--- fontsize: 8pt format: beamer: include-in-header: ../ALM_Header.tex bibliography: ../ALM_Referenzen.bib --- # {.plain} \center ```{r, echo = F, out.width = "20%"} knitr::include_graphics("../OvGU_Logo.png") ``` \vspace{2mm} \huge Allgemeines Lineares Modell \vspace{6mm} \large BSc Psychologie, SoSe 2026 \vspace{5mm} Joram Soch # {.plain} \vfill \center \huge \textcolor{black}{(9) Einstichproben-T-Tests} \vfill # Überblick \textcolor{darkblue}{Modul B2: Inferenzstatistik | Allgemeines Lineares Modell} \small \center \footnotesize \renewcommand{\arraystretch}{1.2} \begin{tabular}{llll} Datum & Einheit & Do, 11-15 (ca. 11:15-14:00) & \\ \hline 09.04.2026 & Grundlagen & (0) Formalia & (1) Regression \\ 16.04.2026 & Grundlagen & (2) Korrelation & \\ 23.04.2026 & Grundlagen & (3) Matrizen & \\ 30.04.2026 & Grundlagen / Theorie & (4) Normalverteilungen & (5) Modellformulierung \\ 07.05.2026 & Theorie & (6) Parameterschätzung & \\ 14.05.2026 & -- Feiertag -- & -- keine Vorlesung -- & \\ 21.05.2026 & Theorie & (7) T-Statistiken & \\ 28.05.2026 & Theorie & (8) F-Statistiken & \\ \textcolor{darkblue}{04.06.2026} & Anwendung & (9) Einstichproben-T-Tests & (10) Zweistichproben-T-Tests \\ 11.06.2026 & Anwendung & (11) Einfaktorielle Varianzanalyse & \\ 18.06.2026 & Anwendung & (12) Zweifaktorielle Varianzanalyse & -- Vorlesung online -- \\ 25.06.2026 & Anwendung & (13) Partielle Korrelation & \\ 02.07.2026 & Anwendung & (14) Multiple Regression & \\ 09.07.2026 & Anwendung & (15) Kovarianzanalyse & \\ \hline 17.07.2026 & Klausurtermin & & \\ Februar 2027 & Klausurwiederholungstermin & & \\ \end{tabular} # Überblick \textcolor{darkblue}{Kontinuum von ALM-Designs} \small Extremszenario (1) Die Erwartungswerte aller Datenvariablen sind identisch. \begin{align} \begin{split} y_i &\sim N(\mu,\sigma^2) \quad \mbox{u.i.v. für} \quad i = 1,...,n \quad \Leftrightarrow \\ y &= X\beta + \varepsilon, \quad X := 1_n \in \mathbb{R}^{n\times 1}, \quad \beta := \mu \in \mathbb{R}, \quad \varepsilon \sim N(0_n,\sigma^2 I_n) \end{split} \end{align} \vspace{-2mm} $\Rightarrow$ Jegliche Datenvariabilität wird dem Fehlerterm zugeschrieben. $\Rightarrow$ Es gilt \quad $\hat{\beta} = (1_n^\mathrm{T}1_n)^{-1}1_n^\mathrm{T}y = \bar{y}$ \quad und \quad $\hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n-p} (y - 1_n\bar{y})^\mathrm{T}(y - 1_n\bar{y}) = s^2_y$. \vspace{2mm} Extremszenario (2) Die Erwartungswerte aller Datenvariablen sind paarweise verschieden. \begin{align} \begin{split} y_i &\sim N(\mu_i,\sigma^2) \quad \mbox{u.v. für} \quad i = 1,...,n \quad \Leftrightarrow \\ y &= X\beta + \varepsilon, \quad X := I_n \in \mathbb{R}^{n \times n}, \quad \beta := (\mu_1,..., \mu_n)^\mathrm{T} \in \mathbb{R}^n, \quad \varepsilon \sim N(0_n,\sigma^2 I_n) \end{split} \end{align} \vspace{-2mm} $\Rightarrow$ Jegliche Datenvariabilität wird dem Erwartungswertparameter zugeschrieben. $\Rightarrow$ Es gilt \quad $\hat{\beta} = (I_n^\mathrm{T}I_n)^{-1}I_n^\mathrm{T}y = y$ \quad und \quad $\hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n-p} (y - I_n y)^\mathrm{T}(y - I_n y) = 0$. \vspace{2mm} Beide Extremszenarien sind wissenschaftlich nicht ergiebig, da sie keine theoriegeleitete systematische Abhängigkeit zwischen unabhängigen und abhängigen Variablen (UV, AV) annehmen. Die im weiteren Verlauf betrachteten ALM-Designs liegen zwischen den beiden Extremszenarien und repräsentieren verschiedene Formen der systematischen Abhängigkeit zwischen UV und AV. # Überblick \textcolor{darkblue}{Faktorielle und parametrische ALM-Designs} \small Faktorielle ALM-Designs: \vspace{-2mm} * Designmatrizen mit $1$en und $0$en, manchmal $-1$en. * Betaparameter repräsentieren Erwartungswerte für Gruppen. * Betaparameterschätzer repräsentieren Stichprobenmittel für Gruppen. * $\Rightarrow$ T-Tests, einfaktorielle Varianzanalyse, zweifaktorielle Varianzanalyse Parametrische ALM-Designs: \vspace{-2mm} * Designmatrizen besitzen Spalten mit kontinuierlichen reellen Werten. * Die Designmatrixsspalten werden *Regressoren*, *Prädiktoren*, oder *Kovariaten* genannt. * Betaparameter repräsentieren Steigungsparameter. * Betaparameterschätzer ergeben sich als normalisierte Kovarianzen von Regressoren und Daten. * Es besteht ein enger Bezug zur Theorie der Korrelation. * $\Rightarrow$ einfache lineare Regression, multiple lineare Regression Faktoriell-parametrische ALM-Designs: \vspace{-2mm} * Designmatrizen mit mehreren faktoriellen und parametrischen Werten. * Die parametrischen Regressoren werden oft als kontrollierte Kovariaten betrachtet. * $\Rightarrow$ Kovarianzanalyse, (partielle Korrelation) # Überblick \setstretch{1.5} \textcolor{darkblue}{ALM-Designs als Hypothesentestverfahren$^\ast$} Testen von Unterschiedshypothesen: * Einstichproben-T-Tests * Zweistichproben-T-Tests * einfaktorielle Varianzanalyse * zweifaktorielle Varianzanalyse * Kovarianzanalyse Testen von Zusammenhangshypothesen: * einfache lineare Regression/Korrelation * multiple lineare Regression/partielle Korrelation $^\ast$ Diese Sichtweise wird durch Prof. Ostwald nicht favorisiert. # Überblick \setstretch{1.5} \textcolor{darkblue}{T-Tests} \small Es gibt viele T-Test-Varianten, jeweils mit eigenen Testgütefunktionen. Wir fokussieren hier auf die Darstellung von T-Tests als Spezialfällen des ALMs. Wir behandeln im Detail: \vspace{-2mm} * \justifying Einstichproben-T-Tests mit einfacher Nullhypothese und ungerichteter Alternativhypothese. * Zweistichproben-T-Tests bei unabhängigen Stichproben unter Annahme identischer Varianzen mit einfacher Nullhypothese und ungerichteter Alternativhypothese (siehe Einheit (10) in *Allgemeines Lineares Modell*) Wir behandeln nicht: \vspace{-2mm} * T-Tests mit gerichteten Hypothesen oder einfachen Null- und Alternativhypothesen. * Zweistichproben-T-Tests bei Annahme verschiedener Varianzen (Behrends-Fischer-Problem). * Zweistichproben T-Tests bei abhängigen Stichproben. # \large \setstretch{2} \vfill Anwendungsszenario Modellformulierung Modellschätzung Modellevaluation Anwendung/Praxis Selbstkontrollfragen \vfill # \large \setstretch{2} \vfill **Anwendungsszenario** Modellformulierung Modellschätzung Modellevaluation Anwendung/Praxis Selbstkontrollfragen \vfill # Anwendungsszenario {.t} \vspace{2mm} \setstretch{2} \textbf{\textcolor{darkblue}{Eine Gruppe}} (Stichprobe) randomisierter experimenteller Einheiten. Annahme der unabhängigen und identischen Normalverteilung $N(\mu,\sigma^2)$. $\mu$ und $\sigma^2$ unbekannt. Quantifizieren der Unsicherheit beim inferentiellen Vergleich von $\mu$ mit $\mu_0$ beabsichtigt. # Anwendungsszenario {.t} \vspace{2mm} \setstretch{1.8} \textcolor{darkblue}{Anwendungsbeispiele} \small Pre-Post-Psychotherapie: BDI-Differenzanalyse einer Gruppe von Patient:innen \vspace{-2mm} * $\mu \neq \mu_0 := 0 \quad \Rightarrow$ Evidenz für Depressionsymptomatikveränderung Gruppenanalysen mit *Wechsler Adult Intelligence Scale* (WAIS) \vspace{-2mm} * $\mu \neq \mu_0 := 100 \, \Rightarrow$ Evidenz für über- oder unterdurchschnittliche WAIS-Performanz Gruppenanalysen in der funktionellen Kernspintomographie (fMRT) \vspace{-2mm} * $\mu > \mu_0 := 0 \quad \Rightarrow$ Evidenz für regionale Gehirnaktivierung # Anwendungsszenario {.t} \vspace{2mm} \textcolor{darkblue}{Anwendungsbeispiel} ```{r, echo = F, out.width = "90%", fig.align = "center"} knitr::include_graphics("Abbildungen/beispielstudie_einstichproben-t-test.pdf") ``` \small Wir nehmen an, dass die Datenpunkte unabhängige und identisch verteilte (u.i.v.) Realisierungen von ZVen $y_i \sim N(\mu,\sigma^2)$ sind und nehmen weiter an, dass wir sind an der Quantifizierung der Unsicherheit beim inferentiellen Vergleich des wahren, aber unbekannten Erwartungswertparameters $\mu$ im Sinne eines Hypothesentests interessiert sind. ```{r, eval = F, echo = F} # Initialisierung set.seed(1) # Zufallszahlengenerator initialisieren # Simulationsparameter n_c = 2 # Anzahl Gruppen n_i = 40 # Anzahl Proband:innen pro Gruppe n = n_c*n_i # Gesamtanzahl Datenpunte mu_pre = c(31, 32) # \mu pre F2F, ONL mu_pos = c(27, 26) # \mu post F2F, ONL sigsqr = 10 # \sigma^2 # Datensimulation D = data.frame("ID" = 1:n) # Dataframe-Initialisierung und ID-Variable D$Setting = c(rep("F2F",n_i), rep("ONL", n_i)) # Bedingung D$PreBDI = c(round(rnorm(n_i, mu_pre[1], sqrt(sigsqr))), # PreBDI round(rnorm(n_i, mu_pre[2], sqrt(sigsqr)))) D$PostBDI = c(round(rnorm(n_i, mu_pos[1], sqrt(sigsqr))), # PostBDI round(rnorm(n_i, mu_pos[2], sqrt(sigsqr)))) D$dBDI = -(D$PostBDI - D$PreBDI) # -(PostBDI - PreBDI) = PreBDI - PostBDI # Datenspeicherung write.csv(D, file = "Daten/T-Tests_Daten.csv") ``` # \large \setstretch{2} \vfill Anwendungsszenario **Modellformulierung** Modellschätzung Modellevaluation Anwendung/Praxis Selbstkontrollfragen \vfill # Modellformulierung \footnotesize \begin{definition}[Einstichproben-T-Test-Modell] \justifying $y_i, i = 1,...,n$ seien Zufallsvariablen, die die $n$ Datenpunkte eines Anwendungsszenarios für den Einstichproben-T-Test modellieren. Dann hat das \textit{Einstichproben-T-Test-Modell} die strukturelle Form \begin{equation} y_i = \mu + \varepsilon_i \quad \mbox{mit} \quad \varepsilon_i \sim N(0,\sigma^2) \quad \mbox{u.i.v. für} \quad i = 1,...,n \quad \mbox{mit} \quad \mu \in \mathbb{R} \quad \mbox{und} \quad \sigma^2 > 0, \end{equation} die Datenverteilungsform \begin{equation} y_i \sim N(\mu,\sigma^2) \quad \mbox{u.i.v. für} \quad i = 1,...,n \quad \mbox{mit} \quad \mu \in \mathbb{R} \quad \mbox{und} \quad \sigma^2 > 0, \end{equation} und für den Datenvektor $y = (y_1,...,y_n)^\mathrm{T}$ die Designmatrixform \begin{equation} y = X\beta + \varepsilon \quad \mbox{mit} \quad X := 1_n \in \mathbb{R}^{n \times 1}, \quad \beta := \mu \in \mathbb{R}, \quad \varepsilon \sim N(0_n,\sigma^2I_n), \quad \mbox{und} \quad \sigma^2 > 0. \end{equation} \end{definition} Bemerkungen * Das Modell ist identisch mit dem Modell unabhängiger und identisch normalverteilter Zufallsvariablen. * Die Äquivalenz der drei Modellformen wurde bereits diskutiert (vgl. Einheit (5) in *Allgemeines Lineares Modell*). * Die Anzahl der Betaparameter ist $p = 1$. # Modellformulierung Designmatrix des Einstichproben-T-Test-Modells ($n = 20$, $p = 1$) ```{r, echo = F, eval = F} # Designmatrixerzeugung n = 20 # Anzahl von Datenpunkten X = matrix(rep(1,n), nrow = n) # n x p Designmatrix Xp = X # Abbildungsparameter library(plot.matrix) graphics.off() dev.new() par( family = "sans", mar = c(1,1,1,1), pty = "s", bty = "l", lwd = 1, las = 1, mgp = c(2,1,0), xaxs = "i", yaxs = "i", font.main = 1, cex = 1, cex.main = 2) # Designmatrix plot(Xp, col = gray(seq(0, 1, length.out = 256)), border = "black", xlab = '', ylab = '', main = '', breaks = seq(-1, 1, length.out = 257), key = NULL, axis.col = NULL, axis.row = NULL, asp = 1) # Speichern dev.copy2pdf( file = "Abbildungen/designmatrix_einstichproben-t-test.pdf", width = 10, height = 10) ``` \vspace{2mm} ```{r, echo = F, out.width = "60%", fig.align = "center"} knitr::include_graphics("Abbildungen/designmatrix_einstichproben-t-test.pdf") ``` # Modellformulierung \normalsize Datensimulation (vgl. Einheit (5) in *Allgemeines Lineares Modell*) \vspace{4mm} \footnotesize \setstretch{1.2} ```{r, echo = T} # Modellformulierung library(MASS) # multivariate Normalverteilung n = 20 # Anzahl von Datenpunkten p = 1 # Anzahl von Betaparametern X = matrix(rep(1,n), nrow = n) # n x p Designmatrix I_n = diag(n) # n x n Einheitsmatrix beta = 5 # wahrer, aber unbekannter Betaparameter sigsqr = 14 # wahrer, aber unbekannter Varianzparameter # Datenrealisierung y = mvrnorm(1, X %*% beta, sigsqr*I_n) # eine Realisierung des n-dimensionalen ZVs y print(y) ``` \vfill # \large \setstretch{2} \vfill Anwendungsszenario Modellformulierung **Modellschätzung** Modellevaluation Anwendung/Praxis Selbstkontrollfragen \vfill # Modellschätzung \footnotesize \begin{theorem}[Parameterschätzung im Einstichproben-T-Test-Modell] \normalfont \justifying Gegeben sei die Designmatrixform des Einstichproben-T-Test-Modells. Dann ergeben sich für den Betaparameterschätzer \begin{equation} \hat{\beta} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n y_i =: \bar{y} \end{equation} und für den Varianzparameterschätzer \begin{equation} \hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (y_i - \bar{y})^2 =: s_y^2 \; . \end{equation} \end{theorem} Bemerkungen * Die Formen von $\hat{\beta}$ und $\hat{\sigma}^2$ wurden bereits hergeleitet (siehe Einheit (6) in *Allgemeines Lineares Modell*). * $\bar{y}$ und $s_y^2$ bezeichnen das Stichprobenmittel und die Stichprobenvarianz der $y_1,...,y_n$. # Modellschätzung \tiny \setstretch{1.2} ```{r, echo = T} # Daten einlesen fname = "Daten/T-Tests_Daten.csv" # Dateiname D = read.table(fname, sep = ",", header = TRUE) # Dataframe y = D$dBDI[D$Setting == "F2F"] # BDI-Differenzwerte in der F2F-Gruppe # Modellformulierung n = length(y) # Anzahl Datenpunkte p = 1 # Anzahl Betaparameter X = matrix(rep(1,n), nrow = n) # Designmatrix # Modellschätzung beta_hat = solve(t(X) %*% X) %*% t(X) %*% y # Betaparameterschätzer eps_hat = y - X %*% beta_hat # Residuenvektor sigsqr_hat = (t(eps_hat) %*% eps_hat) /(n-p) # Varianzparameterschätzer # Ausgabe cat( "hat{beta} : ", beta_hat, # Betaparameterschätzer "\nbar{y} : ", mean(y), # Stichprobenmittel "\nhat{sigsqr} : ", sigsqr_hat, # Varianzparameterschätzer "\ns_y^2 : ", var(y)) # Stichprobenvarianz ``` # \large \setstretch{2} \vfill Anwendungsszenario Modellformulierung Modellschätzung **Modellevaluation** Anwendung/Praxis Selbstkontrollfragen \vfill # Modellevaluation \small \textcolor{darkblue}{Hypothesenszenarien} \setstretch{1.2} Einfache Nullhypothese, einfache Alternativhypothese $H_0: \mu = \mu_0$, $H_1: \mu = \mu_1$ \begin{itemize} \item theoretisch wichtiges Szenario (Neymann-Pearson-Lemma) \item praktische Relevanz eher gering \end{itemize} Einfache Nullhypothese, zusammengesetzte Alternativhypothese $H_0: \mu = \mu_0$, $H_1: \mu \neq \mu_0$ \begin{itemize} \item zweiseitiger Einstichproben-T-Test mit ungerichteter Hypothese \item ungerichtete Fragestellung nach einem Unterschied \end{itemize} Zusammengesetzte Nullhypothese/Alternativhypothese $H_0: \mu \le \mu_0$, $H_1: \mu > \mu_0$ \begin{itemize} \item einseitiger Einstichproben-T-Test mit gerichteter Hypothese \item gerichtete Fragestellung nach einem positiven Unterschied \end{itemize} Zusammengesetzte Nullhypothese/Alternativhypothese $H_0: \mu \ge \mu_0$, $H_1: \mu < \mu_0$ \begin{itemize} \item gerichtete Fragestellung nach einem negativen Unterschied \item qualitativ äquivalente Theorie zum umgekehrten Fall \end{itemize} # Modellevaluation \small \textcolor{darkblue}{Hypothesenszenarien} \setstretch{1.2} \textcolor{lightgray}{Einfache Nullhypothese, einfache Alternativhypothese $H_0: \mu = \mu_0$, $H_1: \mu = \mu_1$} \begin{itemize} \item[\textcolor{lightgray}{$\bullet$}] \textcolor{lightgray}{theoretisch wichtiges Szenario (Neymann-Pearson Lemma)} \item[\textcolor{lightgray}{$\bullet$}] \textcolor{lightgray}{praktische Relevanz eher gering} \end{itemize} Einfache Nullhypothese, zusammengesetzte Alternativhypothese $H_0: \mu = \mu_0$, $H_1: \mu \neq \mu_0$ \begin{itemize} \item zweiseitiger Einstichproben-T-Test mit ungerichteter Hypothese \item ungerichtete Fragestellung nach einem Unterschied \end{itemize} \textcolor{lightgray}{Zusammengesetzte Nullhypothese/Alternativhypothese $H_0: \mu \le \mu_0$, $H_1: \mu > \mu_0$} \begin{itemize} \item[\textcolor{lightgray}{$\bullet$}] \textcolor{lightgray}{einseitiger Einstichproben-T-Test mit gerichteter Hypothese} \item[\textcolor{lightgray}{$\bullet$}] \textcolor{lightgray}{gerichtete Fragestellung nach einem positiven Unterschied} \end{itemize} \textcolor{lightgray}{Zusammengesetzte Nullhypothese/Alternativhypothese $H_0: \mu \ge \mu_0$,$H_1: \mu < \mu_0$} \begin{itemize} \item[\textcolor{lightgray}{$\bullet$}] \textcolor{lightgray}{gerichtete Fragestellung nach einem negativen Unterschied} \item[\textcolor{lightgray}{$\bullet$}] \textcolor{lightgray}{qualitativ äquivalente Theorie zum umgekehrten Fall} \end{itemize} # Modellevaluation \small \setstretch{2} \textcolor{darkblue}{Gliederung} (vgl. [\textcolor{darkblue}{Einheit (12), um 01:58:00}](https://youtu.be/GJsS-AZe9zI?si=9kldNuX_I3bgjUFE&t=7080) in \textit{Wahrscheinlichkeitstheorie und Frequentistische Inferenz}) (1) Statistisches Modell $\checkmark$ (2) Testhypothesen $\checkmark$ (3) Teststatistik (4) Test (5) Analyse der Testgütefunktion (6) Testumfangkontrolle (7) p-Wert (8) Analyse der Powerfunktion # Modellevaluation (3) Teststatistik \setstretch{3} \textcolor{darkblue}{Bezeichungskonventionen für $t$-Zufallsvariablen} \small * Für eine (nichtzentrale) $t$-Zufallsvariable $\xi$ schreiben wir $\xi \sim t(n)$ (oder $\xi \sim t(\delta, n)$). * Die WDF einer (nichtzentralen) $t$-Zufallsvariable ist $t(\cdot;n)$ (oder $t(\cdot;\delta,n)$). * Die KVF einer (nichtzentralen) $t$-Zufallsvariable ist $\psi(\cdot;n)$ (oder $\psi(\cdot;\delta,n)$). * Die Teststatistik eines T-Test-Designs/Hypothesentests bezeichnen wir mit $T$. * Die Realisierung der T-Teststatistik für einen Datensatz bezeichnen wir mit $t$. \vfill # Modellevaluation (3) Teststatistik \footnotesize \begin{theorem}[T-Teststatistik des Einstichproben-T-Tests] \normalfont \justifying Gegeben sei die Designmatrixform des Einstichproben-T-Test-Modells. Dann ergibt sich für die T-Teststatistik mit \begin{equation} c := 1 \quad \mbox{und} \quad \beta_0 =: \mu_0, \end{equation} dass \begin{equation} T = \sqrt{n}\left(\frac{\bar{y} - \mu_0}{s_y}\right) \end{equation} und es gilt \begin{equation} T \sim t(\delta, n-1) \quad \mbox{mit} \quad \delta = \sqrt{n}\left(\frac{\mu - \mu_0}{\sigma}\right). \end{equation} \end{theorem} Bemerkungen * Das Theorem basiert auf der T-Statistik im Rahmen des ALM. * Wir erinnern an das verwandte populäre und von der Stichprobengröße unabhängige Effekstärke-Maß *Cohen's* $d$ bei Einstichproben-T-Test-Designs, \begin{equation} d := \frac{\bar{y}}{s_y}. \end{equation} * Offenbar gilt für *Cohen's* $d$, dass mit $\mu_0 := 0$ \begin{equation} T = \sqrt{n}d \quad \Leftrightarrow \quad d = T/\sqrt{n}. \end{equation} # Modellevaluation (3) Teststatistik \footnotesize \underline{Beweis} Mit dem Theorem zur Verteilung der T-Statistik (siehe Einheit (7) in *Allgemeines Lineares Modell*) gilt \begin{equation} T = \frac{c^\mathrm{T} \hat{\beta} - c^\mathrm{T} \beta_0}{\sqrt{\hat{\sigma}^2 c^\mathrm{T} (X^\mathrm{T}X)^{-1}c}} = \frac{1^\mathrm{T} \bar{y} - 1^\mathrm{T} \mu_0}{\sqrt{s_y^2 1^\mathrm{T} (1_n^\mathrm{T}1_n)^{-1}1}} = \sqrt{n}\left(\frac{\bar{y} - \mu_0}{s_y}\right). \end{equation} \vspace{2mm} Weiterhin gilt mit demselben Theorem \begin{equation} \delta = \frac{c^\mathrm{T} \beta - c^\mathrm{T} \beta_0}{\sqrt{\sigma^2 c^\mathrm{T} (X^\mathrm{T}X)^{-1}c}} = \frac{1^\mathrm{T} \mu - 1^\mathrm{T} \mu_0 }{\sqrt{\sigma^2 1^\mathrm{T} (1_n^\mathrm{T} 1_n)^{-1}1}} = \sqrt{n}\left(\frac{\mu - \mu_0}{\sigma}\right). \end{equation} $\hfill\Box$ # Modellevaluation (4) Test \footnotesize \begin{definition}[Zweiseitiger Einstichproben-T-Tests] \justifying Gegeben sei das Einstichproben-T-Test-Modell. Für ein $\mu_0 \in \mathbb{R}$ seien die einfache Nullhypothese und die zusammengesetzte Alternativhypothese als \begin{equation} H_0 : \mu = \mu_0 \quad \mbox{und} \quad H_1 : \mu \neq \mu_0 \end{equation} definiert. Weiterhin sei die T-Teststatistik definiert als \begin{equation} T := \sqrt{n}\left(\frac{\bar{y} - \mu_0}{s_y}\right) \end{equation} Dann ist der \textit{zweiseitige Einstichproben-T-Tests} definiert als der kritische-Wert-basierte Test \begin{equation} \phi(y) := 1_{\{|T| \ge k\}} = {\begin{cases} 1 & |T| \ge k \\ 0 & |T| < k \end{cases}}. \end{equation} \end{definition} Bemerkungen * Ausführlicher handelt es sich um den *zweiseitigen Einstichproben-T-Test mit ungerichteter Hypothese*. # Modellevaluation (5) Analyse der Testgütefunktion \small \begin{theorem}[Testgütefunktion] \justifying \normalfont $\phi$ sei der im obigen Testszenario definierte Test. Dann ist die Testgütefunktion von $\phi$ gegeben durch \begin{equation} q_{\phi} : \mathbb{R} \to [0,1], \mu \mapsto q_{\phi}(\mu) := 1 - \psi(k;\delta,n-1) + \psi(-k;\delta,n-1) \end{equation} wobei $\psi(\cdot; \delta, n-1)$ die KVF der nichtzentralen $t$-Verteilung mit Nichtzentralitätsparameter \begin{equation} \delta := \sqrt{n}\left(\frac{\mu - \mu_0}{\sigma}\right) \end{equation} und Freiheitsgradparameter $n-1$ bezeichnet. \end{theorem} # Modellevaluation (5) Analyse der Testgütefunktion \small \center Testgütefunktion $q_\phi$ für $\sigma^2 = 9, \mu_0 = 4, n = 12$ und $k = 1,2,3$. \vspace{2mm} \begin{equation*} \quad q_{\phi}(\mu) = \mathbb{P}_\mu(\phi = 1) \end{equation*} ```{r, echo = F, eval = F} dev.new() graphics.off() par( family = "sans", bty = "l", lwd = 1, las = 1, mgp = c(2,1,0), xaxs = "i", yaxs = "i", font.main = 1, cex = 1.1, cex.main = 1.1) # Parameter mu_0 = 4 n = 12 sigsqr = 9 sigma = sqrt(9) k = c(1,2,3) mu = matrix(seq(0, 8,len = 1e3), nrow = 1e3) d = sqrt(n)*(mu - mu_0)/sigma q_mu = cbind(matrix(1-pt(k[1],n-1,d)+ pt(-k[1],n-1,d),nrow=length(mu)), matrix(1-pt(k[2],n-1,d)+ pt(-k[2],n-1,d),nrow=length(mu)), matrix(1-pt(k[3],n-1,d)+ pt(-k[3],n-1,d),nrow=length(mu))) # Visualisierung matplot(mu, q_mu, type = "l", lty = c(1,2,3), col = "black", lwd = 2, xlab = "", ylab = "", ylim = c(0,1.05)) lines(4, 0, pty = "p", pch = 16, xpd = TRUE) legend(6, 0.4, c("k = 1", "k = 2", "k = 3"), lty = c(1,2,3), col = "black", bty = "n") y.intersp = 3) text(8.3, -0.01, TeX("$\\mu$") , cex = 1.1, xpd = TRUE) text(4 , -0.25, TeX("$H_0\\,:\\, \\mu = \\mu_0$") , cex = 1.1, xpd = TRUE) text(2 , -0.35, TeX("$H_1\\,:\\, \\mu \\neq \\mu_0$"), cex = 1.1, xpd = TRUE) text(6 , -0.35, TeX("$H_1\\,:\\, \\mu \\neq \\mu_0$"), cex = 1.1, xpd = TRUE) dev.copy2pdf( file = "Abbildungen/t_test_ungerichtet_guetefunktion.pdf", width = 7, height = 4) ``` ```{r, echo = F, out.width = "80%"} knitr::include_graphics("Abbildungen/t_test_ungerichtet_guetefunktion.pdf") ``` # Modellevaluation (5) Analyse der Testgütefunktion \small \underline{Beweis} Die Testgütefunktion des betrachteten Test im vorliegenden Testszenario ist definiert als \begin{equation} q_{\phi} : \mathbb{R} \to [0,1], \mu \mapsto q_{\phi}(\mu) := \mathbb{P}_{\mu}(\phi = 1). \end{equation} Da die Wahrscheinlichkeiten für $\phi = 1$ und dafür, dass die zugehörige Teststatistik im Ablehnungsbereich des Tests liegt, gleich sind, benötigen wir also zunächst die Verteilung der Teststatistik. Wir haben oben bereits gesehen, dass die T-Teststatistik \begin{equation} T := \sqrt{n}\left(\frac{\bar{y} - \mu_0}{s_y} \right) \end{equation} unter der Annahme $y_i \sim N(\mu,\sigma^2) \mbox{ u.i.v. für } i = 1,...,n$ nach einer nichtzentralen $t$-Verteilung $t(\delta,n-1)$ mit Nichtzentralitätsparameter \begin{equation} \delta = \sqrt{n}\left(\frac{\mu - \mu_0}{\sigma}\right) \end{equation} verteilt ist. Der Ablehnungsbereich des zweiseitigen T-Tests ergibt sich, wie in ähnlicher Form bei der Betrachtung des zweiseitigen Z-Tests gesehen, zu \begin{equation} A = \,]-\infty, -k]\, \cup \,]k,\infty[. \end{equation} \vfill # Modellevaluation (5) Analyse der Testgütefunktion \small \underline{Beweis (fortgeführt)} Mit diesem Ablehungsbereich ergibt sich dann \begin{align} \begin{split} q_\phi(\mu) & = \mathbb{P}_{\mu}(\phi = 1) \\ & = \mathbb{P}_{\mu}\left(T \in ]-\infty, -k]\, \cup \,]k,\infty[ \right) \\ & = \mathbb{P}_{\mu}\left(T \in ]-\infty, -k]\right) + \mathbb{P}_{\mu}\left(T \in [k,\infty[ \right) \\ & = \mathbb{P}_{\mu}(T \le -k) + \mathbb{P}_{\mu}(T \ge k) \\ & = \mathbb{P}_{\mu}(T \le -k) + (1-\mathbb{P}_{\mu}(T \le k)) \\ & = 1 - \mathbb{P}_{\mu}(T \le k) + \mathbb{P}_{\mu}(T \le - k) \\ & = 1 - \psi(k; \delta, n-1) + \psi(-k;\delta,n-1), \end{split} \end{align} wobei $\psi(\cdot; \delta,n-1)$ die KVF der nichtzentralen T-Verteilung mit Nichtzentralitätsparameter $\delta$ und Freiheitsgradparameter $n-1$ bezeichnet. $\hfill\Box$ \vfill # Modellevaluation (6) Testumfangkontrolle \vfill \small \begin{theorem}[Testumfangkontrolle] \justifying \normalfont $\phi$ sei der im obigen Testszenario definierte Test. Dann ist $\phi$ ein Level-$\alpha_0$-Test mit Testumfang $\alpha_0$, wenn der kritische Wert definiert ist durch \begin{equation} k_{\alpha_0} := \psi^{-1}\left(1 - \frac{\alpha_0}{2}; n-1 \right), \end{equation} wobei $\psi^{-1}(\cdot; n-1)$ die inverse KVF der $t$-Verteilung mit $n-1$ Freiheitsgraden ist. \end{theorem} \vfill # Modellevaluation (6) Testumfangkontrolle \small \center Wahl von $k_{\alpha_0} := \psi^{-1}(1 - \alpha_0/2; n-1)$ mit $n =12$, $\alpha_0 := 0.05$ und Ablehnungsbereich \vspace{2mm} ```{r, echo = F, eval = F} dev.new() graphics.off() par( family = "sans", mfcol = c(1,2), pty = "m", bty = "l", lwd = 1, las = 1, mgp = c(2,1,0), xaxs = "i", yaxs = "i", font.main = 1, cex = 1, cex.main = 1.2) # Parameter n = 12 alpha_0 = 0.05 # Konfidenzniveau k_alpha_0 = qt(1 - alpha_0/2, n-1) # kritischer Wert t = seq(-4, 4, length=1e4) # T-Statistikwerte Pt = pt(t,n-1) # T-Statistik KVF für H_0 pt = dt(t,n-1) # T-Statistik WDF für H_0 # KVF-Perspektive plot(t, Pt, type = "l", ylab = " ", ylim = c(0,1), main = TeX("$\\psi$")) lines(k_alpha_0, 0, type = "p", pch = 16, xpd = TRUE) lines(min(t), 1 - alpha_0/2, type = "p", pch = 16, xpd = TRUE) arrows( x0 = min(t), y0 = 1 - alpha_0/2, x1 = k_alpha_0, y1 = 1 - alpha_0/2, col = "darkorange", angle = 45, length = .1) arrows( x0 = k_alpha_0, y0 = 1-alpha_0/2, x1 = k_alpha_0, y1 = 0, col = "darkorange", angle = 45, length = .1) text(k_alpha_0, -0.25, TeX("$\\k_{\\alpha_0}$"), xpd = TRUE) text( -3, 1.05, TeX("$1 - \\alpha_0/2$"), xpd = TRUE) # WDF-Perspektive plot(t, pt, type = "l", ylab = " ", ylim = c(0,.4), main = TeX("$t$")) polygon(c(t[t <= -k_alpha_0], 0, 0), c(pt[t <= -k_alpha_0], min(t), -k_alpha_0), col = "gray90", border = NA) polygon(c(t[t >= k_alpha_0], max(t), k_alpha_0), c(pt[t >= k_alpha_0], 0, 0), col = "gray90", border = NA) lines(seq(min(t), -k_alpha_0, len = 1e2), rep(0,1e2), type = "l", lwd = 5, col = "darkorange") lines(seq(k_alpha_0, max(t), len = 1e2), rep(0,1e2), type = "l", lwd = 5, col = "darkorange") lines(-k_alpha_0, 0, type = "p", pch = 16, xpd = TRUE) lines(k_alpha_0, 0, type = "p", pch = 16, xpd = TRUE) text(-k_alpha_0, -0.11, TeX("$-\\k_{\\alpha_0}$"), xpd = TRUE) text( k_alpha_0, -0.11, TeX("$\\k_{\\alpha_0}$") , xpd = TRUE) text( 3, 0.05 , TeX("$P(T > = k_{\\alpha_0}) = \\alpha_0/2$"), xpd = TRUE, cex = .8, col = "gray50") text(-3, 0.05 , TeX("$P(T < = k_{\\alpha_0}) = \\alpha_0/2$"), xpd = TRUE, cex = .8, col = "gray50") dev.copy2pdf( file = "Abbildungen/t_test_ungerichtet_testumfangkontrolle.pdf", width = 8, height = 4) ``` ```{r, echo = F, out.width = "90%"} knitr::include_graphics("Abbildungen/t_test_ungerichtet_testumfangkontrolle.pdf") ``` # Modellevaluation (6) Testumfangkontrolle \footnotesize \setstretch{1.1} \underline{Beweis} Damit der betrachtete Test ein Level-$\alpha_0$-Test ist, muss bekanntlich $q_\phi(\mu) \le \alpha_0$ für alle $\mu \in \{\mu_0\}$, also hier $q_\phi(\mu_0) \le \alpha_0$, gelten. Weiterhin ist der Testumfang des betrachteten Tests durch $\alpha = \max_{\mu \in \{\mu_0\}} q_\phi(\mu)$, also hier durch $\alpha = q_\phi(\mu_0)$ gegeben. Wir müssen also zeigen, dass die Wahl von $k_{\alpha_0}$ garantiert, dass $\phi$ ein Level-$\alpha_0$-Test mit Testumfang $\alpha_0$ ist. Dazu merken wir zunächst an, dass für $\mu = \mu_0$ gilt, dass \begin{align} \begin{split} q_\phi(\mu_0) & = 1 - \psi(k;\delta,n-1) + \psi(-k;\delta,n-1) \\ & = 1 - \psi(k;0,n-1) + \psi(-k;0,n-1) \\ & = 1 - \psi(k;n-1) + \psi(-k;n-1), \end{split} \end{align} wobei $\psi(\cdot;\delta,n-1)$ und $\psi(\cdot;n-1)$ die KVF der nichtzentralen $t$-Verteilung mit Nichtzentralitätsparameter $\delta$ und Freiheitsgradparameter $n-1$ bzw. der $t$-Verteilung mit Freiheitsgradparameter $n-1$ bezeichnen. Mit $k := k_{\alpha_0}$ gilt dann \begin{align} \begin{split} q_\phi(\mu_0) & = 1 - \psi(k_{\alpha_0}; n-1) + \psi(-k_{\alpha_0}; n-1) \\ & = 1 - \psi(k_{\alpha_0}; n-1) + (1 - \psi(k_{\alpha_0}; n-1)) \\ & = 2(1-\psi(k_{\alpha_0}; n-1)) \\ & = 2\left(1-\psi\left(\psi^{-1}\left(1 - \alpha_0/2; n-1\right); n-1\right)\right) \\ & = 2\left(1 - (1 - \alpha_0/2)\right) \\ & = \alpha_0, \end{split} \end{align} wobei die zweite Gleichung mit der Symmetrie der $t$-Verteilung folgt. Es folgt also direkt, dass bei der Wahl von $k = k_{\alpha_0}$, $q_\phi(\mu_0)\le \alpha_0$ ist und der betrachtete Test somit ein Level-$\alpha_0$-Test ist. Weiterhin folgt direkt, dass der Testumfang des betrachteten Tests bei der Wahl von $k = k_{\alpha_0}$ gleich $\alpha_0$ ist. $\hfill\Box$ # Modellevaluation (6) Testumfangkontrolle Praktisches Vorgehen \small * \justifying Man nimmt an, dass ein Datensatz $y_1,...,y_n$ eine Realisation von $y_i \sim N(\mu,\sigma^2) \mbox{ u.i.v. für } i = 1,...,n$ mit unbekannten Parametern $\mu$ und $\sigma^2 > 0$ ist. * Man möchte entscheiden ob für ein $\mu_0 \in \mathbb{R}$ eher $H_0 : \mu = \mu_0$ oder $H_1: \mu \neq \mu_0$ zutrifft. * Man wählt ein Signifikanzniveau $\alpha_0$ und bestimmt den zugehörigen Freiheitsgradparameter-abhängigen kritischen Wert $k_{\alpha_0}$. Zum Beispiel gilt bei Wahl von $\alpha_0 := 0.05$ und $n=12$, dass $k_{0.05}=\psi^{-1}(1 - 0.05/2; 12 - 1) \approx 2.20$ ist. * Anhand von $n, \mu_0, \bar{y}$ und $s_y$ berechnet man die Realisierung der T-Teststatistik \begin{equation} t:= \sqrt{n}\left(\frac{\bar{y} - \mu_0}{s_y}\right) \end{equation} * Wenn $t$ größer-gleich $k_{\alpha_0}$ ist oder wenn $t$ kleiner-gleich $-k_{\alpha_0}$ ist, lehnt man die Nullhypothese ab, andernfalls lehnt man sie nicht ab. * Die oben entwickelte Theorie garantiert dann, dass man in höchstens $\alpha_0 \cdot 100$ von $100$ Fällen die Nullhypothese fälschlicherweise ablehnt. # Modellevaluation (7) p-Wert Bestimmung des p-Wertes \small * \justifying Per Definition ist der p-Wert das kleinste Signifikanzlevel $\alpha_0$, bei welchem man die Nullhypothese basierend auf einem vorliegendem Wert der Teststatistik ablehnen würde. * Bei $T = t$ würde $H_0$ für jedes $\alpha_0$ mit $|t| \ge \psi^{-1}(1-\alpha_0/2; n-1)$ abgelehnt werden. Für diese $\alpha_0$ gilt, wie unten gezeigt, \begin{equation} \alpha_0 \ge 2 \mathbb{P}(T \ge |t|). \end{equation} * Das kleinste $\alpha_0 \in [0,1]$ mit $\alpha_0 \ge 2 \mathbb{P}(T \ge |t|)$ ist dann $\alpha_0 = 2 \mathbb{P}(T \ge |t|)$, also folgt \begin{equation} \mbox{p-Wert} = 2 \mathbb{P}(T \ge |t|) = 2(1 - \psi(|t|;n-1)). \end{equation} * Im Gegensatz zum Z-Test hängt bei T-Tests der p-Wert auch von der Stichprobengröße ab. * Zum Beispiel ist für $t = 2.00$ und $n = 10$ der p-Wert $0.076$, für $t = 2.00$ und $n = 100$ ist der p-Wert dagegen $0.048$. # Modellevaluation (7) p-Wert Bestimmung des p-Wertes \small * \justifying Es bleibt zu zeigen, dass gilt \begin{equation} |t| \ge \psi^{-1}(1 - \alpha_0/2; n-1) \quad \Leftrightarrow \quad \alpha_0 \ge 2 \mathbb{P}(T \ge |t|) \; . \end{equation} * Dies aber folgt aus \footnotesize \vspace{-2mm} \begin{align} \begin{split} |t| & \ge \psi^{-1}\left(1 - \frac{\alpha_0}{2}; n-1\right) \\ \Leftrightarrow \psi(|t|; n-1) & \ge \psi\left(\psi^{-1}\left(1 - \frac{\alpha_0}{2}; n-1\right); n-1\right) \\ \Leftrightarrow \psi(|t|; n-1) & \ge 1 - \frac{\alpha_0}{2} \\ \Leftrightarrow \mathbb{P}(T \le |t|) & \ge 1 - \frac{\alpha_0}{2} \\ \Leftrightarrow \frac{\alpha_0}{2} & \ge 1 - \mathbb{P}(T \le |t|) \\ \Leftrightarrow \frac{\alpha_0}{2} & \ge \mathbb{P}(T \ge |t|) \\ \Leftrightarrow \alpha_0 & \ge 2 \mathbb{P}(T \ge |t|) \; . \end{split} \end{align} # Modellevaluation (8) Analyse der Powerfunktion \small Wir betrachten die Testgütefunktion \begin{equation} q_\phi : \mathbb{R} \to [0,1], \mu \mapsto q_\phi(\mu) := 1 - \psi(k_{\alpha_0}; \delta, n-1) + \psi(-k_{\alpha_0}; \delta, n-1) \end{equation} bei kontrolliertem Testumfang, also für $k_{\alpha_0} := \psi^{-1}(1-\alpha_0/2; n-1)$ mit festem $\alpha_0$ als Funktion des Nichtzentralitätsparameters und des Stichprobenumfangs. Namentlich hängt hier $k_{\alpha_0}$ sowohl von $\alpha_0$ als auch von $n$ ab. Es ergibt sich die bivariate reellwertige Funktion \begin{equation} \pi : \mathbb{R} \times \mathbb{N} \to [0,1], (\delta,n) \mapsto \pi(\delta,n) := 1 - \psi(k_{\alpha_0}; \delta, n-1) + \psi(-k_{\alpha_0}; \delta, n-1) \end{equation} Bei festgelegten $\alpha_0$ hängt die Powerfunktion des zweiseitigen T-Tests mit einfacher Nullhypothese also vom unbekannten Wert $\delta$ und von der Stichprobengröße $n$ ab. Wir visualisieren diese Abhängigkeiten untenstehend. # Modellevaluation (8) Analyse der Powerfunktion \small Powerfunktion für $\alpha_0 = 0.05$ ```{r, eval = F, echo = F} dev.new() graphics.off() par( family = "sans", mfcol = c(1,1), pty = "m", bty = "l", lwd = 1, las = 1, xaxs = "i", yaxs = "i", font.main = 1, cex = 1.2, cex.main = 1.2) # Szenariospezifikation d_min = -5 # delta Minimum d_max = 5 # delta Maximum d_res = 50 # delta Auflösung delta = seq(d_min, d_max, len = d_res) # delta Raum n_min = 1 # n Minimum n_max = 30 # n Maximum n_res = 50 # n Auflösung n = seq(n_min,n_max, len = n_res) # n Raum # Berechnung alpha_0 = 0.05 pi = matrix(rep(NaN, d_res*n_res), nrow = d_res) for(i in 1:d_res){ for(j in 1:n_res){ k_alpha_0 = qt(1 - alpha_0/2, n[j]-1) pi[i,j] = 1-pt(k_alpha_0, n[j]-1, delta[i])+pt(-k_alpha_0, n[j]-1, delta[i]) } } # Visualisierung persp(delta, n, pi, d = 1, col = "gray90", theta = 21, phi = 30, lwd = 0.5, scale = T, ticktype = "detailed", r = 1.5) dev.copy2pdf( file = "Abbildungen/t_test_ungerichtet_power_005.pdf", width = 7, height = 7) ``` ```{r, echo = F, out.width = "65%", fig.align = "center"} knitr::include_graphics("Abbildungen/t_test_ungerichtet_power_005.pdf") ``` # Modellevaluation (8) Analyse der Powerfunktion \small Powerfunktion für $\alpha_0 = 0.001$ ```{r, eval = F, echo = F} dev.new() graphics.off() par( family = "sans", mfcol = c(1,1), pty = "m", bty = "l", lwd = 1, las = 1, xaxs = "i", yaxs = "i", font.main = 1, cex = 1.2, cex.main = 1.2) # Szenariospezifikation d_min = -5 # delta Minimum d_max = 5 # delta Maximum d_res = 50 # delta Auflösung delta = seq(d_min, d_max, len = d_res) # delta Raum n_min = 1 # n Minimum n_max = 30 # n Maximum n_res = 50 # n Auflösung n = seq(n_min,n_max, len = n_res) # n Raum # Berechnung alpha_0 = 0.001 pi = matrix(rep(NaN, d_res*n_res), nrow = d_res) for(i in 1:d_res){ for(j in 1:n_res){ k_alpha_0 = qt(1 - alpha_0/2, n[j]-1) pi[i,j] = 1-pt(k_alpha_0, n[j]-1, delta[i])+pt(-k_alpha_0, n[j]-1, delta[i]) } } # Visualisierung persp(delta, n, pi, d = 1, col = "gray90", theta = 21, phi = 30, lwd = 0.5, scale = T, ticktype = "detailed", r = 1.5) dev.copy2pdf( file = "Abbildungen/t_test_ungerichtet_power_0001.pdf", width = 7, height = 7) ``` ```{r, echo = F, out.width = "65%", fig.align = "center"} knitr::include_graphics("Abbildungen/t_test_ungerichtet_power_0001.pdf") ``` # Modellevaluation (8) Analyse der Powerfunktion \small Powerfunktionen für $\mu_0 = 0$ \vspace{2mm} ```{r, echo = F, eval = F} dev.new() graphics.off() library(latex2exp) par( family = "sans", mfcol = c(2,2), pty = "m", bty = "l", lwd = 1, las = 1, xaxs = "i", yaxs = "i", font.main = 1, cex = 1, cex.main = 1) # Szenariospezifikation mu_0 = 0 # einfache Nullhypothese d_min = -5 # d Minimum d_max = 5 # d Maximum d_res = 50 # d Auflösung d = seq(d_min, d_max, len = d_res) # d Raum n_min = 2 # n Minimum n_max = 50 # n Maximum n_res = 1e2 # n Auflösung n = seq(n_min,n_max, len = n_res) # n Raum # Funktion von d, n = 12, \alpha_0 = 0.05 alpha_0 = 0.05 n_fix = 12 k_alpha_0 = qt(1 - alpha_0/2, n_fix-1) pi_d = 1-pt(k_alpha_0, n_fix-1, d)+pt(-k_alpha_0, n_fix-1, d) plot(d, pi_d, type = "l", lwd = 2, ylim = c(0,1), ylab = " ", xlab = TeX("$\\delta$"), main = TeX("$\\pi(\\delta,n = 12),\\, \\alpha_0 = 0.05$")) # Funktion von d, n = 12, \alpha_0 = 0.001 alpha_0 = 0.001 n_fix = 12 k_alpha_0 = qt(1-alpha_0/2, n_fix-1) pi_d = 1-pt(k_alpha_0, n_fix-1, d)+pt(-k_alpha_0, n_fix-1, d) plot(d, pi_d, type = "l", lwd = 2, ylim = c(0,1), ylab = " ", xlab = TeX("$\\delta$"), main = TeX("$\\pi(\\delta,n = 12),\\, \\alpha_0 = 0.001$")) # Funktion von n, \delta = 3, \alpha_0 = 0.05 alpha_0 = 0.05 d_fix = 3 k_alpha_0 = qt(1-alpha_0/2, n-1) pi_n = 1-pt(k_alpha_0, n-1, d_fix)+pt(-k_alpha_0, n-1, d_fix) plot(n, pi_n, type = "l", lwd = 2, ylab = " ", ylim = c(0,1), xlab = TeX("$n$"), main = TeX("$\\pi(\\delta = 3,n),\\, \\alpha_0 = 0.05$")) # Funktion von n, \delta = 3, \alpha_0 = 0.001 alpha_0 = 0.001 d_fix = 3 k_alpha_0 = qt(1-alpha_0/2, n-1) pi_n = 1-pt(k_alpha_0, n-1, d_fix)+pt(-k_alpha_0, n-1, d_fix) plot(n, pi_n, type = "l", lwd = 2, ylab = " ", ylim = c(0,1), xlab = TeX("$n$"), main = TeX("$\\pi(\\delta = 3,n),\\, \\alpha_0 = 0.001$")) # Speichern dev.copy2pdf( file = "Abbildungen/t_test_ungerichtet_powerfunktionen.pdf", width = 8, height = 7) ``` ```{r, echo = F, out.width = "65%", fig.align = "center"} knitr::include_graphics("Abbildungen/t_test_ungerichtet_powerfunktionen.pdf") ``` # Modellevaluation (8) Analyse der Powerfunktion Praktisches Vorgehen \small Mit größerem $n$ steigt die Powerfunktion des Tests an: * Ein großer Stichprobenumfang ist besser als ein kleiner Stichprobenumfang. * Kosten für die Erhöhung des Stichprobenumfangs werden aber nicht berücksichtigt. $\Rightarrow$ Die Theorie statistischer Hypothesentests ist nicht besonders lebensnah. \vspace{1mm} Die Powerfunktion hängt vom wahren, aber unbekannten Wert $\delta = \sqrt{n}\left(\frac{\mu - \mu_0}{\sigma}\right)$ ab. $\Rightarrow$ Wenn man $\delta$ schon kennen würde, würde man den Test nicht durchführen. \vspace{4mm} Generell wird folgendes Vorgehen favorisiert: * Man legt das Signifikanzniveau $\alpha_0$ fest und evaluiert die Powerfunktion. * Man wählt einen Mindestparameterwert $\delta^*$, den man mit $\pi(\delta,n) = b$ detektieren möchte. * Ein konventioneller Wert ist $b = 0.8$. * Man liest die für $\pi(\delta = \delta^*,n) = b$ nötige Stichprobengröße $n$ ab. # Modellevaluation (8) Analyse der Powerfunktion Praktisches Vorgehen \vspace{4mm} ```{r, echo = F, eval = F} # Szenariospezifikation sigma = 1 # bekanntes \sigma mu_0 = 0 # einfache Nullhypothese n_min = 2 # n Minimum n_max = 20 # n Maximum n_res = 1e2 # n Auflösung n = seq(n_min,n_max, len = n_res) # n Raum alpha_0 = 0.05 # Signifikanzniveau # Poweranalyse d_fix = 3 # fester Nichtzentralitätsparameter k_alpha_0 = qt(1-alpha_0/2, n-1) # kritische Werte pi_n = 1-pt(k_alpha_0, n-1, d_fix)+pt(-k_alpha_0, n-1, d_fix) # Powerfunktion beta = 0.8 # gewünschter Powerfunktionswert i = 1 # Indexinitialisierung n_min = NaN # minimales n Initialisierung while(pi_n[i] < beta){ # Solange \pi(\delta*,n) < \beta n_min = n[i] # Aufnahme des minimal nötigen n i = i + 1 # und Erhöhung des Indexes } cat("minimal nötiges n =", ceiling(n_min)) # Ausgabe ``` ```{r, echo = F, eval = F} dev.new() graphics.off() par( family = "sans", mfcol = c(1,1), pty = "m", bty = "l", lwd = 1, las = 1, xaxs = "i", yaxs = "i", font.main = 1, cex = 1.2, cex.main = 1.2) # Visualisierung plot(n, pi_n, type = "l", lwd = 2, ylab = " ", ylim = c(0,1), xlab = TeX("$n$"), main = TeX("$\\pi(\\delta = 3,n)\\, für \\,\\alpha_0 = 0.05,\\, \\mu_0 = 0")) lines(2, beta, type = "p", pch = 16, xpd = TRUE) lines(n_min, 0, type = "p", pch = 16, xpd = TRUE) arrows( x0 = min(n), y0 = beta, x1 = n_min, y1 = beta, col = "darkorange", angle = 20, length = .1) arrows( x0 = n_min, y0 = beta, x1 = n_min, y1 = 0, col = "darkorange", angle = 20, length = .1) text(3 , 0.85, TeX("$b$"), xpd = TRUE, cex = 1.2) text(20, 0.05, TeX("$n_{opt}"), xpd = TRUE, cex = 1.2) # Speichern dev.copy2pdf( file = "Abbildungen/t_test_ungerichtet_stichprobengroesse.pdf", width = 6, height = 5) ``` ```{r, echo = F, out.width = "65%", fig.align = "center"} knitr::include_graphics("Abbildungen/t_test_ungerichtet_stichprobengroesse.pdf") ``` # \large \setstretch{2} \vfill Anwendungsszenario Modellformulierung Modellschätzung Modellevaluation **Anwendung/Praxis** Selbstkontrollfragen \vfill # Anwendung/Praxis {.t} \vspace{2mm} \textcolor{darkblue}{Anwendungsbeispiel} ```{r, echo = F, out.width = "90%", fig.align = "center"} knitr::include_graphics("Abbildungen/beispielstudie_einstichproben-t-test.pdf") ``` \small Wir nehmen an, dass die Datenpunkte unabhängige und identisch verteilte (u.i.v.) Realisierungen von ZVen $y_i \sim N(\mu,\sigma^2)$ sind und nehmen weiter an, dass wir sind an der Quantifizierung der Unsicherheit beim inferentiellen Vergleich des wahren, aber unbekannten Erwartungswertparameters $\mu$ im Sinne eines Hypothesentests interessiert sind. # Anwendung/Praxis \small \vspace{2mm} \textcolor{darkblue}{Daten einlesen} \tiny \setstretch{0.5} \vspace{1mm} ```{r, echo = T} fname = "Daten/T-Tests_Daten.csv" D = read.table(fname, sep = ",", header = TRUE) ``` \vspace{-1mm} ```{r, echo = F} knitr::kable(D[c(1:40),], align = "cccccr", "pipe") ``` # Anwendung/Praxis \vspace{1mm} \tiny \setstretch{0.8} ```{r, echo = T, eval = F} # Datensatz von Interesse BDI_F2F = D$dBDI[D$Setting == "F2F"] # BDI-Differenzwerte in der F2F-Gruppe # Histogrammparameter h = 1 # gewünschte Klassenbreite b_0 = min(BDI_F2F) # b_0 b_k = max(BDI_F2F) # b_k k = ceiling((b_k - b_0)/h) # Anzahl der Klassen b = seq(b_0, b_k, by = h) # Klassen [b_0, ..., b_k] ylimits = c(0,0.15) # y-Achsenlimits xlimits = c(-5,15) # x-Achsenlimits # Abbildungsparameter par( # für Details siehe ?par mfcol = c(1,1), # 1 x 1 Panelstruktur family = "sans", # Serif-freier Fonttyp pty = "s", # quadratische Abbildungsregion bty = "l", # L-förmige Box las = 1, # horizontale Achsenbeschriftung xaxs = "i", # x-Achse bei y = 0 yaxs = "i", # y-Achse bei x = 0 font.main = 1, # Titel nicht fett cex = 1, # Textvergrößerungsfaktor cex.main = 1) # Titeltextvergrößerungsfaktor # Histogramm hist(BDI_F2F, # Delta-BDI_Werte von Therapiebedingung i breaks = b, # Histogrammklassen freq = F, # normierte relative Häufigkeit xlim = xlimits, # x-Achsenlimits ylim = ylimits, # y-Achsenlimits xlab = TeX("$\\Delta BDI$"), # x-Achsenbeschriftung ylab = "geschätzte Wahrscheinlichkeit",# y-Achsenbeschriftung main = "") # Titelbeschriftung # Speichern dev.copy2pdf( file = "Abbildungen/F2F_histogramm.pdf", width = 4, height = 4) ``` # Anwendung/Praxis \vspace{2mm} \tiny \setstretch{1} ```{r, echo = T, eval = T} # Einlesen der Daten fname = "Daten/T-Tests_Daten.csv" D = read.table(fname, sep = ",", header = TRUE) # Initialisierung eines Dataframes tp = c("F2F") # Therapiebedingungen ntp = length(tp) # Anzahl Therapiebedingungen S = data.frame( # Dataframe-Erzeugung n = rep(NaN,ntp), # Stichprobengrößen Max = rep(NaN,ntp), # Maxima Min = rep(NaN,ntp), # Minima Median = rep(NaN,ntp), # Mediane Mean = rep(NaN,ntp), # Mittelwerte Var = rep(NaN,ntp), # Varianzen Std = rep(NaN,ntp), # Standardabweichungen row.names = tp) # Therapiebedingungen # Iterationen über Therapiebedingungen for(i in 1:ntp){ data = D$dBDI[D$Setting == tp[i]] # Daten S$n[i] = length(data) # Stichprobengröße S$Max[i] = max(data) # Maxima S$Min[i] = min(data) # Minima S$Median[i] = median(data) # Mediane S$Mean[i] = mean(data) # Mittelwerte S$Var[i] = var(data) # Varianzen S$Std[i] = sd(data) # Standardabweichungen } ``` # Anwendung/Praxis \vspace{2mm} \small \textcolor{darkblue}{Deskriptive Statistiken der negativen PostBDI-PreBDI-Differenzen bei Face-to-Face-Therapie} ```{r, echo = F, out.width = "50%", fig.align = "center"} knitr::include_graphics("Abbildungen/F2F_histogramm.pdf") ``` \footnotesize \setstretch{1} ```{r, echo = T} # Ausgabe print.AsIs(S) ``` # Anwendung/Praxis \vspace{2mm} \tiny \setstretch{0.8} ```{r, echo = T} # Daten einlesen fname = "Daten/T-Tests_Daten.csv" # Dateiname D = read.table(fname, sep = ",", header = TRUE) # Dataframe y = D$dBDI[D$Setting == "F2F"] # BDI-Differenzwerte in der F2F-Gruppe # Modellformulierung n = length(y) # Anzahl Datenpunkte p = 1 # Anzahl Betaparameter X = matrix(rep(1,n), nrow = n) # n x p Designmatrix # Parameterschätzung beta_hat = solve(t(X) %*% X) %*% t(X) %*% y # Betaparameterschätzer eps_hat = y - X %*% beta_hat # Residuenvektor sigsqr_hat = (t(eps_hat) %*% eps_hat) /(n-p) # Varianzparameterschätzer # Konfidenzintervall delta = 0.95 # Konfidenzbedingung t_delta = qt((1+delta)/2,n-1) # \Psi^{-1}((1+\delta)/2; n-1) lambda = diag(solve(t(X) %*% X)) # \lambda_j Werte kappa = matrix(rep(NaN,p*2), nrow = p) # \beta_j Konfidenintervall-Array for(j in 1:p){ # Iteration über \beta_j kappa[j,1] = beta_hat[j]-sqrt(sigsqr_hat*lambda[j])*t_delta # untere KI-Grenze kappa[j,2] = beta_hat[j]+sqrt(sigsqr_hat*lambda[j])*t_delta # obere KI-Grenze } # Hypothesentest c = matrix(c(1),nrow = p) # Kontrastgewichtsvektor mu_0 = 0 # Nullhypothese alpha_0 = 0.05 # Signifikanzniveau k_alpha_0 = qt(1 - (alpha_0/2), n-1) # kritischer Wert t_num = t(c) %*% beta_hat - mu_0 # T-Teststatistik-Zähler t_den = sqrt(sigsqr_hat %*% t(c)*solve(t(X) %*% X)%*%c) # T-Teststatistik-Nenner t = t_num/t_den # T-Teststatistik if(abs(t) >= k_alpha_0){phi = 1} else {phi = 0} # Test 1_{|T(X) >= k_alpha_0|} pval = 2*(1 - pt(abs(t), n-1)) # p-Wert d = t/sqrt(n) # Cohen's d ``` \vspace{-1mm} ```{r, echo = F} cat( "fg = ", n-1, "\nkappa_1 = ", kappa, "\nt = ", t, "\nalpha_0 = ", alpha_0, "\nk_alpha_0 = ", k_alpha_0, "\nphi = ", phi, "\np-Wert = ", pval, "\nCohen's d = ", d) ``` # Anwendung/Praxis \small \textcolor{darkblue}{Anwendungszenario} \vspace{2mm} \tiny \setstretch{1.2} ```{r, echo = T} # automatischer Einstichproben-T-Test varphi = t.test(y, # Datensatz alternative = c("two.sided"), # H_1: \mu \neq \mu_0 mu = 0, # \mu_0 (sic!) conf.level = 1-alpha_0) # \delta = 1 - \alpha_0 # Ausgabe print(varphi) # genauere Ausgabe von t paste(varphi[1]$statistic) # genauere Ausgabe von p paste(varphi[3]$p.value) ``` # Anwendung/Praxis \small Datensatz: Zielzeiten beim Great 10k (08.10.2017), getrennt nach Altersklasse ($n = 4883$) ```{r, echo = F, eval = T} # Daten einlesen filename = "Daten/great_10k.csv" D = read.csv(filename) # Daten reduzieren excl = c("FU14", "FU16", "FU18", "FU20", "FU23", "F70", "F75", "F80", "MU14", "MU16", "MU18", "MU20", "MU23", "M70", "M75", "M80") incl = c("FE", "FH", "F30", "F35", "F40", "F45", "F50", "F55", "F60", "F65", "ME", "MH", "M30", "M35", "M40", "M45", "M50", "M55", "M60", "M65") D = D[!(D$AgeGroup %in% excl),] D = D[!(D$X5kTime == "NaN:NaN:NaN"),] D = D[!(D$X10kTime == "NaN:NaN:NaN"),] n = nrow(D) # Daten umsortieren D$AgeGroup = factor(D$AgeGroup, levels = incl) # Daten umrechnen t5_hms = D$X5kTime t5_min = rep(0, n) t10_hms = D$X10kTime t10_min = rep(0, n) for(i in 1:n){ t5 = t5_hms[i] t10 = t10_hms[i] t5_min[i] = as.numeric(substr(t5,1,2))*60 + as.numeric(substr(t5,4,5)) + as.numeric(substr(t5,7,8))/60 t10_min[i] = as.numeric(substr(t10,1,2))*60 + as.numeric(substr(t10,4,5)) + as.numeric(substr(t10,7,8))/60 } D$T5k1 = t5_min D$T5k2 = t10_min-t5_min D$T10k = t10_min D$Tdiff = D$T5k2 - D$T5k1 ``` ```{r, echo = F, eval = F} # Daten visualisieren library(vioplot) par( family = "sans", mar = c(3,3,1,1), pty = "m", bty = "l", lwd = 1, las = 1, mgp = c(2,1,0), xaxs = "i", yaxs = "i", font.main = 1.5, cex = 1.5) # Violinplot vioplot(D$T10k ~ D$AgeGroup, D, col = "gray80", rectCol = "black", lineCol = "white", colMed = "black", border = "black", pchMed = 16, plotCentre = "lines", xlab = "Altersklasse", ylab = "Zielzeit [min]", ylim = c(25,85), drawRect = FALSE) # Datenpunkte stripchart(D$T10k ~ D$AgeGroup, D, method = "jitter", xaxt = "n", vertical = TRUE, pch = 19, col = "black", add = TRUE, cex = 0.4) # Mittelwerte dx = 0.3 for (i in 1:length(incl)) { segments( x0 = i - dx, x1 = i + dx, y0 = median(D$T10k[D$AgeGroup==incl[i]]), y1 = median(D$T10k[D$AgeGroup==incl[i]]), col = "black", lwd = 2) } # Speichern dev.copy2pdf( file = "Abbildungen/great_10k_violin_plot.pdf", width = 16, height = 9) ``` \vspace{2mm} ```{r, echo = F, out.width = "100%"} knitr::include_graphics("Abbildungen/great_10k_violin_plot.pdf") ``` # Anwendung/Praxis \small Einstichproben-T-Test: 10-km-Zeit, alle Teilnehmer ($n = 4883$) \vspace{2mm} ```{r, echo = T, eval = T} # Daten extrahieren D$T10k = t10_min # 10-km-Zeit [min] # Einstichproben-T-Test (falsch) n = nrow(D) # Anzahl Datenpunkte p = 1 # Anzahl Regressoren y = matrix(D$T10k, nrow = n) # Datenvektor X = matrix(rep(1,n), ncol = p) # Designmatrix ``` ```{r, echo = F, eval = T} # Einstichproben-T-Test (falsch) b_hat = solve(t(X) %*% X) %*% t(X) %*% y # Betaparameterschätzer e_hat = y - X %*% b_hat # Residuenvektor s2_hat = (t(e_hat) %*% e_hat)/(n-p) # Varianzparameterschätzer c = matrix(c(1), nrow = p) # Kontrastvektor cTb0 = 0 # Nullhypothese t = (t(c)%*%b_hat - cTb0)/sqrt(s2_hat * t(c)%*%solve(t(X) %*% X)%*%c) # T-Statistik d = t/sqrt(n) # Cohen's d pval = 2*(1 - pt(abs(t), n-1)) # p-Wert cat( "Betaparameterschätzer : ", round(b_hat, digits = 3), "\nVarianzparameterschätzer : ", round(s2_hat, digits = 3), "\nEinstichproben-T-Teststatistik : ", round(t, digits = 3), "\nCohen's d : ", round(d, digits = 3), "\np-Wert : ", round(pval, digits = 3), "\n\n") ``` # Anwendung/Praxis \small Datensatz: erste vs. zweite 5 km beim Great 10k (08.10.2017), alle Teilnehmer ($n = 4883$) ```{r, echo = F, eval = F} # Daten visualisieren par( family = "sans", mar = c(3,3,1,1), pty = "s", bty = "l", lwd = 1, las = 1, mgp = c(2,1,0), xaxs = "i", yaxs = "i", font.main = 1.5, cex = 1.5) # Streudiagramm plot(D$T5k1, D$T5k2, pch = 16, xlab = "erste 5 km [min]", ylab = "zweite 5 km [min]", xlim = c(10, 50), ylim = c(10, 50)) # Liniendiagramm abline( coef = c(0, 1), lty = 1, lwd = 4, col = "gray80") # Speichern dev.copy2pdf( file = "Abbildungen/great_10k_streudiagramm.pdf", width = 9, height = 9) ``` \vspace{2mm} ```{r, echo = F, out.width = "60%", fig.align = "center"} knitr::include_graphics("Abbildungen/great_10k_streudiagramm.pdf") ``` # Anwendung/Praxis \small Einstichproben-T-Test: Differenz zweite minus erste 5 km, alle Teilnehmer ($n = 4883$) \vspace{2mm} ```{r, echo = T, eval = T} # Daten extrahieren D$T5k1 = t5_min # erste 5 km [min] D$T5k2 = t10_min-t5_min # zweite 5 km [min] D$Tdiff= D$T5k2 - D$T5k1 # Differenz [min] # Einstichproben-T-Test (richtig) n = nrow(D) # Anzahl Datenpunkte p = 1 # Anzahl Regressoren y = matrix(D$Tdiff, nrow = n) # Datenvektor X = matrix(rep(1,n), ncol = p) # Designmatrix ``` ```{r, echo = F, eval = T} # Einstichproben-T-Test (richtig) b_hat = solve(t(X) %*% X) %*% t(X) %*% y # Betaparameterschätzer e_hat = y - X %*% b_hat # Residuenvektor s2_hat = (t(e_hat) %*% e_hat)/(n-p) # Varianzparameterschätzer c = matrix(c(1), nrow = p) # Kontrastvektor cTb0 = 0 # Nullhypothese t = (t(c)%*%b_hat - cTb0)/sqrt(s2_hat * t(c)%*%solve(t(X) %*% X)%*%c) # T-Statistik d = t/sqrt(n) # Cohen's d pval = 2*(1 - pt(abs(t), n-1)) # p-Wert cat( "Betaparameterschätzer : ", round(b_hat, digits = 3), "\nVarianzparameterschätzer : ", round(s2_hat, digits = 3), "\nEinstichproben-T-Teststatistik : ", round(t, digits = 3), "\nCohen's d : ", round(d, digits = 3), "\np-Wert : ", round(pval, digits = 3), "\n\n") ``` # \large \setstretch{2} \vfill Anwendungsszenario Modellformulierung Modellschätzung Modellevaluation Anwendung/Praxis **Selbstkontrollfragen** \vfill # Selbstkontrollfragen \footnotesize \setstretch{1.2} \begin{enumerate} \item Erläutern Sie die Extremszenarien im Kontinuum von ALM-Designs. \item Erläutern Sie die Begriffe der faktoriellen und parametrischen ALM-Designs. \item Nennen Sie Beispiele für faktorielle, parametrische und faktoriell-parametrische ALM-Designs. \item Erläutern Sie das Anwendungsszenario eines Einstichproben-T-Tests. \item Erläutern Sie mögliche Hypothesenszenarien eines Einstichproben-T-Tests. \item Geben Sie die Definition des Einstichproben-T-Test-Modells wieder. \item Geben Sie das Theorem zur Parameterschätzung im Einstichproben-T-Test-Modell wieder. \item Geben Sie das Theorem zur T-Teststatistik des Einstichproben-T-Tests wieder. \item Geben Sie die Definition des zweiseitigen Einstichproben-T-Tests (mit ungerichteter Hypothese) wieder. \item Skizzieren Sie die Testgütefunktion des zweiseitigen Einstichproben-T-Tests. \item Geben Sie das Theorem zur Testumfangkontrolle im zweiseitigen Level-$\alpha_0$-Einstichproben-T-Test wieder. \item Erläutern Sie das praktische Vorgehen bei Durchführung eines zweiseitigen Level-$\alpha_0$-Einstichproben-T-Tests. \item Geben Sie die Definition des p-Wertes Werts für einen zweiseitigen Einstichproben-T-Test wieder. \item Von welchen Werten hängt die Powerfunktion eines zweiseitigen Einstichproben-T-Tests ab? \item Skizzieren Sie die Powerfunktion des Einstichproben-T-Tests bei fester Stichprobengröße. \item Skizzieren Sie die Powerfunktion des Einstichproben-T-Tests bei festem Nichtzentralitätsparameter. \end{enumerate}