # load results filename = 'Daten/Klausur_Ergebnisse.csv' D = read.table(filename, sep = ",", header = TRUE) D = D[1:(nrow(D)-1),] # remove last row D = D[,c(1:3,7,9:ncol(D))] # keep columns of interest D = D[order(D$Nachname),] # sort alphabetically by last name # prepare results n = nrow(D) q = ncol(D)-4 points = matrix(NA, nrow=n, ncol=q) results = data.frame(Name =rep('',n), Punkte=rep(NA,n), Note =rep(NA,n), Zeit =rep(NA,n)) # define grading points2grade = c(rep(5.0, 15), 4.0, # 0-14, 15 4.0, 3.7, 3.3, 3.3, 3.0, # 16, 17, 18, 19, 20 2.7, 2.7, 2.3, 2.0, 2.0, # 21, 22, 23, 24, 25 1.7, 1.3, 1.3, 1.0, 1.0) # 26, 27, 28, 29, 30 grades = rev(unique(points2grade)) grades_str = c('1,0', '1,3', '1,7', '2,0', '2,3', '2,7', '3,0', '3,3', '3,7', '4,0', '5,0') # analyze data for (i in 1:n) { results$Name[i] = sprintf('%s, %s', D$Nachname[i], D$Vorname[i]) for (j in 1:q) { if (D[i,4+j] == '1,0') { points[i,j] = 1 } else { points[i,j] = 0 } } results$Punkte[i] = sum(points[i,]) results$Note[i] = points2grade[results$Punkte[i]+1] time_str = D$Verbrauchte.Zeit[i] if (time_str == '1 Stunde') { minutes = 60 seconds = 0 } else { minutes = as.numeric(substr(time_str, 1, strfind(time_str, ' Minuten'))) if (is.null(strfind(time_str, 'Sekunden'))) { seconds = 0 } else { seconds = as.numeric(substr(time_str, strfind(time_str, 'Minuten')+7, strfind(time_str, ' Sekunden'))) } } results$Zeit[i] = minutes + (seconds/60) } # evaluate results num_succ = sum(results$Note<5) num_fail = sum(results$Note>4) num_zero = sum(results$Punkte==0) # calculate correlation x = results$Zeit y = results$Punkte r = cor(x,y) p = cor.test(x,y)$p.value X = matrix(c(rep(1,n), x), ncol = 2) b_hat = solve(t(X) %*% X) %*% t(X) %*% y x0 = results$Zeit[results$Punkte!=0] y0 = results$Punkte[results$Punkte!=0] r0 = cor(x0,y0) p0 = cor.test(x0,y0)$p.value X0 = matrix(c(rep(1,length(x0)), x0), ncol = 2) b0_hat = solve(t(X0) %*% X0) %*% t(X0) %*% y0 # plot points against time graphics.off() dev.new() par( family = "sans", pty = "m", bty = "l", lwd = 1, las = 1, xaxs = "i", yaxs = "i", font.main = 1, cex = 2, cex.main = 1) plot(x, y, pch = 16, xlab = "Zeit [min]", ylab = "Punkte", ylim = c(0-1, q+1), xlim = c(0-1, max(results$Zeit)+1), cex = 1, main = TeX(sprintf('r = %.2f, p = %.2f (inkl. 0 Punkte); r = %.2f, p = %.2f (exkl. 0 Punkte)', r, p, r0, p0))) abline( coef = c(b_hat[1], b_hat[2]), lty = 1, lwd = 2, col = "gray75") abline( coef = c(b0_hat[1], b0_hat[2]), lty = 1, lwd = 2, col = "gray50") legend("bottomleft", c("Klausurergebnisse", "Regressionsgerade (inkl. 0 Punkte)", "Regressionsgerade (exkl. 0 Punkte)"), lty = c(0, 1, 1), lwd = c(0, 2, 2), pch = c(16, NA, NA), col = c("black", "gray75", "gray50"), bty = "n", y.intersp = 1.5) dev.copy2pdf( file = 'Abbildungen/beispiel_zeit_punkte.pdf', width = 16, height = 9) ``` ```{r, echo = F, out.width = "100%"} knitr::include_graphics("Abbildungen/beispiel_zeit_punkte.pdf") ``` # \setstretch{3} \vfill \large Grundbegriffe der Korrelation Korrelation und Bestimmtheitsmaß Anwendung/Praxis **Selbstkontrollfragen** \vfill # Selbstkontrollfragen \setstretch{1.8} \footnotesize 1. Geben Sie die Definition der Korrelation zweier Zufallsvariablen wieder. 1. Geben Sie die Definitionen von Stichprobenmittel, -standardabweichung, -kovarianz und -korrelation wieder. 1. Erläutern Sie anhand der Mechanik der Kovariationsterme, wann eine Stichprobenkorrelation einen hohen absoluten Wert annimmt, einen hohen positiven Wert annimmt, einen hohen negativen Wert annimmt und einen niedrigen Wert annimmt. 1. Geben Sie das Theorem zum Zusammenhang von Korrelation und linear-affiner Abhängigkeit wieder. 1. Geben Sie die Definitionen von erklärten Werten und Residuen einer Ausgleichsgerade wieder. 1. Geben Sie das Theorem zur Quadratsummenzerlegung bei einer Ausgleichsgerade wieder. 1. Erläutern Sie die intuitiven Bedeutungen von $\mbox{SQT}, \mbox{SQE}$ und $\mbox{SQR}$. 1. Geben Sie die Definition des Bestimmtheitsmaßes $\mbox{R}^2$ wieder. 1. Geben Sie das Theorem zum Zusammenhang von $\mbox{R}^2$ und residueller Quadratsumme wieder. 1. Geben Sie das Theorem zum Zusammenhang von $\mbox{R}^2$ und Stichprobenkorrelation wieder. 1. Erläutern Sie die Bedeutung von hohen und niedrigen Werten von $\mbox{R}^2$ im Lichte der Ausgleichsgerade. 1. Geben Sie das Theorem zur Stichprobenkorrelation bei linear-affinen Transformationen wieder. 1. Erläutern Sie das Theorem zur Stichprobenkorrelation bei linear-affinen Transformationen am Beispiel.