--- title: "Zweistichproben-T-Test" author: "Übungsaufgabe zu Analyse und Dokumentation SoSe 2024" bibliography: 4-Referenzen.bib lang: de format: pdf: include-in-header: text: | \usepackage[font=small,format=plain,labelfont=bf, labelsep=period,justification=justified,singlelinecheck=false]{caption} --- Grundlage dieser Übung ist die Studie von @wagner2014. Ziel ist es, mithilfe eines Zweistichproben-T-Tests zu quantifizieren, inwieweit sich die Veränderung der Depressionssymptomatik im Verlaufe einer Psychotherapie reliabel zwischen einer *Online Studiengruppe* ($n = 25$) und einer *Face-To-Face Studiengruppe* ($n = 28$) unterscheidet. Zum Zwecke dieser Übung fokussieren wir auf den *Beck Depression Inventory (BDI)* Wert als Ergebnismaß der Studie von @wagner2014. ### Datensatz {-} Der Datensatz `4-Zweistichproben-T-Test.csv` enthält als Spalten simulierte BDI Werte zu den Erhebungszeitpunkten *Pre* und *Post* der psychotherapeutischen *Online* und *Face-to-Face* Intervention. @tbl-bdi zeigt exemplarisch die Daten von fünf Patient:innen jeder Studiengruppe. ```{r, echo = F, eval = T} #| label: Datensimulation library(MASS) # Multivariate Normalverteilung set.seed(2) # Ergebnisreproduzierbarkeit n_1 <- 25 # Anzahl Patient:innen Online Gruppe n_2 <- 28 # Anzahl Patient:innen Face-to-Face Gruppe n <- n_1 + n_2 # Gesamtzahl Datenpunkte pro Messpunkt n_m <- 2 # Anzahl Messzeitpunkte Pre und Post betas <- matrix(c(22,23, 12, 12), nrow = 2) # Erwartungswertparameter Online/Face-to-Face und Pre/Post sigsqr <- 8 # VarianzparameterOnline/Face-to-Face und Pre/Post Y <- matrix(rep(NaN,n*2), nrow = n) # Datensatzarrayinitialisierung X <- matrix(c(rep(1,n_1), rep(0,n_2), # Zweistichproben-T-Test Designmatrix rep(0,n_1), rep(1,n_2)), nrow = n) for(i in 1:n_m){ # Pre-Post Iteration Y[,i] <- mvrnorm(1, X %*% betas[,i], sigsqr*diag(n)) # Datenrealisierung } Y <- round(Y) # diskrete BDI Werte Y[Y < 0] <- 0 # natürliche BDI Werte D <- data.frame(Condition = c(rep("Online" , n_1), rep("Face-to-Face", n_2)), Pre = Y[,1], # Pre BDI Werte Post = Y[,2]) # Post BDI Werte fname <- file.path("4-Zweistichproben-T-Test.csv") # Dateiname write.csv(D, file = fname, row.names = FALSE) # Speichern ``` ```{r echo = F, eval = T, warning = F} #| label: tbl-bdi #| tbl-cap : "Exemplarische Pre- und Post-Intervention BDI Werte der Studiengruppen." library(knitr) # knitr für Tabellen fname <- "4-Zweistichproben-T-Test.csv" # Dateiname D <- read.table(file.path(fname), sep = ",", header = TRUE) # Laden des Datensatzes kable(head(D[c(1:5,31:35),], n = 10L), digits = 2, align = "c") # Markdowntabellenoutput für head(D) ``` \newpage ## Programmieraufgaben {-} \noindent 1. Bestimmen Sie die Differenzen der Pre und Post BDI Werte für beide Studiengruppen. Führen Sie dann basierend auf diesen Differenzwerten einen zweiseitigen Zweistichproben-T-Test mit Nullhypothesenparameter $\mu_0 = 0$ durch. Bestimmen sie dabei insbesondere die Beta- und Varianzparameterschätzer des Zweistichproben-T-Testmodells, den Wert der Zweistichproben-T-Teststsatitik, sowie den korrespondierenden p-Wert. Geben Sie weiterhin das 95\%-Konfidenzintervall für den Erwartungswert der Pre-Post-Testdifferenzen an. Bestimmen Sie schließlich unter der Annahme, dass die Werte der Erwartungswert- und Varianzparameterschätzer den wahren, aber unbekannten, Parametern gleichen, die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Zweistichproben-T-Test bei den Stichprobengröße von $n_1 = 25$ und $n_2 = 29$ und einem kritischen Wert, der einem Signifikanzlevel von $\alpha_0 := 0.05$ entspricht, den Wert 1 annimmt. Diese geschätzte Wahrscheinlichkeit wird manchmal als *Post-hoc power* bezeichnet. Sie sollten folgende Ergebnisse erhalten: \footnotesize ```{r echo = F, eval = T} #| label: t-Test (Theorem) # Datenanalyse fname <- "4-Zweistichproben-T-Test.csv" # Dateiname D <- read.table(file.path(fname), sep = ",", header = TRUE) # Laden des Datensatzes n_1 <- 25 # Anzahl Patient:innen Online Gruppe n_2 <- 28 # Anzahl Patient:innen Face-to-Face Gruppe n <- n_1 + n_2 # Gesamtzahl Datenpunkte pro Messpunkt y <- D$Post - D$Pre # Post-Pre Differenzwerte p <- 2 # Anzahl Betaparameter c <- matrix(c(1,-1), nrow = 2) # Kontrastgewichtsvektor delta <- 0.95 # Konfidenzlevel mu_0 <- 0 # Nullhypothesenparameter alpha_0 <- 0.05 # Signifikanzlevel X <- matrix(c(rep(1,n_1),rep(0,n_2),rep(0,n_1),rep(1,n_2)),nrow=n) # Zweistichproben-T-Test Designmatrix beta_hat <- solve(t(X)%*%X)%*%t(X)%*%y # Betaparameterschätzer eps_hat <- y - X %*% beta_hat # Residuenvektor sigsqr_hat <- (t(eps_hat) %*% eps_hat)/(n-p) # Varianzparameterschätzer t_delta <- qt((1+delta)/2,n-2) # Psi^{-1}((1+delta)/2,n-2) lambda <- diag(solve(t(X) %*% X)) # \lambda_j Werte kappa <- matrix(rep(NaN, p*2), nrow = p) # Konfidenzintervallarray for(j in 1:p){ # \beta_j Iteration kappa[j,1] <- beta_hat[j]-sqrt(sigsqr_hat*lambda[j])*t_delta # untere Konfidenzintervallgrenze kappa[j,2] <- beta_hat[j]+sqrt(sigsqr_hat*lambda[j])*t_delta # obere Konfidenzintervallgrenze } t_num <- t(c) %*% beta_hat - mu_0 # Zähler der Zweistichproben-T-Teststatistik t_den <- sqrt(sigsqr_hat %*% t(c) %*% solve(t(X) %*% X) %*% c) # Nenner der Zweistichproben-T-Teststatistik t <- t_num/t_den # Wert der Zweistichproben-T-Teststatistik pval <- 2*(1 - pt(abs(t), n-2)) # p-Wert bei zweiseitigem Zweistichproben-T-Test k_alpha_0 <- qt(1-alpha_0/2, n-2) # kritischer Wert p_delta_hat <- 1-pt(k_alpha_0, n-2, t)+pt(-k_alpha_0, n-2, t) # "Post-hoc power" # Ausgabe cat(" Betaparameterschätzer : ", beta_hat, "\n 95%-Konfidenzintervall beta_1 : ", kappa[1,], "\n 95%-Konfidenzintervall beta_2 : ", kappa[2,], "\n Varianzparameterschätzer : ", sigsqr_hat, "\n Zweistichproben-T-Teststatistik : ", t, "\n p-Wert : ", pval, "\n Post-hoc power : ", p_delta_hat) ``` \normalsize \noindent 2. Visualisieren Sie die entsprechenden Gruppenmittelwerte als Linienplots mit Fehlerbalken analog zu Figure 2 in @wagner2014. Visualisieren außerdem die Post-Pre-Differenz Werte als gruppenspezifische *Violinplots* mithilfe des *R* Pakets `vioplot`. Die Abbildung sollte in etwa aussehen wie @fig-abbildung. ```{r echo = F, eval = F} #| label: Visualisierung (low-level) # Datenanalysevisualisierung # install.packages("vioplot") library(latex2exp) library(vioplot) fname <- "4-Zweistichproben-T-Test.csv" D <- read.table(file.path(fname), sep = ",", header = TRUE) D$Diff = -(D$Post - D$Pre) pdf( file = file.path("4-Zweistichproben-T-Test-Abbildung.pdf"), width = 8, height = 4) par( family = "sans", mfcol = c(1,2), pty = "s", bty = "l", lwd = 1, las = 1, mgp = c(2,1,0), xaxs = "i", yaxs = "i", font.main = 1, cex = .8) # Post-Pre Differenz Lineplot x = 1:2 groupmeans = matrix(c(mean(D$Pre[D$Condition == "Face-to-Face"]), mean(D$Post[D$Condition == "Face-to-Face"]), mean(D$Pre[D$Condition == "Online" ]), mean(D$Post[D$Condition == "Online" ])),nrow = 2) groupstds = matrix(c(sd(D$Pre[D$Condition == "Face-to-Face"]), sd(D$Post[D$Condition == "Face-to-Face"]), sd(D$Pre[D$Condition == "Online" ]), sd(D$Post[D$Condition == "Online" ])),nrow = 2) cols = c("gray30", "gray70") lwds = c(3,1) matplot( x, groupmeans, type = "b", pch = 21, lty = 1, col = cols, lwd = lwds, xlab = "", ylab = "BDI", xaxt = "n", xlim = c(0.5,2.5), ylim = c(5,30)) for(i in 1:2){ arrows( x0 = x, y0 = groupmeans[,i] - groupstds[,i], x1 = x, y1 = groupmeans[,i] + groupstds[,i], col = cols[[i]], lwd = lwds[[i]], code = 3, angle = 90, length = 0.05) } legend( "bottomleft", c("Face-to-Face", "Online"), lty = 1, col = c("gray30", "gray90"), lwd = lwds, bty = "n", cex = 1, x.intersp = .3, seg.len = 0.6 ) text(1,1.7, "Pretest" , xpd = T, cex = 1.1) text(2,1.7, "Posttest", xpd = T, cex = 1.1) # Post-Pre Differenzwert Violinplot vioplot( D$Diff ~ D$Condition, D, col = "gray80", rectCol = "black", lineCol = "white", colMed = "gray80", border = "black", pchMed = 16, plotCentre = "points", ylab = "BDI Differenzwerte", ylim = c(0,30), xlab = "" ) stripchart( D$Post ~ D$Condition, D, method = "jitter", xaxt = "n", vertical = TRUE, pch = 21, bg = "Black", col = "gray80", add = TRUE ) dev.off() ``` ![Post-Pre BDI Differenz Gruppenanalyse.](4-Zweistichproben-T-Test-Abbildung.pdf){#fig-abbildung fig-align="center" width=70%} \noindent 3. Zeigen Sie in einer kurzen R-Übung wie Sie mit einer \href{https://style.tidyverse.org/pipes.html#pipes}{tydiverse Pipe} die Post-Pre-Differenz der BDI-Werte berechnen und diese direkt als neue Spalte in das Dataframe integrieren können. Konsultieren Sie hierfür auch die Einführung zu Data transformation in \href{https://r4ds.hadley.nz/data-transform#sec-the-pipe}{R for Data Science}. Zeigen Sie weiterhin, wie Sie die Post-Pre Differenz BDI Werte als *Violinplot* mithilfe des **R** Pakets `ggplot2` visualisieren können. ```{r echo = F, eval = F} #| label: tidyverse style library(tidyverse) # Für Pipe (%>%), mutate(), filter() library(ggplot2) # Für ggplot() library(httpgd) # Für hgd() und hgd_browse() # Daten vorbereiten fname <- "6_Übungen/4_Zweistichproben-T-Test/4-Zweistichproben-T-Test.csv" # Dateiname fname <- "4-Zweistichproben-T-Test.csv" # Dateiname D <- read.table(fname, sep = ",", header = TRUE) # Laden des Datensatzes D_processed <- D %>% mutate(Diff = as.numeric(Post - Pre)) %>% # Neue Variable berechnen mutate(Diff_betrag = as.numeric(-(Post - Pre))) # T-Test durchführen alpha_0 <- 0.05 t_test_results <- t.test( Diff_betrag ~ Condition, data = D_processed, var.equal = TRUE, alternative = "two.sided", conf.level = 1 - alpha_0 ) print(t_test_results) # Ergebnisse ausgeben # Violinplots erstellen # # Start plot viewer # hgd() # hgd_browse() # Violinplot erstellen ggplot(data = D_processed, aes(x = "", y = Diff_betrag, fill = Condition)) + geom_violin(trim = T) + # Violinplots geom_point( # Datenpunkte aes(y = Diff_betrag), position = position_jitter(width = 0.15, height = 0), size = 2, fill = "black" ) + labs(x = "", y = "Differenz der Werte", title = "Face-to-Face vs. Online") + # Label hinzufügen facet_wrap(~ Condition, ncol = 2) + # Panel nach Condition in zwei Spalten soirtern theme(legend.position = "none") # Legende ausblenden, da die Füllfarbe schon die Gruppen darstellt ggsave( # Abbildung speichern filename = "4-Zweistichproben-T-Test-ggplot.pdf", width = 5, height = 5 ) ``` \newpage ## Dokumentation Bitte beachten Sie bei der Erstellung Ihre Dokumentation folgende Vorgaben. ### Einleitung {-} Stellen Sie die Ausgangsfrage von @wagner2014 dar und erläutern Sie kurz die Therapieprinzipien der *Online* und der *Face-to-Face* Studiengruppen. ### Methoden {-} Beschreiben Sie die Patient:innen- und Therapiebedingungsgruppen. Erläutern Sie kurz die Logik der Anwendung eines Zweistichproben-T-Tests bei unabhängigen Stichproben. Dokumentieren Sie Ihre Datenanalyse in Form kommentierten **R** Codes zur Lösung von Programmieraufgabe 1. ### Resultate {-} Reportieren Sie die von Ihnen bestimmten Statistiken aus Programmieraufgabe 1 und beziehen Sie zur Validität der Nullhypothese $\mu_0 = 0$ Stellung. Kommentieren Sie weiterhin vor diesem Hintergrund den resultierenden Wert der Post-hoc Power. Beschreiben Sie die in Programmieraufgabe 2 erstellte Abbildung. ### Schlußfolgerung {-} Fassen Sie die von Ihnen erstellte Dokumentation in drei Sätzen zusammen. ## Referenzen \footnotesize