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# {.plain}
<!-- Vorlesungstitel -->
\center
```{r, echo = F, out.width = "20%"}
knitr::include_graphics("../OvGU_Logo.png")
```

\vspace{2mm}
\huge
Allgemeines Lineares Modell

\vspace{6mm}
\large
BSc Psychologie, SoSe 2026

\vspace{5mm}
Joram Soch


<!-- Sitzung 13: Partielle Korrelation -->
# {.plain}

\vfill
\center
\huge
\textcolor{black}{(13) Partielle Korrelation}
\vfill


<!-- Inhaltsverzeichnis -->
#

\large
\setstretch{2.5}
\vfill

Motivation

Bedingte Korrelation

Partielle Korrelation

Anwendung/Praxis

Selbstkontrollfragen

\vfill


<!-- Abschnitt 1: Motivation -->
#

\large
\setstretch{2.5}
\vfill

**Motivation**

Bedingte Korrelation

Partielle Korrelation

Anwendung/Praxis

Selbstkontrollfragen

\vfill


<!-- Beispiel -->
# Motivation

\textcolor{darkblue}{Jährlicher Eiskonsum und jährliche Sonnenbrandinzidenz}

```{r, echo = F, eval = F}
# Simulation
library(MASS)                                 # multivariate Normalverteilung
set.seed(1)                                   # reproduzierbare Daten
S     = matrix(c(  1, 0.5, 0.9,               # Kovarianzmatrixparameter \Sigma
                 0.5,   1, 0.5,
                 0.9, 0.5,   1),
               nrow  = 3,
               byrow = TRUE)
n     = 1e2                                   # Anzahl Realisierungen von v := (x,y,z)^T
xyz   = mvrnorm(n,rep(0,3),S)                 # Realisierungen        von v := (x,y,z)^T

# Abbildung
graphics.off()
library(latex2exp)
dev.new()
par(
    family      = "sans",
    mfcol       = c(1,1),
    pty         = "s",
    bty         = "l",
    lwd         = 1,
    las         = 1,
    mgp         = c(2.5,1,0),
    xaxs        = "i",
    yaxs        = "i",
    font.main   = 1,
    cex         = 1,
    cex.main    = 1.2)

# Punktdiagramm
plot(xyz[,1:2],
    pch         = 21,
    col         = "white",
    bg          = "gray50",
    xlab        = TeX("$Eiskonsum$"),
    ylab        = TeX("$Sonnenbrandinzidenz$"),
    xlim        = c(-3,3),
    ylim        = c(-3,3),
    main        = TeX(sprintf("$r$ = %.2f", cor(xyz[,1],xyz[,2]))))

# Speichern
dev.copy2pdf(
    file        = "Abbildungen/korrelation_beispiel.pdf",
    width       = 4.5,
    height      = 4.5)
```

```{r, echo = F, out.width = "50%", fig.align = "center"}
knitr::include_graphics("Abbildungen/korrelation_beispiel.pdf")
```

\small
\vspace{-2mm}
* Korrelation impliziert keine Kausalität.
* Kausalität wird zumeist als Koinzidenz mit zeitlicher Reihenfolge modelliert.
* Einstiege in die kausale Inferenz geben z.B. @pearl2000 und @imbens2015.


<!-- Beispiel -->
# Motivation

\textcolor{darkblue}{Jährlicher Eiskonsum und jährliche Sonnenbrandinzidenz}

\vspace{2mm}
```{r, echo = F, out.width = "80%", fig.align = "center"}
knitr::include_graphics("Abbildungen/eis_sonnenbrand_sommer.pdf")
```

\small
* Korrelation von Eiskonsum und Sonnenbrandinzidenz nach Korrektur für Sommertage?
* "Herausrechnen" des Einflusses von $z$ auf die Kovariation von $x$ und $y$? 
* Im Folgenden bezeichnen wir \underline{Zufallsvariablen} mit \underline{kleinen lateinischen} Buchstaben.

\center
\normalsize
\textcolor{darkblue}{$\Rightarrow$ bedingte Korrelation und partielle Korrelation im Falle dreier Zufallsvariablen}


<!-- Abschnitt 2: Bedingte Korrelation -->
#

\large
\setstretch{2.5}
\vfill

Motivation

**Bedingte Korrelation**

Partielle Korrelation

Anwendung/Praxis

Selbstkontrollfragen

\vfill


<!-- Definition: Bedingte Kovarianz und bedingte Korrelation -->
# Bedingte Korrelation

\footnotesize
\begin{definition}[Bedingte Kovarianz und bedingte Korrelation]

\justifying
Gegeben seien drei Zufallsvariablen $x,y,z$ einer gemeinsamen Verteilung $\mathbb{P}(x,y,z)$.

\vspace{1mm}
Weiterhin sei $\mathbb{P}(x,y|z)$ die bedingte Verteilung von $x$ und $y$, gegeben $z$. Dann heißt die Kovarianz von $x$ und $y$ in der Verteilung $\mathbb{P}(x,y|z)$ die \textit{bedingte Kovarianz von $x$ und $y$, gegeben $z$}, und wird mit $\mathbb{C}(x,y|z)$ bezeichnet.

\vspace{1mm}
Weiterhin seien $\mathbb{P}(x|z)$ und $\mathbb{P}(y|z)$ die marginalen Verteilungen von $x$ bzw. $y$, gegeben $z$, und $\mathbb{S}(x|z)$ und $\mathbb{S}(y|z)$ seien die Standardabweichungen von $x$ bzw. $y$ hinsichtlich $\mathbb{P}(x|z)$ bzw. $\mathbb{P}(y|z)$.

\vspace{1mm}
Dann heißt die Korrelation von $x$ und $y$ in der Verteilung $\mathbb{P}(x,y|z)$
\begin{equation}
\rho(x,y|z) := \frac{\mathbb{C}(x,y|z)}{\mathbb{S}(x|z)\mathbb{S}(y|z)}
\end{equation}
die \textit{bedingte Korrelation von $x$ und $y$, gegeben $z$}.

\end{definition}

Bemerkungen

* Die bedingte Kovarianz zweier ZVen ist die Kovarianz dieser ZVen in einer bedingten Verteilung
* Die bedingte Korrelation zweier ZVen ist die Korrelation dieser ZVen in einer bedingten Verteilung.
* Durch Vertauschen der Variablennamen kann man analog $\rho(x,z|y)$ und $\rho(y,z|x)$ definieren.


<!-- Beispiel -->
# Bedingte Korrelation  

\small
\vspace{1mm}
\textcolor{darkblue}{Beispiel}

\footnotesize
Die Zufallsvariablen $x,y,z$ seien multivariat normalverteilt. Wir wollen die bedingte Korrelation von $x$ und $y$ gegeben $z$ bestimmen. Für $v := (x,y,z)^\mathrm{T}$ gelte also, dass 
\begin{equation}
v \sim N(\mu,\Sigma)
\end{equation}

mit
\begin{equation}
\mu :=
\begin{pmatrix*}[l]
\mu_x \\
\mu_y \\
\mu_z
\end{pmatrix*}
\quad \mbox{und} \quad
\Sigma :=
\begin{pmatrix*}[l]
\sigma^{2}_{x}   & \sigma^{2}_{x,y} & \sigma^{2}_{x,z} \\
\sigma^{2}_{y,x} & \sigma^{2}_{y}   & \sigma^{2}_{y,z} \\
\sigma^{2}_{z,x} & \sigma^{2}_{z,y} & \sigma^{2}_{z}   \\
\end{pmatrix*} \; .
\end{equation}

Um die Kovarianzmatrix der bedingten Verteilung von $x$ und $y$, gegeben $z$ zu bestimmen, definieren wir zunächst
\begin{equation}
\Sigma_{x,y} :=
\begin{pmatrix*}[l]
\sigma^{2}_{x}   & \sigma^{2}_{x,y} \\
\sigma^{2}_{y,x} & \sigma^{2}_{y}
\end{pmatrix*}, \quad
\Sigma_{z} :=
\begin{pmatrix*}[l]
\sigma^{2}_{z}
\end{pmatrix*}
\quad \mbox{und} \quad
\Sigma_{(x,y),z} := \Sigma_{z,(x,y)}^\mathrm{T} :=
\begin{pmatrix*}[l]
\sigma^{2}_{x,z} \\
\sigma^{2}_{y,z} \\
\end{pmatrix*} \; ,
\end{equation}

sodass
\begin{equation}
\Sigma =
\begin{pmatrix}
\Sigma_{x,y}     & \Sigma_{(x,y),z} \\
\Sigma_{z,(x,y)} & \Sigma_{z}
\end{pmatrix} \; .
\end{equation}

Mit dem Theorem zu bedingten Normalverteilungen (siehe Einheit (4) in *Allgemeines Lineares Modell*) ist dann die Kovarianzmatrix des Zufallsvektors $(x,y)^\mathrm{T}$ gegeben durch
\begin{equation}
\Sigma_{x,y|z}
= \Sigma_{x,y} - \Sigma_{(x,y),z} \Sigma_{z}^{-1} \Sigma_{z,(x,y)} \; .
\end{equation}


<!-- Beispiel -->
# Bedingte Korrelation  

\small
\vspace{1mm}
\textcolor{darkblue}{Beispiel (fortgeführt)}

\footnotesize
Mit den Eigenschaften der multivariaten Normalverteilung gilt dann, dass die Diagonaleinträge von $\Sigma_{x,y|z}$ den bedingten Varianzen von $x$ und $y$, gegeben $z$ entsprechen und dass der Nichtdiagonaleintrag die bedingte Kovarianz von $x$ und $y$, gegeben $z$ ist. In anderen Worten gilt
\begin{equation}
\Sigma_{x,y|z} =
\begin{pmatrix}
\mathbb{C}(x,x|z) & \mathbb{C}(x,y|z) \\
\mathbb{C}(y,x|z) & \mathbb{C}(y,y|z) \\
\end{pmatrix} \; .
\end{equation}

Die bedingte Korrelation $\rho(x,y|z)$ von $x$ und $y$, gegeben $z$ ergibt sich dann aus den Einträgen von $\Sigma_{x,y|z}$ gemäß
\begin{equation}
\rho(x,y|z) = \frac{\mathbb{C}(x,y|z)}{\sqrt{\mathbb{C}(x,x|z)}\sqrt{\mathbb{C}(y,y|z)}} \; .
\end{equation}

Für
\begin{equation}
\Sigma :=
\begin{pmatrix}
1.0 & 0.5 & 0.9 \\
0.5 & 1.0 & 0.5 \\
0.9 & 0.5 & 1.0 \\
\end{pmatrix}
\end{equation}

ergibt sich beispielsweise 
\begin{equation}
\rho(x,y) = 0.50
\quad \mbox{und} \quad
\rho(x,y|z) \approx 0.13 \; .
\end{equation}


<!-- Beispiel in R -->
# Bedingte Korrelation 

\small
\vspace{1mm}
\textcolor{darkblue}{Beispiel (fortgeführt)}

\footnotesize
\vspace{2mm}
```{r, echo = T, warning = F}
# bedingte Korrelation bei Normalverteilung
S         = matrix(c(  1, 0.5, 0.9,                              # \Sigma
                     0.5,   1, 0.5,
                     0.9, 0.5,   1), nrow = 3, byrow = TRUE)
rho_xy    = S[1,2]/(sqrt(S[1,1])*sqrt(S[2,2]))                   # \rho(x,y)
S_xy_z    = S[1:2,1:2] - S[1:2,3] %*% solve(S[3,3]) %*% S[3,1:2] # \Sigma_{x,y|z} 
rho_xy_z  = S_xy_z[1,2]/(sqrt(S_xy_z[1,1])*sqrt(S_xy_z[2,2]))    # \rho(x,y|z)

# Ausgabe der (bedingten) Korrelationen
cat(  "rho(x,y)   :", rho_xy,                           
    "\nrho(x,y|z) :", rho_xy_z)
```
\vfill


<!-- Theorem: Bedingte Korrelation und Korrelationen bei Normalverteilung -->
# Bedingte Korrelation 

\small
\begin{theorem}[Bedingte Korrelation und Korrelationen bei Normalverteilung]

\justifying
\normalfont
$x,y,z$ seien drei gemeinsam multivariat normalverteilte Zufallsvariablen. Dann gilt:
\begin{equation}
\rho(x,y|z) = \frac{\rho(x,y) - \rho(x,z)\rho(y,z)}{\sqrt{1 - \rho(x,z)^2}\sqrt{1 - \rho(y,z)^2}} \; .
\end{equation}

\end{theorem}

\footnotesize

Bemerkungen

* $\rho(x,y|z)$ kann bei Normalverteilung aus den Korrelationen $\rho(x,y), \rho(x,z), \rho(y,z)$ berechnet werden.
* Ein entsprechender Schätzer für $\rho(x,y|z)$ ergibt sich mit den Stichprobenkorrelationen $r_{x,y}, r_{x,z}, r_{y,z}$ als
\begin{equation}
r_{x,y|z} = \frac{r_{x,y} - r_{x,z}r_{y,z}}{\sqrt{1 - r^{2}_{x,z}}\sqrt{1 - r_{y,z}^2}}
\end{equation}


<!-- Beweis -->
# Bedingte Korrelation 

\small
\underline{Beweis}

Ohne Beschränkung der Allgemeinheit betrachten wir den Fall eines standardisierten multivariat normalverteilten Zufallsvektors $v := (x,y,z)^\mathrm{T}$ mit Kovarianzmatrixparameter
\begin{equation}
\Sigma := 
\begin{pmatrix}
1         & \rho(x,y) & \rho(x,z) \\
\rho(y,x) & 1         & \rho(y,z) \\
\rho(z,x) & \rho(z,y) & 1
\end{pmatrix}.
\end{equation}

Wir definieren nun zunächst
\begin{equation}
\Sigma_{x,y} :=
\begin{pmatrix} 
1         & \rho(x,y) \\
\rho(y,x) & 1
\end{pmatrix}, \quad
\Sigma_{z} :=
\begin{pmatrix} 
1
\end{pmatrix}
\quad \mbox{und} \quad
\Sigma_{(x,y),z} :=
\Sigma_{z,(x,y)}^\mathrm{T} :=
\begin{pmatrix}
\rho(x,z) \\
\rho(y,z) \\
\end{pmatrix},
\end{equation}

sodass 
\begin{equation}
\Sigma =
\begin{pmatrix}
\Sigma_{x,y}     & \Sigma_{(x,y),z} \\
\Sigma_{z,(x,y)} & \Sigma_{z}
\end{pmatrix}.
\end{equation}

Mit dem Theorem zu bedingten Normalverteilungen (siehe Einheit (4) in *Allgemeines Lineares Modell*) ist dann die Kovarianzmatrix des Zufallsvektors $(x,y)$ gegeben durch
\begin{equation}
\Sigma_{x,y|z} =
\Sigma_{x,y} - \Sigma_{(x,y),z} \Sigma_{z}^{-1} \Sigma_{z,(x,y)}.
\end{equation}


<!-- Beweis -->
# Bedingte Korrelation 

\small
\underline{Beweis (fortgeführt)}

Es ergibt sich also
\begin{align}
\begin{split}
\begin{pmatrix}
\sigma_{x,x|z}^2 & \sigma_{x,y|z}^2 \\
\sigma_{y,x|z}^2 & \sigma_{y,y|z}^2 \\
\end{pmatrix}
& =
\begin{pmatrix} 
1         & \rho(x,y) \\
\rho(y,x) & 1
\end{pmatrix} - 
\begin{pmatrix}
\rho(x,z) \\
\rho(y,z) \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 
1
\end{pmatrix}^{-1}
\begin{pmatrix}
\rho(x,z) & \rho(y,z)
\end{pmatrix} \\
& =
\begin{pmatrix}
1         & \rho(x,y) \\
\rho(y,x) & 1
\end{pmatrix} - 
\begin{pmatrix}
\rho(x,z)\rho(x,z) & \rho(x,z)\rho(y,z) \\
\rho(y,z)\rho(x,z) & \rho(y,z)\rho(y,z) \\
\end{pmatrix} \\
& =
\begin{pmatrix} 
1 - \rho(x,z)^2                & \rho(x,y) - \rho(x,z)\rho(y,z) \\
\rho(y,x) - \rho(y,z)\rho(x,z) & 1 - \rho(y,z)^2
\end{pmatrix}.
\end{split}
\end{align}

Damit folgt dann direkt
\begin{align}
\begin{split}
\rho(x,y|z)
= \frac{\sigma_{x,y|z}^2}{\sqrt{\sigma_{x,x|z}^2}\sqrt{\sigma_{y,y|z}^2}} 
= \frac{\rho(x,y) - \rho(x,z)\rho(y,z)}{\sqrt{1 - \rho(x,z)^2 }\sqrt{1 - \rho(y,z)^2}}.
\end{split}
\end{align}
$\hfill\Box$


<!-- Abschnitt 3: Partielle Korrelation -->
#

\large
\setstretch{2.5}
\vfill

Motivation

Bedingte Korrelation

**Partielle Korrelation**

Anwendung/Praxis

Selbstkontrollfragen

\vfill


<!-- Definition: Partielle Korrelation -->
# Partielle Korrelation

\footnotesize
\begin{definition}[Partielle Korrelation]

\justifying
$x,y,z$ seien Zufallsvariablen mit linear-affinen Abhängigkeiten zwischen $x$ und $z$ sowie zwischen $y$ und $z$
\begin{align}
\begin{split}
x & := \beta_0^{(x)} + \beta_1^{(x)}z + e^{(x)}      \\
y & := \beta_0^{(y)} + \beta_1^{(y)}z + e^{(y)} \; , \\
\end{split}
\end{align}

sodass die Residualvariablen gegeben sind als
\begin{align}
\begin{split}
e^{(x)} & = x - \beta_0^{(x)} - \beta_1^{(x)}z      \\
e^{(y)} & = y - \beta_0^{(y)} - \beta_1^{(y)}z \; . \\
\end{split}
\end{align}

Dann ist die \textit{partielle Korrelation von $x$ und $y$ mit auspartialisiertem $z$} definiert als
\begin{equation}
\rho(x,y \mathbin{\backslash} z) := \rho\left( e^{(x)}, e^{(y)} \right).
\end{equation}

\end{definition}

Bemerkungen

* $e^{(x)}$ ist die Zufallsvariable $x$, aus der der Einfluss von $z$ "herausgerechnet" wurde.
* $e^{(y)}$ ist die Zufallsvariable $y$, aus der der Einfluss von $z$ "herausgerechnet" wurde.
* $\rho(x,y \mathbin{\backslash} z)$ ist also die Korrelation von $x$ und $y$, wobei jeweils der Einfluss von $z$ "herausgerechnet" wurde.


<!-- Definition: Partielle Stichprobenkorrelation -->
# Partielle Korrelation

\footnotesize
\begin{definition}[Partielle Stichprobenkorrelation]

\justifying
$x,y,z$ seien Zufallsvariablen mit linear-affinen Abhängigkeiten zwischen $x$ und $z$ sowie zwischen $y$ und $z$ wie in der Definition der partiellen Korrelation. Weiterhin seien
\begin{itemize}
\item $\{(x_i,y_i,z_i)\}_{i = 1,...,n}$ eine Menge von Realisierungen des Zufallsvektors $(x,y,z)^\mathrm{T}$,
\item $\hat{\beta}_0^{(x)}, \hat{\beta}_1^{(x)}$ die Ausgleichsgeradenparameter für $\{(x_i,z_i)\}_{i = 1,...,n}$,
\item $\hat{\beta}_0^{(y)}, \hat{\beta}_1^{(y)}$ die Ausgleichsgeradenparameter für $\{(y_i,z_i)\}_{i = 1,...,n}$.
\end{itemize}

Schließlich seien für $i = 1,...,n$
\begin{itemize}
\item $e^{(x)}_i := x_i - \hat{\beta}_0^{(x)} - \hat{\beta}_1^{(x)}z_i$
\item $e^{(y)}_i := y_i - \hat{\beta}_0^{(y)} - \hat{\beta}_1^{(y)}z_i$
\end{itemize}

die Residuen der jeweiligen Ausgleichsgeraden. Dann heißt die Stichprobenkorrelation der Wertemenge $\left\lbrace \left( e^{(y)}_i, e^{(x)}_i \right) \right\rbrace_{i = 1,...,n}$ \textit{partielle Stichprobenkorrelation der $x_i$ und $y_i$ mit auspartialisierten $z_i$}.

\end{definition}

Bemerkungen

* Die partielle Stichprobenkorrelation wird als Schätzer der partiellen Korrelation genutzt.


<!-- Theorem: Bedingte und partielle Korrelation bei Normalverteilung -->
# Partielle Korrelation

\small
\begin{theorem}[Bedingte und partielle Korrelation bei Normalverteilung]

\justifying
\normalfont
$x,y,z$ seien drei gemeinsam multivariat normalverteilte Zufallsvariablen. Dann gilt:
\begin{equation}
\rho(x,y|z) = \rho(x,y \mathbin{\backslash} z) \; .
\end{equation}

\end{theorem}

\footnotesize
Bemerkungen

* Generell sind bedingte und partielle Korrelationen nicht identisch.
* Für Details, siehe zum Beispiel @lawrance1976 und @baba2004.
* Mit der Gleichheit von bedingter und partieller Korrelation bei Normalverteilung ist der Schätzer für die bedingte Korrelation auch ein Schätzer für die partielle Korrelation bei gemeinsam normalverteilten Zufallsvariablen.
\vfill


<!-- Beweis -->
# Partielle Korrelation

\small
\underline{Beweis}

Ohne Beschränkung der Allgemeinheit betrachten wir erneut den Fall eines standardisierten multivariat normalverteilten Zufallsvektors $v := (x,y,z)^\mathrm{T}$ mit Kovarianzmatrixparameter
\begin{equation}
\Sigma := 
\begin{pmatrix}
1         & \rho(x,y) & \rho(x,z) \\
\rho(y,x) & 1         & \rho(y,z) \\
\rho(z,x) & \rho(z,y) & 1
\end{pmatrix} \; .
\end{equation}

Dann definieren wir
\begin{equation}
A :=
\begin{pmatrix*}
1 & 0 & -\beta_1^{(x)} \\
0 & 1 & -\beta_1^{(y)} \\
\end{pmatrix*}
\quad \mbox{und} \quad
b := 
\begin{pmatrix*}
-\beta_0^{(x)} \\
-\beta_0^{(y)} \\
\end{pmatrix*} \; ,
\end{equation}

sodass gilt
\begin{equation}
\begin{pmatrix*}
e^{(x)} \\
e^{(y)} \\
\end{pmatrix*} =
A v + b =
\begin{pmatrix*}
1 & 0 & -\beta_1^{(x)} \\
0 & 1 & -\beta_1^{(y)} \\
\end{pmatrix*}
\begin{pmatrix*}
x \\
y \\
z \\
\end{pmatrix*} +
\begin{pmatrix*}
-\beta_0^{(x)} \\
-\beta_0^{(y)} \\
\end{pmatrix*} =
\begin{pmatrix*}
x - \beta_0^{(x)} - \beta_1^{(x)}z \\
y - \beta_0^{(y)} - \beta_1^{(y)}z \\
\end{pmatrix*} \; .
\end{equation}

Die partielle Korrelation ergibt sich dann als
\begin{equation}
\rho(x,y \mathbin{\backslash} z) =
\rho(e^{(x)}, e^{(y)}) \; .
\end{equation}


<!-- Beweis -->
# Partielle Korrelation

\small
\underline{Beweis (fortgeführt)}

Mit dem Theorem zur linear-affinen Transformation von multivariaten Normalverteilungen (siehe Einheit (4) in *Allgemeines Lineares Modell*) gilt für den Vektor der Residualvariablen
\begin{equation}
v \sim N\left(\mu, \Sigma\right)
\quad \Rightarrow \quad
\begin{pmatrix*}
e^{(x)} \\
e^{(y)} \\
\end{pmatrix*} =
A v + b \sim
N\left(A\mu + b, A\Sigma A^\mathrm{T}\right) \; .
\end{equation}

Der Kovarianzmatrixparameter der resultierenden multivariaten Normalverteilung ergibt sich also zu
\footnotesize
\begin{align}
\begin{split}
A\Sigma A^\mathrm{T}
& =
\begin{pmatrix*}
1 & 0 & -\beta_1^{(x)} \\
0 & 1 & -\beta_1^{(y)} \\
\end{pmatrix*}
\begin{pmatrix}
1         & \rho(x,y) & \rho(x,z) \\
\rho(y,x) & 1         & \rho(y,z) \\
\rho(z,x) & \rho(z,y) & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix*}
1              & 0              \\
0              & 1              \\
-\beta_1^{(x)} & -\beta_1^{(y)} \\
\end{pmatrix*} \\
& =
\begin{pmatrix*}
1-\beta_1^{(x)}\rho(z,x)         & \rho(x,y)-\beta_1^{(x)}\rho(z,y) & \rho(x,z)-\beta_1^{(x)} \\
\rho(y,x)-\beta_1^{(y)}\rho(z,x) & 1-\beta_1^{(y)}\rho(z,y)         & \rho(y,z)-\beta_1^{(y)} \\
\end{pmatrix*}
\begin{pmatrix*}
1              & 0              \\
0              & 1              \\
-\beta_1^{(x)} & -\beta_1^{(y)} \\
\end{pmatrix*} \\
& =
\begin{pmatrix*}
  1-\beta_1^{(x)}\rho(z,x)-\beta_1^{(x)}\rho(x,z)+\left(\beta_1^{(x)}\right)^2
& \rho(x,y)-\beta_1^{(x)}\rho(z,y)-\beta_1^{(y)}\rho(x,z)+\beta_1^{(x)} \beta_1^{(y)} \\
  \rho(y,x)-\beta_1^{(y)}\rho(z,x)-\beta_1^{(x)}\rho(y,z)+\beta_1^{(x)} \beta_1^{(y)}
& 1-\beta_1^{(y)}\rho(z,y)-\beta_1^{(y)}\rho(y,z)+\left(\beta_1^{(y)}\right)^2
\end{pmatrix*} \\
&= 
\begin{pmatrix*}
  1-2\beta_1^{(x)}\rho(x,z)+\left(\beta_1^{(x)}\right)^2
& \rho(x,y)-\beta_1^{(x)}\rho(z,y)-\beta_1^{(y)}\rho(x,z)+\beta_1^{(x)} \beta_1^{(y)} \\
  \rho(y,x)-\beta_1^{(y)}\rho(z,x)-\beta_1^{(x)}\rho(y,z)+\beta_1^{(x)} \beta_1^{(y)}
& 1-2\beta_1^{(y)}\rho(y,z)+\left(\beta_1^{(y)}\right)^2
\end{pmatrix*} \; .
\end{split}
\end{align}


<!-- Beweis -->
# Partielle Korrelation

\small
\underline{Beweis (fortgeführt)}

Besteht ein linear-affiner Zusammenhang der Form $y := \beta_0 + \beta_1 x + e$ zwischen zwei Zufallsvariablen, dann gilt für die Korrelation dieser Zufallsvariablen:
\begin{equation}
\rho(x,y) = \frac{\mathbb{S}(x)}{\mathbb{S}(y)} \beta_1
\quad \Leftrightarrow \quad
\beta_1 = \frac{\mathbb{S}(y)}{\mathbb{S}(x)} \rho(x,y) \; .
\end{equation}

Wir halten dies hier ohne Beweis fest, bemerken aber, dass analog auch in der Stichprobe für den Steigungsparameter der Ausgleichsgerade gilt:
\begin{equation}
\hat{\beta}_1 = \frac{c_{xy}}{s_x^2}, \quad
r_{xy} = \frac{c_{xy}}{s_x s_y}
\quad \Rightarrow \quad
\hat{\beta}_1 = \frac{s_y}{s_x} r_{xy} \; .
\end{equation}

Im vorliegenden Fall der standardisierten Zufallsvariablen $x$, $y$ und $z$ mit Varianz und Standardabweichung gleich 1 ergibt sich
\begin{equation}
\beta_1^{(x)} = \frac{1}{1} \rho(x,z) = \rho(x,z)
\quad \mbox{und} \quad
\beta_1^{(y)} = \frac{1}{1} \rho(y,z) = \rho(y,z)
\end{equation}

und damit
\footnotesize
\begin{equation}
A\Sigma A^\mathrm{T}
=
\begin{pmatrix*}
1-\rho(x,z)^2                & \rho(x,y)-\rho(x,z)\rho(y,z) \\
\rho(x,y)-\rho(x,z)\rho(y,z) & 1-\rho(y,z)^2
\end{pmatrix*}
=
\begin{pmatrix*}
\sigma_{x,x \mathbin{\backslash} z}^2 & \sigma_{x,y \mathbin{\backslash} z}^2 \\
\sigma_{y,x \mathbin{\backslash} z}^2 & \sigma_{y,y \mathbin{\backslash} z}^2
\end{pmatrix*} \; .
\end{equation}


<!-- Beweis -->
# Partielle Korrelation

\small
\underline{Beweis (fortgeführt)}

Schließlich folgt die partielle Korrelation mit
\begin{align}
\begin{split}
\rho(x,y \mathbin{\backslash} z)
& = \rho(e^{(x)}, e^{(y)}) \\
& = \frac{\sigma_{x,y \mathbin{\backslash} z}^2}{\sqrt{\sigma_{x,x \mathbin{\backslash} z}^2} \sqrt{\sigma_{y,y \mathbin{\backslash} z}^2}} \\
& = \frac{\rho(x,y) - \rho(x,z)\rho(y,z)}{\sqrt{1 - \rho(x,z)^2}\sqrt{1 - \rho(y,z)^2}} \; .
\end{split}
\end{align}

Dies entspricht der Formel im Theorem zur bedingten Korrelation bei Normalverteilung. Mithin sind die bedingte Korrelation von $x$ und $y$, gegeben $z$, und die partielle Korrelation von $x$ und $y$ mit herauspartialisiertem $z$, identisch, wenn $x$, $y$ und $z$ einer gemeinsamen Normalverteilung folgen.
$\hfill\Box$
\vfill


<!-- Beispiel in R -->
# Partielle Korrelation

\small
\textcolor{darkblue}{Beispiel}

\vspace{1mm}
\setstretch{0.8}
\tiny
```{r, echo = T, warning = F}
# Modellformulierung und Datenrealisierung
library(MASS)                                 # multivariate Normalverteilung
set.seed(1)                                   # reproduzierbare Daten
S     = matrix(c(  1,0.5,0.9,                 # Kovarianzmatrixparameter \Sigma
                 0.5,  1,0.5,
                 0.9,0.5,  1), nrow = 3, byrow = TRUE)
n     = 1e6                                   # Anzahl Realisierungen von v := (x,y,z)^T
xyz   = mvrnorm(n,c(0,0,0),S)                 # Realisierungen        von v := (x,y,z)^T

# partielle Stichprobenkorrelation als Stichprobenkorrelation der Residuen
bars  = apply(xyz, 2, mean)                   # Stichprobenmittel
s     = apply(xyz, 2, sd)                     # Stichprobenstandardabweichungen
c     = cov(xyz)                              # Stichprobenkovarianzen
b_xz1 = c[1,3]/c[3,3]                         # beta_1 (x,z)
b_xz0 = bars[1] - b_xz1*bars[3]               # beta_0 (x,z)
b_yz1 = c[2,3]/c[3,3]                         # beta_1 (y,z)
b_yz0 = bars[2] - b_yz1*bars[3]               # beta_0 (y,z)
e_xz  = xyz[,1] - b_xz1*xyz[,3] - b_xz0       # Residuen e^{(x)}
e_yz  = xyz[,2] - b_yz1*xyz[,3] - b_yz0       # Residuen e^{(y)}
pr_e  = cor(e_xz,e_yz)                        # \rho(x,y\z)

# partielle Stichprobenkorrelation als bedingte Stichprobenkorrelation
r      = cor(xyz)                             # Stichprobenkorrelationsmatrix
pr_r_n = r[1,2]-r[1,3]*r[2,3]                 # \rho(x,y\z) Formel Zähler
pr_r_d = sqrt((1-r[1,3]^2)*(1-r[2,3]^2))      # \rho(x,y\z) Formel Nenner
pr_r   = pr_r_n/pr_r_d                        # \rho(x,y\z)

# partielle Stichprobenkorrelation mithilfe der Funktion pcor() aus der Toolbox "ppcor"
library(ppcor)                                # Laden der Toolbox
pr_t   = pcor(xyz)                            # \rho(x,y\z),\rho(x,z\y),\rho(y,z\x) 

# Ausgabe
cat(  "r(x,y)                           :",  r[1,2],
    "\nr(x,y\\z) aus Residuenkorrelation :", pr_e,
    "\nr(x,y\\z) aus Korrelationen       :", pr_r,
    "\nr(x,y\\z) aus Toolbox             :", pr_t$estimate[1,2])
```


<!-- Visualisierung in R -->
# Partielle Korrelation

```{r, echo = F, eval = F}
# Modellformulierung
library(MASS)                                 # multivariate Normalverteilung
set.seed(1)                                   # reproduzierbare Daten
S     = matrix(c(  1,0.5,0.9,                 # Kovarianzmatrixparameter \Sigma
                 0.5,  1,0.5,
                 0.9,0.5,  1), nrow = 3, byrow = TRUE)
n     = 1e2                                   # Anzahl Realisierungen von v := (x,y,z)^T
xyz   = mvrnorm(n,rep(0,3),S)                 # Realisierungen        von v := (x,y,z)^T

# Visualisierung
graphics.off()
dev.new()
par(
    family      = "sans",
    mfcol       = c(1,2),
    pty         = "s",
    bty         = "l",
    lwd         = 1,
    las         = 1,
    mgp         = c(2.5,1,0),
    xaxs        = "i",
    yaxs        = "i",
    font.main   = 1,
    cex         = 1,
    cex.main    = 1.2)

# r(x,y)
plot(xyz[,1:2],
    pch         = 21,
    col         = "white",
    bg          = "gray50",
    xlab        = TeX("$x$"),
    ylab        = TeX("$y$"),
    xlim        = c(-3,3),
    ylim        = c(-3,3),
    main        = TeX(sprintf("$r_{x,y}$ = %.2f, $R^2$ = %.2f", cor(xyz[,1],xyz[,2]), cor(xyz[,1],xyz[,2])^2)))

# r(e_xz,e_yz)
plot(matrix(c(e_xz,e_yz), nrow = n),
    pch         = 21,
    col         = "white",
    bg          = "gray50",
    xlab        = TeX("$x - \\hat{\\beta}_{0}^{(x)} - \\hat{\\beta}_{1}^{(x)} z$"),
    ylab        = TeX("$y - \\hat{\\beta}_{0}^{(y)} - \\hat{\\beta}_{1}^{(y)} z$"),
    xlim        = c(-3,3),
    ylim        = c(-3,3),
    main        = TeX(sprintf("$r_{x,y \\, | \\, z}$ = %.2f, $R^2$ = %.2f", pr_r, pr_r^2)))

# Speicherung
dev.copy2pdf(
    file        = "Abbildungen/partielle_korrelation_beispiel.pdf",
    width       = 9,
    height      = 4.5)
```

```{r, echo = F, out.width = "100%"}
knitr::include_graphics("Abbildungen/partielle_korrelation_beispiel.pdf")
```


<!-- Visualisierung in R -->
# Partielle Korrelation

```{r, echo = F, eval = F}
# Modellformulierung
library(MASS)                                 # multivariate Normalverteilung
set.seed(1)                                   # reproduzierbare Daten
S     = matrix(c(  1,0.5,0.9,                 # Kovarianzmatrixparameter \Sigma
                 0.5,  1,0.5,
                 0.9,0.5,  1), nrow = 3, byrow = TRUE)
n     = 1e2                                   # Anzahl Realisierungen von v := (x,y,z)^T
xyz   = mvrnorm(n,rep(0,3),S)                 # Realisierungen        von v := (x,y,z)^T

# partielle Stichprobenkorrelation als Stichprobenkorrelation der Residuen
bars  = apply(xyz, 2, mean)                   # Stichprobenmittel
s     = apply(xyz, 2, sd)                     # Stichprobenstandardabweichungen
c     = cov(xyz)                              # Stichprobenkovarianzen
b_xz1 = c[1,3]/c[3,3]                         # beta_1 (x,z)
b_xz0 = bars[1] - b_xz1*bars[3]               # beta_0 (x,z)
b_yz1 = c[2,3]/c[3,3]                         # beta_1 (y,z)
b_yz0 = bars[2] - b_yz1*bars[3]               # beta_0 (y,z)
e_xz  = xyz[,1] - b_xz1*xyz[,3] - b_xz0       # Residuen e^{(x)}
e_yz  = xyz[,2] - b_yz1*xyz[,3] - b_yz0       # Residuen e^{(y)}

# Visualisierung
graphics.off()
dev.new()
par(
    family      = "sans",
    mfcol       = c(1,2),
    pty         = "s",
    bty         = "l",
    lwd         = 1,
    las         = 1,
    mgp         = c(2.5,1,0),
    xaxs        = "i",
    yaxs        = "i",
    font.main   = 1,
    cex         = 1,
    cex.main    = 1.2)

# r(x,y)
plot(xyz[,1:2],
    pch         = 21,
    col         = "white",
    bg          = "gray50",
    xlab        = TeX("$Eiskonsum$"),
    ylab        = TeX("$Sonnenbrandinzidenz$"),
    xlim        = c(-3,3),
    ylim        = c(-3,3),
    main        = TeX(sprintf("$r$ = %.2f", cor(xyz[,1],xyz[,2]))))

# r(e_xz,e_yz)
plot(matrix(c(e_xz,e_yz), nrow = n),
    pch         = 21,
    col         = "white",
    bg          = "gray50",
    xlab        = TeX("$Eiskonsum \\; | \\; Sommertage$"),
    ylab        = TeX("$Sonnenbrandinzidenz \\; | \\; Sommertage$"),
    xlim        = c(-3,3),
    ylim        = c(-3,3),
    main        = TeX(sprintf("$r$ = %.2f", pr_e)))

# Speicherung
dev.copy2pdf(
    file        = "Abbildungen/partielle_korrelation_anwendung.pdf",
    width       = 9,
    height      = 4.5)
```

```{r, echo = F, out.width = "100%"}
knitr::include_graphics("Abbildungen/partielle_korrelation_anwendung.pdf")
```


<!-- Abschnitt 4: Anwendung/Praxis -->
#

\large
\setstretch{2.5}
\vfill

Motivation

Bedingte Korrelation

Partielle Korrelation

**Anwendung/Praxis**

Selbstkontrollfragen

\vfill


<!-- Datensatz: Geburtsgewichte -->
# Anwendung/Praxis

\small
Datensatz: Geburtsgewicht und Muttergewicht für Mutter-Kind-Paare ($n = 189$; hier: $i = 1,...,25$)

\setstretch{1.0}

\footnotesize
\vspace{2mm}
```{r, echo = T}
filename = "Daten/birth_weights.csv"        # Dateiname
D        = read.csv(filename)               # Datenframe
```

\tiny
\vspace{-2mm}
```{r, echo = F}
knitr::kable(D[c(1:25),],
             align = "rrrcccc",
             "pipe")
```


<!-- Beispiel -->
# Anwendung/Praxis

\textcolor{darkblue}{Korrelation von Geburtsgewicht und Muttergewicht}

```{r, echo = F, eval = F}
# Daten einlesen
filename = "Daten/birth_weights.csv"          # Dateiname
D        = read.csv(filename)                 # Datenframe
n        = nrow(D)                            # Anzahl Datenpunkte

# Daten extrahieren
x      = D$Weight                             # Variable x
y      = D$Birth_weight                       # Variable y
z      = D$Age                                # Variable z
xyz    = matrix(c(x, y, z), nrow = n)         # n x 3 Datenmatrix

# Abbildung
library(latex2exp)
par(
    family      = "sans",
    mfcol       = c(1,1),
    pty         = "s",
    bty         = "l",
    lwd         = 1,
    las         = 1,
    mgp         = c(2.5,1,0),
    xaxs        = "i",
    yaxs        = "i",
    font.main   = 1,
    cex         = 1,
    cex.main    = 1.2)

# Punktdiagramm
plot(xyz[,1:2],
    pch         = 21,
    col         = "white",
    bg          = "gray50",
    xlab        = TeX("$Muttergewicht$"),
    ylab        = TeX("$Geburtsgewicht$"),
    xlim        = c(35,115),
    ylim        = c(1,5),
    main        = TeX(sprintf("$r$ = %.2f", cor(xyz[,1],xyz[,2]))))

# Speichern
dev.copy2pdf(
    file        = "Abbildungen/birth_weights_0.pdf",
    width       = 4.5,
    height      = 4.5)
```

\vspace{-2mm}
```{r, echo = F, out.width = "60%", fig.align = "center"}
knitr::include_graphics("Abbildungen/birth_weights_0.pdf")
```


<!-- Beispiel -->
# Anwendung/Praxis

\textcolor{darkblue}{Korrelation von Geburtsgewicht und Muttergewicht}

\vspace{2mm}
```{r, echo = F, out.width = "100%", fig.align = "center"}
knitr::include_graphics("Abbildungen/gewicht_mutter_alter.pdf")
```


<!-- Beispiel in R -->
# Anwendung/Praxis

\small
Partielle Korrelation: Geburtsgewicht und Muttergewicht, gegeben Alter ($n = 189$)

\setstretch{1.0}

\scriptsize
\vspace{1mm}
```{r, echo = T}
# Daten einlesen
D      = read.csv("Daten/birth_weights.csv")  # Datenframe
n      = nrow(D)                              # Anzahl Datenpunkte
x      = D$Weight                             # Variable x
y      = D$Birth_weight                       # Variable y
z      = D$Age                                # Variable z
xyz    = matrix(c(x, y, z), nrow = n)         # n x 3 Datenmatrix

# partielle Stichprobenkorrelation als Stichprobenkorrelation der Residuen
bars   = apply(xyz, 2, mean)                  # Stichprobenmittel
c      = cov(xyz)                             # Stichprobenkovarianzen
b_xz1  = c[1,3]/c[3,3]                        # beta_1 (x,z)
b_xz0  = bars[1] - b_xz1*bars[3]              # beta_0 (x,z)
b_yz1  = c[2,3]/c[3,3]                        # beta_1 (y,z)
b_yz0  = bars[2] - b_yz1*bars[3]              # beta_0 (y,z)
e_xz   = xyz[,1] - b_xz1*xyz[,3] - b_xz0      # Residuen e^{(x)}
e_yz   = xyz[,2] - b_yz1*xyz[,3] - b_yz0      # Residuen e^{(y)}
pr_e   = cor(e_xz,e_yz)                       # \rho(x,y\z)

# partielle Stichprobenkorrelation als bedingte Stichprobenkorrelation
r      = cor(xyz)                             # Stichprobenkorrelationsmatrix
pr_r_n = r[1,2]-r[1,3]*r[2,3]                 # \rho(x,y\z) Formel Zähler
pr_r_d = sqrt((1-r[1,3]^2)*(1-r[2,3]^2))      # \rho(x,y\z) Formel Nenner
pr_r   = pr_r_n/pr_r_d                        # \rho(x,y\z)

# Ausgabe der partiellen Korrelationen
cat(  "r(x,y)                           :",  round(r[1,2], digits = 3),
    "\nr(x,y\\z) aus Residuenkorrelation :", round(pr_e,   digits = 3),
    "\nr(x,y\\z) aus Korrelationen       :", round(pr_r,   digits = 3), "\n\n")
```


<!-- Visualisierung in R -->
# Anwendung/Praxis

```{r, echo = F, eval = F}
# Daten einlesen
D      = read.csv("Daten/birth_weights.csv")  # Datenframe
x      = D$Weight                             # Variable x
y      = D$Birth_weight                       # Variable y
z      = D$Age                                # Variable z
xyz    = matrix(c(x, y, z), nrow = n)         # n x 3 Datenmatrix

# Daten analysieren
bars   = apply(xyz, 2, mean)                  # Stichprobenmittel
c      = cov(xyz)                             # Stichprobenkovarianzen
b_xz1  = c[1,3]/c[3,3]                        # beta_1 (x,z)
b_xz0  = bars[1] - b_xz1*bars[3]              # beta_0 (x,z)
b_yz1  = c[2,3]/c[3,3]                        # beta_1 (y,z)
b_yz0  = bars[2] - b_yz1*bars[3]              # beta_0 (y,z)
e_xz   = xyz[,1] - b_xz1*xyz[,3] - b_xz0      # Residuen e^{(x)}
e_yz   = xyz[,2] - b_yz1*xyz[,3] - b_yz0      # Residuen e^{(y)}
pr_e   = cor(e_xz,e_yz)                       # \rho(x,y\z)

# Abbildung
library(latex2exp)
par(
    family      = "sans",
    mfcol       = c(1,2),
    pty         = "s",
    bty         = "l",
    lwd         = 1,
    las         = 1,
    mgp         = c(2.5,1,0),
    xaxs        = "i",
    yaxs        = "i",
    font.main   = 1,
    cex         = 1,
    cex.main    = 1.2)

# r(x,y)
plot(xyz[,1:2],
    pch         = 21,
    col         = "white",
    bg          = "gray50",
    xlab        = TeX("$x$"),
    ylab        = TeX("$y$"),
    xlim        = c(35,115),
    ylim        = c(1,5),
    main        = TeX(sprintf("$r_{x,y}$ = %.2f, $R^2$ = %.2f", cor(xyz[,1],xyz[,2]), cor(xyz[,1],xyz[,2])^2)))

# r(e_xz,e_yz)
plot(matrix(c(e_xz,e_yz), nrow = n),
    pch         = 21,
    col         = "white",
    bg          = "gray50",
    xlab        = TeX("$x - \\hat{\\beta}_{0}^{(x)} - \\hat{\\beta}_{1}^{(x)} z$"),
    ylab        = TeX("$y - \\hat{\\beta}_{0}^{(y)} - \\hat{\\beta}_{1}^{(y)} z$"),
    xlim        = c(-25,+55),
    ylim        = c(-2,+2),
    main        = TeX(sprintf("$r_{x,y \\, | \\, z}$ = %.2f, $R^2$ = %.2f", pr_e, pr_e^2)))

# Speicherung
dev.copy2pdf(
    file        = "Abbildungen/birth_weights_1.pdf",
    width       = 9,
    height      = 4.5)
```

```{r, echo = F, out.width = "100%"}
knitr::include_graphics("Abbildungen/birth_weights_1.pdf")
```


<!-- Visualisierung in R -->
# Anwendung/Praxis

```{r, echo = F, eval = F}
# Daten einlesen
D      = read.csv("Daten/birth_weights.csv")  # Datenframe
x      = D$Weight                             # Variable x
y      = D$Birth_weight                       # Variable y
z      = D$Age                                # Variable z
xyz    = matrix(c(x, y, z), nrow = n)         # n x 3 Datenmatrix

# Daten analysierenW
bars   = apply(xyz, 2, mean)                  # Stichprobenmittel
c      = cov(xyz)                             # Stichprobenkovarianzen
b_xz1  = c[1,3]/c[3,3]                        # beta_1 (x,z)
b_xz0  = bars[1] - b_xz1*bars[3]              # beta_0 (x,z)
b_yz1  = c[2,3]/c[3,3]                        # beta_1 (y,z)
b_yz0  = bars[2] - b_yz1*bars[3]              # beta_0 (y,z)
e_xz   = xyz[,1] - b_xz1*xyz[,3] - b_xz0      # Residuen e^{(x)}
e_yz   = xyz[,2] - b_yz1*xyz[,3] - b_yz0      # Residuen e^{(y)}
pr_e   = cor(e_xz,e_yz)                       # \rho(x,y\z)

# Abbildung
library(latex2exp)
par(
    family      = "sans",
    mfcol       = c(1,2),
    pty         = "s",
    bty         = "l",
    lwd         = 1,
    las         = 1,
    mgp         = c(2.5,1,0),
    xaxs        = "i",
    yaxs        = "i",
    font.main   = 1,
    cex         = 1,
    cex.main    = 1.2)

# r(x,y)
plot(xyz[,1:2],
    pch         = 21,
    col         = "white",
    bg          = "gray50",
    xlab        = TeX("$Muttergewicht$"),
    ylab        = TeX("$Geburtsgewicht$"),
    xlim        = c(35,115),
    ylim        = c(1,5),
    main        = TeX(sprintf("$r$ = %.2f", cor(xyz[,1],xyz[,2]))))

# r(e_xz,e_yz)
plot(matrix(c(e_xz,e_yz), nrow = n),
    pch         = 21,
    col         = "white",
    bg          = "gray50",
    xlab        = TeX("$Muttergewicht \\; | \\; Alter$"),
    ylab        = TeX("$Geburtsgewicht \\; | \\; Alter$"),
    xlim        = c(-25,+55),
    ylim        = c(-2,+2),
    main        = TeX(sprintf("$r$ = %.2f", pr_e)))

# Speicherung
dev.copy2pdf(
    file        = "Abbildungen/birth_weights_2.pdf",
    width       = 9,
    height      = 4.5)
```

```{r, echo = F, out.width = "100%"}
knitr::include_graphics("Abbildungen/birth_weights_2.pdf")
```




<!-- Anhang: Selbstkontrollfragen -->
#

\large
\setstretch{2.5}
\vfill

Motivation

Bedingte Korrelation

Partielle Korrelation

Anwendung/Praxis

**Selbstkontrollfragen**

\vfill


<!-- Selbstkontrollfragen -->
# Selbstkontrollfragen

\small
\setstretch{3}

1. Erläutern Sie die Motivation zur Bestimmung bedingter und partieller Korrelationen.
1. Definieren Sie die Begriffe der bedingten Kovarianz und der bedingten Korrelation.
1. Geben Sie das Theorem zu bedingter Korr. und Korrelationen bei Normalverteilung wieder.
1. Definieren Sie den Begriff der partiellen Korrelation.
1. Definieren Sie den Begriff der partiellen Stichprobenkorrelation.
1. Geben Sie das Theorem zu bedingter und partieller Korrelation bei Normalverteilung wieder.
1. Erläutern Sie die Berechnung einer partiellen Korrelation anhand eines Anwendungsbeispiels.
\vfill


<!-- Literatur -->
# Referenzen
