---
fontsize: 8pt
bibliography: 11_Referenzen.bib
citation_package: natbib
output:
  beamer_presentation:
    keep_tex: true
    includes:
      in_header: 11_header.tex
---


```{r, include = F}
source("11_R_common.R")
fdir        = file.path(getwd(), "11_Abbildungen")                                # Abbildungsverzeichnis
```


#  {.plain}
\center
```{r, echo = FALSE, out.width = "20%"}
knitr::include_graphics("11_Abbildungen/alm_11_otto.png")
```

\vspace{2mm}

\huge
Allgemeines Lineares Modell
\vspace{6mm}

\large
BSc Psychologie SoSe 2022

\vspace{6mm}
\normalsize
Prof. Dr. Dirk Ostwald

#
\small
\center
\footnotesize
\begin{tabular}{lll}
Datum        & Einheit                       & Thema					                \\\hline
08.04.2022   & Grundlagen                    & (1) Regression  				            \\
             & \textcolor{gray}{Osterpause}                                             \\
22.04.2022   & Grundlagen                    & (2) Korrelation               	        \\
29.04.2022   & Grundlagen                    & (3) Matrizen                             \\
06.05.2022   & Grundlagen                    & (4) Normalverteilungen                   \\
13.05.2022   & Theorie                       & (5) Modellformulierung                   \\
20.05.2022   & Theorie                       & (6) Modellschätzung                      \\
27.05.2022   & Theorie                       & (7) Modellevaluation                     \\
03.06.2021   & Anwendung                     & (8) Studiendesign                        \\
10.06.2021   & Anwendung                     & (9) T-Tests                              \\
17.06.2021   & Anwendung                     & (10) Einfaktorielle Varianzanalyse       \\
24.06.2022   & Anwendung                     & (11) Zweifaktorielle Varianzanalyse      \\
01.07.2022   & Anwendung                     & (12) Multiple Regression (9 - 12 Uhr)    \\
01.07.2022   & Anwendung                     & (13) Kovarianzanalyse (13 - 15 Uhr)      \\\hline
14.07.2022   & Klausurtermin                 &                                          \\
März 2023    & Klausurwiederholungstermin    &
\end{tabular}


# {.plain}
\center
\huge
\vfill
\noindent (11) Zweifaktorielle Varianzanalyse
\vfill

#
\large
\setstretch{2.7}
\vfill
Anwendungsszenario

Modellformulierung

Modellschätzung

Modellevaluation

Selbstkontrollfragen
\vfill

#
\large
\setstretch{2.7}
\vfill
**Anwendungsszenario**

Modellformulierung

Modellschätzung

Modellevaluation

Selbstkontrollfragen
\vfill


# Anwendungsszenario
\setstretch{1.5}
\textcolor{darkblue}{Randomisiertes zweifaktorielles Studiendesigns mit crossed design}

\flushright
\textcolor{darkblue}{$\Rightarrow$ Zweifaktorielle Varianzanalyse (ZVA) = Two-way Analysis of Variance (ANOVA)}

\flushleft
\small
* Eine univariate abhängige Variable bestimmt an randomisierten experimentellen Einheiten.
* Zwei diskrete unabhängige Variablen, die mindestens zweistufig sind.
* Die unabhängigen Variablen werden **Faktoren** genannt.
* Die Stufen der Faktoren werden auch **Faktorlevel** genannt.
* Jedes Level eines Faktors wird mit allen Level des anderen Faktors kombiniert.
* Die Kombination zweier spezifischer Faktorlevel wird **Zelle** des Designs genannt.

Zweifaktorielle Studiendesigns werden üblicherweise anhand ihrer Faktorlevel bezeichnet

\small
\center
\begin{tabular}{lll}
2 x 2 ANOVA : Faktor A mit Level 1,2     & Faktor B mit Level 1,2       \\
2 x 3 ANOVA : Faktor A mit Level 1,2     & Faktor B mit Level 1,2,3     \\
4 x 2 ANOVA : Faktor A mit Level 1,2,3,4 & Faktor B mit Level 1,2       \\
3 x 1 ANOVA : Faktor A mit Level 1,2,3   & Faktor B mit Level 1
\end{tabular}

\flushleft
Generell sind 2 x 2 Designs sehr populär, wir fokussieren auf diesen Fall.

Die Zellen eines 2 x 2 Designs werden im Folgenden auch als Gruppen bezeichnet.

# Anwendungsszenario
\textcolor{darkblue}{Konzeptuelles Design}

\center
```{r, echo = FALSE, out.width = "65%"}
knitr::include_graphics("11_Abbildungen/alm_11_zva_konzept.pdf")
```

\center
\small
Die Zellen/Gruppen des Designs sind hier mit A1B1, A1B2, A2B1 und A2B2 bezeichnet.


# Anwendungsszenario
\vspace{2mm}
\textcolor{darkblue}{Datennotation}

```{r, echo = FALSE, out.width = "70%"}
knitr::include_graphics("11_Abbildungen/alm_11_zva_datennotation.pdf")
```

\center
\small
$y_{ijk}$ bezeichnet die Datenvariable der $k$ten experimentellen Einheit ($k = 1,...,n_{ij}$)
im $i$ten Level von Faktor A und $j$ten Level von Faktor B ($i = 1,2, j = 1,2$)

# Anwendungsszenario
\textcolor{darkblue}{Datentabellenform mit $n_{ij} := 12, 1 \le i,j \le 2$}

\small
\center

```{r, echo = F}

# Modellformulierung
set.seed(1)                                               # reproducible data
m       = 12                                              # Stichprobengrößen
mu      = c(3,5,3.5,7)                                    # Erwartungswertparameter
sigsqr  = 1                                               # Varianzparameter
pq      = 4                                               # Anzahl von Stichproben
n       = pq*m                                            # Gesamtstichprobengröße
Y       = data.frame(                                     # Dataframeinitialisierung
          A1B1   = rep(NaN,m),
          A1B2   = rep(NaN,m),
          A2B1   = rep(NaN,m),
          A2B2   = rep(NaN,m))

# Modellsampling
for(i in 1:pq){                                            # Stichprobeniterationen
    for(j in 1:m){                                        # Experimentelle Einheiten Iterationen
        Y[j,i] = rnorm(1,mu[i], sqrt(sigsqr))             # X_ij \sim N(\mu_i,\sigma^2)
    }
}

```

```{r, echo = F}
 knitr::kable(Y, row.names = TRUE, col.names = c("$y_{11k}$", "$y_{12k}$", "$y_{21k}$", "$y_{22k}$"),  "pipe")
```
\vspace{-2mm}
\center
\small
$y_{ijk}$ bezeichnet die Datenvariable der $k$ten experimentellen Einheit ($k = 1,...,n_{ij}$)
im $i$ten Level von Faktor A und $j$ten Level von Faktor B ($i = 1,2, j = 1,2$)

# Anwendungsszenario
\textcolor{darkblue}{Datendeskription durch Boxplot}

```{r, echo = F, eval = F}

dev.new()
library(latex2exp)
par(
family      = "sans",
pty         = "m",
bty         = "l",
lwd         = 1,
las         = 1,
font.main   = 1,
cex         = 1.1,
cex.main    = 1.2)
colnames(Y) = c("A1B1", "A1B2", "A2B1", "A2B2")
boxplot(Y)
dev.copy2pdf(
file        = file.path(getwd(), "11_Abbildungen", "alm_11_zva_boxplot.pdf"),
width       = 7,
height      = 4)

```

\vspace{3mm}
\center
```{r, echo = FALSE, out.width = "95%"}
knitr::include_graphics("11_Abbildungen/alm_11_zva_boxplot.pdf")
```


# Anwendungsszenario

\textcolor{darkblue}{Haupteffekte (main effects) und Interaktionen (interactions)}
\small

Man unterscheidet intuitiv hinsichtlich der Gruppenmittelwerte *Haupteffekte*
und *Interaktionen*

\footnotesize
* \justifying Intuitiv spricht man vom Vorliegen eines *Haupteffekts von Faktor A*,
wenn sich die Gruppenmittelwerte zwischen Level 1 und Level 2 von Faktor A,
jeweils gemittelt über die zwei Level von Faktor B, unterscheiden.
* Intuitiv spricht man vom Vorliegen eines *Haupteffekts von Faktor B*,
wenn sich die Gruppenmittelwerte zwischen Level 1 und Level 2 von Faktor B,
jeweils gemittelt über die zwei Level von Faktor A, unterscheiden.
* Intuitiv spricht man vom Vorliegen einer *Interaktion der Faktoren A
und B*, wenn der Unterschied der Gruppenmittelwerte von Faktor A zwischen Level 1 und
2 unterschiedlich für Level 1 und Level 2 von Faktor B ausgeprägt ist bzw. wenn
der Unterschied der Gruppenmittelwerte von Faktor B zwischen Level 1 und
2 unterschiedlich für Level 1 und Level 2 von Faktor A ausgeprägt ist.


\small
Intuitiv beziehen sich Haupteffekte also auf (marginale) Unterschiede (Differenzen),
während sich Interaktionen auf Unterschiede von Unterschieden (Differenzen von
Differenzen) beziehen.

Das Vorhandensein einer Interaktion besagt lediglich, dass sich die Unterschiede
der Gruppenmittelwerte zwischen den Leveln eines experimentellen Faktors in Abhängigkeit
von den Leveln des anderen experimentellen Faktors ändern, es macht aber keine
Aussage darüber, warum dies so ist.

\flushright
$\Rightarrow$ Haupteffekte und Interaktionen sind Datenmuster, keine wissenschaftlichen Theorien.

# Anwendungsszenario
\vspace{1mm}
\textcolor{darkblue}{Datendeskription durch Barplot}

```{r, echo = F, eval = F}

# Abbildungsparameter
dev.new()                                       # Figure Initialisierung
library(latex2exp)                              # TeX Annotations
par(                                            # für Details siehe ?par
family      = "sans",                           # Serif-freier Fonttyp
pty         = "m",                              # Maximale Abbildungsregion
bty         = "l",                              # L förmige Box
lwd         = 1,                                # Liniendicke
las         = 1,                                # Horizontale Achsenbeschriftung
font.main   = 1,                                # Non-Bold Titel
cex         = 1.1,                              # Textvergrößerungsfaktor
cex.main    = 1.2)                              # Titeltextvergrößerungsfaktor

# Balkendiagramm
groupmeans  = colMeans(Y)                       # Gruppenmittelwerte
groupstds   = apply(Y,2,sd)                     # Gruppenmittelwerte
x = barplot(                                    # Ausgabe der x-Ordinaten (?barplot für Details)
groupmeans,
ylim        = c(-1,9),
col         = "gray90")                         # Balkenfarbe

# Fehlerbalken
arrows(                                         # für Details siehe ?arrows
x0          = x,                                # arrow start x-ordinate
y0          = groupmeans - groupstds,           # arrow start y-ordinate
x1          = x,                                # arrow end   x-ordinate
y1          = groupmeans + groupstds,           # arrow end   y-ordinate
code        = 3,                                # Pfeilspitzen beiderseits
angle       = 90,                               # Pfeilspitzenwinkel -> Linie
length      = 0.05)                             # Linienlänge

# PDF Speicherung
dev.copy2pdf(
file        = file.path(getwd(), "11_Abbildungen", "alm_11_zva_barplot.pdf"),
width       = 7,
height      = 4)
```

\vspace{3mm}
\center
```{r, echo = FALSE, out.width = "95%"}
knitr::include_graphics("11_Abbildungen/alm_11_zva_barplot.pdf")
```

# Anwendungsszenario
\vspace{2mm}
\textcolor{darkblue}{Datendeskription durch Lineplot}

```{r, echo = F, eval = F}

# Abbildungsparameter
dev.new()                                       # Figure Initialisierung
library(latex2exp)                              # TeX Annotations


# data in matrix format
x           = 1:2
groupmeans  = matrix(colMeans(Y), nrow = 2)
groupstds   = matrix(apply(Y, 2, sd), nrow = 2)
cols        = c("gray30", "gray70")
lwds        = c(3,1)

# circumvent RMarkdown Beamer interaction
graphics.off()
fdir        =  file.path(getwd(), "11_Abbildungen")
dev.new()
par(
family      = "sans",
pty         = "s",
bty         = "l",
lwd         = 1,
las         = 1,
mgp         = c(2,1,0),
xaxs        = "i",
yaxs        = "i",
font.main   = 1,
cex         = 1.5,
cex.main    = 1)

# Lineplots
matplot(
x,
groupmeans,
type        = "b",
pch         = 21,
xlim        = c(.5,2.5),
ylim        = c(2,8),
lty         = 1,
col         = cols,
lwd         = lwds,
xlab        = "Faktor B",
ylab        = "",
xaxt        = "n",)
for(i in 1:2){
  arrows(                                         # für Details siehe ?arrows
  x0          = x,                                # arrow start x-ordinate
  y0          = groupmeans[,i] - groupstds[,i],   # arrow start y-ordinate
  x1          = x,                                # arrow end   x-ordinate
  y1          = groupmeans[,i] + groupstds[,i],   # arrow end   y-ordinate
  col         = cols[[i]],                        # color
  lwd         = lwds[[i]],                        # linewidth
  code        = 3,                                # Pfeilspitzen beiderseits
  angle       = 90,                               # Pfeilspitzenwinkel -> Linie
  length      = 0.05)
}
legend(
.4,
8.5,
c("Faktor A, Level 1", "Faktor A, Level 2"),
lty         = 1,
col         = c("gray30", "gray90"),
lwd         = lwds,
bty         = "n",
cex         = 1,
x.intersp  = .3,
seg.len     = 0.6,
)
text(1,1.5, "Level 1" , xpd = T, cex = 1.1)
text(2,1.5, "Level 2", xpd = T, cex = 1.1)

# PDF Speicherung
dev.copy2pdf(
file        = file.path(getwd(), "11_Abbildungen", "alm_11_zva_lineplot.pdf"),
width       = 7,
height      = 7)

```

\vspace{3mm}
\center
```{r, echo = FALSE, out.width = "65%"}
knitr::include_graphics("11_Abbildungen/alm_11_zva_lineplot.pdf")
```

# Anwendungsszenario
\setstretch{1.6}
\textcolor{darkblue}{Anwendungsbeispiel}

BDI Datenanalyse bei zwei Therapiearten für zwei Altersklassen

\small
* Faktor (A) Therapie mit Level (1) Face-to-face (F2F) und Level (2) Online (ONL)
* Faktor (B) Altersklasse  mit Level (1) Young Adults (YA) und (2) und Older Adults (OA)
* $n_{ij} := 20, 1 \le i,j \le 2$ Patient:innen in jeder Bedingung, $n = 80$ Patient:innen insgesamt.

\normalsize
2 x 2 randomisiertes zweifaktorielles Studiendesigns $\Rightarrow$ 2 x 2 ANOVA

* Inferentielle Evidenz für einen Haupteffekt der Therapieart?
* Inferentielle Evidenz für einen Haupteffekt der Altersklasse?
* Inferentielle Evidenz für Interaktion (Verschiedene Therapieeffekte zwischen Altersklassen)?


# Anwendungsszenario
\textcolor{darkblue}{Anwendungsbeispiel}
\vspace{1mm}
\setstretch{1}
\tiny
```{r}
fname       = file.path(getwd(), "11_Daten", "11_Zweifaktorielle_Varianzanalyse_Daten.csv")
D           = read.table(fname, sep = ",", header = TRUE)
```

```{r, echo = F}
# table visualization
knitr::kable(D[c(1:6, 21:26, 41:46, 61:66),2:5],
             align      = "ccc",
             "pipe")
```

# Anwendungsszenario
\textcolor{darkblue}{Anwendungsbeispiel}
\vspace{1mm}
\tiny
\setstretch{.9}
```{r}
# Datenreformatierung
fname  = file.path(getwd(), "11_Daten", "11_Zweifaktorielle_Varianzanalyse_Daten.csv")
D      = read.table(fname, sep = ",", header = TRUE)
A1B1   = D$BDI[D$Therapy == "F2F" & D$Age == "YA" ]
A1B2   = D$BDI[D$Therapy == "F2F" & D$Age == "OA" ]
A2B1   = D$BDI[D$Therapy == "ONL" & D$Age == "YA" ]
A2B2   = D$BDI[D$Therapy == "ONL" & D$Age == "OA" ]
Y      = data.frame("F2F YA" = A1B1, "F2F OA" = A1B2, "ONL YA" = A2B1, "ONL OA" = A2B2)
```
```{r, echo = F}
knitr::kable(Y, row.names = TRUE,  "pipe")
```


# Anwendungsszenario
\vspace{1mm}
\textcolor{darkblue}{Datendeskription durch Barplot}

```{r, echo = F, eval = F}

# Abbildungsparameter
dev.new()                                       # Figure Initialisierung
library(latex2exp)                              # TeX Annotations
par(                                            # für Details siehe ?par
family      = "sans",                           # Serif-freier Fonttyp
pty         = "m",                              # Maximale Abbildungsregion
bty         = "l",                              # L förmige Box
lwd         = 1,                                # Liniendicke
las         = 1,                                # Horizontale Achsenbeschriftung
font.main   = 1,                                # Non-Bold Titel
cex         = 1.1,                              # Textvergrößerungsfaktor
cex.main    = 1.2)                              # Titeltextvergrößerungsfaktor

# Balkendiagramm
groupmeans  = colMeans(Y)                       # Gruppenmittelwerte
groupstds   = apply(Y,2,sd)                     # Gruppenmittelwerte
x = barplot(                                    # Ausgabe der x-Ordinaten (?barplot für Details)
groupmeans,
ylab        = "BDI",
ylim        = c(0,11),
col         = "gray90")                         # Balkenfarbe

# Fehlerbalken
arrows(                                         # für Details siehe ?arrows
x0          = x,                                # arrow start x-ordinate
y0          = groupmeans - groupstds,           # arrow start y-ordinate
x1          = x,                                # arrow end   x-ordinate
y1          = groupmeans + groupstds,           # arrow end   y-ordinate
code        = 3,                                # Pfeilspitzen beiderseits
angle       = 90,                               # Pfeilspitzenwinkel -> Linie
length      = 0.05)                             # Linienlänge

# PDF Speicherung
dev.copy2pdf(
file        = file.path(getwd(), "11_Abbildungen", "alm_11_zva_barplot_beispiel.pdf"),
width       = 7,
height      = 4)
```

\vspace{3mm}
\center
```{r, echo = FALSE, out.width = "95%"}
knitr::include_graphics("11_Abbildungen/alm_11_zva_barplot_beispiel.pdf")
```

# Anwendungsszenario
\vspace{2mm}
\textcolor{darkblue}{Datendeskription durch Lineplot}

```{r, echo = F, eval = F}

# Abbildungsparameter
dev.new()                                       # Figure Initialisierung
library(latex2exp)                              # TeX Annotations


# data in matrix format
x           = 1:2
groupmeans  = matrix(colMeans(Y), nrow = 2)
groupstds   = matrix(apply(Y, 2, sd), nrow = 2)
cols        = c("gray30", "gray70")
lwds        = c(3,1)

# circumvent RMarkdown Beamer interaction
graphics.off()
fdir        =  file.path(getwd(), "11_Abbildungen")
dev.new()
par(
family      = "sans",
pty         = "s",
bty         = "l",
lwd         = 1,
las         = 1,
mgp         = c(2,1,0),
xaxs        = "i",
yaxs        = "i",
font.main   = 1,
cex         = 1.5,
cex.main    = 1)

# Lineplots
matplot(
x,
groupmeans,
type        = "b",
pch         = 21,
xlim        = c(.5,2.5),
ylim        = c( 0,12),
lty         = 1,
col         = cols,
lwd         = lwds,
xlab        = "Age",
ylab        = "BDI",
xaxt        = "n",)
for(i in 1:2){
  arrows(                                         # für Details siehe ?arrows
  x0          = x,                                # arrow start x-ordinate
  y0          = groupmeans[,i] - groupstds[,i],   # arrow start y-ordinate
  x1          = x,                                # arrow end   x-ordinate
  y1          = groupmeans[,i] + groupstds[,i],   # arrow end   y-ordinate
  col         = cols[[i]],                        # color
  lwd         = lwds[[i]],                        # linewidth
  code        = 3,                                # Pfeilspitzen beiderseits
  angle       = 90,                               # Pfeilspitzenwinkel -> Linie
  length      = 0.05)
}
legend(
.4,
13.1,
c("Therapy, F2F", "Therapy, ONL"),
lty         = 1,
col         = c("gray30", "gray90"),
lwd         = lwds,
bty         = "n",
cex         = 1,
x.intersp   = .3,
y.intersp   = .9,
seg.len     = 0.6,
)
text(1,-1, "Younger Adults" , xpd = T, cex = 1)
text(2,-1, "Older Adults"   , xpd = T, cex = 1)

# PDF Speicherung
dev.copy2pdf(
file        = file.path(getwd(), "11_Abbildungen", "alm_11_zva_lineplot_beispiel.pdf"),
width       = 7,
height      = 7)

```

\vspace{3mm}
\center
```{r, echo = FALSE, out.width = "60%"}
knitr::include_graphics("11_Abbildungen/alm_11_zva_lineplot_beispiel.pdf")
```

#
\large
\setstretch{2.7}
\vfill
Anwendungsszenario

**Modellformulierung**

Modellschätzung

Modellevaluation

Selbstkontrollfragen
\vfill

# Modellformulierung
\vspace{1mm}
\textcolor{darkblue}{Modell der additiven ZVA}
\setstretch{1.2}
\footnotesize

In Analogie zur einfaktoriellen Varianzanalyse (EVA) möchte man in der additiven ZVA die
Gruppenerwartungswerte $\mu_{ij}$ mit $i = 1,...,I$ für die Level von Faktor A
und $j = 1,...,J$ für die Level von Faktor B als Summe eines gruppenunspezifischen
Erwartungswertes und den Effekten der Level von Faktor A und der Level von Faktor B
modellieren.

Wir bezeichnen den gruppenunspezifischen Erwartungswertparameter mit $\mu_0$, den
Effekt von Level $i$ von Faktor A mit $\alpha_i$ und den Effekt von Level $j$ von
Faktor B mit $\beta_j$ ($\beta_j$ bezeichnet hier also \underline{nicht} den $j$ten
Eintrag des Betaparametervektors). Dann ergibt sich zum Beispiel für $I := J := 2$
\begin{center}
\begin{tabular}{l|l}
$\mu_{11} := \mu_0 + \alpha_1 + \beta_1$ & $\mu_{12} := \mu_0 + \alpha_1 + \beta_2$ \\\hline
$\mu_{21} := \mu_0 + \alpha_2 + \beta_1$ & $\mu_{22} := \mu_0 + \alpha_2 + \beta_2$ \\
\end{tabular}
\end{center}
Wie im Falle der EVA ist diese Darstellung der Gruppenerwartungswerte $\mu_{ij}$
allerdings überparameterisiert. Um eine eindeutige Darstellung der $\mu_{ij}$ zu
gewährleisten, bietet sich auch hier die Restriktion an, den Effekt des ersten
Levels jedes Faktors als Null zu definieren
\begin{equation}
\alpha_1 := \beta_1 := 0.
\end{equation}
und damit die Faktorlevelkombination A1B1 als Referenzgruppe zu etablieren. Es
ergibt sich somit zum Beispiel für für $I := J := 2$
\begin{center}
\begin{tabular}{l|l}
$\mu_{11} := \mu_0$            & $\mu_{12} := \mu_0 + \beta_2$            \\\hline
$\mu_{21} := \mu_0 + \alpha_2$ & $\mu_{22} := \mu_0 + \alpha_2 + \beta_2$ \\
\end{tabular}
\end{center}
Auch bei dieser Effektdarstellung des Modells der additiven 2 x 2 ZVA mit Referenzgruppe
ändern sich die Interpretation der Parameter $\mu_0,\alpha_2,\beta_2$ im Vergleich
zum überparameterisierten Fall ohne Referenzgruppe: $\mu_0$ entspricht dem Erwartungswert
der Faktorlevelkombination A1B1, $\alpha_2$ der Differenz beim Übergang von Level 1
zu Level 2 von Faktor A und  $\beta_2$ der Differenz beim Übergang von Level 1
zu Level 2 von Faktor B.

# Modellformulierung
\footnotesize
\begin{definition}[Modell der additiven ZVA mit Referenzgruppe]
\justifying
$y_{ijk}$ mit $i = 1,...,I, j = 1,...,J, k = 1,...,n_{ij}$ sei die Zufallsvariable,
die den $k$ten Datenpunkt zum $i$ten Level von Faktor A und dem $j$ten Level von
Faktor B in einem ZVA Anwendungsszenario modelliert. Dann hat das
\textit{Modell der additiven ZVA mit Referenzgruppe} die strukturelle Form
\begin{equation}
y_{ijk} = \mu_{ij} + \varepsilon_{ijk} \sim N(0,\sigma^2)
\mbox{ u.i.v. für } i = 1,...,I, j = 1,...,J, k = 1,...,n_{ij}
\end{equation}
und die Datenverteilungsform
\begin{equation}
y_{ijk} \sim N(\mu_{ij}, \sigma^2) \mbox{ u.i.v. für } i = 1,...,I, j = 1,...,J, k = 1,...,n_{ij}
\end{equation}
mit
\begin{equation}
\mu_{ij} := \mu_0 + \alpha_i + \beta_j \mbox{ für } i = 1,...,I, j = 1,...,J \mbox{ mit } \alpha_1 := \beta_1 := 0.
\end{equation}
und $\sigma^2 > 0$.
\end{definition}
Bemerkungen

* Das Modell der additiven ZVA modelliert ausschließlich Haupteffekte, keine Interaktionen.
* Wir verzichten auf die Angabe einer allgemeinen Designmatrixform dieses Modells.


# Modellformulierung
\textcolor{darkblue}{Parameterbeispiele}

\small
\setstretch{1.5}
\noindent (1) Es sei $\mu_0 := 1, \alpha_2 := 1, \beta_2 := 0$. Dann gilt:

\begin{center}
\begin{tabular}{ll}
$\bm{\mu_{11}} = \mu_0 + \alpha_1 + \beta_1 = 1 + 0 + 0 = \bm{1}$
&
$\bm{\mu_{12}} = \mu_0 + \alpha_1 + \beta_2 = 1 + 0 + 0 = \bm{1}$
\\
$\bm{\mu_{21}} = \mu_0 + \alpha_2 + \beta_1 = 1 + 1 + 0 = \bm{2}$
&
$\bm{\mu_{22}} = \mu_0 + \alpha_2 + \beta_2 = 1 + 1 + 0 = \bm{2}$ \\
\end{tabular}
\end{center}
$\Rightarrow$ Haupteffekt von Faktor A, kein Haupteffekt von Faktor B
\vspace{1mm}

\noindent (2) Es sei $\mu_0 := 1, \alpha_2 := 0, \beta_2 := 1$. Dann gilt:

\begin{center}
\begin{tabular}{ll}
$\bm{\mu_{11}} = \mu_0 + \alpha_1 + \beta_1 = 1 + 0 + 0 = \bm{1}$
&
$\bm{\mu_{12}} = \mu_0 + \alpha_1 + \beta_2 = 1 + 0 + 1 = \bm{2}$
\\
$\bm{\mu_{21}} = \mu_0 + \alpha_2 + \beta_1 = 1 + 0 + 0 = \bm{1}$
&
$\bm{\mu_{22}} = \mu_0 + \alpha_2 + \beta_2 = 1 + 0 + 1 = \bm{2}$ \\
\end{tabular}
\end{center}
$\Rightarrow$ Kein Haupteffekt von Faktor A, Haupteffekt von Faktor B
\vspace{1mm}

\noindent (3) Es sei $\mu_0 := 1, \alpha_2 := 1, \beta_2 := 1$. Dann gilt:

\begin{center}
\begin{tabular}{ll}
$\bm{\mu_{11}} = \mu_0 + \alpha_1 + \beta_1 = 1 + 0 + 0 = \bm{1}$
&
$\bm{\mu_{12}} = \mu_0 + \alpha_1 + \beta_2 = 1 + 0 + 1 = \bm{2}$
\\
$\bm{\mu_{21}} = \mu_0 + \alpha_2 + \beta_1 = 1 + 1 + 0 = \bm{2}$
&
$\bm{\mu_{22}} = \mu_0 + \alpha_2 + \beta_2 = 1 + 1 + 1 = \bm{3}$ \\
\end{tabular}
\end{center}
$\Rightarrow$ Haupteffekt von Faktor A, Haupteffekt von Faktor B


# Modellformulierung
\vspace{1mm}
\textcolor{darkblue}{Parameterbeispiele}
```{r, echo = F, eval = F}

# circumvent RMarkdown Beamer Interaction
graphics.off()
fdir        =  file.path(getwd(), "11_Abbildungen")
dev.new()
par(
mfcol       = c(2,3),
family      = "sans",
pty         = "s",
bty         = "l",
lwd         = 1,
las         = 1,
mgp         = c(2,1,0),
xaxs        = "i",
yaxs        = "i",
font.main   = 1,
cex         = 1.2,
cex.main    = 1.2)
mu          = list(matrix(c(1,1,2,2) , ncol = 2),
                   matrix(c(1,2,1,2) , ncol = 2),
                   matrix(c(1,2,2,3) , ncol = 2))
labs        = list(TeX("$\\mu_0 = 1,\\, \\alpha_2 = 1,\\, \\beta_2 = 0$"),
                   TeX("$\\mu_0 = 1,\\, \\alpha_2 = 0,\\, \\beta_2 = 1$"),
                   TeX("$\\mu_0 = 1,\\, \\alpha_2 = 1,\\, \\beta_2 = 1$"))
for(i in 1:3){

    # Barplot
    B        = as.vector(mu[[i]])
    names(B) = c("A1B1", "A1B2", "A2B1", "A2B2")
    barplot(
    B,
    ylim        = c(0,3.5),
    main        = labs[[i]],
    col         = "gray90")

    # Lineplot
    matplot(
    1:2,
    mu[[i]],
    type        = "b",
    pch         = 21,
    ylim        = c( 0,5),
    xlim        = c(.5,2.5),
    lty         = 1,
    col         = c("gray30", "gray70"),
    lwd         = c(3,1),
    main        = labs[[i]],
    xlab        = "Faktor B",
    ylab        = "",
    xaxt      = "n",)
    legend(
    0.01,
    6.00,
    c("Faktor A, Level 1", "Faktor A, Level 2"),
    lty         = 1,
    col         = c("gray30", "gray90"),
    lwd         = c(3,1),
    bty         = "n",
    seg.len     = .4,
    x.intersp   = .3,
    y.intersp   = .2,
    cex         =  1,
    )
    text(1,-.4, "Level 1", xpd = T)
    text(2,-.4, "Level 2", xpd = T)
}
dev.copy2pdf(
file        = file.path(fdir, "alm_11_zva_add_beispiel.pdf"),
width       = 15,
height      = 10)
```

\vfill
\vspace{3mm}
\center
```{r, echo = FALSE, out.width = "100%"}
knitr::include_graphics("11_Abbildungen/alm_11_zva_add_beispiel.pdf")
```
\vfill

# Modellformulierung
\footnotesize
\setstretch{1.2}
\vspace{2mm}
\begin{theorem}[Designmatrixform des Modells der 2 x 2 ZVA mit Referenzgruppe]
\justifying
\normalfont
Gegeben sei die strukturelle Form des Modells der 2 x 2 ZVA mit Referenzgruppe. 
Dann hat dieses Modell die Designmatrixform
\begin{equation}
y \sim N(X\beta,\sigma^2I_n),
\end{equation}
wobei
\begin{equation}
y:=
\begin{pmatrix}
y_{111}\\
\vdots \\
y_{11n_{11}}\\
y_{121}\\
\vdots \\
y_{12n_{12}}\\
y_{211}\\
\vdots \\
y_{21n_{21}}\\
y_{221}\\
\vdots \\
y_{22n_{22}}\\
\end{pmatrix}, \,
X =
\begin{pmatrix}
1 		& 	0 		& 	0 		 	\\
\vdots	&	\vdots	& 	\vdots	 	\\
1 		& 	0 		& 	0 		 	\\
1 		& 	0 		& 	1 	 		\\
\vdots	&	\vdots	& 	\vdots	 	\\
1 		& 	0 		& 	1 			\\
1 		& 	1		& 	0 			\\
\vdots	&	\vdots	& 	\vdots 	    \\
1 		& 	1 		& 	0 		 	\\
1 		& 	1 		& 	1 		 	\\
\vdots	&	\vdots	& 	\vdots	 	\\
1 		& 	1 		& 	1 		 	\\
\end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{n \times 3}, \,
\beta :=
\begin{pmatrix}
\mu_0				\\
\alpha_{2}			\\
\beta_{2}			\\
\end{pmatrix}
\in \mathbb{R}^{3}
\mbox{ und }
\sigma^2 > 0.
\end{equation}
\end{theorem}
\vspace{-2mm}
Bemerkung
\vspace{-1mm}

* Das Theorem folgt direkt aus den Regel der Matrixmultiplikation.

# Modellformulierung
\textcolor{darkblue}{Modell der ZVA mit Interaktion}
\footnotesize
\setstretch{1.1}

In der ZVA mit Interaktion möchte man die Gruppenerwartungswerte $\mu_{ij}$ mit
$i = 1,...,I$ für die Level von Faktor A und $j = 1,...,J$ für die Level von Faktor B
als Summe eines gruppenunspezifischen Erwartungswertes, der Effekte der Level
von Faktor A und Faktor B und der Interaktion der Level der Faktoren modellieren.

Wir bezeichnen den gruppenunspezifischen Erwartungswertparameter mit $\mu_0$, den
Effekt von Level $i$ von Faktor A mit $\alpha_i$, den Effekt von Level $j$ von
Faktor B mit $\beta_j$, und die Interaktion von Level $i$ von Faktor A mit Level
$j$ von Faktor B mit $\gamma_{ij}$. Dann ergibt sich zum Beispiel für $I := J := 2$
\begin{center}
\begin{tabular}{l|l}
$\mu_{11} := \mu_0 + \alpha_1 + \beta_1 + \gamma_{11}$ & $\mu_{12} := \mu_0 + \alpha_1 + \beta_2 + \gamma_{12}$ \\\hline
$\mu_{21} := \mu_0 + \alpha_2 + \beta_1 + \gamma_{21}$ & $\mu_{22} := \mu_0 + \alpha_2 + \beta_2 + \gamma_{22}$ \\
\end{tabular}
\end{center}
Wie in der die additiven ZVA ist diese Darstellung der Gruppenerwartungswerte
$\mu_{ij}$ multipel überparameterisiert. Um eine eindeutige Darstellung der $\mu_{ij}$ zu
gewährleisten, bietet sich auch hier die Restriktion an, den Effekt des ersten
Levels jedes Faktors und jeder Interaktion als Null zu definieren
\begin{equation}
\alpha_1 := \beta_1 := \gamma_{i1} := \gamma_{1j} := 0 \mbox{ für } i = 1,...,I, j = 1,..,J
\end{equation}
und damit die Faktorlevelkombination A1B1 als Referenzgruppe zu etablieren. Es
ergibt sich somit zum Beispiel für für $I := J := 2$
\begin{center}
\begin{tabular}{l|l}
$\mu_{11} := \mu_0$            & $\mu_{12} := \mu_0 + \beta_2$                          \\\hline
$\mu_{21} := \mu_0 + \alpha_2$ & $\mu_{22} := \mu_0 + \alpha_2 + \beta_2 + \gamma_{22}$ \\
\end{tabular}
\end{center}
Auch bei dieser Effektdarstellung des Modells der 2 x 2 ZVA mit Interaktion und Referenzgruppe
ändern sich die Interpretation der Parameter $\mu_0,\alpha_2,\beta_2,\gamma_{22}$ im Vergleich
zum überparameterisierten Fall ohne Referenzgruppe: $\mu_0$ entspricht dem Erwartungswert
der Faktorlevelkombination A1B1, $\alpha_2$ der Differenz beim Übergang von Level 1
zu Level 2 von Faktor A, $\beta_2$ der Differenz beim Übergang von Level 1 zu Level 2
von Faktor B und $\gamma_{22}$ der Differenz beim Übergang von Level 1 zu Level 2 von
Faktor B im Unterschiede zum Übergang von Level 1 zu Level 2 von Faktor A.

# Modellformulierung


\footnotesize
\begin{definition}[Modell der ZVA mit Interaktion und Referenzgruppe]
\justifying
$y_{ijk}$ mit $i = 1,...,I, j = 1,...,J, k = 1,...,n_{ij}$ sei die Zufallsvariable,
die den $k$ten Datenpunkt zum $i$ten Level von Faktor A und dem $j$ten Level von
Faktor B in einem ZVA Anwendungsszenario modelliert. Dann hat das
\textit{Modell der ZVA mit Interaktion und Referenzgruppe} die strukturelle Form
\begin{equation}
y_{ijk} = \mu_{ij} + \varepsilon_{ijk} \sim N(0,\sigma^2)
\mbox{ u.i.v. für } i = 1,...,I, j = 1,...,J, k = 1,...,n_{ij}
\end{equation}
und die Datenverteilungsform
\begin{equation}
y_{ijk} \sim N(\mu_{ij}, \sigma^2) \mbox{ u.i.v. für } i = 1,...,I, j = 1,...,J, k = 1,...,n_{ij}
\end{equation}
mit
\begin{equation}
\mu_{ij} := \mu_0 + \alpha_i + \beta_j + \gamma_{ij}
\end{equation}
sowie
\begin{equation}
\alpha_1 := \beta_1 := \gamma_{i1} := \gamma_{1j} :=0 \mbox{ für } i = 1,...,I, j = 1,...,J
\end{equation}
und $\sigma^2 > 0$.
\end{definition}
Bemerkungen

* Wir verzichten auf die Angabe einer allgemeinen Designmatrixform dieses Modells.


# Modellformulierung
\setstretch{1}
\textcolor{darkblue}{Parameterbeispiele}

\footnotesize
\noindent (1) Es sei $\mu_0 := 1, \alpha_2 := 0, \beta_2 := 0, \gamma_{22} = 2$. Dann gilt:
\begin{tiny}
\begin{tabular}{ll}
$\bm{\mu_{11}} = \mu_0 + \alpha_1 + \beta_1 + \gamma_{11} = 1 + 0 + 0 + 0=  \bm{1}$
&
$\bm{\mu_{12}} = \mu_0 + \alpha_1 + \beta_2 + \gamma_{12} = 1 + 0 + 0 + 0 = \bm{1}$
\\\\
$\bm{\mu_{21}} = \mu_0 + \alpha_2 + \beta_1 + \gamma_{21} = 1 + 0 + 0 + 0 = \bm{1}$
&
$\bm{\mu_{22}} = \mu_0 + \alpha_2 + \beta_2 + \gamma_{22} = 1 + 0 + 0 + 2 = \bm{3}$ \\
\end{tabular}
\end{tiny}
\vspace{2mm}
\footnotesize
\noindent (2) Es sei $\mu_0 := 1, \alpha_2 := 1, \beta_2 := 1, \gamma_{22} = -2$. Dann gilt:
\begin{tiny}
\begin{tabular}{ll}
$\bm{\mu_{11}} = \mu_0 + \alpha_1 + \beta_1 + \gamma_{11} = 1 + 0 + 0 + 0=  \bm{1}$
&
$\bm{\mu_{12}} = \mu_0 + \alpha_1 + \beta_2 + \gamma_{12} = 1 + 0 + 1 + 0 = \bm{2}$
\\\\
$\bm{\mu_{21}} = \mu_0 + \alpha_2 + \beta_1 + \gamma_{21} = 1 + 0 + 1 + 0 = \bm{2}$
&
$\bm{\mu_{22}} = \mu_0 + \alpha_2 + \beta_2 + \gamma_{22} = 1 + 1 + 1 - 2 = \bm{1}$ \\
\end{tabular}
\end{tiny}
\vspace{2mm}

\noindent (3) Es sei $\mu_0 := 1, \alpha_2 := 1, \beta_2 := 0, \gamma_{22} = 1$. Dann gilt:
\begin{tiny}
\begin{tabular}{ll}
$\bm{\mu_{11}} = \mu_0 + \alpha_1 + \beta_1 + \gamma_{11} = 1 + 0 + 0 + 0 = \bm{1}$
&
$\bm{\mu_{12}} = \mu_0 + \alpha_1 + \beta_2 + \gamma_{12} = 1 + 0 + 0 + 0 = \bm{1}$
\\\\
$\bm{\mu_{21}} = \mu_0 + \alpha_2 + \beta_1 + \gamma_{21} = 1 + 1 + 0 + 0 = \bm{2}$
&
$\bm{\mu_{22}} = \mu_0 + \alpha_2 + \beta_2 + \gamma_{22} = 1 + 1 + 0 + 1 = \bm{3}$ \\
\end{tabular}
\end{tiny}
\vspace{2mm}

\noindent (4) Es sei $\mu_0 := 1, \alpha_2 := 0, \beta_2 := 1, \gamma_{22} = 1$. Dann gilt:
\begin{tiny}
\begin{tabular}{ll}
$\bm{\mu_{11}} = \mu_0 + \alpha_1 + \beta_1 + \gamma_{11} = 1 + 0 + 0 + 0=  \bm{1}$
&
$\bm{\mu_{12}} = \mu_0 + \alpha_1 + \beta_2 + \gamma_{12} = 1 + 0 + 1 + 0 = \bm{2}$
\\\\
$\bm{\mu_{21}} = \mu_0 + \alpha_2 + \beta_1 + \gamma_{21} = 1 + 0 + 0 + 0 = \bm{1}$
&
$\bm{\mu_{22}} = \mu_0 + \alpha_2 + \beta_2 + \gamma_{22} = 1 + 0 + 1 + 1 = \bm{3}$ \\
\end{tabular}
\end{tiny}

# Modellformulierung
```{r, echo = F, eval = F}

# Circumvent RMarkdown Beamer Interaction
graphics.off()
fdir        =  file.path(getwd(), "11_Abbildungen")
dev.new()
par(
mfcol       = c(2,4),
family      = "sans",
pty         = "s",
bty         = "l",
lwd         = 1,
las         = 1,
mgp         = c(2,1,0),
xaxs        = "i",
yaxs        = "i",
font.main   = 1,
cex         = 1.1,
cex.main    = 1)
mu          = list(matrix(c(1,1,1,3), ncol = 2),
                   matrix(c(1,2,2,1), ncol = 2),
                   matrix(c(1,1,2,3), ncol = 2),
                   matrix(c(1,2,1,3), ncol = 2))
labs        = list(TeX("$\\mu_0 = 1, \\, \\alpha_2 = 0, \\, \\beta_2 =  0,\\, \\gamma_{22} =  2$"),
                   TeX("$\\mu_0 = 1, \\, \\alpha_2 = 1, \\, \\beta_2 =  1,\\, \\gamma_{22} = -2$"),
                   TeX("$\\mu_0 = 1, \\, \\alpha_2 = 1, \\, \\beta_2 =  0,\\, \\gamma_{22} =  1$"),
                   TeX("$\\mu_0 = 1, \\, \\alpha_2 = 0, \\, \\beta_2 =  1,\\, \\gamma_{22} =  1$"))

for(i in 1:4){

    # Barplot
    B        = as.vector(mu[[i]])
    names(B) = c("A1B1", "A1B2", "A2B1", "A2B2")
    barplot(
    B,
    ylim        = c(0,4),
    main        = labs[[i]],
    col         = "gray90")

    # Lineplot
    matplot(
    1:2,
    mu[[i]],
    type        = "b",
    pch         = 21,
    ylim        = c( 0,4.5),
    xlim        = c(.5,2.5),
    lty         = 1,
    col         = c("gray30", "gray70"),
    lwd         = c(3,1),
    main        = labs[[i]],
    xlab        = "Faktor B",
    ylab        = "",
    xaxt      = "n",)
    legend(
    .2,
    5,
    c("Faktor A, Level 1", "Faktor A, Level 2"),
    lty         = 1,
    col         = c("gray30", "gray90"),
    lwd         = c(3,1),
    bty         = "n",
    seg.len     = .5,
    x.intersp   = .1,
    y.intersp   = .4,
    cex         = .7,
    )
    text(1,-.5, "Level 1", xpd = T)
    text(2,-.5, "Level 2", xpd = T)
}
dev.copy2pdf(
file        = file.path(fdir, "alm_11_zva_int_beispiel.pdf"),
width       = 15,
height      = 10)
```
\vspace{2mm}
\textcolor{darkblue}{Parameterbeispiele}
\center
```{r, echo = FALSE, out.width = "100%"}
knitr::include_graphics("11_Abbildungen/alm_11_zva_int_beispiel.pdf")
```


# Modellformulierung
\footnotesize
\setstretch{1.2}
\vspace{2mm}
\begin{theorem}[\small Designmatrixform des Modells der 2 x 2 ZVA mit Interaktion und Referenzgruppe]
\justifying
\normalfont
Gegeben sei die strukturelle Form eines 2 x 2 ZVA Modells mit Interaktion und Referenzgruppe
und es sei
\begin{equation}
n := \sum_{i=1}^2 \sum_{i=1}^2 n_{ij}
\end{equation}
die Gesamtanzahl an Datenvariablen. Dann hat dieses Modell die Designmatrixform
\begin{equation}
y \sim N(X\beta,\sigma^2I_n), \mbox{ mit }
\end{equation}
\begin{equation}
y:=
\begin{pmatrix}
y_{111}\\
\vdots \\
y_{11n_{11}}\\
y_{121}\\
\vdots \\
y_{12n_{12}}\\
y_{211}\\
\vdots \\
y_{21n_{21}}\\
y_{221}\\
\vdots \\
y_{22n_{22}}\\
\end{pmatrix}, \,
X =
\begin{pmatrix}
1 		& 	0 		& 	0 		 & 	0	    \\
\vdots	&	\vdots	& 	\vdots	 & 	\vdots	\\
1 		& 	0 		& 	0 		 & 	0	    \\
1 		& 	0 		& 	1 	 	 & 	0       \\
\vdots	&	\vdots	& 	\vdots	 & 	\vdots	\\
1 		& 	0 		& 	1 		 & 	0	    \\
1 		& 	1		& 	0 		 & 	0	    \\
\vdots	&	\vdots	& 	\vdots 	 & 	\vdots  \\
1 		& 	1 		& 	0 		 & 	0    	\\
1 		& 	1 		& 	1 		 & 	1     	\\
\vdots	&	\vdots	& 	\vdots	 & 	\vdots	\\
1 		& 	1 		& 	1 		 & 	1	    \\
\end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{n \times 4}, \,
\beta :=
\begin{pmatrix}
\mu_0				\\
\alpha_{2}			\\
\beta_{2}			\\
\gamma_{22}
\end{pmatrix}
\in \mathbb{R}^{4}
\mbox{ und }
\sigma^2 > 0.
\end{equation}
\end{theorem}

# Modellformulierung
\textcolor{darkblue}{Beispiel}

\footnotesize
Es seien
\begin{equation}
I := 2, J := 2 \mbox{ und } n_{ij} := 4 \mbox{ für } i = 1,2, j = 1,2 \mbox{, also } n = 16.
\end{equation}
Dann gilt
\begin{equation}
y = X\beta + \varepsilon \mbox{ mit } \varepsilon \sim N(0_{16},\sigma^2 I_{16})
\end{equation}
mit
\footnotesize
\begin{equation}
y :=
\begin{pmatrix}
y_{111}	\\
y_{112} \\
y_{113} \\
y_{114} \\
y_{121} \\
y_{122} \\
y_{123} \\
y_{124} \\
y_{211} \\
y_{212} \\
y_{213} \\
y_{214} \\
y_{221} \\
y_{222} \\
y_{223} \\
y_{224}
\end{pmatrix},
\,
X :=
\begin{pmatrix}
1  &  0	 &   0	 &  0  \\
1  &  0  &   0   &  0  \\
1  &  0  &	 0   &  0  \\
1  &  0	 &	 0   & 	0  \\
1  &  0  &	 1   & 	0  \\
1  &  0  &	 1	 & 	0  \\
1  &  0	 &	 1   & 	0  \\
1  &  0  &   1	 & 	0  \\
1  &  1  &   0	 & 	0  \\
1  &  1	 &   0   & 	0  \\
1  &  1  &	 0	 & 	0  \\
1  &  1	 &	 0   & 	0  \\
1  &  1	 &   1	 & 	1  \\
1  &  1	 &   1   & 	1  \\
1  &  1  &	 1	 & 	1  \\
1  &  1	 &	 1   & 	1  \\
\end{pmatrix}
\in \mathbb{R}^{16 \times 4},
\,
\beta :=
\begin{pmatrix}
\mu_0 		\\
\alpha_2	\\
\beta_2	    \\
\gamma_{22}	\\
\end{pmatrix}
\in \mathbb{R}^{4}
\mbox{ und }
\sigma^2 > 0.
\end{equation}

# Modellformulierung
\vspace{2mm}
\textcolor{darkblue}{Beispiel}
\vspace{1mm}
\tiny
\setstretch{.85}

```{r}
# Modellformulierung
library(MASS)                               # Multivariate Normalverteilung
I      = 2                                  # Anzahl Level Faktor A
J      = 2                                  # Anzahl Level Faktor B
n_ij   = 4                                  # Anzahl von Datenpunkten der i,jten Gruppe
n      = I*J*n_ij                           # Anzahl Datenpunkte
p      = 1 + (I-1)+(J-1)+(I*J-3)            # Anzahl Parameter
D      = matrix(c(1,0,0,0,                  # Prototypische Designmatrix für balancierte Designs
                  1,0,1,0,
                  1,1,0,0,
                  1,1,1,1),
                nrow  = p,
                byrow = TRUE)
C      = matrix(rep(1,n_ij),nrow = n_ij)    # Prototypischer Zellenvektor für balancierte Designs
X      = kronecker(D,C)                     # Kroneckerprodukt Designmatrix Erzeugung für balancierte Designs
I_n    = diag(n)                            # n x n Einheitsmatrix
beta   = matrix(c(1,1,1,1), nrow = p)       # \beta = (\mu_0,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)
sigsqr = 10                                 # \sigma^2

# Datenrealisierung
y      = mvrnorm(1, X %*% beta, sigsqr*I_n) # eine Realisierung eines n-dimensionalen ZVs
print(X)
```


# Modellformulierung
\vspace{2mm}
\textcolor{darkblue}{Beispieldatensatzerzeugung}
\vspace{1mm}
\tiny
\setstretch{1}

```{r, warning=FALSE}
# Datensimulation
library(MASS)                                            # Multivariate Normalverteilung
set.seed(1)                                              # reproduzierbare Daten
I             = 2                                        # Anzahl Level Faktor A (Therapie)
J             = 2                                        # Anzahl Level Faktor B (Alter)
n_ij          = 20                                       # Anzahl von Datenpunkten der i,jten Gruppe
n             = I*J*n_ij                                 # Anzahl Datenpunkte
p             = 1 + (I-1)+(J-1)+(I*J-3)                  # Anzahl Parameter
D             = matrix(c(1,0,0,0,                        # Prototypische Designmatrix für balancierte Designs
                         1,0,1,0,
                         1,1,0,0,
                         1,1,1,1),
                nrow  = p,
                byrow = TRUE)
C             = matrix(rep(1,n_ij),nrow = n_ij)          # Prototypischer Zellenvektor für balancierte Designs
X             = kronecker(D,C)                           # Kroneckerprodukt für balancierte Designs
I_n           = diag(n)                                  # n x n Einheitsmatrix
beta          = matrix(c(7,-3,0,-2), nrow = p)           # \beta = (\mu_0,\alpha_2,\beta_2,\gamma_22)
sigsqr        = 4                                        # \sigma^2
y             = mvrnorm(1, X %*% beta, sigsqr*I_n)       # eine Realisierung eines n-dimensionalen ZVs

# Dataframeformatierung
library(writexl)                                         # Excel Output
D            = data.frame("ID" = 1:n)                    # Dataframe Initialisierung und ID Variable
D$Therapy    = c(rep("F2F", J*n_ij), rep("ONL", J*n_ij)) # Therapiebedingung
D$Age        = rep(c(rep("YA", n_ij), rep("OA",n_ij)),I) # Alter
D$BDI        = y                                         # PrePost-BDI Differenzwerte

# Datenspeicherung
write_xlsx(D, file.path(getwd()       , "11_Daten", "11_Zweifaktorielle_Varianzanalyse_Daten.xlsx"))
write.csv( D, file = file.path(getwd(), "11_Daten", "11_Zweifaktorielle_Varianzanalyse_Daten.csv"))
```

#
\large
\setstretch{2.7}
\vfill
Anwendungsszenario

Modellformulierung

**Modellschätzung**

Modellevaluation

Selbstkontrollfragen
\vfill

# Modellschätzung
\footnotesize
\begin{theorem}[\begin{small} Betaparameterschätzung im additiven 2 x 2 ZVA Modell mit Referenzgruppe \end{small}]
\justifying
\normalfont
Gegeben sei die Designmatrixform eines balancierten additiven 2 x 2 ZVA Modells mit
Referenzgruppe. Dann ergibt sich für den Betaparameterschätzer
\begin{equation}
\hat{\beta} :=
\begin{pmatrix}
\hat{\mu}_0       \\
\hat{\alpha}_2    \\
\hat{\beta}_2     \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\frac{3}{4}\bar{y}_{11} + \frac{1}{4}(\bar{y}_{12} + \bar{y}_{21}) - \frac{1}{4}\bar{y}_{22} \\
\frac{1}{2}(\bar{y}_{21} + \bar{y}_{22}) - \frac{1}{2}(\bar{y}_{11} + \bar{y}_{12})           \\
\frac{1}{2}(\bar{y}_{12} + \bar{y}_{22}) - \frac{1}{2}(\bar{y}_{11} + \bar{y}_{21})           \\
\end{pmatrix},
\end{equation}
wobei
\begin{equation}
\bar{y}_{ij} := \frac{1}{n_{ij}}\sum_{k = 1}^{n_{ij}} y_{ijk} \mbox{ für } 1 \le i,j \le 2
\end{equation}
das Stichprobenmittel der $i,j$ten Gruppe des 2 x 2 ZVA Designs bezeichnet.
\end{theorem}

\footnotesize
\underline{Beweis}

Wir bestimmen zunächst $X^Ty, X^TX$ und $(X^TX)^{-1}$ bei konstantem $n_{ij}$ für $1 \le i,j \le 2$.

# Modellschätzung
\footnotesize
\vspace{1mm}
\underline{Beweis (fortgeführt)}

\tiny
\begin{align}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\begin{split}
X^Ty
& =
\setcounter{MaxMatrixCols}{20}
\begin{pmatrix}
1 & \cdots & 1 & 1 & \cdots & 1 & 1 & \cdots & 1 & 1 & \cdots & 1  	\\
0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 & \cdots & 1 & 1 & \cdots & 1  	\\
0 & \cdots & 0 & 1 & \cdots & 1 & 0 & \cdots & 0 & 1 & \cdots & 1  	\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix*}[l]
y_{111} 	\\ 	\vdots 	\\ y_{11n_{11}}
\\
y_{121} 	\\ 	\vdots 	\\ y_{12n_{12}}
\\
y_{211} 	\\ 	\vdots 	\\ y_{21n_{21}}
\\
y_{221} 	\\ 	\vdots 	\\ y_{22n_{22}}
\end{pmatrix*}
\\
& =
\begin{pmatrix*}[l]
\sum_{i=1}^2 \sum_{j=1}^2 \sum_{k = 1}^{n_{ij}} y_{ijk} 	\\
\sum_{j=1}^2 \sum_{k = 1}^{n_{2j}} y_{2jk}               	\\
\sum_{i=1}^2 \sum_{k = 1}^{n_{i2}} y_{i2k} 	                \\
\end{pmatrix*}.
\end{split}
\end{align}

# Modellschätzung
\footnotesize
\vspace{1mm}
\underline{Beweis (fortgeführt)}


\tiny
\begin{align}
\renewcommand{\arraystretch}{1}
\begin{split}
X^TX
& =
\setcounter{MaxMatrixCols}{20}
\begin{pmatrix}
1 & \cdots & 1 & 1 & \cdots & 1 & 1 & \cdots & 1 & 1 & \cdots & 1  	\\
0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 & \cdots & 1 & 1 & \cdots & 1  	\\
0 & \cdots & 0 & 1 & \cdots & 1 & 0 & \cdots & 0 & 1 & \cdots & 1  	\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 		& 	0 		& 	0 		 \\
\vdots	&	\vdots	& 	\vdots	 \\
1 		& 	0 		& 	0 	     \\
1 		& 	0 		& 	1 	 	 \\
\vdots	&	\vdots	& 	\vdots	 \\
1 		& 	0 		& 	1 		 \\
1 		& 	1		& 	0 		 \\
\vdots	&	\vdots	& 	\vdots 	 \\
1 		& 	1 		& 	0 		 \\
1 		& 	1 		& 	1 		 \\
\vdots	&	\vdots	& 	\vdots	 \\
1 		& 	1 		& 	1 		 \\
\end{pmatrix}
\\
&
=
n_{ij}
\begin{pmatrix*}[r]
4 & 2 & 2 \\
2 & 2 & 1 \\
2 & 1 & 2 \\
\end{pmatrix*}
\end{split}
\end{align}


# Modellschätzung
\footnotesize
\vspace{1mm}
\underline{Beweis (fortgeführt)}

Ohne Beweis halten wir weiterhin fest, dass

\begin{align}
(X^T X)^{-1}
=
n_{ij}
\begin{pmatrix*}[r]
4 & 2 & 2 \\
2 & 2 & 1 \\
2 & 1 & 2\\
\end{pmatrix*}^{-1}
=
\frac{1}{n_{ij}}
\begin{pmatrix*}[r]
 \frac{3}{4} & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\
-\frac{1}{2} & 1            & 0            \\
-\frac{1}{2} & 0            & 1            \\
\end{pmatrix*}
\end{align}

Es ergibt sich also
\begin{equation}
\hat{\beta}
=
\begin{pmatrix}
\hat{\mu}_0      \\
\hat{\alpha}_2   \\
\hat{\beta}_2    \\
\end{pmatrix}
=
\frac{1}{n_{ij}}
\begin{pmatrix*}[r]
 \frac{3}{4} & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\
-\frac{1}{2} & 1            & 0            \\
-\frac{1}{2} & 0            & 1            \\
\end{pmatrix*}
\begin{pmatrix*}[l]
\sum_{i=1}^2 \sum_{j=1}^2 \sum_{k = 1}^{n_{ij}} y_{ijk} 	\\
\sum_{j=1}^2 \sum_{k = 1}^{n_{2j}} y_{2jk}               	\\
\sum_{i=1}^2 \sum_{k = 1}^{n_{i2}} y_{i2k} 	                \\
\end{pmatrix*}.
\end{equation}

# Modellschätzung
\footnotesize
\underline{Beweis (fortgeführt)}

Damit ergibt sich dann
\tiny
\begin{align}
\begin{split}
\hat{\mu}_0
& =
\frac{1}{n_{ij}}
\left(
  \frac{3}{4}\sum_{i=1}^2 \sum_{j=1}^2 \sum_{k = 1}^{n_{ij}} y_{ijk}
- \frac{1}{2}\sum_{j=1}^2 \sum_{k = 1}^{n_{2j}} y_{2jk}
- \frac{1}{2}\sum_{i=1}^2 \sum_{k = 1}^{n_{i2}} y_{i2k}
\right)
\\
& =
\frac{1}{n_{ij}}
\left(
  \frac{3}{4}\sum_{k = 1}^{n_{11}} y_{11k}
+ \frac{3}{4}\sum_{k = 1}^{n_{12}} y_{12k}
+ \frac{3}{4}\sum_{k = 1}^{n_{21}} y_{21k}
+ \frac{3}{4}\sum_{k = 1}^{n_{22}} y_{22k}
\right)
\\
&
+ \frac{1}{n_{ij}}
\left(
- \frac{1}{2}\sum_{k = 1}^{n_{21}} y_{21k} - \frac{1}{2}\sum_{k = 1}^{n_{22}} y_{22k}
- \frac{1}{2}\sum_{k = 1}^{n_{12}} y_{12k} - \frac{1}{2}\sum_{k = 1}^{n_{22}} y_{22k}
\right)
\\
& = \frac{1}{n_{ij}}
\left(
  \frac{3}{4}\sum_{k = 1}^{n_{11}} y_{11k}
+ \frac{1}{4}\sum_{k = 1}^{n_{12}} y_{12k}
+ \frac{1}{4}\sum_{k = 1}^{n_{21}} y_{21k}
- \frac{1}{4}\sum_{k = 1}^{n_{22}} y_{22k}
\right)
\\
& =
  \frac{3}{4}\bar{y}_{11}
+ \frac{1}{4}(\bar{y}_{12} + \bar{y}_{21})
- \frac{1}{4}\bar{y}_{22}
\end{split}
\end{align}

# Modellschätzung
\footnotesize
\underline{Beweis (fortgeführt)}

sowie
\tiny
\begin{align}
\begin{split}
\hat{\alpha}_2
& =
\frac{1}{n_{ij}}
\left(
- \frac{1}{2} \sum_{i=1}^2 \sum_{j=1}^2 \sum_{k = 1}^{n_{ij}} y_{ijk} + \sum_{j=1}^2 \sum_{k = 1}^{n_{2j}} y_{2jk}
\right)
\\
& =
\frac{1}{n_{ij}}
\left(
- \frac{1}{2}\sum_{k = 1}^{n_{11}} y_{11k}
- \frac{1}{2}\sum_{k = 1}^{n_{12}} y_{12k}
- \frac{1}{2}\sum_{k = 1}^{n_{21}} y_{21k}
- \frac{1}{2}\sum_{k = 1}^{n_{22}} y_{22k}
+            \sum_{k = 1}^{n_{21}} y_{21k}
+            \sum_{k = 1}^{n_{22}} y_{22k}
\right)
\\
& =
\frac{1}{n_{ij}}
\left(
- \frac{1}{2}\sum_{k = 1}^{n_{11}} y_{11k}
- \frac{1}{2}\sum_{k = 1}^{n_{12}} y_{12k}
+ \frac{1}{2}\sum_{k = 1}^{n_{21}} y_{21k}
+ \frac{1}{2}\sum_{k = 1}^{n_{22}} y_{22k}
\right)
\\
& = \frac{1}{2}(\bar{y}_{21} + \bar{y}_{22}) - \frac{1}{2}(\bar{y}_{11} + \bar{y}_{12})
\end{split}
\end{align}
\footnotesize
und analog für $\hat{\beta}_2$.




# Modellschätzung
\vspace{2mm}
\textcolor{darkblue}{Beispiel}
\tiny
\vspace{1mm}
\setstretch{.6}
```{r}
# Datenreformatierung
fname      = file.path(getwd(), "11_Daten", "11_Zweifaktorielle_Varianzanalyse_Daten.csv")
D          = read.table(fname, sep = ",", header = TRUE)     # Datensatz
A1B1       = D$BDI[D$Therapy == "F2F" & D$Age == "YA" ]      # Face-to-face, younger adults
A1B2       = D$BDI[D$Therapy == "F2F" & D$Age == "OA" ]      # Face-to-face, younger adults
A2B1       = D$BDI[D$Therapy == "ONL" & D$Age == "YA" ]      # Online,       older   adults
A2B2       = D$BDI[D$Therapy == "ONL" & D$Age == "OA" ]      # Online,       older   adults

# Datenmatrix für Gruppenmittelwerte
n_ij       = length(A1B1)                                    # Anzahl Datenpunkte pro Gruppe
Y          = matrix(c(A1B1,A1B2,A2B1,A2B2), nrow = n_ij)     # Datenmatrix
bar_y      = colMeans(Y)                                     # Zellenmittelwerte

# Modellschätzung
I          = 2                                               # Anzahl Level Faktor A (Therapie)
J          = 2                                               # Anzahl Level Faktor B (Alter)
n          = I*J*n_ij                                        # Anzahl Datenpunkte
p          = 1 + (I-1)+(J-1)+(I*J-3)                         # Anzahl Parameter
D          = matrix(c(1,0,0,                                 # Prototypische Designmatrix für balancierte Designs
                      1,0,1,
                      1,1,0,
                      1,1,1), nrow = p, byrow = TRUE)
C          = matrix(rep(1,n_ij),nrow = n_ij)                 # Prototypischer Zellenvektor für balancierte Designs
X          = kronecker(D,C)                                  # Kroneckerprodukt Designmatrix
y          = matrix(c(A1B1,A1B2,A2B1,A2B2), nrow = n)        # Datenvektor
beta_hat   = solve(t(X) %*% X) %*% t(X) %*% y                # Betaparameterschätzer
eps_hat    = y - X %*% beta_hat                              # Residuenvektor
sigsqr_hat = (t(eps_hat) %*% eps_hat) /(n-p)                 # Varianzparameterschätzer
cat("hat{beta}                            : "   , beta_hat,  # Ausgabe
    "\nhat{sigsqr}                          : " , sigsqr_hat,
    "\ny_11,y_12,y_21,y_22                  : " , bar_y,
    "\n3/4y_11 + 1/4(y_12 + y_21) - 1/4y_22 : " , (3/4)*bar_y[1]+(1/4)*(bar_y[2]+bar_y[3])-(1/4)*bar_y[4],
    "\n1/2(y_21 + y_22) - 1/2(y_11 + y_12)  : " , (1/2)*(bar_y[3]+bar_y[4])-(1/2)*(bar_y[1] + bar_y[2]),
    "\n1/2(y_12 + y_22) - 1/2(y_11 + y_21)  : " , (1/2)*(bar_y[2]+bar_y[4])-(1/2)*(bar_y[1] + bar_y[3]))

```

# Modellschätzung
\footnotesize
\begin{theorem}[\begin{small} Betaparameterschätzung im 2 x 2 ZVA Modell mit Interaktion und Referenzgruppe \end{small}]
\justifying
\normalfont
Gegeben sei die Designmatrixform eines balancierten 2 x 2 ZVA Modells mit
Interaktion und Referenzgruppe. Dann ergibt sich für den Betaparameterschätzer
\begin{equation}
\hat{\beta} :=
\begin{pmatrix}
\hat{\mu}_0       \\
\hat{\alpha}_2    \\
\hat{\beta}_2     \\
\hat{\gamma}_{22} \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\bar{y}_{11} \\
\bar{y}_{21} - \bar{y}_{11} \\
\bar{y}_{12} - \bar{y}_{11} \\
\bar{y}_{11} + \bar{y}_{22} - \bar{y}_{12} - \bar{y}_{21}  \\
\end{pmatrix},
\end{equation}
wobei
\begin{equation}
\bar{y}_{ij} := \frac{1}{n_{ij}}\sum_{k = 1}^{n_{ij}} y_{ijk} \mbox{ für } 1 \le i,j \le 2
\end{equation}
das Stichprobenmittel der $i,j$ten Gruppe des 2 x 2 ZVA Designs bezeichnet.
\end{theorem}

\footnotesize
\underline{Beweis}

Wir bestimmen zunächst $X^Ty, X^TX$ und $(X^TX)^{-1}$ bei konstantem $n_{ij}$ für $1 \le i,j \le 2$.

# Modellschätzung
\footnotesize
\vspace{1mm}
\underline{Beweis (fortgeführt)}

\tiny
\begin{align}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\begin{split}
X^Ty
& =
\setcounter{MaxMatrixCols}{20}
\begin{pmatrix}
1 & \cdots & 1 & 1 & \cdots & 1 & 1 & \cdots & 1 & 1 & \cdots & 1  	\\
0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 & \cdots & 1 & 1 & \cdots & 1  	\\
0 & \cdots & 0 & 1 & \cdots & 1 & 0 & \cdots & 0 & 1 & \cdots & 1  	\\
0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 & \cdots & 1  	\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix*}[l]
y_{111} 	\\ 	\vdots 	\\ y_{11n_{11}}
\\
y_{121} 	\\ 	\vdots 	\\ y_{12n_{12}}
\\
y_{211} 	\\ 	\vdots 	\\ y_{21n_{21}}
\\
y_{221} 	\\ 	\vdots 	\\ y_{22n_{22}}
\end{pmatrix*}
\\
& =
\begin{pmatrix*}[l]
\sum_{i=1}^2 \sum_{j=1}^2 \sum_{k = 1}^{n_{ij}} y_{ijk} 	\\
\sum_{j=1}^2 \sum_{k = 1}^{n_{2j}} y_{2jk}               	\\
\sum_{i=1}^2 \sum_{k = 1}^{n_{i2}} y_{i2k} 	                \\
\sum_{k = 1}^{n_{22}} y_{22k}                             	\\
\end{pmatrix*}.
\end{split}
\end{align}

# Modellschätzung
\footnotesize
\vspace{1mm}
\underline{Beweis (fortgeführt)}


\tiny
\begin{align}
\renewcommand{\arraystretch}{1}
\begin{split}
X^TX
& =
\setcounter{MaxMatrixCols}{20}
\begin{pmatrix}
1 & \cdots & 1 & 1 & \cdots & 1 & 1 & \cdots & 1 & 1 & \cdots & 1  	\\
0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 & \cdots & 1 & 1 & \cdots & 1  	\\
0 & \cdots & 0 & 1 & \cdots & 1 & 0 & \cdots & 0 & 1 & \cdots & 1  	\\
0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 & \cdots & 1  	\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 		& 	0 		& 	0 		 & 	0	    \\
\vdots	&	\vdots	& 	\vdots	 & 	\vdots	\\
1 		& 	0 		& 	0 		 & 	0	    \\
1 		& 	0 		& 	1 	 	 & 	0       \\
\vdots	&	\vdots	& 	\vdots	 & 	\vdots	\\
1 		& 	0 		& 	1 		 & 	0	    \\
1 		& 	1		& 	0 		 & 	0	    \\
\vdots	&	\vdots	& 	\vdots 	 & 	\vdots  \\
1 		& 	1 		& 	0 		 & 	0    	\\
1 		& 	1 		& 	1 		 & 	1     	\\
\vdots	&	\vdots	& 	\vdots	 & 	\vdots	\\
1 		& 	1 		& 	1 		 & 	1	    \\
\end{pmatrix}
\\
&
=
n_{ij}
\begin{pmatrix*}[r]
4 & 2 & 2 & 1 \\
2 & 2 & 1 & 1 \\
2 & 1 & 2 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 1
\end{pmatrix*}
\end{split}
\end{align}

# Modellschätzung
\footnotesize
\vspace{1mm}
\underline{Beweis (fortgeführt)}

Ohne Beweis halten wir weiterhin fest, dass

\begin{align}
(X^T X)^{-1}
=
n_{ij}
\begin{pmatrix*}[r]
4 & 2 & 2 & 1 \\
2 & 2 & 1 & 1 \\
2 & 1 & 2 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 1
\end{pmatrix*}^{-1}
=
\frac{1}{n_{ij}}
\begin{pmatrix*}[r]
 1 & -1 & -1 &  1 \\
-1 &  2 &  1 & -2 \\
-1 &  1 &  2 & -2 \\
 1 & -2 & -2 &  4 \\
\end{pmatrix*}.
\end{align}
Es ergibt sich also
\begin{equation}
\hat{\beta}
=
\begin{pmatrix}
\hat{\mu}_0      \\
\hat{\alpha}_2   \\
\hat{\beta}_2    \\
\hat{\gamma}_{22} \\
\end{pmatrix}
=
\frac{1}{n_{ij}}
\begin{pmatrix*}[r]
 1 & -1 & -1 &  1 \\
-1 &  2 &  1 & -2 \\
-1 &  1 &  2 & -2 \\
 1 & -2 & -2 &  4 \\
\end{pmatrix*}
\begin{pmatrix*}[l]
\sum_{i=1}^2 \sum_{j=1}^2 \sum_{k = 1}^{n_{ij}} y_{ijk} 	\\
\sum_{j=1}^2 \sum_{k = 1}^{n_{2j}} y_{2jk}               	\\
\sum_{i=1}^2 \sum_{k = 1}^{n_{i2}} y_{i2k} 	                \\
\sum_{k = 1}^{n_{22}} y_{22k}                             	\\
\end{pmatrix*}.
\end{equation}


# Modellschätzung
\footnotesize
\underline{Beweis (fortgeführt)}

Damit ergibt sich dann
\tiny
\begin{align}
\begin{split}
\hat{\mu}_0
& =
\frac{1}{n_{ij}}
\left(
  \sum_{i=1}^2 \sum_{j=1}^2 \sum_{k = 1}^{n_{ij}} y_{ijk}
- \sum_{j=1}^2 \sum_{k = 1}^{n_{2j}} y_{2jk}
- \sum_{i=1}^2 \sum_{k = 1}^{n_{i2}} y_{i2k}
+ \sum_{k = 1}^{n_{22}} y_{22k}
\right)
\\
& =
\frac{1}{n_{ij}}
\left(\sum_{k = 1}^{n_{11}} y_{11k} + \sum_{k = 1}^{n_{12}} y_{12k} + \sum_{k = 1}^{n_{21}} y_{21k} + \sum_{k = 1}^{n_{22}} y_{22k}\right)
\\
&
+ \frac{1}{n_{ij}}
\left(
  - \sum_{k = 1}^{n_{21}} y_{21k} - \sum_{k = 1}^{n_{22}} y_{22k}
  - \sum_{k = 1}^{n_{12}} y_{12k} - \sum_{k = 1}^{n_{22}} y_{22k}
  + \sum_{k = 1}^{n_{22}} y_{22k}
\right)
\\
& = \frac{1}{n_{11}} \sum_{k = 1}^{n_{11}} y_{11k}
\\
& = \bar{y}_{11}
\end{split}
\end{align}

# Modellschätzung
\footnotesize
\underline{Beweis (fortgeführt)}

sowie
\tiny
\begin{align}
\begin{split}
\hat{\alpha}_2
& =
\frac{1}{n_{ij}}
\left(
-  \sum_{i=1}^2 \sum_{j=1}^2 \sum_{k = 1}^{n_{ij}} y_{ijk}
+ 2\sum_{j=1}^2 \sum_{k = 1}^{n_{2j}} y_{2jk}
+ 1\sum_{i=1}^2 \sum_{k = 1}^{n_{i2}} y_{i2k}
- 2 \sum_{k = 1}^{n_{22}} y_{22k}
\right)
\\
& =
\frac{1}{n_{ij}}
\left(
-\sum_{k = 1}^{n_{11}} y_{11k} - \sum_{k = 1}^{n_{12}} y_{12k} - \sum_{k = 1}^{n_{21}} y_{21k} - \sum_{k = 1}^{n_{22}} y_{22k}
\right)
\\
&
+ \frac{1}{n_{ij}}
\left(
  2\sum_{k = 1}^{n_{21}} y_{21k} +2\sum_{k = 1}^{n_{22}} y_{22k}
+  \sum_{k = 1}^{n_{12}} y_{12k} + \sum_{k = 1}^{n_{22}} y_{22k}
- 2\sum_{k = 1}^{n_{22}} y_{22k}
\right)
\\
&
= \frac{1}{n_{ij}}\left(\sum_{k = 1}^{n_{21}} y_{21k} - \sum_{k = 1}^{n_{11}} y_{11k}\right)
\\
&
= \bar{y}_{21} - \bar{y}_{11}
\end{split}
\end{align}
\footnotesize
und analog für $\hat{\beta}_2$.

# Modellschätzung
\footnotesize
\underline{Beweis (fortgeführt)}

Schließlich ergibt sich
\tiny
\begin{align}
\begin{split}
\hat{\gamma}_{22}
& =
\frac{1}{n_{ij}}
\left(
   \sum_{i=1}^2 \sum_{j=1}^2 \sum_{k = 1}^{n_{ij}} y_{ijk}
- 2\sum_{j=1}^2 \sum_{k = 1}^{n_{2j}} y_{2jk}
- 2\sum_{i=1}^2 \sum_{k = 1}^{n_{i2}} y_{i2k}
+ 4 \sum_{k = 1}^{n_{22}} y_{22k}
\right)
\\
& =
\frac{1}{n_{ij}}
\left(\sum_{k = 1}^{n_{11}} y_{11k} + \sum_{k = 1}^{n_{12}} y_{12k} + \sum_{k = 1}^{n_{21}} y_{21k} + \sum_{k = 1}^{n_{22}} y_{22k}\right)
\\
&
+ \frac{1}{n_{ij}}
\left(
  - 2\sum_{k = 1}^{n_{21}} y_{21k} - 2\sum_{k = 1}^{n_{22}} y_{22k}
  - 2\sum_{k = 1}^{n_{12}} y_{12k} - 2\sum_{k = 1}^{n_{22}} y_{22k}
  + 4\sum_{k = 1}^{n_{22}} y_{22k}
\right)
\\
& =
\frac{1}{n_{ij}}
\left(
  \sum_{k = 1}^{n_{11}} y_{11k}
+ \sum_{k = 1}^{n_{22}} y_{22k}
- \sum_{k = 1}^{n_{12}} y_{12k}
- \sum_{k = 1}^{n_{21}} y_{21k}
\right)
\\
& = \bar{y}_{11} + \bar{y}_{22} - \bar{y}_{12} - \bar{y}_{21}.
\end{split}
\end{align}


# Modellschätzung
\vspace{2mm}
\textcolor{darkblue}{Beispiel}
\tiny
\vspace{1mm}
\setstretch{.6}
```{r}
# Datenreformatierung
fname      = file.path(getwd(), "11_Daten", "11_Zweifaktorielle_Varianzanalyse_Daten.csv")
D          = read.table(fname, sep = ",", header = TRUE)     # Datensatz
A1B1       = D$BDI[D$Therapy == "F2F" & D$Age == "YA" ]      # Face-to-face, younger adults
A1B2       = D$BDI[D$Therapy == "F2F" & D$Age == "OA" ]      # Face-to-face, younger adults
A2B1       = D$BDI[D$Therapy == "ONL" & D$Age == "YA" ]      # Online,       older   adults
A2B2       = D$BDI[D$Therapy == "ONL" & D$Age == "OA" ]      # Online,       older   adults

# Datenmatrix für Gruppenmittelwerte
n_ij       = length(A1B1)                                    # Anzahl Datenpunkte pro Gruppe
Y          = matrix(c(A1B1,A1B2,A2B1,A2B2), nrow = n_ij)     # Datenmatrix
bar_y      = colMeans(Y)                                     # Zellenmittelwerte

# Modellschätzung
I          = 2                                               # Anzahl Level Faktor A (Therapie)
J          = 2                                               # Anzahl Level Faktor B (Alter)
n          = I*J*n_ij                                        # Anzahl Datenpunkte
p          = 1 + (I-1)+(J-1)+(I*J-3)                         # Anzahl Parameter
D          = matrix(c(1,0,0,0,                               # Prototypische Designmatrix für balancierte Designs
                      1,0,1,0,
                      1,1,0,0,
                      1,1,1,1), nrow = p, byrow = TRUE)
C          = matrix(rep(1,n_ij),nrow = n_ij)                 # Prototypischer Zellenvektor für balancierte Designs
X          = kronecker(D,C)                                  # Kroneckerprodukt Designmatrix
y          = matrix(c(A1B1,A1B2,A2B1,A2B2), nrow = n)        # Datenvektor
beta_hat   = solve(t(X) %*% X) %*% t(X) %*% y                # Betaparameterschätzer
eps_hat    = y - X %*% beta_hat                              # Residuenvektor
sigsqr_hat = (t(eps_hat) %*% eps_hat) /(n-p)                 # Varianzparameterschätzer
cat("hat{beta}                 : "   , beta_hat,             # Ausgabe
    "\nhat{sigsqr}               : " , sigsqr_hat,
    "\ny_11,y_12,y_21,y_22       : " , bar_y,
    "\ny_11                      : " , bar_y[1],
    "\ny_21 - y_11               : " , bar_y[3]-bar_y[1],
    "\ny_12 - y_11               : " , bar_y[2]-bar_y[1],
    "\ny_11 + y_22 - y_12 + y_21 : " , bar_y[1]+bar_y[4]-bar_y[3]-bar_y[2])
```

#
\large
\setstretch{2.7}
\vfill
Anwendungsszenario

Modellformulierung

Modellschätzung

**Modellevaluation**

Selbstkontrollfragen
\vfill

# Modellevaluation
\textcolor{darkblue}{Überblick}

\small
Wie bei der EVA kann auch bei der ZVA eine Modellevaluationstheorie mithilfe 
einer Quadratsummenzerlegung entwickelt werden (vgl. Inferenzstatistik SoSe 2021).
Mit zunehmender Designkomplexität wird eine solche Theorie allerdings zunehmend unübersichtlich.
Prinzipiell können alle Quadratsummenzerlegung-basierten F-Statistiken auf 
Likelihood-basierte Modellvergleich zurückgeführt werden. Allerdings fehlt dazu 
in diesem Kurs bisher eine allgemeine Kontrasttheorie. Wir beschränken
und im Folgenden aufgrund dieser Tatsachen deshalb auf die

(1) Evaluation der Haupteffekte  im additiven Modell der 2 x 2 ZVA mit Referenzgruppe und die
(2) Evaluation der Interaktion im Modell der 2 x 2 ZVA mit Interaktion und Referenzgruppe

Zukünftige Iterationen dieses Kurses werden eine allgemeine Kontrasttheorie und 
ihren Bezug zu Quadratsummenzerlegungen und Modellvergleichen beinhalten, siehe 
dazu zum Beispiel Poline (2012) Neuroimage 15;62(2):871-80 und  Christensen (2011) 
Plane Answers to Complex Questions: The Theory of General Linear Models.

# Modellevaluation
\setstretch{2.1}

\textcolor{darkblue}{Evaluation der Haupteffekte  im additiven Modell der 2 x 2 ZVA mit Referenzgruppe}

(1) Statistische Modelle und Teststatistiken

(2) Testhypothesen und Tests

(3) Testumfangkontrollen und p-Werte

\textcolor{darkblue}{Evaluation der Interaktion im Modell der 2 x 2 ZVA mit Interaktion und Referenzgruppe}

(1) Statistisches Modell und Teststatistik

(2) Testhypothese und Test

(3) Testumfangkontrolle und p-Wert

# \small Modellevaluation | Haupteffekte im additiven Modell der 2 x 2 ZVA mit Referenzgruppe
\vspace{1mm}
\footnotesize
\begin{theorem}[Teststatistiken für Haupteffekte]
\justifying
\normalfont
Es sei
\begin{equation}
y = X\beta + \varepsilon \mbox{ mit } \varepsilon \sim N(0_n,\sigma^2I_n)
\end{equation}
die Designmatrixform des additiven Modells der 2 x 2 ZVA mit Referenzgruppe, wobei die $n \times 1$ Spalten von $X$ bezeichnet
seien durch
\begin{equation}
X := \begin{pmatrix} X_{\mu_0} & X_{\alpha_2} & X_{\beta_2} \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{n \times 3}
\end{equation}
Dann gelten
\begin{itemize}
\item[(A)] Eine \textit{F-Teststatistik für den Haupteffekt von Faktor A} ist die F-Statistik
des ALMs mit
\begin{equation}
X_A     := \begin{pmatrix} X_{\mu_0} &   X_{\beta_2} & X_{\alpha_2} \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{n \times 3},
\beta_A := \begin{pmatrix} \mu_0 \\ \beta_2 \\ \alpha_2 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^3
\mbox{ und } p_1 := 2, p_2 := 1.
\end{equation}
\item[(B)] Eine \textit{F-Teststatistik für den Haupteffekt von Faktor B} ist die F-Statistik des ALMs mit
\begin{equation}
X_B    := \begin{pmatrix} X_{\mu_0} & X_{\alpha_2} & X_{\beta_2} \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{n \times 3},
\beta_B := \begin{pmatrix} \mu_0 \\ \alpha_2 \\ \beta_2 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^3
\mbox{ und } p_1 := 2, p_2 := 1.
\end{equation}
\end{itemize}
\end{theorem}

# \small Modellevaluation | Haupteffekte im additiven Modell der 2 x 2 ZVA mit Referenzgruppe
\footnotesize
\begin{definition}[Testhypothesen und Tests]
\justifying
Gegeben sei das Modell der additiven 2 x 2 ZVA und die F-Teststatistiken
für die Haupteffekte von Faktor A und B seien mit $F_A, F_B$ und $F_{A \times B}$
bezeichnet und wie oben definiert. Dann gelten folgende Definitionen:
\begin{itemize}
\item[(A)] Der kritische Wert-basierte Test
\begin{equation}
\phi_A(y) := 1_{\{F_A \ge k\}} \mbox{ mit Nullhypothese } H_0^A : \alpha_2 = 0
\end{equation}
definiert den \textit{F-Test des Haupteffekts von Faktor A} im Modell mit $X_A, \beta_A$.
\item[(B)] Der kritische Wert-basierte Test
\begin{equation}
\phi_B(y) := 1_{\{F_B \ge k\}} \mbox{ mit Nullhypothese } H_0^B : \beta_2 = 0
\end{equation}
definiert den \textit{F-Test des Haupteffekts von Faktor B} im Modell mit $X_B, \beta_B$.
\end{itemize}
\end{definition}

# \small Modellevaluation | Haupteffekte im additiven Modell der 2 x 2 ZVA mit Referenzgruppe
\footnotesize
\begin{theorem}[Testumfangkontrolle und p-Werte]
\justifying
\normalfont
Mit obigen Definition und der KVF $\varphi$ der $f$-Verteilung gelten:
\begin{itemize}
\item[(A)] $\phi_A$ ist ein Level-$\alpha_0$-Test mit Testumfang $\alpha_0$, wenn der
kritische Wert ist definiert durch
\begin{equation}
k_{\alpha_0}^A := \varphi^{-1}(1-\alpha_0; 1,n-3)
\end{equation}
und der zu einem beobachteten Wert $f_A$ von $F_A$ assoziierte p-Wert ist gegeben durch
\begin{equation}
\mbox{p}_A\mbox{-Wert} := 1 - \varphi(1-\alpha_0; 1,n-3).
\end{equation}
\item[(B)] $\phi_B$ ist ein Level-$\alpha_0$-Test mit Testumfang $\alpha_0$, wenn der
kritische Wert ist definiert durch
\begin{equation}
k_{\alpha_0}^B := \varphi^{-1}(1-\alpha_0; 1,n-3)
\end{equation}
und der zu einem beobachteten Wert $f_B$ von $F_B$ assoziierte p-Wert ist gegeben durch
\begin{equation}
\mbox{p}_B\mbox{-Wert} := 1 - \varphi(1-\alpha_0; 1,n-3).
\end{equation}
\end{itemize}
\end{theorem}
Bemerkung

* Wir verzichten auf einen Beweis.

# \small Modellevaluation | Haupteffekte im additiven Modell der 2 x 2 ZVA mit Referenzgruppe
\vspace{3mm}
\setstretch{.5}
\tiny

```{r, echo = F}
# Datenreformatierung
fname     = file.path(getwd(), "11_Daten", "11_Zweifaktorielle_Varianzanalyse_Daten.csv")
D         = read.table(fname, sep = ",", header = TRUE)  # Datensatz
A1B1      = D$BDI[D$Therapy == "F2F" & D$Age == "YA" ]   # Face-to-face, younger adults
A1B2      = D$BDI[D$Therapy == "F2F" & D$Age == "OA" ]   # Face-to-face, younger adults
A2B1      = D$BDI[D$Therapy == "ONL" & D$Age == "YA" ]   # Online,       older   adults
A2B2      = D$BDI[D$Therapy == "ONL" & D$Age == "OA" ]   # Online,       older   adults
```

```{r}
# Modellevaluation
I          = 2                                           # Anzahl Level Faktor A (Therapie)
J          = 2                                           # Anzahl Level Faktor B (Alter)
n_ij       = length(A1B1)                                # balanciertes ANOVA Design
n          = I*J*n_ij                                    # Anzahl Datenpunkte
p          = 3                                           # Anzahl Parameter vollständiges Modell
y          = matrix(c(A1B1,A1B2,A2B1,A2B2), nrow = n)    # Datenvektor
D          = matrix(c(1,0,0,1,0,1,1,1,0,1,1,1),          # Prototypische Designmatrix
                     nrow = I*J,byrow=TRUE)
C          = matrix(rep(1,n_ij),nrow = n_ij)             # Prototypischer Zellenvektor für balancierte Designs
X          = kronecker(D,C)                              # ZVA Kroneckerprodukt Designmatrix
XH         = list(X[,c(1,3,2)], X)                       # Modellvarianten
alpha_0    = 0.05                                        # Signifikanzlevel
Eff        = rep(NaN,2)                                  # F-Teststatistik Arrayinitialisierung
k_alpha_0  = rep(NaN,2)                                  # Kritischer Wert Arrayinitialisierung
phi        = rep(NaN,2)                                  # Testwert Arrayinitialisierung
p_vals     = rep(NaN,2)                                  # p-Wert Arrayinitialisierung
for(i in 1:2){                                           # Iteration über Modellvarianten
    X            = XH[[i]]                               # Designmatrix vollständiges Modell
    X_1          = X[,-3]                                # Designmatrix reduziertes Modell
    p            = ncol(X)                               # Anzahl Parameter vollständiges Modell
    p_1          = ncol(X_1)                             # Anzahl Parameter reduziertes Modell
    p_2          = p - p_1                               # Anzahl zusätzlicher Parameter im vollst. Modell
    beta_hat_1   = solve(t(X_1)%*%X_1)%*%t(X_1)%*%y      # Betaparameterschätzer reduziertes Modell
    beta_hat     = solve(t(X) %*%X )%*%t(X) %*%y         # Betaparameterschätzer vollständiges Modell
    eps_hat_1    = y-X_1%*%beta_hat_1                    # Residuenvektor reduziertes Modell
    eps_hat      = y - X%*%beta_hat                      # Residuenvektor vollständiges Modell
    eh1_eh1      = t(eps_hat_1) %*% eps_hat_1            # RQS reduziertes Modell
    eh_eh        = t(eps_hat) %*% eps_hat                # RQS vollständiges Modell
    sigsqr_hat   = eh_eh/(n-p)                           # Varianzparameterschätzer vollst. Modell
    Eff[i]       = ((eh1_eh1-eh_eh)/p_2)/sigsqr_hat      # F-Statistik
    k_alpha_0[i] = qf(1-alpha_0, p_2, n-p)               # kritischer Wert
    if(Eff[i] >= k_alpha_0[i]){ phi[i] = 1 }             # H_0 Ablehnen
    else {                      phi[i] = 0 }             # H_A Annehmen
    p_vals[i]    = 1 - pf(Eff[i], p_2,n-p)               # p-Wert
}
data.frame("f"= Eff,"k" = k_alpha_0,"phi"= phi, "p-Wert" = p_vals, row.names = c("Therapy", "Age"))
```

# \small Modellevaluation | Haupteffekte im additiven Modell der 2 x 2 ZVA mit Referenzgruppe
\small
\textcolor{darkblue}{Haupteffekte der additiven 2 x 2 ZVA mit R's aov() Funktion}
\tiny
\setstretch{.8}
\vspace{1mm}

```{r}
# Dateneinlesen
fname      = file.path(getwd(), "11_Daten", "11_Zweifaktorielle_Varianzanalyse_Daten.csv")
D          = read.table(fname, sep = ",", header = TRUE)

# R's aov Funktion
res.aov    = aov(BDI ~ Therapy + Age, data = D)                # Modellformulierung und Modellschätzung
summary(res.aov)                                               # Modellevaluation
```

\vspace{2mm}

\small
\textcolor{darkblue}{Haupteffekte der additiven 2 x 2 ZVA mit R's lm() und anova() Funktionen}
\tiny
\setstretch{.8}
\vspace{1mm}
```{r}
# Dateneinlesen
fname      = file.path(getwd(), "11_Daten", "11_Zweifaktorielle_Varianzanalyse_Daten.csv")
D          = read.table(fname, sep = ",", header = TRUE)

# R's lm (linear model) und anova() Funktionen
glm        = lm(BDI ~ Therapy + Age, data = D)                # Modellformulierung und Modellschätzung
anova(glm)                                                    # Modellevaluation
```

# Modellevaluation
\setstretch{2.1}

\textcolor{darkblue}{Evaluation der Haupteffekte  im additiven Modell der 2 x 2 ZVA mit Referenzgruppe}

(1) Statistische Modelle und Teststatistiken

(2) Testhypothesen und Tests

(3) Testumfangkontrollen und p-Werte

\textcolor{darkblue}{Evaluation der Interaktion im Modell der 2 x 2 ZVA mit Interaktion und Referenzgruppe}

(1) Statistisches Modell und Teststatistik

(2) Testhypothe und Test

(3) Testumfangkontrolle und p-Wert

# \small Modellevaluation | Interaktion im Modell der 2 x 2 ZVA mit Interaktion und Referenzgruppe
\vspace{2mm}
\footnotesize
\begin{theorem}[Teststatistik für die Interaktion]
\justifying
\normalfont
Es sei
\begin{equation}
y = X\beta + \varepsilon \mbox{ mit } \varepsilon \sim N(0_n,\sigma^2I_n)
\end{equation}
die Designmatrixform des 2 x 2 ZVA Modells mit Interaktion und Referenzgruppe. 
Dann ist die F-Statistik mit $p_1 := 3$ und $p_2 := 1$ eine F-Teststatistik für
die Interaktion von Faktor A und Faktor B.
\end{theorem}
\begin{definition}[Testhypothese und Test]
\justifying
Die F-Teststatistik für die Interaktion von Faktor A und Faktor B sei mit $F_{A \times B}$
bezeichnet und wie oben definiert. Dann definiert der kritische Wert-basierte Test
\begin{equation}
\phi_{A\times B}(y) := 1_{\{F_{A \times B} \ge k\}} \mbox{ mit Nullhypothese } H_0^{A\times B} : \gamma_{22} = 0
\end{equation}
den \textit{F-Test der Interaktion von Faktor A und Faktor B}.
\end{definition}
\begin{theorem}[Testumfangkontrolle und p-Wert]
\justifying
\normalfont
Mit obigen Definition und der KVF $\varphi$ der $f$-Verteilung gilt, dass
$\phi_{A\times B}$ ist ein Level-$\alpha_0$-Test mit Testumfang $\alpha_0$ ist, 
wenn der kritische Wert ist definiert durch
\begin{equation}
k_{\alpha_0}^{A \times B} := \varphi^{-1}(1-\alpha_0; 1,n-4)
\end{equation}
und der zu einem beobachteten Wert $f_{A \times B}$ von $F_{A \times B}$ 
assoziierte p-Wert ist gegeben durch
\begin{equation}
\mbox{p}_{A \times B}\mbox{-Wert} := 1 - \varphi(1-\alpha_0; 1,n-4).
\end{equation}
\end{theorem}

# \small Modellevaluation | Interaktion im Modell der 2 x 2 ZVA mit Interaktion und Referenzgruppe
\vspace{3mm}
\setstretch{.5}
\tiny

```{r, echo = F}
# Datenreformatierung
fname     = file.path(getwd(), "11_Daten", "11_Zweifaktorielle_Varianzanalyse_Daten.csv")
D         = read.table(fname, sep = ",", header = TRUE)  # Datensatz
A1B1      = D$BDI[D$Therapy == "F2F" & D$Age == "YA" ]   # Face-to-face, younger adults
A1B2      = D$BDI[D$Therapy == "F2F" & D$Age == "OA" ]   # Face-to-face, younger adults
A2B1      = D$BDI[D$Therapy == "ONL" & D$Age == "YA" ]   # Online,       older   adults
A2B2      = D$BDI[D$Therapy == "ONL" & D$Age == "OA" ]   # Online,       older   adults
```

```{r}
# Modellevaluation
I          = 2                                           # Anzahl Level Faktor A (Therapie)
J          = 2                                           # Anzahl Level Faktor B (Alter)
n_ij       = length(A1B1)                                # balanciertes ANOVA Design
n          = I*J*n_ij                                    # Anzahl Datenpunkte
p          = 4                                           # Anzahl Parameter vollständiges Modell
y          = matrix(c(A1B1,A1B2,A2B1,A2B2), nrow = n)    # Datenvektor
D          = matrix(c(1,0,0,0,1,0,1,0, 1,1,0,0,1,1,1,1), # Prototypische Designmatrix
                     nrow = I*J,byrow=TRUE)
C          = matrix(rep(1,n_ij),nrow = n_ij)             # Prototypischer Zellenvektor für balancierte Designs
X          = kronecker(D,C)                              # ZVA Kroneckerprodukt Designmatrix
XH         = list(X[,c(1,3,2)], X)                       # Modellvarianten
alpha_0    = 0.05                                        # Signifikanzlevel
X          = XH[[i]]                                     # Designmatrix vollständiges Modell
X_1        = X[,-4]                                      # Designmatrix reduziertes Modell
p          = ncol(X)                                     # Anzahl Parameter vollständiges Modell
p_1        = ncol(X_1)                                   # Anzahl Parameter reduziertes Modell
p_2        = p - p_1                                     # Anzahl zusätzlicher Parameter im vollst. Modell
beta_hat_1 = solve(t(X_1)%*%X_1)%*%t(X_1)%*%y            # Betaparameterschätzer reduziertes Modell
beta_hat   = solve(t(X) %*%X )%*%t(X) %*%y               # Betaparameterschätzer vollständiges Modell
eps_hat_1  = y-X_1%*%beta_hat_1                          # Residuenvektor reduziertes Modell
eps_hat    = y - X%*%beta_hat                            # Residuenvektor vollständiges Modell
eh1_eh1    = t(eps_hat_1) %*% eps_hat_1                  # RQS reduziertes Modell
eh_eh      = t(eps_hat) %*% eps_hat                      # RQS vollständiges Modell
sigsqr_hat = eh_eh/(n-p)                                 # Varianzparameterschätzer vollst. Modell
f          = ((eh1_eh1-eh_eh)/p_2)/sigsqr_hat            # F-Statistik
k_alpha_0  = qf(1-alpha_0, p_2, n-p)                     # kritischer Wert
if(f >= k_alpha_0){phi = 1} else {phi = 0}               # Test
p_val      = 1 - pf(f, p_2,n-p)                          # p-Wert
data.frame("f"= f,"k" = k_alpha_0," phi"= phi, "p-Wert" = p_val, row.names = c("Therapy x Age"))
```

# \small Modellevaluation | Interaktion im Modell der 2 x 2 ZVA mit Interaktion und Referenzgruppe
\small
\textcolor{darkblue}{Interaktion im Modell der 2 x 2 ZVA mit Interaktion mit R's aov() Funktion}
\tiny
\setstretch{.8}
\vspace{1mm}

```{r}
# Dateneinlesen
fname      = file.path(getwd(), "11_Daten", "11_Zweifaktorielle_Varianzanalyse_Daten.csv")
D          = read.table(fname, sep = ",", header = TRUE)

# R's aov Funktion
res.aov    = aov(BDI ~ Therapy + Age + Age:Therapy, data = D)  # Modellformulierung und Modellschätzung
summary(res.aov)                                               # Modellevaluation
``` 

\vspace{2mm}

\small
\textcolor{darkblue}{Interaktion im Modell der 2 x 2 ZVA mit Interaktion mit R's lm() und anova() Funktionen}
\tiny
\setstretch{.8}
\vspace{1mm}
```{r}
# Dateneinlesen
fname      = file.path(getwd(), "11_Daten", "11_Zweifaktorielle_Varianzanalyse_Daten.csv")
D          = read.table(fname, sep = ",", header = TRUE)

# R's lm (linear model) und anova() Funktionen
glm        = lm(BDI ~ Therapy + Age + Therapy:Age, data = D)   # Modellformulierung und Modellschätzung
anova(glm)                                                     # Modellevaluation
```

#
\large
\setstretch{2.7}
\vfill
Anwendungsszenario

Modellformulierung

Modellschätzung

Modellevaluation

**Selbstkontrollfragen**
\vfill

# Selbstkontrollfragen
\footnotesize
\begin{enumerate}
\justifying
\item Erläutern Sie das Anwendungsszenario der zweifaktoriellen Varianzanalyse (ZVA).
\item Aus wie vielen Datenpunkten besteht ein Datensatz eines 3 x 4 ZVA Designs mit 10 Datenpunkten pro Zelle? 
\item Erläutern Sie die intuitive Bedeutung eines Haupteffektes in einem ZVA Design.
\item Erläutern Sie die intuitive Bedeutung einer Interkation ein einem ZVA Design.
\item Geben Sie die Definition des additiven Modells der ZVA mit Referenzgruppe (RG) wieder.
\item Erläutern Sie die Bedeutung der Parameter $\mu_0,\alpha_2$ und $\beta_2$ im additiven Modell der ZVA mit RG.
\item Bestimmen Sie $\mu_{ij}$ für $\mu_0 := 2,\alpha_2 = -1$ und $\beta_2 := 3$ im additiven Modell der ZVA mit RG.
\item Geben Sie die Designmatrixform des Modells einer additiven 2 x 2 ZVA mit RG für $n_{ij} := 1$ an.
\item Geben Sie die Designmatrixform des Modells einer additiven 2 x 2 ZVA mit RG für $n_{ij} := 3$ an.
\item Geben Sie die Definition des Modells der ZVA mit Interaktion und RG wieder.
\item Erläutern Sie die Bedeutung der Parameter $\mu_0,\alpha_2, \beta_2$ und $\gamma_{22}$ im Modell der ZVA mit Interaktion und RG.
\item Geben Sie die Designmatrixform des Modells einer 2 x 2 ZVA mit Interaktion und RG für $n_{ij} := 1$ an.
\item Geben Sie die Designmatrixform des Modells einer 2 x 2 ZVA mit Interaktion und RG für $n_{ij} := 3$ an.
\item Geben Sie das Theorem zur Betaparameterschätzung im additiven 2 x 2 ZVA Modell mit RG wieder.
\item Geben Sie das Theorem zur Betaparameterschätzung im 2 x 2 ZVA Modell mit Interaktion und RG wieder.
\end{enumerate}

# Selbstkontrollfragen
\footnotesize
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{15}
\justifying
\item Erzeugen Sie einen Beispieldatensatz des Anwendungsbeispiels einer 2 x 2 ZVA 
mit den Faktoren Therapie (F2F, ONL) und Alter (YA,OA) basierend
auf dem Modell der ZVA mit Interaktion und Referenzgruppe für von Ihnen selbst gewählte
Parameterwerte $\mu_0,\alpha_2,\beta_2,\gamma_{22}$ und $\sigma^2$. Visualisieren
Sie den erzeugten Datensatz mithilfe eines Barplots, eines Barplots und eines Lineplots.
\item Bestimmen Sie Betaparameterschätzer für den von Ihnen erzeugten Datensatz im
Modell der additiven 2 x 2 ZVA mit Referenzgruppe und im Modell der 2 x 2 mit Interaktion und Referenzgruppe. 
Erläutern Sie die Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Betaparameterschätzer vor dem
Hintergrund der von Ihnen gewählten wahren, aber unbekannten, Parameterwerte des Datensatzes.
\item Führen Sie basierend auf dem von Ihnen erzeugten Datensatz einen F-Test für den Haupteffekt
des Faktors Therapie, einen F-Test für den Haupteffekt des Faktors Alter und einen F-Test für
die Interaktion der Faktoren durch. Dokumentieren und erläutern Sie Ihre Ergebnisse.
\end{enumerate}