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{
\vskip5pt
\vskip2pt
\makebox[123mm]{\hspace{7.5mm}
\hfill Allgemeines Lineares Modell $\vert$ 
\copyright $ $ 2022 Dirk Ostwald CC BY-NC-SA 4.0 $\vert$ 
Folie \insertframenumber}
\vskip4pt
}

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\fi

\author{}
\date{\vspace{-2.5em}}

\begin{document}

\begin{frame}[plain]{}
\protect\hypertarget{section}{}
\center

\begin{center}\includegraphics[width=0.2\linewidth]{4_Abbildungen/alm_4_otto} \end{center}

\vspace{2mm}

\Huge

Allgemeines Lineares Modell \vspace{6mm}

\large

BSc Psychologie SoSe 2022

\vspace{6mm}
\large

Prof.~Dr.~Dirk Ostwald
\end{frame}

\begin{frame}[plain]{}
\protect\hypertarget{section-1}{}
\vfill
\center
\huge

\textcolor{black}{(4) Normalverteilungen} \vfill
\end{frame}

\begin{frame}{Überblick}
\protect\hypertarget{uxfcberblick}{}
\small

Die multivariate Normalverteilung ist zentraler Bestandteil des ALMs.

Die multivariate Normalverteilung ist die multivariate Generalisierung
der univariaten Normalverteilung.

Die Motivation von Normalverteilungsannahmen liegt immer im Zentralen
Grenzwertsatz:

\begin{itemize}
\item
  \justifying Probabilistische Terme repräsentieren die Summation sehr
  vieler Prozesse, die durch die deterministischen Bestandteile eines
  Modell, also eine mechanistische wissenschaftliche Theorie, nicht
  erklärt werden.
\item
  Nach dem Zentralen Grenzwertsatz ist die Summe dieser Prozesse
  normalverteilt.
\end{itemize}

Darüberhinaus hat die Normalverteilung günstige mathematische
Eigenschaften, die auch in der Quantifikation subjektiver Unsicherheit
genutzt werden können. Zur Erarbeitung der Inhalte dieser Einheit bietet
sich eine Revision von (5) Multivariate Verteilungen aus
Wahrscheinlichkeitstheorie und Frequentistische Inferenz an
\end{frame}

\begin{frame}{}
\protect\hypertarget{section-2}{}
\large
\setstretch{2.2}
\vfill

Definition und Eigenschaften

Transformation

Unabhängigkeit

Gemeinsame Verteilungen

Selbstkontrollfragen

\vfill
\end{frame}

\begin{frame}{}
\protect\hypertarget{section-3}{}
\large
\setstretch{2.2}
\vfill

\textbf{Definition und Eigenschaften}

Transformationen

Unabhängigkeit

Gemeinsame Verteilungen

Selbstkontrollfragen

\vfill
\end{frame}

\begin{frame}{Definition und Eigenschaften}
\protect\hypertarget{definition-und-eigenschaften}{}
\setstretch{1.3}
\footnotesize
\begin{definition}[Multivariate Normalverteilung]
\justifying
$y$ sei ein $n$-dimensionaler Zufallsvektor mit Ergebnisraum $\mathbb{R}^n$ und WDF
\begin{equation}
p : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}_{>0},\, \upsilon \mapsto p(\upsilon)
:= (2\pi)^{-\frac{n}{2}}|\Sigma|^{-\frac{1}{2}}\exp\left(-\frac{1}{2}(\upsilon-\mu)^T \Sigma^{-1} (\upsilon-\mu)\right).
\end{equation}
Dann sagen wird, dass $y$ einer \textit{multivariaten (oder $n$-dimensionalen)
Normalverteilung} mit \textit{Erwartungswertparameter} $\mu \in \mathbb{R}^n$ und
positive-definitem \textit{Kovarianzmatrixparameter} $\Sigma \in \mathbb{R}^{n \times n}$
unterliegt und nennen $y$ einen \textit{(multivariat) normalverteilten Zufallsvektor}.
Wir kürzen dies mit $y \sim N(\mu,\Sigma)$ ab. Die WDF eines multivariat
normalverteilten Zufallsvektors bezeichnen wir mit
\begin{equation}
N(\upsilon;\mu,\Sigma):= (2\pi)^{-\frac{n}{2}}|\Sigma|^{-\frac{1}{2}}\exp\left(-\frac{1}{2}(\upsilon-\mu)^T \Sigma^{-1} (\upsilon-\mu)\right).
\end{equation}
\end{definition}

Bemerkungen

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Man beachte, dass wir für Zufallsvektoren von nun an auch kleine
  Buchstaben zulassen.
\item
  \(\upsilon\) ist das kleine griechische Ypsilon.
\item
  Die Dimensionalität von
  \((\upsilon-\mu)^T \Sigma^{-1} (\upsilon-\mu)\) ergibt sich zu
  \((1 \times n)(n \times n)(n \times 1) = 1\)
\item
  Es gilt weiterhin \((\upsilon-\mu)^T \Sigma^{-1} (\upsilon-\mu) >0\),
  weil auch \(\Sigma^{-1}\) positiv-definit ist.
\item
  Der Parameter \(\mu \in \mathbb{R}^n\) entspricht dem Wert höchster
  Wahrscheinlichkeitsdichte
\item
  Der Term \((2\pi)^{-\frac{n}{2}}|\Sigma|^{-\frac{1}{2}}\) ist die
  Normalisierungskonstante für den Exponentialfunktionsterm.
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Definition und Eigenschaften}
\protect\hypertarget{definition-und-eigenschaften-1}{}
\footnotesize
\begin{definition}[Erwartungswert und Kovarianzmatrix von Zufallsvektoren]
\justifying
$y$ sei ein $n$-dimensionaler Zufallvektor. Dann ist der \textit{Erwartungwert}
von $y$ definiert als der $n$-dimensionale Vektor
\begin{equation}
\mathbb{E}(y) :=
\left(\mathbb{E}(y_1), ..., \mathbb{E}(y_n)\right)^T 
\end{equation}
und die  \textit{Kovarianzmatrix} von $y$ ist definiert als die $n \times n$ Matrix
\begin{equation}
\mathbb{C}(y) := \mathbb{E}\left((y - \mathbb{E}(y))(y - \mathbb{E}(y))^T \right)
\end{equation}
\end{definition}

Bemerkungen

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Der Erwartungswert von \(y\) ist der Vektor der Erwartungswerte
  \(\mathbb{E}(y_1), ..., \mathbb{E}(y_n)\).
\item
  Die Kovarianzmatrix ist formal analog zur Kovarianz zweier
  Zufallsvariablen definiert.
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Definition und Eigenschaften}
\protect\hypertarget{definition-und-eigenschaften-2}{}
\footnotesize
\begin{theorem}[Kovarianzmatrix eines Zufallsvektors]
\justifying
\normalfont
$y$ sei ein $n$-dimensionaler Zufallvektor und $\mathbb{C}(y)$ sei seine Kovarianzmatrix.
Dann gilt
\begin{equation}
\mathbb{C}(y) 
= \left(\mathbb{C}(y_i,y_j)\right)_{1 \le i,j \le n}  
= 
\begin{pmatrix}
\mathbb{C}(y_1,y_1) & \mathbb{C}(y_1,y_2) & \cdots & \mathbb{C}(y_1,y_n) \\
\mathbb{C}(y_2,y_1) & \mathbb{C}(y_2,y_2) & \cdots & \mathbb{C}(y_2,y_n) \\
\vdots              & \vdots              & \ddots & \vdots              \\
\mathbb{C}(y_n,y_1) & \mathbb{C}(y_n,y_2) & \cdots & \mathbb{C}(y_n,y_n) \\
\end{pmatrix}.
\end{equation}
\end{theorem}

Bemerkung

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Die Kovarianzmatrix \(\mathbb{C}(y)\) ist also die Matrix der
  Kovarianzen der Komponenten von \(y\).
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Definition und Eigenschaften}
\protect\hypertarget{definition-und-eigenschaften-3}{}
\setstretch{1.2}
\footnotesize
\vspace{1mm}

\underline{Beweis}

Es gilt \tiny \begin{align*}
\mathbb{C}(y)
& := \mathbb{E}\left((y - \mathbb{E}(y))(y - \mathbb{E}(y))^T \right) \\
& =
\mathbb{E}
\left(
\left(
\begin{pmatrix}
y_1 \\
\vdots \\
y_n
\end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix}
\mathbb{E}(y_1) \\
\vdots \\
\mathbb{E}(y_n)
\end{pmatrix}
\right)
\left(
\begin{pmatrix}
y_1 \\
\vdots \\
y_n
\end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix}
\mathbb{E}(y_1) \\
\vdots \\
\mathbb{E}(y_n)
\end{pmatrix}
\right)^T
\right)
\\
& =
\mathbb{E}
\left(
\begin{pmatrix}
y_1 - \mathbb{E}(y_1) \\
\vdots \\
y_n - \mathbb{E}(y_n)
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
y_1 - \mathbb{E}(y_1)\\
\vdots \\
y_n - \mathbb{E}(y_n)
\end{pmatrix}^T
\right)
\\
& =
\mathbb{E}
\left(
\begin{pmatrix}
y_1 - \mathbb{E}(y_1) \\
\vdots \\
y_n - \mathbb{E}(y_n)
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
y_1 - \mathbb{E}(y_1)
& \dots
& y_n - \mathbb{E}(y_n)
\end{pmatrix}
\right) \\
& =
\mathbb{E}
\begin{pmatrix}
  (y_1 - \mathbb{E}(y_1))(y_1 - \mathbb{E}(y_1))
& \dots
& (y_1 - \mathbb{E}(y_1))(y_n - \mathbb{E}(y_n)
\\
\vdots
& \ddots
& \vdots
\\
  (y_n - \mathbb{E}(y_n))(X_1 - \mathbb{E}(y_1))
& \dots
& (y_n - \mathbb{E}(y_n))(X_n - \mathbb{E}(y_n))
\\
\end{pmatrix}
\\
& =
\left(\mathbb{E}\left((y_i - \mathbb{E}(y_i))(y_j - \mathbb{E}(y_j)) \right) \right)_{1 \le i,j \le n} \\
& =
\left(\mathbb{C}(y_i,y_j)\right)_{1 \le i,j \le n} \\
\end{align*}
\end{frame}

\begin{frame}{Definition und Eigenschaften}
\protect\hypertarget{definition-und-eigenschaften-4}{}
\footnotesize
\begin{theorem}[Erwartungswert eines normalverteilten Zufallsvektors]
\justifying
\normalfont
$y \sim N(\mu,\Sigma)$ sei ein multivariat normalverteilter Zufallsvektor mit
Erwartungswertparameter $\mu \in \mathbb{R}^n$ und Kovarianzmatrixparameter $\Sigma \in \mathbb{R}^{n \times n}\mbox{p.d.}$.
Dann gilt
\begin{equation}
\mathbb{E}(y) = \mu.
\end{equation}
\end{theorem}
\vspace{-1mm}

Bemerkungen

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Der Erwartungswert eines normalverteilten Zufallsvektors entspricht
  seinem Erwartungswertparameter.
\item
  Wir verzichten auf einen Beweis.
\end{itemize}

\begin{theorem}[Kovarianzmatrix eines normalverteilten Zufallsvektors]
\justifying
\normalfont
$y \sim N(\mu,\Sigma)$ sei ein multivariat normalverteilter Zufallsvektor mit
Erwartungswertparameter $\mu \in \mathbb{R}^n$ und Kovarianzmatrixparameter 
$\Sigma \in \mathbb{R}^{n \times n}\mbox{p.d.}$.Dann gilt
\begin{equation}
\mathbb{C}(y) = \Sigma.
\end{equation}
\end{theorem}
\vspace{-1mm}

Bemerkungen

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Die Kovarianzmatrix eines normalverteilten Zufallsvektors entspricht
  seinem Kovarianzmatrixparameter.
\item
  Wir verzichten auf einen Beweis.
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Definition und Eigenschaften}
\protect\hypertarget{definition-und-eigenschaften-5}{}
\footnotesize
\begin{theorem}[Bivariate Normalverteilung]
\justifying
\normalfont
Ein $2$-dimensionaler normalverteilter Zufallsvektor $y = (y_1,y_2)^T$ mit 
Ergebnisraum $\mathbb{R}^2$, Erwarungswert und Kovarianzmatrixparameter 
\begin{equation}
\mu 
:= 
\begin{pmatrix}
\mu_1 \\
\mu_2
\end{pmatrix}
\in \mathbb{R}^2
\mbox{ und }
\Sigma 
:= 
\begin{pmatrix}
\sigma_{11}^2 & \sigma_{12}^2 \\
\sigma_{21}^2 & \sigma_{22}^2 \\
\end{pmatrix}
\in \mathbb{R}^{2 \times 2} \mbox{ p.d.},
\end{equation} 
respektive, hat bei Definition von 
\begin{equation}
\rho := \frac{\sigma_{12}^2}{\sigma_{11}^2\sigma_{22}^2}
\end{equation}
die WDF
\begin{equation}
p : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}_{>0},
\upsilon
\mapsto
p(\upsilon) = N(\upsilon; \mu,\Sigma)
\end{equation}
mit
\begin{tiny}
\begin{align*}
\begin{split}
N(\upsilon;\mu,\Sigma) 
= 
& \frac{1}{2\pi(1-\rho^2)^{1/2}\sigma_{11}\sigma_{22}} 
\\
\times
& \exp\left(-\frac{1}{2(1-\rho^2)}
      \left(\left(\frac{\upsilon_1 - \mu_1}{\sigma_{11}}\right)^2
      -2\rho\left(\frac{\upsilon_1 - \mu_1}{\sigma_{11}}\right)\left(\frac{\upsilon_2 - \mu_2}{\sigma_{22}}\right)
      + \left(\frac{\upsilon_2 - \mu_2}{\sigma_{22}}\right)^2
      \right)
      \right)
\end{split}
\end{align*}
\end{tiny}
\end{theorem}
\end{frame}

\begin{frame}{Definition und Eigenschaften}
\protect\hypertarget{definition-und-eigenschaften-6}{}
\textcolor{darkblue}{Bivariate Normalverteilungsdichtefunktionen}
\vspace{2mm}

\begin{center}\includegraphics[width=1\linewidth]{4_Abbildungen/alm_4_mvnwdf} \end{center}
\end{frame}

\begin{frame}{Definition und Eigenschaften}
\protect\hypertarget{definition-und-eigenschaften-7}{}
\footnotesize

\underline{Beweis}

Wir halten zunächst fest, dass aufgrund der positiven Definitheit und
damit der Symmetrie von \(\Sigma\) gilt, dass \begin{equation}
\sigma_{12}^2 = \sigma_{21}^2.
\end{equation} Die Inverse von \(\Sigma\) ist gegeben durch
\begin{equation}
\Sigma^{-1}
= \frac{1}{\sigma_{11}^2\sigma_{22}^2 - \sigma_{12}^4}
\begin{pmatrix*}[r]
 \sigma_{22}^2 & -\sigma_{12}^2 \\
-\sigma_{12}^2 &  \sigma_{11}^2 \\
\end{pmatrix*},
\end{equation} weil \begin{align}
\begin{split}
\Sigma^{-1}\Sigma
& =
\frac{1}{\sigma_{11}^2\sigma_{22}^2 - \sigma_{12}^4}
\begin{pmatrix*}[r]
 \sigma_{22}^2 & -\sigma_{12}^2 \\
-\sigma_{12}^2 &  \sigma_{11}^2 \\
\end{pmatrix*}
\begin{pmatrix}
\sigma_{11}^2 & \sigma_{12}^2 \\
\sigma_{21}^2 & \sigma_{22}^2 \\
\end{pmatrix}
\\
& =
\frac{1}{\sigma_{11}^2\sigma_{22}^2 - \sigma_{12}^4}
\begin{pmatrix*}[r]
  \sigma_{22}^2\sigma_{11}^2  - \sigma_{12}^2\sigma_{21}^2
& \sigma_{22}^2\sigma_{12}^2  - \sigma_{12}^2\sigma_{22}^2
\\
  -\sigma_{12}^2\sigma_{11}^2 + \sigma_{11}^2\sigma_{21}^2
& -\sigma_{12}^2\sigma_{12}^2 + \sigma_{11}^2\sigma_{22}^2
\end{pmatrix*}
\\
& =
\frac{1}{\sigma_{11}^2\sigma_{22}^2 - \sigma_{12}^4}
\begin{pmatrix*}[r]
  \sigma_{11}^2\sigma_{11}^2  - \sigma_{12}^4
& 0
\\
  0
&  \sigma_{11}^2\sigma_{22}^2 - \sigma_{12}^4
\end{pmatrix*}
\\
& =
\begin{pmatrix*}[r]
  1
& 0
\\
  0
& 1
\end{pmatrix*}
\\
& =
I_2
\end{split}
\end{align}
\end{frame}

\begin{frame}{Definition und Eigenschaften}
\protect\hypertarget{definition-und-eigenschaften-8}{}
\footnotesize

\underline{Beweis (fortgeführt)}

Mit \begin{equation}
\rho
= \frac{\sigma_{12}^2}{\sigma_{11}\sigma_{22}}
\Rightarrow
\rho  = \frac{\sigma_{21}^2}{\sigma_{11}\sigma_{22}}
\Rightarrow
\sigma_{12}^2 = \sigma_{21}^2 = \rho \sigma_{11}\sigma_{22}
\end{equation} lässt sich \(\Sigma^{-1}\) weiterhin schreiben als
\begin{align}
\begin{split}
\Sigma^{-1}
& =
\frac{1}{\sigma_{11}^2\sigma_{22}^2 - (\rho \sigma_{11}\sigma_{22})^2}
\begin{pmatrix*}[r]
 \sigma_{22}^2 & -\rho \sigma_{11}\sigma_{22} \\
-\rho \sigma_{11}\sigma_{22} &  \sigma_{11}^2 \\
\end{pmatrix*}
\\
& =
\frac{1}{\sigma_{11}^2\sigma_{22}^2(1-\rho^2)}
\begin{pmatrix*}[r]
 \sigma_{22}^2 & -\rho \sigma_{11}\sigma_{22} \\
-\rho \sigma_{11}\sigma_{22} &  \sigma_{11}^2 \\
\end{pmatrix*}
\end{split}
\end{align} Schließlich ergibt sich \begin{equation}
|\Sigma|^{-\frac{1}{2}}
= \left(|\Sigma|^{-1}\right)^{\frac{1}{2}}
= \left\vert \Sigma^{-1} \right\vert^{-\frac{1}{2}}
= \left(\sigma_{22}^2\sigma_{11}^2 - \rho_{12}^2\sigma_{11}^2\sigma_{22}^2\right)^{-\frac{1}{2}}
= \left(\sigma_{22}\sigma_{11}\sqrt{(1 -\rho^2)}\right)^{-1}.
\end{equation}
\end{frame}

\begin{frame}{Definition und Eigenschaften}
\protect\hypertarget{definition-und-eigenschaften-9}{}
\footnotesize

\underline{Beweis (fortgeführt)}

Einsetzen ergibt dann

\tiny

\begin{align*}
\begin{split}
N(\upsilon;\mu,\Sigma)
& = (2\pi)^{-\frac{n}{2}}|\Sigma|^{-\frac{1}{2}}\exp\left(-\frac{1}{2}(\upsilon-\mu)^T \Sigma^{-1} (\upsilon-\mu)\right) \\
& = (2\pi)^{-\frac{2}{2}}\left(\sigma_{22}\sigma_{11}\sqrt{(1 -\rho^2)}\right)^{-1} 
\\
\times
& \quad 
    \exp\left(
    -\frac{1}{2}
     \frac{1}{\sigma_{11}^2\sigma_{22}^2 - \sigma_{12}^4}
     \begin{pmatrix}
     \upsilon_1 - \mu_1 & \upsilon_2 - \mu_2
     \end{pmatrix}
     \begin{pmatrix*}[r]
     \sigma_{22}^2 & -\sigma_{12}^2 \\
    -\sigma_{12}^2 &  \sigma_{11}^2 \\
     \end{pmatrix*}
     \begin{pmatrix}
     \upsilon_1 - \mu_1 \\
     \upsilon_2 - \mu_2 \\
     \end{pmatrix}
     \right).
\\
= 
& \frac{1}{2\pi(1-\rho^2)^{1/2}\sigma_{11}\sigma_{22}} 
\\
\times
& \exp\left(-\frac{1}{2(1-\rho^2)}
      \left(\left(\frac{\upsilon_1 - \mu_1}{\sigma_{11}}\right)^2
      -2\rho\left(\frac{\upsilon_1 - \mu_1}{\sigma_{11}}\right)\left(\frac{\upsilon_2 - \mu_2}{\sigma_{22}}\right)
      + \left(\frac{\upsilon_2 - \mu_2}{\sigma_{22}}\right)^2
      \right)
      \right),
\end{split}
\end{align*} wobei sich die letzte Gleichung mit der Definition der
Matrixmultiplikation ergibt.
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]{Definition und Eigenschaften}
\protect\hypertarget{definition-und-eigenschaften-10}{}
\textcolor{darkblue}{Realisierung bivariater normalverteilter Zufallsvektoren}
\footnotesize \setstretch{1.1} \vspace{1mm}

\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\CommentTok{\# R Paket für multivariate Normalverteilungen}
\FunctionTok{library}\NormalTok{(mvtnorm)}

\CommentTok{\# Parameterdefinition}
\NormalTok{mu     }\OtherTok{=} \FunctionTok{c}\NormalTok{(}\DecValTok{1}\NormalTok{,}\DecValTok{1}\NormalTok{)                                }\CommentTok{\# \textbackslash{}mu \textbackslash{}in \textbackslash{}mathbb\{R\}\^{}2}
\NormalTok{Sigma  }\OtherTok{=} \FunctionTok{matrix}\NormalTok{(}\FunctionTok{c}\NormalTok{(}\FloatTok{0.2}\NormalTok{,  }\FloatTok{0.15}\NormalTok{,  }\FloatTok{0.15}\NormalTok{, }\FloatTok{0.2}\NormalTok{), }\DecValTok{2}\NormalTok{)  }\CommentTok{\# \textbackslash{}Sigma in \textbackslash{}mathbb\{R\}\^{}\{2 \textbackslash{}times 2\}}

\CommentTok{\# Zufallsvektorrealisierungen}
\FunctionTok{rmvnorm}\NormalTok{(}\AttributeTok{n =} \DecValTok{10}\NormalTok{, mu, Sigma)}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}

\begin{verbatim}
>          [,1]  [,2]
>  [1,] 0.47631 0.846
>  [2,] 0.00553 0.549
>  [3,] 1.46466 1.582
>  [4,] 0.21191 0.564
>  [5,] 0.84844 0.840
>  [6,] 0.89004 1.154
>  [7,] 1.54162 0.715
>  [8,] 0.86607 0.335
>  [9,] 0.77755 0.883
> [10,] 1.05314 0.727
\end{verbatim}
\end{frame}

\begin{frame}{Definition und Eigenschaften}
\protect\hypertarget{definition-und-eigenschaften-11}{}
\textcolor{darkblue}{Realisierung bivariater normalverteilter Zufallsvektoren}
\vspace{2mm}

\begin{center}\includegraphics[width=1\linewidth]{4_Abbildungen/alm_4_mvn_realisierungen} \end{center}
\end{frame}

\begin{frame}{}
\protect\hypertarget{section-4}{}
\large
\setstretch{2.2}
\vfill

Definition

\textbf{Transformationen}

Unabhängigkeit

Gemeinsame Verteilungen

Selbstkontrollfragen

\vfill
\end{frame}

\begin{frame}{Transformationen}
\protect\hypertarget{transformationen}{}
\small
\begin{theorem}[Nichtsinguläre lineare Transformation]
\justifying
\normalfont
$x \sim N(\mu,\Sigma)$ sei ein normalverteilter $n$-dimensionaler Zufallsvektor
und es sei $y := Ax$ mit einer invertierbaren Matrix $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$.
Dann gilt
\begin{equation}
y \sim N\left(A\mu,A\Sigma A^T\right)
\end{equation}
\end{theorem}
\footnotesize

Bemerkung

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Wir verzichten auf einen Beweis.
\item
  Die invertierbare lineare Transformation eines multivariate
  normalverteilten Zuallsvektors ergibt wieder einer multivariate
  normalverteilten Zufallsvektor. Die Parameter des resultierenden
  normalverteilten Zufallsvektors ergeben sich dabei aus den Parametern
  des ursprünglichen Zufallsvektors und der Transformationsmatrix.
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Transformationen}
\protect\hypertarget{transformationen-1}{}
\textcolor{darkblue}{Nichtsinguläre lineare Transformation} \vspace{2mm}

\footnotesize
\center

\(n := 2, \mu := \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \Sigma := \begin{pmatrix} 0.20 & 0.15 \\ 0.15 & 0.20 \end{pmatrix}, A := \begin{pmatrix*}[r] -2 & -1 \\1 & 2 \end{pmatrix*}\)
\vspace{2mm}

\begin{center}\includegraphics[width=0.85\linewidth]{4_Abbildungen/alm_4_mvn_transformation_1} \end{center}
\end{frame}

\begin{frame}{Transformationen}
\protect\hypertarget{transformationen-2}{}
\small
\begin{theorem}[Linear-affine Transformation]
\justifying
\normalfont
$x \sim N(\mu,\Sigma)$ sei ein normalverteilter $n$-dimensionaler Zufallsvektor
und es sei $y := Ax + b$ mit $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ und $b \in \mathbb{R}^m$.
Dann gilt
\begin{equation}
y \sim N\left(A\mu + b,A\Sigma A^T\right)
\end{equation}
\end{theorem}
\footnotesize

Bemerkung

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  \justifying Für einen Beweis siehe Anderson (2003), Section 2.4.
\item
  Die linear-affine Transformation eines multivariate normalverteilten
  Zuallsvektors ergibt wieder ein normalverteilten Zufallsvektor. Die
  Parameter des resultierenden normalverteilten Zufallsvektors ergeben
  sich dabei aus den Parametern des ursprünglichen Zufallsvektors und
  der Transformationsparamter.
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{}
\protect\hypertarget{section-5}{}
\large
\setstretch{2.2}
\vfill

Definition

Transformationen

\textbf{Unabhängigkeit}

Gemeinsame Verteilungen

Selbstkontrollfragen

\vfill
\end{frame}

\begin{frame}{Unabhängigkeit}
\protect\hypertarget{unabhuxe4ngigkeit}{}
\footnotesize
\begin{theorem}[Unabhängige normalverteilte Zufallsvariablen]
\justifying
\normalfont
Für $i = 1,...,n$ seien $N(\upsilon; \mu_i,\sigma^2)$ die WDFen von $n$ unabhängigen
univariaten normalverteilten Zufallsvariablen $y_1,...,y_n$ mit $\mu_1,...,\mu_n \in \mathbb{R}$
und $\sigma^2 > 0$. Weiterhin sei $N(\upsilon;\mu,\sigma^2I_n)$ die WDF eines $n$-variaten
Zufallsvektors $y$ mit Erwartungswertparameter $\mu := (\mu_1,...,\mu_n) \in \mathbb{R}^n$.
Dann gilt
\begin{equation}
p_y(\upsilon) = p_{y_1,...,y_n}(\upsilon_1,...,\upsilon_n)
\end{equation}
und insbesondere
\begin{equation}
N\left(\upsilon;\mu,\sigma^2I_n\right) = \prod_{i=1}^n N\left(\upsilon_i;\mu_i,\sigma^2\right).
\end{equation}
\end{theorem}

Bemerkungen

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Das Theorem ist für die Theories des Allgemeinen Linearen Modells
  zentral.
\item
  Einen Kovarianzmatrixparameter der Form \(\sigma^2 I_n\) nennt man
  auch \textit{sphärisch}.
\item
  Sphärische Kovarianzmatrixparamter von \(n\)-variaten
  Normalverteilungen entsprechen \(n\) unabhängigen univariaten
  Normalverteilungen und umgekehrt. Eine Realisierung einer
  \(n\)-variaten Normalverteilungen entspricht Realisierungen von \(n\)
  unabhängigen univariaten Normalverteilungen.
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Unabhängigkeit}
\protect\hypertarget{unabhuxe4ngigkeit-1}{}
\footnotesize

\underline{Beweis}

Wir zeigen die Identität der multivariaten WDF
\(N(\upsilon;\mu,\sigma^2 I_n)\) mit dem Produkt von \(n\) univariaten
WDFen \(N(\upsilon_i;\mu_i,\sigma^2 I_n)\), wobei \(\mu_i\) der \(i\)te
Eintrag von \(\mu \in \mathbb{R}^n\). Es ergibt sich \begin{align}
\begin{split}
N\left(\upsilon;\mu,\sigma^{2}I_{n} \right)
& = \left(2\pi \right)^{-\frac{n}{2}}
    \left|\sigma^2 I_n \right|^{-\frac{1}{2}}
    \exp\left(-\frac{1}{2}(\upsilon-\mu)^{T}(\sigma^2 I_n)^{-1}(\upsilon-\mu)\right)\\
& = \left(\prod_{i=1}^n 2\pi ^{-\frac{1}{2}} \right)
    (\sigma^2)^{-\frac{n}{2}}
    \exp\left(-\frac{1}{2\sigma^2}(\upsilon-\mu)^{T}(\upsilon-\mu)\right) \\
& = \left(\prod_{i=1}^n \left(2\pi\sigma^2 \right) ^{-\frac{1}{2}} \right)
    \exp\left(-\frac{1}{2\sigma^2} \sum_{i=1}^n (\upsilon_i - \mu_i)^2\right) \\
& = \prod_{i=1}^n \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}
    \prod_{i=1}^n \exp\left(-\frac{1}{2\sigma^2} (\upsilon_i - \mu_i)^2\right) \\
& = \prod_{i=1}^n \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}
                    \exp\left(-\frac{1}{2\sigma^2} (\upsilon_i - \mu_i)^2\right) \\
& = N\left(\upsilon_i; \mu_i,\sigma^2\right).
\end{split}
\end{align}
\end{frame}

\begin{frame}{}
\protect\hypertarget{section-6}{}
\large
\setstretch{2.2}
\vfill

Definition

Transformationen

Unabhängigkeit

\textbf{Gemeinsame Verteilungen}

Selbstkontrollfragen

\vfill
\end{frame}

\begin{frame}{Gemeinsame Verteilungen}
\protect\hypertarget{gemeinsame-verteilungen}{}
\small

Multivariate Normalverteilungen haben die Eigenschaft, dass auch alle
anderen assoziierten Verteilung Normalverteilungen sind und deren
Erwartungswert- und Kovarianzmatrixparameter aus den Parametern der
jeweils komplementären Verteilung errechnet werden können.

Insbesondere gilt:

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  \justifying Die uni- und multivariaten Marginalverteiltungen
  multivariater Normalverteilungen sind Normalverteilungen.
\item
  Wie alle multivariaten Verteilungen lassen sich multivariate
  Normalverteilungen multiplikativ in eine marginale und eine bedingte
  Verteilung zerlegen. Insbesondere sind bei multivariaten
  Normalverteilungen diese Verteilungen auch Normalverteilungen, deren
  Parameter aus den Parametern der gemeinsame Verteilung errechnet
  werden können und umgekehrt.
\end{itemize}

Die Resultate dieses Abschnitts sind insbesondere für generalisierte
ALMs im Sinne von Linear Mixed Models bzw. Hierarchischen
Normalverteilungsmodellen, die Varianzkomponentenschätzung, und die
Bayesianische Inferenz bei Normalverteilungsannahmen, aber auch die
partielle Korrelation zentral.
\end{frame}

\begin{frame}{Gemeinsame Verteilungen}
\protect\hypertarget{gemeinsame-verteilungen-1}{}
\setstretch{1.2}
\footnotesize
\begin{theorem}[Marginale Normalverteilungen]
\justifying
\normalfont
Es sei $n := k + l$ und $x = (x_1,...,x_n)$ sei ein $n$-dimensionaler
normalverteilter Zufallsvektor mit Erwartungswertparameter
\begin{equation}
\mu =
\left(\begin{matrix}
\mu_y \\
\mu_z
\end{matrix}\right) \in \mathbb{R}^n,
\end{equation}
mit $\mu_y \in \mathbb{R}^k$ and $\mu_z \in \mathbb{R}^l$ und Kovarianzmatrixparameter
\begin{equation}
\Sigma =
\left(\begin{matrix}
\Sigma_{yy}     & \Sigma_{yz} \\
\Sigma_{zy}     & \Sigma_{zz}
\end{matrix}\right) \in \mathbb{R}^{n \times n},
\end{equation}
mit $\Sigma_{yy} \in \mathbb{R}^{k \times k}$,
    $\Sigma_{yz} \in \mathbb{R}^{k \times l}$,
    $\Sigma_{zy} \in \mathbb{R}^{l \times k}$,
und $\Sigma_{zz} \in \mathbb{R}^{l \times l}$.
Dann sind $y := (x_1,...,x_k)$ und $z := (x_{k+1}, ...,x_n)$ $k$- und $l$-dimensionale
normalverteilte Zufallsvektoren, respektive, und es gilt
\begin{equation}
y \sim N(\mu_y,\Sigma_{yy}) \mbox{ and } z \sim N(\mu_z,\Sigma_{xx}),
\end{equation}
\end{theorem}

Bemerkungen

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Wir verzichten auf einen Beweis
\item
  Die Marginalverteilungen einer multivariaten Normalverteilung sind
  auch Normalverteilungen, insbesondere sind die eindimensionalen
  Marginalverteilungen einer multivariaten Normalverteilung univariate
  Normalverteilungen.
\item
  Die Parameter der Marginalverteilungen ergeben sich aus den Parametern
  der gemeinsamen Verteilung.
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Gemeinsame Verteilungen}
\protect\hypertarget{gemeinsame-verteilungen-2}{}
\textcolor{darkblue}{Marginale Normalverteilungen} \vspace{2mm}
\footnotesize \center
\(n := 2, k = 1, l = 1, \mu := \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}, \Sigma := \begin{pmatrix} 0.10 & 0.08 \\ 0.08 & 0.15 \end{pmatrix}\)
\vspace{3mm}

\vspace{-2mm}

\begin{center}\includegraphics[width=1\linewidth]{4_Abbildungen/alm_4_marginale_mvnorm} \end{center}
\end{frame}

\begin{frame}{Gemeinsame Verteilungen}
\protect\hypertarget{gemeinsame-verteilungen-3}{}
\footnotesize
\setstretch{1.2}
\begin{theorem}[Gemeinsame Normalverteilungen]
\justifying
\normalfont
$x$ sei ein $m$-dimensionaler normalverteilter Zufallsvektor mit WDF
\begin{equation}
p_x : \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}_{>0},\,\xi \mapsto
p_x(\xi) := N(\xi;\mu_x,\Sigma_{xx}) \mbox{ mit }
\mu_x \in \mathbb{R}^m,
\Sigma_{xx} \in \mathbb{R}^{m\times m},
\end{equation}
$A\in\mathbb{R}^{n\times m}$ sei eine Matrix, $b\in\mathbb{R}^n$ sei ein Vektor
und $y$ sei ein $n$-dimensionaler bedingt normalverteilter Zufallsvektor mit
bedingter WDF
\begin{equation}
p_{y|x}(\cdot|\xi) : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}_{>0},\, y\mapsto
p_{y|x}(\upsilon|\xi) := N(\upsilon;AX+b,\Sigma_{yy}) \mbox{ mit }
\Sigma_{yy} \in \mathbb{R}^{n\times n}.
\end{equation}
Dann ist der $m+n$-dimensionale Zufallsvektor $(x,y)$ normalverteilt mit (gemeinsamer) WDF
\begin{equation}\label{eq:gauss_joint}
p_{x,y} : \mathbb{R}^{m+n} \to \mathbb{R}_{>0},\, (\xi,\upsilon) \mapsto
p_{x,y}(\xi,\upsilon) = N\left((\xi,\upsilon);
\mu_{x,y}, \Sigma_{x,y} \right),
\end{equation}
mit $\mu_{x,y} \in \mathbb{R}^{n + m}$ and $\Sigma_{x,y} \in \mathbb{R}^{m+n \times m+n}$ und insbesondere
\begin{equation}
\mu_{x,y} = \left( \begin{matrix} \mu_x \\ A\mu_x + b \end{matrix} \right)
\mbox{ und }
\Sigma_{x,y} = \left(\begin{matrix} \Sigma_{xx} & \Sigma_{xx}A^T \\ A\Sigma_{xx} & \Sigma_{yy} + A\Sigma_{xx}A^T \end{matrix} \right).
\end{equation}
\end{theorem}
\vspace{-1mm}

Bemerkungen \vspace{-1mm}

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  Wir verzichten auf einen Beweis.
\item
  Eine marginale und eine bedingte multivariate Normalverteilung
  induzieren eine gemeinsame Normalverteilung.
\item
  Die Parameter der gemeinsamen Verteilungen ergeben sich als
  linear-affine Transformation der Parameter der induzierenden
  Verteilungen.
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Gemeinsame Verteilungen}
\protect\hypertarget{gemeinsame-verteilungen-4}{}
\textcolor{darkblue}{Gemeinsame Verteilungen} \vspace{2mm} \footnotesize
\center
\(m := 1, n := 1, \mu_x := 1, \Sigma_{xx} := 0.2, A := 1, b := 1, \Sigma_{yy} := 0.1\)

\begin{center}\includegraphics[width=1.05\linewidth]{4_Abbildungen/alm_4_gemeinsame_mvnorm} \end{center}
\end{frame}

\begin{frame}{Gemeinsame Verteilungen}
\protect\hypertarget{gemeinsame-verteilungen-5}{}
\footnotesize
\setstretch{1.2}
\begin{theorem}[Bedingte Normalverteilungen]
\justifying
\normalfont
$(x,y)$ sei ein $m+n$-dimensionaler normalverteilter Zufallsvektor mit WDF
\begin{equation}
p_{x,y} : \mathbb{R}^{m + n} \to \mathbb{R}_{>0}, (\xi,\upsilon) \mapsto
p_{x,y}(\xi,\upsilon) := N\left((\xi,\upsilon); \mu_{x,y}, \Sigma_{x,y}\right),
\end{equation}
mit
\begin{equation}
\mu_{x,y} = \left(\begin{matrix} \mu_x \\ \mu_y \end{matrix} \right),
\Sigma_{x,y} = \left(\begin{matrix} \Sigma_{xx} & \Sigma_{xy} \\ \Sigma_{yx} & \Sigma_{yy} \end{matrix} \right),
\end{equation}
mit $x,\mu_x \in \mathbb{R}^m, y,\mu_y\in\mathbb{R}^n$ and  $\Sigma_{xx} \in \mathbb{R}^{m\times m}, \Sigma_{xy} \in \mathbb{R}^{m\times n}, \Sigma_{yy} \in \mathbb{R}^{n \times n}$. Dann ist die
bedingte Verteilung von $x$ gegeben $y$ eine $m$-dimensionale Normalverteilung
mit bedingter WDF
\begin{equation}
p_{x|y}(\cdot|\upsilon) : \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}_{>0}, x \mapsto p_{x|y}(\xi|\upsilon) :=
N(\xi;\mu_{x|y},\Sigma_{x|y})
\end{equation}
mit
\begin{equation}\label{eq:gauss_cond_exp}
\mu_{x|y} = \mu_x  + \Sigma_{xy}\Sigma_{yy}^{-1}(Y-\mu_y) \in \mathbb{R}^m
\end{equation}
und
\begin{equation}\label{eq:gauss_cond_var}
\Sigma_{x|y} = \Sigma_{xx}  - \Sigma_{xy}\Sigma_{yy}^{-1}\Sigma_{yx} \in \mathbb{R}^{m\times m}.
\end{equation}
\end{theorem}
\vspace{-2mm}

Bemerkungen \vspace{-1mm}

\begin{itemize}
\tightlist
\item
  \justifying Wir verzichten auf einen Beweis.
\item
  Die Parameter einer bedingten (multivariaten) Normalverteilung ergeben
  sich aus den Parameter einer gemeinsamen multivariaten
  Normalverteilung. Im Zusammenspiel mit den vorherigen Theoremen können
  die Parameter bedingter und marginale Normalverteilungen aus den
  Parametern der komplementären bedingten und marginalen
  Normalverteilungen bestimmt werden.
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Gemeinsame Verteilungen}
\protect\hypertarget{gemeinsame-verteilungen-6}{}
\textcolor{darkblue}{Bedingte Normalverteilungen} \vspace{2mm}
\footnotesize \center
\(m := 2, n := 1, \mu := \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}, \Sigma := \begin{pmatrix} 0.12 & 0.09 \\ 0.09 & 0.12 \end{pmatrix}\)

\vspace{-2mm}

\begin{center}\includegraphics[width=1\linewidth]{4_Abbildungen/alm_4_bedingte_mvnorm} \end{center}
\end{frame}

\begin{frame}{}
\protect\hypertarget{section-7}{}
\large
\setstretch{2.2}
\vfill

Definition

Transformationen

Unabhängigkeit

Gemeinsame Verteilungen

\textbf{Selbstkontrollfragen}

\vfill
\end{frame}

\begin{frame}{Selbstkontrollfragen}
\protect\hypertarget{selbstkontrollfragen}{}
\setstretch{1.1}
\footnotesize
\begin{enumerate}
\item Definieren Sie die WDF eines multivariaten normalverteilten Zufallsvektors wieder und erläutern Sie diese.
\item Geben Sie die Definitionen des Erwartungswerts und der Kovarianzmatrix eines Zufallsvektors wieder.
\item Was repräsentieren die Elemente einer Kovarianzmatrix eines Zufallsvektors?
\item Welche Werte haben der Erwartungswert und die Kovarianzmatrix eines normalverteilten Zufallsvektors?
\item Beweisen Sie die letzte Gleichung im Beweis der funktionalen Form der WDF der bivariaten Normalverteilung.
\item Visualisieren Sie die WDF eines 2-dimensionalen normalverteilten Zufallsvektors mit den Parameterwerten
\begin{equation}
\mu := \begin{pmatrix} 10 \\ 15 \end{pmatrix} \mbox{ und } \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}
\end{equation}
Generieren Sie 100 Realisierungen aus dieser Verteilung und visualisieren Sie diese.
\item Geben Sie das Theorem zur nichtsingulären linearen Transformation multivariater Normalverteilungen wieder.
\item Geben Sie das Theorem zur linear-affinen Transformation multivariater Normalverteilungen wieder.
\item Geben Sie das Theorem zu Unabhängigen normalverteilten Zufallsvariablen wieder.
\item Erläutern Sie den Begriff des sphärischen Kovarianzmatrixparameters.
\item Skizzieren Sie den Beweis des Theorem zu Unabhängigen normalverteilten Zufallsvariablen.
\end{enumerate}
\end{frame}

\begin{frame}{References}
\protect\hypertarget{references}{}
\footnotesize

\hypertarget{refs}{}
\begin{CSLReferences}{1}{0}
\leavevmode\vadjust pre{\hypertarget{ref-anderson_2003}{}}%
Anderson, T. W. 2003. \emph{An Introduction to Multivariate Statistical
Analysis}. 3rd ed. Wiley Series in Probability and Statistics. {Hoboken,
N.J}: {Wiley-Interscience}.

\end{CSLReferences}
\end{frame}

\end{document}
